垂径定理优秀自己总结
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垂径定理垂径定理是数学几何中的一个重要定理，它解决了直径垂直于弦的问题。
在几何形体中，直径和弦是常见的概念。
定义在一个圆中，如果某条直径与一条弦垂直相交，那么这条直径被称为垂径。
理论证明假设我们有一个圆，直径为AB，弦为CD，且垂直相交于E点。
我们需要证明AE与BE相等。
首先，连接AC和BD，并延长直线AC和BD，分别交于F和G点。
根据垂直与切线的性质，可以得出四个直角三角形：AEC、EDB、AFB和EGC。
我们需要利用这四个直角三角形的性质来推导出AE与BE相等。
首先考虑直角三角形AEC和EDB，这两个三角形共有一边AE，因此我们可以利用直角三角形的边长关系依次得到以下两个等式：AE^2 + CE^2 = AC^2 (1)BE^2 + DE^2 = BD^2 (2)接下来考虑直角三角形AFB和EGC，这两个三角形也共有一边AE，而它们还有两边分别是FA、AG和GE、EB。
由于直角三角形的边长关系，我们可以得到以下两个等式：FA^2 + AE^2 = AF^2 (3)AG^2 + AE^2 = AG^2 (4)根据圆的性质，直径的两个端点到圆心的距离相等，即AC = BD。
由于AC = BD，我们可以将等式(1)和(2)进行简化：AE^2 + CE^2 = BD^2 (5)BE^2 + DE^2 = BD^2 (6)由于等式(5)和(6)左侧都包含AE，我们将它们相减，可以得到：AE^2 + CE^2 - (BE^2 + DE^2) = 0再根据等式(3)和(4)可以得到：FA^2 + AE^2 - (AG^2 + AE^2) = 0整理等式得到：FA^2 - AG^2 + CE^2 - DE^2 = 0化简得到：(FA^2 - AG^2) + (CE^2 - DE^2) = 0根据差的平方公式，我们可以进一步得到：(FA + AG)(FA - AG) + (CE + DE)(CE - DE) = 0将FA + AG替换为FG，CE + DE替换为CD，可以得到：FG * CD + FG * CD = 0进一步整理得到：2 * FG * CD = 0由于FG和CD都是正值，所以只能有FG = 0。
垂径定理知识点
垂径定理知识点1. 垂径定理说啦，垂直于弦的直径平分弦！就好像你有一根绳子，我拿一根直直的杆子从中间穿过，那这根杆子是不是就把绳子给平均分成两半啦！比如说，一个圆形的蛋糕，直径把它分成相等的两半，这就是垂径定理在起作用呀，是不是很神奇？2. 嘿，垂径定理还提到，平分弦的直径垂直于弦呢！这不就像拔河比赛，中间的红绳被公平地分成两半，那和地面肯定是垂直的呀！就像一个圆形的大饼，用刀平分它，这刀肯定和饼是垂直的呀，是不是很有意思呢？3. 你想想看呀，垂径定理告诉我们，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧！好比一把撑开的伞，伞骨垂直伞面，把伞面分成相等的部分，那同时也把下面的空间也给平分啦！比如一个圆形的池塘，中间有根柱子垂直立着，那柱子两边的水面区域就是相等的，超厉害的吧！4. 不得了哦，垂径定理里说平分弦所对的一条弧的直径，必垂直平分这条弦！就好像英雄总是和他的武器相得益彰，武器能发挥最大威力，英雄也能更厉害！像个钟的指针，钟的中心轴线平分了指针划过的弧，那必然也和指针是垂直的呀，多形象呀！5. 哇塞，垂径定理也包括平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦呢！这就好像有个神奇的魔法棒，只要一挥，就能让东西变得整齐有序！比如一个摩天轮，中间的轴既能把那些车厢走过的弧平分，又能让连接车厢的杆子垂直，这就是垂径定理的魅力呀！6. 哎呀呀，垂径定理还有哦，弦的垂直平分线经过圆心！这简直就像是给圆心找到回家的路一样清楚明白呀！好比你放风筝，线的垂直平分线肯定是要经过风筝的中心呀！像个圆形的轮子，轮子上一根线的垂直平分线肯定会经过轮子中心，是不是很明了？7. 最后呢，平分弦的直径，不一定垂直于弦哦！这就好像不是所有的好人都一定是强壮的一样。
比如有根不太直的棍子平分了一根线，但它们不一定是垂直的呀。
