数值分析复习题1
数值分析试卷1
一、填空（18分）（1） [a,b]上具有n+1个求积节点的求积公式的代数精度最多为（ ）。
（2） 设连续函数f （x ）∈C[0,1],则它的n 次Bernstein 多项式为（ ）。
（3） 设f(x) ∈C[a,b],m 和M 分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则f(x)在[a,b]上的零次最佳逼近多项式为( ).（4） n 次直交多项式的单根个数为（ ）。
（5） 设,110b x x x x a N N =<<<<=+ 则),,,(21N n x x x ϕ的一组基底为（ ），其中),,,(21N n x x x ϕ表示以Nx x x ,,,21 为节点的n 次样条函数的全体。
（6） N 次Bezier 曲线的表示式是( ）。
二、 判断题 （18分）（正确的√，错误的×）（1） 具有n 个求积节点的求积公式的代数精度至少为n-1。
（ ）。
（2） [a ，b]上的两个直交多项式n P 和1+n P 没有公共的根（ ）。
（3） n P 中的一个多项式p(x)成为C[a,b]中某给定函数f(x)的最佳逼近多项式必须且只需p(x)-f(x)在[a,b]上的偏离点的个数不少于n+2（ ）。
（4） Simpson 求积公式的代数精度是3（ ）。
（5） 设连续函数f （x ）∈C[a,b]，)(x P n 是其n 次最佳平方逼近多项式，则)()(limx f x P n n =∞→（ ）。
（6） n 次Chebysheff(切比雪夫)多项式在[-1，1]上恰有n 个极大值点。
（ ）。
三、（10分）叙述并证明W ereistrass 第一定理。
Weierstrass 第一定理：设()f x [,]C a b ∈，那么对于任意给定的0ε>，都存在这样的多项式()p x ，使得m ax ()()a x bp x f x ε≤≤-<四、（8分）求3x f(x)=在[0，1]上的一次平方逼近多项式。
数值分析复习题及答案
数值分析复习题一、选择题1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有〔 〕和〔 〕位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和42. 求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，那么A ＝〔 〕A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足〔 〕A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，那么它具有〔 〕敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程〔 〕.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-二、填空1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，那么所得的近似值x=.2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 那么二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 那么2||||X = ，=∞||||X 。
4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式x =01x =， 那么 1______x =。
5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩近似解的梯形公式是 1______k y +≈。
数值分析第1章习题
一 选择题(55分=25分)(A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）为有效数字(有效数字)A. 4和3B. 3和2C. 3和4D. 4和4解,时,,m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。
当时,, ，m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。
(A)2. 为了减少误差，在计算表达式时，应该改为计算，是属于（）来避免误差。
（避免误差危害原则）A.避免两相近数相减；B.化简步骤，减少运算次数；C.避免绝对值很小的数做除数；D.防止大数吃小数解：由于和相近，两数相减会使误差大，因此化加法为减法，用的方法是避免误差危害原则。
(B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则（避免误差危害原则）A.计算B.计算C.计算D.计算解:A会有大数吃掉小数的情况C中两个相近的数相减，D中两个相近的数相减也会增大误差(D)4.若误差限为,那么近似数0.003400有()位有效数字。
(有效数字) A. 5 B. 4 C. 7 D. 3解：即m-n= -5,，m= -2，所以n=3，即有3位有效数字(A)5.设的近似数为，如果具有3位有效数字，则的相对误差限为()（有效数字与相对误差的关系）A． B. C. D.解：因为所以,因为有3位有效数字，所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a的相对误差限为二 填空题：(75分=35分)1.设则有2位有效数字，若则a有3位有效数字。
(有效数字)解:,时,，，m-n= -4,所以n=2,即有2位有效数字。
当时, ，m-n=-5,所以n=3,即有3位有效数字。
2.设=2.3149541...，取5位有效数字，则所得的近似值x=2.3150(有效数字)解：一般四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到最末位，有几位就称该近似数有几位有效数字，所以要取5位有效数字有效数字的话，第6位是5，所以要进位，得到近似数为2.3150.3.设数据的绝对误差分别为0.0005和0.0002，那么的绝对误差约为0.0007 。
数值分析考试复习题
