高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题2.24：指数函数(或复合)图象与性质的研究与拓展
高中数学同步教学课件 指数函数的性质与图像(二)
1．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) 【答案】D
D．(－∞，－1)
【解析】∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.
2．设23－2x＜0.53x－4，则x的取值范围是________. 【答案】(－∞，1) 【解析】∵0.53x－4＝123x－4＝24－3x，∴由 23－2x＜24－3x， 得 3－2x＜4－3x，∴x＜1.]
知识点2 指数不等式
对于形如 af(x)>ag(x)(或 af(x)<ag(x))的不等式， 当 a>1 时，转化为 f(x)>g(x)(或__f_(_x_)<_g_(_x_)_)； 当 0<a<1 时，转化为__f_(x_)_<_g_(_x_) _(或___f(_x_)_>_g_(x_)_)．
[微体验]
[方法总结] 解简单的指数不等式的一般方法
(1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的 取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形 式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的形式利用函数图像求解．
C．(2，－3)
D．(2，－2)
【答案】B 【解析】令x－1＝0，得x＝1，此时y＝a0－3＝1－3＝－2， ∴函数y＝ax－1－3恒过定点(1，－2)．
2．方程|2x－1|＝a 有唯一实数解，则 a 的取值范围是________. 【答案】a|a≥1或a＝0 【解析】作出 y＝|2x－1|的图像， 如图，要使直线 y＝a 与图像的交点只有一个， ∴a≥1 或 a＝0.
《指数函数的图像及其性质》教学设计
《指数函数的图像及其性质》教学设计一、教材分析《指数函数的图像及其性质》选自人教版数学必修1中第二章《基本初等函数（I）》第一节第二课时。
第二章主要分为三个小节:第一节为指数函数，第二节为对数函数，最后一节为幂函数。
在学习指数函数的图像及其性质前，学生们已经学习了函数及指数函数，对指数函数有了一定的了解，后面我们将利用指数函数的性质对应的分析比较对数函数和幂函数的图像和性质，由此可见，指数函数的图像及其性质起着承上启下的作用。
指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。
函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置，并且指数函数的图像及其性质是高一函数部分的重点和难点。
如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望。
二、学情分析在学习指数函数的图像及其性质前，学生们已经学习了函数的知识，指数函数是函数知识中重要的一部分内容，学生若能将其与学过的正比例函数、一次函数、二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、性质、图象，则一定能从中发现指数函数的本质，所以对已经熟悉掌握函数的学生来说，学习本课并不是太难。
学生通过对高中数学中函数的学习，对解决一些数学问题有一定的能力。
通过教师启发式引导，学生自主探究完成本节课的学习。
高一学生的认知水平从形象向抽象、从特殊向一般过渡，思维能力的提高是一个转折期，但是，学生的自主意识强，有主动学习的愿望与能力。
有好奇心、好胜心、进取心，富有激情、思维活跃。
三、教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。
过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。
领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。
高中数学人教版B版精品教案《指数函数的性质与图像》
指数函数的性质与图像【教学过程】一、新知初探探究点1：求指数函数的解析式例1：已知指数函数f（）的图像过点（3，π），求函数f（）的解析式．解：设f（）＝a，将点（3，π）代入，得到f（3）＝π，即a3＝π，解得a＝π错误!，所以f（）＝π错误!．错误!规律方法：根据指数函数的定义，a是一个常数，a的系数为1，且a>0，a≠1．指数位置是，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数．要求指数函数f（）＝a（a>0且a≠1）的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．探究点2：指数型函数的定义域、值域问题命题角度一：＝f（a）型例2：求下列函数的定义域和值域．（1）＝错误!；（2）＝4－2＋1．解：（1）函数＝错误!的定义域为R（因为对一切∈R，3≠－1）．因为＝错误!＝1－错误!，又因为3>0，1＋3>1，所以00，所以当2＝错误!时，即＝－1时，取最小值错误!，所以＝4－2＋1的值域为错误!．错误!规律方法：解此类题的要点是设a＝t，利用指数函数的性质求出t的范围．从而把问题转化为＝f（t）的问题．命题角度二：＝a f（）型例3：求函数y=的定义域与值域．解：要使函数有意义，则应满足32－1－错误!≥0，即32－1≥3－2．因为＝3在R上是增函数，所以2－1≥－2，解得≥－错误!．故所求函数的定义域为错误!．当∈错误!时，32－1∈错误!．所以32－1－错误!∈[0，＋∞）．所以原函数的值域为[0，＋∞）．错误!规律方法：＝a f（）的定义域即f（）的定义域，求＝a f（）的值域可先求f（）的值域，再利用＝a t的单调性结合t＝f（）的范围求＝a t的范围．探究点3：指数函数图像的应用命题角度一：指数函数整体图像例4：在如图所示的图像中，二次函数＝a2＋b＋c与函数＝错误!错误!的图像可能是（）解析：根据选项中二次函数图像可知c＝0，所以二次函数＝a2＋b，因为错误!>0，所以二次函数的对称轴为＝－错误!1．但前提是a>0且a≠1．此题主要考虑二次函数的系数与指数函数底数大小关系．