高等数学第六章定积分习题课
高等数学第六章 定积分应用试题及答案
第六章 一元函数定积分的应用一、微元法（元素法）实际问题中可化为定积分来计算的待求量A ，一般总可按“分割、近似求和、取极限”这三个步骤导出它的积分表达式。
但为了简捷实用起见，常常采用微元法（又称元素法）。
微元法的关键就在于寻找待求量A 的微小增量（部分量）能近似表达为x ∆的线性形式，()x x f A ∆≈∆而且当0→∆x 时，()()x x x f A ∆=∆-∆0，亦即()dx x f dA =，其中()x f 为[]b a ,上的某一个连续函数。
量dA 称为待求量的微元素。
然后把()dx x f 在[]b a ,上积分，即待求量⎰=badx x f A )(。
这就是微元法。
在采用微元法时，必须注意如下几点：（1）选好坐标系，这关系到计算简繁问题。
（2）待求量A 具有以区间的可加性，即A =∑∆A ；（3）取好微元x x f d )(，经常应用“以匀代变”“以直代曲”的思想决定A ∆的线性主部，这关系到结果正确与否的问题。
定积分的几何应用一、平面图形的面积 1．直角坐标的情形求)(1x y ϕ=与)(2x y ϕ=与所围图形的面积方法（1）以x 为积分变量由)(1x ϕ)(2x ϕ=解出两个常数值a x =，b x =，面积元素dA =dx x x )]()([12ϕϕ-，面积A =x x x bad )]()([12ϕϕ-⎰，（b x a ≤≤）。
方法(2) 以y 为积分变量由)(1x y ϕ=、)(2x y ϕ=解出x 的两个表达式)(1y x ϕ=，)(2y x ϕ=，再根据)(1y ϕ)(2y ϕ=解出y 的两个常数值c y =，d y =，面积元素dA =dy y y )]()([12ϕϕ-，面积A =y y y dc d )]()([12ϕϕ-⎰，（d y c ≤≤）。
以x 还是y 为积分变量，要视具体情况分析，总之要让计算最简单。
（1）X — 型平面图形的面积 （2） Y — 型平面图形⎰-=badx x g x f S )()( ⎰-=dcdy y g y f S )()(2．参数方程情形求)(x f y =、a x =、b x =以及x 轴所围图形的面积（b a x f <≥,0)(），如果曲边)(x f y =的方程为参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x φϕ，则其面积dx y A ba ⎰==dt t t )(')(ϕφβα⎰，其中)(),(βϕαϕ==b a3．极坐标情形设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=围成的曲边扇形。
《高等数学教学资料》答案-第6章定积分的应用.doc
第6章定积分的应用1.求由两抛物线)'二兀与y 2 = -x+4所用成的面积解:先求出两抛物线的交点，(2,V2),(2,-V2),由对称性，只要求位于第一彖限的而积的两倍即可，关于>/22f (4-2y 2)dy = 4(2y-y 3/3) 02.求由双曲线y = x + \!兀与两肓线x = 2^y = 2所围图形的而积解：双曲线在x=l 处达到极小值2,边界线的交点为(1,2), (2,5/2) , (2,2)关于x 积分较简单解：由对称也 只需求!110<^<^/3的一叶的面积，乘以3则得所求面积,□広/3 q 2 兀/3 $ 2 兀/3A = - f rd3 = — [ sin 2(3^)d^ = — f (1-cos(60))d& = 2 J 2 J 4 J厶0 厶 0 " o 4•求山双曲线y = l/x,三直线y = 4x. x = 2. y = 0所围成平面图形绕兀轴旋转所成的旋转体的体积解：该曲线是由三段抛物线组成的，y = 4-x 2 , 丁 = 2 +兀2 , )=4 - 区间分别是[-2,-1],[-1,1],1,2],边界点(・2,0),(・1,3),(1,3),(2,0),旋转体可看成半径为3高为4的体积为3x3x4〃的圆柱体挖去抛物线绕直线y = 3旋转成的部分，再考虑到曲线关于y 轴的对称性，所以/-I 0V = 367i-27T j(x 2-l)2d.r+j(l-x 2)2dx\-2-1解：该题即教材习题6.3第6题，图形的顶点是©0),(1」)，体积等于圆弧x=xl(y)绕x=2旋转的体积减V=7T<1/2 2 ] 、 f 16x 2dr+ [ —dx =7T1/2 __1 2、 J J x 儿<3 o x 1/2丿 解：先求出图形的顶点(0,0),(1/ 2,2),(2」/ 2), (2,0)=碍冷+ 2)十/6 5.求由曲线y = 3-|x 2-l|与X 轴所围封闭图形绕岂线y = 3旋转所成旋转体的体积= 16A /2/3y 积分较方便, 3•求三叶玫瑰线在极处标下的曲线厂=a sin(3&) > 0, tz > 0围成的面积1 ___________________去直线段x=y 绕x=2旋转所得的圆台的体积，故V = ;rJ((l + Jl_b )2_(2_y)2)dy1 ______________=可(27^-2()' —I)*®i 方法2 V = ^J((2-x 1(j))2-(2-y)2)dy1 1 1=龙J 4 (y -若(y) +彳(y) - y?) dy =打2 (2y - y' -兀］(y)) dy,由于J 兀］(刃dy 等于边长为一的正方型 00 0面积减去四分Z —圆而积.故得IV = ;rj2(2y — y2p (y ))dy = 2;r(l — l/3 — (l —龙/4))=龙(龙/2 —2/3)7•求曲线),=ln(l- x 2)上相应于0 5x51/2上的一段弧的弧长\x = acos^ t\ &求曲线｛相应于(0<t<7T/2)上的一•段弧长 y = asint. 解：由于2siii/cos/ = sin2r, sin 4r +cos 41 =(sin 2 Z +cos 21)2 -2sin 2/ cos 21 = 1 -2sin 2tcos 21 = 1 - — sin 2 2/ = —(1 + cos 2 2(),故 2 2TT /2 ___________ 刃 2 _______________________________弧长$ = 4G J sinrcos/vcos 4+ sin 4 tdt =——厂 j y ］\ + cos 2(2r)dcos(2r) 0°2 () 龙/2 ________=J J1 + cos?⑵)dcos ⑵)2Z (In(cos(2f) + Jl + cos?⑵))+ cos(2f) J1 + cos?⑵))|= a 9.求极坐标下抛物线厂=——,上相应于(-龙/25 0W 龙/2)上的一段弧长 1 + COS (P龙/2 」e =f d(p S 3(^/2) Jcos?(0/2)-7C arcsin =兀(兀 12-2/3)f-i + 1 + qdr 二 ： + ln 土］1 1 — x 1 + x < 1 一( i l + -^ln(V2 + l) d (p 解：弧长 l-x 21/2 = ln3-l/2 0 1/2 訂0 解：S __J__ + 心 4(1 + COS 0)2 (1+COS 0)4 (I+COS0严訂=2sec(0 / 2) tan@/ 2) - 2J tan2((p/2)sec(©/ 2) d(©/ 2)=2 sec(0 / 2) tan(° / 2) - 2 j (sec2((p/2)-1) sec(° / 2) d((p/2)s = \ "呷⑺ + i n(tan((^ + 龙)/4) =72 + ln(l + >/2)I cos2 (^/2) 屮丿I。
高等数学(同济大学第五版)第六章 定积分的应用
习题6−21. 求图6−21 中各画斜线部分的面积:(1)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为61]12[)(12231=−=−=x x dx x x A . 2300∫ 解法一x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为0 画斜线部分在y 轴上的区间为[1, e ]. 所求的面积为(2)画斜线部分在 1|)()(11=−=−=∫x x e ex dx e e A ,0 解法二投影 1)1(|ln ln =−−=−==∫∫e e dy y y ydy A e e e . 111(3)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[−3, 1]. 所求的面积为332]2)3[(132=−−=∫−dx x x A . (4)解 [−1, 3]. 所求的面积为画斜线部分在x 轴上的投影区间为 332|)313()32(3132312=−+=−+=−−∫x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积:(1) 221x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解:388282)21222228(2020020221−−=−−=−−=∫∫∫∫dx x dx x dx x dx x x A 323cos 16402+=−=∫πtdt . 48π346)212−=−ππS . 2(2=A (2)xy =1与直线y =x 及x =2; 解:所求的面积为∫=A −=−202ln 23)1(dx x x . e x , y =e −x 与直线x =1;解:所求的 (3) y =面积为∫−+=−=−1021)(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0).解所求的面积为a b e dy e A ba yb a y −===∫ln ln ln ln3. 求抛物线y =−x 2+4x −3及其在点(0, −3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: 过点(0, −3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y =4(x −3)., 切线方程为y =−2x +6.y ′=−2 x +4.过点(3, 0)处的切线的斜率为−2两切线的交点为)3 ,23(, 所求的面积为 49]34(62[)]34(34[2302332=−+−−+−+−+−−−=∫∫dx x x x x x x A . 4. 求抛物线y 2=2px 及其在点),2(p p 处的法线所围成的图形的面积. 解2y ⋅y ′=2p .在点处, 1),2(==′p p y p y ,),2(p p 法线的斜率k =−1, 法线的方程为)2(p x p y −−=−, 即y p x −=23.),2(p p 求得法线与抛物线的两个交点为和)3,29(p p −. 法线与抛物线所围成的图形的面积为233232316)612123()223(p y p y y p dy p y y p A p p pp =−−=−−=−−∫. 5. 求由下列各曲线 所围成的图形的面积;(1)ρ=2a cos θ ;解:所求的面积为∫∫==2221πθθ −202cos 4)cos 2(2ππθθd a d a A =πa 2. a cos 3t , y =a sin 3t ;解2(2)x =所求的面积为∫∫∫===204220330sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t a t a d t a ydx A a 2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=−=∫∫.(3)ρ=2 解所求的面积为a (2+cos θ ) 2202220218)cos cos 44(2)]cos 2(221a d a d a A πθθθθθππ=++=+=∫∫. 6. 求由摆线x =a (t −sin t ), y =a (1−cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的图形的面积. 解:所求的面积为∫∫∫−=−−==a a a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a =++−=∫. 7. 求对数螺线ρ=ae θ(−π≤θ≤π)及射线θ=π所围成的图形面积.解所求的面积为)(42)(2ππ−−∫∫e d e a d ae 11222222πππθπθθθ−−===e a . 8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.(1)ρ=3cos θ 及ρ=1+cos θ解曲线ρ=3cos θ 与ρ=1+cos θ 交点的极坐标为A)3,23(πA , )3,23(π−B . 由对称性, 所求的面积为 πθθθθπππ45])cos 3(21)cos 1(21[2232302=++=∫∫d d A . (2)θρsin 2=及解θρ2cos 2=.6,22(π.曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M 所求的面积为 2316]2cos 21)sin 2(21[24602−+=+=∫∫πθθθθπππd d A .于曲线e x 下方, 9. 求位y =该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积. 解 设直线y =kx 与曲线y =e x 相切于A (x 0, y 0)点, 则有x y e y kx y x x 00)(0000, , y 0=e , k =e .所求面 ⎪⎩⎪⎨⎧==′==ke 求得x 0=1积为21ln 21)ln 1(00020e dy y y y y y e dy y y e e e e e=⋅+−=−∫∫. 10. 求由抛物线y 2=4ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值. 解 设弦的倾角为α. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为10A A A +=. 显然当2πα=时1=0; 当, A 2πα1因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 <时, A >0. 20300383822a x a dx ax A a a ===∫. 1. 把抛物线y 2=4ax 及直线x =x 0(x 0>0)所围成的图形绕x 轴旋转, 计算得旋转体的体积.1所 解 所得旋转体的体积为20022224000x a axdx dx y V xx x πππ====∫ 00x a π∫. 12. 由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得转所得旋转体的体积为两个旋转体的体积.解 绕x 轴旋πππ712871207206202====∫∫x dx x dx y V x . 绕y 轴旋转所得旋转体的体积为∫∫−=−⋅⋅=803280223282dy y dy x V y ππππ ππ56453328035=−=y . 所围成的图形, 绕x 轴旋, 计算所得旋转体的体积. 解 由对称性, 所求旋转体的体积为13. 把星形线转3/23/23/2a y x =+ dx x a dx y V a a ∫=2222π∫−=0333)(2π 0 3024224210532)33(2a dx x x a x a a a π=−+−=∫.14. 用积分方法证明图中球缺的体积为)(2H R H V −=π.3证明 ∫∫−−−==R H R RH R dy y R dy y x V )()(222ππ)3()1(32y y R R H R =−=−ππ 32H R H −.15. 求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的体积:(1的旋转体)2x y =,2y x =, 绕y 轴; πππ)(22=−=∫∫dy y ydy V 解 103)5121(10521010=−y y . (2)ax a y ch =, x =0, x =a , y =0, 绕x 轴; 解 ∫∫∫===102ch udu 302202 ch )(a x dx a x a dx x y V a aπππ令 au1022)()2(u u u du e e −=++=∫2231032122144u e u e a a −−+ππ )2sh 2(43+a π= . (3)216)5(2=−y , 绕x 轴.解 +x ∫∫−−−−−−+=44224422)165()165(dx x dx x Vππ 24021601640π∫=−=dx x .x =(t −sin t ),=a (1−cos t )的一拱, y =0, 绕直线y =2a . 解 a dy y a dx a V02202)2()2( 23237)8πππa t a a =+−=. 16. 求圆盘 (4)摆线a y a 2∫∫−−=ππππ∫−+−=πππ202223)sin (])cos 1([8t t da t a a 0sin cos 1(tdt a ∫232222a y x ≤+绕x =−b (b >a >0)旋转所成旋转体 解 的体积.∫∫−−−−−−+=a a a a dy y a b dy y a b V222222)()(ππ 2202228ππb a dy y a b a=−=∫.17. 设有一截锥体, 其高为h , 上、下底均为椭圆, 椭圆的轴2a 、2b 和2A 、求这截锥体的体积.解 建立坐标系如图. 过y 轴上y 点作垂直于y 轴的平面, 则 易得其长分别为2B , 平面与截锥体的截面为椭圆,长短半轴分别为y h a A A −−, y hb B B −−. 积为π)()(y 截面的面h h B B y a A A −⋅b −−−.于是截锥体的体积为])(2[61)()(b V h=∫0AB a h dy y h b B B y h a A A +++=−−⋅−−π.计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角.x 且垂直于x () 件知, 它是边长为bA aB 18. 形的立体体积 解 设过点轴的截面面积为A x ,由已知条xR −2的等边三角形的面积, 其值为)(3)(22x R x A −=, 322334)(3R dx x R VR=−=∫R所以 − a.如图, 在x 处取一宽为dx 的边梯形, 小曲边梯形绕y 积近似为2πx ⋅f (x )dx , 这就是体积元素, 即 dV =2πx ⋅f (x )dx ,y 轴旋转所成的旋转体的体积为==bab dx x xf dx x xf V)(2)(2ππ.用题19和结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 解.19. 证明 由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为=bdx x xf V )(2π∫ 证明 小曲轴旋转所得的旋转体的体于是平面图形绕 ∫a∫ 20. 利2002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+−=−==∫∫x x x x xd xdx x V .y =ln x 上相应于83≤≤ 21. 计算曲线x 的一段弧的长度.解 ∫∫∫+=+=′+=82838x32321)1(1)(1dx x x dx dx x y s ,t 12−=t x ,x +21=, 即 则令23ln 211111113223232222322+=−+=t s −=−⋅−=∫∫∫∫dt t dt d t t dt t tt t .)3(x − 22. 计算曲线3弧的长度. x y =上相应于1≤x ≤3的一段 解x x x y 3−=, 1x y 2−=′,x 121x x y 4112+−=′, 214)(12x y +=′+,121x为所求弧长3432)232(21)1(213131−=+=+=∫x x x dx xx s .23. 计算半立方抛物线被抛物线32x y =32)1(32−=x y 截得的一段弧的长度.解 由⎪⎩⎪⎨⎧=−=3)1( 32232x y x y 得两曲线的交点的坐标为36 ,2(, )36 ,2(−. 所求弧长为∫′+=21212dx y s .因为2y x y 2)1(−=′,)1(23)1()134−=−2)1(2−=′y y x ,32()1(242−−==′y x y 所以 x x x . ]1)25[(98)1)1−x 3(13232(231232121−=−=−+=∫∫d x dx x s . 抛物线y 2=2px 从顶点到这曲线上的一点M (x , y )的弧长.24. 计算∫∫∫+=+=′+=y yydy sy p p dy p y dy y x 02202021)(1)(1 解y y p y p p 2222])2[+++=y p y 02ln(21+p 2y p y py p py 2222ln2++++=.25. 计算星形线t a x 3cos =, 的全长.解 用参数方程的弧长公式.t a y 3sin = dt t y t x s =∫′+′2022)()(4π∫⋅+−⋅=202222]cos sin 3[)]sin (cos 3[4πdt t t a t t aa tdt t 6cos sin 1220==∫π.26. 将绕在圆(半径为a )上的细线放开拉直, 使细线与圆周始终相切, 细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线, 它的方程为 )sin (cos t t t a x +=, )cos (sin t t t a y −=.计算这曲线上相应于t 从0变到π的一段弧的长度. 解 由参数方程弧长公式∫∫+=′+′=ππ022022)sin ()cos ()]([)]([dtt at t at dt t y t x s 0∫22ππa tdt a ==.cos t )上求分摆线第一拱成1: 3 解 设t 从0变化到t 0时摆线第一拱上对应的弧长为s (t 0), 则 27. 在摆线x =a (t −sin t ), y =a (1−的点的坐标.∫∫+−=′+′=0220220]sin [)]cos 1([)]t ([)]([)(t t dt t a t a dt y t x t s)2cos 1(42sin 2000ta dt t a t −==∫.当t 0=2π时, 得第一拱弧长s (2π)=8a . 为求分摆线第一拱为1: 3的点为A (x , y ), 令a ta 22cos 1(40=−,32解得0π=t , 因而分点的坐标为:a a x )32()2sin 2(−=−=πππ, 横坐标23 纵坐标33a a y 23)32cos1(=−=π,故所求分点的坐标为)23 ,)2332((a a −π. ρθa e =相应于自θ=0到的一段弧长 28. 求对数螺线θ=ϕ. 解 用极坐标的弧长公式. θθθρθρϕθθϕd ae e d a a ∫∫+=′+=22022)()()()(s )1−θ(11202+=+=∫ϕθθa a e aa d e a .29线1相应于自 . 