正、余弦定理在实际中的应用 应用题
1。2正、余弦定理的综合应用
正、余弦定理的综合应用及应用举例一、综合应用题型一、三角函数的化简、求值例1．设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .变式：在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A ．(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4的值．题型二：三角形的面积公式例2．在△ABC 中,已知C=120°,AC=2,求△ABC 的面积.变式：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A ＝35，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求边a 的长．题型三：三角形中的恒等式证明问题例3．在△ABC 中,角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c,求证:tan tan A B =222222a c b b c a +-+-.变式：在△ABC 中,求证:cos cos a c B b c A --=sin sin B A .二、正、余弦定理在实际中的应用实际测量中的有关名称、术语1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,把视线在水平线上方的角称为仰角,视线在水平线下方的角称为俯角 .如图(1).2.方位角指从正北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角,如方位角是45°,指北偏东45°,即东北方向.3.方向角从指定方向到目标方向线所成的水平角,如南偏西60°,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°,如图(2)所示.4.基线在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线 .一般来说,基线越长,测量的精确度越高 .5.坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度 (或叫做坡比).思考:如图所示,OA、OB的方位角各是多少?如何表示OA、OB的方向角?题型一：测量距离问题【角度一】两点不相通的距离例1．如图所示，要测量一水塘两侧A、B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝a2＋b2－2ab cos α.若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB长．【角度二】两点间可视但有一点不可到达例2．如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB 的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A、B两点间的距离为________．【角度三】 两点都不可到达例3．如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测出AB 的距离，其方法测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离．题型二：测量高度问题例1．如图，为了测量河对岸的塔高AB ，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 和D ，测得CD ＝200米，在C 点和D 点测得塔顶A 的仰角分别是45°和30°，且∠CBD ＝30°，求塔高AB .变式：如图,一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10千米,速度为180千米/小时,飞行员先看到山顶的俯角为30 ,经过2分钟后又看到山顶的俯角为75 ,求山顶的海拔高度.题型三：测量角度问题例。
数学-余弦定理正弦定理应用举例
余弦定理、正弦定理应用举例高中数学定理1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．导语 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量．具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案．一、距离问题例1 如图，为测量河对岸A ，B 两点间的距离，沿河岸选取相距40 m 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，求A ，B 两点的距离．解 在△BCD 中，∠BDC ＝60°＋30°＝90°，∠BCD ＝45°，∴∠CBD ＝90°－45°＝∠BCD ，∴BD ＝CD ＝40，BC ＝＝40.BD 2＋CD 22在△ACD 中，∠ADC ＝30°，∠ACD ＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD ＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC ＝＝20.CD sin 30°sin 45°2在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos ∠BCA＝(20)2＋(40)2－2×20×40cos 60°＝2 400，2222∴AB ＝20，6故A ，B 两点之间的距离为20 m.6反思感悟 求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．跟踪训练1 (1)A ，B 两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C ，测得CA ＝7 km ，CB ＝5 km ，C ＝60°，则A ，B 两点之间的距离为 km.答案 39解析 由余弦定理，得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB ·cos C＝72＋52－2×7×5×12＝39.∴AB ＝.39(2)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度是 m.答案 60解析 tan 30°＝，tan 75°＝，CD AD CDDB 又AD ＋DB ＝120，∴AD ·tan 30°＝(120－AD )·tan 75°，∴AD ＝60，故CD ＝60.即河的宽度是60 m.3二、高度问题例2 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )A ．10 mB ．10 m 2C ．10 mD ．10 m36答案 D 解析 在△BCD 中，CD ＝10 m ，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，由正弦定理，得＝，BCsin ∠BDC CD sin ∠DBC 故BC ＝＝10(m)．10sin 45°sin 30°2在Rt △ABC 中，tan 60°＝，ABBC 故AB ＝BC ×tan 60°＝10(m)．6反思感悟 测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．跟踪训练2 珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高10米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为70°，80°，则A ，B 的高度差约为(sin 70°≈0.94)( )A ．10米B ．9.72米C ．9.40米D ．8.62米答案 C 解析 根据题意画出如图的模型，则CB ＝10，∠OAB ＝70°，∠OAC ＝80°，所以∠CAB ＝10°，∠ACB ＝10°，所以AB ＝10，所以在Rt △AOB 中，BO ＝10sin 70°≈9.4(米)．三、角度问题例3 甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？3解 如图所示．设经过t 小时两船在C点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at (海里)，AC ＝at (海里)，3B ＝180°－60°＝120°，由＝，得BC sin ∠CAB ACsin B sin ∠CAB ＝＝＝＝，BC sin BAC at ×sin 120°3at 32312∵0°<∠CAB <60°，∴∠CAB ＝30°，∴∠DAC ＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．反思感悟 测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．跟踪训练3 地图测绘人员在点A 测得某一目标参照物P 在他的北偏东30°的方向，且距离为40 m ，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m ，到达点B .试确定此时目标参照物P 在3他北偏东的度数以及他与目标参照物P 的距离．解 如图，在△PAB 中，∠PAB ＝30°，PA ＝40(m)，AB ＝40(m)．3由余弦定理，得PB ＝AB 2＋PA 2－2·AB ·PA ·cos ∠PAB＝＝40(m)．402＋(403)2－2×40×403×cos 30°因为AB ＝40 m ，所以AB ＝PB ，所以∠APB ＝∠PAB ＝30°，所以∠PBA ＝120°.因此测绘人员到达点B 时，目标参照物P 在他的北偏东60°方向上，且目标参照物P 与他的距离为40 m.1．知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：方位角是易错点．1．若点A 在点C 的北偏东30°方向上，点B 在点C 的南偏东60°方向上，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°方向上B ．北偏西15°方向上C ．北偏东10°方向上D ．北偏西10°方向上答案 B解析 如图所示，∠ACB ＝90°.又因为AC ＝BC ，所以∠CBA ＝45°.因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A 在点B 的北偏西15°方向上．2.如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者与A 在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C ，测出A ，C 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 mB ．50 m 23C ．25 mD. m22522答案 A 解析 ∠ABC ＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC 中，由＝，AB sin 45°50sin 30°得AB ＝100×＝50(m)．2223.