命题角度二：指数函数局部图像例5：若直线＝2a与函数＝|2－1|的图像有两个公共点，求实数a的取值范围．解：＝|2－1|＝错误!0，且a≠1B．a≥0，且a≠1C．a>错误!，且a≠1D．a≥错误!答案：C3．函数＝3－2的值域是（）A．（0，＋∞）B．（－∞，0]C．（0，1]D．[－1，0）答案：C4．函数f（）＝a－b的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是（）A．a>1，b1，b>0C．00D．0解得－30且a≠1．（2）指数函数＝a（a>0且a≠1）具有下列性质：①定义域是R．②值域是（0，＋∞），即对任何实数，都有a>0，也就是说函数图像一定在轴的上方．③函数图像一定过点（0，1）．④当a>1时，＝a是增函数；当00，且a≠1）；③＝1；④＝错误!错误!－1．A．0B．1C．3D．4解析：选B．由指数函数的定义可判定，只有②正确．2．函数＝错误!的定义域是（）A．（－∞，0）B．（－∞，0]C．[0，＋∞）D．（0，＋∞）解析：选C．由2－1≥0，得2≥2021以≥0．3．当a＞0，且a≠1时，函数f（）＝a＋1－1的图像一定过点（）A．（0，1）B．（0，－1）C．（－1，0）D．（1，0）解析：选C．当＝－1时，显然f（）＝0，因此图像必过点（－1，0）．4．函数f（）＝a与g（）＝－＋a的图像大致是（）解析：选A．因为g（）＝－＋a的斜率为－1，所以g（）＝－＋a在定义域内单调递减，所以C、D选项错误．当a＞1时，函数f（）＝a单调递增，当＝0时，g（0）＝a＞1，此时两函数的图像大致为选项A．5．指数函数＝a与＝b的图像如图，则（）A．a＜0，b＜0B．a＜0，b＞0C．0＜a＜1，b＞1D．0＜a＜1，0＜b＜1解析：选C．由图像知，函数＝a在R上单调递减，故0＜a＜1；函数＝b在R上单调递增，故b＞1．6．若函数f（）＝（a2－2a＋2）（a＋1）是指数函数，则a＝________．解析：由指数函数的定义得错误!解得a＝1．答案：17．已知函数f（）＝a＋b（a＞0，且a≠1）经过点（－1，5），（0，4），则f（－2）的值为________．解析：由已知得错误!解得错误!所以f（）＝错误!错误!＋3，所以f（－2）＝错误!错误!＋3＝4＋3＝7．答案：78．若函数f（）＝错误!则函数f（）的值域是________．解析：由＜0，得0＜2＜1；由＞0，所以－＜0，0＜2－＜1，所以－1＜－2－＜0．所以函数f （）的值域为（－1，0）∪（0，1）．答案：（－1，0）∪（0，1）9．求下列函数的定义域和值域：（1）＝2错误!－1；（2）＝错误!错误!．解：（1）要使＝2错误!－1有意义，需≠0，则2错误!＞0且2错误!≠1，故2错误!－1＞－1且2错误!－1≠0，故函数＝2错误!－1的定义域为{|≠0}，函数＝2错误!－1的值域为（－1，0）∪（0，＋∞）．（2）函数＝错误!错误!的定义域为实数集R，由于22≥0，则22－2≥－2，故0＜错误!错误!≤9，所以函数＝错误!错误!的值域为（0，9]．10．已知函数f（）＝a－1（≥0）的图像经过点错误!，其中a＞0且a≠1．（1）求a的值；（2）求函数＝f（）（≥0）的值域．解：（1）函数图像经过点错误!，所以a2－1＝错误!，则a＝错误!．（2）由（1）知f（）＝错误!错误!（≥0），由≥0，得－1≥－1．于是0＜错误!错误!≤错误!错误!＝2，所以函数的值域为（0，2]．【教学过程】一、新知初探探究1：:解指数方程例1：解下列关于的方程：（1）81×32＝错误!错误!；（2）22＋2＋3×2－1＝0．解：（1）因为81×32＝错误!错误!，所以32＋4＝3－2（＋2），所以2＋4＝－2（＋2），所以＝－2．（2）因为22＋2＋3×2－1＝0，所以4×（2）2＋3×2－1＝0．令t＝2（t＞0），则方程可化为4t2＋3t－1＝0，解得t＝错误!或t＝－1（舍去）．所以2＝错误!，解得＝－2．错误!规律方法：（1）a f（）＝b型方程通常化为同底来解．（2）解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．探究点2：指数函数单调性的应用命题角度一：比较大小例2：比较下列各题中两个值的大小：（1）－，－3；（2），；（3），解：（1）因为＞1，所以＝1．7在（－∞，＋∞）上是增函数．因为－＞－3，所以－＞－3．（2）法一：因为＞，所以在（0，＋∞）上，＝的图像位于＝的图像的上方．而＞0，所以法二：因为，且错误!错误!，又错误!＞1，＞0，所以错误!错误!＞1，所以（3）因为，，所以规律方法：当两个指数底数相同时，利用指数函数的单调性直接比较大小；当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1．命题角度二：解指数不等式例3：解关于的不等式：a2＋1≤a－5（a>0，且a≠1）．解：（1）当01时，因为a2＋1≤a－5，所以2＋1≤－5，解得≤－6．综上所述，当01时，不等式的解集为{|≤－6}．错误!规律方法：解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．命题角度三：与指数函数复合的单调性问题例4：（1）求函数＝错误!错误!的单调区间；（2）求函数＝错误!错误!－8·错误!错误!＋17的单调区间．解：（1）＝错误!错误!的定义域为R．在（－∞，3]上，＝2－6＋17是减函数，所以＝错误! \u122－6＋17在（－∞，3]上是增函数．在（3，＋∞）上，＝2－6＋17是增函数，所以＝错误!\u122－6＋17在（3，＋∞）上是减函数．所以＝错误!错误!的增区间是（－∞，3]，减区间是（3，＋∞）．（2）设t＝错误!错误!，又＝t2－8t＋17在（－∞，4]上单调递减，在（4，＋∞）上单调递增．令错误!错误!≤4，得≥－2．所以当－2≤1错误!错误!2，即4≥t1>t2，所以t错误!－8t1＋17a22＋2－3的解集为________．解析：因为0＜a＜1，所以＝a在R上是减函数，又因为a22－3＋2>a22＋2－3，所以22－3＋2＜22＋2－3，解得＞1．答案：（1，＋∞）。
高中数学第二章指数函数、对数函数和幂函数2.1.2指数函数的图象和性质第1课时指数函数的图象和性质课件必修
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5.函数 y＝12 x2－1 的值域是__(_0_,_2_]__.
