基于边界积分方程法的圆弧齿轮强度分析

3
数值解析的方法
由式( 14) 利用文献[ 3] 或与边界元法相同的数值离 ( t ) 边界节点值相关的复数代数
散方法, 可推导出与
t - t0 1 ( t) d t = f ( t 0) 2 iL t - t0 对式( 7) 左边第 2 项进行分部积分可得 t - t0 1 ( t 0) ( t ) log dt + 2 iL t - t0 t - t0 1 ( t ) d t = f ( t 0) 2 iL t - t0 1 ( t) i LK ( t , t 0) Im t - t 0 dt = p ( t 0) K ( t , t0 ) = 1 t - t0 d t 0 t - t0 d t 0
函数 ,
( t 0) +
1 ( t) K ( t , t 0) Im d t = F( t 0) iL t - t0 1 P ei n K ( t , t 0 ) Re i t - t0
( 14) ( 15)
由此表示边界值 ( z ) 、 ( z ) 的 Cauchy 积分形式。 由文 献[ 5] 理论分析知, 可在 L 上引进一个新的未知函数 ( t) , 使 (z) = ( z) = (z) = 1 ( t ) dt 2 iL t - z 1 2 iL ( t ) dt t- z (z (z S) S) (z ( 4) ( 5) S) ( 6)
1
引言
随着高强度齿轮机构的应用和越来越高的使用要
但这些方法在建立方程式时由于含有集中载荷项, 必 须处理奇异点问题 , 因而导致理论公式繁琐。本研究 所使用的边界积分方程法是基于弹性理论 Cauchy 型 积分 , 以应力函数作为解析对象, 采用间接式的边界积 分方程法。与上述各种理论方法比较, 本方法有理论 公式推导简捷, 数值解析详尽, 程序设计方便 , 使用快 捷等优点 , 可直接用于圆弧齿轮弯曲强度分析及特性 研究。
F( t 0) = -
这里 P 为集中载荷矢量的模, n 为压力角 ( 载荷作用角 度) 。 t 1 为集中载荷作用点, 集中载荷与分布载荷的关系
t+t
1 0
t1- t 0
p ( t ) d t = iP [ cos
n
+ i sin
n]
= iP e i n
( 16)
至此, 由式( 9) 和式( 14) 可以处理集中与分布载荷 两种情况。 由于两个方程式的左边形式相同 , 所以无论 集中载荷与分布载荷, 只要将载荷项变换一下既可以同 样的方式进行处理。 由此可见, 本方法与文献[ 1] 的 准 直接型边界积分方程式法 相比, 载荷项处理得以简化。
陈殿华 , 男, 1953 年 6 月生 , 辽宁盘锦市人 , 汉族。大连大学教授 , 工学博士 , 从事机械设计理论、 方法及 CAD/ CAE 方面的研究。
第 27 卷 第 1 期
陈殿华等 : 基于边界积分方程法的圆弧齿轮 强度分析
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这里式( 9) 的右边项的载荷不是合力 , 而是分布载 荷形式 , 对于左边第 2 项, 当 t t 0 时出现积分内的奇异 点, 处理按如下式取极限 lim K ( t , t0 ) Im t t
方程组。 将两端具有无限单元的圆弧齿轮模型进行边界 元单元分割 , 设在单元内 ( t ) 为线性分布, 则单元端点 的节点值可以用内插函数 ( t) = [ 这里 点。 利用线性插值有
1 1、 2 1, 2]
表示, 即有 ( 17)
为单元的节点矢量 , 下标 1、 2 表示单元的两端 = 1 (1 2 = 1 ( 1+ 2
陈殿华 商桂芝 田中道彦 ( 1. 大连大学 机械工程系, 辽宁大连市 , 116622) ( 2. 信州大学 工学部 , 日本长野市, 380 - 0928) CHEN DianHua SHANG GuiZhi Mnt o f Mechanical Engineering, Dalian University , Dalian 116622, China ) ( 2. Engineering College, Shinshu University , Nagano 380- 0928, Japan )
求, 圆弧齿轮 ( 亦称 WN( Wildhaber -Novikov) 齿轮 ) 强度 设计已是理论研究和工程应用中亟待解决的课题, 特 别是圆弧齿轮的弯曲强度不足是该机构失效的主要原 因。据文献[ 6] 所述, 因弯曲强度不够引起轮齿折断导 致工程事故, 并造成巨大的经济损失。近年来 , 国内外 许多专家学者探讨用有限元、 边界元方法通过 CAD/ CAE( computer aided design/ computer aided engineering) 进 行齿轮强度设计 , 取得了许多成果。对于二维强度分 析边界积分方程法是最为快捷的, 文献 [ 1, 3] 报导了有 关边界积分方程法用于渐开线齿轮强度分析的方法, 其中有映射函数法、 Cauchy 积分法、 vekua 密度函数法。
M
Lm
[ 1, 2] K ( t , t 0 ) Im t - t d t 0
= F ( t0 ) ( 19) ( t ) 节点
p( t) = f ( t)
将式( 19) 进行高斯数值积分处理, 可建立与
132
机
械
强
度
2005 年
值相关的联立代数方程式 , 由此联立代数方程式可求解 出 ( t ) 的边界节点值。 也就是说可以利用式( 19) 的数 值计算结果确立两个应力函数 ( z ) 、 ( z ) 。 轮齿的应力 可由下式[ 1] 求得
)
2
)
( 18)
( 8)
若将式( 8) 对 t 0 进行微分可得 Cauchy 型积分方程式 ( t 0) ( 9) ( 10) ( 11)
式中 为所取单元上的无因次局部坐标 (- 1 1) 。 将式( 17) 代入式( 14) 得分区积分 ( 其中 M 为单元数, m 为单元编号 ) 1 ( t 0) + i m= 1