如图，要测出山上一座天文台BC 的高，从山腰A 处测得AC ＝60 m ，天文台最高处B 的仰角为45°，天文台底部C 的仰角为15°，则天文台BC 的高为( )A ．20 mB ．30 m 22C ．20 mD ．30 m33答案 B 解析 由题图，可得B ＝45°，∠BAC ＝30°，故BC ＝＝＝30(m)．AC ·sin ∠BACsin B 60sin 30°sin 45°24.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )A. B. C.－1 D.－1322232答案 C解析 在△ABC 中，由正弦定理，得＝，ABsin 30°AC sin 135°∴AC ＝100(m)．2在△ADC 中，＝，AC sin (θ＋90°)CD sin 15°∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.AC ·sin 15°CD 3课时对点练1．已知海上A ，B 两个小岛相距10海里，C 岛临近陆地，若从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 岛与C 岛之间的距离是( )A ．10 海里B.海里31063C ．5 海里D ．5 海里26答案 D解析 如图所示，C ＝180°－60°－75°＝45°，AB ＝10(海里)．由正弦定理，得＝，10sin 45°BC sin 60°所以BC ＝5(海里)．62．(多选)某人向正东方向走了x km 后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km ，结果离出发点恰好 km ，则x 的值为( )3A. B ．2 C ．2 D ．333答案 AB解析 如图所示，在△ABC 中，AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝，∠ABC ＝30°，3由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC .即()2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°.3∴x 2－3x ＋6＝0.3解得x ＝2或x ＝.333．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是( )A ．5 海里/时B ．5海里/时2C ．10 海里/时D ．10海里/时2答案 D解析 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，由正弦定理，可得AB ＝5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时．故选D.4．从高出海平面h 米的小岛上看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米 B.h 米 C.h 米 D ．2h 米232答案 A解析 如图所示，BC ＝h ，AC ＝h ，3∴AB ＝＝2h .3h 2＋h 2即此时两船间的距离为2h 米．5．如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋30)mB ．(30＋15)m 33C ．(15＋30)mD ．(15＋15)m33答案 A 解析 在△PAB 中，∠PAB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60 m ，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，由正弦定理，得PB ＝＝30(＋)m ，所以6－24AB sin 30°sin 15°62建筑物的高度为PB sin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)m.622236．甲骑电动车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是 ( )A ．6 kmB ．3 kmC ．3 kmD ．3 km32答案 C解析 由题意知，AB ＝24×＝6(km)，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°.14由正弦定理，得BS ＝＝＝3(km)．AB sin ∠BAS sin ∠ASB 6sin 30°sin 45°27.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED 是矩形，已知∠DAC ＝50°，∠CBE ＝70°，AC ＝90，BC ＝150，则DE ＝ .答案 210解析 由题意知∠ACB ＝120°，在△ACB 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝902＋1502－2×90×150×＝44 100.(－12)∴AB ＝210，DE ＝210.8．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向上，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向上，这时船与灯塔间的距离为 km.答案 302解析 如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，则∠ABC ＝45°，AC ＝60(km)，根据正弦定理，得BC ＝＝＝30(km)．AC sin ∠BAC sin ∠ABC 60sin 30°sin 45°29.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距6 n mile ，渔船乙以5 n mile/h 的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h 追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α.解 (1)依题意，知∠BAC ＝120°，AB ＝6，AC ＝5×2＝10.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，解得BC ＝14，v 甲＝＝7，BC 2所以渔船甲的速度为7 n mile/h.(2)在△ABC 中，AB ＝6，∠BAC ＝120°，BC ＝14，∠BCA ＝α.由正弦定理，得＝，AB sin αBC sin 120°即sin α＝＝＝.AB sin 120°BC 6×3214331410.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝，cos C ＝，求索道AB 的长．121335解 在△ABC 中，因为cos A ＝，cos C ＝，121335所以sin A ＝，sin C ＝.51345从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝×＋×＝.513351213456365由＝，AB sin C ACsin B 得AB ＝·sin C ＝×＝1 040(m)．AC sin B 1 260636545所以索道AB 的长为1 040 m.11.(多选)如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )，则一定能确定A ，B 间距离的所有方案为( )A ．测量A ，B ，bB ．测量a ，b ，C C ．测量A ，B ，aD ．测量A ，B ，C答案 ABC 解析 对于A ，利用内角和定理先求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理＝解出c ；b sin B csin C 对于B ，直接利用余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 即可解出c ；对于C ，先利用内角和定理求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理＝解出c ；对于D ，不知道长度，显然不能求asin A c sin C c .12.如图所示，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．10 mB ．5 m 3C ．5(－1) mD ．5(＋1) m 33答案 D解析 方法一 设AB ＝x ，则BC ＝x .∴BD ＝10＋x .∴tan ∠ADB ＝＝＝.ABDB x 10＋x 33解得x ＝5(＋1)(m)．3∴A 点离地面的高AB 等于5(＋1) m.3方法二 ∵∠ACB ＝45°，∠ADC ＝30°，∴∠CAD ＝45°－30°＝15°.由正弦定理，得AC ＝·sin ∠ADCCDsin ∠CAD ＝·sin 30°＝5(＋)(m)．10sin 15°62∴AB ＝AC sin 45°＝5(＋1)(m)．3即A 点离地面的高AB 等于5(＋1)(m)．313.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°答案 B解析 依题意，可得AD ＝20，AC ＝30，105又CD ＝50，所以在△ACD 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝＝＝，(305)2＋(2010)2－5022×305×2010 6 0006 000222又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.14．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m答案 A解析 如图，设水柱的高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝ h ，根据余弦定理得，(h )2＝h 2＋1002－2×h ×100×cos 60°，33即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，解得h ＝50或h ＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m.15．在某次地震时，震中A (产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B ，C ，D .已知B ，C 两市相距20 km ，C ，D 两市相距34 km ，C 市在B ，D 两市之间，如图所示，某时刻C 市感到地表震动，8 s 后B 市感到地表震动，20 s 后D 市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5km ，则震中A 到B ，C ，D 三市的距离分别为．答案 km ， km ， km132********解析 由题意得，在△ABC 中，AB －AC ＝1.5×8＝12(km)．在△ACD 中，AD －AC ＝1.5×20＝30(km)．设AC ＝x (km)，则AB ＝(12＋x )(km)，AD ＝(30＋x )(km)．在△ABC 中，cos ∠ACB ＝x 2＋400－(12＋x )22×20×x＝＝，256－24x40x 32－3x 5x 在△ACD 中，cos ∠ACD ＝x 2＋1 156－(30＋x )268x ＝＝.256－60x68x 64－15x 17x ∵B ，C ，D 在一条直线上，∴＝－，64－15x17x 32－3x 5x 即＝，64－15x 173x －325解得x ＝.