常系数齐次线性微分方程组 PPT课件
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高等数学课件微分方程D128常系数齐次线性微分方程
通解与特解关系剖析
通解概念
通解是包含所有解的表达式，通常由 指数函数、三角函数等构成，反映了 微分方程的固有性质。
特解概念
通解与特解关系
通解包含特解，特解是通解在特定条件 下的具体化。通过设定合适的初始条件 或边界条件，可以从通解中求得特解。
特解是满足特定初始条件或边界条件 的解，是通解中的一个特定情况。
初始条件对特解的影响
特解是满足初始条件的解，不同的初始条件会得到不同的特解。
叠加原理在求解中应用
叠加原理
如果函数y1, y2, ..., yn分别是微分方程的解，那么它们的线性组合c1y1 + c2y2 + ... + cnyn也是微分方程的解。
应用
通过叠加原理，可以将复杂的微分方程分解为多个简单的微分方程进行求解，再将这些 简单微分方程的解进行线性组合得到原方程的解。
分析生物学问题
根据求解结果分析生物学问题的 内在机制和影响因素，为生物资 源管理和疾病防控提供依据。
其他领域应用举例
经济学领域
01
利用常系数齐次线性微分方程描述经济现象（如价格变化、产
量变化等），分析经济问题的动态变化过程。
控制工程领域
02
利用常系数齐次线性微分方程描述控制系统的动态特性，分析
控制系统的稳定性和性能。
例题2
求解常系数齐次线性微分 方程2y'' + 3y' - 2y = 0 的通解。
分析与解答
首先写出特征方程2r^2 + 3r - 2 = 0，求解得到特征 根r1 = 1/2, r2 = -2，因此 通解为y = c1e^(1/2x) + c2e^(-2x)。
常微分方程课件：4_2常系数齐次线性微分方程的解法
█ 常系数齐次线性微分方程
本节先讨论aj(t)= aj(1≤ j ≤n)时的方程 L[x]=0 … … (1)
下面介绍求它的基本解组的一个经典方法-Euler待定指数函数法(特征根法).
试求形如x=eλt的解,λ∈C为待定常数.将 x=eλt代入L[x]=0得 L[eλt]=(λn+a1λn-1+…+an-1λ+an)eλt=0. 显然,x=eλt是(1)的解等价于F(λ)≡ λn+a1λn-1+…+an-1λ+an=0.
]
(dn y dtn
b1
dn1 y d t n1
b n1
dy dt
bn y)e1t
L1[ y]e1t .
因此方程(1)可化为 L1[y]=0 … … (2) bj仍为常数,而相应的特征方程是
G(μ)≡ μ n+b1 μ n-1+…+bn-1 μ +bn=0.
的复值解. 性质
定理1 设a1(t),…,an(t)均为实函数,z(t)=
φ(t)+iψ(t)是(4.2)的复值解,那么Re{z(t)}=
φ(t),Im{z(t)}=ψ(t)及 z(t)=φ(t)-iψ(t)都
是(4.2)的解.
定理2 设x=z(t)=φ(t)+iψ(t)是 L[x]=u(t)+iv(t)的复值解,u(t),v(t), aj(t) (j=1,2,…n)均为实函数,那么 x=Re{z(t)}=φ(t) 是L[x]=u(t)的解, x=Im{z(t)}=ψ(t)是L[x]=v(t)的解.
ekt≡e αt(cos β t+isin βt).
(或者用 ekt (kt)n 来定义)
常系数齐次线性微分方程组
是特征根， 对应的特征向量也与 对应的特征
向量共轭，因此方程组（2）出现一对共轭
的复值解.
常系数线性方程组
例 求解方程组
dx dt
1
2
5 1 x
解 系数矩阵A的特征方程为
1 5 2 9 0 2 1
故有特征根 1 3i, 2 3i 且是共轭的. 1 3i 对应的特征向量 r (r1, r2 )T 满足方程
2
x1
(t
)
3
et
.
2
常系数线性方程组
对2 1 2i, 有特征向量 r2 (0,1, i)T . 因此
0
0 0
x(t)
1
e(1
2i
)t
et (cos 2t
i
sin
2t
)
1
i
0
i
1 1
0 0
et
cos
2t
iet
sin 2t
.
sin 2t cos 2t
常系数线性方程组
(1 3i)r1 5r2 0
取 r1 5 得 r2 1 3i,则 r (5,1 3i)T是 1
对应的特征向量，因此原微分方程组有解
x(t)
1
5 3i
e3it
5e3it
(1
3i)e3it
cos
3t
5cos 3t 5i sin 3t 3sin 3t i(sin 3t
x(t)
X
(t)
1
1
X (t)
t 0
X
(s)
es
0
ds
cos 2s
常系数线性方程组
0
0
et
高数第十二章常系数齐次线性微分方程
yC1er1xC2er2x
C1,C2是 任 意 常 数 .
