因式分解经典讲义(精)

第一章分解因式

【知识要点】

1 .分解因式

(1)概念：把一个化成几个的形式，这种变形叫做把这个多项式分解

因式。

(2 )注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。

②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。

③分解因式要分解到不能再分解为止。

2•分解因式与整式乘法的关系

整式乘法是_____________________________________________________ ___

分解因式是_____________________________________________________ ___

所以，分解因式和整式乘法为________ 系。

3•提公因式法分解因式

(1 )公因式：几个多项式____________ 因式。

(2 )步骤：①先确定____________,②后____________________ 。

(3)注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。

②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“”号。

4•运用公式法分解因式

(1 )平方差公式：_____________________________

(2 )完全平方公式：____________________________

注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。

【考点分析】

考点一：利用提公因式法分解因式及其应用

【例1】分解因式：

【随堂练习】

1 .分解因式：

,、小34

“23

小22

（1） 2x y 10x y 2x y

3

2

(1) 4m 16m 26 m

(2) 2x(y z) 3(y z)

2

(3)x(x y)(x y) x(x y)

(4)(3a 4b)(7a 8b) (11a 12b)(7a 8b)

号，再提公因式 2m ；（ 2）题的公因式为 y z ；

(3) 题的公因式为 x(x y) ;

答

案：

(1) 2m(2m 2

8 »m

13)

；

(3)

2xy(x y)

;

【例

:

2】(1 ）已知x y 5, xy 6 ,

(2 ?）已知b

a 6,

ab

7

,

解析：

(1) 题：2x

2

y 2 x y 2

2xy(x

（2）题：a

|2

b

ab

2

a b(a

答案：

(1) 60

(2)

42

（4）题的公因式为7a 8b 。 （2）（y z ）（2x 3）；

2

（4）2（7a 8b ）。 求2x 2

y 2xy 2

的值。

求a

2b ab 2的值。

y ），所以考虑整体代入求该代数式的

值; (2) (m n)(m n) (n m)(m 2n)

解析：（1）题先提一个

解析：（1）题：原式从整体看符合平方差公式，所以整体套用平方差公式;

2 2 2 2

（2）题：p q （p ） （q ），所以符合平方差公式，此题注意分解完全。

2 2

答案：(1) (4x 1)(2x 3); (2) (p q )(p q)(p q)。

(3) (2x 3y)(a b) (3x 2y)(a b)

3 2 2 2 2

(4) x (x 2) x (2 x) x (x 2)

2 •不解方程组

2x

2

y 12，求(2x y)3

(2x y)2(x 3y)的值

x 2y 11

注：（1）公因式应按“系数大（最大公约数），字母同，指数低”的原则来选取。

（2） 当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项 变为1，而不是没有。 （3） 当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提岀 “ ”号。

（4） 利用分解因式 整体代入往往应用于代数式的求值问题。

考点二：利用平方差公式分解因式及其应用 【例3】分解因式:

(1) (3x 1)2 (x 2)2

4 4

(2) p q

(1

(2) 20082 2007 2009 9992.

同的情况，再利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，最后凑出除数。

7

12

2 7

12

14

12

12 2

12

11

36 6

(6 ) 6

6 6 6 (6 1) 6 g35 6 gl40

7

12

所以36 6能被140整除。

【随堂练习】

1 .分解因式:

2 2

(2) 9x (a b) y (b a)

2•利用分解因式说明：257 512

能被60整除.

解析：（1）题：原式中每一个因式符合平方差公式, 可以借助分解因式简化计算。

原式 （1 1 5)(1 6 5 5 6

1 5)(1 7 1 1 -)(1 ) (1 6 6 199 201 200 200 （2）题：先化简， 再使用平方差公式。 原式 20082

(2008 1)(2008 1)

(20082 1) 9992 2

20082 12

9992

(1 999)(1 999)

答案：（1

）鬻；

(2) 998000。

【例5】利用因式分解说明:

解析：对于符号相反的二项式,

1 )(1 200 5 200 999

2 998000

7

12

36 6能被140整除。

我们考虑使用平方差公式。 1

200)

201 250 此种题型应先将两项化为底数相

(1) ax 4

a