垂径定理真的很有趣呢，我们一定要好好掌握呀！我的观点结论就是：垂径定理非常的神奇和有趣，在很多方面都有重要的应用，我们要多多去理解和运用它呀！。
人教版初中数学垂径定理知识点总结
人教版初中数学垂径定理知识点总结一、垂径定理的定义垂径定理是关于直径和过该直径的直线（或圆）交于圆内两点之间的线段长度和关系的重要定理。
如果一个直径和一条过该直径的直线交于圆内两点，那么这条直径平分过这两点的线段，并且这条直径垂直于过这两点的直线。
二、垂径定理的表述1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
2.垂直于弦的直径平分弦（不是直径），并且平分弦所对的两条弧。
3.垂直于弦的直径平分过弦的两条直线，并且平分弦所对的两条弧。
三、垂径定理的应用垂径定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与圆和直径相关的问题时。
例如，可以利用垂径定理来证明圆的性质，如圆的对称性、圆的周长和面积等。
此外，垂径定理还可以用于解决与圆和直线相关的问题，如求圆的半径、确定圆的中心等。
四、垂径定理的推论1.从圆心到弦的垂线是弦的中垂线。
2.圆内一条弦的两端到圆心的距离相等。
3.圆内一条过圆心的弦最短，其长度为圆的直径。
4.圆内一条不过圆心的弦最短，其长度等于从圆心到弦中点的线段长。
五、垂径定理的证明垂径定理可以通过以下两种方法证明：1.直接证明法：通过作图和推理，直接证明垂径定理。
这种方法比较直观和简洁，但需要一定的几何知识和推理能力。
2.代数法：利用圆的性质和代数运算，证明垂径定理。
这种方法比较抽象，但具有普适性，可以用于证明其他类似的定理。
六、注意事项1.在使用垂径定理时，要注意区分直径和其他弦的区别，避免混淆。
2.在作图时，要确保所作的线段是垂直于弦的直径，否则将无法使用垂径定理。
3.在解决实际问题时，要根据具体情况选择合适的方法来应用垂径定理。
七、垂径定理的应用场景1.确定圆的形状和大小：垂径定理可以用于确定圆的形状和大小。
例如，通过测量圆的直径或半径，可以确定圆的大小；通过观察垂径定理的各种表现，可以判断圆的状态和形状。
2.计算圆的周长和面积：垂径定理可以用于计算圆的周长和面积。
例如，通过已知的直径或半径，可以计算出圆的周长和面积。
垂径定理及其推论
圆部分知识点总结垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
点和圆的位置关系设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：d<r ⇔点P 在⊙O 内；d=r ⇔点P 在⊙O 上； d>r ⇔点P 在⊙O 外。
过三点的圆1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线L 的距离为d,那么：直线L 与⊙O 相交⇔d<r ；直线L 与⊙O 相切⇔d=r ； 直线L 与⊙O 相离⇔d>r ；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
垂径定理方法总结
垂径定理方法总结
垂径定理超厉害好不好！它可不仅仅是一个数学定理，更是解决很多问题的利器呢！那垂径定理到底咋用呢？首先，找到圆的一条弦和过圆心的垂线。
这就像在茫茫大海中找到一艘船和它的航线一样关键。
接着，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
这一步就如同找到了打开宝藏的钥匙，一下子就能得出好多重要的结论。
在运用垂径定理的过程中，安全性那是杠杠的。
只要找准了弦和直径，按照定理来操作，就不会出错。
稳定性也没得说，就像一座坚固的桥梁，稳稳地连接着各种数学问题。
那垂径定理都用在啥场景呢？在解决圆的相关问题时，它可是大显身手。
比如求弦长、弧长、圆心角等等。
优势那可多了去了，能快速准确地得出答案，让你在数学的海洋中如鱼得水。
举个实际案例吧！比如说有一个圆，已知一条弦长和圆心到弦的距离，让你求圆的半径。
这时候垂径定理就派上用场啦！通过垂直于弦的直径平分弦这个性质，再结合勾股定理，就能轻松求出半径。
哇塞，是不是超厉害？
垂径定理就是这么牛，用起来方便快捷，安全性和稳定性都超高，应
用场景广泛，优势明显。
赶紧把它用起来吧！。
