常系数齐次线性微分方程组 PPT课件

,
2
,L
, n (不必
互不相同), 那么矩阵
(t) [e1trr1, e2trr2,L , entrrn ], t
是常系数线性微分d方xr 程 组Axr (2) 的一个基解矩阵. dt
从而方程组（2）的基本解组归结为求A的n个线性无关的特征向量。
常系数线性方程组
证明: 由上面讨论知,每一个向量函数
常系数线性方程组
所以 对应的齐次方程有解
0
0
r x2
(t
)
et
cos
2t
,
x3
(t
)
et
sin 2t
.
sin 2t
cos 2t
这样可以得到齐次方程组的基解矩阵
2et
X
(t
)
3et
2et
0 et cos 2t et sin 2t
0 et sin 2t . et cos 2t
常系数线性方程组
常系数线性方程组
所以有dur (t) A(t)ur (t), dvr (t) A(t)vr (t)
即
ur
(t
)
和dtvr
(t
)
dt
是方程组（2）的解.
实矩阵A有复特征根一定共轭成对出现，即如
果 a ib是特征根，则共轭复数 a ib也
是特征根， 对应的特征向量也与 对应的特征
向量共轭，因此方程组（2）出现一对共轭
(2)
dt
方程(4)有非零解的充要条件是: det(E A) 0,
结论
微分方程组(2)有非零解(t) etrr的充要条件是 是矩阵A的特征根, rr是与对应的特征向量.
常系数线性方程组
2 基解矩阵的计算方法
定理3.1如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量
r r1
,
r r2
,L
,
r rn
;
它们相应的特征值为1
(1)矩阵A具有n个互不相同的特征值时 由线代知识知道A一定有对应的n个线性无关
的特征向量。
常系数线性方程组
例1
dxr 求方程组 dt
5 1
3
28 5
16
18
3
xr
的通解.
10
解 系数矩阵A的特征方程为 det(E A) 3(1 2) 0
因此特征根为 1 0, 2 1, 3 1;
1
2
3
0 1 2
0 0
2
xr
0
,
1 et cos 2t
解: 首先, 我们求基解 矩阵
0
xr (0)
1
.
1
常系数线性方程组
A的特征方程为 det(A E) (1 )(2 2 5) 0.
因此矩阵 A 有特征根 1 1,2 1 2i,3 1 2i. 对 1 1, 有特征向量 rr1 (2, 3, 2)T , 进而得到对应 的齐次方程组的一个解
e
jt
r rj
,
j 1, 2,L , n
都是（2)的解,因此矩阵
(t
)
[e1t
r r1
,
e2t
r r2
,L
,
ent
r rn
]
是(2)的由解于矩rr阵1, rr,2,L , rrn线性无关,
所以
det (0) det[rr1, rr2,L , rrn ] 0
故(t)是(2)的基解矩阵.
常系数线性方程组
sin
5sin 3t 3t 3cos
3t
常系数线性方程组
故
ur
且
(t)
ur (t)
和 covrs(35tt)co是s33原stin方3t程,的vr (两t)个 线s性in 无35ts关in3解3cto，s 3故t
原方程组的通解为
xr
(t
)
c1
cos
5cos 3t 3t 3sin
3t
2
c1
1
1
2
3
c2
1
et
c3
0 et ;
2
1
常系数线性方程组
(2)矩阵A有ni重特征值i时，若对应的线性无关的特征向量有ni个，
则也可找到A的n个线性无关特征值。
例2
求齐次线性微分方程组
dxr dt
1 3 6
3 5 6
3
3
xr的通解。
4
解：先求特征值
1 3 3
A E 3 5 3 22 (4 ) 0
vr (t) 都是（2）的解. 证明 因为xr (t) ur (t) ivr (t) 是方程组（2）
的解，所以有
dxr (t) dur (t) i dvr (t) A(t)ur (t) ivr (t)
dt
dt
dt
A(t)ur (t) iA(t)vr (t)
由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等，
6 6 4
所以＝－2(二重），＝4
常系数线性方程组
3 3 3 1 1 1
对于＝－2，A
2E
3
3
3
:
0
0
0
6 6 6 0 0 0
所以r1
r2
r3，分别取
r2 r3
＝
1
0
及
0 1
，得
1
－1
1
rr1＝ 1 ，rr2＝
0
，对于＝4，可以求得rr3＝
1
0
1
2
rr
0
(5,1
3i)T是
1
对应的特征向量，因此原微分方程组有解
xr (t)
1
5 3i
e3it
5e3it
(1
3i)e3it
cos
3t
5cos 3t 5i sin 3t 3sin 3t i(sin 3t
3cos
3t)
cos
5cos 3t 3t 3sin
3t
i
它们相的特征向量为
2 2 3 rr1 1 , rr2 1 , rr3 0 ;
1 2 1
常系数线性方程组
故基解矩阵为
2 2et 3et
(t) 1 et
0
1 2et et
故通解为
2
xr (t) (t)C 1
2et et
3et 0
c1 c2
1 2et et c3
§7.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系d数xr 线 性Axr微分fr方(t)程, 组:（1） dt
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t)在 a t b上连续的向量函数;
若f (t) 0,则对应齐线性微分方程组为
dxr Axr (2) dt
本节先讨论(2)的基解矩阵的求法.