第五章 思考题 1. 代数插值问题的存在唯一性定理是如何叙述的 拉格朗日插值和牛顿插值方法各有何特点？ 2. 拉格朗日插值和牛顿插值方法各有何特点？ 3. Runge反例主要说明一个什么样的问题？ 反例主要说明一个什么样的问题？ 反例主要说明一个什么样的问题 第六章 思考题 多项式拟合与代数插值问题有何差异？ 1. 多项式拟合与代数插值问题有何差异？拟合函数 有何特点？ 有何特点？ 曲线拟合的最小二乘法有何特点？ 2. 曲线拟合的最小二乘法有何特点？ 求一个超定方程组的最小二乘解有哪些主要方法？ 3. 求一个超定方程组的最小二乘解有哪些主要方法？
11/14
第三章 思考题 高斯消元法消元过程的目标是什么？ 1. 高斯消元法消元过程的目标是什么？消元过程需 用多少次乘除法？ 用多少次乘除法？有何数学理论支持 解三对角方程组的消元过程有何特点？ 2. 解三对角方程组的消元过程有何特点？ 矩阵的范数和向量的范数有何联系， 3. 矩阵的范数和向量的范数有何联系，条件数是如 何定义的 第四章 思考题 1. 解线性方程组的迭代法有何特点？它与解方程组 解线性方程组的迭代法有何特点？ 的直接法有何不同？ 的直接法有何不同？ 2. 解线性方程组的迭代法收敛定理对迭代产生的向 量序列的误差是如何估计的？ 量序列的误差是如何估计的？ 迭代法求解线性方程组的本质是什么？ 3. 迭代法求解线性方程组的本质是什么？
6/14
0 yk
1 yk+1
2 yk+2
Ex16.推导左矩形求积公式 推导左矩形求积公式
∫
∫
b
a
f ′(η ) f ( x )dx = (b − a ) f (a ) + (b − a )2 2
a+b f ′′(η ) f ( x )dx = (b − a ) f ( )+ (b − a )3 2 24
数值分析复习试题及参考答案
1、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x 的绝对误差限。
解：由有效数字的定义得，()104121-⨯=x ε，()103221-⨯=x ε()07057.00005.0115.80005.01025.621=⨯+⨯≈x x ε2、设430.56,1021.12≈≈x x均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x +的绝对误差限。
解：由有效数字的定义得，()104121-⨯=x ε，()103221-⨯=x ε0055.0)()()(2121=+=+x x x x εεε3、简答题 （1）已知12622)(256+-+-=x xxxx f ，求]1,0[f 及]6,5,4,3,2,1,0[f 。
解：由f(0)=1,f(1)=5得 []()()41011,0=-=f f f因为最高阶差商只出现在最高次，所以[]26,5,4,3,2,1,0=f（2）求积公式[])1()0(121)]1()0([21)(1f f f f dx x f '-'++≈⎰的代数精度为多少？ 解：令()xx f =，则()21211021==⎰xdx x f ，右边=21，左边=右边同理令()2xx f =，()3xx f =均准确成立，()4xx f =时，左边≠右边所以，上式具有3阶精度4、求满足下表条件的Hermit 插值多项式。
x0 1)(x f -1 0 )(x f '-210解：使用重节点差商表法x y 一阶二阶 三阶 0 -1 0 -1 -2 1 0 1 3 1 010 9 6()()1236163212322---=-++--=x x x x xx x x H5、已知函数)(x f y =的数据如下：x1 2 4 -5 )(x f3 4 1 0（1）求3次Lagrange 插值多项式； （2）求3次Newton 插值多项式； （3）写出插值余项。
数值分析1
MATLAB作业1. 判断如下命题是否正确(a) 一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。
(错) (b) 无论问题是否病态，好的算法都会得到它好的近似解。
（错） (c) 计算中使用更高的精度，可以改善问题的病态性。
(错) (d) 用一个稳定的算法计算一个良态的问题，一定会得到它好的近似解。
(错) (e) 浮点数在整个数轴上是均匀分布的 (错) (f) 浮点数的加法满足结合律 (错) (g) 浮点数的加法满足交换律 (错) (h) 浮点数构成有限集合 (对） (i) 用一个收敛的算法计算一个良态的问题，一定会得到它好的近似解 (错)2. 函数sinx 有幂级数展开利用幂级数计算sinx 的Matlab 程序为 function s = powersin(x)% POWERSIN. Power series for sin(x).% POWERSIN(x) tries to compute sin(x) from a power series s = 0; t = x; n = 1;while s + t ~= s; s = s + t;t = -x^2/((n+1)*(n+2))*t; n = n + 2; end(a) 解释上述程序的终止准则；(b) 对于，计算的精度是多少？分别需要计算多少项？答：（a ）当t 小于计算机的计算精度时，上述程序将终止。
（b ） x=/2π; n=23； s=1.0000x=11/2π; n=75； s= -1.0000x =21/2π; n=121； s= 0.9999/2,11/2,21/2x πππ=3. 考虑数列 ，它的统计平均值定义为它的标准差数学上等价于作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？第一种算法共进行了n 次乘方运算，2n 次求和运算，第二种算法进行了2n 次乘方和2n 次求和，运算次数较多。
而且第二种算法中2i x 与误差较为接近，易造成舍入2x n 。
数值分析题库1
第一章 绪论 2 第二章 函数插值 3 第三章 函数逼近 6 第四章 数值积分与数值微分 10 第五章 解线性方程组的直接解法 13 第六章 解线性方程组的迭代解法 14 第七章 非线性方程求根 16 第九章 常微分方程初值问题的数值解法 19
第一章 绪论
1.1 要使的相对误差不超过0.1%，应取几位有效
解 对y=f(x)的反函数进行三次插值，插值多项式为
+ + + =, 于是有
。
第三章 函数逼近
3.1证明定义于内积空间H上的函数是一种范数。
证明： 正定性当且仅当时； 齐次性 设为数域K上任一数 三角不等式 ；
于是有 故是H上的一种范数。
3.2求，在空间上的最佳平方逼近多项式，并给出 误差。
解： 第一步：构造内积空间上的一组正交基，其中内积： 第二步：计算的二次最佳平方逼近多项式 从第一步已经知道，利用公式得： 误差为：
数字？
解：
的首位数字。 设有 n位有效数字，由定理知相对误差限 令， 解得，即需取四位有效数字.
