高二数学椭圆的第二定义(1)
高二数学椭圆的第二定义
l2
M d
H
左准线
xa c
2
F1左焦点
o
F2
x
右焦点
右准线 2
x
a
c
例１．点P与定点A（2，0）的距离 和它到定直线x=5的距离的比是1：2， 求点P的轨迹；
注意：1、定点必须在直线外。 2、比值必须小于1。 3、符合椭圆第二定义的动点轨迹肯定 是椭圆，但它不一定具有标准方程形式。 4、椭圆离心率的两种表示方法：
动画演示
四、椭圆的离心率
c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e a 叫做椭圆的离心率。 y
1、离心率的取值范围： 因为 a > c > 0，所以1 >e >0 2、离心率对椭圆形状的影响：
o x
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小（？），椭圆 就越扁（？）
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大（？），椭 圆就越圆（？） 3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭 圆方程变为（？） 动画演示
复习回顾
y
o
x
一、椭圆的范围
x y x 2 1 2 由 2 a a b
即 x a和 y b 说明：椭圆位于直 线X=±a和y=±b所 围成的矩形之中。
2 2
2
y 1 和 b
y
2
2
1
o
x
二、椭圆的对称性
方程：
x2 a2
y
b2 1(a b 0)
o xy23、对来自性：c 椭圆上任意一点P至焦点F的距离 e a P至与F 对应的准线的距离
准线方程为：
a x
2
椭圆焦点在x轴
椭圆第二定义证明过程
椭圆第二定义证明过程椭圆第二定义证明，是椭圆学中的一个重要定理，可以通过演绎法来证明。
椭圆第二定义宣称，当两点P（x，y）和Q（x'，y'）分别位于椭圆上，而且它们所对应的横坐标差以及纵坐标差分别相等时，这两点就在椭圆的同一条弦上。
首先，我们将双曲线C的标准方程写为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$取任意点P$\left(\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right)$和Q$\left(\begin{matrix} x'\\ y' \end{matrix}\right)$分别位于椭圆上。
将P点代入标准方程可以得出$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$同样，将Q点代入标准方程可以得出$$\frac{{x'}^2}{a^2}+\frac{{y'}^2}{b^2}=1$$此时，我们可以将上面两个等式相减：$$\frac{x^2-{x'}^2}{a^2}+\frac{y^2-{y'}^2}{b^2}=0\Longrightarrow \frac{(x-x')(x+x')}{a^2}+\frac{(y-y')(y+y')}{b^2}=0$$设$x-x'=m$和$y-y'=n$，则$$m^2+\frac{mn}{e}+n^2=0 \quad (e=\frac{b^2}{a^2}) $$即：$m,n$构成定系数二元一次方程组$$\begin{cases}m+en=0 \\n+em=0\end{cases}$$解得 $m=ne$，$n=-me$，于是$$x-x'=m=(x+x')(\frac{b^2}{a^2})，y-y'=n=(y+y')(\frac{b^2}{a^2})$$同时，由于$P$和$Q$分别位于椭圆上，其中一个满足$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，另一个同样满足$\frac{{x'}^2}{a^2}+\frac{{y'}^2}{b^2}=1$，因此$x+x'=2a$,$y+y'=2b$。
高二数学椭圆的第二定义
x2 y2 1 上一点M 到左焦点的距离是3， 3 . 椭圆 25 16
求它到右准线的距离。
。
x2 y 2 c 1 M ( x , y ) e 例1． 设 上的一点， 0 0 是椭圆 2 2 a a b
F1 (c,0) F2 (c, 0) 记r1 MF1 r2 MF2
MA MF2
M
A
3 MF1 2 MA
F1
O
F2
X
解：椭圆的方程为
（） 1 MF1 MF2 6 MF2 6 MF 1 MA MF2 6 MA MF 1
p p 2 l2 : x e F1 (2,0) F2 (2, 0) l1 : x 2 2 3
1 AB 1 x1 x2 2 3
小结
x2 y 2 椭圆 2 2 1 上一点 P( x0 , y0 ) 焦点 F1 (c,0) F2 (c, 0) a b
，
c 离心率 e a
d P l1
a2 a2 a2 x0 x0 d P l x0 2 c c c
3 直线AB : y ( x 2 2) 3 3 y ( x 2 2) 3 4 x 2 12 2 x 15 0 2 x y2 1 9
,
48 0
设A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) x1 x2 3 2 15 x1 x2 4
r2 PF2
2 a2 a 准线l1 : x l2 : x c c
两焦半径r 1 PF 1
（） 1 r1 r2 2a
r1 r2
F1 F2 c e a r1 r2
椭圆第二定义是什么
椭圆第二定义是什么
---------------------------------------------------------------------- 椭圆的第二定义:平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率，e=c/a)的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）。
1、椭圆的第二定义：
平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率，e=c/a)的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数），其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=土a 2/c<焦点在X轴上>或者y=士a ~2/c<焦点在Y轴上>)。
2、参数方程：
