向量的几何表示-PPT课件
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向量代数与空间解析几何ppt课件
模：||a||=| |·||a||
0
>0: 与a相同
方向：
a
a=
<0: 与a相反
=0: a=0
运算律：
(1) (a)=()a= (a) 结合律
(2) (+)a=a+a (a+b)=a+ b
(3) 1·a=a, (–1)a= – a
分配律
2a 1a
2
定理1 b//a R , 使 b= a.
a 0，设 a°与a方向相同的一个单位向量，
R1 M1
P
P1 O
Q1
P2
M2 Q
N
y
Q2
P1P2 Q1Q2 R1R2 x
称 P1P2,Q1Q2,R1R2 为 M1M2 在Ox,Oy,Oz轴上的分向量 .
z
M 1 M 2P 1P 2Q 1 Q 2R 1R 2
R2
R
令 i, j, k 分别为沿Ox, Oy,
第 7章
向量代数与空间解析几何
§1 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
空间直角坐标系 Oxyz
z
坐标原点 O
坐标轴 Ox , Oy , Oz
坐标平面
O
y
•
xOy , yOz , xOz x
右手系
卦限
III z
II
VII
IV
x
VIII
I
o
y
VI
V
2. 点的投影 空间一点M在直线(或轴上)的投影
M•
d |M 1 M 2 | ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
由勾股定理
z
空间中点、直线和平面的向量表示课件
位置向量.
思考2 如何用向量表示空间中的直线？ 线→点+方向向量
几何中
向量中
一个点 + 一个方向
点
方向向量
l
a
P
B
A
如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 AB= a，设P是直
线l上的任意一点，由向量共线的条件可知：
点P在直线l上
充要条件
存在实数t，使得 AP = t a ，即 AP = t AB
z
D1
（2）求平面MCA1的一个法向量．
C1
分析：
(1) 平面BCC1 B1与y轴垂直,
A1
其法向量可以直接写出;
(2) 平面MCA1可以看成由MC , MA1 , CA1中的
两个向量所确定, 运用法向量与它们的垂直
关系, 可转化为数量积运算求得法向量.
B1
D
C
A
x
M
B
y
解: (1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面
BCC1B1的一个法向量.
(2) 因为AB 4, BC 3, CC1 2, M 是AB的中点, 所以M , C , A1的
坐标分别为(3, 2, 0), (0, 4, 0), (3, 0, 2)
因此MC (3, 2, 0), MA1 (0, 2, 2).
设 n2 ( x, y, z )是平面MCA1的法向量, 则n2 MC , n2 MA1 ,
（6）一个定点和一个定方向确定一个平面？
平面过点A，且 ⊥ ⇒ 是唯一的
l
如图，直线l⊥ ，取直线l的方向向量a，称向
a
量a为平面的法向量.
给定一个点A和一个向量a , 那么过点A, 且以
思考2 如何用向量表示空间中的直线？ 线→点+方向向量
几何中
向量中
一个点 + 一个方向
点
方向向量
l
a
P
B
A
如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 AB= a，设P是直
线l上的任意一点，由向量共线的条件可知：
点P在直线l上
充要条件
存在实数t，使得 AP = t a ，即 AP = t AB
z
D1
（2）求平面MCA1的一个法向量．
C1
分析：
(1) 平面BCC1 B1与y轴垂直,
A1
其法向量可以直接写出;
(2) 平面MCA1可以看成由MC , MA1 , CA1中的
两个向量所确定, 运用法向量与它们的垂直
关系, 可转化为数量积运算求得法向量.
B1
D
C
A
x
M
B
y
解: (1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面
BCC1B1的一个法向量.
(2) 因为AB 4, BC 3, CC1 2, M 是AB的中点, 所以M , C , A1的
坐标分别为(3, 2, 0), (0, 4, 0), (3, 0, 2)
因此MC (3, 2, 0), MA1 (0, 2, 2).
设 n2 ( x, y, z )是平面MCA1的法向量, 则n2 MC , n2 MA1 ,
（6）一个定点和一个定方向确定一个平面？
平面过点A，且 ⊥ ⇒ 是唯一的
l
如图，直线l⊥ ，取直线l的方向向量a，称向
a
量a为平面的法向量.
给定一个点A和一个向量a , 那么过点A, 且以
空间向量与立体几何PPT课件
⑶∵已知点 A、B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③
（4）对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平 面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
则 D(0,0,0),B
⑴ CD 0, 2，0
2,0,0
,PB
,C 2 2
0, 2,0 ,0, 2
2
,P ,
2 2
,0,
2 2
CD PB 0,CD PB,CD PB
⑵取平面 BDx,y,z)
PB
2021
6
4、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间两个向量的数量积的性质
注：空间向量的数量积具有和平面202向1 量的数量积完全相同的性质7 .
(三)空间向量的理论
1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数 使
17
例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角， 若 BC＝a，求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
分析:用几何法求两异面直 线所成的角关键在于巧妙地利 用平行线构造角,且能通过解三 角形的知识求出该角的大小.