解析 ∵x2－1≥－1，∴y＝12 x2－1 ≤12－1＝2，
又y＞0，∴函数值域为(0,2].
课堂小结 1.指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)， 且f(0)＝1. 2.当a＞1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快. 当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度 越快.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[知识链接] 1.ar·as＝ ar＋s ；(ar)s＝ ars ；(ab)r＝ ar·br . 其中a＞0，b＞0，r，s∈R. 2.在初中，我们知道有些细胞是这样分裂的：由1个分裂成2 个，2个分裂成4个，….1个这样的细胞分裂x次后，第x次得 到的细胞个数y与x之间构成的函数关系为 y＝2x ， x∈{0,1,2，…}.
3.如果底数 a∈(0,1)，那么，它的倒数
1 a
＞1，y＝ax＝1a－x，
它的图象和 y＝1ax 的图象关于 y轴 对称，可以类似地得到函
数y＝ax(0＜a＜1)的性质：
(1)图象总在 x轴 上方，且图象在y轴上的射影是y轴正半轴 (不
包括原点).由此，函数的值域是R＋； (2)图象恒过点(0,1) ，用式子表示就是 a0＝1 ；
(3)y＝12 x2－2x－3. 解 y＝12 x2－2x－3 的定义域为 R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴12 x2－2x－3 ≤12－4＝16. 又∵12 x2－2x－3 ＞0， 故函数 y＝12 x2－2x－3 的值域为(0,16].
规律方法 对于y＝af(x)(a＞0，且a≠1)这类函数， (1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围； (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域.
指数函数的图像与性质教案
指数函数的图像与性质教案一、教学目标1. 理解指数函数的定义和基本性质。
2. 能够绘制和分析指数函数的图像。
3. 掌握指数函数在实际问题中的应用。
二、教学内容1. 指数函数的定义与表达式指数函数是一种特殊类型的函数，形式为f(x) = a^x，其中a 是底数，x 是指数。
指数函数的定义域是所有实数，值域是正实数。
2. 指数函数的图像特点(1) 当a > 1 时，指数函数的图像上升。
(2) 当0 < a < 1 时，指数函数的图像下降。
(3) 指数函数的图像经过点(0, 1)。
3. 指数函数的性质(1) 单调性：当a > 1 时，指数函数单调递增；当0 < a < 1 时，指数函数单调递减。
(2) 指数函数的值域为正实数。
(3) 指数函数的图像具有无限多条切线，且切线斜率恒为a。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和解决实际问题，深入理解指数函数的图像与性质。
2. 利用数学软件或图形计算器绘制指数函数的图像，帮助学生直观地感受指数函数的特点。
3. 设计具有挑战性的练习题，激发学生的思考和探索能力，巩固所学知识。
四、教学评估1. 通过课堂讲解、练习题和小组讨论，评估学生对指数函数定义、图像和性质的理解程度。
2. 布置课后作业，要求学生绘制指数函数的图像，并运用指数函数解决实际问题，以评估学生的应用能力。
3. 在课程结束后，进行一次小测验，检验学生对指数函数的整体掌握情况。
五、教学资源1. 教学PPT或教案文档，包含指数函数的定义、图像和性质的相关知识点。
2. 数学软件或图形计算器，用于绘制指数函数的图像。
3. 练习题和案例分析题，供学生巩固所学知识和应用实践。
六、教学步骤1. 引入指数函数的概念，引导学生思考指数函数在实际生活中的应用场景。
2. 讲解指数函数的定义与表达式，引导学生理解指数函数的基本形式。
3. 利用数学软件或图形计算器，绘制不同底数的指数函数图像，引导学生观察和分析指数函数的图像特点。
课件2：4.2.2 指数函数的图象和性质
[针对训练] 4．求函数 f(x)＝3－x2＋2x＋3 的单调区间．
[解] 由题意可知，函数 y＝f(x)＝3－x2＋2x＋3 的定义域为 实数集 R.设 u＝－x2＋2x＋3(x∈R)，则 y＝3u，故原函 数是由 u＝－x2＋2x＋3 与 y＝3u 复合而成．∵y＝3u 是增 函数，而 u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4 在 x∈(－∞，1] 上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数．∴f(x)的单调递增 区间为(－∞，1]，单调递减区间为[1，＋∞).