求曲ρθ=43=θ至34=θ.的一段弧长 极坐标公式可得所求的弧长 解 按∫∫−+=′+=344322234322)1()1()()(θθθθθρθρd d s23ln 1251134322+=+=∫θθθd .30. 求心形线ρ=a (1+cos θ )的全长. 解 用极坐标的弧长公式. θθθθθρθρππd a a d s ==2 ∫∫−++′+0222022)sin ()cos 1()()(2a d a 82∫cos 4==πθθ.习题6−31. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功.解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为18216260===∫s k ksds W k(牛⋅厘米).2. 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？ 解 由玻−马定律知:ππ80000)8010(102=⋅⋅==k PV .设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则ππ80000)]80)(10[()(2=−⋅x x P , π−=80800)(x P .功元素为dx x P dW )()10(2⋅=π,所求功为 2ln 8008018000080800)10(400402πππππ=−=−⋅⋅=∫∫dx dx W(J).3. (1)证明: 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是 hR mgRhW +=,其中g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径;(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg , 在高于地面630km 处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g =9.8m/s 2, 地球半径R =6370km .证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m 的物体升高的功元素为dy ykMm dW 2=, 所求的功为 )(2h R R mMh k dy y kMm W hR R+⋅==∫+.(2)533324111075.910)6306370(106370106301098.51731067.6×=×+×××××⋅×=−W (kJ).4. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为3ct x =, 所以23)(cxt x v =′=, 阻力4229t kc kv f −=−=. 而32)(cx t =, 所以34323429)(9)(x kc cx kc x f −=−=. 功元素dW =−f (x )dx , 所求之功为 37320343203432072799)]([a kc dx x kcdx x kc dx x f Wa aa ===−=∫∫∫. 5. 用铁锤将一铁钉击入木板, 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比, 在击第一次时, 将铁钉击入木板1cm . 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等, 问锤击第二次时, 铁钉又击入多少？解 设锤击第二次时铁钉又击入h cm , 因木板对铁钉的阻力f 与铁钉击入木板的深度x (cm)成正比, 即f =kx , 功元素dW =f dx =kxdx , 击第一次作功为 k kxdx W 21101==∫,击第二次作功为 )2(212112h h k kxdx W h+==∫+.因为, 所以有 21W W =)2(21212h h k k +=, 解得12−=h (cm).6. 设一锥形贮水池, 深15m , 口径20m , 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？解 在水深x 处, 水平截面半径为x r 3210−=, 功元素为dx x x dx r x dW 22)3210(−=⋅=ππ,所求功为 ∫−=1502)3210(dx x x Wπ∫+−=15032)9440100(dx x x x π =1875(吨米)=57785.7(kJ).7. 有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶2m . 求闸门上所受的水压力. 解 建立x 轴, 方向向下, 原点在水面. 水压力元素为xdx dx x dP 221=⋅⋅=, 闸门上所受的水压力为21252252===∫x xdx P (吨)=205. 8(kN).8. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体, 尺寸如图所示. 当水箱装满水时, 计算水箱的一个端面所受的压力.解 建立坐标系如图, 则椭圆的方程为11)43()43(2222=+−y x .压力元素为dx x x dx x y x dP 22)43()43(38)(21−−⋅=⋅⋅=,所求压力为∫∫−⋅⋅+=−−⋅=222322cos 43cos 43)sin 1(4338)43()43(38ππtdx t t dx x x Pππ169cos 49202==∫tdx (吨)=17.3(kN). (提示: 积分中所作的变换为t x sin 4343=−)9. 有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m 和6m , 高为20m . 较长的底边与水面相齐. 计算闸门的一侧所受的水压力.解 建立坐标系如图. 直线AB 的方程为x y 1015−=,压力元素为dx x x dx x y x dP )5110()(21−⋅=⋅⋅=,所求压力为1467)5110(200=−⋅=∫dx x x P (吨)=14388(千牛).10. 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而顶离水面3cm , 试求它每面所受的压力. 解 建立坐标系如图.腰AC 的方程为x y 32=, 压力元素为dx x x dx x x dP )3(34322)3(+=⋅⋅⋅+=,所求压力为168)2331(34)3(34602360=+=+=∫x x dx x x P (克)=1.65(牛).11. 设有一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M , 试求这细棒对质点M 的引力.解 建立坐标系如图. 在细直棒上取一小段dy , 引力元素为dy ya Gm y a dy m G dF 2222+=+⋅=μμ, dF 在x 轴方向和y 轴方向上的分力分别为dF r a dF x −=, dF rydF y =.2202222022)(1)(l a a l Gm dy y a y a aGm dy y a Gm r a F l lx +−=++−=+⋅−=∫∫μμμ,)11()(12202222022l a a Gm dy y a y a Gm dy y a Gm r y F l ly +−=++=+⋅=∫∫μμμ. 12. 设有一半径为R 、中心角为 ϕ 的圆弧形细棒, 其线密度为常数 μ . 在圆心处有一质量为m 的质点F . 试求这细棒对质点M 的引力. 解 根据对称性, F y =0.θμcos 2⋅⋅⋅=Rdsm G dF xθθμθθμd R Gm R Rd Gm cos cos )(2=⋅=,θθμϕϕd R Gm F x ∫−=2cos2sin 2cos 220ϕμθθμϕR Gm d R Gm ==∫. 引力的大小为2sin 2ϕμR Gm , 方向自M 点起指向圆弧中点.总 习 题 六1. 一金属棒长3m , 离棒左端xm 处的线密度为11)(+=x x ρ (kg/m ). 问x 为何值时, [0, x ]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x 应满足∫∫+=+300112111dt t dt t x.因为212]12[110−+=+=+∫x t dt t x x, 112[2111213030=+=+∫t dt t ,所以1212=−+x ,45=x (m).2. 求由曲线ρ=a sin θ, ρ=a (cos θ+sin θ)(a >0)所围图形公共部分的面积. 解∫++⋅=43222)sin (cos 21)2(21ππθθθπd a a S24322241)2sin 1(28a d a a −=++=∫πθθπππ.3. 设抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 且当x ∈[0, 1]时, y ≥0. 试确定a 、b 、c 的值, 使得抛物线与直线x =1, y =0所围图形的面积为c bx ax y ++=294,且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小.y c bx ax +=+ 解 因为抛物线2y 通过点(0, 0), 所以c =0, 从而 bx ax +=2.bx ax y +=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为抛物线23)(102b a dx bx ax S +=+=∫. 令9423=+b a , 得968a b −=. 该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 )235()(221022ab b a dx bx ax V ++=+=∫ππ)]968(2)968(315[22a a a a −+−+=π. 令0)]128(181********[=−+−⋅+2=a a a ddV π, 得35−=a , 于是b =2. 4. 求由曲线23x y =与直线x =4, x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积.解 所求旋转体的体积为πππ751272224027403=⋅=⋅=∫x dx x x V . 5. 求圆盘1)2(22≤+−y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积.解 )2(122312∫−−⋅⋅=dx x x Vπ 2224cos )sin 2(4 sin 2ππππ=+=−∫−tdt t t x 令.6. 抛物线221x y =被圆322=+y x 所需截下的有限部分的弧长. 解 由⎪⎩⎪⎨⎧==+222213x y y x 解得抛物线与圆的两个交点为)1 ,2(−, )1 ,2(, 于是所求的弧长为2022202])1ln(2112[212x x x x dx x s ++++=+=∫ )32ln(6++=.,解 建立坐标系如图. 将球从水中取出时, 球的各点上升的高度均为2r . 在x 处取一厚度为dx 的薄片, 在将球从水中取出的过程中, 薄片在水下上升的高度为r +x ,在水上上升的高度为r −x . 在水下对薄片所做的功为零,在水上对薄片所做的功为dx x r x r g dW ))((22−−=π,对球所做的功为g r x d x r x r g W rr 22234))((ππ=−−=∫−. 8. 边长为a 和b 的矩形薄板, 与液面成α 角斜沉于液体内,长边平行于液面而位于深h 处, 设a >b , 液体的比重为ρ, 试求薄板每面所受的压力.解 在水面上建立x 轴, 使长边与x 轴在同一垂面上, 长边的在x 轴上的投影区间为[0, b cos α], 在x 处x 轴到薄板的距离为h +x tan α. 压力元素为 上端点与原点对应. 长边dx x h ga dx a x h g dP )tan (cos cos )tan (ααρααρ+=⋅⋅+⋅=, 薄板各面所受到的压力为)sin 2(21)tan (cos cos 0αρααραb h gab dx x h ga P b +=+=∫. 9. 设星形线t a x 3cos =,t a y 3sin =上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方, 在原点O 处有一单位质点, 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力. 解 取弧微分ds 为质点, 则其质量为ds y x ds y x 322322)()(+=+, 其中tdt t a dt t a t a ds cos sin 3])sin [(])cos [(2323=′+′=.设所求的引力在x 轴、y 轴上的投影分别为F x 、F y , 则有∫+⋅++⋅⋅=202222322)()(1πds y x x y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==∫π, ∫+⋅++⋅⋅=22222322)()(1πds y x y y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==∫π, 所以)53 ,53(22Ga Ga =F .。
高等数学习题详解-第6章-定积分
习题6-11． 利用定积分的几何意义求定积分：(1)12xdx ⎰； (2)220aa x dx -⎰(0)a >．解 (1) 根据定然积分的几何意义知, 102xdx ⎰表示由直线2,1y x x ==及x 轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以121xdx =⎰．(2) 根据定积分的几何意义知,220aa x dx -⎰表示由曲线22,0,y a x x x a =-==及x 轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以222014a a x dx a -=⎰π.2． 根据定积分的性质，比较积分值的大小：(1)12x dx ⎰与13x dx ⎰； (2)1xe dx ⎰与1(1)x dx +⎰．解 (1) ∵当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,又2x3x ,所以11230x dx x dx >⎰⎰．(2) 令()1,()1x xf x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>,从而()(0)0f x f ≥=,说明1xe x ≥+，所以110(1)x e dx x dx >+⎰⎰.3． 估计下列各积分值的范围：(1)421(1)x dx +⎰； (2) 33arctan xdx ⎰；(3)2ax ae dx --⎰（0a >)； (4)22xxe dx -⎰．解 (1) 在区间[]1,4上，函数2()1f x x =+是增函数，故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4212(41)(1)17(41)d x x -≤+≤-⎰,即 4216(1)51x dx ≤+≤⎰．(2) 令()arctan f x x x =,则2()arctan 1xf x x x '=++,当[3]3x ∈时,()0f x '>,从而()f x 在[3]3上是增函数,从而f (x )在3]3上的最大值(3)3πM f ==,最小值(363πm f ==所以 3323arctan 3)9363333xdx =≤≤=⎰ππππ即2arctan 93x xdx ≤≤ππ．(3) 令2()x f x e -=,则2()2x f x xe -'=-,令()0f x '=得驻点0x =，又(0)1f =，2()()a f a f a e -=-=,a >0时, 21a e -<,故()f x 在[],a a -上的最大值1M =，最小值2e a m -=,所以2222aa x aa dx a ---≤≤⎰e e .(4) 令2()x xf x e-=,则2()(21)x x f x x e -'=-,令()0f x '=得驻点12x =,又(0)1,f = 1241(),(2)2f e f e -==,从而()f x 在[]0,2上的最大值2M e =,最小值14m e -=,所以 212242xxee dx e --≤≤⎰．习题6-21． 求下列导数：(1)0d dx ⎰; (2) 5ln 2x t d t e dt dx-⎰； (3) cos 20cos()x d t dt dx π⎰; (4) sin x d t dt dx tπ⎰ (0x >)． 解 (1)d dx =⎰. (2) 55ln 2x t xd te dt x e dx--=⎰. (3) cos 2220cos()cos(cos )(cos )sin cos(cos )x d t dt x x x x dxπππ'=⋅=-⎰. (4) sin sin sin x x d t d t x dt dt dx t dx t xππ=-=-⎰⎰. 2． 求下列极限：(1) 02arctan limxx tdt x →⎰； (2)()22220e lime x t xx t dt t dt→⎰⎰．解 (1) ()022000021arctan arctan arctan 11(1)limlim lim lim 222x xx x x x tdt tdt x x x x x →→→→'⎡⎤--⎣⎦+====-'⎰⎰．(2) ()()22222222222000020000220022lim lim lim lim xxx x t t t x tx x x x x x x t x t e dt e dt e dt e dt xe xe te dtte dt →→→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦==='⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰e []2222202000222lim lim lim 2122x t x x x x x x x e dt e x e xe x xe →→→'⎡⎤⎣⎦====+'+⋅⎰． 3． 求由方程e cos 0yxt dt tdt +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数．解 方程两边对x 求导数得:cos 0e y y x '⋅+=, cos e yxy '∴=-， 又由已知方程有000sin e y xtt +=,即1sin sin 00e y x -+-=， 即1sin e yx =-,于是有cos cos sin 1e yx xy x '=-=-． 4． 计算下列定积分：(1)1⎰； (2)221d x x x --⎰；(3) 设,0,2()sin ,2x x f x x x πππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤;⎪⎩ ，求0()f x dx π⎰(4)⎰．解 (1)4321121433x ==⎰.(2)21222221101()()()dx x x dx x x dx x x dx x x --=-+-+--⎰⎰⎰⎰ 012322332101111111116322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(3) ()22220022()sin 1cos 82xf x dx xdx xdx x ππππππππ=+=+=+-⎰⎰⎰(4)32322(2)(2)x dx x dx x dx =-=-+-⎰⎰⎰⎰232202115(2)(2)222x x x x =-+-=．5．设函数()f x 在区间[],a b 上连续,在(),a b 内可导,()0f x '≤,1()()xaF x f t dt x a =-⎰；证明：在(),a b 内有()0F x '≤． 证明 22111()()()()()()()()xx aa F x f t dt f x x a f x f t dt x a x a x a ⎡⎤'=-+=--⎢⎥⎣⎦---⎰⎰[][][]21()()()(),(,,)()x a f x x a f a x a b x a ξξ=---∈∈- (),((,)(,))x f x a b x aξηηξ-'=∈∈-． 由已知条件可知结论成立．习题 6-31． 计算下列积分：(1) 3sin()x dx πππ+3⎰； (2) 32(115)dxx 1-+⎰；(3)1-⎰； (4) 320sin cos d ϕϕϕπ⎰；(5)22cos udu ππ6⎰；(6)2e 1⎰(7)1(8)；(9)ln3ln 2e e x x dx --⎰； (10) 3222dxx x +-⎰． 解 (1)333sin()sin()()[cos()]x dx x d x x ππππππππππ+=++=-+3333⎰⎰42coscos 033ππ=-+=. (2) 123322211(511)151(511)(115)5(511)10512dx d x x x x 11---+==-=+++⎰⎰. (3)1111(54)14x --=--==⎰⎰.(4)233422011sin cos cos cos cos 44d d πππϕϕϕϕϕϕ=-==-⎰⎰.(5) 222221cos 211cos cos 2(2)224u udu du du ud u ππππππππ6666+==+⎰⎰⎰⎰2611sin 226264u πππππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭(6)222111)e e ===⎰⎰. (7) 令tan x t =，则2sec dx tdt =，当1x =时，4t π=；当x =3t π=；于是332144cos 1sin sin t dt t tππππ==-=⎰． (8)令x t =,则dx tdt =,当0x =时，0t =；当x =,2t π=；于是2222012cos (1cos 2)(sin 2)22tdt t dt t t ππππ==+==+⎰⎰．(9) 令xe t =，则1ln ,d x t x dt t==，当ln 2x =时，2t =;；当ln3x =时,3t =；于是3ln3332ln 22221113111(ln ln )12222111x x dx dt t dt e e t t t t --⎛⎫====- ⎪---++⎝⎭⎰⎰⎰． (10)333222211111()ln 231232dx x dx x x x x x -=-=+--++⎰⎰1211(ln ln )ln 2ln 53543=-=- 2． 计算下列定积分： (1)1e x x dx -⎰； (2)e1ln x xdx ⎰；(3)41dx ⎰； (4) 324sin xdx xππ⎰； (5) 220e cos xxdx π⎰； (6) 221log x xdx ⎰；(7)π2(sin )x x dx ⎰； (8) e1sin(ln )x dx ⎰．