1.2 序列满足关系式，若，计算到，误差有多
大？这个算法稳定吗？
解：，于是 ，一般地，因此计算到其误差限为，可见这个计算过程是不稳定的。
1.3 计算球的体积，要使相对误差限为1%，问测 量半径R时允许的相对误差限是多少？
4.1、计算积分，若用复化梯公式，问区间应分多 少等份才能使截断误差不超过？若改用复化辛普 森公式，要达到同样的精度，区间应分多少等 份？
解：由于，，,故对复化梯公式，要求 ，
即，.取，即将区间分为等份时，用复化梯公式计算，截断误差不超过. 用复化辛普森公式，要求 ，
即，.取，即将区间等分为8等份时，复化辛普森公式可达精度.
数值分析复习题
γ1 β2
α3
1
γ2 β3
α4
-5-
= LU γ3 β4
由矩阵乘法得
β1 = 2, γ 1 = 1, γ 2 = 1, γ 3 = 1, α 2 = , β 2 = , α 3 = , β 3 = , α4 =
从而
2 1 5 1 1 2 2 3 ，U = 1 1 5 5 10 7 1 − 3 3 3 7 14 （2）解方程 LY = b 得 Y = (1, , , − ) Τ 2 5 3 1 1 2 L=
解： （1）设有分解
1 0 1 0 0 2 0 1 l 1 0 1 = 21 2 4 3 l 31 1 0 3 l 41 1 l32 l 42 1 l 43
由矩阵乘法可逐行、逐列分别求出 u ij 和 lij
1 l 21 l31 l 41 1 1 0 0 1 u 22 = ， 1 2 1 1 0 1 0 1 2 u 23 u 33 0 1 0 2 0 u 24 = 1 0 1 u 34 2 1 u 44 2
3 3 5 1 3 5 9 = l 21 5 9 17 l 31 1 l32 d1 1 d2 d3 1 l 21 1 l31 l32 1
由矩阵乘法可逐行求得 2 5 d1 = 3, d 2 = 2, d 3 = , l 21 = 1, l31 = , l 32 = 2 3 3 （2）解方程组
k →∞
三、各章计算证明题 第二章 代数方程组的直接解法
1 0 1.用杜利特分解法解方程组 1 0 0 2 0 x1 5 1 0 1 x 2 3 = 2 4 3 x3 17 1 0 3 x 4 7 1 1 0 u 22 2 u 23 u 33 0 u 24 u 34 u 44
《数值分析》期末复习题(1)
《数值分析》期末复习题一、单项选择题1. 数值x *的近似值x =0.32502×10-1，若x 有5位有效数字，则≤-*x x ( ).(A)21×10-3 (B) 21×10-4 (C) 21×10-5 (D) 21×10-6 2. 设矩阵A ＝10212104135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( )(A)00.20.10.200.40.20.60--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦(B)10.20.10.210.40.20.61⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(C) 00.20.10.200.40.20.60⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (D)021204130⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦3. 已知(1)1,(2)4,(3)9f f f ===，用拉格朗日2次插值，则(2.5)f =( )(A) 6.15 (B) 6.25 (C) 6.20 (D) 6.10 4. 抛物形求积公式的代数精度是( )A. 1，B. 2 ，C. 3，D. 45. 改进欧拉格式的 局部截断误差是( ). (),A O h 2. (),B O h 3. (),C O h 4. ().D O h二、填空题1、以722作为π的近似值，它有（ ）位有效数字； 2、经过)1,2( ),2,1( ),1,0(C B A 三个节点的插值多项式为（ ）； 3、用高斯-赛德尔迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+-=+,10,232121x bx bx x 其中b 为实数，则方法收敛的充分条件是b 满足条件（ ）；4、取步长为1.0=h ，用欧拉法计算初值问题22',(0)0,y x y y ⎧=+⎨=⎩的解函数)(x y ，它在3.0=x 的近似值为（ ）；5、已知方程0sin 1=--x x 在)1,0(有一个根，使用二分法求误差不大于41021-⨯的近似解至少需要经过（ ）次迭代。
数值分析练习1-3章
数值分析练习1-3章第⼀章绪论⼀、填空题1、已知 71828.2e =，求x 的近似值a 的有效数位和相对误差：题号精确数xx 的近似数aa 的有效数位a 的相对误差⑴ e 2.7 ⑵ e 2.718 ⑶ e/100 0.027 ⑷e/1000.027182、设原始数据x 1，x 2，x 3和x 4的近似值（每位均为有效数字）如下：a 1=1.1021，a 2=0.031，a 3=385.6，a 4=56.430则⑴ a 1+a 2+a 4= ，相对误差界为；⑵ a 1a 2a 3= ，相对误差界为；⑶ a 2/a 4= ，相对误差界为。
⼆、为使20的近似值的相对误差⼩于0.01%，问应取多少位有效数字？三、当x 接近于0时，怎样计算xxsin cos 1-以及当x 充分⼤时，怎样计算x x -+1，才会使其结果的有效数字不会严重损失。
