第五章连续体力学

复杂运动可视为刚体平动和刚体转动的叠加。
二、刚体定轴转动的角量描述：
定轴转动只有两个转动方向。 规定沿 ox 轴逆时针转动为正方向，反之为负方向。
角位置： (t) 刚体定轴转动的运动学方程。
角位移:
y
平均角速度： ＝
t
P
r
P
角速度： ＝d ' (t)
O S
A
A
dt
'
x
角加速度：
d
dL
M
dt
Lz , M z 方向沿转轴，其方向由 M z , Lz 的符号决定。
又因：
L J
若J为恒量，则有上面二式得：
此式表明：
M J d J
dt
刚体作定轴转动时，刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩 方向相同,大小成正比,与对该轴的转动惯量成反比，这条规律称 为刚体的转动定律。
讨论:
1、转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴为惯性系。
vB
L 2
3 3 gL8
§5-2 刚体的角动量和角动量原理
一、刚体的角动量及转动惯量：
1、刚体的角动量：
考察一个以角速度ω绕OZ轴转动的均匀细棒 ：
质元 mi 对O点的 元角动量:
Lo
Lio mi Ri vi
Lio mivi Ri
均 匀细棒对O点的角动量：
Lo (mi Ri vi ) Lo
特征： 各个质点的位移、速度、加速度相等。 例：黑板擦、电梯、活塞的运动。
注意：刚体平动时，质点的轨迹不一定是直线。 3、转动 -- 刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。
定轴转动 ─ 转轴相对参考系固定不动的转动。 特征： 1）各点的角位移、角速度、角加速度相同。 2）各点的线位移、线速度、线加速度不同。
4
12 v
7l
[例5]一棒长l，质量m,其质量密度分布与到O点的距离成正比， 将细棒放在粗糙的水平面上，棒可绕O点转动，如图，棒的 初始角速度为ω0 ，棒与桌面的摩擦系数为μ。
求: 1)细棒对O点的转动惯量。2)细棒绕O点的摩擦力矩。 3)细棒从以ω0 开始转动到停止所经历的时间。
Z
解： 1)在离O点r 处取微元dr，则：
解: 角加速度β.
•m1 R
m1：分析力矩；由转动定律得：
• m1
R
TR J
1)
T
m2
m2：分析受力，由牛顿运动定律得：
T
m2g T m2a
2)
又有
J
1 2
m1 R 2
3)
m2 g
a R
4)
T T
5)
联立求解得： a
2m2 g
m1 2m2
2m2 g
R(m1 2m2 )
[例2]一刚体由质量为m ,长为 l的均匀细杆和质量为m的小球组成，
dt
d2
dt2
' ' (t)
由于在定轴转动中轴的位置不变，故
,
只有沿轴的
正负两个方向，可以用标量代替。
刚体作匀变速转动时，相应公式如下：
y
0
0t
1 t 2
2
P
r
0 t
2
2 0
2 (
0)
P
O S
A
A
角量与线量的关系：
'
s r , v r
x
at r , an r 2
a r 2 4
0
2
2
[例3] 求长为L、质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。
解：取如图坐标，dm = dx
A dm
B
J A
L x2 d x mL2 / 3
0
A
JC
x2 d m
L
2 L
2
x2
d
x
mL2 12
J
A
JC
m(
L)2 2
L
C dm Bx
L/2
L/2 x
可见，与转动惯量有关的因素：
J miri2 ➢转轴的位置
量为m1和m2的物体, m1﹥m2 . 设滑轮的质量为m, 半径为r, 忽略摩擦。 绳与滑轮之间无相对滑动。
求: 物体的加速度和绳的张力。
解 :m1﹥m2 ， 则 m1 向 下 加 速 运 动 ， m2 向 上
加速运动，滑轮逆时针转动。
对m1 、m2分析受力，由牛顿定律得： T1
: m1g T1 m1a1 T2 m2 g m2a2
可绕O轴转动。 且O轴无摩擦.求:1)刚体绕轴O的转动惯量。
2)杆与竖直方向成θ角时,小球的角速度和法向加速度.