解 (1)1111000x x x xxe dx xde xe e dx ----=-=-+⎰⎰⎰1110121x e ee e e e----=--=--+=-． (2)2222211111111111ln ln ln (1)222244ee e ee x xdx xdx x x xdx e x e ==-=-=+⎰⎰⎰．(3) 444111112ln 28ln 2dx x dx x ==-=-⎰⎰⎰ 8ln 24=-．(4) 333324444cot cot cot sin x dx xd x x x xdx x ππππππππ=-=-+⎰⎰⎰34π131ln ln sin 492249xπππ⎛=-+=+- ⎝⎭．(5)22222222cos sin sin 2sin x x xx e xdx e d x e xe xdx ππππ==-⎰⎰⎰22222202cos 2cos 4cos x xx e e d x e e xe xdx πππππ=+=+-⎰⎰220e 24cos x e xdx ππ=--⎰于是221cos (2)5xe xdx e ππ=-⎰． (6) ()2222222111122221111log ln ln 2ln 22ln 211ln 2ln 22x xdx xdx x x xdx x x x ==-⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 133(4ln 2)22ln 224ln 2=-=-． (7) 223200001111(sin )(1cos 2)(sin2)2232x x dx x x dx x x d x ππππ=-=-⎰⎰⎰33200011(sin 22sin2)cos26464x x x xdx xd x πππππ=--=-⎰⎰ 3001(cos 2cos2)64x x xdx πππ=--⎰ 3301sin 264864x πππππ=-+=-． (8)111sin(ln )sin(ln )cos(ln )eeex dx x x x dx =-⎰⎰11sin1cos(ln )sin(ln )eee x x x dx =--⎰1sin1cos11sin(ln )ee e x dx =-+-⎰所以11sin(ln )(sin1cos11)2ex dx e e =-+⎰． 3． 利用被积函数的奇偶性计算下列积分：(1)11ln(x dx -+⎰ ； （2）1212sin 1xdx x -++⎰(3)222(x dx -⎰; (4)4224cos d θθππ-⎰．解 (1)ln(1x +是奇函数，11ln(0x dx -∴+=⎰．(2)2sin 1xx +是奇函数，121sin 01x dx x-∴=+⎰， 因此 111221112sin 22arctan 11x dx dx x x x π---+===++⎰⎰．(3)2222222((42416x dx dx dx ---=+==⎰⎰⎰．(4) ()244222022201cos 24cos 8cos 82212cos 2cos231384222d d d d θθθθθθθθθππππππ-π+⎛⎫== ⎪⎝⎭=++=⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰．4． 证明下列等式： (1) 证明：11(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-⎰⎰；(2) 证明：1122111xx dx dx x x =++⎰⎰ (0x >)； (3) 设()f x 是定义在区间(,)-∞+∞上的周期为T 的连续函数，则对任意(,)a ∈-∞+∞，有0()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰．证 (1)令1x t -=，则dx dt =-，当0x =时，1t =；当1x =时，0t =；于是1111(1)(1)()(1)(1)m nm nnmn m x x dx t t dt t t dt x x dx -=--=-=-⎰⎰⎰⎰，即11(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-⎰⎰．(2) 令1x t =则21dx dt t-=， 于是11111112222211211111111111t xx t t dx dt t dt dx x tt x t t⎛⎫=⋅=-⋅==- ⎪++++⎝⎭+⎰⎰⎰⎰⎰d ，即 1122111xx dx dx x x =++⎰⎰． (3) 因为()()()a TT a Taaf x dx f x dx f x dx ++=+⎰⎰⎰，而()()()a Taaaf x dx x t T f t T dt f t dt +=++=⎰⎰⎰令()()()aT Taf x dx f x dx f x dx ==-⎰⎰⎰故()()a TT af x dx f x dx +=⎰⎰．4． 若()f t 是连续函数且为奇函数，证明0()xf t dt ⎰是偶函数；若()f t 是连续函数且为偶函数，证明()xf t dt ⎰是奇函数．证 令0()()xF x f t dt =⎰．若()f t 为奇函数，则()()f t f t -=-，令t u =-，可得()()()()()xx xF x f t dt f u du f u du F x --==--==⎰⎰⎰,所以0()()xF x f t dt =⎰是偶函数．若()f t 为偶函数，则()()f t f t -=，令t u =-，可得()()()()()xx xF x f t dt f u du f u du F x --==--=-=-⎰⎰⎰,所以0()()xF x f t dt =⎰是奇函数．5． 利用分部积分公式证明：()()()()d xxuf u x u du f x x du -=⎰⎰⎰．证 令0()()uF u f x dx =⎰则()()F u f u '=,则(())()()()xu x xxf x dx du F u du uF u uF u du '==-⎰⎰⎰⎰()()()()xxxxF x uf u du x f x dx uf u du =-=-⎰⎰⎰ 0()()()()xx x xx f u du uf u du xf u du uf u du =-=-⎰⎰⎰⎰()()xx u f u du =-⎰．习题6-41． 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) 2y x =与22y x =-； (2) xy e =与0x =及y e =； (3) 24y x =-与0y =； (4) 2y x =与y x =及2y x =；(5) 1y x =与y x =及2x =； (6) 2y x =与2y x =-；(7) ,x xy e y e -==与1x =；(8) sin (0)2y x x π=≤≤与0,1x y ==． 解 (1)两曲线的交点为(1,1),(1,1)-，取x 为积分变量，[]1,1x ∈-，面积元素22(2)dA x x dx =--，于是所求的面积为112311182(1)2()33A x dx x x --=-=-=⎰．(2) 曲线x y e =与y e =的交点坐标(1,)e ， xy e =与0x =的交点为(0,1)，取y 为积分变量，[]1,y e ∈，面积元素ln dA ydy =；于是所求面积为111ln (ln )1eeeA ydy ydy y y y ===-=⎰⎰．(3)曲线24y x =-与0y =的交点为(2,0),(2,0)-，取x 为积分变量，[]2,2x ∈-，面积元素2(4)dA x dx =-，于是所求的面积为222322132(4)(4)33A x dx x x --=-=-=⎰．(4) 曲线2y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1)；2y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4)； 它们所围图形面积为：121222011(2)(2)(2)A x x dx x x dx xdx x x dx =-+-=+-⎰⎰⎰⎰223121117()236x x x =+-=．(5) 曲线1y x =与y x =的交点为(1,1)，1y x =与2x =的交点为1(2,)2；取x 积分变量，[]1,2x ∈，面积元素1()dA x dx x=-，于是所求的面积为22211113()(ln )ln 222A x dx x x x =-=-=-⎰．(6) 曲线2y x =与2y x =-的交点为()()114,2-，和，取y 作积分变量，[]1,2y ∈-，面积元素2(2)dA y y dy =+-，于是所求的面积为2222311117(2)(2)232A y y dy y y y --=+-=+-=⎰．(7) 曲线x y e =与xy e-=的交点(0,1)，取x 作积分变量,[]0,1x ∈，面积元素()x x dA e e dx -=-，于是所求图形的面积为10)()2x x x x A e e dx e e e e--=-=+=+-⎰101(． (8)取x 作积分变量，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，面积元素(1sin )dA x dx =-，于是所求的面积为2200(1sin )(cos )12A x dx x x πππ=-=+=-⎰．2． 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积：(1) 1,4,0y x x y ====，绕x 轴；(2) 3,2,y x x x ==轴，分别绕x 轴与y 轴； (3) 22,y x x y ==，绕y 轴； (4) 22(5)1x y -+=，绕y 轴．解 (1)取x 作积分变量，[]1,4x ∈，体积元素2dV dx xdx ππ==，于是所求旋转体的体积为442111522V xdx x πππ===⎰． (2)绕x 轴旋转时，取x 作积分变量，[]0,2x ∈，体积元素32()x dV x dx π=，于是2267012877x V x dx x πππ===⎰； 同理可求平面图形绕y 旋转所成的旋转体的体积858223003642(4)55y V dy y y πππ⎡⎤=-=-=⎣⎦⎰．(3)曲线2y x =与2x y =的交点为(0,0),(1,1)，取y 作积分变量[]0,1y ∈，体积元素222()dV y dy π⎡⎤=-⎣⎦，于是所求的旋转体的体积为1142500113()()2510V y y dx y y πππ=-=-=⎰． (4) 取y 作积分变量[]1,1y ∈-，体积元素22(5(520dV dy π⎡⎤=-=⎣⎦，于是所求的旋转体的体积为1212020102V πππ-==⋅=⎰．3．设某企业边际成本是产量Q （单位）的函数0.2()2QC Q e '=（万元／单位），其固定成本为090C =（万元），求总成本函数． 解 总成本函数为0.200()()290Q QQ C Q C Q dQ C e dQ '=+=+⎰⎰0.20.2010901080QQ Q e e =+=+．4．设某产品的边际收益是产量Q （单位）的函数()152R Q Q '=-（元／单位），试求总收益函数与需求函数． 解 总收益函数为20()(152)15QR Q Q dQ Q Q =-=-⎰需求函数为()15R Q P Q Q==-． 5．已知某产品产量的变化率是时间t (单位：月)的函数()25,0f t t t =+≥，问：第一个5月和第二个5月的总产量各是多少?解 设产品总产量为()Q t ,则()()Q t f t '=,第一个5月的总产量552510()(25)(5)50Q f t dt t dt t t ==+=+=⎰⎰．第二个5月的总产量为10102102555()(25)(5)100Q f t dt t dt t t ==+=+=⎰⎰．6．某厂生产某产品Q (百台)的总成本()C Q (万元)的变化率为()2C Q '=(设固定成本为零)，总收益()R Q (万元)的变化率为产量Q (百台)的函数()72R Q Q '=-．问： (1) 生产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少?(2) 在利润最大的基础上又多生产了50台，总利润减少了多少? 解 (1)总利润()()()L Q R Q C Q =-当()0L Q '=即()()0R Q C Q ''-=即7220Q --=,2.5Q =(百台)时,总利润最大，此时的总成本和总收益分别为2.52.52.50()225C C Q dQ dQ Q'====⎰⎰2.52.52.520()(72)(7)11.25R R Q dQ Q dQ Q Q '==-=-=⎰⎰总利润11.255 6.25L R C =-=-=(万元).即当产量为2.5(百台)时,总利润最大，最大利润是6.25万元．(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台,总成本3300()26C C Q dQ dQ '===⎰⎰，总收入3323000()(72)(7)12R R Q dQ Q dQ Q Q '==-=-=⎰⎰， 总利润为1266L R C =-=-=(万元)．减少了6.2560.25-=万元．即在利润最大的基础上又生产了50台时,总利润减少了0.25万元．习题 6-51． 判断下列反常积分的敛散性，若收敛，则求其值： (1)41dxx +∞⎰； (2)1+∞⎰； (3) 0xe dx +∞-⎰(a ＞0); (4)sin xdx +∞⎰;(5)1-⎰； (6)222dxx x +∞-∞++⎰；(7)21⎰； (8)10ln x xdx ⎰；(9)e1⎰； (10)23(1)dxx -⎰．解 (1)14311133dx x x +∞+∞=-=⎰．此反常积分收敛．(2)1+∞==+∞⎰．此反常积分发散． (3) 101x xe dx e +∞--+∞=-=⎰．此反常积分收敛．(4) 0sin cos lim cos 1x xdx x x +∞+∞→+∞=-=-+⎰不存在，此反常积分发散．(5)111arcsin x π--==⎰．此反常积分收敛．(6)22(1)arctan(1)22(1)1dxd x x x x x π+∞+∞+∞-∞-∞-∞+==+=++++⎰⎰．此反常积分收敛．(7)23222110012lim lim (1)3x εεεε+++→→+⎡==-+⎢⎣⎰⎰320222lim 22333εε+→⎛==-- ⎝．此反常积分收敛． (8)11122221000111111ln limln lim ln lim ln 222424x xdx xdx x x xdx εεεεεεεεε→→→⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰， 所以11220001111ln lim ln lim(ln )4244x xdx x xdx εεεεεε++→→==--=-⎰⎰．此反常积分收敛．(9)111πarcsin(ln )2eeex ===⎰⎰．此反常积分收敛． (10)21233301(1)(1)(1)dx dx dx x x x =+---⎰⎰⎰，因为反常积分1132001(1)(1)dx x x ==∞--⎰发散，所以反常积分230(1)dxx -⎰发散． 2． 当k 为何值时，反常积分+2(ln )kdxx x ∞⎰收敛?当k 为何值时，这反常积分发散? 解 当1k =时，++222ln ln(ln )ln ln dxd x x x x x∞∞+∞===+∞⎰⎰,发散.当1k ≠时,1++122211(ln )(1)(ln 2)(ln )ln (ln )11kk kk k dx x k x d x x x kk -∞∞--+∞⎧>⎪-===⎨-⎪+∞<⎩⎰⎰所以，当1k >时，此广义积分收敛；当1k ≤时，此广义积分发散． 3． 利用递推公式计算反常积分+0e n x n I x dx ∞-=⎰．解 ++110n x n xn x n n I x de x e n x e dx nI ∞∞----+∞-=-=-+=⎰⎰,因为 +101x x xI xde xe e ∞---+∞+∞=-=--=⎰,所以 121(1)(1)2!n n n I nI n n I n n I n --==-=-=.复习题6（A ）1、 求下列积分：（1）121tan sin 1xdx x -+⎰； （2）⎰； （3）2x⎰； （4）ln 0⎰；（5）21220(1)x dx x +⎰； （6）1⎰；（7）120xx e dx -⎰； (8)21(ln )ex dx ⎰；(9) 401cos 2xdx xπ+⎰； (10) 20cos x e xdx π-⎰；(11) 20sin 1cos x xdx x π++⎰； (12) 40ln(1tan )x dx π+⎰． 解 (1) 因为被积函数2tan sin 1x x +是奇函数,所以121tan 0sin 1xdx x -=+⎰．(2)=⎰⎰，令1sin x t -=，则cos dx tdt =；当0x =时，2t π=-；当1x =时，0t =；所以22221cos 2sin 2cos 2244t t t tdt dt ππππ---+⎡⎤===+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰． (3) 令2sin x t =，则2cos dx tdt =，当0x =时，0t =；当2x =时，2t π=；所以222222204sin 4cos 4sin 22(1cos 4)xt tdt tdt t dt πππ=⋅==-⎰⎰⎰⎰2012(sin 4)4t t ππ=-=． (4)t =，则221tdx dt t =+，当0x =时，0t =；当ln 2x =时，1t =；所以2ln 11200022(arctan )2(1)14t dt t t t π==-=-+⎰⎰． (5) 令tan x t =，则2sec dx tdt =，当0x =时，0t =；当1x =时，4t π=；所以22412442240000tan 1cos 2sin 21sec ()(1)sec 22484x t t t t dx tdt dt x t ππππ-===-=-+⎰⎰⎰．(6) 令sec x t =，则sec tan dx t tdt =，当1x =时，0t =；当2x =时，3t π=；所以23330100tan sec tan tan (tan )sec 3t t tdt tdt t t t ππππ===-=⎰⎰⎰．(7)111112221022x x x x x x e dx x de x e xe dx e xde ------=-=-+=--⎰⎰⎰⎰1111110223225x x x e xe e dx e e e ------=--+=--=-⎰．(8)22111111(ln )ln 2ln 2ln 22ee e e e x dx x x x x dx e x x dx e x=-⋅=-+=-⎰⎰⎰．(9) 44440000tan tan tan 1cos 2xdx xd x x x xdx x ππππ==-+⎰⎰⎰ 401ln cos ln 2442x πππ=+=-． (10)22220cos cos cos sin xxxx e xdx xdee x e xdx ππππ----=-=--⎰⎰⎰2220001sin 1sin cos xxx xdee x e xdx πππ---=+=+-⎰⎰221cos x ee xdx ππ--=+-⎰，所以 2201cos (1)2xe xdx e ππ--=+⎰．(11)22222000002sin sin cos tan 1cos 1cos 21cos 2cos2x x x x x d x dx dx dx xd x x x x πππππ+=+=-+++⎰⎰⎰⎰⎰2220002200tan tan ln(1cos )222ln cos ln(1cos )22x x x dx x x x ππππππ=--+=--+⎰20ln 22ln cos222x πππ=++=． (12) 4444000cos sin ln(1tan )ln ln(cos sin )ln cos cos x x x dx dx x x dx xdx xππππ++==+-⎰⎰⎰⎰令4x u π-=，可得0440041ln(cos sin )ln cos()(ln 2ln cos )42x x dx x dx u du ππππ⎤+=-=-+⎥⎦⎰⎰⎰40ln 2ln cos 8xdx ππ=+⎰所以40ln 2ln(1tan )8x dx ππ+=⎰．2、设()f x 在[],a b 上连续，且()1baf x dx =⎰，求()b af a b x dx +-⎰．解 令a b x t +-=，则dx dt =-，当x a =时，t b =；当x b =时，t a =；所以()()()1bababaf a b x dx f t dt f t dt +-=-==⎰⎰⎰．3、设()f x 为连续函数，试证明：()()(())xx tf t x t dt f u du dt -=⎰⎰⎰．证 用分部积分法，(())()(())xxt tx tf u du dt t f u du td f u du =-⎰⎰⎰⎰⎰()()()()xx x xx f u du tf t dt xf t dt tf t dt =-=-⎰⎰⎰⎰()()xf t x t dx =-⎰．4、设()u ϕ为连续函数，试证明：220()2()aa ax dx x dx ϕϕ-=⎰⎰．证2220()()()aaaax dx x dx x dx ϕϕϕ--=+⎰⎰⎰，令x t =-，则0022220()(())()()a aaax dx t dt t dt x dx ϕϕϕϕ-=--==⎰⎰⎰⎰所以022220()()()2()aa aaax dx x dx x dx x dx ϕϕϕϕ--=+=⎰⎰⎰⎰．5、计算下列反常积分：（1）2048dxx x +∞++⎰； （2）21arctan x dx x+∞⎰； （3）1⎰； （4）1e ⎰解 (1)222000(2)12arctan 48(2)2228dx d x x x x x π+∞+∞+∞++===++++⎰⎰． (2)221111arctan 1arctan 1arctan (1)x x dx xd dx x x x x x +∞+∞+∞+∞=-=-++⎰⎰⎰ 22111lnln 242142xx ππ+∞=+=++.(3)11100022dx π⎡===⎣⎰⎰．(4)112ee ===⎰⎰． 6、求抛物线22y px =及其在点(,)2pp 处的法线所围成的平面图形的面积． 解 抛物线22y px =在点(,)2p p 处的法线方程为32x y p +=，两曲线的交点为9(,3),(,)22pp p p -；取y 作积分变量3p y p -≤≤，所求的平面图形面积为 2232333131116()()222263pp p pA p y y dy py y y p p p --=--=--=⎰． 