即AC ＝(km)．487487∴AB ＝(km)，AD ＝(km)．1327258716.如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 3处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以10 海里/时的速度追截走私3船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝10t ，BD ＝10t ，3在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos 120°＝6.33∴BC ＝.又∵＝，6BC sin ∠BAC ACsin ∠ABC ∴sin ∠ABC ＝＝＝，AC ·sin ∠BAC BC 2·sin 120°622又0°<∠ABC <60°，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得＝，BDsin ∠BCD CD sin ∠CBD ∴sin ∠BCD ＝＝＝.BD ·sin ∠CBDCD 10t ·sin 120°103t 12又∵0°<∠BCD <60°，∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠CDB ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝.6∴t ＝(小时)≈15(分钟)．610∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．。
正弦定理、余弦定理在生活中应用
正弦定理、余弦定理在生活中的应用正弦定理、余弦定理是解三角形得重要工具，解三角形在经济生活和工程丈量中的重要应用，使高考考察的热门和要点之一，本文将正弦定理、余弦定理在生活中的应用作以简单介绍，供同学们学习时参照 .一、在不行抵达物体高度丈量中的应用例 1 如图，在河的对岸有一电线铁塔B 在同一水平面内的两个测量点 CAB ，某人在丈量河对岸的塔高与 D ，现测得AB时，选与塔底BCD，BDC， CD s ，并在点 C 测得塔顶A 的仰角为，求塔高AB ．剖析：此题是一个高度丈量问题，在BCD中，先求出CBD ，用正弦定理求出BC，再在Rt△ ABC 中求出塔高 AB.分析：在△ BCD 中，CBD =π．由正弦定理得BC CD=sin．sin BDC CBD因此 BC =CD sinBDC =·s sin．sin CBD sin()在 Rt △ABC中，AB=BC tan ACB·. = s tan sinsin()评论：对不行抵达的物体的高度丈量问题，可先在与物体底部在同一平面内找两点，测出这两点间的距离，再测出这两点分别与物体底部所在点连线和这两点连线所成的角，利用正弦定理或余弦定理求出此中一点到物体底部的距离，在这一点测得物体顶部的仰角，通过解直角三角形，求得物体的高 .二、在丈量不行抵达的两点间距离中的应用例 2 某工程队在修建公路时，碰到一个小山包，需要打一条地道，设山双侧地道口分别为 A 、B ，为了测得地道的长度，在小山的一侧选用相距3 km的C、D两点高，测得ACB=75 0，BCD=45 0， ADC=30 0，ADC=45 0（ A 、B、C、D），试求地道的长度 .剖析：依据题意作出平面表示图，在四边形ABCD 中，需要由已知条件求出AB 的长，由图可知，在ACD 和BCD 中，利用正弦定理可求得 AC 与 BC ，而后再在ABC 中，由余弦定理求出AB.分析：在 ACD 中，∵ADC=30 0，∠ACD=120 0，∴∠ CAD=30 0，∴ AC=CD= 3 .在BCD 中，∠ CBD=180 0-450-750=60 0由正弦定理可得，3 sin 75026) BC==sin 602在 ABC 中，由余弦定理，可得AB 2 AC 2 BC 2 2AC BC COSACB ，AB2(3)2(26 )2 2 2 322 6) COS 750 =52∴ AB=5 ≈ 2.236km, 即地道长为 2.236km.评论 ：此题波及到解多个三角形问题，注意优化解题过程.如为求 AB 的长，能够在ABD 中，应用余弦定理求解，但一定先求出 AD 与 BD 长，但求 AD 不如求 AC 简单，此外。
6.4.3余弦定理、正弦定理应用举例
B C
计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
a2 sin2 ( sin2(
) )
sin
a2 sin2 2(
)
2a2 sin(
sin(
)sin cos )sin(
)
思考：
在上述测量方案下，还有其他计算A,B距离的方 法吗？
测得CD=a,并且在C、D两点分别测得
∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
AC
a sin( )
a sin( )
sin 180 ( )n D
sin 180 ( ) sin( )
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？
题型一 测量距离问题
例9、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设 计一种测量两点间的距离的方法，并求出AB间的距离。
B A
例9、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设 计一种测量两点间的距离的方法，并求出AB间的距离。
B A
C
解：测量者可以在A、B对岸选定两点C、D， A
测角仪器的高是h. A
D
C
E
G
H
B
在 ACD 中，根据正弦定理可得
AC asin sin( )
AB AE h
ACsin h asin sin h
sin( )
在实际操作时，使H、G、B 三点共线不是一件容易的事， 你有什么替代方案吗？
题型三 测量角度问题
例14、位于某海域A处的甲船获悉,在其正东方向相距 20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船 立即前往救援,同时把消息告知位于甲船南偏3西00 ,且 与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营救 遇险渔船时目标方向线(由观测点看目标的视线)的方
正弦定理、余弦定理的应用举例练习题(基础、经典、好用)
正弦定理、余弦定理的应用举例一、选择题图3－8－91．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图3－8－9)，要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里图3－8－103．(2013·广州模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是() A．102海里B．103海里C．202海里D．203海里图3－8－114．如图3－8－11所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ的值为()A.217 B.22 C.32 D.5714图3－8－125．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图3－8－12所示)，则旗杆的高度为()A．10 m B．30 m C．10 3 m D．10 6 m二、填空题6．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是________米．7．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米．图3－8－138．如图3－8－13，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________．三、解答题图3－8－149．(2013·佛山调研)如图3－8－14，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？图3－8－1510．如图3－8－15，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D间的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．图3－8－1611．(2013·惠州模拟)某城市有一块不规则的绿地如图3－8－16所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建设费用最低，请说明理由．解析及答案一、选择题1．【解析】在△ABC中，由正弦定理BCsin 30°＝ABsin 45°，AB＝50 2.【答案】 A2．【解析】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．【答案】 C3．【解析】由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝ABsin 45°×sin 30°＝10 2.【答案】 A4．【解析】连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos 120°＝700，∴BC＝107，再由正弦定理，得BCsin∠BAC ＝AB sin θ，∴sin θ＝21 7.【答案】 A5．【解析】如图，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°.由正弦定理得106sin 30°＝BCsin 45°，所以BC＝206×2 2＝203(m)．在Rt△CBD中，CD＝BC sin 60°＝203×32＝30(m)．【答案】 B二、填空题6．【解析】如图，依题意甲楼高度AB＝20tan 60°＝203米，又CM＝DB＝20米，∠CAM ＝60°.所以AM＝CM·1tan 60°＝2033米，所以乙楼的高CD＝203－2033＝4033米．【答案】403 37．【解析】如图所示，设BD＝x m，则142＝102＋x2－2×10×x×cos 60°，∴x2－10x－96＝0，∴x＝16.【答案】168．【解析】设AB＝h，在△ABC中tan 60°＝h BC，∴BC＝33h，在△BCD中，∠DBC＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得CDsin∠DBC ＝BCsin∠BDC，即30sin 135°＝33hsin 30°，解得h＝15 6.【答案】15 6三、解答题9．【解】在△BCD中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理cos∠BDC＝DB2＋DC2－BC22DB·DC＝－17，所以cos∠ADC＝17，sin∠ADC＝437，在△ACD中，由条件知CD＝21，A＝60°，所以sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝32×17＋12×437＝5314，由正弦定理ADsin∠ACD ＝CD sin A，所以AD＝2132×5314＝15，故这时此车距离A城15千米．10．【解】 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线， 所以BD ＝BA . 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620，因此，BD ＝32＋620≈0.33 km.故B ，D 间的距离约为0.33 km.11．【解】 (1)在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝356－320cos C ， ① 在△ABD 中，由余弦定理及∠C ＝∠D 整理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos D ＝392－392cos C ， ② 由①②得：356－320cos C ＝392－392cos C ， 整理可得，cos C ＝12，又∠C 为三角形的内角，所以C ＝60°， 又∠C ＝∠D ，AD ＝BD ， 所以△ABD 是等边三角形， 故AB ＝14，即A 、B 两点的距离为14. (2)小李的设计符合要求．理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ， S △ABC ＝12AC ·BC sin C ， 因为AD ·BD ＞AC ·BC ， 所以S △ABD ＞S △ABC ，由已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低．因此小李的设计符合要求．。