[答案] D
题型二 解简单的指数不等式 典例 2 (1)解不等式：123x－1≤2； (2)已知 ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，且 a≠1)，求 x 的取值 范围．
[解] (1)∵2＝12－1， ∴原不等式可以转化为123x－1≤12－1. ∵y＝21x 在 R 上是减函数， ∴3x－1≥－1，∴x≥0. 故原不等式的解集是{x|x≥0}．
[针对训练]
1．已知 a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则 a，b，c
的大小
B．b>a>c
C．c>b>a
D．c>a>b
[解析] ∵函数 y＝0.8x 在 R 上为减函数， ∴0.80.7>0.80.9，即 a>b. 又 0.80.7<1,1.20.8>1， ∴0.80.7<1.20.8，即 a<c.∴c>a>b.选 D.
2．解简单指数不等式问题的注意点 (1)形如 ax>ay 的不等式，可借助 y＝ax 的单调性求 解．如果 a 的值不确定，需分 0<a<1 和 a>1 两种情况 进行讨论． (2)形如 ax>b 的不等式，注意将 b 化为以 a 为底的指数 幂的形式，再借助 y＝ax 的单调性求解． (3)形如 ax>bx 的不等式，可借助图象求解．
高中数学新北师大版精品教案《指数函数的图像和性质》
指数函数的图像和性质
一、教学目标：
1、知识与技能：
（1）掌握
x
x y
y⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
=
2
1
2和的图像和性质。
（2）掌握指数函数的图像和性质。
（3）底数a对指数函数单调性的影响。
2、过程与方法：
通过观察图像，总结归纳指数函数的性质。
掌握数形结合的思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观：
在学习指数函数的图像和性质的过程中，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。
二、教学重点、难点：
教学重点：
1、指数函数的图像和性质。
2、底数a对指数函数单调性的影响。
教学难点：
指数函数性质的总结归纳及应用。
三、重难点创新教学方法
采用启发式教学，借助几何画板来突出教学重点，突破教学难点。
让学生
掌握数形结合的思想，学会观察底数a 对指数函数单调性的影响，总结归纳指数函数的性质。
利用几何画板画出x a y = 的图像，当改变底数a 的值时，让学生观察函
数图像的变化过程，总结底数a 对指数函数单调性的影响，总结归纳指数函数的性质。
1>a 10<<a
设计意图：培养学生的观察能力，让学生掌握数形结合的方法。
学生观察图像，通过讨论的形式，互相启发，学会合作交流。
高中数学 指数函数图像及其性质教学课件
三、重难点分析
重点：
本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和 性质。
难点：
指数函数图象和性质的发现过程，及指数函 数图像与底数的关系。
四、学情分析
有利因素
学生刚刚学习了函数的定义、图象、性质，已经掌握 了研究函数的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
(3) 指数函数有哪些性质 ?
学生分成四个小组，分别作出
（2）合作交流， （1）y =2^x （2）y=3^x
动手画图
（3）y=(1/2)^x （4）y=(1/3)^x
教师在多媒体上给予展示
此时组织学生讨论，并引导学生观察 图像的特点。进而得出a>1和0<a<1 这两种情况在图像上的特点。并填写 下表
指数函数
课题：指数函数及其性质 教材：普通高中课程标准实验教科书
一、教材分析 二、目标分析 三、重难点分析 四、学情分析 五、教法学法 六、教学过程
1、创设情境、形成概念 2、发现问题、探究新知 3、深入探究，加深理解 4、当堂训练，共同提高 5、小结归纳，拓展深化
七、课后反思
一、教材分析
1、 教材的地位
不利因素
本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、 归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。
五、教法学法
类比学习法 探究发现式教学法 并利用多媒体辅助教学
六、教学过程
（一）、创设情境、形成概念
教学环节与问题设计
第一环 节：创 设游戏 情境， 设疑激
高中数学教案：探究指数函数的性质和图像变化
高中数学教案：探究指数函数的性质和图像变化一、介绍指数函数及其重要性指数函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和实际应用中都具有广泛的应用。
指数函数的概念最早由历来名噪一时的瑞士数学家欧拉于18世纪提出，随后经过多位数学家的研究和发展，逐渐成为现代数学的一部分。
指数函数的定义为f(x) = a^x，其中a为底数，x为幂数。