解:1)
J杆
1 3
ml 2
J 球 ml 2
J ml2 1 ml2 4 ml2
3
3
O m, l
2)杆与竖直方向成θ角时,合外力矩:
M mgl sin mg l sin 3 mgl sin
Lz J22 J11
t2 t1
M
z
d
t
2) Fi 0 不等价 Mi 0
例: i)
F2
F1
Fi 0
Mi 0
ii)
F1
F2
Fi 0
Mi 0
[例4]光滑的水平桌面上有一个长为l，质量为M 的均匀细棒，以
速度v 运动，与一固定于桌面上的钉子O相碰，碰后细棒绕
O点转动，试求∶1) 细棒绕O点的转动惯量；
M外
dL dt
L
t2 t1
M
外
d
t
定轴转动的刚体:
Mz
d Lz dt
同样适用于刚体。
A
z
LZ
Fz
MZ
rA
o r
F Ft F面
Lz J z22 J z1 1
t2 t1
M
z
d
t
Fn
四、刚体的角动量守恒定律：
M外
dL dt
若
M外
0 ，则L
J
常矢量
注意:
1)定轴转动时，M外=0时，且J=常量，即刚体保持静止 或匀角速转动。J不为恒量时，Jω=恒量。
2R
J R2 d m R2 dl
0
OR dm
R2 2R mR2
[例2] 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。
解：设面密度为σ；
取半径为 r 宽为dr 的薄圆环,
d m d s 2 r d r
R
o r dr
J r2 d m R r2 2r2 d r 1 R4 1 mR2
t 0.55s ( 舍去t = 0 和 t = － 0.55 )
此时砂轮转过的角度：
= ( 2+ 4t 3)= 2 + 4 ×（0.55)3 = 2.67 ( rad )
[例2]一细棒绕O点自由转动，并知 3g c,oLs为棒长。
2L
求: 1)棒自水平静止开始运动, 时 ,/ 3 ?
2)此时端点A 和中点B 的线速度为多大?
解: 1)棒做变加速运动：
d 3g cos, 又 d
dt 2L
d
d 3g cosd
2L
d
3 3g cosd
0
0 2L
O• •B
A
2 3g sin 3 3 g L 3 2L
3 3g
2L
由：v r 得：
vA L 3 3 gL 2
l2
O
dM
r d
f
2mg
l2
r
2
d
r
r
dr
0
f
(选z方向为正）
dM
M 0
dM
M
l 0
2mg
l2
r
2
d
r
2 mgl
3
3）由角动量原理：
t
0 M d t J J0
则
2 3
mglt
0
1 2
ml
20
t 3l0 4g
作业：5 – 1, 5--5, 5--7
§5-3 刚体的定轴转动定律
对于作定轴转动的刚体，满足：
dm dr ?
O
设 kr则：
0
l
dr
l krd r 1 kl2 m
0
0
2
2m l2
r
J0
r2 dm
m
l 0
2mr l2
2
r
dr
mr 4 2l 2
l 0
1 2
ml 2
2）细棒上距O 点r 处长dr 的线元所受的摩擦力和对O点的
摩擦力矩：
Z
d f d m g g d r g 2m r d r
的正负。 ❖ 当系统中既有转动物体, 又有平动物体时, 用隔离法解
题,基本步骤为: （1）隔离物体,对平动的物体分析力,对转动物体分析力矩,画受力图 （2）建立坐标系,对平动物体用牛顿定律、对转动物体用转动定律
分别建立方程 （3）找出各物体间的物理量之间的关系方程，并联立求解
[例1] 如图所示，m1，m2，R已知。求：m2的加速度a 和轮子的
解: 1)
d 12t 2 d 24t
dt
dt
an R 2 0.1 482 230.4(m / s2 )
at R 0.1 48 4.8(m / s2 )
2) an R 2 14.4t 4 at R 2.4t tg45 at / an 1 14.4t 4 2.4t
mg
2
2
m
mg
由转动定律: M J
得： M 9g sin
J
8l
上边已得 9g sin
8l
又 d d d d
dt d dt
d
9g sin d
8l
d
分离变量积分得:
2
9g sin d
8l
d
0
3
2
g cos l
小球的法向加速度 ：
an
l 2
9 4
g
c os
[例3] 一轻绳跨过一定滑轮, 滑轮视为圆盘, 绳的两端分别悬有质
结论：
F3
z
F2
3
2
F1
r3
r2
1
O
r1
z
O
d
r1 r2
1
f21
f12 1 2
2
❖ 与转轴垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩。 ❖ 与转轴平行的力对转轴不产生力矩。 ❖ 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。