四、在数值计算中，为了减⼩误差，应该尽量避免的问题有哪些？并举出相应的实例.五、对于序列,1,0,9991=+=?n dx x x I nn ，试构造两种递推算法计算10I ，在你构造的算法中，那⼀种是稳定的，说明你的理由；第⼆章插值法１、在互异的n+1个点处满⾜插值条件P(x i )=y i ,(i=0,1,…n)的次数不⾼于n 的多项式是( )的(Ａ)存在且唯⼀ (Ｂ)存在 (Ｃ)不存在 (Ｄ)不唯⼀2、当f(x)是次数不超过n 的多项式时，f(x)的插值多项式是 ( )(Ａ)不确定 (Ｂ)次数为n (Ｃ)f(x)⾃⾝（D ）次数超过n 3、插值基函数的和j jx l)(= ( )(Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)不确定4、设f(x)=x 3-x+5，则f[20,21,22,23]= ( )； f[20,21,22,23,24]= ( )(Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)不确定5、( )插值⽅法具有公式整齐、程序容易实现的优点，⽽( )插值⽅法计算灵活，如果节点个数变化时，不需要重新构造多项式，它们都是( )的⽅法(Ａ)构造性 (Ｂ)解⽅程组 (Ｃ)拉格朗⽇ (Ｄ)⽜顿６、⼀般地，内插公式⽐外推公式( ),⾼次插值⽐低次插值( )，但当插值多项式的次数⾼于七、⼋次时，最好利⽤( )插值公式 (Ａ)粗糙 (Ｂ)精确 (Ｃ)分段低次 (Ｄ)⾼次７、整体光滑度⾼，收敛性良好，且在外型设计、数值计算中应⽤⼴泛的分段插值⽅法为（）.（Ａ）分段线性插值（Ｂ）分段抛物插值（Ｃ）分段三次埃尔⽶特插值（Ｄ）三次样条插值。
数值分析作业题(1)
第一章 误差与算法1. 误差分为有__模型误差___, _观测误差___, __方法误差____, ___舍入误差____, Taylor 展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差 .2. 插值余项是插值多项式的 方法误差。
0.2499作为1/4的近似值, 有几位有效数字？00.24990.249910,0m =⨯=即，031|0.2499|0.00010.5100.510,34m n n ---=<⨯=⨯=即22 3.1428751...,7=作为圆周率的近似值，误差和误差限分别是多少，有几位有效数字？2133.142875 3.14159260.00126450.5100.510---=<⨯=⨯有3位有效数字.* 有效数字与相对误差的关系3. 利用递推公式计算积分110,1,2,...,9n x n I x e dx n -==⎰错误!未找到引用源。
, 建立稳定的数值算法。
该算法是不稳定的。
因为:11()()...(1)!()n n n I n I n I εεε-=-==-111n n I I n n -=-， 10110I =4. 衡量算法优劣的指标有__时间复杂度,__空间复杂度_.时间复杂度是指: , 两个n 阶矩阵相乘的乘法次数是 , 则称两个n 阶矩阵相乘这一问题的时间复杂度为 .二 代数插值1.根据下表数据建立不超过二次的Lagrange 和Newton 插值多项式, 并写出误差估计式, 以及验证插值多项式的唯一性。
x 0 1 4f(x) 1 9 3Lagrange:设0120120,1,4;()1()9()3x x x f x f x f x ======则，， 对应 的标准基函数 为:1200102()()(1)(x 4)1()(1)(x 4)()()(01)(04)4x x x x x l x x x x x x ----===------ 1()...l x =2()...l x =因此, 所求插值多项式为:220()()()....i i i P x f x l x ===∑ (3)2()()(0)(1)(x 4)3!f R x x x ξ=--- Newton:构造出插商表:xi f(xi ) 一 二 三0 11 9 84 3 -2 -5/2所以, 所求插值多项式为:2001001201()()[,]()[,,]()()518(0)(0)(1)2...P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x =+-+--=+----=插值余项: 2()[0,1,4,](0)(1)(x 4)R x f x x x =---2. 已知函数f(0)=1,f(1)=3,f(2)=7,则f[0,1]=___2________, f[0,1,2]=____1______)('],[000x f x x f =3.过0,1两节点构造三次Hermite 插值多项式, 使得满足插值条件: f(0)=1. .’(0)=... f(1.=2. .’(1)=1设0101010,1,()1()2'()0,'()1x x f x f x f x f x ======则，， 写出插商表:xi f(xi) 一 二 三0 10 1 01 a 1 11 a 1 0 a-1因此, 所求插值多项式为:插值余项:222()[0,0,1,1,](1)R x f x x x =-4.求f(x)=sinx 在[a,b]区间上的分段线性插值多项式, 并写出误差估计式。
数值分析试题库与答案解析
模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2．设152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，342⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ，则 ∞A = .， 1x = ______.3．已知y =f (x )的均差（差商）01214[,,]3f x x x =，12315[,,] 3f x x x =，23491[,,]15f x x x =，0238[,,] 3f x x x =, 那么均差423[,,]f x x x = .4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C 则)4(3C ＝ .5．