在指数函数中，底数a是一个常数，而指数x可以是实数。
指数函数的最大特点是它的自变量x在变化时，函数值f(x)以倍数的形式增长或衰减。
指数函数的研究可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，在实际问题中能够做出正确的分析和决策。
二、探究指数函数的性质1. 定义域和值域指数函数的定义域为全体实数，即所有实数都可以作为指数函数的自变量。
而值域则取决于底数a的正负情况。
当a大于0且不等于1时，指数函数的值域为正实数；当a小于0且不等于-1时，指数函数的值域为负实数。
2. 单调性对于指数函数来说，当底数a大于1时，指数函数是递增的；当底数a在0和1之间时，指数函数是递减的。
这是因为当底数a大于1时，随着指数x的增加，函数值f(x)也会随之增加；而当底数a在0和1之间时，随着指数x的增加，函数值f(x)会逐渐变小。
3. 对称性指数函数具有轴对称性。
具体来说，当底数a大于1时，指数函数关于y轴对称；当底数a在0和1之间时，指数函数关于x轴对称。
4. 渐近线和极限指数函数在x轴上有渐近线y=0，即当x趋近于负无穷或正无穷时，函数值f(x)趋近于0。
另外，指数函数的极限为：- 当底数a大于1时，x趋近于负无穷时，极限为0；x趋近于正无穷时，极限为正无穷。
- 当底数a在0和1之间时，x趋近于负无穷时，极限为正无穷；x趋近于正无穷时，极限为0。
三、探究指数函数的图像变化1. 底数a大于1时图像的性质当底数a大于1时，指数函数的图像呈现出以下特点：- 函数图像上任意两点的连线斜率大于0，即函数图像是递增的。
高中数学备课教案指数与对数函数的复合函数与方程
高中数学备课教案指数与对数函数的复合函数与方程高中数学备课教案指数与对数函数的复合函数与方程一、复合函数的概念及性质在数学中，复合函数是将一个函数的输出作为另一个函数的输入的过程。
指数函数和对数函数是数学中的重要函数，它们可以进行函数的复合运算。
下面我们来探讨指数函数与对数函数的复合函数及相关的性质。
1. 复合函数的定义设函数f(x)和g(x)分别是定义在实数集上的两个函数，那么当g(x)的定义域包含f(x)的值域时，可以定义函数h(x) = (g∘f)(x)。
其中g∘f表示复合函数，读作g合成f。
2. 复合函数的性质（1）结合律：对于函数f(x)、g(x)和h(x)，有(h∘g)∘f = h∘(g∘f)。
（2）单位元：对于任何函数f(x)，有f(x)∘i(x) = i(x)∘f(x) = f(x)，其中i(x)为恒等函数。
（3）逆元：对于任何函数f(x)，它的逆函数是一个有限或无限集合，即(f∘f^(-1))(x) = (f^(-1)∘f)(x) = x。
二、指数函数与对数函数的复合函数1. 指数函数与对数函数的定义指数函数通常表示为f(x) = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。
对数函数通常表示为g(x) = logₐ(x)，其中a为常数且大于0且不等于1。
2. 指数函数与对数函数的复合函数（1）指数函数与对数函数的复合设f(x) = a^x，g(x) = logₐ(x)，那么复合函数可以表示为h(x) =logₐ(a^x) = x。
（2）对数函数与指数函数的复合设f(x) = a^x，g(x) = logₐ(x)，那么复合函数可以表示为h(x) =a^(logₐ(x)) = x。
三、指数函数与对数函数的复合函数的图像分析1. 复合函数的图像变换通过分析复合函数的图像变换，我们可以更好地了解指数函数与对数函数的复合函数。
对于h(x) = (g∘f)(x)，由于对数函数和指数函数在图像上是互为镜像，所以复合函数的图像与指数函数和对数函数的图像呈镜像关系。
高中数学同步教学课件 指数函数的图象与性质的应用
5
6
;
3
8
与y=
的图象(如图),
11
33
>
8
33
5
6
.
(3)1.50.3与0.81.2.
由指数函数的性质知1.50.3>1.50=1,
而0.81.2<0.80=1,
∴1.50.3>0.81.2.
反
思
感
悟
比较指数式大小的3种类型及处理方法
跟踪训练 2 比较下列各组数的大小:
(1)0.8-0.1与1.250.2;
−1
是减函数,又函数y=
−1
的图象向下平移一个单位得到的,
−1
-1是减函数且图象过原点.
-1的图象是由函数
反
思
感
悟
与指数函数相关的图象问题
(1)熟记当底数a>1和0<a<1时,图象的大体形状.
(2)巧用图象变换
①平移变换:
x轴上
y=ax的图象
y=ax±b(b>0)的图象.
左加右减
(3)a0.5与a0.6(a>0且a≠1).
a0.5与a0.6可看作指数函数y=ax的两个函数值.
当0<a<1时,函数y=ax在R上是减函数.
∵0.5<0.6,∴a0.5>a0.6;
当a>1时,函数y=ax在R上是增函数.
∵0.5<0.6,∴a0.5<a0.6.
综上所述,当0<a<1时,a0.5>a0.6;
∵0<0.8<1,
∴y=0.8x在R上是减函数.
