矩阵的等价和等价标准形
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规定：零矩阵的秩为0。
定理1 初等变化不改变矩阵的秩。 定理2 矩阵乘可逆矩阵，其秩不变。
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2. 定理2.1.2 设矩阵A=[aij]m×n 为非零矩阵，
则通过初等行变换和列互换一定可把A化为约化阶
梯形矩阵 1 0 0
0
1
0
0 c01 r 1 0 c02 r 1
c0 1 n c0 2 n
线性代数
张保田
实用文档
§3.5 矩阵的等价和等价标准形
复习 内容
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1. 矩阵的秩 矩阵A中不为零的子式的最大阶数称为矩 阵A的秩。可等价定义为：
定义2 设A为m×n矩阵，如果A中至少有一 个r 阶子式不等于零，而所有r+1 阶子式(如果 存在r +1阶子式时)都等于零，则称 r 为矩阵A 的秩，记为:r(A)或R(A)或秩(A)。
AB=0，则秩(A)+秩(B) ≤n; (4) 设A、B、C为同阶阶方阵, 则
秩(AB)+秩(BC) ≤秩(B)+秩(ABC) ;
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n R A n
(5)
R A
1
R A n1
0 R A n1
证1:
R A n A 0 A A n 1 0 R A n .
证2: R A n 1 A 0 A A O
B
0
0
0 0
0 0
1 c0r r 1
00
c0r n
0
0 0 0
00
0
0 0
00 0
0
(1 r m in { m , n } )
对矩阵A继续进行列变换一定可把A化为：
百度文库E 0
r
0
0
实用文档
一、 矩阵的等价
1定.等义价3.矩5.阵1 的若概矩念阵A经过有限次初等变换化成
矩阵B，则称矩阵A与B等价（或相抵），记为
R A R A n R A 1 R A n 1 R A 1
R
A
1
证3: R A n 1 A i j 0 A O R A 0 .
实用文档
例3.5.1 设
n>1,
A (a 1 ,a 2, ,a n)T 0
B (b 1 ,b 2, ,b n) 0
1
1
A
r列
r行
0
0
O(m E rr)r
OO (m r r()n (n r )r)E O r
O O
实用文档
定理3.5.1 设A，B均为m×n阶矩阵，则下述 条件中每一个都是A与B等价的充要条件：
（1）存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得
PAQB
（2）秩(A)=秩(B). 证明: (1) 定理3.4.1及推论；
求: 秩(AB), A B .
解: 因为 秩(A)=1, 秩(B)=1. 于是，秩(AB) ≤1； 又因为 AB≠0， 可知秩(AB) ≥1 ; 所以，秩(AB) =1 。
而AB为n(>1) 阶矩阵，所以，
AB 0.
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作业：习题3.5 1-10 作业：习题3.6 1-8 下节讲习题。
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(2) 必要性：初等变换不改变矩阵的秩；
充分性：由秩(A)=秩(B)知道：
AE0r
0 0,
BE0r
0 0
实用文档
AE0r
0 0,
BE0r
0 0
于是，存在可逆矩阵Ｐ１，Ｐ２，Ｑ１，Ｑ２，
使
P1AQ1
Er 0
0 0,
P2BQ2
Er 0
0 0
P 1A Q 1P 2B Q 2
AP 1 1P 2B Q 2Q 1 1 PBQ
A→B。
例如，
1 4 7 3
A
1
3
4
1
7
3 2 9 6
1
4
7
3
1 4 7 3
0
1
3
1
4
B
0 0 0 1
0
0
0
0
因为任一个秩为r的矩阵A等价于
Er 0
0
0
称此矩阵为矩阵A的等价标准形。
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2.等价矩阵的性质
性质3.5.1 任意一个矩阵秩为r的矩阵A， 经过有限次初等变换, 可以化为下列标准形矩阵：
AB.