6
2 .特 征 根 是 实 重 根 的 情 形
r p (二重), 2
则 y 1 e r x 是 微 分 方 程 的 一 个 解 ,要 求 方 程 的 通 解 , 只 令 需 y y再 1 2 求 u 一 (x 个 ),解 则 y2y ,2 且 y yy 1 21不 u(是 x)常 数 erx .u(x),
12
例 1 求 微 分 方 程 y 2 y 3 y 0 的 通 解 . 解 特征方程为
r2 2r30,
解 得 特 征 根 r 1 1 ,r 2 3 , 故 所 求 方 程 的 通 解 为
yC1exC2e3x. C1,C2是 任 意 常 数 .
13
例 2 求 方 程d2s2dss0满 足 初 始 条 件 dt2 dt
y1
1 2 ( y1
y2 )
ex cosx
y2
1 2i ( y1
y2 )
ex sinx
9
y1,y2仍 是 微 分 方 程 的 解 .且
y1 y2
eexxcsoinsxxcotx
不是常数. 于 是 微 分 方 程 的 通 解 为
y e x (C 1c o sx C 2s inx )
则 (1 )的 通 解 即 可 求 得 :
yC1y1C2y2
2
分 析 : 一 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程
dy ay 0 dx 有 形 如 y e a x 的 解 ( 通 解 y C e a x 中 C 1 ) ,
猜 想 : 假 如 方 程 ( 1 ) 也 有 指 数 形 式 的 解
C1,C2是 任 意 常 数 .
6
2 .特 征 根 是 实 重 根 的 情 形
r p (二重), 2
则 y 1 e r x 是 微 分 方 程 的 一 个 解 ,要 求 方 程 的 通 解 , 只 令 需 y y再 1 2 求 u 一 (x 个 ),解 则 y2y ,2 且 y yy 1 21不 u(是 x)常 数 erx .u(x),
12
例 1 求 微 分 方 程 y 2 y 3 y 0 的 通 解 . 解 特征方程为
r2 2r30,
解 得 特 征 根 r 1 1 ,r 2 3 , 故 所 求 方 程 的 通 解 为
yC1exC2e3x. C1,C2是 任 意 常 数 .
13
例 2 求 方 程d2s2dss0满 足 初 始 条 件 dt2 dt
y1
1 2 ( y1
y2 )
ex cosx
y2
1 2i ( y1
y2 )
ex sinx
9
y1,y2仍 是 微 分 方 程 的 解 .且
y1 y2
eexxcsoinsxxcotx
不是常数. 于 是 微 分 方 程 的 通 解 为
y e x (C 1c o sx C 2s inx )
则 (1 )的 通 解 即 可 求 得 :
yC1y1C2y2
2
分 析 : 一 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程
dy ay 0 dx 有 形 如 y e a x 的 解 ( 通 解 y C e a x 中 C 1 ) ,
猜 想 : 假 如 方 程 ( 1 ) 也 有 指 数 形 式 的 解
第四讲 常系数线性齐次微分方程
考虑方程
L[ y]
dny dxn
a1
d n1 y dxn1
L
an y 0
(4.19)
其中a1, a2 , , an为常数, 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.
我们知道,一阶常系数齐线性方程
dy ax 0 dx
有解 y ceax ,
受此启发,对(4.19)尝试求指数函数形式的解
y ex , (4.20)
dy 1 dy , dx x dt
把上式入原方程得
d 2 y 1 d 2 y dy
dx2
x2 ( dt2
), dt
d 2 y dy
dt 2
2 dt
y0
上述方程的通解为: y(t) (c1 c2t)et ;
故原方程的通解为:
y(x) (c1 c2 ln x )x; 这里c1, c2为任常数;
2
en x
n en x
L
e n1 nx n
1 1 1
e (1 2 L n ) x 1
2 n
n1 1
n1
2
n1 n
e(12 L n ) x
(i j ) 0
1 jin
故解组(4.22)线性无关.
若i (i 1,2, , n)均为实数,
则(4.22)是方程(4.19)的基本解组 ,从而(4.19)的通解为
把方程 (4.19 )的2k个复值解 , 换成2k个实值解.
et cos t, tet cos t, , t k1et cos t; et sin t, tet sin t, , t k1et sin t.
