第五章连续体力学
高中物理奥林匹克竞赛专题连续体力学(共张)课件
能量守恒定理
系统的能量在变形过程中 保持不变。
动量守恒定理
系统的动量在变形过程中 保持不变。
弹性力学在连续体力学中的应用
弹性力学在材料力学中的应用
通过弹性力学可以研究材料的应力分布、应变分布等，从而为材料的设计和优 化提供依据。
弹性力学在结构力学中的应用
通过弹性力学可以研究结构的稳定性、振动等，从而为结构的设计和优化提供 依据。
连续体力学中的基本概念
要点一
总结词
连续体力学中的基本概念包括应力、应变、应力和应变关 系等。
要点二
详细描述
应力是指单位面积上的力，用于描述物质系统内部的作用 力。应变则是指物质系统的变形量或位移量，用于描述物 质系统的形变。应力和应变之间的关系可以通过本构方程 来描述，不同的物质材料具有不同的本构方程。这些基本 概念是描述物质系统形变和运动规律的基础，对于理解物 质系统的力学行为和解决实际问题具有重要的意义。
03
弹性力学
弹性力学基础
1 2
弹性力学定义
弹性力学是研究物体在弹性范围内变形和应力的 学科。
弹性力学的基本假设
连续性、均匀性、各向同性、小变形假设。
3
弹性力学的基本量
位移、应变、应力等。
弹性力学中的基本定理
01
02
03
胡克定律
在弹性范围内，物体的应 力和应变之间成正比，即 应力=弹性模量×应变。
高中物理奥林匹 克竞赛专题连续 体力学课件
目录
• 连续体力学基础 • 流体动力学 • 弹性力学 • 专题研究 • 习题与解答
01
连续体力学基础
连续体的定义与分类
总结词
连续体的定义是指物质在空间上连续分布的一种模型，没有明显的边界。连续体可以分为可变形连续体和不可变 形连续体。
第五章B-连续体力学方程
2. 不考虑黏滞性(viscous characteristic) 气体和某些液体,如水,黏滞性小,可以忽略.
P.0/37
wzy
连续体力学
流体的黏滞性取决于流体内部接触层间切向黏滞力 (viscous force) (内摩擦力)的大小.
小与流体的流动状态有关
流管中单位重量流体从横截面 1处流到2处所损失的机械能
P.27/37
wzy
连续体力学
三、泊肃叶定律
液体在半径为R的圆管内流动 r = 0时 v最大 r → R v →0 R
L段之压力差 ( p1 − p2) πr2 p1
黏滞阻力 f =η dv ΔS
dr
定常流动 (
p1
−
p2 ) πr 2
作匀速直线下落时的速度称收尾速度(terminal velocity)
vT (沉积速度)
vT
=
2 9
ρ
− ρ0 η
gr2
ρ —小球密度 ρ0—液体密度
P.30/37
wzy
五、湍流(turbulent flow)
实际流体两种状态： 层流、湍流
v很大或S 线度增 大时流体在向前运动 同时还出现横向运动
连续体力学 P.31/37
wzy
观察实验
连续体力学
红色液体与水密度一样 阀门开启程度不同， A管中水流状态有何 不同？ A
P.32/37
wzy
连续体力学
阀门开启程度不同,A管中水流状态有何不同？
阀门微开
观察实验
阀门开大
A
A
湍
阀门再开大
第五章连续体力学
m(
L)2 2
可见，与转动惯量有关的因素：
J mi ri2
转轴的位置 刚体的质量
刚体的形状(质量分布)
2、平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转
动惯量为J，则有：
z
Jo＝Jc＋md2
o
C
两轴平行；
x
d
d
说明
JC 为刚体绕质心轴的转动惯量 d 为两平行轴间距离。
3、正交轴定理
a r 2 4
线速度与角速度之间的矢量关系为:
v r
定轴转动的特征12））：各各点点的的角线位位移移、、角线速速度度、、角线加加速速度度相不同同。。
例1 一半径为R=0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t的变 化关系为=(2+4t3)rad,式中t以s计。试求： （1）在t=2s时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速 度的大小。 （2）当角为多大时,该质点的加速度与半径成45o角。
所以
1 Mlv J
12 v
4
7l
[例5]一棒长l，质量m,其质量密度分布与到O点的距离成正比，
将细棒放在粗糙的水平面上，棒可绕O点转动，如图，棒的初始
角速度为ω0 ，棒与桌面的摩擦系数为μ。 求: (1)细棒对O点的转动惯量。