正弦余弦定理应用举例3
例9 在ABC中，求证： a b sin A sin B （ 1 ） 2 ； 2 c sin C （2）a 2 b 2 c 2 2(bc cos A ca cos B ab cos C ).
2 2 2 2
在任一ABC 中，求证：
a(sin B sin C ) b(sin C sin A) c(sin A sin B) 0
例6 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5n mile 后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该 沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距 离精确到0.01n mile）?
解：在⊿ABC中，∠ABC＝ 180°－75°＋32°＝137°， 根据余弦定理，
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
c 2 a 2 b 2 127 2 682 882 cos B 0.7532, 2ca 2 127 68 sin B 1 0.7532 2 0.6578. 1 应用S ca sin B, 得 2 1 2 S 127 68 0.6578 2840.38(m ). 2 答：这个区域的面积是 2840.38m 2 .
AC AB 2 BC 2 2 AB BC cos ABC 67.52 54.02 2 67.5 54.0 cos137 113.15
根据正弦定理， BC AC sin CAB sin ABC BC sin ABC sin CAB AC 54.0 sin 137 113.15 0.3255,
1 sin 65 . 8 sin 51 . 5 2 2 S 3.16 4.0(cm ). 2 sin 62.7
(完整版)正弦定理、余弦定理综合应用典型例题
正弦定理、余弦定理综合应用例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭． 3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-= 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6π.例4.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60，c =3b.求ac的值；解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117()2,3329c c c c c +-= 故3a c =例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 612例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________.3例7.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=，则b =【解析】0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=由62a c ==+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得sin 2sin a b B A =⋅=, 例8.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 2 ，AC 的取值范围为 (2,3) .解: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos 22θθ<<⇒<<， 2cos (2,3).AC θ∴=∈例9.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠。
正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
课时作业3 应用举例时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．103海里B ．106海里C ．52海里D ．56海里【答案】 D【解析】 如图，∠A ＝60°，∠B ＝75°， 则∠C ＝45°， 由正弦定理得：BC ＝AB ·sin A sin C ＝10×sin60°sin45°＝5 6.2．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )A ．502mB ．503mC ．252m D.2522m【答案】 A【解析】 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即50sin30°＝ABsi n45°，解得AB ＝502m ，选A.3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是________m.【答案】 521【解析】 如图所示，塔高为OC ，则∠OAC ＝60°，∠AOB ＝180°－30°＝150°，∠CBO ＝45°，AB ＝35，设电视塔高度为h m，则OA＝33h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即352＝(33h)2＋h2－2×33h×h×(－32)解得h＝521.4．如图所示，海中小岛A周围38海里有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可．【解析】在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°由正弦定理BCsin A＝ACsin B，即：30sin15°＝ACsin30°∴AC＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)，∴A到BC的距离为d＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°【答案】 B【解析】 如图所示，∠ECA ＝40°，∠FCB ＝60°，∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠ABC ＝180°－80°2＝50°，∴∠ABG ＝180°－∠CBH －∠CBA ＝180°－120°－50°＝10°.故选B.2．某市在“旧城改造”工程中，计划在如下图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a 元/m 2，则购买这种草皮需要( )A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元【答案】 C【解析】S△＝12×20×30×sin150°＝12×20×30×12＝150(m2)，∴购买这种草皮需要150a元，故选C.3．有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°.在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A．5 B．10C．10 2 D．10 3【答案】 C【解析】如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°.在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB ′中，∠B ′＝30°，∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10m. 由正弦定理，得BB ′＝AB sin45°sin30°＝10×2212＝102(m)．∴坡底延长102m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.4．一船以226km/h 的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的南偏东15°，则灯塔S 与B 之间的距离为( )A ．66 kmB ．132 kmC ．96 kmD ．33 km【答案】 A【解析】 如图，∠ASB ＝180°－15°－45°＝120°， AB ＝226×32＝336，由正弦定理336sin120°＝SBsin45°，∴SB ＝66(km)．5．据新华社报道，强台风“珍珠”在饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，树尖与地面成45°角，树干也倾斜，与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )A.2063米B ．106米 C.1063米D ．202米【答案】 A【解析】 设树干底部为O ，折断点为P ，树尖着地处为M ，如图，△OPM 中，∠P ＝180°－∠M －∠O ＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理得PO sin M ＝MOsin P ，∴PO ＝MO sin M sin P ＝20×sin45°sin60°＝2063.6．甲船在B 岛的正南A 处，AB ＝10km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )A.1507min B.157h C ．21.5min D ．2.15h【答案】 A 【解析】如图，设经过x小时时距离为s，则在△BPQ中，由余弦定理知：PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)×6x×(－1 2 )＝28x2－20x＋100.