教学反思(垂径定理)
乐教乐学之我见--------教《垂径定理》第一课时的反思周爱红“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，构建高效课堂之声频频入耳，但实效甚微，很多空喊不干，我觉得就是没实施、没领悟好这一诗句的真谛。
我们走在第一线的教师，入心地走进教材，深入了解学生的认知能力，其实对上好每堂课是个必备的前奏，那才能感悟到育人的快乐!刚刚讲完《垂径定理》第一课时的内容，自我有些许的满足感，因为我入心了，入情了。
在上课之前，我精心设计了课题的引入、定理的推理、定理的引申、应用，整堂课下来预设的基本程序和任务都算是圆满完成。
起初新课的引入我用了实物---圆，把圆进行对折操作让学生清晰地看到了圆是轴对称图形并说出它的对称轴，让学生从感性认识上升到理性认识，而且还锻炼了学生的对数学知识的归纳总结的能力。
接着以实物转化为黑板上的示意图进入下一环节，当这个折痕把圆中的某条弦垂直且平分，那么你能得到圆中哪些相等的线段与弧？学生围绕这个问题热烈地讨论出了相等的线段和弧的结论，然后各抒己见地分别证明其结论的正确性。
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，当学生选择不同的证明方法时，我有意地让他们比较证明方法的优劣，那么他们就会在不经意中学会了解题要走捷径是多么自豪轻松的事情。
在这个精彩时刻我画龙点睛地板书了课题----垂径定理，与此同时趁热打铁地要学生总结什么是垂径定理的内容，并分清命题的题设和结论。
当然我作为引导者绝不放过定理的形成过程的任何一个细节，当学生总结出定理后，在黑板上板书时我分别用不同颜色的粉笔区分了命题的题设和结论，我认为用颜色来冲击他们的视觉更能加深印象，也减轻了教师千叮咛万嘱咐的麻烦。
定理形成后剩下的是让学生熟悉如何把文字命题转化为几何演绎推理格式，也更是为后期的教学服务。
随之而来的是定理的巩固，这个环节我安排的习题先是直接运用定理，接着引申定理，把定理中的“直径”引申扩充为“过圆心的某条直线”来开阔学生的视野进行解题而且使之知识的消化得以升华。
垂径定理的知识点
垂径定理的知识点垂径定理是平面几何中常用的一个定理，它是指在一个圆中，一个角的顶点在圆上，另外两个角的顶点分别在这个角的两边上，那么这两个角的顶点连线所在的直径与这两个角的对边垂直。
垂径定理是解决与圆相关的问题时的重要工具，它有着广泛的应用。
我们来看一个简单的例子。
假设在一个圆中，有一个角的顶点在圆上，另外两个角的顶点分别在这个角的两边上。
我们可以通过连线，将这两个角的顶点与圆心相连，得到两条半径。
根据垂径定理，我们可以知道，这两条半径与这两个角的对边垂直。
垂径定理不仅适用于角的情况，还可以应用于直线与圆的关系。
例如，如果一条直线与一个圆相交，并且与圆心连线的中点在圆上，那么这条直线与圆的切点之间的线段垂直于直线。
除了以上的应用，垂径定理还可以用来证明一些几何性质。
例如，可以利用垂径定理证明圆的切线与半径的垂直性。
具体来说，如果一条直线与一个圆相切，并且该直线与圆心连线的中点在圆上，那么该直线与圆的切点之间的线段垂直于直线。
这个性质在解决圆的相关问题时经常会用到。
垂径定理的应用不仅局限于平面几何，还可以扩展到立体几何中。
例如，在一个球体上，如果一个平面与球面相切，并且与球心连线的中点在球面上，那么该平面与球的切点之间的线段垂直于平面。
除了以上的几何应用外，垂径定理还可以用来解决一些实际问题。
例如，在建筑设计中，如果要确定一个柱子的竖直性，可以利用垂径定理。
具体来说，可以利用一个圆盘和一个垂直于圆盘的直尺，通过测量圆盘和柱子之间的距离，来确定柱子是否竖直。
总结来说，垂径定理是平面几何中的一个重要定理，它可以用来解决与圆相关的问题，证明几何性质，以及应用于实际问题中。
掌握垂径定理的应用，可以帮助我们更好地理解和解决与圆相关的几何问题。
通过不断练习和应用，我们可以提高自己的几何思维能力，更好地应对各种几何问题的挑战。
垂径定理九年级数学知识点
垂径定理九年级数学知识点垂径定理是九年级数学中的一个重要知识点，它涉及到平面几何的基本概念和性质。
在学习垂径定理之前，我们先来了解一下什么是垂径。
一、垂径的定义和性质垂径是在平面上与一条直线垂直相交的线段。