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2, , k ,
《常系数微分方程》PPT课件
证明（反证法） 假若这些函数线性相关，则有
m
m
( A0(r)
A1(r )t
...
A t )e (r ) kr 1 rt kr 1
=
Pr (t)ert =0,
r 1
r 1
(4.27)
其中A(j r )是常数,不全为0. 不失一般性,假定多项式Pm (t)至少有一个系数不等于0,
因此Pm (t) 0.(4.27)两边除以e1t , 然后对t微分k1次,我们得到 m
=
Pr (t )ert =0,
r 1
r 1
其中A(j r )是常数,不全为0.
(4.27)
15
dnx
d n1x
dx
L[x] dt n a1 d n1t ... an1 dt an x 0 (4.19)
F () n a1 n1 ... an1 an 0 (4.21)
x ye1t
dx dt
an x
0
(4.19)
F () n a1 n1 ... an1 an 0 (4.21)
x ye1t
于是(4.19)化为
y=f(x) 只要找到y，
L1[ y] 其中b1 ,
dny dt n
b1
d n1 y d n1t
...
bn 1
dy dt
bn y
0,
(4.23)
b2 ,..., bn仍为常数,而相应的特征方程为
. 特征根是有重根的情形
设1是特征方程(4.21)的k1重特征根,则方程(4.19)如下k1个解:
e1t , te1t ,..., t k1 e 1 1t
(4.25)
证明 分两种情况：
(1)1 0. 此时证明过程很简单. (2)1 0. 作变量变换x ye1t , 注意到
7常系数齐次线性微分方程
特征方程
y r
2(
Cp1r
Cq 2x0)
e
r1
x
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3. 当 p2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解: 欧拉公式 ei cos i sin ,
y1 e( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e( i ) x e x (cos x i sin x )
特征方程: r 2 pr q 0,
特征根 实根
通
解
y C1 er1 x C2 er2 x y ( C1 C2 x ) er1 x
y e x (C1 cos x C2 sin x )
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
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例1. 求方程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解: 特征方程 r 2 2 r 3 0, 特征根: r1 1 , r2 3 ,
2 (1), (2) , (6)
第八节 目录 上页 下页 返回 结束
设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
er1 x [ (u 2 r1u r12u ) p(u r1u ) q u 0
u ( 2 r1 p )u ( r12 p r1 q )u 0
是特征方程的重根
u 0
取 u = x , 则得 y2 x er1 x , 因此原方程的通解为
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
d2s dt2
2
d d
s t
s
0
高数同济六版课件D77常系数齐次线性微分方程
欧拉方法的优点是简单易行，但缺点是收 敛速度较慢，需要较 大的步长才能得到较 好的近似解
描述振动和波：常系数齐次线性微分方程可以用来描述振动和波的传播，如弹簧振子、 声波、电磁波等。
热传导方程：常系数齐次线性微分方程可以用来描述热传导现象，如热传导方程。
扩散方程：常系数齐次线性微分方程可以用来描述扩散现象，如扩散方程。
流体力学：常系数齐次线性微分方程可以用来描述流体力学现象，如流体力学中的拉普 拉斯方程。
控制理论：用于描述和控制系统的动态行为 信号处理：用于分析信号的频率特性和滤波器设计 电路分析：用于分析电路的动态响应和稳定性 机械振动：用于分析机械系统的振动特性和稳定性
经济增长模型：用于描述和预测经济增长 消费储蓄模型：用于分析消费者行为和储蓄决策 投资决策模型：用于评估投资项目的可行性和回报率 货币供应模型：用于分析货币供应对经济的影响 汇率模型：用于预测汇率变动和影响因素 财政政策模型：用于评估财政政策的效果和影响
缺点：收敛速度慢，误差较 大
改进方法：改进欧拉方法， 如改进欧拉方法、龙格-库 塔方法等
龙格-库塔方法是一种常用的数值积分方法，用于求解常系数齐次线性微分方程 龙格-库塔方法的基本思想是将微分方程转化为差分方程，然后利用数值积分方法求解 龙格-库塔方法的优点是稳定性好，收敛速度快，适用于求解常系数齐次线性微分方程 龙格-库塔方法的缺点是计算量较大，需要多次迭代才能得到精确解
定义：一组线性 微分方程，每个 方程的未知函数 相同，但系数不 同
解：线性微分方 程组的解可以是 一个向量函数， 也可以是一个矩 阵函数
性质：线性微分 方程组的解具有 线性叠加性
应用：线性微分 方程组在物理学、 工程学等领域有 广泛应用，如电 路分析、控制系 统设计等
ppt1005课件常系数齐次线性微分方程祁课件2
将 y e rx , y ' re rx , y ' ' r 2e rx， 代入 y ' ' py ' qy 0，
得 (r pr q)e 0， 因e rx 0，只有r 2 pr q 0,
2
rx
故只要 r 满足 r 2 pr q 0 函数y e rx为方程的解，
称 r 2 pr q 0 为y ' ' py ' qy 0的特征方程 .