解初始值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进的Euler 方法是 阶方法；6．求解线性代数方程组123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩的高斯—塞德尔迭代公式为 ，若取(0)(1,1,1)=-x, 则(1)=x .7．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 . 8．1(), (),, ()n x x x 是以整数点01, ,, ,n x x x 为节点的Lagrange 插值基函数，则()n kjk k xx =∑= .9．解方程组=Ax b 的简单迭代格式(1)()k k +=+xBx g 收敛的充要条件是 .10．设(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====，则()f x 的三次牛顿插值多项式为 ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式()p x 满足：(1)15p =，(1)20p '=，(1)30p ''=(2)57p =，(2)72p '=.2．构造代数精度最高的形式为10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰的求积公式，并求出 其代数精度.3．用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x .4．用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式拟合以下数据：5．用矩阵的直接三角分解法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x .6 试用数值积分法建立求解初值问题0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩的如下数值求解公式1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+.三、证明题（10分）设对任意的x ，函数()f x 的导数()f x '都存在且0()m f x M '<≤≤,对于满足20Mλ<<的任意λ，迭代格式1()k k k x x f x λ+=-均收敛于()0f x =的根*x .参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.9115； 4. 1645； 5. 二； 6. (1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩, ，，0.1543)7. 1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-; 8. j x ; 9. ()1B ρ<; 10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题 1．差商表：233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+ 令(2)57p =，(2)72p '=，求出a 和b. 2．取()1,f x x =，令公式准确成立，得：0112A A +=,011123A A +=, 013A =, 116A =. 2()f x x =时，公式左右14=；3()f x x =时，公式左15=, 公式右524=∴ 公式的代数精度2=.3．此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。
《数值分析》习题1
习题11． 以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。
（1）*1x ＝451.023， 1x ＝451.01；（2）*2x ＝－0.045 113， 2x ＝－0.045 18；（3）*3x ＝23.421 3， 3x ＝23.460 4；（4）*4x＝31， 4x ＝0.333 3； （5）*5x ＝23.496， 5x ＝23.494； （6）*6x ＝96×510， 6x ＝96.1×510； （7）*7x ＝0.000 96， 7x ＝0.96×310-； （8）*8x ＝－8 700， 8x ＝－8 700.3。
解：(1) =*1x 451.023 =1x 451.01=-1*1x x 0.01311021-⨯≤，1x 具有4位有效数字。
→1x 451.0(2) -=*2x 0.045 113 -=2x 0.045 18=-<⨯-2*241021x x 0.045 18045113.0-=0.000 06731021-⨯<2x 具有2位有效数字，045.02-→x(3)=*3x 23.4213 =3x 23.4604=-3*3x x =-4604.234213.23=-4213.234604.23110210391.0-⨯≤3x 具有3位有效数字，4.233→x (不能写为23.5)(4) =*4x 31，=4x 0.3333=-4*4x x 41021000033.0-⨯< ,4x 具有4位有效数字，=4x 0.3333(5) =*5x 23.496，=5x 23.494 =-5*5x x =-494.23496.2321021002.0-⨯<5x 具有4位有效数字， →5x 23.50 (不能写为23.49)(6) =*6x 51096⨯71096.0⨯= =6x 5101.96⨯710961.0⨯= =-6*6x x 710001.0-⨯72101021--⨯⨯≤6x 具有2位有效数字，57610961096.0⨯=⨯=x(7) =*7x 0.00096 371096.0-⨯=x 3*71096.0-⨯=x =-7*7x x 0 7x 精确 (8) 8700*8-=x 8x 3.8700-= 8*8x x -010213.0⨯≤= 8x 具有4位有效数字，8x 8700-=精确2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747⨯6.83;(2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。