若在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b ，借助向量的夹角 公式计算出这两个向量的夹角的大小就可得出两异面直线所
VD PBC
1 3
1 2
PB
PD
DC
1 3
1 2
（4）对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平 面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
则 D(0,0,0),B
⑴ CD 0, 2，0
2,0,0
,PB
,C 2 2
0, 2,0 ,0, 2
2
,P ,
2 2
,0,
2 2
CD PB 0,CD PB,CD PB
⑵取平面 BDx,y,z)
PB
2021
6
4、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间两个向量的数量积的性质
注：空间向量的数量积具有和平面202向1 量的数量积完全相同的性质7 .
(三)空间向量的理论
1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数 使
17
例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角， 若 BC＝a，求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
分析:用几何法求两异面直 线所成的角关键在于巧妙地利 用平行线构造角,且能通过解三 角形的知识求出该角的大小.
若在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b ，借助向量的夹角 公式计算出这两个向量的夹角的大小就可得出两异面直线所
VD PBC
1 3
1 2
PB
PD
DC
1 3
1 2
高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
第一章 向量代数 平面与直线.ppt
推论1.2 向量1, 2 , 3共面
存在不全为零的实数k1, k2 , k3, 使得
k11+k22+k33 = (即1, 2, 3线性相关).
第一章 向量代数 平面与直线
§1.2 空间坐标系
一. 仿射坐标系、直角坐标系
1. 线性表示
(1) 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个
||P1P2|| = (x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
7. 方向角和方向余弦
(1)非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为
此向量的方向角; 方向角的余弦称为此
向量的方向余弦.
z
z
z
CP
CP
P
O
B
O
B
O
y
y
y
xA
x
xA
a1 b1
=
a2 b2
=
a3 b3
第一章 向量代数 平面与直线
§1.3 向量的数量积, 向量积和混合积
例3. 求点P(4,4,1)到点A(1,0,1)和B(0,2,3)所
在直线的距离.
z
例4. 求同时垂直于向量
OP
= (1, 2, 2)和 =
A
y
(5, 4, 2)的单位向量. x
例5. 已知向量, , 有共
移到具有共同的起点.若它们符合右手法
则, 则与()在 与 所成平面的同
侧, 于是
S = ||||, h = ()
V = ()·
第一章 向量代数 平面与直线
向量在三角形中的应用课件
向量在三角形中的应用ppt课件
目录
向量基础向量在三角形中的表示向量在三角形中的应用向量与三角形问题的解决实例分析
01
CHAPTER
向量基础
向量的定义与表示是理解向量在三角形中应用的基础。
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。在数学中，向量常用字母表示，如$vec{A}$、$vec{B}$等。
向量的模等于三角形对应边的长度，即$|overset{longrightarrow}{AB}| = |AB|$。
向量的模与三角形边长的关系
两个向量的夹角等于它们所对应的三角形的内角，例如$angle A = angle overset{longrightarrow}{AB},overset{longrightarrow}{AC}$。
空间向量的表示
空间中的向量可以用三维坐标来表示，例如向量$overset{longrightarrow}{A(x_1, y_1, z_1)}$和$overset{longrightarrow}{B(x_2, y_2, z_2)}$表示从点A到点B的向量。
空间向量的运算
空间向量可以进行加法、数乘、向量的模等运算，这些运算与平面向量类似，但需要考虑三维坐标。
利用向量计算三角形边长
总结词
通过向量的模长，可以计算三角形的边长。
向量法计算边长
假设三角形三个顶点为A(1,2), B(3,4), C(5,6)，则向量a = (2,4)，向量b = (4,6)，计算得边长 = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(2^2 + 4^2) = sqrt(20)
实例
THANKS
感谢您的观看。
总结词
04
CHAPTER
目录
向量基础向量在三角形中的表示向量在三角形中的应用向量与三角形问题的解决实例分析
01
CHAPTER
向量基础
向量的定义与表示是理解向量在三角形中应用的基础。
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。在数学中，向量常用字母表示，如$vec{A}$、$vec{B}$等。
向量的模等于三角形对应边的长度，即$|overset{longrightarrow}{AB}| = |AB|$。
向量的模与三角形边长的关系
两个向量的夹角等于它们所对应的三角形的内角，例如$angle A = angle overset{longrightarrow}{AB},overset{longrightarrow}{AC}$。
空间向量的表示
空间中的向量可以用三维坐标来表示，例如向量$overset{longrightarrow}{A(x_1, y_1, z_1)}$和$overset{longrightarrow}{B(x_2, y_2, z_2)}$表示从点A到点B的向量。
空间向量的运算
空间向量可以进行加法、数乘、向量的模等运算，这些运算与平面向量类似，但需要考虑三维坐标。
利用向量计算三角形边长
总结词
通过向量的模长，可以计算三角形的边长。
向量法计算边长
假设三角形三个顶点为A(1,2), B(3,4), C(5,6)，则向量a = (2,4)，向量b = (4,6)，计算得边长 = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(2^2 + 4^2) = sqrt(20)
实例
THANKS
感谢您的观看。
总结词
04
CHAPTER
向量的加法运算及其几何意义PPT优秀课件
Aｎ-１
A2
A3
A1
A4
Aｎ
A1A2+A2A3+…+ Aｎ-１Aｎ+AｎA１ =____０___
例 1 ： 已 知 O 为 正 六 边 形 A B C D E F 的 中 心 ， 作 出 下 列 向 量 u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
当向 a与 量 b反向 , 若 时 ab, 则 ab的方 向a与 相,同 且 abab;
当向 a与 量 b反向 ,若 时 ab, 则 ab的方 向b与 相,同 且 abba.
