苏教版中考数学压轴题动点问题

苏教版中考数学压轴题动

点问题

Modified by JEEP on December 26th, 2020.

运动变化型问题专题复习

【考点导航】

运动变化题是指以三角形、四边形、圆等几何图形为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行考察研究的一类问题，这类试题信息量大，题目灵活多变，有较强的选拔功能，是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题的面目出现．解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住变化过程中的特殊情形，建立方程、不等式、函数模型．【答题锦囊】

例1 如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．

（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；

（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形

（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．

例２如图2，直角梯形CD

，AD=4，DC=3，动点P从点

A出发，沿A→D→C→B方向移动，动点P移动的路程为x，点Q移动的路程为y，线段

PQ平分梯形ABCD

（1）求y与x的函数关系式，并求出x y

，的取值范围；（2）当PQ∥AC时，求

x y

，的值；

（3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．

例3 如图3，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2

为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.

(1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；

(2)在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

例４如图7①，一张三角形纸片ABC沿斜边AB的中线CD把这张

纸片剪成

11

AC D

∆和

22

BC D

∆

11

AC D沿直线

2

D B（AB）方向平

移（点

12

,,,

A D D B始终在同一直线上），当点.在平移过程中，11

C D与

2

BC交于点E,

1

AC与222

C D BC

、分别交于点F、P.

⑴当

11

AC D

∆平移到如图7③所示的位置时，猜想图中的

1

D E与

2

D F的数量关系，并证明你的猜想；

⑵设平移距离

21

D D为x，

11

AC D

∆与

22

BC D

∆重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；

⑶对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原ABC

∆面积的

1

4

.若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.

【中考预

测】

⒈如图8①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜边上的中点．

如图8②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．

（1）当x为何值时，OP∥AC

Q B

M

图1

ＡC

D

Q P

Ｂ

图2

1

2

2

D

①

2

1

②

（2）求y 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．

（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．

（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456或 ＝， ＝， ＝）

⒉如图9，在平面直角坐标系中，两个函数

y=x ，6x 2

1

y +-=的图象交于点A ．动点P 从点O

开始沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ x y 3x (1)求直线AB 的解析式; (2)若S 梯形OBCD ＝

43

3

,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为

顶点的三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.

⒋如图11，在锐角ABC △中，9BC =，AH BC ⊥于点H ，且6AH =，点D 为AB 边上的任意一点，过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设ADE △的高AF 为(06)x x <<，以DE 为折线将

ADE △翻折，所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y （点A 关于DE 的对称点A '落在AH 所在的直线上）．

（1）分别求出当03x <≤与36x <<时，y 与x 的函数关系式； （2）当x 取何值时，y 的值最大最大值是多少

⒌如图12，在ABC ∆中，∠C=900，AC=4cm ，BC=5cm ，点D 在BC 上，且CD=3cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以s 的速度沿BC 向终点C 移动．过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ，连结EQ ．设动点运动时间为x 秒．

（1）用含x 的代数式表示AE 、DE 的长度；

（2）当点Q 在BD （不包括点B 、D ）上移动时，设EDQ ∆的面积为2()y cm ，求y 与月份x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 为何值时，EDQ ∆为直角三角形．

⒍如图13，在平面直角坐标系中，已知点(043)A ，

，点B 在x 正半轴上，且30ABO =∠．动点P 在线段AB 上从点A 向点B 以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t 秒．在x 轴上取两点

M N ，作等边PMN △． （1）求直线AB 的解析式；

（2）求等边PMN △的边长（用t 的代数式表示），并求出当等边PMN △的顶点M 运动到与原点O 重合时t 的值；

（3）如果取OB 的中点D ，以OD 为边在Rt AOB △内部作如图14所示的矩形ODCE ，点C 在线段AB 上．设等边PMN △和矩形ODCE 重叠部分的面积为S ，请求出当02t ≤≤秒时S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．

⒎如图15，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ． （1）求PA 的长；

（2）以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判断BE 与⊙A 是否相切，并说明理由；

（3）如图16，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作⊙A ；以点C 为圆

心，R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．

，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范围． 8.已知抛物线c bx ax y 2++=，经过点A （0，5）和点B （3，2） （1）求抛物线的解析式；

（2）现有一半径为1，圆心P 在抛物线上运动的动圆，问⊙P 在运动过程中，是否存在⊙P 与坐标轴相切的情况若存在，请求出圆心P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若⊙Q 的半径为r ，点Q 在抛物线上、⊙Q 与两坐轴都相切时求半径r 的值.

A

B

C P E E

A

B

C P

Ｄ 图15 图16 图8 图10 图11

E

A

P

图13

图14

图9