当x＝－b2a＝514时，s2最小，此时x＝514h＝1507min.7．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°角的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过3h，该船实际航程为( ) A．215km B．6kmC．221km D．8km【答案】 B【解析】如图，∵|OA→|＝2，|OB→|＝4，∠AOB＝120°，∴∠A＝60°，|OC→|＝22＋42－2×2×4cos60°＝2 3.经过3h，该船的航程为23×3＝6(km)．8．如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上的两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为( )A．75° B．60°C．50° D．45°【答案】 C【解析】 如图，作CE ⊥平面ABD 于点E ，则∠CDE 是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE ＝40°，延长DE 交直线AB 于点F ，连接CF ，则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S △ABD 最大，只需DF 最大．在△CFD 中，CF sin40°＝DF sin 140°－α. ∴DF ＝CF ·sin 140°－αsin40°.∵CF 为定值，∴当α＝50°时，DF 最大．二、填空题(每小题10分，共20分)9．如图在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，又测得山顶P 的仰角为γ，则山高为________．【答案】 a sin α·sin γ－βsin γ－αm 【解析】 在△PAB 中，已知∠BAP ＝α－β，∠APB ＝γ－α，AB ＝a ，由正弦定理可得PA ＝a sin γ－βsin γ－α， 在Rt △PAQ 中，PQ ＝PA sin α＝a sin αsin γ－βsin γ－α. 10．一只蚂蚁沿东北方向爬行x cm 后，再向右转105°爬行20cm ，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x ＝________.【答案】 2036【解析】如图△ABC中，∠A＝45°＋15°＝60°，∠B＝45°＋30°＝75°，∠ACB＝45°，由正弦定理知xsin∠ACB ＝20sin A，∴x＝2036.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．A、B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D 是点C到水平面的垂足，求山高CD.【分析】 如图，由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD .因此，只需在△ABD 中求出AD 即可．【解析】 在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由AB sin15°＝AD sin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 (m)．答：山高CD 为2 m.12．如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O 点500千米且与海岸距离为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？并求快艇以最小速度行驶时方向与OM所成的角．【分析】根据题意画出示意图如图所示．在△MON中，利用余弦定理得到速度v关于时间t的函数关系式，然后利用二次函数求最值．【解析】 如图所示，设快艇从M 处以v 千米/小时的速度出发，沿MN 方向航行，t 小时后与汽车相遇．在△MON 中，MO ＝500，ON ＝100t ，MN ＝vt ，设∠MON ＝α，由题意得sin α＝35，则cos α＝45. 由余弦定理，得MN 2＝OM 2＋ON 2－2OM ·ON ·cos α，即v 2t 2＝5002＋1002t 2－2×500×100t ×45. v 2＝5002×1t 2－2×500×80×1t ＋1002＝(500×1t－80)2＋3 600. 当1t ＝80500，即t ＝254时，v 2min ＝3 600. 即快艇至少必须以60千米/小时的速度行驶，此时MN ＝60×254＝375，MQ 是M 到ON 的距离，且MQ ＝300. 设∠MNO ＝β，则sin β＝300375＝45.所以可得α＋β＝90°， 即MN 与OM 所成的角为90°.。
正、余弦定理在实际中的应用应用题
正、余弦定理在实际中的应用应用题正弦定理和余弦定理是三角形中的重要定理，它们在实际问题中有着广泛的应用。
下面将通过几个例子来说明它们在实际问题中的应用。
例1：一座山的高度是100米，从山顶到山脚的水平距离是500米。
现在我们要在山脚处建造一座高塔，使得从山顶到塔顶的视角恰好等于直角的一半（即45度）。
求塔的高度。
h/sin45° = 500/sin90°因为 sin45° = √2/2， sin90° = 1，例2：一座大桥的桥面宽度为 10米，桥下水流的深度为 2米。
为了使桥下水的流速达到每秒 5米，现要在桥边修建一条人行道，要求人行道的宽度为 3米。
问人行道的长度应该是多少？解：设人行道的长度为 L米。
由余弦定理得：L2 = （10 - 3）2 + （2 + 5）2 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）× cos30°= 9 + 67 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）× cos30°= 76 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）= 76 - （10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）× 2= 76 - （10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）× 2= 76 - （17 ×√3）×（√3/2）× 2答：人行道的长度为 25米。
本节课是介绍余弦定理和正弦定理的内容。
这两个定理是三角学的基本定理，对于理解三角形的属性和解决三角形的问题有着重要的意义。
余弦定理和正弦定理的发现和证明，也体现了数学中普遍存在的一种方法——归纳法。
通过本节课的学习，学生将更好地理解三角形的属性和解三角形的方法，同时也能提高他们的数学思维能力和推理能力。
《正弦定理和余弦定理》典型例题
《正弦定理和余弦定理》典型例题透析类型一：正弦定理的应用：例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =，30C =，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b .解析：sin sin a c A C =，∴sin 10sin 45sin sin 30c A a C ⨯=== ∴ 180()105B A C =-+=，又sin sin b c B C=，∴sin 10sin10520sin 7520sin sin 304c B b C ⨯====⨯= 总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。
【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理，0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在∆ABC 中，已知075B =，060C =，5c =，求a 、A .【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=，根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴a =【变式3】在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==.例2．在60,1ABC b B c ∆===中，，求：a 和A ，C ．思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .解析：由正弦定理得：sin sin b c B C=， ∴sin 1sin2c B C b ===， （方法一）∵0180C <<， ∴30C =或150C =，当150C =时，210180B C +=>，（舍去）；当30C =时，90A =，∴2a =．（方法二）∵b c >，60B =， ∴C B <，∴60C <即C 为锐角， ∴30C =，90A =∴2a ==．总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
正余弦定理应用题
正弦定理、余弦定理应用举例1．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时(）．A．5海里B．53海里C．10海里D．10错误!海里2为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD,现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 30°＝错误!a.3如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km。
试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B，D的距离．BD＝错误!（km）．考向二测量高度问题4如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD。
CD为10（3＋错误!) m。
5如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α,∠BDC＝β,CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用6如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9,∠BCA＝30°,∠ADB＝45°，求BD的长．BD的长为错误!.7如图，在△ABC中，已知∠B＝45°,D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14,DC ＝6，求AB的长．∴AB＝56。
8(本题满分12分）如图，甲船以每小时30错误!海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,此时两船相距10错误!海里．问：乙船每小时航行多少海里？乙船的速度为错误!×60＝30错误!(海里/时）．（12分)9如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos θ。
正余弦定理的实际运用(精练)(原卷版)