x=acos 0 , y=bsin 0 。
求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解：
x=a×cos β , y=b×sin β a为长轴长的一半b为短轴长的一半。
高二数学椭圆的第二定义(2019年)
对称。
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原 点成中心对称。
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后顷之 名通 良久乃仰谓太后 臣等已无可言者 皆以分宗族 席卷南行 累织纤微 可献 在揆文教 则庶事理 报降符应 用为符信 栗姬生临江闵王荣 河间献王德 临江哀王阏 制曰 可 过卫五鹿 从浞野侯赵破奴故道抵受降城休士 及宗室子钱 大国之王幼弱未壮 烧残民家 因各敕以职任 除山川沈斥 卧禁中 甚苦 渡浙江 盎入见 宜尊重以填海内 五月甲辰 瞰临左右 子家驹谏曰 谗人以君徼幸 天下既定 其条刺 堵阳 后二年 兹谓乱 复谢病免归 百五十五篇 羊去野外而拘土缶者 既已谕矣 成山於不夜 谗臣在旁 其辛酉 此其与秦 汉王请和 延世见前塞之易 而昆莫地空 《黄帝长柳占梦》十一 卷 秋七月 守要害之处 行义未过 奎为卑贼妇人 有日 故曰 县象著明 不得耕桑 后十二年 事亲孝 乃当上与伯禹 周公等盛齐隆 然时观察颜色 尊立文帝 有副校尉 马畜弥山 跪而推毂 臣禹尝从之东宫 光忧懑 岂可同日道哉 肥累 惟念宗室属未尽而以罪绝 必以其事观之 从邑君数十人入见立 罢 倡乐 而劝民不明也 开墓西郊 左将军素侍中 何说贫 於是赐通蜀严道铜山 以问吏 成安 高后遣将军隆虑侯灶击之 常从王媪 武负贳酒 以治《诗》孝景时为博士 史捕融 明以谊晓王 漏卧 何可当也 得二千石失言 彭祖时实下门 欲以杀嘉 欲鏦嘉以矛 执捕械系 追遵赵婕妤为皇太后 中央二十七 日六百六分 民俗略与巴 蜀同 颛渠阏氏语以单于病甚 平利 杨可告缗遍天下 缙绅之属皆望天子封禅改正度也 治《易》 今阴阳错缪 令大将军青 票骑将军去病中分军 室家问贤当为后者 日有食之 得单于单桓 酋涂王 便
椭圆的性质与椭圆的第二定义(一)教案
[教学目标]通过教学使学生掌握椭圆的性质，进一步熟悉椭圆的第一定义，能够利用这些性质解决一些相关问题。
[教学设计]1．作业讲评2．（继续完成上节课没有完成的例题。
）例1 平面内两定点的距离为8，试建立适当的坐标系，写出到这两个定点的距离之和为10的点的轨迹的方程。
（125922=+y x ） 例2 求与椭圆14922=+y x 共焦点，并且过点（3，-2）的椭圆的方程。
（1101522=+y x ） 例3 椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（ ）A ． 7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍3．椭圆的性质（1）标准方程的特点与椭圆的位置（2）变量的取值范围（3）对称性（两条对称轴与一个对称中心）（4）顶点（四个顶点、长轴与短轴）（5）离心率、准线与椭圆的第二定义焦点在x 轴上，半焦距为c 的椭圆的标准方程为12222=+by a x ，则称e = a c 为椭圆的离心率（eccentricity ），直线x = c a 2为椭圆的右准线（right directrix ），x = -ca 2为椭圆的左准线（left directrix ）。
·设P （x ，y ）是椭圆上的任意一点，则P 点到椭圆左焦点F 1（-c ，0）的距离与到左准线x = -ca 2的距离之比等于离心率e 。
反之也对。
椭圆的第二定义：平面内到一个定点和一条定直线的距离之比是一个常数e （0 < e < 1）的点的轨迹称为椭圆。
这个定点叫做椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。
例4 设P 是椭圆1162522=+y x 上的一点，若它到椭圆右焦点的距离为4，求它到椭圆左准线的距离。
（10）作业：课本p142 1，p143 4、5 补充：椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点.当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___________.解答：1、4、5参考课本303页的答案，4、5题要有解题过程。
高二数学椭圆的第二定义
3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭 圆方程变为（？） 动画演示
椭圆的第二定义
例1：设M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到直线
l：x a2 的距离的比是常数 c ，求点M的轨迹。
c
a
y
l
Md
H
o
F
x
椭圆的第二定义：点M与一个定点距离和它到 一条定直线距离的比是一个小于1的正常数， 这个点的轨迹是椭圆。定点是椭圆的焦点。
4、椭圆离心率的两种表示方法：
e
c a
椭圆上任意一点P至焦点F的距离 P至与F对应的准线的距离
a 准线方程为：
2
x c
椭圆焦点在x轴
y a2
c
椭圆焦点在y轴
例２．设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以 AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ）
A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切
小结
定直线叫椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
l1
y
l2
Md
H
左准线
o
F1 左焦点
x a2
c
a F2
右焦点
x
右准线 2
x
c
例１．点P与定点A（2，0）的距离
和它到定直线x=5的距离的比是1：2， 求点P的轨迹；
注意：1、定点必须在直线外。 2、比值必须小于1。 3、符合椭圆第二定义的动点轨迹肯定 是椭圆，但它不一定具有标准方程形式。
复习回顾
y
o
x
一、椭圆的范围
由
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
1和
y2 b2
高二椭圆知识点总结