高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题2.24：指数函数(或复合)图象与性质的研究与拓展.docx
专题2.24：指数函数（或复合）图象与性质的研究与拓展【探究拓展】探究1：(0,1)x xx xa a y a a a a ---=>≠+的定义域、值域、奇偶性和单调性怎么研究？ 变式1：已知函数1()1x x a f x a -=+(01)a a >≠且 （1）判断函数的奇偶性；（2）求函数()f x 的值域；（3）判断并证明函数()f x 的单调性变式2：函数y ＝e x ＋e －xe x －e －x 的图象大致为________．探究2：对于函数()f x ,若在定义域内存在实数x ,满足()()f x f x -=-，则称为“局部奇函数”（1）已知二次函数a x ax x f 42)(2-+=，试判断()f x 是否为“局部奇函数”， 并说明理由；（2）已知二次函数42)(2-+=ax ax x f ，试判断()f x 是否为“局部奇函数”， 并说明理由；（3）若()2xf x m =+是定义在区间[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （4）若()12423x x f x m m +=-⋅+-为定义域为R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取 值范围；变式1：已知093109≤+⋅-x x ，求函数2)21(4411+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x x y 的最大值和最小值. 1,2 变式2：函数221x x y a a =+-(01)a a >≠且在[]-1,1上最大值为14,则a 的值为________变式3：已知函数()()1131242x x f x x λ-=-+-≤≤． （1）若32λ=时，求函数()f x 的值域； （2）若函数()f x 的最小值是1，求实数λ的值.解：（1）由()211()2()322x x f x λ=-⋅+，设1()2x t =，得()2123,,24g t t t t λ⎡⎤=-⋅+∈⎢⎥⎣⎦． （1）当32λ=时，()2233133(),,2244g t t t t t ⎡⎤=-+=-+∈⎢⎥⎣⎦， 当14t =时，()g t 的最大值为137()416g =； 当32t =时，()g t 的最小值为3(2)4g =，所以函数()f x 的值域为337,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）由()()2213,,24g t t t λλ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦， ① 当14λ<时，()min 1491()4162g t g λ==-，令4911162λ-=，得338λ=，不符合； ② 当2λ>时，()min (2)74g t g λ==-，令741λ-=，得32λ=，不符合； ③ 当124λ≤≤时，()2min ()3g t g λλ==-，令231λ-=，得2λ=．综上所述，2λ=． 变式4：已知函数)(22)(R a a x f x x ∈-=，将)(x f y =的图象向右平移两个单位，得到 )(x g y =的图象.（1）求函数)(x g y =的解析式；（2）若方程a x f =)(在[]1,0上有且仅有一个实根，求a 的取值范围；（3）若函数)(x h y =与)(x g y =的图象关于直线1=y 对称，设)()()(x h x f x F +=，已知a x F 32)(+>对任意的()+∞∈,1x 恒成立，求a 的取值范围.变式5：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<⋅-≥+-=-ax a x ax x x f a x x ,244,,1)(2（4-≥a ），且函数)(x f 在R 上有最小值，求实数a 的取值范围. 21>a 探究3：若0,0>>b a ，且c b a =+，求证：（1）当1>r 时，r r r c b a <+；（2）当1<r 时，rr r c b a >+. 拓展1：设na n n x f x x x x +-++++=)1(321lg )(Λ，其中a 是实数，n 是任意给定的正整数，且2≥n . 如果)(x f 在(]1,∞-∈x 时有意义，则实数a 的取值范围是___________. 21->a 拓展2：设n a a a a ,,,,321Λ是各不相同的正整数，2≥a . 求证：21111321<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛an a a a a a a a Λ探究4：若函数()(1)x f x a a =>的定义域和值域均为],[n m ，则a 的取值范围是________. 1(1,)e e 变式： 若存在实数m 使得m a m =（其中)10≠>a a 且成立，则实数a 的取值范围是_____【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
指数函数的图象及其性质 高三数学必修教案
的关系式；
1，则对折后每页纸的面积的关系是什么？：这两个关系式与
； （√） （2）；（×）
；（√）（4）
在；从左向右，呈上升（下降）趋势，说明是增
a a ），求）解法一（函数单调性）：∵和的底数，
在上是增函数，且，∴
函数单调性)：∵和的底数
，∴函数上是减函，∴。
，即当时，（2）在上是增函数
解法二：
（3
）中间值法：根据指数函数的性质得：，，所以。
变式训练：（教师适当点拨，学生独立完成并回答。
）
小结今天学了哪些知识，用了哪些数学方法研究指数函数？
（学生先自我反思，教师点评
完善）
积跬步以至千里，积怠惰以至深渊。
设计意图：教师由指数函数引出至理名言，学生受到激励。
将德育教育在本节课无痕的渗透进去。
对学生震撼很大，胜过对学生德育教育的“千言万语”，让学生深刻的感受到点滴的努力且能长期坚持，其发展是“前途无量”的。
高中数学教学课例《指数函数的图象和性质》课程思政核心素养教学设计及总结反思
数函数的图象及其性质。用一个课时学习性质的应用问
题。学习指数与指数幂的运算基础上学习指数函数的概
念和性质，通过学习指数函数的定义，图象及性质，可
以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得
到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学习对
数函数际背景；
2.理解指数函数的概念和意义，通过图象理解和掌
识，培养函数的应用意识打下好的学习基础。指数函数
在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产
