直线与抛物线相交弦长问题(公开课)

p x 2
题型一：焦点弦弦长问题
2 o 例 2. 过抛物线 y 2 x 的焦点作倾斜角为 45 的直线 例1
交抛物线于A、B两点，则线段AB的长是多少？
1 1 解：焦点为 ， 0 ，所以直线方程为y=x2 2 设A(x1 , y1 )B(x2 , y2 ) x1 x2 3 1 1 1 y=x2 2 x 3x 0 x1 x2 4 4 y2 2x
2 2
0或 2
课堂反思 你是否完成了本节课任务？
1.能区分焦点弦与一般弦问题 2.会通过抛物线的定义解决焦点弦问题 3.能熟练应用弦长公式求一般弦长问题
课后作业 导学案与训练案章末小结
OC OA OB
( x3 , y3 ) (1,2 2 ) (4,4 2 ) (4 1,4 2 2 2 ) x3 4 1 y3 4 2 2 2
C在抛物线y 2 8 x上， y3 8 x3 （4 2 2 2） （ 8 4 1 ）
当斜率存在时设 l : y 2 kx. A x1 , y1 , B x2 , y2 y 2 kx 2 x 4kx 8 0 2 x 4y
2
x1 x2 4k 16k 32 0. x1 x2 8
| AB | 8 3. 1 k
2
p p 解(1)抛物线的焦点为（ ， 0） , 故直线 AB 的方程是 y 2 2 ( x ) 2 2
p y 2 2(x ) 2 2 由 4 x 5 px p 0 2 2 y 2 px 25 p 2 16 p 2 9 p 2 0 5p x1 x2 4
直线与抛物线相交弦长问题 ——拓展课
数学科组——彭子新
问题整理 1.对抛物线的定义重视不够 2.不能快速找出解决弦长问题的最好方法 （焦点弦与一般弦的区别）
本节课学习目标 1.能区分焦点弦与一般弦问题 2.会通过抛物线的定义解决焦点弦问题 3.能熟练应用弦长公式求一般弦长问题
回顾
直线与圆、椭圆相交问题
2
y 2x 于A, B 两点，则线段AB 的长是多少？
学生练讲 3 15
题型一：焦点弦弦长问题
2 o 例 2. 过抛物线 y 2 x 的焦点作倾斜角为 45 的直线 例1 交抛物线于A、B两点，则线段AB的长是多少？
1 3 4 2 y x 2 由 2 得4 x 12x 1 0 x 2 2 y 2x 3 3 x 2 x 2 解法：直接求出交点， 或 2 2 用两点距离公式 y 1 2 y 1 2
2
解法：联立方程， |A | B 1 k ( x x ) 4 x x 1 1 2 设而不求，用弦长 112 36 16 2 10 公式
2 2 2
y x 2 2 由 2 得x 6 x 4 0 y 2x x1 x2 6 x1 x2 4
1 1 解：焦点为 ， 0 ，所以直线方程为y=x2 2
| AB | ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 8 8 4
2 2
题型一：焦点弦弦长问题
2 o 例 1 例2.过抛物线 y 2 x的焦点作倾斜角为45 的直线
交抛物线于A、B两点，则线段AB的长是多少？ 1 1 解法：用抛物线 解：焦点为 ， 0 ，所以直线方程为y=x2 2 的定义转化
20 35-
| AB | 9, x1 x2 p 9 5p p 9, p 4 抛物线的方程y 2 8 x 4
（2）由p 4可得x 5 x 4 0 x1 1, x2 4.
2
A(1,2 2 ), B(4,4 2 ),设C( x3 , y3 ).
2 2
方法3：求出交点，用两点距离公式
AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2
2
练习
1. 过抛物线 y 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点，若x1 x2 6 ，则 |AB|= .
2
2. 过抛物线 x 4 y 的焦点作直线交抛物线于A、B 两点，若线段AB的中点的纵坐标为3，则|AB|= .
2
16k 32 8 3. k 3k 10 0
2 4 2
k 2 2或k 2 （舍去）， 5 k 2
4.(2011江西)已知过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点，斜率为2 2 的直线交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点（其中 x1 x2），且| AB | 9 （1）求该抛物线的方程。 O 为坐标原点， C 为抛物线上一点， （ 2） 若 OC OA OB ，求 的值
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
B
1
y
(x2,y2)
B
K A
1
O F
A (x1,y1)
p 2
x
x
20
小结：抛物线弦长问题 首先判断是否为焦点弦，然后选择方法 方法1：焦点弦的弦长公式（注意焦点位置）
AB x1 x2 p
方法2：利用圆锥曲线弦长公式
AB (1 k ) ( x1 x2 ) 4 x1 x2
设A(x1 , y1 )B(x2 , y2 ) 1 1 y=x2 2 x 3x 0 4 y2 2x x1 x2 3 1 准线为x=- ，根据抛物线定义 2
B1
y
B
(x2,y2)
K A1
O
F A
(x1,y1)
x
AB x1 x2 1 4
2
(0,2) 作直线 l 交抛物线 x 4 y 于两点， 3. 过点 若| AB | 8 3，求直线 l 的方程
2
20 25-28
2 l x 4 y 于两点， (0,2) 作直线 交抛物线 3. 过点 若| AB | 8 3，求直线 l 的方程
解：当斜率不存在时 x 0与抛物线只有一个交点 ，不满足条件
r l
A
2
O
B
d
A
B
2 2 |A | B 1 k ( x x ) 4 x x 1 2 1 2
l 2 2 2 ( ) r d 2

问题探究
例1. 2.过抛物线 y 2 x的焦点作倾斜角为45 的直线
2 o
交抛物线于A、B两点，则线段AB的长是多少？
例2. 过点 (0,2) 作倾斜角为 450的直线交抛物线
AB
2 2 1 2 1 2

解法：联立方程， (1 k )[( x x ) 4 x x ] 设而不求，用弦长 1 (1 1 )[3 4 ] 4 公式 4
2 2
题型二：一般弦弦长问题
例2. 过点 (0,2)作倾斜角为 45 的直线交抛物线
0
y 2x 于 A, B 两点，则线段 AB 的长是多少？ 解：由条件得直线方程为 y x 2