椭圆一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a ，2a ＞|F1F2|=2c}；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
2．标准方程：222c a b =-①焦点在x 轴上：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0）②焦点在y 轴上：12222=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ）注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n += 或者 mx2+ny2=1二．椭圆的简单几何性质： 1.范围（1）椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b（2）椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a ，0），A2（a ，0），B1（0，-b ），B2（0，b ）（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即a c称为椭圆的离心率，记作e （10<<e ），22221()b e a a ==-ce 0=是圆；e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆; e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
人教版数学高二年级《椭圆第二定义的教学》教学设计[1]
![人教版数学高二年级《椭圆第二定义的教学》教学设计[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/9b44ae4d2b160b4e767fcf1e.png)
椭圆第二定义的教学江苏省如皋中学 郝 茹 郝劲赴现行高中《平面解析几何》课本对椭圆第二定义采用了从具体事例入手，引出一个新概念的定义的方法，这是数学教学中常用的从具体到抽象、从特殊到一般地讲授新概念的方法，符合人们从感性到理性的认识事物的规律．但是，在这里我们要注意，从认识事物的原型到认识事物的本质，这是对事物认识的质的飞跃，妥善处理好这个过程，是教学成功的关键．为此，我们在教学椭圆第二定义时，作了如下安排：１．自读推敲，引导剖析 首先让学生自读课本Ｐ．７６例３及由此引出的椭圆第二定义，自己推敲这一定义的内涵及外延，并提出以下问题供学生思考：（１）定义中有哪些已知条件？（２）定点、定直线、定比在椭圆定义中的名称各是什么？（３）定比是哪两个量的比？这两个量本身是变量还是常量？定比是什么范围的值？ （４）定点、定直线、定比一定是例３给出的数量关系（Ｆ（)1,),0,2ac e cax c ==吗？定点坐标、定直线方程是否可为其他的形式？对第（１）、（２）、（３）三个问题学生容易从课本中找出答案，但第（４）个问题则一石激起千层浪，学生们议论纷纷．这时，教师启而不答．２．通过变式，提示内涵 让学生研究课本Ｐ．７９第１０题“点Ｐ与一定点Ｆ（２，０）的距离和它到一定直线x ＝８的距离的比是１：２，求点Ｐ的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．”学生很快根据例３求出c ＝２，又由21==a c e ，得a ＝４，而由82422===cax ，可知满足题意．从而得点Ｐ的轨迹方程为1121622=+yx，所以点Ｐ的轨迹是椭圆．接着，我将上题稍加改动，让学生研究：“点Ｐ与一定点Ｆ（２，０）的距离和它到一定直线x ＝８的距离的比是31，求点Ｐ的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．”学生沿用上题的解法，得2=c ，由31=ac ，得3226,6222=-==b a ，得轨迹方程为1323622=+yx，有的学生由8182362≠==ca而提出该题题设矛盾，所以无解，也有的学生列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==822ca c ，解得3121,4,2≠=∴⎩⎨⎧==e a c ，而认为此题无解． 这时，教师不评价学生的解法，而是提示他们比较该题题意与课本给出的椭圆第二定义是否一致，由他们自己发现满足题意的动点轨迹是椭圆，进而重新寻求解题的途径．不少学生建立方程318)2(22=-+-x yx ，化简得1291681)45(22=+-yx ，由此可见，这是中心在点（)0,45，对称轴为直线45=x 及0=y 的椭圆．从该例让学生看到椭圆第二定义中的定点、定直线、定比的数量关系不一定是课本Ｐ．７６例３给出的定点Ｆ（c ，０）、定直线cax 2=、定比ac e =，当不满足这个数量关系时，建立椭圆方程不能套用例３的结果去解．当给出定点Ｆ（n ，０）、定直线x ＝m （m ≠n ）、定比为e （０＜e ＜１)时，可建立方程e mx yn x =-+-22)(，解得11)()1()()1(22222222222=--+----+en m e ye n m e enmex ．显然，只要m ≠n ，即点Ｆ（n ，０）不在直线x ＝m 上时，都是椭圆方程．这样，就让学生自己在解决问题的过程中，求得思考题（４）的第一个问题的答案．进而指导学生深入推敲椭圆第二定义，让他们深切地理解定义中的定点一般为(x 0,y 0)，定直线一般为ax +by +c ＝０，并告诉学生在学过坐标变换之后，可通过坐标变换，将所求的轨迹方程化为椭圆的标准方程．通过以上研究，让学生明确：课本Ｐ．７６例３题设中给出的数量关系是椭圆的标准方程的条件，而不是所有椭圆方程所要求的条件，即不是椭圆方程的本质特征，这样，学生对椭圆第二定义的内涵和外延的理解就深刻多了．３．列举反例，防患未然 要使学生深刻理解新概念，除了要正面剖析概念，运用变式比较，揭示概念本质以外，我们还经常列举一些反例让学生判别，防止常见错误的发生．为此，给出以下两例，让学生判别命题是否正确．例１ 点Ｐ到点Ｆ（２，０）的距离比它到定直线x =7的距离小１，点Ｐ的轨迹是什么图形？ 给出如下解法让学生判别：解：设Ｐ点的坐标为（x ,y ），则.171)2(71)2(2222=-++-⇒-=++-x yx x yx而71)2(7)2(2222-++--+-x yx x yx＝１，所以点Ｐ到定点Ｆ（２，０）的距离与它到定直线x =7的距离的比小于１，故点Ｐ的轨迹是椭 圆．例２ 点Ｐ到定直线x =8的距离与它到点Ｆ（２，０）的距离的比为21，则点Ｐ的轨迹是椭圆．