6.4.3正余弦定理的实际运用（精练）【题组一正余弦定理的综合运用】1．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()22b c b c a +-=．（1）求A 的大小；（2）若ABC 的面积等于，5b =，求sin sin B C 的值．2．（2020·霍邱县第一中学高一期末）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边长，a b ==，12cos()0B C ++=.（1）求角C 的大小；（2）求ABC 的面积.3．（2020·三门峡市外国语高级中学高一期中）已知ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足()sin sin sin a A c C a b B -=-.（1）求角C 的大小；（2）若边长c =ABC 的周长最大值.4（2020·四川高一月考（文））已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足sin()sin()A B b cA B c-+=+.（1）求角A 的大小；（2）当6a =时，求ABC 面积的最大值，并指出面积最大时ABC 的形状.5．（2020·江苏泰州市·兴化一中高一期中）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，满足cos 2cos A a cB b b+=且4b =.（1）求角B ；（2）求ABC 周长的取值范围.6．（2020·安徽和县·高一期末（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222b c a +=.（1）求角A 的大小；（2）若a =1)b -的取值范围.7．（2020·浙江高一期末）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，2222sin 6b c a bc A π⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭.（1）求角A 的大小；（2）求sin cos B C ⋅的取值范围.8．（2020·浙江高一期末）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin sin A C bB C a c-=-+.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC 为锐角三角形，且2a =，求ABC 周长的取值范围.9．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）已知A 、B 、C 为ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若cos (2)cos 0a C c b A ++=．（1）求A ．（2）若a =，4b c +=，求ABC 的面积．10．（2021·湖南益阳市·高二期末）在①5b c +=，②433c =，③75C =°，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题（2）中，并完成问题的解答．问题：已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4a =且cos sin 2Ab a B =．（1）求A ；（2）若________，求ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【题组二正余弦定理与三角函数综合运用】1．（2020·浙江）已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =-+∈.（1）求函数()f x 的最小正周期和最小值；（2）ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =，()2f C =，sin 2sin B A =，求a ，b 的值.2．（2020·河南新乡市）已知函数 ( )=3sin cos −cos 2 −12．（1）求函数 = ( )在[0,2]上的最大值和最小值；（2）在 C 中，角 、 、C 所对的边分别为 、 、 ，满足 =2， =3， ( )=0，求sin 的值．3．（2021·柳州市第二中学高二期末（理））已知函数()()231cos 2cos 22f x x x x ππ⎛⎫=+---⎪⎝⎭，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，若向量()1,sin n A =与()2,sin m B =共线，求a ，b 的值.4．（2020·江西南昌市·高一月考）已知()2cos ,2sin ,sin ,cos 66a x x b x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，函数()cos<,>f x a b =.（Ⅰ）求函数()f x 零点；（Ⅱ）若锐角ABC 的三内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()1f A =,求b ca+的取值范围.5．（2021·江西新余市·高三期末（文））已知函数2()cos 2cos 1,(0,),f x x x x x ABCπ=+-∈ 中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且25ABC S a = ．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()1f C =，求三角形中::a b c 的值．6．（2020·全国）已知函数()()2212sin f x x x x R =+-∈.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c =，22C f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，sin 2sin B A =，求①求,a b的值；②求()f A .7．（2020·山东）已知函数21())sin()cos 22f x x x x ππ=-++-（1）求函数()f x 的单调递增区间（2）若锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且1(),42f A b ==，求ABC 面积S 的取值范围【题组三正余弦定理在几何中的运用】1．（2020·湖北武汉市·高一期末）如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC +=．（Ⅰ）求边AC 的长；（Ⅱ）若APB ∆的面积是，求sin BAP ∠的值．2．（2020·江西）如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1,CD ＝3，cos B ＝33.(1)求△ACD 的面积；(2)若BC ＝，求AB 的长．3．（2020·湖北省崇阳县第一中学高一月考）在ABC 中，D 为BC 上一点，12BD CD =，23ADB π∠=，2AD =，AB =（1）求角B ；（2）求AC .4．（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一开学考试）如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a c B B =+.（1）求ACB ∠的大小；（2）若∠=∠ACB ABC ，点A 、D 在BC 的异侧，2DB =，1DC =，求平面四边形ABDC 面积的最大值.5．（2020·福建泉州市·高一期末）在平面四边形ABCD 中，AB =，2ADB CDB ABD ∠=∠=∠.（1）求ABD ∠；（2）若AC =2BD =，求ACD △的面积.【题组四正余弦定理在实际生活中的运用】1．（2020·黑龙江大庆市·铁人中学高一期末）如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物MN 的顶部M 处的仰角分别为30MAN ∠=︒，60MBN ∠=︒，45MCN ∠=︒，且60m AB BC ==，则建筑物的高度为（）A．B．C．D．2．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A．3323B．5323C．7323D．83233．（2020·邵东市第一中学高一月考）如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角为45︒，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为75︒，则山高BC=（）A．500米B．1500米C．1200米D．1000米4．（2020·雅安市教育科学研究所高一期末）如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为（）km B．km C．1.5km D．2km5．（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）如图，位于A处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救.在A处南偏西30°且相距20海里的C处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处B的时间为______分钟.6．（2020·和县第二中学高一期中（文））和县文昌塔是市级文物保护单位且底部不能到达，现要测量文昌塔AB 的高度，如图所示，在塔的同一侧选择,C D 两个观测点，且在,C D 两点测得塔顶的仰角分别为45,30 ，在水平面上测得120BCD ∠= ，,C D 两地相距30m ，则文昌塔AB 的高度是____________m .7．（2020·广东云浮市·高一期末）在相距3千米的A ，B 两个观察点观察目标点C ，其中观察点B 在观察点A 的正东方向，在观察点A 处观察，目标点C 在北偏东15︒方向上，在观察点B 处观察，目标点C 在西北方向上，则A ，C 两点之间的距离是______千米．8．（2020·山东济宁市·高一期末）如图，要计算某湖泊岸边两景点B 与C 的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒，15CBD ∠=︒，120BCD ∠=︒，则两景点B 与C 的距离为________km.19．（2020·苏州新草桥中学高一期中）如图，A、B是海面上位于东西方向相距(53海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：（1）轮船D与观测点B的距离；（2）救援船到达D点所需要的时间．。
正余弦定理-实际问题应用举例
重点难 点
1.现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的 高度呢？(例如：测山高，楼高，塔高)
2.在实际的航海生活中 ,人们也会遇到如下的问题：在浩 瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的 航速和航向呢？ 今天我们就来共同探讨这些方面的问题.