根据垂径的定义，我们可以得到以下性质：1. 一个点到直线的垂径只有一个。
2. 直径的两个垂径互相垂直。
3. 如果两条直径互相垂直，那么它们一定相交于圆的圆心上。
了解了垂径的定义和性质，我们就可以进一步探讨垂径定理了。
二、垂径定理的表述垂径定理是指：如果一条直径和一条垂径相交于圆上的一个点，那么这条垂径所对的弧就是直径所对的弧的一半。
换句话说，直径和垂径所对的弧互为一半。
三、垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过利用圆的基本性质和几何知识来完成。
下面我们通过具体的例子来进行证明。
假设在圆O中，AB是直径，CD是与AB垂直相交于点E的垂径。
我们要证明的是：弧CD是弧AB的一半。
首先，连接OA和OB。
根据垂径的性质，我们知道OA和CD互相垂直，所以OA和CD构成一对垂直线段。
同样地，OB和CD也构成一对垂直线段。
由于OA和OB是圆的直径，所以它们穿过圆心O，并且与圆相交于圆上的两个点A和B。
根据圆的性质，直径的两条垂径与圆相交的弧互为一半。
因此，我们可以得出结论：弧CA等于弧CB的一半。
根据弧度的性质，我们知道弧度等于圆心角的度数。
所以弧度CA等于角CBA的度数。
同理，弧度CB等于角CAB的度数。
既然我们已经知道角CBA和角CAB是互补角，而且它们的两条弧互为一半。
所以我们可以得出结论：弧CD等于弧AB的一半。
四、垂径定理的应用垂径定理的应用非常广泛，不仅在九年级的几何学中常常被使用，而且在实际生活中也可以见到它的应用。
例如，在建筑设计中，我们经常会使用垂径定理来确定建筑物的位置和相对位置。
通过利用垂径定理，我们可以确定建筑物的中心位置，从而达到平衡和美观的效果。
此外，在航空和导航领域，垂径定理也被广泛运用。
垂径定理教研活动反思(3篇)
第1篇一、活动背景垂径定理是几何学中一个重要的定理，它描述了圆的性质。
为了更好地理解和应用垂径定理，提高数学教学质量，我校数学教研组于近日组织了一次关于垂径定理的教研活动。
本次活动旨在通过集体备课、课堂观摩、教学研讨等形式，促进教师对垂径定理的深入理解和教学方法的创新。
二、活动内容1. 集体备课在活动前期，教研组组织了集体备课。
备课过程中，教师们共同探讨了垂径定理的基本概念、证明方法以及在实际教学中的应用。
通过集体备课，教师们对垂径定理有了更加全面的认识，为后续的教学工作奠定了基础。
2. 课堂观摩活动当天，教研组邀请了经验丰富的教师进行课堂观摩。
观摩课上，教师们展示了多种教学方法，如引导学生自主探究、小组合作学习、多媒体辅助教学等。
课堂气氛活跃，学生参与度高，教学效果显著。
3. 教学研讨观摩课后，教研组组织了教学研讨。
教师们针对观摩课的教学设计、教学方法、课堂管理等方面进行了深入讨论。
在讨论过程中，大家互相借鉴、取长补短，共同提高了对垂径定理教学的认识。
三、活动反思1. 教学内容方面本次活动使教师们对垂径定理有了更加深入的理解。
在备课过程中，教师们对定理的证明过程进行了详细分析，明确了垂径定理的应用条件。
在教学过程中，教师们注重引导学生自主探究，培养学生的逻辑思维能力。
2. 教学方法方面本次活动展示了多种教学方法，如多媒体辅助教学、小组合作学习等。
这些方法能够激发学生的学习兴趣，提高课堂效率。
在今后的教学中，教师们可以结合实际情况，灵活运用这些教学方法，提高教学质量。
3. 课堂管理方面在观摩课中，教师们注重课堂管理，保证了课堂教学的顺利进行。
在研讨过程中，教师们认识到，课堂管理是教学成功的关键。
因此，在今后的教学中，教师们应加强课堂管理，关注学生的学习状态，营造良好的学习氛围。
4. 教研活动方面本次活动促进了教师之间的交流与合作。
在集体备课、课堂观摩、教学研讨等环节，教师们互相学习、共同进步。
今后，教研组应继续组织类似的教研活动，为教师们提供更多交流、学习的平台。
垂径定理的结论
垂径定理的那些事儿嘿，小伙伴们，今天咱们来聊聊数学中一个特别实用、也特别有趣的定理——垂径定理。
如果你正在学习平面几何，特别是和圆有关的部分，那么这个定理肯定是你的好朋友。
它不仅能帮你解决很多头疼的问题，还能让你的解题思路更加清晰明了。
一、什么是垂径定理？首先，咱们得知道垂径定理长啥样。
简单来说，垂径定理就是：垂直于弦的直径会平分这条弦，并且还会平分这条弦所对的两条弧。