实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价
教材分析 值观教育的好素材，所以指数函数应重点研究。
（二）课时划分
指数函数的教学用三个课时完成。指数函数的图象及其
性质，指数函数及其性质的应用。用两个课时完成“指
认知结构，主要体现在对正比例函数、反比例函数、一
次函数，二次函数等最简单的函数概念和性质有一定了
解。
学生学习能
从认知基础分析：我认班级的学生学习基础差，在
力分析 认知基础知识方面能力对比较弱，分析能力欠缺，所以
在思维上参差不齐；学生由于基础知识较差，所以在解
题能力上有待加强，对于比较复杂的题型，基本上处于
不懂状态；多数学生来自于大理州的各个县市，各校对
学生的要求有所不同，所以学习习惯差异大，对学生的
学习习惯养成方面还要改进。
、采用多媒体辅助教学。 教学策略选
2、分小组学习，让学生独立完成，通过类比分析， 择与设计
总结出指数函数的性质。
1.学生独立作图：如何画指数函数的图像
教学过程
2.有课本 Y=2x 3.类比分析、总结得出指数函数的性质：从画出的
图象中能发现一般规律。
1、通过学生自己画图，利用类比的方法得到指数
高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题2.24：指数函数(或复合)图象与性质的研究与拓展.docx
专题2.24：指数函数（或复合）图象与性质的研究与拓展【探究拓展】探究1：(0,1)x xx x a a y a a a a---=>≠+的定义域、值域、奇偶性和单调性怎么研究？ 变式1：已知函数1()1x x a f x a -=+(01)a a >≠且 （1）判断函数的奇偶性；（2）求函数()f x 的值域；（3）判断并证明函数()f x 的单调性变式2：函数y ＝e x ＋e －xe x －e －x 的图象大致为________．探究2：对于函数()f x ,若在定义域内存在实数x ,满足()()f x f x -=-，则称为“局部奇函数”（1）已知二次函数a x ax x f 42)(2-+=，试判断()f x 是否为“局部奇函数”， 并说明理由；（2）已知二次函数42)(2-+=ax ax x f ，试判断()f x 是否为“局部奇函数”， 并说明理由；（3）若()2xf x m =+是定义在区间[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （4）若()12423x x f x m m +=-⋅+-为定义域为R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；变式1：已知093109≤+⋅-x x ，求函数2)21(4411+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x x y 的最大值和最小值. 1,2 变式2：函数221x x y a a =+-(01)a a >≠且在[]-1,1上最大值为14,则a 的值为________变式3：已知函数()()1131242x x f x x λ-=-+-≤≤． （1）若32λ=时，求函数()f x 的值域； （2）若函数()f x 的最小值是1，求实数λ的值.解：（1）由()211()2()322x x f x λ=-⋅+，设1()2x t =，得()2123,,24g t t t t λ⎡⎤=-⋅+∈⎢⎥⎣⎦． （1）当32λ=时，()2233133(),,2244g t t t t t ⎡⎤=-+=-+∈⎢⎥⎣⎦， 当14t =时，()g t 的最大值为137()416g =； 当32t =时，()g t 的最小值为3(2)4g =，所以函数()f x 的值域为337,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）由()()2213,,24g t t t λλ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦， ① 当14λ<时，()min 1491()4162g t g λ==-，令4911162λ-=，得338λ=，不符合； ② 当2λ>时，()min (2)74g t g λ==-，令741λ-=，得32λ=，不符合； ③ 当124λ≤≤时，()2min ()3g t g λλ==-，令231λ-=，得2λ=±（舍负）．综上所述，2λ=．变式4：已知函数)(22)(R a a x f x x ∈-=，将)(x f y =的图象向右平移两个单位，得到 )(x g y =的图象.（1）求函数)(x g y =的解析式；（2）若方程a x f =)(在[]1,0上有且仅有一个实根，求a 的取值范围；（3）若函数)(x h y =与)(x g y =的图象关于直线1=y 对称，设)()()(x h x f x F +=，已知a x F 32)(+>对任意的()+∞∈,1x 恒成立，求a 的取值范围.变式5：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<⋅-≥+-=-ax a x ax x x f a x x ,244,,1)(2（4-≥a ），且函数)(x f 在R 上有最小值，求实数a 的取值范围. 21>a 探究3：若0,0>>b a ，且c b a =+，求证：（1）当1>r 时，r r r c b a <+；（2）当1<r 时，rr r c b a >+. 拓展1：设na n n x f x x x x +-++++=)1(321lg )( ，其中a 是实数，n 是任意给定的正整数，且2≥n . 如果)(x f 在(]1,∞-∈x 时有意义，则实数a 的取值范围是___________. 21->a 拓展2：设n a a a a ,,,,321 是各不相同的正整数，2≥a . 求证：21111321<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛an a a a a a a a探究4：若函数()(1)x f x a a =>的定义域和值域均为],[n m ，则a 的取值范围是________. 1(1,)e e 变式： 若存在实数m 使得m am =（其中)10≠>a a 且成立，则实数a 的取值范围是_____【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
《指数函数的图像和性质》示范公开课教学课件【高中数学人教】
减函数 非奇非偶函数，即无奇偶性
增函数
知识应用
例3 比较下列各题中两个值的大小： （1）1.72.5，1.73； （2）0.8 2 ，0.8 3 ； （3）1.70.3，0.93.1．
追问：类比幂函数中同类问题，应该如何求解？ 答案：可以借助函数观点分析，当两个指数幂底数相同，指数 不同时，可以将它们看成同一个指数函数的两个函数值，然后 结合函数的单调性比较大小.