一、基本概念
解斜三角形中的有关名词、术语：
1．若水平面上点 B 在点 A 南偏东 30° 方向上，则点 A 处测得点 B 的方位角是( ) A．60° B．120° C．150° D．210°
二、应用举例
探究（1）：一个不可到达点的距离测量
（一）测量----距离
例.在三角形ABC中，AC=55m，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o 求：A、B两点间的距离（只要求化简，不计算）
设ab是一个底部不可到达的竖直建筑物a为建筑物的最高点在水平面上取一点c可以测得点a的仰角若计算建筑物ab的高度还需解决什么问题
第一章 解三角形
1.2
学习目 标
应用举例
1.熟记正弦定理、余弦定理、余弦定理的推论、三角形面积公式; 2.会用正弦定理、余弦定理及有关结论求解距离、角度、高度等问 题. 重点:解三角形在实际中的应用; 难点:把实际问题中的条件和所求转化为三角形中的已知和未知的 边角,建立数学模型求解.
A
一、例题
∵在Rt△ACD中，
B
C
CD AC sin CAD BC cos sin sin( ) 27.3cos 54 40' sin 50 1' sin(54 40' 50 1' ) 150(m)
答：山的高度约为150米。 D
A
（三）测量----角度
6.4.3 正余弦定理的实际运用(精讲)(解析版)
6.4.3 正余弦定理的实际运用（精讲）考法一 正余弦定理的综合运用【例1-1】（2020·内蒙古赤峰市）在ABC 的中，角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，且sin (sin sin )sin 0a A b A B c C ++-=（1）求角C ；（2）若2c =，求+a b 的取值范围.【答案】（1）23C π=；（2）23⎛ ⎝⎦，. 【解析】（1）由sin (sin sinB)sin 0a A b A c C ++-=，及正弦定理得2220a ab b c ++-=，由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又0C π<<，所以23C π=； （2）由2220a ab b c ++-=及2c =，得224a ab b ++=，即2()4a b ab +-=， 所以221()4()4ab a b a b =+-≤+，所以3a b +≤，当且仅当3a b ==时，等号成立， 又2a b c +>=，所以23a b <+≤， 所以+a b 的取值范围为2⎛ ⎝⎦.【例1-2】．（2020·全国高一）在①7c =，1cos 7A =-，②1cos 8A =，9cos 16B =.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在ABC ∆中，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知11a b +=， .求a ，b 的值. 【答案】答案见解析. 【解析】选择条件①7c =，1cos 7A =-，11a b +=，2222cos a b c bc A =+-∴()222117a a =-+-()121177a ⎛⎫-⋅⋅- ⎪⎝⎭，∴8a =，3b =选择条件②1cos 8A =，9cos 16B =，A ，B ()0,π∈，∴sin A ==，sin B ==由正弦定理得：sin sin a b A B =，∴=∴6a =，5b =. 【一隅三反】1．（2020·江苏南京市·南京师大附中高一期末）在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222cos sin cos sin sin A B C A B =++.（1）求角C 的大小； （2）若c =ABC ∆周长的取值范围.【答案】（1）23π；（2）(2+ 【解析】（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+， 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-， 由正弦定理得222a b c ab +-=-由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又20,3C C ππ<<∴=.（2）2,2sin ,2sin sin sin sin sin 3a b c a A b BA B C====∴==，则ABC ∆的周长()2sin sin 2sin sin 2sin 33L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦20,,sin 1333323A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<<+≤ ⎪⎝⎭， 2sin 23A π⎛⎫∴<++≤+ ⎪⎝⎭ABC ∴∆周长的取值范围是(2.2．（2020·吉林白城市·白城一中高一期末（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos 0c a B b A --=. （1）求角B 的大小；（2）若1a c +=，求b 的取值范围. 【答案】（1）3π；（2）112b ≤<. 【解析】（1）(2)cos cos 0c a B b A --=，∴由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos 0C B A B B A --=，可得2sin cos sin()sin C B A B C =+=，C 为三角形内角，sin 0C ≠，∴可得1cos 2B =，(0,)B π∈，3B π∴=． （2）3B π=，1a c +=，∴由余弦定理可得2222221()3()3()24a c b a c ac a c ac a c +=+-=+-+-⨯=， 12b∴，1b a c <+=，∴112b <．3．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高一期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()cos 2cos a C b c A =-. （1）求A ∠的大小；（2）若3a =，求ABC 面积S 的最大值.【答案】（1）3A π=；（2【解析】（1）cos (2)cos a C b c A =-． sin cos (2sin sin )cos A C B C A ⇒=-， sin()2sin cos A C B A ⇒+=， sin 2sin cos B B A ⇒=，1cos 2A ⇒=， 3A π∴=． （2）221929cos 222b c bc A bc bc+--==≥，09bc ∴<≤，11sin 922S bc A ∴=≤⨯=，当3a b c ===时取得等号，ABC ∴面积S考法二 正余弦定理与三角函数综合运用【例2】（2020·湖北荆门市·高一期末）已知()22cos sin cos f x x x x x =+-（1）求函数()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）设锐角．．ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1f C =，c =，求ABC 的面积S 的最大值.【答案】（1）,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2.【解析】（1）()22cos sin cos 2cos 22sin 26f x x x x x x x x π⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭.令22,62x k k Z πππ-=+∈，即()3x k k Z ππ=+∈时，()f x 取最大值;所以，此时x 的取值集合是,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）由()1f C =，得1sin 262C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为02C <<π，所以52666C πππ-<-<，所以266C ππ-=，则6C π=； 在ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得223(2a b ab =+≥-，即3(2ab ≤+，当且仅当a b =时取等号，所以ABC 的面积3(23(2111sin 2224Sab C =≤⨯⨯+=+因此ABC 的面积S . 【一隅三反】1．（2020·黄梅）已知函数()cos 3f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 在[]0,π上的最小值；（2）已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，b =3cos 5A =，且()1fB =，求边a 的长. 【答案】（1）12-；（2）8.【解析】（1）()1cos sin cos cos 322f x x x x x x π⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭1cos sin 226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 又[]0,x π∈，所以7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以当766x ππ+=即x π=时，()f x 取得最小值， 所以()min 12f x =-， （2）因为()sin 16f B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()0,B π∈， 所以3B π=，又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以由正弦定理有45a =，所以8a =. 