7、求由曲线32y x =与直线4,x x =轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．解 曲线32y x =与直线4x =的交点为(4,8)，取y 作积分变量，08y ≤≤，体积元素223244()(16)dy y dy y dy ππ⎡⎤=-=-⎣⎦于是，所求的旋转体的体积为884373003512(16)(16)77V y dy y y πππ=-=-=⎰．8、设某产品的边际成本为()2C Q Q '=-（万元/台），其中Q 代表产量，固定成本022C ==（万元），边际收益()204R Q Q '=-（万元/台）．试求： (1) 总成本函数和总收益函数； (2) 获得最大利润时的产量；(3) 从最大利润时的产量又生产了4台，总利润的变化． 解 (1)总成本函数2001()(2)2222QC Q Q dQ C Q Q =-+=-+⎰，总收益函数20()(204)202QR Q Q dQ Q Q =-=-⎰．(2)利润函数23()()()18222L Q R Q C Q Q Q =-=--，令()0L Q '=,得6Q =(台)，而(6)30L ''=-<，所以当产量6Q =(台)时，利润最大．(3)(10)(6)83224L L -=-=-，所以从最大利润时的产量又生产了4台，总利润减少了24（万元）．(B) 1、填空题：(1)202cos x d x t dt dx=⎰ . (2) 设()f x 连续，220()()x F x xf t dt =⎰，则()F x '= .(3) 2sin()x d x t dt dx -=⎰ .(4) 设()f x 连续，则220()xd tf x t dt dx -=⎰ . (5) 设20cos ()1sin xt f x dt t=+⎰,则220()1()f x dx f x π'=+⎰ . (6) 设()f x 连续，且1()2()f x x f x dx =+⎰，,则()f x = .(7) 设()f x 连续，且()1cos xtf x t dt x -=-⎰,则20()f x dx π=⎰ .(8)2ln e dxx x +∞=⎰ .解 (1) 2220002224cos (cos )cos (cos )2x x x d d x t dt x t dt t dt x x x dx dx==+-⋅⎰⎰⎰2224cos 2cos xt dt x x =-⎰.(2) 2222200()(())()()2x x d F x x f t dt f t dt x f x x dx '==+⋅⋅⎰⎰22220()2()x f t dt x f x =+⎰.(3) 令x t u -=,则02220sin()sin ()sin xxxx t dt u du u du -=-=⎰⎰⎰所以22200sin()sin sin x x d d x t dt u du x dx dx-==⎰⎰. (4)令22x t u -= 则222222001()()()2x x tf x t dt f x t d x t -=---⎰⎰220011()()22x x f u du f u du =-=⎰⎰．所以2222001()()()2x x d d tf x t dt f u du xf x dx dx-=⋅=⎰⎰． (5)22200()arctan ()arctan ()arctan (0)1()2f x dx f x f f f x πππ'==-+⎰， 而02222000cos cos (0)0,()arctan(sin )1sin 21sin 4t t f dt f dt t t t ππππ=====++⎰⎰，所以220()arctan 1()4f x dx f x ππ'=+⎰(6) 等式1()2()f x x f x dx =+⎰两边在区间[]0,1积分得111100001()2()2()2f x dx xdx f x dx f x dx =+=+⎰⎰⎰⎰101()2f x dx =-⎰， 所以 ()1f x x =-．(7)令x t u -=，则du dt =-，于是00()()()xxtf x t dt x u f u du -=-⎰⎰原等式化为 0()()1cos xxx f u du uf u du x -=-⎰⎰两边对x 求导()sin xf u du x =⎰在上式中，令2x π=，得()1xf x dx =⎰．(8)22ln 11ln ln ln ee edx d x x x x x +∞+∞+∞==-=⎰⎰ 2、计算下列积分：(1) 120ln(1)(2)x dx x +-⎰； (2) 3142(1)x x dx -⎰；(3) 31(2)f x dx -⎰，其中21()x x f x e -⎧+=⎨⎩ 00x x ≤>；(4) 0()f x dx π⎰，其中0sin ()x t f x dt tπ=-⎰． 解 (1) 111120000ln(1)1ln(1)ln(1)(2)22(1)(2)x x dxdx x d x x x x x ++=+=----+-⎰⎰⎰ 1100111111ln 2()ln 2ln ln 2312323x dx x x x +=--=-=+--⎰. (2) 令2sin x t =，则331144242222200001111cos 2(1)(1)cos ()2222t x x dx x dx tdt dt ππ+-=-==⎰⎰⎰⎰220011cos 41313(12cos 2)(sin 2sin 4)8282832t t dt t t t πππ+=++=++=⎰． (3) 令2x t -=，则dx dt =，当1x =时，1t =-；当3x =时，1t =；于是3101111(2)()()()f x dx f t dt f x dx f x dx ---==+⎰⎰⎰⎰12171(1)3x x dx e dx e--=++=-⎰⎰. (4) 由题设有sin ()xf x xπ'=-，用分部积分法得 00000sin sin ()()()t x f x dx xf x xf x dx dt x dx t xππππππππ'=-=---⎰⎰⎰⎰ 000sin sin sin ()x x xdx x dx x dx x x xππππππππ=-=----⎰⎰⎰sin 2xdx π==⎰．3、设13201()()1f x x f x dx x =++⎰，求10()f x dx ⎰． 解 等式两边在区间[]0,1上积分得11113200001()()1f x dx dx f x dx x dx x =+⋅+⎰⎰⎰⎰11100011arctan ()()444x f x dx f x dx π=+=+⎰⎰解得1()3f x dx π=⎰．4、求函数2()(1)x t f x t e dt -=-⎰的极值．解 令222()(1)22(1)(1)0x x f x x e x x x x e --'=-⋅=--+=，得函数()f x 的驻点：1,0,1-；当1x <-时，()0f x '>；当10x -<<时，()0f x '<； 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<；所以函数()f x 在0x =处取得极小值(0)0f =，在1x =±处取得极大值：101(1)(1)t f t e dt e-±=-=⎰．5、设21sin ()x tf x dt t=⎰，求10()xf x dx ⎰．解 用分部积分法得221211122220011001sin 1sin 1sin ()2222x x t t x xf x dx dt dx x dt x xdx t t x ⎡⎤⎡⎤==-⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰112220011cos11sin cos 222x dx x -=-==⎰．6、求曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积． 解 抛物线(1)(2)y x x =--的顶点坐标为31(,)24-，左、右半支方程分别为：11()(32x y =和21()(32x y =；取y 作积分变量，104y -≤≤；体积元素为2221(())(())3dV x y x y dy π⎡⎤=-=⎣⎦，因此所求的旋转体的体积为0302114433(14)(14)422V y y πππ--==+=+=⎰⎰．７、设2()()()xax x t f t dt Φ=-⎰，证明：()2()()xax x t f t dt 'Φ=-⎰．证 2222()(2)()()2()()xxx xaaaax x xt t f t dt xf t dt x tf t dt t f t dt Φ=-+=-+⎰⎰⎰⎰，所以()22()()2()()xxx aaax xf t dt x tf t dt t f t dt ''Φ=-+⎰⎰⎰222()()2()2()()xxa ax f t dt x f x tf t dt x xf x x f x =+--⋅+⎰⎰2()2()2()()xx xaaaxf t dt tf t dt x t f t dt =-=-⎰⎰⎰．8、设连续函数()f x 满足(2)2()f x f x =，证明：2110()7()xf x dx xf x dx =⎰⎰． 证 202110()()()xf x dx xf x dx xf x dx =+⎰⎰⎰， 令2x t =，则21110000()2(2)(2)42()8()xf x dx tf t d t t f t dt xf x dx ==⋅=⎰⎰⎰⎰， 所以 202110()()()xf x dx xf x dx xf x dx =+⎰⎰⎰ 111000()8()7()xf x dx xf x dx xf x dx =-+=⎰⎰⎰．。
高等数学习题详解-第6章定积分
习题6-11． 利用定积分的几何意义求定积分：利用定积分的几何意义求定积分：(1) 12xdx ò； (2) 220aa x dx -ò(0)a >．解 (1) 根据定然积分的几何意义知, 102xdx ò表示由直线2,1y x x ==及x 轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以1021xdx =ò．(2) 根据定积分的几何意义知,22aa x dx -ò表示由曲线22,0,y a x x x a =-==及x 轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以222014aa x dx a -=òπ. 2． 根据定积分的性质，比较积分值的大小：根据定积分的性质，比较积分值的大小：(1) 12x dx ò与13x dx ò； (2) 10xe dx ò与1(1)x dx +ò．解 (1) ∵当[0,1]x Î时,232(1)0x x x x -=-³,即23x x ³, 又2x3x ,所以11230x dx x dx >òò．(2) 令()1,()1x xf x e x f x e ¢=--=-,因01x ££,所以()0f x ¢>, 从而()(0)0f x f ³=,说明1xe x ³+，所以11(1)xe dx x dx >+òò.3． 估计下列各积分值的范围：估计下列各积分值的范围：(1) 421(1)x dx +ò； (2) 313arctan x xdx ò；(3) 2axae dx --ò（0a >)； (4) 22xxedx -ò．解 (1) 在区间[]1,4上，函数2()1f x x =+是增函数，故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4212(41)(1)17(41)d x x -£+£-ò, 即 4216(1)51x dx £+£ò．(2) 令()arctan f x x x =,则2()arctan 1x f x x x ¢=++,当1[,3]3x Î时,()0f x ¢>,从而()f x 在1[,3]3上是增函数,从而f (x )在1[,3]3上的最大值(3)3πM f ==,最小值1()363πm f ==,所以所以 313112(3)arctan (3)9363333x xdx =-££-=òππππ即3132arctan 93x xdx ££òππ． (3) 令2()x f x e-=,则2()2xf x xe -¢=-,令()0f x ¢=得驻点0x =，又(0)1f =， 2()()a f a f a e-=-=,a >0时, 21ae -<,故()f x 在[],a a -上的最大值1M =，最小值，最小值2ea m -=,所以所以2222aa x aa dx a---££òee . (4) 令2()x x f x e -=,则2()(21)x xf x x e -¢=-,令()0f x ¢=得驻点12x =,又(0)1,f = 1241(),(2)2f e f e -==,从而()f x 在[]0,2上的最大值2M e =,最小值14m e -=,所以所以 2122402x xeedx e --££ò．习题6-21． 求下列导数：求下列导数：(1) 201x d t dt dx +ò; (2) 5ln 2x td te dt dx -ò； (3) cos 20cos()xd t dt dx p ò; (4) sin x d t dt dx tp ò (0x >)． 解 (1) 22011xd t dt x dx +=+ò. (2)55ln 2x tx d t e dt x e dx --=ò. (3) cos 2220cos()cos(cos )(cos )sin cos(cos )x d t dt x x x x dxp p p ¢=×=-ò(4)sin sin sin x xdt d t x dt dt dx t dx t xp p =-=-òò. 2． 求下列极限：求下列极限：(1) 02arctan limxx tdt x ®ò； (2) ()2220020e lime x t xx t dt t dt®òò．解 (1) ()0022000021arctan arctan arctan 11(1)lim lim lim lim 222x x x x x x tdt tdt x x x x x ®®®®¢éù--ëû+====-¢òò．(2) ()()22222222222000020000220022lim lim lim lim x x x x t t t x t x x x x x x x t x t e dt e dt e dt e dt xe xe te dt te dt ®®®®¢éù×êúëû===¢éùëûòòòòòòe []2222202000222lim lim lim 2122x t x x x x x x x e dt e x e xe xxe ®®®¢éùëû====+¢+×ò． 3． 求由方程e cos 0yx tdt tdt +=òò所确定的隐函数()y y x =的导数．的导数．解 方程两边对x 求导数得: cos 0e yy x ¢×+=, cosey x y ¢\=-，又由已知方程有000sin e yxtt +=,即1sin sin 00e yx -+-=， 即1sin e yx =-,于是有cos cos sin 1eyxx y x ¢=-=-．4． 计算下列定积分：计算下列定积分： (1) 41xdx ò； (2) 221d x x x --ò；(3) 设,0,2()sin ,2x x f x x x p p p 죣ïï=í;ïî，求0()f x dx p ò (4)320(2)x dx -ò．解 (1)44321121433xdx x ==ò.(2)2122222111()()()dx x x dx x x dx x x dx x x --=-+-+--òòòò012322332101111111116322332x x x x x x -æöæöæö=++=---ç÷ç÷ç÷èøèøèø．(3) ()22220022()sin 1cos 82x f x dx xdx xdxx p pp pp ppp =+=+=+-òòò(4) 33232002(2)2(2)(2)x dx xdx x dx x dx -=-=-+-òòòò232202115(2)(2)222x x x x =-+-=．5．设函数()f x 在区间[],a b 上连续上连续,,在(),a b 内可导内可导,,()0f x ¢£,1()()xaF x f t dt x a =-ò；证明：在(),a b 内有()0F x ¢£．证明证明 22111()()()()()()()()xx aa F x f t dt f x x a f x f t dt x a x a x a éù¢=-+=--êúëû---òò[][][]21()()()(),(,,)()x a f x x a f a x a b x a x x =---ÎÎ-(),((,)(,))x f x a b x ax h h x -¢=ÎÎ-． 由已知条件可知结论成立．由已知条件可知结论成立．习题习题 6-3 6-31． 计算下列积分：计算下列积分： (1) 3sin()x dx pp p +3ò； (2) 32(115)dx x 1-+ò； (3) 11154dx x--ò； (4) 320sin cos d j j j pò；(5) 22cos udu p p 6ò； (6) 2e 11ln dx x x+ò；(7) 32211dx xx +ò； (8) 2202x dx -ò； (9) ln 3ln 2e e x x dx--ò； (10)3222dxx x +-ò．解 (1) 333sin()sin()()[cos()]x dx x d x x pp p pp p p p p p +=++=-+3333òò42cos cos 033p p =-+=.(2) 123322211(511)151(511)(115)5(511)10512dxd x x x x 11---+==-=+++òò(3)1111111111(54)154425454dx d x x x x---=--=-=---òò.(4)233422011sin cos cos cos cos 44d d p ppj j j j j j=-==-òò.(5)222221cos 211cos cos 2(2)224u udu du du ud u pp p p ppp p 6666+==+òòòò26131sin 2268264up p p p p æö=+=--ç÷èø. (6) 222111(ln 1)22(31)1ln 1ln 1ln e e e dx d x x x x x+===-+++òò. (7) 令tan x t =，则2sec dx tdt =，当1x =时，4t p =；当3x =时，3t p =；于是于是 333222144cos 2123sin 3sin 1dx t dt t t x x p p p p==-=-+òò． (8) 令2sin x t =,则2cos dx tdt =,当0x =时，0t =；当2x =时,2t p=；于是2222220122cos (1cos 2)(sin 2)22x dx tdt t dt tt pppp-==+==+òòò．(9) 令xe t =，则1ln ,d x t x dt t ==，当ln 2x =时，2t =;；当ln 3x =时,3t =；于是于是3ln3332ln 22221113111(ln ln)12222111x xdxdt t dt e e t t t t --æö====-ç÷---++èøòòò．(10)333222211111()ln 231232dx x dx x x x x x -=-=+--++òò 1211(ln ln )ln 2ln 53543=-=- 2． 计算下列定积分：计算下列定积分： (1) 10e x x dx -ò； (2)e1ln x xdx ò；(3) 41ln x dx x ò； (4) 324sin xdx xpp ò； (5) 220e cos x xdx p ò； (6) 221log x xdx ò；(7)π20(sin )x x dx ò； (8) e1sin(ln )x dx ò．解 (1) (1)111100xxxxxedx xdexee dx ----=-=-+òòò1110121x e ee e e e----=--=--+=-．(2) 2222211111111111ln ln ln (1)222244e e e ee x xdx xdx x x xdx e x e ==-=-=+òòò． (3) 4444411111ln 12ln 2ln 28ln 24x dx xd x x x x dx x x x ==-×=-òòò 8ln 24=-．(4) 333324444cot cot cot sin x dx xd x x x xdx x p p p pp p p p =-=-+òòò34π131ln ln sin 492249x ppp p 3æö3=-+=+-ç÷èø． (5) 222222220cos sin sin 2sin xx x x exdx e d x e x e xdx p p p p ==-òòò222222002cos 2cos 4cos xxxe e d x e e xe xdx pp ppp=+=+-òò220e 24cos x e xdx pp =--ò于是于是221cos (2)5x e xdx e pp =-ò． (6) ()2222222111122221111log ln ln 2ln 22ln 211ln 2ln 22x xdx xdx x x xdx x x x ==-æö=-ç÷ç÷èøòòò 133(4ln 2)22ln 224ln 2=-=-． (7) 223200001111(sin )(1cos 2)(sin2)2232x x dx x x dx x x d x pp p p =-=-òòò 33200011(sin 22sin2)cos26464x x x xdx xd x p p p p p =--=-òò 3001(cos 2cos2)64x x xdx p p p =--ò 3301sin 264864x p p p p p=-+=-．(8)111sin(ln )sin(ln )cos(ln )eee x dx x x x dx =-òò11sin1cos(ln )sin(ln )ee e x x x dx =--ò1sin1cos11sin(ln )e e e x dx =-+-ò所以所以11sin(ln )(sin1cos11)2ex dx e e =-+ò．3． 利用被积函数的奇偶性计算下列积分：利用被积函数的奇偶性计算下列积分：(1) 121ln(1)x x dx -++ò ； （2）1212sin 1xdx x -++ò (3) 2222(4)x x dx -+-ò; (4) 4224cos d q q pp -ò．解 (1) 2ln(1)x x ++ 是奇函数，是奇函数， 121ln(1)0x x dx -\++=ò．