(2)细棒绕O点的摩擦力矩。 (3)细棒从以ω0 开始转动到停止所经历的时间。
dm
0
J 是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。
[例2] 求质量为m、半径为R的均匀薄圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。
解：设面密度为σ 取半径为r 宽为dr 的薄圆环,
R O r dr
dm ds 2rdr
第五章连续介质力学
5 本构关系
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫====)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆL L L L ηηεεq
q T T 在“纯力学”的研究中，本构关系常成为“应力－应变关系”
(1) 各向同性和各向异性
(3) 弹塑性和粘弹性
蠕变松弛
Newtonian fluid
Non-Newtonian fluid
Newtonian fluid
Viscoelastic fluid
5.2 本构关系的一般原理
确定性原理：物体在时刻t 的状态和行为由物体在该时刻以前的全部运动历史和温度历史所确定。
局部作用原理：物体中某一点在时刻t 的行为只由该点任意小邻域的运动历史所确定。
减退记忆原理：决定材料当前力学行为的各种变量的历史中，距今越远的历史对当前的力学行为影响越小。
客观性原理：物体的力学和热学的性质
不随观察者的变化而变化。
¾¾¾¾。
第五章 连续体力学
五．液体的表面现象 1．液体的表面张力 液体的表面像一张绷紧的弹性薄膜， 液体的表面像一张绷紧的弹性薄膜， 有收缩的趋势， 有收缩的趋势，在液体的表面层上 存在着一种沿着液体表面的应力— 存在着一种沿着液体表面的应力 —表面张力。为研究液体表面张力 表面张力。 表面张力 的大小， 的大小，我们在液体表面上划一条 假想的线元∆l， 假想的线元 ，把液面分割为两部 分，表面张力就是这两部分液面相 互之间的拉力。 互之间的拉力。
已知水和油边界的表面张力系数为， 例 已知水和油边界的表面张力系数为，为使半径 的一个大油滴在水中散布成多个半径为r的小 为R的一个大油滴在水中散布成多个半径为 的小 的一个大油滴在水中散布成多个半径为 油滴，问外界要作多少功？ 油滴，问外界要作多少功？ 一个大油滴在水中散布成N个小油滴的过程中 个小油滴的过程中， 解：一个大油滴在水中散布成 个小油滴的过程中， 液体表面积增大
理论上还可推出杨氏模量Y、剪切模量 和泊松系数 理论上还可推出杨氏模量 、剪切模量N和泊松系数 μ之间的关系： 之间的关系： Y N= 2(1 + µ ) 3、剪切形变的势能 、 用类似的方法可得出发生剪切形变的弹性势能密度
1 E = Nϕ 2 2
0 P
三、弯曲和扭转形变
1、梁的弯曲 、 水平横梁都会在自身重力和两端 支持力作用下发生弯曲。 支持力作用下发生弯曲。可认为 梁的上半部受压缩而下半部受拉 越靠边缘形变越大。 伸，越靠边缘形变越大。 对一个高为h，宽为 的矩形梁， 对一个高为 ，宽为b 的矩形梁， 可求出中性层的曲率半径R为 可求出中性层的曲率半径 为：
bb′ ≈ϕ 定义剪切应变： 定义剪切应变：tgϕ = ab
φ角也称为切变角。 角也称为切变角。 角也称为切变角
哈工大结构动力学连续体
纵向刚性位移。 纵向刚性位移。
4.2 圆轴扭转 假设: ） 每一横截面， 通过截面形心的轴线转动 假设 1） 每一横截面， 通过截面形心的轴线转动 绕 一个角度， 截面保持平面; ） 保持平面 截面上每一个点都转 一个角度， 截面保持平面 2） 截面上每一个点都转 动相同的角度。 表示。 动相同的角度。 扭转振动位移用 θ 表示。 由材料力学可知
4.1 直杆的纵向自由振动 4.1.1 直杆纵向振动微分方程 假设： 假设： 1） ） 杆的任一横截面在作纵向振动过程中始终保持为 平面， 横截面上各点， 在轴向上以相同的位移运动。 平面， 横截面上各点， 在轴向上以相同的位移运动。 2） 纵向运动过程中， ） 纵向运动过程中， 略去杆的纵向伸缩而引起的横 向变形。 向变形。 对任一横截面的纵向位移 u 都可写成关于 x 和 t 的函数 u ( x, t )
= 0, π , 2π , 3π ,... = nπ ( n = 1, 2, 3...)