听起来有点绕，不过别急，咱们慢慢分解。
想象一下，你手里有一个圆规画出来的圆，然后你在圆上随便找一条弦（就是圆上两点之间的线段），再画一条经过圆心、并且垂直于这条弦的直径。
根据垂径定理，这条直径会把弦分成两段相等的部分，同时还会把弦所对的两条弧（不管是优弧还是劣弧）也分成相等的两部分。
数学表达就是：如果直径DC垂直于弦AB于点E，那么AE等于EB，弧AD等于弧BD（包括优弧和劣弧），半圆CAD等于半圆CBD。
二、垂径定理的推论垂径定理可不是个“独行侠”，它还有几个特别实用的推论，咱们一一来看。
推论一：如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必定垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧。
这个推论就像是垂径定理的“小跟班”，它告诉我们，如果直径和弦有了“平分”的关系，那么它们之间就一定有“垂直”的关系。
推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
这个推论就像是弦的“守护者”，它告诉我们，弦的垂直平分线一定会经过圆心，就像守护圆心一样，同时还会平分弦所对的弧。
推论三：如果一条直径平分了一条弦所对的一条弧，那么这条直径必定垂直平分这条弦，并且也平分弦所对的另一条弧。
这个推论就像是垂径定理的“双胞胎兄弟”，它们之间有很多相似之处，只是条件和结论稍微变了个位置。
推论四：在同一个圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
这个推论就像是平行线的“好伙伴”，它告诉我们，在同一个圆或者等圆中，如果两条弦平行，那么它们所夹的弧（无论是优弧还是劣弧）都是相等的。
垂径定理总结提升教学反思
垂径定理总结提升反思
数学知识来源于生活，同时也服务与生活，在教学这一课时我
从实际引入，采用了大量的生活情境，为同学创造了探索知识的条件，巩固新知识。
课堂中，我营造了宽松的学习氛围，让学生参与
到学习过程中去，自主探索，大胆发表自己的观点，让学生在自主
探索中获得了不断的发展。
1.思维往往是从动手开始的，在教学中，引导学生用多种感官
参与到知识的生成过程中。
2.让学生养成在众多意见中进行甄别、选择的习惯，使学生在
实践的过程中形成了自己独特的数学学习方法反思今后在教学中
我需要解决的问题，主要是要注重提高学生分析问题、解决实际问
题的能力。
3.大胆尝试信息技术教学。
利用思维导图建了一个完整的知识
架构，明确了垂径定理知识之间的联系，使学生对知识的印象更加
深刻，理解也更加透彻；利用课件教学将垂径定理以声音和图像的
形式展示在学生面前，大大丰富了教学内容的表现力和外在张力，
其中PPT动态演示，可以把知识的形成过程直观、生动、便捷地展
现在学生面前，帮助学生掌握其内在规律，完成知识构建。
在今天这样一个信息化时代，数学教师应该以丰富的信息资源
为基础，以现代信息技术为支撑，信息技术与数学教学的有机结合，为初中数学学科的教学提供了良好的学习环境，让学生在课堂上的
主体学习地位得以真正确立，使新课程倡导的自主学习、探究学习、合作学习得以真正实现，使终身教育和学习社会化成为可能。
《垂径定理》教学反思
《垂径定理》教学反思
《垂径定理》教学反思
垂径定理是圆的一个应用最为广泛的定理，且在实际生活中实例较多，因此学生必须掌握。
教材对本节内容的安排是有赵州桥的问题設疑，在探究圆的对称性，从而得出垂径定理及推论，最后再利用垂径定理解决赵州桥问题，即“設疑——探究——归纳——解决问题（应用）”，这样安排能吸引学生的注意力，唤起探究的兴趣。
在教学中我认为先出示问题，学生的心老悬着，于是没按教材安排教学。
先让学生探究圆的对称性、垂径定理及推论，再出示实际问题应用垂径定理解决。
本以为自己的安排流畅，便于学生掌握知识，应用知识，但是上完课后，我发现这样的安排存在着较大的问题：
1.学生缺乏学习兴趣，求知欲不强
若先设置问题，很容易引起学生解决问题的欲望，从而兴趣浓厚的完成后变得内容。
而我的安排使课堂枯燥化，学生的兴趣和求知欲没有充分调动起来。
2.扼杀了学生学习的主动性
新课标要求把课堂还给学生，教师通过不同的教学策略让学生主动参与活动，探究新知，而我的安排恰恰没有给学