(2) 2sin 1x x+ 是奇函数，121sin 01x dx x -\=+ò， 因此因此 111221112sin 22arctan 11x dx dx x x x p ---+===++òò． (3) 222222222(4)(424)416x x dx x x dx dx ---+-=+-==òòò． (4) ()244222022201cos 24cos 8cos 82212cos 2cos231384222d d d d q q q q q qq q qp p pp p p -p+æö==ç÷èø=++=×××=òòòò．4． 证明下列等式：证明下列等式：(1) 证明：1100(1)(1)mnn m x x dx x x dx -=-òò；(2) 证明：1122111xx dx dx x x=++òò (0x >)； (3) 设()f x 是定义在区间(,)-¥+¥上的周期为T 的连续函数，则对任意(,)a Î-¥+¥，有()()a TTaf x dx f x dx +=òò．证 (1)令1x t -=，则dx dt =-，当0x =时，1t =；当1x =时，0t =；于是于是1111(1)(1)()(1)(1)m n m n n m n mx x dx t t dt t t dt x x dx -=--=-=-òòòò，即11(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-òò．(2) 令1x t =则21dx dt t-=， 于是11111112222211211111111111t x x t tdx dt t dt dx x t t x t tæö=×=-×==-ç÷++++èø+òòòòòd ，即1122111xxdxdxx x =++òò．(3) 因为因为()()()a TT a Taa f x dx f x dx f x dx ++=+òòò，而，而()()()a Taaaf x dx x t Tf t T dt f t dt +=++=òòò令 0()()()aTTaf x dx f x dx f x dx ==-òòò故()()a TTaf x dx f x dx +=òò．4． 若()f t 是连续函数且为奇函数，是连续函数且为奇函数，证明证明0()xf t dt ò是偶函数；若()f t 是连续函数且为偶函数，证明()xf t dt ò是奇函数．是奇函数．证 令0()()xF x f t dt =ò．若()f t 为奇函数，则()()f t f t -=-，令t u =-，可得，可得()()()()()xxxF x f t dt f u du f u du F x --==--==òòò, 所以0()()xF x f t dt =ò是偶函数．是偶函数．若()f t 为偶函数，则()()f t f t -=，令t u =-，可得，可得()()()()()xxxF x f t dt f u du f u du F x --==--=-=-òòò, 所以0()()xF x f t dt =ò是奇函数．是奇函数．5． 利用分部积分公式证明：利用分部积分公式证明：()()()()d xxu f u x u du f x x du -=òòò．证 令0()()uF u f x dx =ò则()()F u f u ¢=, 则(())()()()xu xxxf x dx du F u du uF u uF u du ¢==-òòòò()()()()xxxxF x uf u du xf x dx uf u du =-=-òòò()()()()xxxxx f u du uf u du xf u du uf u du =-=-òòòò()()xx u f u du =-ò． 习题6-41． 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) 2y x =与22y x =-； (2) x y e =与0x =及y e =； (3) 24y x =-与0y =； (4) 2y x =与y x =及2y x =；(5) 1y x =与y x =及2x =； (6) 2y x =与2y x =-； (7) ,xx y e y e -==与1x =；(8) sin (0)2y x x p =££与0,1x y ==．解 (1)两曲线的交点为(1,1),(1,1)-，取x 为积分变量，[]1,1x Î-，面积元素22(2)dA x x dx =--，于是所求的面积为，于是所求的面积为112311182(1)2()33A x dx x x --=-=-=ò．(2) 曲线x y e =与y e =的交点坐标(1,)e ， x y e =与0x =的交点为(0,1)，取y 为积分变量，[]1,y e Î，面积元素ln dA ydy =；于是所求面积为；于是所求面积为111ln (ln )1eeeA ydy ydy y y y ===-=òò． (3)曲线24y x =-与0y =的交点为(2,0),(2,0)-，取x 为积分变量，[]2,2x Î-，面积元素2(4)dA x dx =-，于是所求的面积为，于是所求的面积为222322132(4)(4)33A x dx x x --=-=-=ò． (4) 曲线2y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1)；2y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4)； 它们所围图形面积为：它们所围图形面积为：1212220101(2)(2)(2)A x x dx x x dx xdx x x dx =-+-=+-òòòò2231201117()236x x x =+-=．(5) 曲线1y x =与y x =的交点为(1,1)，1y x=与2x =的交点为1(2,)2；取x 积分变量，[]1,2x Î，面积元素1()dA x dx x =-，于是所求的面积为，于是所求的面积为22211113()(ln )ln 222A x dx x x x =-=-=-ò．(6) 曲线2y x =与2y x =-的交点为()()114,2-，和，取y 作积分变量，[]1,2y Î-，面积元素2(2)dA y y dy =+-，于是所求的面积为，于是所求的面积为2222311117(2)(2)232A y y dy y y y --=+-=+-=ò．(7) 曲线x y e =与xy e -=的交点(0,1)，取x 作积分变量,[]0,1x Î，面积元素()xxdA e e dx -=-，于是所求图形的面积为，于是所求图形的面积为10)()2xxxxA e e dx e e e e--=-=+=+-ò11(．(8)取x 作积分变量，0,2x p éùÎêúëû，面积元素(1sin )dA x dx =-，于是所求的面积为，于是所求的面积为220(1sin )(cos )12A x dx x x ppp =-=+=-ò．2． 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积：求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积：(1) ,1,4,0y x x x y ====，绕x 轴；轴； (2) 3,2,y x x x ==轴，分别绕x 轴与y 轴；轴；(3) 22,y x x y ==，绕y 轴；轴；(4) 22(5)1x y -+=，绕y 轴．轴． 解 (1)取x 作积分变量，[]1,4x Î，体积元素2()dV x dx xdx p p ==，于是所求旋转体的体积为的体积为442111522V xdx x p p p ===ò．(2)绕x 轴旋转时，取x 作积分变量，[]0,2x Î，体积元素32()x dV x dx p =，于是，于是22267012877x V x dx xp p p ===ò； 同理可求平面图形绕y 旋转所成的旋转体的体积旋转所成的旋转体的体积8582233003642()(4)55yV y dy y y pp péù=-=-=ëûò． (3)曲线2y x =与2x y =的交点为(0,0),(1,1)，取y 作积分变量[]0,1y Î，体积元素222()()dV y y dyp éù=-ëû，于是所求的旋转体的体积为，于是所求的旋转体的体积为114250113()()2510V y y dx y y p p p =-=-=ò． (4) 取y 作积分变量[]1,1y Î-，体积元素22222(51)(51)201dV y y dy y dy p p éù=+----=-ëû，于是所求的旋转体的体积为于是所求的旋转体的体积为 122120120102V y dy ppp p -=-=×=ò．3．设某企业边际成本是产量Q （单位）的函数0.2()2QC Q e ¢=（万元／单位），其固定成本为090C =（万元），求总成本函数．，求总成本函数． 解 总成本函数为总成本函数为0.200()()290QQQ C Q C Q dQ C e dQ ¢=+=+òò0.20.2010901080Q QQ e e =+=+．4．设某产品的边际收益是产量Q （单位）的函数()152R Q Q ¢=-（元／单位），试求总收益函数与需求函数．益函数与需求函数． 解 总收益函数为总收益函数为20()(152)15QR Q Q dQ Q Q =-=-ò需求函数为需求函数为()15R Q P Q Q==-．5．已知某产品产量的变化率是时间t (单位：单位：月月)的函数()25,0f t t t =+³，问：问：第一个第一个5月和第二个5月的总产量各是多少? 解 设产品总产量为()Q t ,则()()Q t f t ¢=,第一个5月的总产量月的总产量5525100()(25)(5)50Q f t dt t dt t t ==+=+=òò． 第二个5月的总产量为月的总产量为10102102555()(25)(5)100Q f t dt t dt t t ==+=+=òò．6．某厂生产某产品Q (百台)的总成本()C Q (万元)的变化率为()2C Q ¢=(设固定成本为零)，总收益()R Q (万元)的变化率为产量Q (百台)的函数()72R Q Q ¢=-．问：．问： (1) 生产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少? (2) 在利润最大的基础上又多生产了50台，总利润减少了多少? 解 (1)总利润()()()L Q R Q C Q =-当()0L Q ¢=即()()0R Q C Q ¢¢-=即7220Q --=, 2.5Q =(百台)时,总利润最大，此时的总成本和总收益分别为总利润最大，此时的总成本和总收益分别为2.52.52.5()225C C Q dQ dQ Q¢====òò2.52.52.520()(72)(7)11.25R R Q dQ Q dQ Q Q ¢==-=-=òò总利润11.255 6.25L R C =-=-=(万元). 即当产量为2.5(百台)时,总利润最大，最大利润是6.25万元．万元．(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台, 总成本3300()26C C Q dQ dQ ¢===òò，总收入3323000()(72)(7)12R R Q dQ Q dQ Q Q ¢==-=-=òò， 总利润为1266L R C =-=-=(万元)．减少了6.2560.25-=万元．万元．即在利润最大的基础上又生产了50台时,总利润减少了0.25万元．万元．习题习题 6-51． 判断下列反常积分的敛散性，若收敛，则求其值：判断下列反常积分的敛散性，若收敛，则求其值：(1) 41dxx+¥ò； (2)1dx x+¥ò；(3) 0xe dx +¥-ò (a ＞0); (4) 0sin xdx +¥ò; (5)1211dxx--ò； (6) 222dxx x +¥-¥++ò； (7) 211xdx x -ò； (8)10ln x xdx ò； (9) e211ln dxx x-ò； (10)23(1)dxx -ò．解 (1) 14311133dx x x +¥+¥=-=ò．此反常积分收敛．．此反常积分收敛． (2) 112dx x x+¥+¥==+¥ò．此反常积分发散．．此反常积分发散．(3) 101x xe dx e +¥--+¥=-=ò．此反常积分收敛．．此反常积分收敛．(4) 00sin cos lim cos 1x xdx x x +¥+¥®+¥=-=-+ò不存在，此反常积分发散．不存在，此反常积分发散．(5) 11121arcsin 1dx x x p --==-ò．此反常积分收敛．．此反常积分收敛．(6)22(1)arctan(1)22(1)1dx d x x x x x p +¥+¥+¥-¥-¥-¥+==+=++++òò．此反常积分收敛．．此反常积分收敛．(7)2322211001112lim lim (1)21113xdx x dx x x x x e e e e +++®®+-+éù==-+-êú--ëûòò320222lim 222333e e e +®æö==--ç÷èø．此反常积分收敛．．此反常积分收敛． (8)1112222100111111ln limln limln limln 222424x xdxxdxx xxdx eee e e e ee e ®®®æöæö==-=--ç÷ç÷èøèøòòò， 所以11220001111ln lim ln lim (ln )4244x xdx x xdx e e e e e e ++®®==--=-òò．此反常积分收敛．．此反常积分收敛． (9) 12211ln πarcsin(ln )21(ln )1(ln )e e e dx d x x x x x ===--òò．此反常积分收敛．．此反常积分收敛． (10) 212333001(1)(1)(1)dx dx dxx x x =+---òòò，因为反常积分1132001(1)(1)dx x x ==¥--ò发散，所以反常积分230(1)dxx -ò发散．发散． 2． 当k 为何值时，反常积分+2(ln )kdxx x ¥ò收敛?当k 为何值时，这反常积分发散? 解 当1k =时，时，++222ln ln(ln )ln ln dxd x x x x x¥¥+¥===+¥òò,发散发散.. 当1k ¹时,1++122211(ln )(1)(ln 2)(ln )ln (ln )11kk k k k dx x k x d xx x kk -¥¥--+¥ì>ï-===í-ï+¥<îòò所以，当1k >时，此广义积分收敛；当1k £时，此广义积分发散．时，此广义积分发散． 3． 利用递推公式计算反常积分+0e n xn I x dx ¥-=ò． 解 ++1100n x n xn xn n I x de x e n x e dx nI ¥¥----+¥-=-=-+=òò, 因为因为 +101xx xI xde xe e ¥---+¥+¥=-=--=ò,所以所以 121(1)(1)2!n n n I nI n n I n n I n --==-=-= .复习题6（A ）1、 求下列积分：求下列积分：（1）121tan sin 1xdx x -+ò； （2）1202x x dx -ò；（3）22204x x dx -ò； （4）ln 21x e dx -ò；（5）21220(1)x dx x +ò； （6）2211x dx x -ò；（7）120xx e dx -ò； (8) 21(ln )ex dx ò；(9) 401cos 2x dx xp+ò； (10) 20cos xe xdx p -ò； (11) 20sin 1cos x x dx x p++ò； (12) 40ln(1tan )x dx p+ò．解 (1) 因为被积函数2tan sin 1x x +是奇函数是奇函数,,所以121tan 0sin 1xdx x -=+ò． (2) 1122021(1)x x dx x dx -=--òò，令1sin x t -=，则cos dx tdt =；当0x =时，2t p=-；当1x =时，0t =；所以；所以010*******1cos 2sin 22cos 2244t t t x x dx tdt dt p p p p ---+éù-===+=êúëûòòò． (3) 令2sin x t =，则2cos dx tdt =，当0x =时，0t =；当2x =时，2t p =；所以222222222044sin 4cos 4sin 22(1cos 4)xx dx t tdt tdt t dt p pp-=×==-òòòò2012(sin 4)4t t pp =-=．(4) 令1x e t -=，则221t dx dt t =+，当0x =时，0t =；当ln 2x =时，1t =；所以2ln 2112000212(arctan )2(1)14x t e dx dt t t t p -==-=-+òò． (5) 令tan x t =，则2sec dx tdt =，当0x =时，0t =；当1x =时，4t p=；所以22412442240000tan 1cos 2sin 21sec ()(1)sec 22484x t t t t dx tdt dt x t pp pp -===-=-+òòò．(6) 令sec x t =，则sec tan dx t tdt =，当1x =时，0t =；当2x =时，3t p=；所以22233301001tan sec tan tan (tan )3sec 3x t dx t tdt tdt t t x t p p pp -===-=-òòò． (7) 111112221000022xxxxx x e dx x dex exe dx e xde ------=-=-+=--òòòò111111000223225xxxe xee dx e e e ------=--+=--=-ò． (8) 22111111(ln )ln 2ln 2ln 22e e e e e x dx x x x x dx e x x dx e x=-×=-+=-òòò．(9) 444400tan tan tan 1cos 2x dx xd x x x xdx xpppp==-+òòò401ln cos ln 2442x pp p =+=-．(10) 2222000cos cos cos sin xxxxe xdx xdee x e xdx pppp----=-=--òòò22201sin 1sin cos xxxxdee x e xdx ppp ---=+=+-òò2201cos x ee xdx pp--=+-ò， 所以所以 2201cos (1)2x e xdx e p p--=+ò．(11) 22222000002sin sin cos tan 1cos 1cos 21cos 2cos2x x x x x d x dx dx dx xd x x x x p p p p p +=+=-+++òòòòò2222200tantan ln(1cos )222ln cos ln(1cos )22x x x dx x x x p pp ppp=--+=--+ò20ln 22ln cos 222xp pp=++=． (12) 44440cos sin ln(1tan )lnln(cos sin )ln cos cos x x x dx dx x x dx xdx xpppp++==+-òòòò令4x u p-=，可得044041ln(cos sin )ln 2cos()(ln 2ln cos )42x x dx x dx u du p p p p éù+=-=-+êúëûòòò40ln 2ln cos 8xdx p p =+ò所以所以4ln 2ln(1tan )8x dx pp +=ò．2、设()f x 在[],a b 上连续，且()1b af x dx =ò，求()b af a b x dx +-ò．解令a b x t +-=，则dx dt =-，当x a =时，t b =；当x b =时，t a =；所以；所以 ()()()1b ababaf a b x dx f t dt f t dt +-=-==òòò．3、设()f x 为连续函数，试证明：()()(())xxtf t x t dt f u du dt -=òòò．证 用分部积分法，000(())()(())xx t tx tf u du dt tf u du td f u du =-òòòòò()()()()x x x x x f u du tf t dt xf t dt tf t dt =-=-òòòò()()xf t x t dx =-ò．4、设()u j 为连续函数，试证明：22()2()aaa x dx x dx j j -=òò．证2220()()()aa aaa x dx x dx x dx j j j --=+òòò，令x t =-，则00222200()(())()()aaa a x dx t dt t dt x dx j j j j -=--==òòòò 所以22220()()()2()aa aaaaa x dxx dx x dx x dx j j j j --=+=òòòò． 5、计算下列反常积分：、计算下列反常积分：（1）2048dx x x +¥++ò； （2）21arctan x dx x+¥ò； （3）101(1)dx x x -ò； （4）1ln e dx x x ò． 解 (1) 222000(2)12arctan 48(2)2228dx d x x x x x p +¥+¥+¥++===++++òò． (2) 221111arctan 1arctan 1arctan (1)x x dx xddx x xxx x +¥+¥+¥+¥=-=-++òòò22111ln ln 242142xx p p +¥=+=++. (3) 1110001122arcsin (1)1dx d x x x x x p éù===ëû--òò．(4) 111ln 2ln 2ln ln e eedxd xx x x x ===òò．6、求抛物线22y px =及其在点(,)2p p 处的法线所围成的平面图形的面积．处的法线所围成的平面图形的面积．解 抛物线22y px =在点(,)2p p 处的法线方程为32x y p +=，两曲线的交点为9(,3),(,)22p p p p -；取y 作积分变量3p y p -££，所求的平面图形面积为，所求的平面图形面积为 2232333131116()()222263p pp pA p y y dy py y y p p p --=--=--=ò． 7、求由曲线32y x =与直线4,x x =轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．轴旋转而成的旋转体的体积．解 曲线32y x =与直线4x =的交点为(4,8)，取y 作积分变量，08y ££，体积元素2232434()(16)dy y dy y dy p p éù=-=-ëû于是，所求的旋转体的体积为于是，所求的旋转体的体积为88437303512(16)(16)77V y dy y y p p p =-=-=ò． 8、设某产品的边际成本为()2C Q Q ¢=-（万元/台），其中Q 代表产量，固定成本022C ==（万元），边际收益()204R Q Q ¢=-（万元/台）．试求：．试求： (1) 总成本函数和总收益函数；总成本函数和总收益函数； (2) 获得最大利润时的产量；获得最大利润时的产量；(3) 从最大利润时的产量又生产了4台，总利润的变化．台，总利润的变化． 