nπ a x nπ ' U n ( x ) = A sin x = A sin ⋅ = An sin x a l a l
' n ' n
ωn
画出振型图，就是各点的振幅。 画出振型图，就是各点的振幅。 1阶
ω1 → U 1 ( x ) = A sin
扭矩为零
（3）弹性支承 ）
∂ϑ kϑ ( ℓ, t ) = −GJp ( ℓ, t ) ∂X
(4) 右端有一惯性圆盘，则有 右端有一惯性圆盘，
∂ϑ ∂ϑ J o 2 ( ℓ, t ) = − Jpd ( ℓ, t ) ∂t ∂x J 圆盘对称轴转动惯量
2
o
4.3 梁的弯曲振动
4.3.1 梁的横向振动微分方程 研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比>10） 研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比 ） ， 有纵向对称平面。振动运动过程中，假设： 有纵向对称平面。振动运动过程中，假设： 1）梁的轴向位移可以忽略 ）梁的轴向位移可以忽略 2）截面绕中性轴（梁几何中心线）转动可忽略 中性轴（ 几何中心线） ） 3） 变形时满足平面假设， ） 变形时满足平面假设， 并忽略剪力引起的变形
连续介质力学1-5
不为零 的只有
i = j = k = l; i = k ≠ j = l;
i= j≠k=l i=l≠ j=k
(2)绕x3旋转 0 绕 旋转90
0 1 0 {β i′j } = − 1 0 0 0 0 1
x1′ = x 2 , x 2′ = − x1 , x 3′ = x 3
推论:在任意置换下，张量的每一分量被换成另一分量， 推论 在任意置换下，张量的每一分量被换成另一分量， 在任意置换下 如该张量为各向同性张量，则这两个分量相等。 如该张量为各向同性张量，则这两个分量相等。 (1)先说明置换是旋转变换的特例 先说明置换是旋转变换的特例
T11 T12 T13 T21 T22 T23 T T32 T33 31
第五章 各向同性张量
r = xi ′ ei ′ = xi ei xi ′ = β i ′i xi
x1′ cos θ = x 2′ − sin θ
问:是否可能 是否可能
x2′ x 2
θ
r
x1′
x1
sin θ x1 x cos θ 2 sin θ x1 x1 x = x cos θ 2 2
− 1 0 0 {β i′j } = 0 − 1 0 0 0 1
Aijkl = Ai′j′k′l ′ = β i′i β j′j β k′k β l ′l Aijkl
i ′、j ′、k ′、l ′中有单数个 3时， Ai ′j′k ′l ′ = 0
再由置换知， 2 3 1 再由置换知，、、任意一个数值 如在下标中只出现单数 次，则该项 Aijkl = 0。
A11 A21 A 31
连续介质力学课件
第五章 内容提要
7.位移变分法
⑴瑞利－里茨法：设定位移试函数，
u u (x, y) A u (x, y),
0
mm
m
v v (x, y) B v (x, y),
0
mm
预先满足 su上的约束m边界条件，再满足
瑞利－里茨变分方程，
U
Am
U
B m
A fxum d x d y
sσ
f
u
xm
d
s,
(m 1,2)
f v d x d y f v d s.
A ym
sσ y m
第五章 内容提要
⑵伽辽金法：设定位移势函数预先满足su 上的约束边界条件和sσ 上的应力边界
条
件，再满足伽辽金变分方程，
E 2u 1 μ 2u 1 μ 2v
A
[ 1
μ2
E
A
[ 1
μ2
( x2 2v ( y 2
xy
x
f
y
0.