生提供主动学习的机会，还是偏重了知识的传授。
3.课堂教学以考点为本，议题为本，失去教的意义
因九年级面临中考，我上课大多数有意识的偏重中考考点，又因本节内容中考中应用较为普遍，于是为节省时间多训练题，而忽视了“教”的意义，使课堂索然无味。
面对这种状况，我认真反思后，及时调整自己的教学方法，今后应从以下入手：
1.一切以新课标要求为准，重在学生的“学”，充分调动学
生的积极性。
2.课堂教学设计教师重在引导、设疑、组织活动、答疑，
学生重在探究、应用。
3.使新课的教学与中考考点题型训练相结合，达到和谐。
垂径定理的结论
垂径定理的结论在圆的世界里，垂径定理是一个极其重要的性质，它就像一把神奇的钥匙，能够帮助我们解开许多与圆相关的几何谜题。
垂径定理的表述为：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
这看似简单的一句话，却蕴含着丰富而深刻的数学内涵。
我们先来理解“垂直于弦的直径”这一前提条件。
直径是通过圆心的线段，它是圆中最长的弦。
而垂直于弦，则意味着直径与弦形成了一个直角。
想象一下，在一个圆中，一条直径稳稳地立在一条弦上，并且与弦相互垂直，这样的画面是不是很清晰？接下来，我们看“平分弦”这一结论。
直径将弦分成了两段相等的部分。
比如说，有一条弦的长度是 10 厘米，那么被直径平分后，两段的长度都是 5 厘米。
这就好像是一把公平的尺子，把弦平均地分成了两份。
再说说“平分这条弦所对的两条弧”。
弦在圆中把圆分成了两条弧，一条优弧和一条劣弧。
而垂径定理告诉我们，垂直于弦的直径会把这两条弧也分成相等的两部分。
这就好比是把一块蛋糕沿着中间切一刀，两边的大小完全相同。
垂径定理的证明其实并不复杂。
假设圆的圆心为 O，弦为 AB，直径为 CD 且垂直于 AB 于点 E。
因为圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线。
而直径 CD 正是经过圆心的直线，所以沿着 CD对折，点 A 会与点 B 重合，弧 ACB 会与弧 ADB 重合。
这就直观地证明了直径 CD 平分弦 AB 以及弦 AB 所对的两条弧。
垂径定理在解决实际问题中有着广泛的应用。
比如，在建筑工程中，设计师们常常需要根据圆的特性来设计圆形的结构。
当需要确定某个圆弧形构件的弦长或者弧长时，垂径定理就能发挥重要作用。
通过测量圆的直径以及弦与直径的垂直距离，就能够计算出弦长和弧长，从而保证构件的尺寸准确无误。
在数学考试中，垂径定理也是经常出现的考点。
例如，给出一个圆的直径和弦的长度，让求弦所对的弧的长度；或者已知弦的长度和弧的度数，让求圆的直径等等。
我们再深入思考一下垂径定理的逆定理。
垂径定理优秀自己总结52页文档
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
垂径定理优秀自己总结
36、如果Leabharlann 们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
垂径定理优秀自己总结111
看一看
C C
.
A
O A B
.
O
E B
E D
D
AE≠BE
AE＝BE
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
线段： AE=BE 弧：ＡＣ＝ＢＣ
C
⌒
⌒
，ＡＤ＝ＢＤ
E
A
⌒
⌒
·
A 18.7 R O 7.2 D B
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
巩固练习
1.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，
13 则这弓形所在的圆的半径为 cm 4
⌒ ⌒
M
C A
∵AB∥CD，∴MN⊥CD。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分 弦的直径平分弦所对的弦） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AM－CM＝BM－DM ⌒ ⌒ ∴AC＝BD
.O
N
D B
夹在两条平行弦间的弧相等.
小结:
A
M B A C C A O E
. O
.