解 (1)总成本函数201()(2)2222QC Q Q dQ C Q Q =-+=-+ò，总收益函数20()(204)202QR Q Q dQ Q Q =-=-ò． (2)利润函数23()()()18222L Q R Q C Q Q Q =-=--，令()0L Q ¢=,得6Q =(台)，而(6)30L ¢¢=-<，所以当产量6Q =(台)时，利润最大．时，利润最大．(3)(10)(6)83224L L -=-=-，所以从最大利润时的产量又生产了4台，总利润减少了24（万元）．(B)1、填空题：填空题：(1) 22cos xd x t dt dx =ò . (2) (2) 设设()f x 连续，220()()x F x xf t dt =ò，则()F x ¢= .(3)2sin()xd x t dt dx-=ò.(4) (4) 设设()f x 连续，则220()xd tf x t dt dx -=ò . (5) (5) 设设20cos ()1sin x t f x dt t =+ò,则220()1()f x dx f x p¢=+ò . (6) (6) 设设()f x 连续，且10()2()f x x f x dx =+ò，,则()f x = .(7) (7) 设设()f x 连续，且()1cos xtf x t dtx -=-ò,则20()f x dx p=ò .(8)2ln e dxx x +¥=ò .解 (1) 2220002224cos (cos )cos (cos )2x xx d dx t dt x t dt t dt x x x dx dx ==+-×òòò2224cos 2cos x t dt x x =-ò.(2) 2222200()(())()()2xx d F x xf t dt f t dt x f x x dx ¢==+××òò 22220()2()x f t dt x f x =+ò.(3) (3) 令令x t u -=,则22200sin()sin ()sin xxx x t dt u du u du -=-=òòò 所以所以22200sin()sin sin xxddx t dt u du x dx dx -==òò.(4) (4)令令22x t u -= 则222222001()()()2x x tf x t dt f x t d x t -=---òò220011()()22x x f u du f u du =-=òò．所以．所以 2222001()()()2xx d d tf x t dt f u du xf x dx dx -=×=òò．(5)22200()arctan ()arctan ()arctan (0)1()2f x dx f x f f f x ppp ¢==-+ò， 而02222000cos cos (0)0,()arctan(sin )1sin 21sin 4t t f dt f dt t t t pp p p =====++òò，所以220()arctan 1()4f x dx f x pp ¢=+ò (6) (6) 等式等式1()2()f x x f x dx =+ò两边在区间[]0,1积分得积分得111101()2()2()2f x dx xdx f x dx f x dx =+=+òòòò11()2f x dx =-ò， 所以所以()1f x x =-．(7) (7)令令x t u -=，则du dt =-，于是，于是00()()()xxtf x t dt x u f u du -=-òò原等式化为原等式化为()()1cos xxxf u du uf u du x -=-òò两边对x 求导求导()sin xf u du x =ò在上式中，令2x p=，得，得()1xf x dx =ò．。
高等数学习题及解答 (2)
普通班高数作业（下）第六章 定积分1、根据定积分的几何意义，说明下列各式的正确性：（第二版P186:1；第三版P155:1） （1）0sin 20=⎰πxdx （4）⎰⎰=-11142xdxdx x2、不计算积分，比较下列各积分值的大小：（第二版P186:2；第三版P155:3） （4）⎰10dx e x与⎰102dx e x（5）⎰2sin πxdx 与⎰20πxdx（6）⎰-02cos πxdx 与⎰20cos πxdx3、利用定积分性质，估计下列积分值：（第二版P186:3；第三版P155:4） （1）⎰-=22dx eI xx （5）⎰--=2295dx xx I （6）⎰=20sin πdx x x I 4、求下列极限：（第二版P186:4；第三版P160:1）（2）211)1(1ln lim -+⎰→x dt t txx （3）⎰+→xt x dt t x 010)2sin 1(1lim （4）2210lim x x t x dt e ⎪⎭⎫⎝⎛⎰+∞→ （6）x x x dt e x xt x sin arctan lim 002⋅⋅-⎰-→5、求下列导数：（第二版P186:5；第三版P161:2）（1）⎰-32x x t dt e dx d （2）⎰-x tdt x t dxd 033sin )( 6、求证方程⎰--=π02cos 1ln dx x exx 在()∞+,0内有且仅有两个不同的实根。
（第二版P186:7；第三版P161:4）7、设)(x f 在[]b a ,上连续，且0)(>x f ，令⎰⎰+=xbxadt t f dt t f x F )(1)()(。
求证：（1）2)(≥'x F ；（2）)(x F 在()b a ,内有且仅有一个零点。
（第二版P186:8；第三版P161:5）8、设)(x f 为连续函数，且存在常数a ，满足（1）⎰=+3)(15x adt t f x ，求)(x f及常数a 。
高等数学练习题解析 第6章 定积分及其应用
第6章 定积分及其应用§6—1，2,3 定积分的概念、可积条件及定积分的性质A 类1．用被积函数f(x)=x 在[a,b]上连续，为便于计算，不妨把[a,b]分成n 等份，分点为,1,,2,1),(-=-+=n i a b n i a x i 每个区间长度为,,i i i x n ab x =-=∆ξ取1,2,,i n =，有和式 11()[()]nn i i i i b a if x a b a n n ξ==-∆=+-∑∑ )2)1((+-+-=n n n a b na n a b =)12)((nn a b a a b +-+- 当n 趋于无穷时，则上面和式极限为)(21)2)((22a b a b a a b -=-+-∑⎰=∞→-=∆=∴n i i i n b a a b x f xdx 122)(21)(lim ξ 2．利用定积分的几何意义，说明下列等式： a)⎰12xdx 表示直线y=2x 与x=1及x 轴所围面积，由三角形面积易知.1212121=⋅⋅=⎰xdx b)⎰-22cos ππxdx 表曲线y=cosx 从22ππ到-与x 轴所围面积，从图形知所围部分均在x 轴上半部分，且由对称性知它是从20π到所围面积的两倍，即⎰⎰=-222cos 2cos πππxdx xdx3．证明：∑⎰=→∆⋅=ni i i bax kf dx x kf 1)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→b ani i i dx x kf x kf k )()(lim 1ξλ4．不妨设[,],()(),[,]\{}()()x a b f x g x x a b x f x g x ''''∈≠∈=且当时，则对任意分割.110b x x x x a n n =<<<<=- 总存在小区间不妨设为i i i i n n n n x x x ∆∈∆∆-'],[1使得对该分割有∑∑∑∑====∆+∆-∆=∆nk k k n k k k n k k k NK k kx x x x 1111''ωωωω（这里设)]),([inf )]([sup ')],([inf )]([sup ],[],[],[],[1111x f x f x g x g k k k k k k k k x x x x x x k x x x x x x k ----∈∈∈∈-=-=ωω∑∑≠=∆+∆-+∆-=ii i i n k nk k k n n n k k kx x x 1')'()'(ωωωωω∑=∆+∆-=nk k k n n n x x i i i 1')'(ωωω （1）时，当分割不妨设上可积，所以在δλεδδε<<∃>∀∴)()(,,0],[)(T b a x f 有εω<∆∑=nk k kx 1'（2）(')(')i i i i i i n n n n n n x x ωωωω-∆≤+∆[,][,][,][,](sup ()inf ()sup ()inf ())().x a b x a b x a b x a b f x g x f x f x T M λε∈∈∈∈≤-+-⋅< （3）其中[,][,][,][,]sup ()inf ()sup ()inf ()x a b x a b x a b x a b M g x g x f x f x ∈∈∈∈∆-+-由（1）（2）（3）得：∑∑==+=+<∆+∆-≤∆nk k k n n n nk k kM M x x x i i i 11)1(''εεεωωωω所以g(x)在[a,b]上可积，而()01()lim()nbkk zT k g x dx g x λξ→==∆∑⎰()0111lim [()()()]n nnk k k k k k T k k k g x f x f x λξξξ→====∆-∆+∆∑∑∑])()()([lim 1)(∑=→∆+∆-∆=nk k k n n n n T x f x f x g i i i i ξξξλ=⎰∑=∆=→bank k kT dx x f x f )()(lim1)(ξλ5．试将下列极限用定积分表示：（1）⎰∑===∞→1011lim xdx nin n i n 原式（2）∑⎰=∞→+=+=ni n dx x nin 1102211)(111lim 原式（3）⎰∑∑====∞→-∞→10111)cos(cos 1lim cos 1lim dx x n in n i n n i n n i n πππ原式6．根据定积分的性质，说明下列定积分哪一个的值较大：32)[12]a x x ≥在，上，且3222》，有222311x dx x dx <⎰⎰。
吴赣昌版高数第六章定积分的应用
第六章定积分的应用内容概要课后习题全解习题6-2★ 1．求由曲线x y =与直线x y =所围图形的面积。
知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1∵所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10， 〔或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<yx y y 210〕∴⎰-=10)(dx x x S D 61)2132(1223=-=x x〔⎰=-=1261)(dy y y S D〕 ★ 2．求在区间[0，π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解：见图6-2-2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π， 〔或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010〕 ∴12)cos ()sin 1(202-=+=-=⎰πππx x dx x S D〔12arcsin 1-==⎰πydy S D 〕★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ， ∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D〔由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为：2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D 〕★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<yx y y 210，∴34322)2(22123101=⨯=-==⎰y dy y y S S D D〔假设用X-型做，那么第一象限内所围区域=1D b a D D ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[((1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰〕 ★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为〔1，1〕、〔-1，-1〕，又这两条线和2=x 分别交于21,2(、2) ,2(∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121，∴22211113()(ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两局部，求这两局部的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-6，设阴影局部的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±〔舍去4-=x 的解〕，∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342)342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D〔其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty 〕 ∴34634282-=--=πππD S ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为〔0，1〕，又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<-x x ey e x 10，∴2)()(1101-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-8∵在x ln 的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<ye x by a 0ln ln ， ∴a b edy e S b ay bay D-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过〔0，0〕，〔1，2〕的抛物线，要求它具有以下性质：〔1〕它的对称轴平行于y轴，且向下弯；〔2〕它与x轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过〔0，0〕，所以可设抛物线方程为bx ax y +=2，〔由于下弯，所以0<a〕，将〔1，2〕代入bx ax y +=2，得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩ ∴23223226)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型 解：xe y =⇒xe y ='，∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e ey x x -=-而过〔0，0〕的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D =,见图6-2-10X-型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xey ex x 1∴222)(1211e e e x eedx ex e dx e S x xxD=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为a 、圆心〔0 ,a 〕的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π，也可选择极坐标求面积的方法做。
高等数学习题详解-第6章 定积分
习题6-11． 利用定积分的几何意义求定积分：(1)12xdx ⎰；(2)⎰(0)a >．解 (1) 根据定然积分的几何意义知, 102xdx ⎰表示由直线2,1y x x ==及x 轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以121xdx =⎰．(2) 根据定积分的几何意义知,⎰表示由曲线0,y x x a ===及x 轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以2014a a =⎰π.2． 根据定积分的性质，比较积分值的大小：(1)12x dx ⎰与13x dx ⎰； (2)1xe dx ⎰与1(1)x dx +⎰．解 (1) ∵当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,又2x3x ,所以11230x dx x dx >⎰⎰．(2) 令()1,()1x x f x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1xe x ≥+，所以110(1)x e dx x dx >+⎰⎰.3． 估计下列各积分值的范围：(1)421(1)x dx +⎰；(2) arctan xdx ；(3)2ax aedx --⎰（0a >)； (4)22x xe dx -⎰．解 (1) 在区间[]1,4上，函数2()1f x x =+是增函数，故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4212(41)(1)17(41)d xx -≤+≤-⎰,即 4216(1)51x dx ≤+≤⎰．(2) 令()arctan f x x x =,则2()arctan 1x f x x x '=++,当x ∈时,()0f x '>,从而()f x在上是增函数,从而f (x )在上的最大值M f ==,最小值m f ==,所以2arctan 93xdx =≤≤=ππ即2arctan 93xdx ≤≤ππ．(3) 令2()x f x e -=,则2()2x f x xe -'=-,令()0f x '=得驻点0x =，又(0)1f =，2()()a f a f a e -=-=,a >0时, 21a e -<,故()f x 在[],a a -上的最大值1M =，最小值2e a m -=,所以2222aa x aa dx a ---≤≤⎰e e .(4) 令2()x xf x e-=,则2()(21)xxf x x e -'=-,令()0f x '=得驻点12x =,又(0)1,f = 1241(),(2)2f e f e -==,从而()f x 在[]0,2上的最大值2M e =,最小值14m e -=,所以 212242xxee dx e --≤≤⎰．习题6-21． 求下列导数：(1)0d dx ⎰; (2) 5ln 2x t d t e dt dx -⎰； (3) cos 20cos()x d t dt dx π⎰; (4)sin x d t dt dx t π⎰ (0x >)． 解 (1)d dx =⎰ (2) 55ln 2x t xd te dt x e dx --=⎰. (3)cos 222cos()cos(cos )(cos )sin cos(cos )x d t dt x x x x dx πππ'=⋅=-⎰. (4) sin sin sin x x d t d t xdt dt dx t dx t xππ=-=-⎰⎰.2． 求下列极限：(1) 02arctan limxx tdt x →⎰； (2)()22220e lime xt xx t dt t dt→⎰⎰．解 (1) ()022000021arctan arctan arctan 11(1)lim limlim lim 222x xx x x x tdt tdt x x x x x →→→→'⎡⎤--⎣⎦+====-'⎰⎰．(2) ()()22222222222000020000220022lim lim lim lim xxx x t t t x tx x x x x x x t x t e dt e dt e dt e dt xe xe te dtte dt →→→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦==='⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰e []2222202000222lim lim lim 2122x t x x x x x x x e dt e x e xe x xe →→→'⎡⎤⎣⎦====+'+⋅⎰． 3． 求由方程e cos 0yxt dt tdt +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数．解 方程两边对x 求导数得:cos 0e y y x '⋅+=, cos e yxy '∴=-， 又由已知方程有000sin e y xtt +=,即1sin sin 00e y x -+-=， 即1sin e yx =-,于是有cos cos sin 1e yx xy x '=-=-． 4． 计算下列定积分：(1)1⎰； (2)221d x x x --⎰；(3) 设,0,2()sin ,2x x f x x x πππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤;⎪⎩ ，求0()f x dx π⎰(4)⎰．解 (1)4321121433x ==⎰.(2)21222221101()()()dx x x dx x x dx x x dx x x --=-+-+--⎰⎰⎰⎰012322332101111111116322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(3) ()2222022()sin 1cos 82xf x dx xdx xdx x ππππππππ=+=+=+-⎰⎰⎰(4)32322(2)(2)xdx x dx x dx =-=-+-⎰⎰⎰⎰232202115(2)(2)222x x x x =-+-=．5．设函数()f x 在区间[],a b 上连续,在(),a b 内可导,()0f x '≤,1()()xaF x f t dt x a =-⎰；证明：在(),a b 内有()0F x '≤． 证明 22111()()()()()()()()xx aa F x f t dt f x x a f x f t dt x a x a x a ⎡⎤'=-+=--⎢⎥⎣⎦---⎰⎰[][][]21()()()(),(,,)()x a f x x a f a x a b x a ξξ=---∈∈- (),((,)(,))x f x a b x aξηηξ-'=∈∈-． 由已知条件可知结论成立．习题 6-31． 