第二章 内容提要
（2）几何方程
x
u x
,
y
v y
,
（3）物理方程
xy
u y
xv.
x
1 E
(σ x
σ y ), y
1 E
(σ y
σx ),
xy
2(1 E
) xy .
第二章 内容提要
和边界条件： （1）应力边界条件
(lσ x m yx )s f x ,
(mσ y l xy )s f y .
（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。 当不记体力时，应力分量的表达式为
σ
ρ
1 ρ
Φ ρ
连续体力学发展史
连续体力学发展史全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：连续体力学发展史连续体力学是研究连续介质中力学行为的一门学科，是力学的一个重要分支。
随着科学技术的发展，连续体力学也在不断演进和完善。
本文将从古代开始，介绍连续体力学的发展史。
古代，人们对于连续体的力学行为已经有所认识，例如古希腊的哲学家亚里士多德就曾经讨论过物体的形变和运动。
其后，欧洲文艺复兴时期的科学家伽利略和笛卡尔开始研究自然界的力学现象，建立了力学的基本框架。
在当时的力学理论中，连续体仍然没有被充分理解和研究。
18世纪，欧洲科学家达朗贝尔提出了连续体的运动方程，并发展了弹性体的弹性理论。
达朗贝尔还研究了流体的性质，为后来的流体力学奠定了基础。
之后，随着工业革命的到来，人们对连续体的研究越来越深入。
19世纪，卢瑟福和高斯等科学家提出了有限形变理论，为连续体的力学研究做出了重要贡献。
20世纪初，随着爱因斯坦的广义相对论的提出，连续体力学开始与相对论和量子力学相结合。
狄拉克等科学家提出了相对论性连续体力学的理论，为宇宙学和宏观物质的研究提供了新的方法。
随着计算机技术的发展，数值模拟方法在连续体力学中得到了广泛应用，例如有限元法等。
当前，随着科学技术的不断发展，连续体力学已经成为研究物质力学行为的重要工具之一。
在生物医学、工程学、地球物理学等领域，连续体力学的应用越来越广泛。
生物力学研究了生物组织的弹性特性，为医学诊断和治疗提供了重要依据；地球物理学利用连续体力学理论解释地球内部的变形和地震的发生机制；工程学应用连续体力学理论设计机械结构和材料。
连续体力学的发展史可以说是与科学技术的发展史密不可分。
从古代的探讨到现代的应用，连续体力学不断演进和完善，为人类认识自然界提供了重要工具和方法。
相信在未来的科学研究中，连续体力学将继续起着重要的作用，为人类社会的进步和发展做出贡献。
第二篇示例：连续体力学是研究物质连续性质和运动规律的科学。
它是力学和物理学的重要分支之一，其发展历史可以追溯到古希腊时期。
连续体力学发展史
连续体力学发展史全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：连续体力学发展史连续体力学是力学的一个重要分支，研究的是连续介质的力学行为。
在物质世界中，几乎所有的物质都是连续的，因此研究其性质和行为对于我们理解自然和科学发展至关重要。
本文将对连续体力学的发展历史进行详细的介绍，希望能够带给读者更深入的了解。
古希腊时期，人们对物质的本质和性质进行了探讨，开始了对连续介质的研究。
亚里士多德认为物质是连续的，对空间的无限分割并不符合物质的本质。
他的连续体观念对后来的科学发展产生了重要的影响，奠定了连续体力学的基础。
随着科学技术的发展，人们对连续介质的研究逐渐深入。
十七世纪，牛顿提出了著名的牛顿力学，建立了刚体力学的基础。
但是刚体并不是自然界中所有物体的真实状态，连续介质的研究需求越来越迫切。
在十八世纪中期，拉普拉斯提出了流体动力学的基本方程，奠定了连续体力学的理论基础。
从此，连续体力学逐渐成为力学领域的一个重要分支。
随着科学技术的不断进步，连续体力学的研究也得到了长足的发展。
十九世纪末，爱因斯坦提出了广义相对论，重新诠释了引力的本质，并对连续介质的理论进行了重要的拓展。
在二十世纪，量子力学的发展对连续介质的研究提出了新的挑战，人们开始探讨微观尺度和宏观尺度之间的联系和转换。
各种新的理论和模型相继诞生，为连续体力学的研究提供了新的思路和方法。
