(浙江专用)高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形学案

第2讲 三角恒等变换与解三角形

高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.

真 题 感 悟

1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝1

3，则cos 2α＝( )

A.89

B.79

C.－79

D.－89

解析 cos 2α＝1－2sin 2

α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132

＝7

9

.

答案 B

2.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 2

4

，

则C ＝( ) A.π2

B.π3

C.π4

D.

π6

解析 根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2

＋b 2

－c 2

4，所以sin C ＝a 2

＋b 2

－c

2

2ab

＝cos

C ，所以在△ABC 中，C ＝π4

.

答案 C

3.(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.

解析 因为a ＝7，b ＝2，A ＝60°，所以由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2×

3

27＝21

7.由

余弦定理a 2

＝b 2

＋c 2

－2bc cos A 可得c 2

－2c －3＝0，所以c ＝3. 答案

21

7

3 4.(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接

CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.

解析 依题意作出图形，如图所示， 则sin∠DBC ＝sin∠ABC .

由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin∠ABC ＝

154，cos∠ABC ＝14

. 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin∠DBC ＝12×2×2×154＝15

2

.

因为cos∠DBC ＝－cos∠ABC ＝－14＝BD 2

＋BC 2

－CD 2

2BD ·BC ＝8－CD

2

8，所以CD ＝10.

由余弦定理，得cos∠BDC ＝

4＋10－42×2×10

＝

104

. 答案

15

2

104

考 点 整 合

1.三角函数公式

(1)同角关系：sin 2α＋cos 2

α＝1，sin αcos α＝tan α.

(2)诱导公式：对于“

k π

2

±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按

下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β

sin αsin β；

tan(α±β)＝tan α±tan β

1tan αtan β

.

(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2

α－sin 2

α＝2cos 2

α－1＝1－2sin 2

α.

(5)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2

＋b 2

sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a

. 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理

在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)；

变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝

a 2R

， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等.

(2)余弦定理

在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2

－2bc cos A ；

变形：b 2

＋c 2

－a 2

＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋

c 2－a 2

2bc

.

(3)三角形面积公式

S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12

ac sin B .

热点一 三角恒等变换及应用

【例1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝2

3，则|a －b |＝( )

A.15

B.55

C.25

5

D.1

(2)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝

⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )

A.1

B.2

C.3

D.4

(3)如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12

13，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则

3cos

2

α

2－sin α2·cos α2－3

2

的值为________. 解析 (1)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2

α－1＝23

，所以cos

α＝

306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b |＝55.故选B.

(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5

＝sin αcos π5＋cos αsin

π

5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α

tan π5＋1tan αtan

π

5

－1

＝2＋1

2－1

＝3.

(3)由题意得|OC |＝|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，