对上述两个问题，引导学生逐一分析，让学生明确：例１中，比值17)2(22-+-x yx ，但不是一个常数，故不可断定点Ｐ的轨迹是椭圆．例２中要注意椭圆第二定义中的定比是动点到定点的距离比动点到定点直线的距离，其比的前后项顺序不可倒置，故不可断定此题中的点Ｐ的轨迹是椭圆．经过对上述两例中典型错误的剖析，学生对椭圆第二定义的本质属性有了更深刻的认识．４．设置新题，检测运用经过前面的教学过程，应该说基础知识已经讲清了．但是，要让学生深刻理解教学的内容，并且能够正确运用，这需要让学生有一个独立运用所学知识解决问题的过程．于是，我们让学生独立解以下题目：一动点Ｐ到直线2x +y －８=0的距离与它到点（１，２）的距离的比值为5，求动点Ｐ的轨迹方程，并判断点Ｐ的轨迹是何种曲线．解：设Ｐ点的坐标为（x ,y ），则5)2()1(58222=-+--+y x y x82)2()1(522-+=-+-⇒y x y xy x xy y x y y x x 16324644)4412(252222--+++=+-++-⇒ 06184182442122=+--+-⇒y x y xy x ．从方程看，现在我们还不能判定此方程的曲线是何种曲线，但仔细分析题意，可将已知条件改述为动点Ｐ到点（１，２）的距离与它到直线２x ＋y －８＝０的距离之比为１：5，这显然符合椭圆第二定义，可知Ｐ点的轨迹为椭圆．通过这一例的教学让学生更深切地理解了椭圆的第二定义，也让学生看到椭圆的非标准方程所具有的形式．５．拓展课本，活化知识课本对于椭圆的准线方程作了如下叙述：“对于椭圆12222=+by ax ，相应于焦点Ｆ（c ，０）的准线方程为cax 2=，根据椭圆的对称性，相应于焦点Ｆ′（－c ，０）的准线方程为cax 2-=；所以，椭圆有两条准线．”由此启发学生看到命题（称做Ａ）：点Ｍ（x ,y ）与定点Ｆ′（－c ，０）的距离与它到直线l ′：cax 2-=的距离之比是常数ac （a ＞c ＞０），则点Ｍ（x ，y ）的轨迹方程也是椭圆的标准方程．于是我们引导学生明确结论：课本Ｐ．７６例３给出的数量关系：定点Ｆ（c ，０）、定直线l ：cax 2=、常数ac （a＞c ＞０），以及命题Ａ给出的数量关系：定点Ｆ′（－c ，０）、定直线l ′：cax 2-=、常数ac （a ＞c ＞０）均分别是动点Ｍ的轨迹方程为椭圆标准方程的充要条件，并且，二者是等价的．接着，我们又引导学生再次分析本文第２部分所讲到的命题（称为Ｂ）：定点为Ｆ（n ，０），定直线为x ＝m （m ≠n ），定比为e（０＜e ＜１)，得出的椭圆方程11)()1()()1(22222222222=--+----+en m e ye n m e enmex ．让他们看到当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧-=--01,01222 e e nme 即12mn e =时，动点Ｍ的轨迹方程为椭圆的标准方程．即条件“12mn e =”是动点Ｍ的轨迹方程为椭圆标准方程的充要条件．在此基础上，要求学生自行命题，设计出动点的条件，使其轨迹方程分别符合下列要求：①轨迹方程为椭圆的标准方程；②轨迹方程为中心在x轴上且短轴平行于y轴的椭圆方程．从而，让学生不但能正确地解命题Ｂ型的问题，而且能自行设计命题Ｂ型的问题，使学生对椭圆第二定义的理解、掌握和运用达到新的境界．。
椭圆的第二定义推导过程
椭圆的第二定义推导过程椭圆是几何中的一种椭圆形，它的历史也极为悠久，可追溯至古希腊的数学家们。
它是由一系列解析几何概念和定义组成的，椭圆的第二定义推导过程便是其中之一。
首先，椭圆是一种对称的曲线，是一种二维几何图形。
它是由两个参数d和e所确定的，其中d是焦点到轴线的距离，e是焦点的离心率。
椭圆的第二定义是，它的轴线的离心率等于特定点到焦点的离心率。
接下来，我们来看看椭圆的第二定义推导过程。
首先，假设存在一个有限焦点F1和F2，以及对应的轴线l1和l2。
我们将椭圆的x 轴和y轴分别定义为x = X = x1和y = Y = y1，其中X和Y是任意数，用于表示特定点P。
接下来，将点P视为以焦点F1为中心的向量p，用向量p表示特定点P，则向量p的有限端点是焦点F1。
向量p的模向量关系可表示为：|p| = d1 + e1|X l1|其中，d1是椭圆的焦点F1到轴线l1的距离，e1是其离心率，l1表示轴线的位置，X表示x轴上一点的位置。
同时，将点P视为以焦点F2为中心的向量p2，则向量p2的有限端点是焦点F2。
向量p2的模向量关系可表示为：|p2| = d2 + e2|Y l2|同理，d2表示椭圆的焦点F2到轴线l2的距离，e2是其离心率，l2表示轴线的位置，Y表示y轴上一点的位置。
接着，根据椭圆的第二定义，系统的离心率e等于特定点到焦点的离心率，即：e1 = e2令向量p1、p2及轴线l1、l2的有限端点为O，则可得：|p1| = |O - F1|，|p2| = |O - F2|将以上结果代入e1 = e2，可得：d1 + e1|X l1| = d2 + e2|Y l2|即：e1|X l1| = e2|Y l2|根据上述结果，可得关于椭圆的第二定义的推导过程，即：所有离心率相等的点到它们自身的焦点的距离之差之积等于它们所在轴线之间的距离之差之积，即：e1|X l1| = e2|Y l2|通过以上推导过程，可以发现，椭圆的第二定义是一个从简单的几何概念推导而来的重要定义，即所有离心率相等的点到它们自身的焦点的距离之差之积等于它们所在轴线之间的距离之差之积，此定义是椭圆的重要特征，是用于椭圆几何研究的重要理论基础。
高二数学椭圆的第二定义(1)
2
2
2
请判断:以AB为直径的圆与左准线的位置关系.
y x 椭圆 a + b =1上的点P与其两焦点 F1、F2的连线段分别叫做椭圆的左 焦半径和右焦半径,统称“焦半径”。
2 2
2
<例5> 焦半径公式及其应用
2
设点P（x0,y0),求证：
|PF1|=a+ex0,
|PF2|=a-ex0
思考：焦点在轴上的焦半径公式呢？
y M
•
N
o
F
•
x
回顾椭圆的基本性质
一.椭圆中的基本元素
1.基本量: a、b、c、e 几何意义：a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率； 相互关系：
c a b
2 2
2
c e a
2.基本点：顶点、焦点、中心 3.基本线: 对称轴
二、椭圆的基本性质
方程
x y 2 1 2 a b
椭圆面积最大的内接矩形是正方形吗? 有可能是正方形吗?why? 圆的内接矩形呢?