近年来，随着计算机技术和数值模拟的不断发展，连续体力学的研究取得了更加深入和广泛的成果。
人们利用数值模拟和计算机模拟手段，对连续介质的力学行为进行了详细的研究和分析，取得了一系列重要的科学成果。
实验技术的不断进步也为连续体力学提供了更加直接和准确的验证手段，使得理论和实验相互印证，相互促进，推动了该领域的快速发展。
未来，随着科学技术的不断发展和进步，连续体力学的研究将会更加深入和广泛。
人们将不断拓展研究领域，深化理论模型，提出新的问题和挑战，探索更广阔的科学领域。
人们将继续加强理论研究和实验验证的结合，促进理论和实践的相互促进，推动连续体力学的不断发展和完善。
力学第五单元连接体问题与临界问题
A. 车厢的加速度为θsin gB. 绳对物体1的拉力为θcos 1gmC. 底板对物体2的支持力为g m m )(12-D. 物体2所受底板的摩擦力为θtan 2g m连接体作业1、如图所示，小车质量均为M ，光滑小球P 的质量为m ，绳的质量不计，水平地面光滑。
要使小球P 随车一起匀加速运动（相对位置如图所示），则施于小车的水平拉力F 各是多少？（θ已知）球刚好离开斜面 球刚好离开槽底F= F= F= F=2、如图所示，A 、B 质量分别为m1，m2，它们在水平力F 的作用下均一起加速运动，甲、乙中水平面光滑，两物体间动摩擦因数为μ，丙中水平面光滑，丁中两物体与水平面间的动摩擦因数均为μ，求A 、B 间的摩擦力和弹力。
f= f= F AB = F AB =3、如图所示，在光滑水平桌面上，叠放着三个质量相同的物体，用力推物体a ，使三个物体保持静止，一起作加速运动，则各物体所受的合外力 （ ）A ．a 最大B ．c 最大C ．同样大D ．b 最小4、如图所示,小车的质量为M,说法正确的是( )A.在竖直方向上,B.在水平方向上,C.若车的加速度变小,D.若车的加速度变大,5、物体A 、B 叠放在斜面体C 上，物体B 的作用下一起随斜面向左匀加速运动的过程中，物体A 、B 相对静止，水平地面给斜面体C 的摩擦力为（02≠f F ），则（ ）A. 01=f F B. 2f F 水平向左 C.1f F 水平向左 D. 2f F 水平向右6、如图3所示，质量为M 至速度为零后加速返回，而物体M A. 地面对物体M B. 地面对物体M C. 物块m D. 地面对物体M 的支持力总小于g m M )(+7、如图所示，质量M ＝8kg 的小车放在光滑的水平面上，在小车右端加一水平恒力F ＝8N ，当小车速度达到1.5m/s 时，在小车的前端轻轻放上一大小不计、质量m ＝2kg 的物体，物体与小车间的动摩擦因数μ＝0.2，小车足够长，求物体从放在小车上开始经t ＝1.5s ，物体相对于小车的位移大小.(g 取10m/s 2)8、如图所示，质量为A m 的物体A 沿直角斜面C 下滑，质量为B m 面与水平面成θ部分的水平压力的大小。
有限元Chapter5连续体的有限元分析原理
S pjm Sijm
Sipm Sijm
Sijp Sijm
1
2、形函数Ni在节点i处的值为1，在其余节点处为零。
Ni ( xi , yi ) 1 N j ( xi , yi ) 0 Ni ( x j , y j ) 0 N j (xj , y j ) 1 Ni ( xm , ym ) 0 N j ( xm , ym ) 0 N m ( xm , ym ) 1
y
Ni
Nj
S pjm Sijm
Sipm Sijm
x j xp x j - xi
i
m
x p xi x j xi
p
j
，
x
Nm
Sijp Sijm
0
同理可以得到其它边界上的情况。
讨论1：由于该单元的节点位移是以整体坐标系中的x方向和y方向
来定义的，所以没有坐标变换问题。 讨论2：由于该单元的位移场为线性关系式，其中应变转换矩阵和
Ni
x/a x/a x/a-1
Nj
y/b y/b-1 y/b
Nm
1-x/a-y/b 2-x/a-y/b 2-x/a-y/b
3
1-x/a
1-y/b
x/a+y/b-1
单元应变
x y xy
e
u x x v 0 y v u x y y x 0 y 0 Ni y 0 x