.O
N
D B
D
B
解决有关弦的问题，经常是
O
D
B
N
M
O
C
A B N
探索二：
② MN⊥AB ③ AC=BC
①直线MN过圆心O ④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN
推论:
(2)弦的垂直平分线 经过圆心,并且平分弦 所对的两条弧;
《垂径定理》的教学反思
《垂径定理》的教学反思引言在初中数学教学中，《垂径定理》是一个重要的定理，它涉及到直角三角形的性质。
正确理解和掌握该定理对学生掌握几何知识具有重要意义。
本文将对我在教授《垂径定理》时的教学反思进行详细展开。
一、教学目标的设定在初中数学教学中，教学目标的设定是非常关键的。
对于《垂径定理》这一知识点，我的教学目标是让学生能正确理解和应用该定理，能够运用该定理解决直角三角形问题。
同时，我希望通过教学能够培养学生的观察力和逻辑思维能力。
二、教学策略的选择在教学中，我采用了多种教学策略。
首先，我通过提问的方式引导学生思考和发现规律。
通过引导问题，我使学生能够主动参与到课堂中来，激发他们对知识的兴趣。
其次，我采用了探究性学习的方法。
在介绍《垂径定理》之前，我给学生展示了一些直角三角形的几何模型，让学生自己观察并发现相关特点，从而引导学生主动思考，培养他们的观察力。
最后，我还设计了一些问题让学生进行合作解决。
通过合作学习，学生能够相互交流和合作，促进他们的自主学习和解决问题的能力。
三、教学过程的安排在教学过程中，我将《垂径定理》的教学内容分为三个部分。
首先，我介绍了《垂径定理》的概念和相关性质。
通过讲解和示意图，我向学生阐述了定理的内容，并引导学生思考为什么该定理成立。
其次，我通过一些例题来帮助学生巩固和应用该定理。
在解题的过程中，我鼓励学生使用得到的知识去分析问题，并采用不同的解题方法。
最后，我设计了一些拓展问题，让学生运用所学知识解决更加复杂的问题，提高他们的综合运用能力。
四、教学效果的评价教学效果的评价是对教学成果进行总结和反思的一种重要手段。
通过对《垂径定理》的教学进行评价，我发现一些问题。
首先，学生对于定理的理解还不够深入。
尽管我通过问题引导和讲解等方式帮助学生理解，但有些学生仍然对定理的原因不够清楚。
其次，学生在应用定理解题时存在一定的困难。
一些学生在解题时不能正确运用定理，或者不能选择合适的解题方法。
垂径定理听课心得
垂径定理听课心得
通过学习垂径定理，我知道了垂径定理是数学平面几何（圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。
老师让我们拿出自己手中的圆形图片对折圆，找出圆心。
是两条互相垂直的直径得出圆心，有些同学折的是两条斜交的直径得出圆心，但方法都很好。
让两条互相垂直的直径其中一条不动，另一条直径向下平移，变成条普通的弦，并且和原来的一条直径仍然保持垂直关系。
老师让我们在自己的图片上画出与直径垂直的弦，并让他们把圆形图片沿直径对折，老师会问我们会发现什么结论? (平分弦。
也平分弦所对的两条弧)。
最后老师引导我们归纳出垂经定理的内容，教师再补充、强调并板书。
通过这一探究过程，我们都参与到课堂中去，并提升了动手操作和创新的能力，也激发了自己探究问题的兴趣，我们就在这种轻松、愉快的活动中掌握了垂径定理，这是在这节课中我感觉最棒的地方。
《垂径定理》的教学反思
《垂径定理》的教学反思“ 垂直于弦的直径”是圆的重要性质之一，也是全章的基础之一，在整章中占有举足轻重的地位是今后研究圆与其他图形位置关系和数量关系的基础，这些知识在日常生活和生产中有广泛的应用，因为垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，所以，它是整节书的重点，因为垂径定理的题设和结论都较复杂，所以，理解和证明定理是本节课的难点，在教学中也是一节较难把握的课。
在垂径定理这节课中,我获益良多主要体现在以下几个方面：一.注重结论的表述在数学教学中，一些结论的表述是很重要的,而我在这节课上有些表述确实不是很准确；而且我在课堂上,尤其是知识点的联系方面的引导词,更加需要再努力钻研。
今后我将在这方面下工夫,在去听其他数学老师的课时,要注意其他老师在知识点同知识点之间的过渡语句.二.注重透彻的剖析一些该让学生知道的知识点,点拨得不够透彻.如CD是直径,其实应该能够拓展为过圆心的直线; 不能够用数量关系求的,应该要适当地引导学生设未知数.而不是直接告诉学生这种题目就是要设未知数. 同样在已知一条边,不够条件求解时,也要引导学生利用未知数来解题的这种题目,引导得不够,或者说引导得不够深刻,学生就会觉得是老师直接将知识倒向他,而他不一定能接受.三.注重导学案的设计在学案设计方面,在时间上把握得不够准确,设计的学案内容太多,在这节课上如果估计过量已经充足的话,垂径定理的推论其实能够放在下节课.这样就不会使得后面讲推论的时间太短,太仓促.前面在复习的部分应该加些关于勾股定理的计算的题目,使学生在后面解直角三角形时能够更加快,更熟练;而在多媒体中练习题量太小,而且是题型太单一,能够再多做些找相等的量的基础训练。
四.注重常规辅助线的总结其实这节课还有个作图思想要灌输给学生,即教学生如果见到弦心距,弦,那么直接连半径构成直角三角形;如果就是只知道一条弦的题目,就要连弦心距都要作出来,而这两种题目我的训练都不到位.通过反思这个课的课堂教学，我发现绝绝大部分学生对知识的理解不够，不能灵活应用知识于实际生活（求赵州桥主桥拱的半径）。
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讨论
（1）过圆心（2）垂直于 弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分 弦所对的劣弧
C
A M└
B
●O
D
（1） （3）
（2） （4）
（2） （4） （1） （5） （4）
（2） （1） （3） （5） （5）
（2） （3） （4）
B
结论：
②MN⊥AB ④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN
垂径定理的推论
如图: AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM 连接OA,OB,则OA=OB.