根据这种对称性，就可以利用一个函数的图
象，画出另一个函数的图象，比如利用函数y
＝2x的图象，画出
y
1 2
x
的图象．如右图所
示．
探究新知
问题4
选取底数a(a＞0，且a≠1)的若干个不同的值，例如a＝3，
a＝4，
a＝
1 3
，
a＝ 1 4
在同一直角坐标系内画出相应的指数函数
的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪
归纳总结
问题4 你能用思维导图梳理本单元的研究内容和方法吗？ 答案：内容方法如图
敬请各 位老 师提 出宝 贵意见 ！
答案：完成的表格，和画出的函数y＝2x的图象如下．
x
y
-2
0.25
-1.5
0.35
-1
0.5
-0.5
0.71
0
1
0.5
1.41
1
2
1.5
2.83
2
பைடு நூலகம்
4
探究新知
问题3 为了得到指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质，我们还需要
画出更多的具体指数函数的图象进行观察．用同样的方法，在
同一直角坐标系内画出函数
些共性？根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写出指
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专题2.24：指数函数（或复合）图象与性质的研究与拓展
【探究拓展】
探究1：(0,1)x x
x x a a y a a a a
---=>≠+的定义域、值域、奇偶性和单调性怎么研究？ 变式1：已知函数1()1
x x a f x a -=+(01)a a >≠且 （1）判断函数的奇偶性；（2）求函数()f x 的值域；（3）判断并证明函数()f x 的单调性
变式2：函数y ＝e x ＋e －x
e x －e －x 的图象大致为________．
探究2：对于函数()f x ,若在定义域内存在实数x ,满足()()f x f x -=-，则称为“局部奇函数”
（1）已知二次函数a x ax x f 42)(2
-+=，试判断()f x 是否为“局部奇函数”， 并说明理由；
（2）已知二次函数42)(2
-+=ax ax x f ，试判断()f x 是否为“局部奇函数”， 并说明理由；
（3）若()2x
f x m =+是定义在区间[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （4）若()12423x x f x m m +=-⋅+-为定义域为R 上的“局部奇函数”
，求实数m 的取 值范围；
变式1：已知093109≤+⋅-x x ，求函数2)21(4411+-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-x x y 的最大值和最小值.1,2 变式2：函数221x x y a a =+-(01)a a >≠且在[]-1,1上最大值为14,则a 的值为________
变式3：已知函数()()1131242x x f x x λ-=
-+-≤≤． （1）若32
λ=时，求函数()f x 的值域； （2）若函数()f x 的最小值是1，求实数λ的值.
解：（1）由()211()2()322x x f x λ=-⋅+，设1()2x t =，得()2123,,24g t t t t λ⎡⎤=-⋅+∈⎢⎥⎣⎦
．
（1）当32λ=
时，()2233133(),,2244g t t t t t ⎡⎤=-+=-+∈⎢⎥⎣⎦， 当14t =
时，()g t 的最大值为137()416g =； 当32t =时，()g t 的最小值为3(2)4g =，所以函数()f x 的值域为337,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦
． （2）由()()2213,,24g t t t λλ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦
， ①当14λ<时，()min 1491()4162g t g λ==-，令4911162λ-=，得338
λ=，不符合； ②当2λ>时，()min (2)74g t g λ==-，令741λ-=，得32λ=
，不符合； ③当124
λ≤≤时，()2min ()3g t g λλ==-，令231λ-=
，得λ=．
综上所述，λ．
变式4：已知函数)(2
2)(R a a x f x x ∈-=，将)(x f y =的图象向右平移两个单位，得到 )(x g y =的图象.
（1）求函数)(x g y =的解析式；
（2）若方程a x f =)(在[]1,0上有且仅有一个实根，求a 的取值范围；
（3）若函数)(x h y =与)(x g y =的图象关于直线1=y 对称，设)()()(x h x f x F +=，
已知a x F 32)(+>对任意的()+∞∈,1x 恒成立，求a 的取值范围.
变式5：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<⋅-≥+-=-a
x a x ax x x f a x x ,244,,1)(2（4-≥a ），且函数)(x f 在R 上有最小值，求实数a 的取值范围.2
1>
a 探究3：若0,0>>
b a ，且
c b a =+，
求证：（1）当1>r 时，r r r c b a <+；（2）当1<r 时，r
r r c b a >+. 拓展1：设n
a n n x f x x x x +-++++=)1(321lg )( ，其中a 是实数，n 是任意给定的正整数，且2≥n .
如果)(x f 在(]1,∞-∈x 时有意义，则实数a 的取值范围是___________.21->
a
拓展2：设n a a a a ,,,,321 是各不相同的正整数，2≥a . 求证：21111321<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a
n a a a a a a a
探究4：若函数()(1)x f x a a =>的定义域和值域均为],[n m ，则a 的取值范围是________.1(1,)e e 变式：若存在实数m 使得m a
m =（其中)10≠>a a 且成立，则实数a 的取值范围是_____
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。