数值分析期末复习题1
《数值分析》期末复习题一、单项选择题 1.数值x*的近似值x=0.32502 K 0-1，若x 有5位有效数字，则 x —兰(). (A) 1 X 10-3 (B) 1 X 10-4(C) 1 X 10-5(D) - X 10-62 2 2 210 2 2.设矩阵A = 2 10 1 3 114，那么以A 为系数矩阵的线性方程组 5A X = b 的雅可比迭代矩阵为( ) -0.1 -0.4 0 _0 0.2 0.1 (C) 0.2 00.40.2 0.6 0 -O O -OA-1 0.2 0.11(B) ( 0.2 1 0.4J 0.2 0.61 _- 0 2r(D) 2 0 41 3 03.已知 f(1) =1, f(2) =4, f(3) =9，用拉格朗日 2 次插值，则 f(2.5)=( )(A) 6.15 (B) 6.25 (C) 6.20 (D) 6.10 4.抛物形求积公式的代数精度是() A. 1 , B. 2 , C. 3, D. 4 5.改进欧拉格式的 局部截断误差是()A. 0(h),B. O(h 2),C. O(h 3),D. O(h 4). 、填空题 22 1、以 作为二的近似值，它有(7 )位有效数字; 2、 经过A(0,1), B(1,2),C(211)三个节点的插值多项式为( 3、 用高斯-赛德尔迭代法解方程组 X 1 + 3bx 2 = -2,3 +X 2 =T0,其中b 为实数，则方法收敛的充分条件是b 满足条件(););4、 取步长为h =0.1，用欧拉法计算初值问题2 2y =x y , y(0) =0,的解函数y(x)，它在x =0.3的近似值为()；5、 已知方程1「x 「sinx=0在(0,1)有一个根，使用二分法求误差不大于 10*的近似解至少需要2经过()次迭代。
(已知lg 2 = 0.3010)6、 已知近似数a 的相对误差限为 0.5%，则a 至少有 ___________ 位有效数字。
数值分析试卷
数值分析考试题（一） 满分70分一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分） 1、将A 分解为U L D A --=，其中),,(2211nna a a diag D =，若对角阵D非奇异（即),1,0n i a ii =≠，则b Ax =化为b D x U L D x 11)(--++=（1） 若记b D f U L D B 1111),(--=+= （2）则方程组（1）的迭代形式可写作 )2,1,0(1)(1)1( =+=+k f x B xk k （3） 则（2）、（3）称 【 】(A)、雅可比迭代。
(B)、高斯—塞德尔迭代 (C)、LU 分解 (D)、Cholesky 分解。
2、记*x x e k k -=，若0lim1≠=+∞→c ee pk k k （其中p 为一正数）称序列}{k x 是 【 】(A)、p 阶收敛； (B)、1阶收敛； (C)、矩阵的算子范数； (D)、p 阶条件数。
3、牛顿切线法的迭代公式为 【 】(A)、 )()(1kx f x f x x k k k '-=+ (B)、)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x1)()()1()()()(x xfxf xf k i k i k i ∂∂+=+ (D)、 )()()()1(k k k x f x x-=+二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分）1、设0)0(f =，16)1(f =，46)2(f =，则一阶差商=]1,0[f ，二阶差商=]1,2,0[f ，)x (f 的二次牛顿插值多项式为2、 用二分法求方程01x x )x (f 3=-+=在区间]1,0[内的根，进行第一步后根所在的区间为 ，进行第二步后根所在的区间为 。
三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分）1、表中各*x 都是对准确值x 进行四舍五入得到的近似值。
数值分析复习题
一、判断题1. 区间[a,b]上，若f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在[a,b]内一定有实根。
2. 22/7作为π=3.1415926……近似值，它有3位有效数字。
3. 设P(x)和Q(x)都是n 次多项式，如果在n +1 个不同的节点x i 上都有P(x i )＝Q(x i )，则P(x)≡Q(x) 。
4. 取节点01231, 0, 2 ,4x x x x =-===作2()f x x =的插值多项式()p x ，则()p x 次数为2，插值基函数的次数为3。
5. 插值多项式严格通过所有的节点(x i ，y i )。
6. 若k<=n ，P(x)和Q(x)分别是 x k的通过n +1 个不同的节点的牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式则P(x)≡Q(x)≡x k。
7. 插值多项式次数越高，逼近效果越好。
8. 任何一组互异数据，逼近它们的多项式插值函数仅有一个。
9. 插值多项式次数与拟合曲线都严格通过所给定的数据点。
10. 求积公式：⎰30)(dx x f ≈。
f f f f 是插值型的)]3()2(3)1(3)0([83+++11. 牛顿-科特斯求积公式中的求积节点是等分的。
12. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的单根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。
13. 高斯型求积公式是插值型的。
14. 一阶亚当姆斯格式是单步法。
15. 显式的亚当姆斯公式：+-=+-()n n n n h y y f f 1132是单步法。
16. 求初值问题数值解的四阶亚当姆斯公式是多步法。
17. 如果有一常微分方程数值解法的局部截断误差3111()()n n n T y x y O h +++=-=，则该方法是3阶的。
18. 用一般迭代法求方程()0f x =的根，如其迭代过程()1k k x x ϕ+=发散，则方程()0f x = 的无解。
19. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。
数值分析试题1
数值分析试卷1填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字； 2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________； 4. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ；5. 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+04511532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________；二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。
已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=210012*********2A ，求L ，U 。
(2)设A 为66⨯矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。
三、给定数据表如下（1） 用三次插值多项式计算f ( 0.7 ) 的近似值； （2） 用二次插值多项式计算f ( 0.95 ) 的近似值：（3） 用分段二次插值计算 f ( x ) )2.12.0(≤≤x 的近似值能保证有几位有效数字（不计算舍入误差）？其中已知600)(max)2.12.0(≤'''≤≤x f x 。
四、设},1{22x span M =，试在2M 中求x x f =)(在区间 [-1，1] 上的最佳平方逼近元。
(完整word版)《数值分析》期末复习题(1)
《数值分析》期末复习题一、单项选择题1. 数值x *的近似值x =0.32502×10-1，若x 有5位有效数字，则≤-*x x ( ).(A) 21×10-3 (B) 21×10-4 (C) 21×10-5 (D) 21×10-62. 设矩阵A ＝10212104135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( )(A)00.20.10.200.40.20.60--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦ (B) 10.20.10.210.40.20.61⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(C) 00.20.10.200.40.20.60⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D)021204130⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦3. 已知(1)1,(2)4,(3)9f f f ===，用拉格朗日2次插值，则(2.5)f =( )(A) 6.15 (B) 6.25 (C) 6.20 (D) 6.104. 抛物形求积公式的代数精度是( )A. 1，B. 2 ，C. 3，D. 45. 改进欧拉格式的 局部截断误差是( ). (),A O h 2. (),B O h 3. (),C O h 4. ().D O h二、填空题1、以722作为π的近似值，它有（ ）位有效数字；2、经过)1,2( ),2,1( ),1,0(C B A 三个节点的插值多项式为（）； 3、用高斯-赛德尔迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+-=+,10,232121x bx bx x其中b 为实数，则方法收敛的充分条件是b 满足条件（ ）；4、取步长为1.0=h ，用欧拉法计算初值问题22',(0)0,y x y y ⎧=+⎨=⎩的解函数)(x y ，它在3.0=x 的近似值为（ ）；5、已知方程0sin 1=--x x 在)1,0(有一个根，使用二分法求误差不大于41021-⨯的近似解至少需要经过（ ）次迭代。
数值分析试题库与答案解析
A1 f (1)的求积公式，并求出
3．用 Newton 法求方程 x ln x 2 在区间 ( 2, ) 内的根 , 要求 xk xk 1 xk
4．用最小二乘法求形如 y a bx 2 的经验公式拟合以下数据：
10 8 .
xi
19
25
30
38
yi
19.0
32.3
49.0
73.3
5．用矩阵的直接三角分解法解方程组
， l 32 2
3
3
解方程组
1
y1
11
y2
5
y3
3 21
10
4
16 得 y1 10, y2 6, y3
，
3
30
再解方程组
5 1 1 3 x1
1 2 x2 1 x3
d1 1
10
d2 1
6 得 x1 1, x2
d3 1 4
3
1, x3 2 .