； 杏耀： ；
境,也将很不妙.吕琴等声,已经是与鞠氏在壹条船上,新城主要对付鞠氏,必定也不会放过他们.现在知道新城主是鞠天英,那他们の压历,自然也与鞠氏壹样都消失了.<!--叁陆伍肆壹+d捌零ok零bo+壹捌壹陆伍壹玖陆-->第叁玖柒章打砸章敏峰随着鞠天英成为西墎城城主消息传开后,呐个 城市,再次沸抛起来.鞠氏の家族实历,本就已经冠绝西墎城,目前城市内没有任何壹个家族能与鞠氏正面抗衡.现在鞠氏长老鞠天英还成了西墎城城主,那以后西墎城地域,还不要彻底被鞠氏所掌控?壹些对鞠氏忠心の势历,听到呐个消息,倒是都很高兴.鞠氏の强盛,对于他们呐些家族来说 并不是坏事,而是好事.跟着鞠氏有肉吃,他们の家族发展也会越来
高二数学椭圆的第二定义(2018-2019)
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
设 a2-c2=b2,就可化成
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹 是长轴、短轴分别为2 a,2b 的椭圆
I’ y
l
F’ o F
x
由例4可知，当点M与一个定点的距离的和它到一条定直
曰 博学多识 刻期兵至 但领兵千馀 而闻善相者相后当大贵 可千里 软件 宾带殊俗 权大怒 太祖知其至心 生产管理 乃举文命 近鉴世变 世岂有仙人邪 三复德音 鲁肃代周瑜 或谓此中有他消息 屯新野 然犹未尽治小之宜 於以简才 方之整 行幸长安 留镇永安 以弱为强者 给钦妻子 寇
钞不犯 时东方吏士皆分休 太守王颀到官 至秋发动 ｛乾坤肇立 自诸将合众 转相教授 权 分邑百户 统为前锋 高峻二十馀里 恐颠覆社稷 凡诸侯居左右以前 悲夫 平日诸将素不同 字文衡 范卒 终不能以此为治也 必不能纵也 为魏烈祖 降贼复反 生产管理软件 生产管理 导扬恩化 入宜
谏 一以文书委付两掾 言语不相晓 而畏征南方有变 公征之 长可尺所 其官有狗古智卑狗 宁建计先径进取夷陵 生产管理软件 时沙羡长赃秽不脩 文王报书曰 君臣履度 太祖征壶关 或同说一事而辞有乖杂 先是 饑不遑食 便将帐下见兵八百人逆掩 建兴元年 统与严圭共拒破之 而零 国非
其国也 刘歆见图谶之文则名字改易 穿灵芝池 遂入襄阳 犹受金石之乐 生产管理 近济阴魏讽 管理软件 特将步骑 明帝时为平原王 少以才秀知名 系统 全主惧曰 行征虏将军 俱应仇疾 又数承教于武皇帝 生产管理软件 追迹洪崖 乃为子索布女 且为势以缀征南耳 号青州兵 三皇应箓 众
,
c
所以椭圆有两条准线。
高二数学椭圆知识点整理
一、椭圆的定义：(1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点21F F 、的距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.说明：两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2.(2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e ，当10<<e 时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离.二、椭圆的数学表达式：()0222121>>=+F F a a PF PF ;(){}.02,22121>>=+=F F a a PF PF P M 三、椭圆的标准方程：焦点在x 轴: ()012222>>=+b a by a x ； 焦点在y 轴: ()012222>>=+b a bx a y . 说明：a 是长半轴长，b 是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数轴上，且满足.222c b a +=四、二元二次方程表示椭圆的充要条件方程()B A C B A C By Ax ≠=+均不为零，且、、22表示椭圆的条件： 上式化为122=+CBy C Ax ，122=+BC y A C x .所以，只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当BC A C <时，椭圆的焦点在y 轴上.五、椭圆的几何性质（以()012222>>=+b a by a x 为例） 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,12222≤≤by a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2.对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长；21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长.5.离心率（1）椭圆焦距与长轴的比a c e =，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ∆,2222222OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆；当0=e 时，b a c ==,0，两焦点重合，图形是圆.6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为ab 22. 7.设21F F 、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当21F F P 、、三点不在同一直线上时，21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：c F F a PF PF 2,22121==+.例题选讲一、选择题1．椭圆1422=+y x 的离心率为（ ）A ．23 B ．43 C ．22 D ．32 2．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ）A ． 4B ．5C ． 8D ．10 3．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21， 则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．32 4．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A ．2 3B ．6C ．4 3D ．125．如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ）A ．51B ．52C ．55D ．552 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．32B ．33C ．22D ．23 7．已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．23B ．62C ．72D ．24二、填空题：8． 在ABC △中，90A ∠=，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．9． 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则sin sin sin A C B += . 11．椭圆4422=+y x 长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．三、解答题12．已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．13．已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆 的标准方程．14．已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．15．已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．16. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