X
(t)
1 cos 4t 8
t sin 4t
2 8
常系数线性方程组
0
0
et
cos cos
2t 2t
sin sin
2t 2t
et
t
t sin 2t 2
cos 2t
cos 2t cos 4t cos 2t sin 8
sin 4t cos 2t sin 2t cos 4t
常系数线性方程组
1 基解矩阵与A的特征值和特征向量的关系
易知（2）有形如
r (t)
etrr , rr
r 0,
(3)
的解, 其中常数和向量rr 是待定的.
将(3)代入(2)得
etrr Aetrr ,
因et 0,上式变为
(E A)rr 0, (4)
常系数线性方程组
(
E
A)rr
r 0,
(4)
dxr Axr,
且 因此
1
2
0
0
X
1
(0)
3 2
1
0
1
0
1
X (t) X (t)X 1(0)
常系数线性方程组
1
et
3
3
cos
2t
sin
2t
2 2
1 3 sin 2t cos 2t
2
0 cos 2t sin 2t
0
sin 2t .
cos 2t
由公式 (3.9) 得, 原方程的解为
0
0
4t sin 2t sin 2t
2
8
0
et
cos 2t (1 1 t)sin 2t
.
2
(1
1
t)
cos
2t
5
sin
2t
2
4
常系数线性方程组
是
n 维列向量
函数.
根据解的结构定理知, 方程(1) 的通解为 (2)
的通解与方程 (1) 的一个特解之和. 前面我们 研究了方程 (2) 通解的求法, 这一节我们只研究(1) 的特解即可
常系数线性方程组
方程组（2）的基解矩阵为
X (t),
因此常系数非齐次方程组（1）的通 解为
xr (t) X（t)C
2
r x1
(t
)
3
et
.
2
常系数线性方程组
对2 1 2i, 有特征向量 rr2 (0,1, i)T . 因此
0
0 0
x(t)
1
e(1
2i
)t
Hale Waihona Puke Baidu
et (cos 2t
i
sin
2t
)
1
i
0
i
1 1
0 0
et
cos
2t
iet
sin 2t
.
sin 2t cos 2t
1
－1
1
所以通解为xr (t)=c1e2t
1
c2e2t
0
c3e4t
1
0
1
2
常系数线性方程组
(3)i为A的ni重特征值，对应的线性无关特征向量少于ni
个，则用定理3.2可找到ni个线性无关的解。
定理3.2 设i为A的ni重特征值，则方程组（2）有ni个形如
xr(t)
eit
r (r0
的复值解.
常系数线性方程组
例 求解方程组
dxr dt
1
2
5 1
xr
解 系数矩阵A的特征方程为
1 5 2 9 0 2 1
故1有特3i征对根应的1 特 征3i向, 量2 rr3i(r且1, r是2 )共T 轭满的足.方程
常系数线性方程组
取
r1
5
(1 得 r2
3i)r1 5r2 1 3i,则
c2
sin
5 3t
sin 3t 3cos
3t
常系数线性方程组
• 例3.5
常系数线性方程组
常系数非齐次线性微分方程组
考虑常系数非齐d次xr 线性A微xr分方Fr程(t组),
(1)
其对应的齐次线d性t 微分方r程组为
dx Axr
(2)
这里 A 是 n n 实常dt数矩阵,
r F
(t)
t
X (t s))F (s)ds
(3.8)
t0
这里C为任意常数列向量.
方程组（1）满足初始条件
r
r
xr (t0 ) xr0的解为
x(t) X (t t0 ))x0 t
(3.9)
X (t s))F(s)ds
这里的基解矩t0 阵满足：X(0)=E
常系数线性方程组
例 求解初值问题
dxr dt
xr (t)
X
(t)
1
1
X (t)
t 0
X
(s)
es
0
ds
cos 2s
常系数线性方程组
0
0
et
cos
2t
sin
2t
cos 2t sin 2t
X (t)
t 0
cos 2s sin cos2 2s
2s
ds
0
0
et
cos cos
2t 2t
sin sin
2t 2t
t 1!
r r1
t2 2!
r r2
L
t ni 1 r
! r ) ni 1
ni 1
的线rrrrrr12n＝＝i1性＝（（无（AA关A的iiEE解i E))rrrr，0)1， ，rrLni其2，中rr0为（A i E)ni
rr
r 0的非零解
常系数线性方程组
例3
常系数线性方程组
复（值4）解若xr (实t)系 u数r (t线) 性ivr齐(t次) 则方其程实组部（ur2(）和t) 有虚部