1 4 解 令 Y ，则 Y a bx 容易得出正规方程组
y
7. xk 1 xk xk f (xk ) ; 8. x j ; 9. 1 f (xk)
(B) 1;
10. 1 x3
x2
1 x,
f (4) ( )( x 1)x( x 1)(x 2) / 24
6
6
( 1,2)
二、综合题
1．差商表：
1 15
20
1 15
15
20
7
1 15
22
1
42
8
2 57
30
72
2 57
由于 ( x) [ x f ( x)] 1 f ( x) ，所以 | ( x) | |1 f ( x) | 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、665仍然（10分）已知矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=4321A 求p A ，∞=,2,1p 二、（10分）设A 、B 为n 阶非奇异矩阵，⋅表示矩阵的任一种从属范数，试证 ⑴A A 11≥- ⑵B A B A B A -⋅⋅≤-----1111
三、（10分）试证Newton 迭代法至少具有二阶收敛
四、（10分）证明方程()01263
=--=x x x f 在区间[]5,2内有唯一实根p ，并对任意的初始值[]5,20∈x ，Newton 序列都收敛于根p.
五、（10分）试证不动点定理：
设()[]b a C x f ,∈，且()b x f a ≤≤对一切[]b a x ,∈成立，则()x f 在[]b a ,上有不动
点，并回答满足什么条件不动点唯一（不要求证明）。
六、（10分）设()4
4,5,3,1R x T ∈-=，分别求出p x ，∞=,2,1p 的值
七、（10分）设A 、B 为n 阶非奇异矩阵，⋅表示矩阵的任一种从属范数，试证 ⑴A A 11≥- ⑵B A B A B A -⋅⋅≤-----1111
八、（10分）．应用复合梯形公式计算积分
dx e I x ⎰-=10
26 时要求误差不超过610-，试确定所需的步长h 和基点个数。
九、（10分）用Newton 迭代法计算115（迭代三次）
十、（10分）试证不动点定理：
设()[]b a C x f ,∈，且()b x f a ≤≤对一切[]b a x ,∈成立，则()x f 在[]b a ,上有不动
点，并回答满足什么条件不动点唯一（不要求证明）。
一、（10分）求证F F A A A n ≤≤21
其中n n R A ⨯∈
二、（15分）设41,10011001-=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a a a a a a A ，计算Jacobi 迭代矩阵的谱半径。
三、（10分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=.30.10.50.60A ，计算A 的1-范数，2范数，∞-范数以及F-范数。
四、（10分）设A 是对称矩阵，且011≠a ，经过高斯消去法一步后，A 约化为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21110A a a T ，
证明2A 是对称矩阵。
五、（10分）求证∞∞≤≤x n x x 1 其中n R x ∈
六、（15分）设n n R
P ⨯∈且非奇异，又设x 为n R 上的一种向量范数，定义Px x p =,证明p x 是n R 上的一种范数。
七、（15分）写出线性方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-+-=-61071021214153232121x x x x x x x 的Gauss-Seidel 迭代格式，并写出
其迭代矩阵，并判断它的收敛性。
八.（15分）证明方程0126)(3
=--=x x x f 在区间【2,5】内有唯一根p,并对任意初始值]5,2[0∈x ，Newton 序列都收敛于p
九、（10分）写出下面非线性方程组的Newton 迭代格式 ⎩⎨⎧=+-+=+++08100810212212222
1x x x x x x x 十、（15分）用差分方程解边值问题
()()()⎩
⎨⎧==-+=''11112y y y x y 11≤≤-x 取步长2
1=h 注：只需要表示出节点的线性方程组 一、（10分）设⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=3156A ，计算A 的1-范数，2范数，∞-范数以及F-范数。
二、（10分）设A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21110A a a T ，证明：
（1） A 的对角元素0>ii a ，),,2,1(n i =
（2） 2A 是对称正定矩阵。
三、（15分）试证明对任何初值0x ，由迭代法k k x x cos 1=+， ,1,0=k ，
所产生的序列{}k x 都收敛于方程x x cos =的根
四、（15分）设函数)(x f 于区间[a,b]上至少三次连续可微，()b a p ,∈为)(x f 的一个m 重零点，求一个λ值使改进的Newton 法)
()('1k k k k x f x f x x λ-=+， ,1,0=k 至少是二阶收敛。
五、（10分）写出下面非线性方程组的Newton 迭代格式⎩⎨⎧=--=-0
130331221222
1x x x x x 六、（15分）用差分方程解边值问题
()()()⎩
⎨⎧==-+=''11112y y y x y 11≤≤-x 取步长2
1=h 注：只需要表示出节点的线性方程组。