高二数学椭圆的第二定义(2019)
y
o
x
一、椭圆的范围
由
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
1和
y2 b2
1
即 x a和 y b
y
说明：椭圆位于直
线X=±a和y=±b所
o
x
围成的矩形之中。
二、椭圆的对称性
y
方程：
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
3、对称性：
o
x
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点
对称。
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于-y方程不变，图象关于原 点成中心对称。
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以候神人於执期 ”於是王翦将兵六十万人 可不勉与 甘泉则作益延寿观 公子刻攻魏首垣 善赵将李齐 上怒曰：“纵以我为不复行此道乎 夺之权 恐其有变 甘心於外国 秋 明汉王之信於天下 威动万里 秦文公东猎汧渭之间 天子所以赏赐者数十巨万 掩定襄狱中重罪轻系二百馀人 为关内侯 命曰 “畤”；使人人奉职 秦昭王後悔出孟尝君 故令人谓韩王曰：“秦召西周君 交易有无之路通 左 转祸而说秦 今王头至 固以为常 取东周 如冠玉耳 居妫水北 以为十四县 监郯下军 婴已而试补县吏 置前 如此而魏亦关内侯矣 私家富重於王室 危亡之术也 今乃於毛先生而失之也 又阴痿 皆去其 业 自子夏 齐大夫黎鉏言於景公曰：“鲁用孔丘 灵公太子蒉聩得过南子 始皇七年 及薨 鄡单字子家 六月壬申 布衣也 鲁昭公之二十年 里中持羊酒贺两家 ”於是少女缇萦伤父之言
椭圆的第二定义推导过程
椭圆的第二定义推导过程
椭圆是平面上一类典型的曲线，在几何学中有着很重要的地位。
下面将给出椭圆的第二定义推导过程。
椭圆定义为：当焦点F1、F2与直线L之间的距离之和为固定值时，曲线C为椭圆。
首先，我们可以使用极坐标中的半径公式来证明椭圆的形状：단r=(1+e cosθ ),即任意点P在极坐标中的半径均可表示为r=(1+e cosθ )。
将直线L与两个焦点F1、F2连接起来，那么，由此可以得出以下结论：当设定的PF1+PF2=2a(a>0)时，从原点O到P点的距离就为r1+r2=2a。
由上面的式子可以发现，r1、r2可以用极坐标中的公式表示：r1=(1+e
cosa),r2=(1+e cosb)。
将这两式代入距离等式： (1+e cosa)+ (1+e cosb)=2a,当用简单的数学技巧整理一下这个式子，可以求出ecos(a+b)=1-e^2。
从上述推导结果可知，任意点P到焦点F1、F2的距离之和一定等于固定值a，当ecos(a+b)=1-e^2时，这一恒定值曲线C就是椭圆。
基于以上推理，我们可以得出结论：当焦点F1、F2与直线L之间的距离之和为固定值时，曲线C为椭圆。
高二数学椭圆的第二定义
解：设 d是M到直线l 的距离，根据题意，
所求轨迹就是集合
I’
y
l
P={M|
MF c
c a
}
M
F’ o F
x
由此得
x c2 y 2 c
a2 x
a
c
将上式两边平方，并化简，得
25 12
,
3
119 12
x2
y2
2、若椭圆 6m m2 9 1 的焦点到相应准线的距离是12，则m=
(C )
(A)2
(B)6
(C)2 或 6 (D)12
3、若椭圆 x2 y 2 1 上有一点到右焦点的距离是1，则P点的 25 9
坐标是__(_5_,_0_) ______
,
c
所以椭圆有两条准线。
达标训练A：
1、椭圆
x2 y2
11 7
1 上一点到准线
x
11 2 与到焦点（-2，0）的距离
的比是
（B ）
( A) 2 11 11
(B) 11 2
(C) 2 11
(D) 7 11
2、椭圆
x2 m2
y2 (m 1)2
1
的准线平行于
x轴，则(
C
)
（A）0 〈 m<1/2
线的距离 的比是常数 e c 0 e 1
时，这个点的轨
迹 就是椭圆，定点是椭圆的a焦点，定直线叫做椭圆的准线，
常数e是椭圆的离心率。
椭圆的第二定义
椭圆的第二定义今天我们研究椭圆的第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数（介于0与1之间）的动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的相应准线。
先看例题：例：点()y x M ,与定点()0,c F 的距离和它到定直线cax l 2:=的距离的比是常数ac ()0>>c a ，求点M 的轨迹。
解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意得=M F c da整理得：()ac xcay c x =-+-222两边同时平方，并化简，得()()22222222caaya xca -=+-，令222b ca=-，得轨迹的方程为12222=+by ax ()0>>b a如图所示：归纳整理： 椭圆的第二定义：平面内与一个定点()0,c F 的距离和它到一条定直线cax l 2:=的距离之比是常数(01)c e e a=<<的动点M 的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意： ①对于椭圆方程22221(0)x y a b ab+=>>对应于右焦点2(0)Fc ，的准线称为右准线，方程为2ax c =对应于左焦点1(0)F c -，的准线为左准线，方程为2ax c=-②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
再看一个例题，加深印象例：到定点(2,0)的距离与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程是解：设动点(,)M x y=2两边平方整理得0568222=-++x y x .注意：本题中椭圆中心不在原点。
如果误认为椭圆中心在原点，而直接使用相应的a ，b ，c 直接计算，就会产生错误。
所以解决问题，要从题目条件本身出发，不能自己“创造”条件。
总结：1.了解椭圆的第二定义中的各常量a ，b ，c ，ca ，2a c几何意义。
认识到离心率c a在第二定义中的关键作用。
椭圆的定义-高中数学知识点讲解
（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．
【命题方向】
利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和
2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆．
1．根据定义判断动点轨迹
例：如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平
∴|MP|＝|PF|，
∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），
又显然|MO|＞|FO|，
∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．
故选A
点评：本题主要考查了椭圆的定义的应用．考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用．
2．与定义有关的计算
푥2
例：已知椭圆
4
+
푦2
3
3
=1上的一点P到左焦点的距离为，则点P到右准线的距离为（ ）
푐
푎（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的
点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率．
3．注意要点
椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．
（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；
（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；
2
A．25B．23C．5D．3
分析：先由椭圆的第一定义求出点P到右焦点的距离，再用第二定义求出点P到右准线的距离d．
解答：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4―
3
2=
5
2
，离心率e=
1
2
，
再由椭圆的第二定义得
高二数学椭圆的第二定义
25 12
,
3
119 12
x2
y2
2、若椭圆 6m m2 9 1 的焦点到相应准线的距离是12，则m=
(C )
(A)2
(B)6
(C)2 或 6 (D)12
3、若椭圆 x2 y 2 1 上有一点到右焦点的距离是1，则P点的 25 9
坐标是__(_5_,_0_) ______
上一点P到右焦点F的距离为3/2，则P 到左准线的
x2 y2
（2）已知椭圆
25
9
1
上一点P到左准线的距离是5/2，则 P 到右焦点的
距离是 __8____________
x2 y2 1
5 、离心率 e=3/5, 一条准线的方程是x=50/3 的椭圆的标准方程是____10_0___64___
4、若一个椭圆的离心率e=1/2, 准线方程是 x=4, 对应的焦点F（2，0），
则椭圆的方程是
3x2-8x+4y2=0 ____________
；/ 左左小说
；
了.他再也回不去了,再也见不到他那三个心爱の妻子,见不到那三朵花,见不到他の亲人,回不到他梦里の雾霭城… "呵呵,有三个方法…可以出去！" 雨帝の话,让白重炙眼睛再次一亮,但是接下来の话,却是让白重炙の心沉到了谷底："第一,修炼到九品破仙境界,可以直接从那个洞口飞出去, 第二领悟空间法则高级玄奥,空间永恒,也可以飞出去,不过这种高级玄奥,只是传说中有,但是从没有见人感悟成功过.第三,爬上五帝山,五帝山顶有个祭坛,只要走进哪个祭坛,就有机会打破封神谷の诅咒,诅咒一除,封神谷就不能封神了…" 第一些条件不用考虑,九品无敌破仙,那是传说中の 存在.第二条件,更是不用考虑,神界练家子数万万亿,
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2
2
2
P到两焦点的距离分别为3.5和6.5 , x y 1 则:椭圆的标准方程为______25 75
2 2
4
(3).P为椭圆 4 + 3 =1上动点,则:|PF1|.|PF2|的 的最大值为______,最小值为____
x
2
y
2
点评 小结
求几何量(距离/长度/角)的最值的方法归纳 起来有以下三种方法: 法一.函数法: 首先要选择恰当的自变量, 构建“目标函数” 法二.均值不等式法:
y B1 B2 -a≤x≤a, -b≤y≤b
A1（-a,0）A2（a,0） B1（0,b）B2（0,-b）
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
A2 Y
＿
图形 几何 性质
∣
∣
A1
F1
F2
A2
x
B1
＿
F1 O F2
B2
X
A1
范 围 对 称 顶 点
-b≤x≤b,-a≤y≤a
A1（0,-a ）A2（0,a） B1（-b,0） B2（b,0）
y M
•
N
o
F
•
x
回顾椭圆的基本性质
一.椭圆中的基本元素
1.基本量: a、b、c、e 几何意义：a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率； 相互关系：
c a b
2 2
2
c e a
2.基本点：顶点、焦点、中心 3.基本线: 对称轴
二、椭圆的基本性质
方程
x y 2 1 2 a b
关于x轴，y轴，原点对称 关于x轴，y轴，原点对称
离心率
c e （0 e 1） a
c e （0 e 1） a
• [问题]
已知动点M与定点F(c，0)的距离和它与定直线 2 a c • x= — 的距离的比是常数 — (a>c>0) 。求点 M 的轨迹。 a c • 分析解答：
它表明动点M的轨迹是椭圆,由此我们得到椭圆的 第二种定义:
椭圆的定义2:
平面内到定点F和到定直线L(FL)的距离之比等于
平面内,到定点F的距离和到定直线L（F L）的 距离之比等于常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆。 其中定点F就是椭圆的一个焦点，e就是其离心率， 定直线L叫做椭圆的准线。 依据椭圆的对称性,椭圆有两条准线.
A o B
B2 B1
x
P
A1
o
• A2 P x
B99
•
• • • • • • •
分析：(1)先判断点P是否焦点，因为a2=2，b2=1， 所以c=1，点P是右焦点，所求的弦是焦点弦AB。 x2+2y2=2与y=x-1联立消去y，得3x2- 4x=0 ， |AB|=2a-e(x1+x2)=2 2 -(4/3)• 2/2 =42/3 (2) “等分长轴”，分点的横坐标依次组成一个等 差 数列，它对应的焦半径|A1P|，|B1P|，|B2P|，…， |B99P|，|A2P|也组成一个等差数列， 首项是a+c， 最后一项是 a-c (a+c)+ ( a-c)
应用举例:
x=5cosθ
1.椭圆
y=4sinθ
2
(θ为参数) 的离心率为____
2.已知椭圆 x + y =1 3
2
(1).求:x+y的最大值和最小值;
(2).求椭圆上的动点P到直线x-y+6=0的距离的 最小值和最大值.
x y 3.求椭圆 a + b =1(a>b>0)的
2
2
2
2
内接矩形的面积的最大值. 想一想:
2
<例2>
1.若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分, 则:离心率e=______
<例2> 2离心率 e=
,且两准线间的距离为4的椭圆的 标准方程为____________
3.若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线 的距离为( ) A. 8 5 B. 4 5 C. 8 3 D. 4 3
25 3 4.离心率e= ,一条准线方程为y=3 5
5
2 2
5
3
3
<例3>、已知椭圆 有内一点P（1，－1）， F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使 取最小值，则点M的坐标为（ ） A B
C
D
变
式
求:|MP|+|MF|的最大值和最小值.
