2014年北京邮电大学随机信号分析与处理期末考试试题

北京邮电大学随机信号分析与处理综合练习题
一、判断题：
1. 设()X t 和()Y t 是相互独立的平稳随机过程，则它们的乘积也是平稳的。

2.()X t 为一个随机过程，对于任意一个固定的时刻i t ，()i X t 是一个确定值。

3.设X 和Y 是两个随机变量，X 和Y 不相关且不独立，有()()()D X Y D X D Y +=+。

4.一般来说，平稳正态随机过程与确定性信号之和仍然为平稳的正态过程。

5.设()X t 是不含周期分量的零均值平稳随机过程，其自相关函数为()X R τ，从物 理概念上理解，有lim ()0X R ττ→∞
=。

6. 对于线性系统，假设输入为非平稳随机过程，则不能用频谱法来分析系统输出随机过程的统计特性。

7. 若随机过程X (t )满足
，
与t 无关，则X (t )是广义平稳（宽平稳）过程。

8. 随机过程的方差表示消耗在单位电阻上瞬时功率的统计平均值。

9. 广义循环平稳的随机过程本身也是一种广义平稳的随机过程。

10. 高斯白噪声经过匹配滤波器后仍然为高斯白噪声。

二．选择填空
1．对于联合平稳随机过程()X t 和()Y t 的互相关函数()XY R τ，以下关系正确的是 （1）。

（1）A ．()()XY XY R R ττ-= B.()-()XY YX R R ττ-=
C.)()(ττYX XY R R =-
D.)()(ττXY XY R R -=-
2.随机过程X(t)的自相关函数满足1212(,)()()0X X X R t t m t m t =≠，则可以断定1()X t 和2()X t 之间的关系是（2）。

（2）A.相互独立B.相关C.不相关D.正交
3．两个不相关的高斯随机过程)(t X 和)(t Y ，均值分别为X m 和Y m ，方差分别为2X σ和2Y σ，则)
(t X 和)(t Y 的联合概率密度为（3）。

（3）A
．22
22
()()(,)22X Y X Y x m y m f x y σσ⎧⎫⎡⎤--⎪⎪=-+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
B.22
22
()()1
(,)exp 222X Y X Y X Y x m y m f x y πσσσσ⎧⎫⎡⎤--⎪⎪
=-+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
C.2222
()()(,)2()X Y X Y x m y m f x y σσ⎧⎫
-+-=-⎨⎬+⎩⎭
D.2222
()()1
(,)exp 22()X Y X Y X Y x m y m f x y πσσσσ⎧⎫
-+-=-⎨⎬+⎩⎭
4.设()sin()()c X t A t n t ω=+，其中()()cos()()sin()c c s c n t n t t n t t ωω=-是零均值平稳窄带高斯噪声，A 是不等于0的常数，则()X t 的包络服从（4），()X t 的复包络服从（5）。

（4）A.莱斯分布B.瑞利分布C.高斯分布D.均匀分布 （5）A.莱斯分布B.瑞利分布C.高斯分布D.均匀分布
5.设()N t 是平稳随机过程，其功率谱密度为()N G ω，定义()0()()sin X t N t t ωθ=+，θ在0到2π之间均匀分布，则()X t 的平均功率谱密度为（6）。

（6）A.001[()()]4
N N G G ωωωω++- B.001[()()]2
N N G G ωωωω++-
C.001
[()()]4N N G G ωωωω+-- D.001[()()]4
N N G G ωωωω--+
6.已知2110ωω=，信号12()cos cos m t t t ωω=的Hilbert 变换为（7），复包络为（8）。

（7）A.12sin sin t t ωω B.12cos sin t t ωω C.12sin cos t t ωω D.12sin cos t t ωω- （8）A.1sin t ω B.1cos t ω C.2sin t ω D.2cos t ω
7.设频带信号()X t 为一实数平稳过程，ˆ()()()Z t X t jX t =+，则()Z t 的平均功率是()X t 平均功率的
（9）倍，()X t 的平均功率是ˆ(t)X
平均功率的（10）倍。