2、讨论特征方程
因 r 2 pr q 0为一元二次代数方程,它的 两个根r1、r2由公式 r1, 2 p p 4q 求出 . 2
2
(1) p 2 4q 0, r1与r2 是两不相等的实根 r1 p p 4q p p 4q , r2 2 2
ds 例2 求 2 2 s 0满足初始条件s |t 0 4, s '|t 0 2 dt dt
的通解.
d2s
解：特征方程为：r 2r 1 0
2
有两个相同实根：r1 r2 1，
故通解为：s (c1 c2t )e ，
t 故 s ( 4 c t ) e 将s |t 0 4代入通解，得c1 4， 2
1
故方程的通解为: y c1e
r1 x
c2 xe
r1 x
即 : y (c1 c2 x)e r x
1
(3)特征方程有一对共轭复根：
r1 i , r2 i ( 0)
则: y1 e i x , y2 e i x 是方程的两个解.
例5 求方程
d w 4 w 0 的通解，其中 0 . 4 dx
常系数齐次线性微分方程组.31页PPT
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利Leabharlann 常系数齐次线性微分方程组.
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
谢谢
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
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t
X (t s))F (s)ds
(3.8)
t0
这里C为任意常数列向量.
方程组（1）满足初始条件
r
r
xr (t0 ) xr0的解为
x(t) X (t t0 ))x0 t
(3.9)
X (t s))F(s)ds
这里的基解矩t0 阵满足：X(0)=E
常系数线性方程组
例 求解初值问题
dxr dt
6 6 4
所以＝－2(二重），＝4
常系数线性方程组
3 3 3 1 1 1
对于＝－2，A
2E
3
3
3
:
0
0
0
6 6 6 0 0 0
所以r1
r2
r3，分别取
r2 r3
＝
1
0
及
0 1
，得
1
－1
1
rr1＝ 1 ，rr2＝
0
，对于＝4，可以求得rr3＝
1
0
1
2
vr (t) 都是（2）的解. 证明 因为xr (t) ur (t) ivr (t) 是方程组（2）
的解，所以有
dxr (t) dur (t) i dvr (t) A(t)ur (t) ivr (t)
dt
dt
dt
A(t)ur (t) iA(t)vr (t)
由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等，
是
n 维列向量
函数.
根据解的结构定理知, 方程(1) 的通解为 (2)
的通解与方程 (1) 的一个特解之和. 前面我们 研究了方程 (2) 通解的求法, 这一节我们只研究(1) 的特解即可
常系数线性方程组
方程组（2）的基解矩阵为
X (t),
因此常系数非齐次方程组（1）的通 解为
xr (t) X（t)C
,
2
,L
, n (不必
互不相同), 那么矩阵
(t) [e1trr1, e2trr2,L , entrrn ], t
是常系数线性微分d方xr 程 组Axr (2) 的一个基解矩阵. dt
从而方程组（2）的基本解组归结为求A的n个线性无关的特征向量。
常系数线性方程组
证明: 由上面讨论知,每一个向量函数
的复值解.
常系数线性方程组
例 求解方程组
dxr dt
1
2
5 1
xr
解 系数矩阵A的特征方程为
1 5 2 9 0 2 1
故1有特3i征对根应的1 特 征3i向, 量2 rr3i(r且1, r是2 )共T 轭满的足.方程
常系数线性方程组
取
r1
5
(1 得 r2
3i)r1 5r2 1 3i,则
4t sin 2t sin 2t
2
8
0
et
cos 2t (1 1 t)sin 2t
.