已知 a8,b6,则ab的最大值和最1_4小 _, 2_
探究
向量加法的运算律
对于任意的向量 a ， b ，c ：
2.2.1向量的加法 运算及其几何意义
复习回顾:
向量的概念：
既有大小又有方向的量叫向量
向量的表示方法：
（1）几何表示法： 用有向线段表示
B(终点）
a
（2）代数表示法：
A(起点）
AB 或 a
向量的长度(或模)：| AB | 或 | a |
复习回顾:
零向量的概念： 长度（模）为0的向量，记作 0 单位向量概念： 长度（模）为1个单位长度的向量
B A
(2)作 ABa,ADb 共
(3)以AB,AD为邻边 作平行四边形ABCD
起
D
C 则 ACab
点
作平移,共起点,四边形,对角线
课堂练习（一）
１.如图,已知a、b，用向量加法的三角形法则 作出a+b．
(1)
a+b
b
(2)
b
a
a
A2
A3
A1
A4
Aｎ
A1A2+A2A3+…+ Aｎ-１Aｎ+AｎA１ =____０___
例 1 ： 已 知 O 为 正 六 边 形 A B C D E F 的 中 心 ， 作 出 下 列 向 量 u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
当向 a与 量 b反向 , 若 时 ab, 则 ab的方 向a与 相,同 且 abab;
当向 a与 量 b反向 ,若 时 ab, 则 ab的方 向b与 相,同 且 abba.
已知 a8,b6,则ab的最大值和最1_4小 _, 2_
探究
向量加法的运算律
对于任意的向量 a ， b ，c ：
2.2.1向量的加法 运算及其几何意义
复习回顾:
向量的概念：
既有大小又有方向的量叫向量
向量的表示方法：
（1）几何表示法： 用有向线段表示
B(终点）
a
（2）代数表示法：
A(起点）
AB 或 a
向量的长度(或模)：| AB | 或 | a |
复习回顾:
零向量的概念： 长度（模）为0的向量，记作 0 单位向量概念： 长度（模）为1个单位长度的向量
B A
(2)作 ABa,ADb 共
(3)以AB,AD为邻边 作平行四边形ABCD
起
D
C 则 ACab
点
作平移,共起点,四边形,对角线
课堂练习（一）
１.如图,已知a、b，用向量加法的三角形法则 作出a+b．
(1)
a+b
b
(2)
b
a
a
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D
记作 AB 。
E
长度
长度为0的向量
零向量，记作 0
0 0
长度为1个单位的向量 单位向量
AB AC AD AE AF 1.
a
向量与有向线段的区别与联系： 1、向量可以用有向线段表示； 2、向量可以任意移动。
E
D
F
O
C
A
B
O
A
AE d，AF e.
பைடு நூலகம்
ed
（5）向量 AB的大小，也就是 AB的长度（模），F
记作 AB 。
E
B
b C
c
D
长度
长度为0的向量
零向量，记作 0
0 0
长度为1个单位的向量 单位向量
AB AC AD AE AF 1.
在平面上把所有单位 向量的起点平移到坐 标原点O，那么它们 的终点的集合组成什 么图形？
2米
A
C
B
1米
A B 路程：2米；位移S=2。 A B C 路程：3米；位移S=1。
A
C
B
2.1 平面向量的实际背景及 基本概念
阅读教材P75，完成下列填空：
A
C
（1）数学中我们常用
表示向量。
（2）有向线段的三要素： （3）向量的基本要素： （4）请用符号表示下列图形中的向量：
。
。
B
a
AB a，AC b，AD c，
E
D
ED、FO、OC、FC F
DE、OF、CO、CF、BA
ED、FO、OC、DE、
OF、CO、BA
A
O
C
B
2、总结规律
E
D
F
O
C
A
B
EC
向量
定义：既有大小又有方向的量。 基本要素：起点、终点、长度。 图形表示：有向线段
符号表示：AB, a
长度表示：AB 特殊元素：零向量、单位向量 特殊关系：相等向量、平行向量（共线向量）
习题2.1 A组第1题
A
C
B
阅读教材P75，完成下列填空：
（1）数学中我们常用
表示向量。
（2）有向线段的三要素： （3）向量的基本要素： （4）请用符号表示下列图形中的向量：
。
。
B
a
AB a，AC b，AD c，
A
b C
AE d，AF e.
ed c
（5）向量 AB的大小，也就是 AB的长度（模），F