（9）A.1B.2C.1/2D.1/4 （10）A.1B.2C.1/2D.1/4
8.设有理想限幅器,()0
(),()0a X t Y t a X t ≥⎧=⎨-<⎩，其中0a >为常数。

假定输入()X t 为零均值正态随机过
程，则输出()Y t 的均值为（11），方差为（12）。

（11）A.a B./2a C.0D.a - （12）A.a B./2a C.2a D.22a
9.双边功率谱密度为02N 的高斯白噪声的自相关函数为（13）。

（13）A.()δτ B.02N C.
()0
2
N δτ D.+∞。

10.白噪声通过某线性系统后的物理谱（即单边功率谱）密度如图1所示，则该系统的等效通能带（即等效矩形带宽）为（14）Hz 。

（14）A.
02wN π B.0wN π C.2w πD.w
π
图1
11.已知三状态（编号0、1、2）马尔可夫链一步转移概率矩阵为0.10.70.20.40.30.30.30.50.2⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，则P{X 2=0|X 0=1}=(15)。

（15）A.0.35B.0.25C.0.23D.0.52
三、（8分）随机过程0()=cos()X t A t ω+Φ，其中0ω为常数，A 和Φ是统计独立的随机变量，A 以等概率分别取值{}3,1,1,3--++，Φ在[0,2]π之间均匀分布。

（1） 判断()X t 是否是广义平稳的；
（2） 求()X t 的平均功率；
（3） 求()X t 的功率谱密度。

四、（8分）考虑如图2所示的具有一个输入、两个输出的线性系统。

图2
（1）证明：1()Y t 和2()Y t 的互功率谱密度为()()()()12
*
12YY X G H H G ωωωω=，其中()X G ω为输入信号()X t 的功率谱密度；
（2）若输入信号()X t 为均值为0，双边功率谱密度为02N 的高斯白噪声，请问 何种()1H ω和()2H ω可保证1()Y t 和2()Y t 统计独立。

五、（10分）假设某通信系统在0时刻发送波形()1102
0s t T s t else ≤≤⎧=⎨⎩，发送的信号首先经过一
个传递函数为()C f 的滤波器后叠加了白高斯噪声，再通过一个匹配滤波器后进行取样判决，如图3（a ）所示，其中()n t 是均值为0，双边功率谱密度为02N 的白高斯噪声。

发送滤波器的结构如图3(b)所示。

(a) (b) 图3
(1)请画出发送()1s t 时发送滤波器输出的波形()1g t ； (2)请写出匹配滤波器的冲激响应()h t ，并画出图形；
(3)求发送()1s t 条件下，匹配滤波器输出端最佳采样时刻的均值、方差及信噪比。

六、（16分）考虑如图4(a)所示的系统，已知输入信号()N t 为均值为0，双边功率谱密度为02N 的高斯白噪声，带通滤波器1()H ω和低通滤波器2()H ω的频率响应分别如图4(b)中所示。

(a) (b)
图4
（1） 令()()()cos ()c X t A t t t ωφ=+，写出()A t 的一维概率密度函数，求其均值和方差；
（2） 若检波器为平方律检波器，其传输特性为2()[()]Y t X t =，求系统输出信号()Z t 的均值、方差及其一维概率密度函数；
（3） 若检波器为同步检波器，即传输特性为()()()cos c Y t X t t ω=，求输出信号()Z t 的均值、方差及其一维概率密度函数。

七、（8分）设有一质点在线段上随机游动，线段的两端设有反射壁。

假定质点只能停留在a 1=-L ，a 2=0，a 3=L 三个点上，每经过一单位时间按以下规则改变一次位置：如果游动前质点在a 2位置上，则下一时刻向左、向右移动一个单位L 的概率均为1/4，停留在原地的概率为1/2；若游动前质点在a 1位置，则下一时刻或以概率1/2向a 2移动，或以概率1/2停留在原地；若游动前质点在a 3位置，则下一时刻或以概率1/2向a 2移动，或以概率1/2停留在原地。

(1)试画出状态转移图； (2)写出一步转移概率矩阵；
(3)求在平稳情况下，各点的状态概率。