2
(1
1
t)
cos
2t
5
sin
2t
2
4
常系数线性方程组
2
c1
1
1
2
3
c2
1
et
c3
0 et ;
2
1
常系数线性方程组
(2)矩阵A有ni重特征值i时，若对应的线性无关的特征向量有ni个，
则也可找到A的n个线性无关特征值。
例2
求齐次线性微分方程组
dxr dt
1 3 6
3 5 6
3
3
xr的通解。
4
解：先求特征值
1 3 3
A E 3 5 3 22 (4 ) 0
rr
0
(5,1
3i)T是
1
对应的特征向量，因此原微分方程组有解
xr (t)
1
5 3i
e3it
5e3it
(1
3i)e3it
cos
3t
5cos 3t 5i sin 3t 3sin 3t i(sin 3t
3cos
3t)
cos
5cos 3t 3t 3sin
3t
i
t 1!
r r1
t2 2!
r r2
L
t ni 1 r
! r ) ni 1
ni 1
的线rrrrrr12n＝＝i1性＝（（无（AA关A的iiEE解i E))rrrr，0)1， ，rrLni其2，中rr0为（A i E)ni
rr
r 0的非零解
常系数线性方程组
例3
常系数线性方程组
复（值4）解若xr (实t)系 u数r (t线) 性ivr齐(t次) 则方其程实组部（ur2(）和t) 有虚部
常系数线性方程组
所以 对应的齐次方程有解
0
0
r x2
(t
)
et
cos
2t
,
x3
(t
)
et
sin 2t
.
sin 2t
cos 2t
这样可以得到齐次方程组的基解矩阵
2et
X
(t
)
3et
2et
0 et cos 2t et sin 2t
0 et sin 2t . et cos 2t
常系数线性方程组
xr (t)
X
(t)
1
1
X (t)
t 0
X
(s)
es
0
ds
cos 2s
常系数线性方程组
0
0
et
cos
2t
sin
2t
cos 2t sin 2t
X (t)
t 0
cos 2s sin cos2 2s
2s
ds
0
0
et
cos cos
2t 2t
sin sin
2t 2t
(1)矩阵A具有n个互不相同的特征值时 由线代知识知道A一定有对应的n个线性无关
的特征向量。
常系数线性方程组
例1
dxr 求方程组 dt
5 1
3
28 5
16
18
3
xr
的通解.
10
解 系数矩阵A的特征方程为 det(E A) 3(1 2) 0
因此特征根为 1 0, 2 1, 3 1;
1
2
3
0 1 2
0 0
2
xr
0
,
1 et cos 2t
解: 首先, 我们求基解 矩阵
0
xr (0)
1
.
1
常系数线性方程组
A的特征方程为 det(A E) (1 )(2 2 5) 0.
因此矩阵 A 有特征根 1 1,2 1 2i,3 1 2i. 对 1 1, 有特征向量 rr1 (2, 3, 2)T , 进而得到对应 的齐次方程组的一个解
2
r x1
(t
)
3
et
.
2
常系数线性方程组
对2 1 2i, 有特征向量 rr2 (0,1, i)T . 因此
0
0 0
x(t)
1
e(1
2i
)t
et (cos 2t
i
sin
2t
)
1
i
0
i
1 1
0 0
et
cos
2t
iet
sin 2t
.
sin 2t cos 2t
sin
5sin 3t 3t 3cos
3t
常系数线性方程组
故
ur
且
(t)
ur (t)
和 covrs(35tt)co是s33原stin方3t程,的vr (两t)个 线s性in 无35ts关in3解3cto，s 3故t
原方程组的通解为
xr
(t
)
c1
cos
5cos 3t 3t 3sin
3t
e
jt
r rj
,
j 1, 2,L , n
都是（2)的解,因此矩阵
(t
)
[e1t
r r1
,
e2t
r r2
,L
,
ent
r rn
]
是(2)的由解于矩rr阵1, rr,2,L , rrn线性无关,
所以
det (0) det[rr1, rr2,L , rrn ] 0
故(t)是(2)的基解矩阵.
常系数线性方程组
常系数线性方程组
所以有dur (t) A(t)ur (t), dvr (t) A(t)vr (t)
即
ur
(t
)
和dtvr
(t
)
dt
是方程组（2）的解.
实矩阵A有复特征根一定共轭成对出现，即如
果 a ib是特征根，则共轭复数 a ib也
是特征根， 对应的特征向量也与 对应的特征
向量共轭，因此方程组（2）出现一对共轭
且 因此
1
2
0
0
X
1
(0)
3 2
1
0
1
0
1
X (t) X (t)X 1(0)
常系数线性方程组
1
et
3
3
cos
2t
sin
2t
2 2
1 3 sin 2t cos 2t
2
0 cos 2t sin 2t
0
sin 2t .
cos 2t
由公式 (3.9) 得, 原方程的解为
0
0
§7.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系d数xr 线 性Axr微分fr方(t)程, 组:（1） dt