三、刚体的角动量原理：
刚体→质点系(由无限多个质元构成的连续体)
质点系的角动量原理：
Jo
1 2
mR2
z
md 2
o
zy
y2dm x2dm J x J y
对于均匀圆盘： J x
Jy
1 2
Jz
1 4
mR2
二、作用于刚体的力矩：
z
1、 作用于刚体的力对空间某点A的力矩： M A rA F
A
o
rA
F
2、 作用于刚体的力对转轴的力矩：
1)力在转动平面内： MZ r F
大小：M
J r2 dm
J 的单位：kgm2 dm为质量元，简称质元。取法如下：
◆质量为线分布
dm dl
◆质量为面分布
dm ds
◆质量为体分布
d m dV
其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。
[例1] 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环
平面垂直并通过圆心。
解: 设线密度为λ； d m d l
m1
a1
对滑轮分析T力1R矩，T2由R转1 动J定律得：
m1g
m
m2
m1
T2
a2
m2
m2 g
又是：
J 1 mR2
a1 2 a2 R
T1 T1
m•
T1
T2
T2 T2
上边已得:
: m1g T1 m1a1
T2 m2 g m2a2 T1R T2R1 J
2) 碰前棒对O点的角动量；3)
解:1)
J
r2dm
l
4 3l
4
x2
M l
dx
碰7后M棒l转2 动的角v速度。
48
o
l
(也可由平行轴定理求J )
4
l
2) 碰前棒作平动，对O点的角动量按质心处理。故有：
l1
Lo
Mv 4
4
Mlv
3)设碰后的角速度为 . 碰撞中外力矩为零,角动量守恒。
1 Mlv J
第五章 连续体力学
连续体包括刚体、弹性固体、流体（液体和气体） 本章重点介绍刚体的力学规律。
§5-1 刚体运动学
一、刚体的平动与转动： 1、刚体 ─ 受力时形状和大小完全不变的的物体为刚体。刚体 上的任两点间的距离 始终保持不变。刚体是一种理想模型。
2、平动 ─ 刚体上任意两点的连线在运动中保持平行，这种 运动称为刚体的平动。
线速度与角速度之间的矢量关系为:
v
r
o r
v
[例1]一半径为R = 0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t 的
变化关系为 = ( 2 + 4t 3 )rad,式中t 以 s 计。试求：
1）在t =2s 时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向 加速度的大小。
2）当角 为多大时,该质点的加速度与半径成 45 o。
Z
rF
sin
M z有两个方向，Mz有正负
z
o r
z
Mz
Ft
F
Fn
Fz
F
2)力不在转动平面内： M Z r F面
o r
F面
Fz 平行于转轴，对转轴产生的的力矩为零。（定义）
3、 当有n 个力作用于刚体，则
M z M1z M 2z M nz
合力矩的大小等于 各力对转轴的力矩的代数和。
4、 刚体中内力对给定转轴的力矩的 矢量和等于零，只需考虑外力矩 的作用。
2、由转动定律知M一定时：作用在案不同刚体上，J 大的，β 小， 转速不宜改变，转动惯性大;反之，J 小，转动惯 性 小。故 转动惯量是物体转动惯性大小的量度。
3、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。具体应用 时应注意以下问题：
❖ 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。 ❖ 选定转轴的正方向, 以便确定力矩或角加速度,角速度
➢刚体的总质量
➢刚体的质量相对于转轴的分布
2、平行轴定理：
若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转
动惯量为J，则有：
z
Jo＝Jc＋md2
o
C
两轴平行；
x
d
d
说明
JC 为刚体绕质心轴的转动惯量 d 为两平行轴间距离。
3、正交轴定理： Jz＝Jx＋ Jy
J z r 2dm (x2 y2 )dm
mi Rivi
z
Lio
Liz
Lz
o
ri
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
mi
o Ri
均匀细棒对OZ轴的角动量：
Lz mivi Ri cos miviri
miri2 ( miri2)
Lz J
定义：刚体转动惯量： J miri2
2、转动惯量的计算： 若质量离散分布：（质点，质点系）
J＝ miri2
i
若质量连续分布：