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定理3.5.2 秩(AB) ≤秩(A),秩(AB) ≤秩(B) . 证明：略（由向量可证）。 矩阵的秩还有如下性质： (1) 秩(A+B) ≤秩(A)+秩(B); (2) 设A为m×n阶矩阵，B为n×s阶矩阵, 则
秩(A)+秩(B) －n≤秩(AB) ≤min{秩(A),秩
(B)} (3) 设A为m×n阶矩阵，B为n×s阶矩阵, 且
定理1 初等变化不改变矩阵的秩。 定理2 矩阵乘可逆矩阵，其秩不变。
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2. 定理2.1.2 设矩阵A=[aij]m×n 为非零矩阵，
则通过初等行变换和列互换一定可把A化为约化阶
梯形矩阵 1 0 0
0
1
0
0 c01 r 1 0 c02 r 1
c0 1 n c0 2 n
线性代数
张保田
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§3.5 矩阵的等价和等价标准形
复习 内容
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1. 矩阵的秩 矩阵A中不为零的子式的最大阶数称为矩 阵A的秩。可等价定义为：
定义2 设A为m×n矩阵，如果A中至少有一 个r 阶子式不等于零，而所有r+1 阶子式(如果 存在r +1阶子式时)都等于零，则称 r 为矩阵A 的秩，记为:r(A)或R(A)或秩(A)。
AB=0，则秩(A)+秩(B) ≤n; (4) 设A、B、C为同阶阶方阵, 则
秩(AB)+秩(BC) ≤秩(B)+秩(ABC) ;
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n R A n
(5)
R A
1
R A n1
0 R A n1
证1:
R A n A 0 A A n 1 0 R A n .
证2: R A n 1 A 0 A A O
B
0
0
0 0
0 0
1 c0r r 1
00
c0r n
0
0 0 0
00
0
0 0
00 0
0
(1 r m in { m , n } )
对矩阵A继续进行列变换一定可把A化为：
百度文库E 0
r
0
0
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一、 矩阵的等价
1定.等义价3.矩5.阵1 的若概矩念阵A经过有限次初等变换化成
矩阵B，则称矩阵A与B等价（或相抵），记为
R A R A n R A 1 R A n 1 R A 1
R
A
1
证3: R A n 1 A i j 0 A O R A 0 .
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例3.5.1 设
n>1,
A (a 1 ,a 2, ,a n)T 0
B (b 1 ,b 2, ,b n) 0
1
1
A
r列
r行
0
0
O(m E rr)r
OO (m r r()n (n r )r)E O r
O O
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定理3.5.1 设A，B均为m×n阶矩阵，则下述 条件中每一个都是A与B等价的充要条件：
（1）存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得
PAQB
（2）秩(A)=秩(B). 证明: (1) 定理3.4.1及推论；
求: 秩(AB), A B .
解: 因为 秩(A)=1, 秩(B)=1. 于是，秩(AB) ≤1； 又因为 AB≠0， 可知秩(AB) ≥1 ; 所以，秩(AB) =1 。
而AB为n(>1) 阶矩阵，所以，
AB 0.
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作业：习题3.5 1-10 作业：习题3.6 1-8 下节讲习题。
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(2) 必要性：初等变换不改变矩阵的秩；
充分性：由秩(A)=秩(B)知道：
AE0r
0 0,
BE0r
0 0
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AE0r
0 0,
BE0r
0 0
于是，存在可逆矩阵Ｐ１，Ｐ２，Ｑ１，Ｑ２，
使
P1AQ1
Er 0
0 0,
P2BQ2
Er 0
0 0
P 1A Q 1P 2B Q 2
AP 1 1P 2B Q 2Q 1 1 PBQ
A→B。
例如，
1 4 7 3
A
1
3
4
1
7
3 2 9 6
1
4
7
3
1 4 7 3
0
1
3
1
4
B
0 0 0 1
0
0
0
0
因为任一个秩为r的矩阵A等价于
Er 0
0
0
称此矩阵为矩阵A的等价标准形。
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2.等价矩阵的性质
性质3.5.1 任意一个矩阵秩为r的矩阵A， 经过有限次初等变换, 可以化为下列标准形矩阵：
AB.
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定理3.5.2 秩(AB) ≤秩(A),秩(AB) ≤秩(B) . 证明：略（由向量可证）。 矩阵的秩还有如下性质： (1) 秩(A+B) ≤秩(A)+秩(B); (2) 设A为m×n阶矩阵，B为n×s阶矩阵, 则
秩(A)+秩(B) －n≤秩(AB) ≤min{秩(A),秩
(B)} (3) 设A为m×n阶矩阵，B为n×s阶矩阵, 且