计算下列积分：(1) 3sin()x dx πππ+3⎰； (2) 32(115)dx x 1-+⎰；(3)1-⎰； (4) 320sin cos d ϕϕϕπ⎰；(5)22cos udu ππ6⎰；(6)2e 1⎰(7)1；(8)；(9)ln 3ln 2e e x xdx --⎰； (10) 3222dxx x +-⎰． 解 (1)333sin()sin()()[cos()]x dx x d x x ππππππππππ+=++=-+3333⎰⎰42coscos 033ππ=-+=. (2) 123322211(511)151(511)(115)5(511)10512dx d x x x x 11---+==-=+++⎰⎰. (3)1111(54)14x --=--==⎰⎰.(4)23342200011sin cos cos cos cos 44d d πππϕϕϕϕϕϕ=-==-⎰⎰.(5) 222221cos 211cos cos 2(2)224u udu du du ud u ππππππππ6666+==+⎰⎰⎰⎰2611sin 226264u πππππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ (6)222111)e e ===⎰⎰. (7) 令tan x t =，则2sec dx tdt =，当1x =时，4t π=；当x =3t π=； 于是332144cos 1sin sin t dt t tππππ==-=⎰． (8)令x t =,则dx tdt =,当0x =时，0t =；当x =,2t π=； 于是2222012cos (1cos 2)(sin 2)22tdt t dt t t ππππ==+==+⎰⎰．(9) 令xe t =，则1ln ,d x t x dt t==，当ln 2x =时，2t =;；当ln 3x =时,3t =；于是3ln3332ln 22221113111(ln ln )12222111x x dx dt t dt e e t t t t --⎛⎫====- ⎪---++⎝⎭⎰⎰⎰． (10)333222211111()ln 231232dx x dx x x x x x -=-=+--++⎰⎰1211(ln ln )ln 2ln 53543=-=- 2． 计算下列定积分： (1)10e xx dx -⎰； (2)e1ln x xdx ⎰；(3)41⎰； (4) 324sin xdx xππ⎰； (5) 220e cos x xdx π⎰； (6) 221log x xdx ⎰；(7)π2(sin )x x dx ⎰； (8) e1sin(ln )x dx ⎰．解 (1)1111000x x x xxe dx xde xe e dx ----=-=-+⎰⎰⎰1110121x e ee e e e----=--=--+=-．(2) 2222211111111111ln ln ln (1)222244e e e e ex xdx xdx x x xdx e x e ==-=-=+⎰⎰⎰．(3) 444111112ln 28ln 2dx x dx x ==-=-⎰⎰⎰8ln 24=-．(4)333324444cot cot cot sin xdx xd x x x xdx x ππππππππ=-=-+⎰⎰⎰34π131ln ln sin 4224xπππ⎛=+=+ ⎝．(5)22222222cos sin sin 2sin x x xx e xdx e d x e xe xdx ππππ==-⎰⎰⎰22222202cos 2cos 4cos x xx e e d x e e xe xdx πππππ=+=+-⎰⎰220e 24cos x e xdx ππ=--⎰于是221cos (2)5xe xdx e ππ=-⎰． (6) ()2222222111122221111log ln ln 2ln 22ln 211ln 2ln 22x xdx xdx x x xdx x x x ==-⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 133(4ln 2)22ln 224ln 2=-=-． (7) 223200001111(sin )(1cos 2)(sin2)2232x x dx x x dx x x d x ππππ=-=-⎰⎰⎰ 33200011(sin 22sin2)cos26464x x x xdx xd x πππππ=--=-⎰⎰ 3001(cos 2cos2)64x x xdx πππ=--⎰ 3301sin 264864x πππππ=-+=-． (8)111sin(ln )sin(ln )cos(ln )eeex dx x x x dx =-⎰⎰11sin1cos(ln )sin(ln )eee x x x dx =--⎰1sin1cos11sin(ln )ee e x dx =-+-⎰所以11sin(ln )(sin1cos11)2ex dx e e =-+⎰． 3． 利用被积函数的奇偶性计算下列积分：(1)11ln(x dx -⎰ ； （2）1212sin 1xdx x -++⎰(3)222(x dx -+⎰; (4)4224cos d θθππ-⎰．解 (1)ln(x 是奇函数，11ln(0x dx -∴=⎰．(2) 2sin 1xx +是奇函数，121sin 01x dx x -∴=+⎰， 因此 111221112sin 22arctan 11x dx dx x x x π---+===++⎰⎰． (3)2222222((42416x dx dx dx ---=+==⎰⎰⎰．(4) ()244222022201cos 24cos 8cos 82212cos 2cos231384222d d d d θθθθθθθθθππππππ-π+⎛⎫== ⎪⎝⎭=++=⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰．4． 证明下列等式： (1) 证明：1100(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-⎰⎰；(2) 证明：1122111xx dx dx x x =++⎰⎰ (0x >)； (3) 设()f x 是定义在区间(,)-∞+∞上的周期为T 的连续函数，则对任意(,)a ∈-∞+∞，有0()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰．证 (1)令1x t -=，则dx dt =-，当0x =时，1t =；当1x =时，0t =；于是1111(1)(1)()(1)(1)m nm nnmn m x x dx t t dt t t dt x x dx -=--=-=-⎰⎰⎰⎰，即11(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-⎰⎰．(2) 令1x t=则21dx dt t -=，于是11111112222211211111111111t xx t t dx dt t dt dx x tt x t t⎛⎫=⋅=-⋅==- ⎪++++⎝⎭+⎰⎰⎰⎰⎰d ，即 1122111xx dx dx x x =++⎰⎰． (3) 因为()()()a TT a Taaf x dx f x dx f x dx ++=+⎰⎰⎰，而()()()a Taaaf x dx x t T f t T dt f t dt +=++=⎰⎰⎰令()()()aT Taf x dx f x dx f x dx ==-⎰⎰⎰故()()a TT af x dx f x dx +=⎰⎰．4． 若()f t 是连续函数且为奇函数，证明0()xf t dt ⎰是偶函数；若()f t 是连续函数且为偶函数，证明()xf t dt ⎰是奇函数．证 令0()()xF x f t dt =⎰．若()f t 为奇函数，则()()f t f t -=-，令t u =-，可得()()()()()xx xF x f t dt f u du f u du F x --==--==⎰⎰⎰,所以0()()xF x f t dt =⎰是偶函数．若()f t 为偶函数，则()()f t f t -=，令t u =-，可得()()()()()xx xF x f t dt f u du f u du F x --==--=-=-⎰⎰⎰,所以0()()xF x f t dt =⎰是奇函数．5． 利用分部积分公式证明：()()()()d xxuf u x u du f x x du -=⎰⎰⎰．证 令0()()uF u f x dx =⎰则()()F u f u '=,则(())()()()xu x xxf x dx du F u du uF u uF u du '==-⎰⎰⎰⎰()()()()xx xxF x uf u du x f x dx uf u du =-=-⎰⎰⎰()()()()xxxxx f u du uf u du xf u du uf u du =-=-⎰⎰⎰⎰()()xx u f u du =-⎰． 习题6-41． 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) 2y x =与22y x =-； (2) x y e =与0x =及y e =； (3) 24y x =-与0y =； (4) 2y x =与y x =及2y x =；(5) 1y x=与y x =及2x =； (6) 2y x =与2y x =-； (7) ,x x y e y e -==与1x =；(8) sin (0)2y x x π=≤≤与0,1x y ==． 解 (1)两曲线的交点为(1,1),(1,1)-，取x 为积分变量，[]1,1x ∈-，面积元素22(2)dA x x dx =--，于是所求的面积为112311182(1)2()33A x dx x x --=-=-=⎰．(2) 曲线x y e =与y e =的交点坐标(1,)e ， x y e =与0x =的交点为(0,1)，取y 为积分变量，[]1,y e ∈，面积元素ln dA ydy =；于是所求面积为111ln (ln )1eee A ydy ydy y y y ===-=⎰⎰．(3)曲线24y x =-与0y =的交点为(2,0),(2,0)-，取x 为积分变量，[]2,2x ∈-，面积元素2(4)dA x dx =-，于是所求的面积为222322132(4)(4)33A x dx x x --=-=-=⎰． (4) 曲线2y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1)；2y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4)；它们所围图形面积为：121222011(2)(2)(2)A x x dx x x dx xdx x x dx =-+-=+-⎰⎰⎰⎰2231201117()236x x x =+-=．(5) 曲线1y x =与y x =的交点为(1,1)，1y x =与2x =的交点为1(2,)2；取x 积分变量，[]1,2x ∈，面积元素1()dA x dx x=-，于是所求的面积为22211113()(ln )ln 222A x dx x x x =-=-=-⎰．(6) 曲线2y x =与2y x =-的交点为()()114,2-，和，取y 作积分变量，[]1,2y ∈-，面积元素2(2)dA y y dy =+-，于是所求的面积为2222311117(2)(2)232A y y dy y y y --=+-=+-=⎰．(7) 曲线x y e =与x y e -=的交点(0,1)，取x 作积分变量,[]0,1x ∈，面积元素()x x dA e e dx -=-，于是所求图形的面积为1)()2x x x x A e e dx e e e e--=-=+=+-⎰101(．(8)取x 作积分变量，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，面积元素(1sin )dA x dx =-，于是所求的面积为 220(1sin )(cos )12A x dx x x πππ=-=+=-⎰．2． 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积：(1) 1,4,0y x x y ====，绕x 轴；(2) 3,2,y x x x ==轴，分别绕x 轴与y 轴； (3) 22,y x x y ==，绕y 轴； (4) 22(5)1x y -+=，绕y 轴．解 (1)取x 作积分变量，[]1,4x ∈，体积元素2dV dx xdx ππ==，于是所求旋转体的体积为442111522V xdx x πππ===⎰． (2)绕x 轴旋转时，取x 作积分变量，[]0,2x ∈，体积元素32()x dV x dx π=，于是2267012877x V x dx x πππ===⎰； 同理可求平面图形绕y 旋转所成的旋转体的体积858223003642(4)55y V dy y y πππ⎡⎤=-=-=⎣⎦⎰．(3)曲线2y x =与2x y =的交点为(0,0),(1,1)，取y 作积分变量[]0,1y ∈，体积元素222()dV y dy π⎡⎤=-⎣⎦，于是所求的旋转体的体积为1142500113()()2510V y y dx y y πππ=-=-=⎰． (4) 取y 作积分变量[]1,1y ∈-，体积元素22(5(520dV dy π⎡⎤=-=⎣⎦，于是所求的旋转体的体积为1212020102V πππ-==⋅=⎰．3．设某企业边际成本是产量Q （单位）的函数0.2()2QC Q e '=（万元／单位），其固定成本为090C =（万元），求总成本函数． 解 总成本函数为0.200()()290Q QQ C Q C Q dQ C e dQ '=+=+⎰⎰0.20.2010901080QQ Q e e =+=+．4．设某产品的边际收益是产量Q （单位）的函数()152R Q Q '=-（元／单位），试求总收益函数与需求函数． 解 总收益函数为20()(152)15QR Q Q dQ Q Q =-=-⎰需求函数为()15R Q P Q Q==-． 5．已知某产品产量的变化率是时间t (单位：月)的函数()25,0f t t t =+≥，问：第一个5月和第二个5月的总产量各是多少?解 设产品总产量为()Q t ,则()()Q t f t '=,第一个5月的总产量552510()(25)(5)50Q f t dt t dt t t ==+=+=⎰⎰． 第二个5月的总产量为10102102555()(25)(5)100Q f t dt t dt t t ==+=+=⎰⎰．6．某厂生产某产品Q (百台)的总成本()C Q (万元)的变化率为()2C Q '=(设固定成本为零)，总收益()R Q (万元)的变化率为产量Q (百台)的函数()72R Q Q '=-．问： (1) 生产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少?(2) 在利润最大的基础上又多生产了50台，总利润减少了多少? 解 (1)总利润()()()L Q R Q C Q =-当()0L Q '=即()()0R Q C Q ''-=即7220Q --=,2.5Q =(百台)时,总利润最大，此时的总成本和总收益分别为2.5 2.52.50()225C C Q dQ dQ Q'====⎰⎰2.52.52.520()(72)(7)11.25R R Q dQ Q dQ Q Q '==-=-=⎰⎰总利润11.255 6.25L R C =-=-=(万元).即当产量为2.5(百台)时,总利润最大，最大利润是6.25万元．(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台,总成本3300()26C C Q dQ dQ '===⎰⎰，总收入3323000()(72)(7)12R R Q dQ Q dQ Q Q '==-=-=⎰⎰， 总利润为1266L R C =-=-=(万元)．减少了6.2560.25-=万元．即在利润最大的基础上又生产了50台时,总利润减少了0.25万元．习题 6-51． 判断下列反常积分的敛散性，若收敛，则求其值： (1)41dxx+∞⎰； (2)1+∞⎰； (3) 0xe dx +∞-⎰(a ＞0); (4)sin xdx +∞⎰;(5)1-⎰； (6)222dxx x +∞-∞++⎰；(7)21⎰； (8)10ln x xdx ⎰；(9)e1⎰； (10)23(1)dxx -⎰．解 (1)14311133dx x x +∞+∞=-=⎰．此反常积分收敛．(2)1+∞==+∞⎰．此反常积分发散． (3) 11x xe dx e +∞--+∞=-=⎰．此反常积分收敛．(4) 00sin cos lim cos 1x xdx xx +∞+∞→+∞=-=-+⎰不存在，此反常积分发散．(5)111arcsin x π--==⎰．此反常积分收敛．(6)22(1)arctan(1)22(1)1dxd x x x x x π+∞+∞+∞-∞-∞-∞+==+=++++⎰⎰．此反常积分收敛．(7)23222110012lim lim (1)3x εεεε+++→→+⎡==-+⎢⎣⎰⎰320222lim 22333εε+→⎛==-- ⎝．此反常积分收敛． (8)11122221000111111ln limln lim ln lim ln 222424x xdx xdx x x xdx εεεεεεεεε→→→⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰， 所以11220001111ln lim ln lim (ln )4244x xdx x xdx εεεεεε++→→==--=-⎰⎰．此反常积分收敛．(9)111πarcsin(ln )2eeex ===⎰⎰．此反常积分收敛． (10)21233301(1)(1)(1)dx dx dxx x x =+---⎰⎰⎰， 因为反常积分1132001(1)(1)dx x x ==∞--⎰发散，所以反常积分230(1)dxx -⎰发散． 2． 当k 为何值时，反常积分+2(ln )kdxx x ∞⎰收敛?当k 为何值时，这反常积分发散? 解 当1k =时，++222ln ln(ln )ln ln dxd x x x x x∞∞+∞===+∞⎰⎰,发散.当1k ≠时,1++122211(ln )(1)(ln 2)(ln )ln (ln )11kk kk k dx x k x d x x x kk -∞∞--+∞⎧>⎪-===⎨-⎪+∞<⎩⎰⎰所以，当1k >时，此广义积分收敛；当1k ≤时，此广义积分发散． 3． 利用递推公式计算反常积分+0e n x n I x dx ∞-=⎰．解 ++110n x n xn x n n I x de x e n x e dx nI ∞∞----+∞-=-=-+=⎰⎰,因为 +101x x xI xde xe e ∞---+∞+∞=-=--=⎰,所以 121(1)(1)2!n n n I nI n n I n n I n --==-=-= .复习题6（A ）1、 求下列积分：（1）121tan sin 1xdx x -+⎰； （2）⎰； （3）2x⎰； （4）ln 0⎰；（5）21220(1)x dx x +⎰； （6）1⎰；（7）120x x e dx -⎰； (8)21(ln )ex dx ⎰；(9) 401cos 2xdx xπ+⎰； (10) 20cos x e xdx π-⎰；(11) 20sin 1cos x xdx xπ++⎰； (12) 40ln(1tan )x dx π+⎰． 解 (1) 因为被积函数2tan sin 1x x +是奇函数,所以121tan 0sin 1xdx x -=+⎰．(2)=⎰⎰，令1sin x t -=，则cos dx tdt =；当0x =时，2t π=-；当1x =时，0t =；所以022221cos 2sin 2cos 2244t t t tdt dt ππππ---+⎡⎤===+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰． (3) 令2sin x t =，则2cos dx tdt =，当0x =时，0t =；当2x =时，2t π=；所以222222204sin 4cos 4sin 22(1cos 4)xt tdt tdt t dt πππ=⋅==-⎰⎰⎰⎰2012(sin 4)4t t ππ=-=． (4)t =，则221tdx dt t =+，当0x =时，0t =；当ln 2x =时，1t =；所以2ln 11200022(arctan )2(1)14t dt t t t π==-=-+⎰⎰． (5) 令tan x t =，则2sec dx tdt =，当0x =时，0t =；当1x =时，4t π=；所以22412442240000tan 1cos 2sin 21sec ()(1)sec 22484x t t t t dx tdt dt x t ππππ-===-=-+⎰⎰⎰．(6) 令sec x t =，则sec tan dx t tdt =，当1x =时，0t =；当2x =时，3t π=；所以223330100tan sec tan tan (tan )sec 3t dx t tdt tdt t t x t ππππ===-=⎰⎰⎰． (7)111112221000022xxx x x x e dx x dex exe dx e xde ------=-=-+=--⎰⎰⎰⎰1111110223225x x x e xe e dx e e e ------=--+=--=-⎰．(8)22111111(ln )ln 2ln 2ln 22ee e e ex dx x x x x dx e x x dx e x=-⋅=-+=-⎰⎰⎰．(9) 44440000tan tan tan 1cos 2x dx xd x x x xdx x ππππ==-+⎰⎰⎰ 401ln cos ln 2442x πππ=+=-． (10)2222cos cos cos sin xxxx e xdx xdee x e xdx ππππ----=-=--⎰⎰⎰2220001sin 1sin cos xxx xdee x e xdx πππ---=+=+-⎰⎰221cos x ee xdx ππ--=+-⎰，所以 2201cos (1)2xe xdx e ππ--=+⎰．(11)22222000002sin sin cos tan 1cos 1cos 21cos 2cos2x x x x x d x dx dx dx xd x x x x πππππ+=+=-+++⎰⎰⎰⎰⎰2220002200tan tan ln(1cos )222ln cos ln(1cos )22x x x dx x x x ππππππ=--+=--+⎰20ln 22ln cos222x πππ=++=． (12) 4444000cos sin ln(1tan )ln ln(cos sin )ln cos cos x x x dx dx x x dx xdx xππππ++==+-⎰⎰⎰⎰令4x u π-=，可得0440041ln(cos sin )ln cos()(ln 2ln cos )42x x dx x dx u du ππππ⎤+=-=-+⎥⎦⎰⎰⎰40ln 2ln cos 8xdx ππ=+⎰所以40ln 2ln(1tan )8x dx ππ+=⎰．