高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题2.24：指数函数(或复合)图象与性质的研究与拓展

专题2.24：指数函数（或复合）图象与性质的研究与拓展

【探究拓展】

探究1：(0,1)x x

x x a a y a a a a

---=>≠+的定义域、值域、奇偶性和单调性怎么研究？ 变式1：已知函数1()1

x x a f x a -=+(01)a a >≠且 （1）判断函数的奇偶性；（2）求函数()f x 的值域；（3）判断并证明函数()f x 的单调性

变式2：函数y ＝e x ＋e －x

e x －e －x 的图象大致为________．

探究2：对于函数()f x ,若在定义域内存在实数x ,满足()()f x f x -=-，则称为“局部奇函数”

（1）已知二次函数a x ax x f 42)(2

-+=，试判断()f x 是否为“局部奇函数”， 并说明理由；

（2）已知二次函数42)(2

-+=ax ax x f ，试判断()f x 是否为“局部奇函数”， 并说明理由；

（3）若()2x

f x m =+是定义在区间[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （4）若()12423x x f x m m +=-⋅+-为定义域为R 上的“局部奇函数”

，求实数m 的取 值范围；

变式1：已知093109≤+⋅-x x ，求函数2)21(4411+-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-x x y 的最大值和最小值.1,2 变式2：函数221x x y a a =+-(01)a a >≠且在[]-1,1上最大值为14,则a 的值为________

变式3：已知函数()()1131242x x f x x λ-=

-+-≤≤． （1）若32

λ=时，求函数()f x 的值域； （2）若函数()f x 的最小值是1，求实数λ的值.

解：（1）由()211()2()322x x f x λ=-⋅+，设1()2x t =，得()2123,,24g t t t t λ⎡⎤=-⋅+∈⎢⎥⎣⎦

．

（1）当32λ=

时，()2233133(),,2244g t t t t t ⎡⎤=-+=-+∈⎢⎥⎣⎦， 当14t =

时，()g t 的最大值为137()416g =； 当32t =时，()g t 的最小值为3(2)4g =，所以函数()f x 的值域为337,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦

． （2）由()()2213,,24g t t t λλ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦

， ①当14λ<时，()min 1491()4162g t g λ==-，令4911162λ-=，得338

λ=，不符合； ②当2λ>时，()min (2)74g t g λ==-，令741λ-=，得32λ=

，不符合； ③当124

λ≤≤时，()2min ()3g t g λλ==-，令231λ-=

，得λ=．

综上所述，λ．

变式4：已知函数)(2

2)(R a a x f x x ∈-=，将)(x f y =的图象向右平移两个单位，得到 )(x g y =的图象.

（1）求函数)(x g y =的解析式；

（2）若方程a x f =)(在[]1,0上有且仅有一个实根，求a 的取值范围；

（3）若函数)(x h y =与)(x g y =的图象关于直线1=y 对称，设)()()(x h x f x F +=，

已知a x F 32)(+>对任意的()+∞∈,1x 恒成立，求a 的取值范围.

变式5：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<⋅-≥+-=-a

x a x ax x x f a x x ,244,,1)(2（4-≥a ），且函数)(x f 在R 上有最小值，求实数a 的取值范围.2

1>

a 探究3：若0,0>>

b a ，且

c b a =+，

求证：（1）当1>r 时，r r r c b a <+；（2）当1

r r c b a >+. 拓展1：设n

a n n x f x x x x +-++++=)1(321lg )( ，其中a 是实数，n 是任意给定的正整数，且2≥n .

如果)(x f 在(]1,∞-∈x 时有意义，则实数a 的取值范围是___________.21->

a

拓展2：设n a a a a ,,,,321 是各不相同的正整数，2≥a . 求证：21111321<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a

n a a a a a a a

探究4：若函数()(1)x f x a a =>的定义域和值域均为],[n m ，则a 的取值范围是________.1(1,)e e 变式：若存在实数m 使得m a

m =（其中)10≠>a a 且成立，则实数a 的取值范围是_____

【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？