第13讲 函数与导数之导数及其应用(学生版)

第13讲 函数与导数之导数及其应用
一． 基础知识回顾
1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx
＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商 ＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．
2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率 通
常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 ．
(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))
的 ．导函数y ＝f ′(x )的值域即为 ．
3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开
区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作 ．
4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )g (x )]′＝ ； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′= [g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是 函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，
b )上是 函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间(3)若在(a ，b )上，
f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为 函数，若在
(a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为 函
数．
6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果
在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ，
右侧 ，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程 的根；③检查f ′(x )在方程 的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处
取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 ．
7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]
上 ，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步
骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的 ；②将函数y ＝f (x )的各极值与 比较，其中最大
的一个是最大值，最小的一个是最小值．
二．典例精析
探究点一：导数的运算
例1：求下列函数的导数：
(1)y ＝(1－x )⎝
⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x .
原函数 导函数 f (x )＝C f ′(x )＝ f (x )＝x α (α∈Q *) f ′(x )＝ (α∈Q *) F (x )＝sin x f ′(x )＝ F (x )＝cos x f ′(x )＝ f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝ (a >0，a ≠1) f (x )＝e x f ′(x )＝ f (x )＝log a x (a >0，a ≠1，且x >0) f ′(x )＝ (a >0，a ≠1，且x >0) f (x )＝ln x f ′(x )＝
变式迁移1：求下列函数的导数：
(1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (3)y ＝ln x x 2＋1
.
探究点二：导数的几何意义
例2：已知曲线y ＝13x 3＋43
.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．
变式迁移2：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．
探究点三：函数的单调性
例3：已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求
函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；
变式迁移3：已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．
(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；
(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．
探究点四：函数的极值
例4：若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．
变式迁移4：设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．
(1)试确定常数a 和b 的值； (2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并
说明理由．
探究点五：求闭区间上函数的最值
例5：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，
若x ＝23
时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．
变式迁移5：已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．
(1)求f (x )的表达式； (2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．
三．方法规律总结
1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质
特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的
切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．(2)曲线未必在其切线的“同侧”，
如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧．
2．曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线则需分点P (x 0，y 0)
是切点和不是切点两种情况求解．(1)点P (x 0，y 0)是切点的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)
当点P (x 0，y 0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二
步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步：将点P 的坐标(x 0，
y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，
y 0)的切线方程．
3．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )，令f ′(x )
＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和
上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干
个小区间；(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相
应小开区间内的增减性．
4．可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x 0一定满足f ′(x 0)＝0，但当f ′(x 1)＝0
时，x 1不一定是极值点．如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．(2)可导函数y ＝f (x )
在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．
5．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值
点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内
取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为
最值，最值只要不在端点必定是极值．
6．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的
一个是最大值，最小的一个是最小值．
四．课后作业设计
1．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx 为 ( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2 B ．Δx －1Δx －2 C ．Δx ＋2 D ．2＋Δx －1Δx
2．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12
)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a =( )
A ．64
B ．32
C ．16
D ．8
3．若函数f (x )＝e x ＋a e －x 的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32
，则切点的横坐标是 ( )
A ．－ln 22
B ．－ln 2 C.ln 22
D ．ln 2 4．已知函数f (x )＝2ln(3x )＋8x ，则0
lim →∆x f (1－2Δx )－f (1)Δx 的值为 ( ) A ．10 B ．－10 C ．－20 D ．20
5．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所
在的区间是 ( )
A.⎝⎛⎭⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(2,3) 6．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 ( )
A ．4x －y －3＝0
B ．x ＋4y －5＝0
C ．4x －y ＋3＝0
D ．x ＋4y ＋3＝0
7．设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且f ′(x )·g (x )
＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有 ( C )
A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )
B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )
C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )
D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )
8.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，
则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点
( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．若函数y ＝a (x 3－x )在区间⎝⎛⎭
⎫－33，33上为减函数，则a 的取值范围是 ( )
A ．a >0
B ．－1<a <0
C ．a >1
D ．0<a <1
10．已知函数f (x )＝12
x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥32 B ．m >32 C ．m ≤32 D ．m <32
11．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ( )
A.⎣⎡⎭⎫0，π4
B.⎣⎡⎭⎫π4，π2
C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4
D.⎣⎡⎭
⎫3π4，π 12．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x 1，x 2 (x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2
－x 1|恒成立”的只有 ( )
A ．f (x )＝1x
B ．f (x )＝|x |
C ．f (x )＝2x
D ．f (x )＝x 2 13．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如右图所示，给出以下结论：①函数f (x )在(－2，－
1)和(1,2)上是单调递增函数②函数f (x )在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函
数；③函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝1处取得极小值；④函数f (x )在x ＝0处取得
极大值f (0)．则正确命题的序号是②④．(填上所有正确命题的序号)．
14．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范
围为 ．
15．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4
)＝ 16．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为
17．设点P 是曲线y ＝x 33
－x 2－3x －3上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是
18．已知函数f (x )＝12
x 2－a ln x (a ∈R )．(1)若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．
19．已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )．(1)求导函数f ′(x )；
(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值．
20．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >0，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．
21.已知函数f (x )＝12(1＋x )2－ln(1＋x )．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[1e
－1，e －1]时，f (x )<m 恒成立，求m 的取值范围．。