20040104 收到初稿 , 20040426 收到修改稿。
2
边界积分方程式的建立
依据 平面 弹性复 变理论 [ 5] , 两个 复变 应力 函数 ( z ) 、 ( z ) 与给定的边值条件应满足下式 ( t) + t
t 0
( t) +
( t) = f ( t)
( 1)
这里 f ( t ) = i [ X ( s ) + i Y( s) d s ] 是一已知函数,
摘要 提出用边界积分方程法 ( boundary integral equation method, BIEM) 进行圆弧齿轮强 度分析的设 计方法。在研 究
1 1 2 1 1 2
中依 据弹性理论的柯西型积分 , 建立适合于各种载荷作用 轮齿不同 位置的齿轮 强度分析 数学模型。在 理论方 程式建 模 中采用间接式边界积分方程法 , 以应力函数作为 解析对象 , 直接 求解齿轮 应力、 轮 齿刚度变 形等。文中 方法具 有理论 公 式推 导简捷、 软件设计容易、 使用方便的优点。本研究还进行了软 件设计和实 例应用解析 , 并通 过与其 他方法 的结果 比 较证实本方法正确有效和实用价值。 关键词 Abstract 圆弧齿轮 强度分析 边界积分方程法 柯西积分 中图分类号 TH132. 416 TH123. 3 The boundary integral equation method( BIEM) is successfully applied to the strength analysis of Wildhaber -Novikov gear . The expression of the boundary condition for plane stress problems by using the Cauchy type integral formula in the elasticity theory is investigated. A strength analysis mathematical model for the WN gear possessing various concentrated loading properties is set up. T he indirect BIEM is used regarding the stress function as the analysis object. Its advantages are succinct formula deduction, easy to pro gram, simple and direct for application. Numerical examples as illustration of the developed approach are given. Compared with the re sults conducted by other theories, this method is proved to be efficient and practical. Key words Wildhaber - Novikov gear; Strength analysis; Boundary integral equation method; Cauchy integral Corresponding author : CH EN DianH ua, E -mail: chendianhua 615 @yahoo . co . jp , Tel/ Fax : + 86- 411-84573382 Manuscript received 20040104, in revised form 20040426.
L
其中 X ( s ) + i Y ( s) 是 L 上的已知外应力( 载荷密度) , t 0 是 L 上的一固定点。 如图 1 所示齿形 ( 文献[ 4] ) 凸起 的半无限域内为 S, 域外为 S- , 边界为 L , 这样对于 ( z ) 、 ( z ) 在 S 域有正则积分 ( t ) dt (z) = 1 2 iL t - z 1 ( t ) dt ( z) = 2 iL t - z (z (z S) S) ( 2) ( 3)
Journal of Mechanical Strength 研究简报
2005, 27( 1) : 130~ 133
基于边界积分方程法的圆弧齿轮强度分析
STRENGTH ANALYSIS OF THE WN GEAR BASED ON THE BOUNDARY INTEGRAL EQUATION METHOD
x
齿根表面应力分布平缓, 而且危险截面位置 ( 用最大应 力切线法表示其位置发生在 34 ) 有所不同。
0
( t ) dt = - d t - t0
0 Im
( t0 )
( 12)
这里 d 0 是载荷点附近齿面法线与 X 轴夹角的微 小变化量。 在齿轮强度分析时给定集中载荷的情况较
图1 轮齿的半无限区域
Fig. 1 Semi infinit e domain for gear t oot h
多, 而式( 9) 是分布载荷形式, 且从研究齿轮强度基本分 析法的目的而言 , 有必要考虑集中载荷作用的影响。 因 此, 引入一个新函数 ( t) ( t) = ( t) + p ( t) ( 13) 改写 式 ( 9) , 因 为 分 布 载 荷 在 载 荷 作 用 点 以 外 为 p ( t ) = 0, 在 载荷作 用点附 近考 虑有狄 拉克 p ( t ) d t = P e i n 则有
1 ( t ) dt 1 t ( t ) dt 2 iL t - z 2 iL t - z
由此表达应力函数 ( z ) 、 ( z ) 。 既用边界上的一个函 数 ( t ) 定义两个应力函数。 再令 z t0 L, 对式 ( 4) 、 ( 5) 、 ( 6) 求边值并代入式 ( 1) 中 , 经化简后得到 L 上的积分方程 ( t 0) + 1 ( t ) d log + 2 iL t - t0 ( 7) t - t0