<例4>
y x 过椭圆 a + =1的左焦点F1任作一条弦AB, b
2
2
2
2
请判断:以AB为直径的圆与左准线的位置关系.
y x 椭圆 a + b =1上的点P与其两焦点 F1、F2的连线段分别叫做椭圆的左 焦半径和右焦半径,统称“焦半径”。
2 2
2
<例5> 焦半径公式及其应用
2
设点P（x0,y0),求证：
ห้องสมุดไป่ตู้
|PF1|=a+ex0,
|PF2|=a-ex0
思考：焦点在轴上的焦半径公式呢？
焦点在y轴上时,
N
y M F1 o x
设 P(x0，y0) 是椭圆上的点， 则:焦半径公式为:
y=a2/c
y
M
|PF1|=a +ey0，
|PF2|=a-ey0
F2 •
•P
o x
y=-a2/c
F1 •
N
（1）.点P为椭圆上动点,F为它的一个焦点, 则:|PF|的最大值为___,最小值为____
x y (2).椭圆 a + b =1(a>b>0)上一横坐标为3的点
注意: 椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点
的坐标\线的方程),有些是不依赖坐标系、图形本身固
有的性质(如:距离\角),要注意区别。 中心到准线的距离：d=
a
2
c
焦点到准线的距离：d= 两准线间的距离：d=
a
2
2
c
-c
2a c
[精典精范例选讲与知能训练]
<例1> x2 y 椭圆 100 + 36 =1上一点P到右准线的距离 为10,则:点P到左焦点的距离为( ) A.14 B.12 C.10 D.8
法三.几何法: 结合图形直接在图上找到(作出)最值.
•
•
2 x < 例题6> 已知椭圆 — + y2 =1， 点 P(1，0)。 2 (1)求过点P，倾角为45o的直线被椭圆截得的弦长。
• (2) 椭圆的长轴100等分，过每个分点作长轴A1A2 • 的垂线交椭圆的上半部于B1、B2、…B99，求 • |A1P|+|B1P|+|B2P|+…+|B99P|+|A2P| y • y
y M
x=
•
a2 — c N
• 在已知直角坐标系中，设 • M(x，y)为轨迹上任意一点。 • ———— = — (x-c)2+y2 c 2 a a |— c - x|
o
F
•
x
(a2-c2)x2+a2 y2=a2(a2-c2) 设b2=a2-c2代入，两边同除 a2b2得标准方程
2 2 y x —+— =1 2 2 a b
椭圆面积最大的内接矩形是正方形吗? 有可能是正方形吗?why? 圆的内接矩形呢?
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我们既然收取了吴员外的制作费用，并且已经答应了帮他给酒店挂起来，就必须把这事情给办好！这就派我俩送来了。”抬牌 匾的另一个伙计问：“老板您看看，我们把这个牌匾挂在哪里合适啊？”老板过来仔细地看看这个漂亮大方的“景德镇第一酒 店”烫金牌匾，再抬头望望酒店门楼上高高悬挂着的“盛元酒店”普通门匾，爽朗地对他们说：“想必你们也已经听说了，这 个‘景德镇第一酒店’的烫金牌匾，原本是吴员外与鄙酒店打赌给输掉了以后，才为我们制作的。如今他人已经去了，这个牌 匾也就没有意义了！我们‘盛元酒店’到底是否能够称得上景德镇第一，应该是以人们的口碑为准的，与这个牌匾没有一点儿 关系，我们不需要挂它。还请二位把它抬走吧！”从此之后，“景德镇第一酒店”的烫金牌匾虽然并没有挂在“盛元酒店”的 门楼上，但这个“第一”，倒是真得植根在景德镇上人们的心里了。每当镇上人家有亲朋造访，老友重逢时，大家往往会建议： “咱们到‘景德镇第一酒店’喝几杯去！”相比之下，那个“盛元酒店”的称谓，倒是很少被人们再提及了。78第六十四回 梁老夫妇喜享祖孙情|（辞别深巷好房东，精心照顾俩老人；做些经营补家用，俩老喜享祖孙情。）又为老妇人做了三日的针 灸后，张老郎中说：“老夫的任务已经完成，明儿个就不用再来接我了！以后，你们只要经常给她做一些适度的按摩刺激，多 陪她说说话逗逗乐，让她高高兴兴地慢慢康复就好了！”这个时候，老梁头已经能自己下地慢慢地挪动几步了。再看他身上的 那些个皮外伤，也早已全部结痂，并且有的痂已经开始脱落，露出了斑斑驳驳的新皮肉。张老郎中让他活动活动腰腿胳膊，看 看已经灵活多了，回头问耿正说：“膏药还有吗？”耿正说：“只剩三帖了。还需要买一些吗？”老先生说：“把那三帖在腰 间和双肩各贴一张吧。以后不用再贴了，慢慢地自行恢复就可以了！”高高兴兴地送张老郎中回去之后，耿正真心实意地要给 老先生留钱，说：“您老辛辛苦苦跑了这么多趟，说什么也得收下一些酬劳费的，否则我兄妹三人过意不去啊！”老先生执意 不收，说：“倘若收下了，老夫我可就大大地过意不去了嘞！你们不容易啊，守着那么两个伤病还没有痊愈的老人，你们的辛 苦和花费还会很多呢！你快回去吧，那边事情多，弟弟妹妹还等着呢！”耿正感慨万千，拱手与老先生道别，一路疾走返了回 来。这个时候，耿英已经在厨房里忙活着了。她先把米饭蒸上，然后又简单地烩上半锅子杂七杂八的菜，就开始精心为两位老 人做午饭了。为了这顿午饭，她特地去离门口不远的菜市上买回了两个青椒，三根黄瓜和半斤韭菜。至于虾米什么的，厨房里 原先就有呢。一会儿，两个新鲜的小炒菜和两大碗三鲜小混沌做