动力学基本定律

刚体作平动时, 刚体
质点。
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系
的质点组成的系统。 刚体：
是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的
质点组成。又称为不变质点系。
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三、动力学分类:
质点动力学
质点系动力学
质点动力学是质点 系动力学的基础。
四、动力学的基本问题： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
第四定律（力的独立作用定律）
若质点同时受到几个力的作用，则其加速度等于各力分 别作用于该质点时产生的加速度的矢量和。
若a质F1量为am1m的a1质a,F2点2受到m 力aF21,、aFn2、,…F…n 、Fmna的n作用，则有：
FR
F1
F2
Fn
ma1
ma2
man
FR ma
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§9-3 质点运动的微分方程
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第九章 动力学基本定律 §9–1 动力学引言 §9–2 动力学基本定律 §9–3 质点运动的微分方程 §9–4 质点动力学的两类基本问题
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§9–1 动力学引言
一、研究内容：研究物体的机械运动与作用力之间的关系
二、力学模型：
Hale Waihona Puke Baidu
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。
例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点；
综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
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§9–2 动力学基本定律
第一定律（惯性定律） 质点如不受任何力的作用，则保持静止或作匀速直线运动。
说明： 1. 质点具有惯性（保持原有运动速度大小和方向不变）。 2. 若质点运动状态改变，必定受到力的作用。
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3. 自然坐标形式
m
d 2s dt 2
Fi
(式 中s s(t )为 质 点 的 弧 坐 标 形 式 的运
v2 m
Fni
动 方 程 。Fi , Fni , Fbi分 别 为 各 力Fi 在 自 然
轴 系 轴, n轴 和b轴 上 的 投 影 的 代 数 和)
0 Fbi
质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式,
ma
F ,
G dv G sin
g dt
1
ma n
Fn ,
G g
v2 l
FT
G cos
2
⑤求解未知量
由
2 式得
FT
G( cos
v2 gl
)
,
n
FT
v
G
其中 ,v为变量.
由 1 式 知 重 物 作 减 速 运 动, 因 此 0时 , FT FT max
FT max
G(1
v
2 0
)
gl
[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。
②拉力FTmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉12力。
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、
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§9–2 动力学基本定律
第二定律（力与加速度关系定律）
质点因受力作用而产生的加速度，其方向与力相同，
大小与力成正比。
F ma
质点动力学的基本方程
说明： 1. 质量 m 是质点惯性的度量。 2. 力与加速度的关系是瞬时的。
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第三定律（作用与反作用定律）
两质点间相互作用的力，总是大小相等，方向相反，沿 着两点连线分别作用在两质点上。
动的初始条件，求出质点的运动。
如力是常量或是时间及速度函数时，
可直接分离变量
dv dt
积
分。
如力是位置的函数，需进行变量置换
dv v dv , 再分离变量积分。 dt ds
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[例2] 煤矿用填充机进行填充, 为保证充 填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米 的顶板A处。求 (1)充填材料需有
多大的初速度v0 ? (2)初速 v0与水
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[例1] 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速
运动，速度为 v0 ，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物 因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象 ②受力分析如图所示
③运动分析，沿以O为圆心, l 为半径的圆弧摆动。
n FT
v
G
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④列出自然形式的质点运动微方程
柱坐标形式等等。
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
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§9-4 质点动力学的两类基本问题
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）
解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 ⑤求解未知量。
求 (1)充填材料需有多大的初速
度v0 ? (2)初速 v0与水平的夹角
a0？
列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算
m
dvx dt
0
m
dv y dt
mg
dx dt
c1
dy
dt
gt
c2
x
c1t
c3
y
1 2
gt
2
c2t
c4
代 入 初 始 条 件 得: c1 v0 cos 0 ,c2 v0 sin0 ,c3 c4 0
平的夹角0？
解：属于已知力为常量的第二类问题。 选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。
t
0, x0
0,
y0
0;v0 x
v0 cos 0 , v0 y
v0
s
in
0
,
v0
,
待
0
求
t 瞬时 , M A , x S , y H , vx , vy
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[例2] S=5米,H=1.5米。
位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下： ①正确选择研究对象。 ②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，还要确定
出其运动初始条件）。
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④选择并列出适当的质点运动微分方程。 ⑤求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运
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运 动 方 程:
将动力学基本方程表示为微分形式的方程，称为质点的运动
微分方程。
1. 矢量形式
ma Fi
m dv dt
Fi
d 2r m dt2
Fi
2. 直角坐标形式
m
d2x dt 2
Fxi
d2y
m
dt 2
Fyi
m
d2y dt 2
Fzi
x x(t)
( 式中
y
y(t )
为质点直角坐标形式的运动方程)
z z(t)