S pjm
选择单元位移函数应满足以下条件：
1）反映单元的刚体位移与常量应变。 2）相邻单元在公共边界上的位移连续，即单元之间不能重叠，也不能 脱离。 b1 a2 b1 a2 u a0 a1 x y y 2 2
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l2
O
dM
r d
f
2mg
l2
r
2
d
r
r
dr
0
f
(选z方向为正）
dM
M 0
dM
M
l 0
2mg
l2
r
2
d
r
2 mgl
3
3）由角动量原理：
t
0 M d t J J0
则
2 3
mglt
0
1 2
ml
20
t 3l0 4g
作业：5 – 1, 5--5, 5--7
§5-3 刚体的定轴转动定律
对于作定轴转动的刚体，满足：
第五章 连续体力学
连续体包括刚体、弹性固体、流体（液体和气体） 本章重点介绍刚体的力学规律。
§5-1 刚体运动学
一、刚体的平动与转动： 1、刚体 ─ 受力时形状和大小完全不变的的物体为刚体。刚体 上的任两点间的距离 始终保持不变。刚体是一种理想模型。
2、平动 ─ 刚体上任意两点的连线在运动中保持平行，这种 运动称为刚体的平动。
mi Rivi
zLioLiz来自Lzori
mi
o Ri
均匀细棒对OZ轴的角动量：
Lz mivi Ri cos miviri
miri2 ( miri2)
Lz J
定义：刚体转动惯量： J miri2
2、转动惯量的计算： 若质量离散分布：（质点，质点系）
J＝ miri2
i
若质量连续分布：
线速度与角速度之间的矢量关系为:
v
r
o r
v
[例1]一半径为R = 0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t 的
变化关系为 = ( 2 + 4t 3 )rad,式中t 以 s 计。试求：
1）在t =2s 时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向 加速度的大小。
2）当角 为多大时,该质点的加速度与半径成 45 o。
Lz J22 J11
t2 t1
M
z
d
t
2) Fi 0 不等价 Mi 0
例: i)
F2
F1
Fi 0
Mi 0
ii)
F1
F2
Fi 0
Mi 0
[例4]光滑的水平桌面上有一个长为l，质量为M 的均匀细棒，以
速度v 运动，与一固定于桌面上的钉子O相碰，碰后细棒绕
O点转动，试求∶1) 细棒绕O点的转动惯量；
Z
rF
sin
M z有两个方向，Mz有正负
z
o r
z
Mz
Ft
F
Fn
Fz
F
2)力不在转动平面内： M Z r F面
o r
F面
Fz 平行于转轴，对转轴产生的的力矩为零。（定义）
3、 当有n 个力作用于刚体，则
M z M1z M 2z M nz
合力矩的大小等于 各力对转轴的力矩的代数和。
4、 刚体中内力对给定转轴的力矩的 矢量和等于零，只需考虑外力矩 的作用。
结论：
F3
z
F2
3
2
F1
r3
r2
1
O
r1
z
O
d
r1 r2
1
f21
f12 1 2
2
❖ 与转轴垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩。 ❖ 与转轴平行的力对转轴不产生力矩。 ❖ 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。
三、刚体的角动量原理：
刚体→质点系(由无限多个质元构成的连续体)
质点系的角动量原理：
解: 角加速度β.
•m1 R
m1：分析力矩；由转动定律得：
• m1
R
TR J
1)
T
m2
m2：分析受力，由牛顿运动定律得：
T
m2g T m2a
2)
又有
J
1 2
m1 R 2
3)
m2 g
a R
4)
T T
5)
联立求解得： a
2m2 g
m1 2m2
2m2 g
R(m1 2m2 )
[例2]一刚体由质量为m ,长为 l的均匀细杆和质量为m的小球组成，
可绕O轴转动。 且O轴无摩擦.求:1)刚体绕轴O的转动惯量。
2)杆与竖直方向成θ角时,小球的角速度和法向加速度.