在△OAM和△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，AM=BM
∴△OAM≌△OBM.
C
∴∠AMO= ∠ BMO.
A M└ ●O
D
B ∴CD⊥AB ∵⊙O关于直径CD对称,
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来 说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化 为解直角三角形的问题 。
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
二、填空：
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm。
O AE B
2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。
O AE B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 2 3cm。
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒⌒
⌒⌒
∴A⌒C =AB⌒CC和, AB⌒DC重=B⌒合D,. AD和BD重合.
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论1.
(1)平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦，并且平分
M
弦所对的两条弧。
A
一个圆的任意两 条直径总是互相平分，C 但是它们不一定互相 垂直。因此这里的弦 如果是直径，结论就 不一定成立。
上述五个条件中的任何两个条件都可以 推出其他三个结论
一、判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦
C
A M└
B
●O
④平分弦的直径垂直于这条弦
D
⑤弦的垂直平分线这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
22
·
在Rt △ AOE 中
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2：已知：如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D两点。
求证：AC＝BD。
O.
A
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
结论
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和 一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
⑤
⌒
AN=
⌒
NB
想一想 P90
6
垂径定理三种语言
驶向胜利 的彼岸
定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
C
A
M└
●O
D
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
以下三个图,是否有 AE=BE
⌒⌒ , AC=BC
⌒⌒ , AD=BD
?
C
C
CB
AE
D O
B N
M
O
A
探索二：
② MN⊥AB ③ AC=BC
C B
N
①直线MN过圆心O ④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN
推论:
(2)弦的垂直平分线 经过圆心,并且平分弦 所对的两条弧;
M
O
C
A
探索三：
N
①直线MN过圆心O ⑤弧AN=弧BN
B
② MN⊥AB ③ AC=BC ④弧AM=弧BM
推论1:
可以发现：圆是轴对称图形，任意一条直径所 在直线都是它的对称轴．
看一看
C
.O
A E B D
AE≠BE
C
.O
A
E
B
D
AE＝BE
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
线段： AE=BE
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
O
O
O
E
E
A
BA
B
D
D
D
直径垂直弦 才能平分弦,平分弦所对的弧.
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
B
C
A
C D
O
E
C
D
AE
B
D
O
BA
E
B
C
练习
如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8厘米，圆心 A
O到AB的距离为3厘米，
求⊙O的半径。
E
B
.
O
解：连结OA. 过O作OE⊥AB，垂足为E，
B
O.
求证：EC＝DF
A
EC
DF
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些 油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度。
解：
(1)
OB 650 (mm)
(2)
2
O
EB 600 (mm) 2
B
E
A
E A
B OE OB2 EB2
O
OE=125(mm)
D
D
油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一张圆形纸片沿着它的任意一条直径 对折，重复几次，你发现了什么？由此你 能得到什么结论？
判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × ) （2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..(√ ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × ) （4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
则OE＝3厘米，AE＝BE。
∵AB＝8厘米
∴AE＝4厘米
在Rt △AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米
解决求赵州桥拱半径的问题
⌒ 如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，» AB 设 Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒AＢB
相交于点D，根据前面的结论，D 的中点，CD 就是拱高．
挑战自我 填一填
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（7）平分弦的直线，必定过圆心。
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
OD
(1) B
•O
A
B
(2) D
•O
A
B
(3) D
挑战自我 填一填
（2） （3）
（1（）2） （3（）5） （5）
（1）（3） （3）（4） （4）
（1） （2）（3） （5）（5）
（1） （4）
（2） （5）
（4）
每条推论如何用语言表示？
（1） （4） （5） （1） （2） （3）
C
想一想P91
9
A
B
M└
垂径定理及逆定理 ●O
条件 ①② ①③
结论
命题
D ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M ∴A⌒C＝B⌒D
M D B
.O
N
夹在两条平行弦间的弧相等.
小结:
A
.
O
C
B
A
O.
E AC
DB