2、设()f x 在[],a b 上连续，且()1baf x dx =⎰，求()b af a b x dx +-⎰．解 令a b x t +-=，则dx dt =-，当x a =时，t b =；当x b =时，t a =；所以()()()1bababaf a b x dx f t dt f t dt +-=-==⎰⎰⎰．3、设()f x 为连续函数，试证明：()()(())xx tf t x t dt f u du dt -=⎰⎰⎰．证 用分部积分法，(())()(())xxt tx tf u du dt t f u du td f u du =-⎰⎰⎰⎰⎰()()()()xx x xx f u du tf t dt xf t dt tf t dt =-=-⎰⎰⎰⎰()()xf t x t dx =-⎰．4、设()u ϕ为连续函数，试证明：220()2()aa ax dx x dx ϕϕ-=⎰⎰．证2220()()()aaaax dx x dx x dx ϕϕϕ--=+⎰⎰⎰，令x t =-，则0022220()(())()()a aaax dx t dt t dt x dx ϕϕϕϕ-=--==⎰⎰⎰⎰所以022220()()()2()aa aaax dx x dx x dx x dx ϕϕϕϕ--=+=⎰⎰⎰⎰．5、计算下列反常积分：（1）2048dxx x +∞++⎰； （2）21arctan x dx x+∞⎰； （3）1⎰； （4）1e ⎰ 解 (1)222000(2)12arctan 48(2)2228dx d x x x x x π+∞+∞+∞++===++++⎰⎰． (2)221111arctan 1arctan 1arctan (1)x x dx xd dx x x x x x +∞+∞+∞+∞=-=-++⎰⎰⎰ 22111lnln 242142xx ππ+∞=+=++.(3)1110022π⎡===⎣⎰⎰．(4)112ee ===⎰⎰． 6、求抛物线22y px =及其在点(,)2pp 处的法线所围成的平面图形的面积． 解 抛物线22y px =在点(,)2p p 处的法线方程为32x y p +=，两曲线的交点为9(,3),(,)22pp p p -；取y 作积分变量3p y p -≤≤，所求的平面图形面积为 2232333131116()()222263ppp pA p y y dy py y y p p p --=--=--=⎰． 7、求由曲线32y x =与直线4,x x =轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．解 曲线32y x =与直线4x =的交点为(4,8)，取y 作积分变量，08y ≤≤，体积元素2232434()(16)dy y dy y dy ππ⎡⎤=-=-⎣⎦于是，所求的旋转体的体积为8847003512(16)(16)77V y dy y y πππ=-=-=⎰．8、设某产品的边际成本为()2C Q Q '=-（万元/台），其中Q 代表产量，固定成本022C ==（万元），边际收益()204R Q Q '=-（万元/台）．试求： (1) 总成本函数和总收益函数； (2) 获得最大利润时的产量；(3) 从最大利润时的产量又生产了4台，总利润的变化．解 (1)总成本函数2001()(2)2222Q C Q Q dQ C Q Q =-+=-+⎰， 总收益函数20()(204)202QR Q Q dQ Q Q =-=-⎰．(2)利润函数23()()()18222L Q R Q C Q Q Q =-=--，令()0L Q '=,得6Q =(台)，而(6)30L ''=-<，所以当产量6Q =(台)时，利润最大．(3)(10)(6)83224L L -=-=-，所以从最大利润时的产量又生产了4台，总利润减少了24（万元）．(B) 1、填空题：(1)202cos x d x t dt dx=⎰ . (2) 设()f x 连续，220()()x F x xf t dt =⎰，则()F x '= .(3) 20sin()xd x t dt dx -=⎰ . (4) 设()f x 连续，则220()xd tf x t dt dx -=⎰ . (5) 设20cos ()1sin xt f x dt t=+⎰,则220()1()f x dx f x π'=+⎰ . (6) 设()f x 连续，且1()2()f x x f x dx =+⎰，,则()f x = .(7) 设()f x 连续，且()1cos xtf x t dt x -=-⎰,则20()f x dx π=⎰ .(8)2ln e dxx x +∞=⎰ .解 (1) 2220002224cos (cos )cos (cos )2x x x d d x t dt x t dt t dt x x x dx dx==+-⋅⎰⎰⎰2224cos 2cos xt dt x x =-⎰.(2) 2222200()(())()()2x x d F x x f t dt f t dt x f x x dx '==+⋅⋅⎰⎰ 22220()2()x f t dt x f x =+⎰.(3) 令x t u -=,则02220sin()sin ()sin xxxx t dt u du u du -=-=⎰⎰⎰所以22200sin()sin sin x x d d x t dt u du x dx dx -==⎰⎰. (4)令22x t u -= 则222222001()()()2x x tf x t dt f x t d x t -=---⎰⎰220011()()22x x f u du f u du =-=⎰⎰．所以2222001()()()2x x d d tf x t dt f u du xf x dx dx -=⋅=⎰⎰． (5)22200()arctan ()arctan ()arctan (0)1()2f x dx f x f f f x πππ'==-+⎰， 而02222000cos cos (0)0,()arctan(sin )1sin 21sin 4t t f dt f dt t t t ππππ=====++⎰⎰，所以220()arctan1()4f x dx f x ππ'=+⎰(6) 等式1()2()f x x f x dx =+⎰两边在区间[]0,1积分得1111001()2()2()2f x dx xdx f x dx f x dx =+=+⎰⎰⎰⎰11()2f x dx =-⎰， 所以 ()1f x x =-．(7)令x t u -=，则du dt =-，于是00()()()xxtf x t dt x u f u du -=-⎰⎰原等式化为 0()()1cos xxx f u du uf u du x -=-⎰⎰两边对x 求导()sin xf u du x =⎰在上式中，令2x π=，得()1xf x dx =⎰．(8)22ln 11ln ln ln ee edx d x x x x x +∞+∞+∞==-=⎰⎰ 2、计算下列积分：(1) 120ln(1)(2)x dx x +-⎰； (2)3142(1)x x dx -⎰；(3)31(2)f x dx -⎰，其中21()x x f x e-⎧+=⎨⎩0x x ≤>； (4)()f x dx π⎰，其中0sin ()xtf x dt tπ=-⎰． 解 (1) 111120000ln(1)1ln(1)ln(1)(2)22(1)(2)x x dxdx x d x x x x x ++=+=----+-⎰⎰⎰ 1100111111ln 2()ln 2ln ln 2312323x dx x x x +=--=-=+--⎰. (2) 令2sin x t =，则331144242222200001111cos 2(1)(1)cos ()2222t x x dx x dx tdt dt ππ+-=-==⎰⎰⎰⎰220011cos 41313(12cos 2)(sin 2sin 4)8282832t t dt t t t πππ+=++=++=⎰． (3) 令2x t -=，则dx dt =，当1x =时，1t =-；当3x =时，1t =；于是3101111(2)()()()f x dx f t dt f x dx f x dx ---==+⎰⎰⎰⎰12171(1)3x x dx e dx e--=++=-⎰⎰. (4) 由题设有sin ()xf x xπ'=-，用分部积分法得 00000sin sin ()()()t x f x dx xf x xf x dx dt x dx tx ππππππππ'=-=---⎰⎰⎰⎰ 000sin sin sin ()x x xdx x dx x dx x x xππππππππ=-=----⎰⎰⎰ 0sin 2xdx π==⎰．3、设13201()()1f x x f x dx x =++⎰，求10()f x dx ⎰． 解 等式两边在区间[]0,1上积分得11113200001()()1f x dx dx f x dx x dx x =+⋅+⎰⎰⎰⎰11100011arctan ()()444x f x dx f x dx π=+=+⎰⎰解得1()3f x dx π=⎰．4、求函数2()(1)x t f x t e dt -=-⎰的极值．解 令222()(1)22(1)(1)0x x f x x e x x x x e --'=-⋅=--+=，得函数()f x 的驻点：1,0,1-；当1x <-时，()0f x '>；当10x -<<时，()0f x '<； 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<；所以函数()f x 在0x =处取得极小值(0)0f =，在1x =±处取得极大值：11(1)(1)t f t e dt e-±=-=⎰． 5、设21sin ()x tf x dt t=⎰，求10()xf x dx ⎰．解 用分部积分法得221211122220011001sin 1sin 1sin ()2222x x t t x xf x dx dt dx x dt x xdx t t x ⎡⎤⎡⎤==-⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰112220011cos11sin cos 222x dx x -=-==⎰．6、求曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积． 解 抛物线(1)(2)y x x =--的顶点坐标为31(,)24-，左、右半支方程分别为：11()(32x y =-和21()(32x y =+；取y 作积分变量，104y -≤≤；体积元素为2221(())(())3dV x y x y dy π⎡⎤=-=⎣⎦，因此所求的旋转体的体积为0302114433(14)(14)422V y y πππ--==+=+=⎰⎰．７、设2()()()xax x t f t dt Φ=-⎰，证明：()2()()xax x t f t dt 'Φ=-⎰．证 2222()(2)()()2()()xxx xaaaax x xt t f t dt xf t dt x tf t dt t f t dt Φ=-+=-+⎰⎰⎰⎰，所以()22()()2()()xx xaaax xf t dt x tf t dt t f t dt ''Φ=-+⎰⎰⎰222()()2()2()()xxa ax f t dt x f x tf t dt x xf x x f x =+--⋅+⎰⎰2()2()2()()xx xaaaxf t dt tf t dt x t f t dt =-=-⎰⎰⎰．8、设连续函数()f x 满足(2)2()f x f x =，证明：2110()7()xf x dx xf x dx =⎰⎰． 证 202110()()()xf x dx xf x dx xf x dx =+⎰⎰⎰， 令2x t =，则21110000()2(2)(2)42()8()xf x dx tf t d t t f t dt xf x dx ==⋅=⎰⎰⎰⎰， 所以 202110()()()xf x dx xf x dx xf x dx =+⎰⎰⎰ 111000()8()7()xf x dx xf x dx xf x dx =-+=⎰⎰⎰．。
定积分(辅导班、习题课)
例 32.（07.4）设函数 f(x)具有连续的一阶导 数, 且满足
f ( x) x ( x 2 t 2 ) f (t)dt x 2 0
求 f(x)的表达公式.
15
例
33.（07.2）设
f(x)是区间[0,
4
] 上的单调、
可导函数，且满足
f (x) f 1(t)dt x t cos t sin tdt
1内至少
2
一点 ζ ，使 f (ζ ) f (ζ ) .
10
例 21.
求函数
f
(x)
x2
0
(2
t )e t dt
的最大值和最
小值。(95.3)
x t2
例 22. 已知函数 f ( x) 0 e 2 dt, x ，
求 f (x) ，并讨论 f ( x) 的单调性，奇偶性及函
数图形的凹凸性，并求 f (x) 的图形的拐点和 水平渐近线。（88.4.5）
得
7.积分中值问题
解法思路: 通常是积分中值定理、介值定理和微分中值定理的联合使用。
23
例 41. 设在[a, b]上 f (x)连续.且满足
f (a) f ( x) f (b).证明:c [a, b]使
ab f ( x)dx f (a)(c a) f (b)(b c)
证：令 F( x) f (a)(x a) f (b)(b x)
解法思路:
一． 变量代换公式和分部积分公式 本身就是高度普遍性的积分等 式，亦可用来推出其它积分等 式；
二． 视为变限积分函数问题，转化 为导数的应用问题。
三． 用中值定理
17
例 34.设 f ( x) 处处连续，证明：
a x3 f ( x2 )dx 1
《定积分经典习题》课件
这个PPT课件将带您深入学习定积分的经典习题。我们将探讨定积分的定义、 基本性质以及各种应用，帮助您更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
定积分的定义和基本性质
定义
了解定积分的含义和定义。
计算
掌握理。
应用
了解定积分在实际问题中的应用场景。
利用定积分求曲线下面的面积
几何意义
了解如何利用定积分求曲线下面的面积。
曲线之间的面积
掌握如何计算两条曲线之间的面积。
极坐标系下的面积
了解如何在极坐标系中计算曲线下面的面积。
利用定积分求旋转体的体积
1
旋转体的计算原理
了解如何利用定积分求旋转体的体积。
2
绕x轴旋转
掌握绕x轴旋转时的体积计算方法。
3
绕y轴旋转
掌握绕y轴旋转时的体积计算方法。
利用定积分求平面图形的重心
平面图形的重心定义
了解平面图形重心的定义和计算方法。
三角形的重心
掌握三角形重心的计算方法。
矩形的重心
掌握矩形重心的计算方法。
圆形的重心
了解圆形重心的计算方法。
利用定积分求圆的面积和体积
1
圆的面积
了解如何利用定积分优雅地计算圆的面积。
2
球的体积
利用定积分求曲线的弧度
1 弧度定义
了解曲线的弧度的定义。
2 计算方法
掌握如何利用定积分计算曲线的弧度。
3 常用曲线的弧度
牛顿摆线、双曲线等常用曲线的弧度计算方法。
掌握如何利用定积分计算球的体积。
利用定积分求曲线的长度
弧长的定义
了解曲线的弧长的定义。
计算方法
掌握如何利用定积分计算曲线的长度。
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S ( 2 x x )dx
0
1
( 2 x x 2 )dx
1
2
y x
1 x 2 (x ) 2 3 1 7 6
3 2
o
1
2
x
-2-
例3 解
第 六 章 定 积 分
2 使该曲线与过该点的 y x 求一点， 在曲线
习 题 课
切线及 y 轴所围的平面图形的面积恰为该点的纵坐标。
果要将水全部抽出, 至少需作功多少?
解 如图所示建立坐标系.
第 六 章 定 积 分
o
C
x
选 x 为积分变量， [0, R ] 为积分区间，在 [0, R ] 上取 区间[ x , x dx ],
B
R
x
2 2
dW gx ( R x )dx
W g x( R 2 x 2 )dx
s
3
2 ( ) 2 ( )d
2 2 a sin a sin cos d
3
2
6
4
2
0
3
3
3
3 a sin d a. 0 3 2
- 14 -
习 题 课
第 六 章所以 定 积 分
-7-
x a( t sin t ) 的一拱 ( 0 t 2 ) 与 例7 求摆线 y a(1 cos t ) y 轴旋转一 及其绕 x 轴、 x 轴所围的平面图形的面积，
第 六 章
习 题 课
周所得的旋转体体积。 解 S
2 a 0
y 2a
解 切线斜率为 2 x0 2,
2 ( x , x 设切点坐标为 0 0 2 x0 4),
2 切线方程为 y ( x0 2 x0 4) ( 2 x0 2)( x x0 ), 2 切线过原点 ( x0 2 x0 4 ) x0 ( 2 x0 2 )
六y 章 定 积 分
f ( x ) 围成 的面积的两倍， 求曲线方程.
解
设曲线上的任意一点的坐标为( t , f ( t )), 则平行于 y 的平行线与 x 轴和 曲线 y f ( x ) 围成
的面积为
S1 f ( x )dx
0
t
则平行于 x 的平行线与 y 轴和 曲线 y f ( x ) 围成 的面积为
o
2
dVy 2xydx
V y 2
第 六 章 定 积 分
令x a ( t sin t )
2 a 0
xydx
x x dx 2a x
2a
3 2
0
( t sin t )(1 cos t ) dt
2a
3 2
0
t (1 2 cos t cos 2 t )dt
x 轴 与两直线 x a , x b 所围成的，求证：存在直线 x ( (a , b)) 将曲边梯形的面积平分 .
第 六 章 定 积 分
-5-
2 y 3 ax 2bx c 通过原点，且与直线 例6 抛物线 x 1, y 0 所围的平面图形的面积为1，确定 a, b, c 使此 平面图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小。
3 2
2a
6 3a 3
0
(1 cos t )2 sin tdt
- 10 -
习 题 课
例8 求半径为 R 两直交圆柱体的共同部分的体积 解 利用对称性所求的立体的体积为如图所示的物体 8倍，建立如图所示的坐标系， [ 0, R ] 选x 为积分变量， 为积分区间，对 [0, R ] 中的 任意 x 相应的截面为边长 为 R2 x 2 的正方形，所以 S ( x ) R2 x 2 R2 x 2
0 R
gR4 4
- 17 -
习 题 课
例15
一等腰梯形闸门, 如图所示, 梯形的上下底
分别为 50 米和 30 米 ,高为 20 米, 如果闸门顶部高 出水面 4 米, 求闸门一侧所受的水的静压力.
第 六 章 定 积 分
解 如图建立坐标系,
则梯形的腰 AB 的方程为 1 y x 23. 2
2
[2 x0 ( x x0 )
( x0 0 )
o
x
2 x0
所以所求的点为 ( 3,9)或( 3,9)
-3-
习 题 课
2 y x 2 x 4 的两条切线， 例4 由原点作抛物线 设切点分别为 P , Q 求切线 OP , OQ 及其抛物线所围
的平面图形的面积) x x1 ( y )
o
a
3 2
0
(1 cos t ) dt
3
2a x
第 六 章
a
3 2
0
5 3 ( 3 cos t cos 2t cos 3 t )dt 5 2a 3 2 2
2 x2 ( y )dy 2 x1 ( y )dy 0 2 3 2a
o
ydx
定 令x a ( t sin t ) 2 2 2 a ( 1 cos t ) dt 积 0 分
2a x
a
2 2
0
3 1 ( 2 cos t cos 2t )dt 2 2
3a
2
-8-
习 题 课
Vx
令x a ( t sin t )
2a
0
y 2dx
4
B
ox x dx 16 A x
y
此闸门一侧受到静水压力为
- 18 -
习 题 课
P 2
16
0
1 gx( x 23)dx 2
第 六 章 定 积 分
x3 g( 23 x 2 ) 16 0 3
1 g( 4096 23 256) 3
4522 .67 g
o x
第 六 章 定 积 分
x
V 8
R
0
3 16 R ( R 2 x 2 )dx 3
- 11 -
习 题 课
2 2 2 x y a 例9 求 绕 x b(b a 0) 旋转所成
旋转体的体积 . 解 由对称性所求立体的
第 六 章 定 积 分
y x a y x a2 y2
S ( t ) 0, 得驻点 t
1 S (e 4 )
1
1 t ln t
1 t e 4
0
所以当 t e 4 时，面积最小。
-1-
习 题 课
2 y x 与直线 y x , y 2 x 所围的 例2 求由曲线
平面图形的面积。 解
第 六 章 定 积 分
y
y x2
y 2x
习 题 课
第 六 章 定 积 分
抛物线 y 3ax 2 2bx c 通过原点，所以 c0 因此 与直线 x 1, y 0 所围的平面图形的面积为1，
解
即
b 1 a
1 0
2 1 ( 3a x 2bx)dx a b 0
1
V (a ) ( 3ax 2 2(1 a ) x )2 dx
0 f ( x )dx 20[ f (t ) f ( x )]dx t 2tf ( t ) 2 f ( x )dx (0 t 2) 0
t
t
f ( t ) ct
2
9 过点 ( 2,3) c 2
- 22 -
3 所以所求曲线为 y 2x. 2
4.43 107 (牛).
- 19 -
习 题 课
第 六 章 定 积 分
- 20 -
例16
设曲线 y f ( x ) 过原点及点 ( 2,3), 且 f ( x )
习 题 课
今在曲线上任取一点作 为单调函数，并具有连续导数， 两坐标轴的平行线，如果平行于 y 的平行线与 x 轴和
y 轴和曲线 y f ( x ) 曲线 围成的面积是另一条平行线与 第
习 题 课
习题课 6
例1 在区间 [1 , e ] 内求一点 x0 , 使 y ln x , y 0 ,
t e
y 1 及 x t 所围成两块面积之和为最小 .
第 六 章 定 积 分
解
S (t )
1
ln xdx (1 ln x )dx
t
1 e4
S (t ) 2 ln t 1
- 21 -
习 题 课
S2 [ f ( t ) f ( x )]dx
0
t
由题意 S1 2 S2 , 即
第 六 章 定 积 分
所以
f ( t ) 2 f ( t ) 2tf ( t ) 2 f ( t ) f ( t ) 1 f ( t ) 2tf ( t ) 2 dt dt f (t ) t
2 ), 设该点坐标为 ( x0 , x0 2 2 x0 ( x x0 ) 则切线方程为 y x0
由题意知
y
y x2
2 ( x0 , x0 )
0
或
x0
2 { x 2 [2 x0 ( x x0 ) x0 ]}dx
2 x0
x { x
0
0
( x0 0 )
2 x0 ]}dx
9 2 4 [ a 3a(1 a ) (1 a )2 ] 5 3
-6-
习 题 课
2 2 1 4 [ a a ] 15 3 3 2 5 2 9 [ (a ) ] 15 4 8