解:1)
J杆
1 3
ml 2
J 球 ml 2
J ml2 1 ml2 4 ml2
3
3
O m, l
2)杆与竖直方向成θ角时,合外力矩:
M mgl sin mg l sin 3 mgl sin
mg
2
2
m
mg
由转动定律: M J
得： M 9g sin
J
8l
上边已得 9g sin
8l
又 d d d d
dt d dt
d
9g sin d
8l
d
分离变量积分得:
2
9g sin d
8l
d
0
3
2
g cos l
小球的法向加速度 ：
an
l 2
9 4
g
c os
[例3] 一轻绳跨过一定滑轮, 滑轮视为圆盘, 绳的两端分别悬有质
m1
a1
对滑轮分析T力1R矩，T2由R转1 动J定律得：
m1g
m
m2
m1
T2
a2
m2
m2 g
又是：
J 1 mR2
a1 2 a2 R
T1 T1
m•
T1
T2
T2 T2
上边已得:
: m1g T1 m1a1
T2 m2 g m2a2 T1R T2R1 J
vB
L 2
3 3 gL8
§5-2 刚体的角动量和角动量原理
一、刚体的角动量及转动惯量：
1、刚体的角动量：
考察一个以角速度ω绕OZ轴转动的均匀细棒 ：
质元 mi 对O点的 元角动量:
Lo
Lio mi Ri vi
Lio mivi Ri
均 匀细棒对O点的角动量：
Lo (mi Ri vi ) Lo
t 0.55s ( 舍去t = 0 和 t = － 0.55 )
此时砂轮转过的角度：
= ( 2+ 4t 3)= 2 + 4 ×（0.55)3 = 2.67 ( rad )
[例2]一细棒绕O点自由转动，并知 3g c,oLs为棒长。
2L
求: 1)棒自水平静止开始运动, 时 ,/ 3 ?
解: 1)
d 12t 2 d 24t
dt
dt
an R 2 0.1 482 230.4(m / s2 )
at R 0.1 48 4.8(m / s2 )
2) an R 2 14.4t 4 at R 2.4t tg45 at / an 1 14.4t 4 2.4t
dt
d2
dt2
' ' (t)
由于在定轴转动中轴的位置不变，故
,
只有沿轴的
正负两个方向，可以用标量代替。
刚体作匀变速转动时，相应公式如下：
y
0
0t
1 t 2
2
P
r
0 t
2
2 0
2 (
0)
P
O S
A
A
角量与线量的关系：
'
s r , v r
x
at r , an r 2
a r 2 4
0
2
2
[例3] 求长为L、质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。
解：取如图坐标，dm = dx
A dm
B
J A
L x2 d x mL2 / 3
0
A
JC
x2 d m
L
2 L
2
x2
d
x
mL2 12
J
A
JC
m(
L)2 2
L
C dm Bx
L/2
L/2 x
可见，与转动惯量有关的因素：
J miri2 ➢转轴的位置
Jo
1 2
mR2
z
md 2
o
zy
y2dm x2dm J x J y
对于均匀圆盘： J x
Jy
1 2
Jz
1 4
mR2
二、作用于刚体的力矩：
z
1、 作用于刚体的力对空间某点A的力矩： M A rA F
A
o
rA
F
2、 作用于刚体的力对转轴的力矩：
1)力在转动平面内： MZ r F
大小：M
M外
dL dt
L
t2 t1
M
外
d
t
定轴转动的刚体:
Mz
d Lz dt
同样适用于刚体。
A
z
LZ
Fz
MZ
rA
o r
F Ft F面
Lz J z22 J z1 1
t2 t1
M
z
d
t
Fn
四、刚体的角动量守恒定律：
M外
dL dt
若
M外
0 ，则L
J
常矢量
注意:
1)定轴转动时，M外=0时，且J=常量，即刚体保持静止 或匀角速转动。J不为恒量时，Jω=恒量。
J r2 dm
J 的单位：kgm2 dm为质量元，简称质元。取法如下：
◆质量为线分布
dm dl
◆质量为面分布
dm ds
◆质量为体分布
d m dV
其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。