高三数学一轮复习第11讲三角函数的图像与性质教案

三角函数的图像与性质

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω

1

倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移

ω

ϕ|

|个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ω

ϕ

，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．

第一个零点的位置。 6．对称轴与对称中心：

sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；

cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；

对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意

A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

8．求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

9．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图： 五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2

π

3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

二．典例分析

考点一：三角函数的定义域与值域

典题导入

(1)(2013·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －1

2

的定义域为________．

(2)函数y ＝sin 2

x ＋sin x －1的值域为( )

A ． B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－54，1

D.⎣

⎢⎡⎦⎥⎤－1，54

(1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪

⎧

sin x >0，cos x －1

2≥0，

即⎩

⎪⎨⎪

⎧

sin x >0，cos x ≥1

2，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

2k π

3＋2k π(k ∈Z )，

∴2k π

3＋2k π，k ∈Z ，

∴函数的定义域为

⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪

⎪⎪

2k π

π3＋2k π，k ∈Z .

(2)y ＝sin 2

x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2

＋t －1，t ∈，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－1

2

及t ＝1时，函

数取最值，代入y ＝t 2

＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－54，1.

(1)⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

2k π

π3＋2k π，k ∈Z (2)C

若本例(2)中x ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，试求其值域．

解：令t ＝sin x ，则t ∈．

∴y ＝t 2

＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54

.

∴y ∈．

∴函数的值域为．

由题悟法

1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x 、cos x 的值域；

(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根

据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；

(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．

以题试法

1． (1)函数y ＝

2＋log 1

2

x ＋tan x 的定义域为________．

(2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )

A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32

B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3

C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332

D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－332，3

解析：(1)要使函数有意义

则⎩⎪⎨⎪⎧

2＋log 1

2

x ≥0，

x >0，tan x ≥0，

x ≠k π＋π2

，k ∈Z ⇒⎩

⎪⎨⎪⎧

0

2k ∈Z .

利用数轴可得 函数的定义域是

⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪

⎪⎪

0

π

2，或π≤x ≤4.

(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，

故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－32，3. 答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪

⎪⎪

0

π

2，或π≤x ≤4 (2)B

考点二：三角函数的单调性

典题导入

(2012·华南师大附中模拟)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3－2x ，求：

(1)函数的周期；