2．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三期中（理））已知函数()cos f x x x =223sin cos 2x x --+. （1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c且满足b a =，sin(2)sin A C A+22cos()A C =++，求()f B 的值.【答案】(1)[]1,2-；(2)1.【解析】（1）()cos f x x x = 223sin cos 2x x --+22sin 1x x =-+cos2x x =+ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()[]1,2f x ∈-. （2）∵由题意可得()sin A A C ⎡⎤++⎣⎦ ()2sin 2sin cos A A A C =++有，()()sin cos cos sin A A C A A C +++ ()2sin 2sin cos A A A C =++，化简可得：sin 2sin C A =，∴由正弦定理可得：2c a =，∵b =，∴余弦定理可得：222cos 2a c b B ac+-=222431222a a a a a +-==⋅，∵0B π<<，∴3B π=，所以()1f B =.3．（2020·江苏）已知函数()212cos 2f x x x =--，R x ∈． （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设C ∆AB 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，且c =()C 0f =，若sin 2sin B =A ，求a ，b 的值．【答案】（1）()f x 的最小值是2-，最小正周期是22ππT ==；（2）1a =，2b =．【解析】（1）()1cos 212sin 212226x f x x x π+⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值是2-，最小正周期是22ππT ==； （2）()C sin 2C 106f π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则sin 2C 16π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0C π<<，∴02C 2π<<，∴112C666πππ-<-<，∴2C 62ππ-=，∴C 3π=，sin 2sin B =A ，由正弦定理，得12a b =，①由余弦定理，得2222cos 3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=，②由①②解得1a =，2b =．考法三 正余弦定理在几何中的运用【例3】（2020·河北邢台市·高一期中）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，且3CD BD =.（1）求sin sin BC的值； （2）若2AB =，3B π=，求ABC 的面积.【答案】（1）3；（2. 【解析】（1）在ABD △中，sin sin BD AD BAD B =∠，在ACD △中，sin sin CD ADCAD C=∠.因为AD 平分BAC ∠，且3CD BD =，所以3sin sin B C CDBD==. （2）由正弦定理及（1）可知sin sin 3AC AB BC==. 因为2AB =，3B π=，所以6AC =，1sin sin 366C B C ====. 因为()sin sin sin cos cos sin BAC B C B C B C ∠=+=+1262612=+⨯=所以1sin 22ABCSAC AB BAC ⋅∠=⋅=. 【一隅三反】1．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一期末）如图，ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，sin B =，cos ADC ∠=CD =ADC 的面积为________；AB 的长是________.【解析】因为AD AC ⊥，cos 3ADC ∠=，CD =所以cos 3AD CD ADC =⋅∠==，又sin ADC ∠=则△ADC的面积为11sin 322S AD CD ADC =⋅⋅∠=⨯⨯=， 又sin ADB ∠=sin 3ADC ∠=，所以在△ABD 中由正弦定理得： sin sin AB ADADB B=∠，则3sin sin AD ADB AB B ⋅∠===故答案为：2；2．（2020·成都市第十八中学校高一期中）在ABC ∆中，点D 在边AB 上，3ACD π∠=，4AD DB ==（1）若4CD =，求AC （2）若3B π=，求sin(2)6A π+的值【答案】（1）8；（2）78. 【解析】（1）在ACD △中，由余弦定理得，(222π424cos3AC AC =+-⨯⋅⋅， 即24320AC AC --=，解得，8AC =(负值舍去). （2）在ABC 中， ∵π3B =，π3ACD ∠=，∴π3BCD A ∠=-， 在ADC中，由正弦定理得πsin sin 3DC A =，∴8sin DC A =①，在BCD △中，由正弦定理得πsin sin 33DC A =- ⎪⎝⎭3π2sin 3DC A =⎛⎫- ⎪⎝⎭②， 由①②得π3sin sin 316A A ⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴13sin sin 2216A A A ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，即213cos sin 2216A A A -=，∴1132cos 244416A A +-=，172cos 228A A +=，∴π7sin 268A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 3．（2020·株洲市九方中学高一月考）如图，在圆内接ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若点D 是劣弧AC 上一点，AB =2，BC =3，AD =1，求四边形ABCD 的面积【答案】（1）3B π=；（2）【解析】（1）由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=， 得sin 2sin cos B B B =. 因为0,sin 0B B π<<≠，所以1cos 2B =，即3B π=.（2）在ABC 中AB =2，BC =3，3B π=，222249cos 3212AB BC AC AC AB BC π+-+-==⋅，解得AC =.在ADC 中，1AC AD ==，A ，B ，C ，D 在圆上， 因为3B π=，所以23ADC ∠=π， 所以22222171cos 3222AD DC AC DC AD DC DC π+-+-===-⋅， 解得2DC =或3DC =-（舍去），所以四边形ABCD 的面积121sin sin 2323ABCADCS SSAD DC AB BC ππ=+=⋅+⋅=.4．（2020·全国高一课时练习）在四边形ABCD 中，AD //BC ，AB A ＝120°，BD ＝3．（1）求AD 的长；（2）若∠BCD ＝105°，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1（2．【解析】（1）∵在△ABD 中，AB ，∠A ＝120°，BD ＝3，∴由余弦定理得cos 1202AD AD ＝－舍去)，∴AD（2）∵AD ∥BC ，∠A ＝120°，BD ＝3，AB ＝AD BCD ＝105°， ∴∠DBC ＝30°，∠BDC ＝45°， ∴由正弦定理得sin 45BC ︒＝sin 30DC ︒＝3sin105︒，解得BC ＝3，DC ＝2． 如图过点A 作AE ⊥BD ，交BD 于点E ，过点C 作CF ⊥BD ，交BD 于点F ，则AE ＝12AB CF ＝12BC ， ∴四边形ABCD 的面积S ＝S △ABD ＋S △BDC ＝12BD ·(AE ＋CF )＝12×3×) 考法四 正余弦定理在实际生活中的运用【例4】（1）（2020·江苏高一课时练习）如图，设A 、B 两点在水库的两岸，测量者在A 的同侧的库边选定一点C ，测出AC 的距离为100m ，75ACB ∠=︒，60CAB ∠=︒，就可以计算出C 、B 两点的距离为（ ）A．B．C．(503m D．)501m（2）（2020·安徽亳州市·涡阳四中高一月考（理））如图，无人机在离地面高200m 的A 处，观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°，已知060MCN ∠=，则山的高度MN 为（ ）A． B． C．D ．300m【答案】（1）A （2）D【解析】（1）∵ABC 中，75ACB ∠=︒，60CAB ∠=︒， ∴()18045B ACB CAB ∠=︒-∠+∠=︒. 又∵ABC 中，100AC =m ，∴由正弦定理可得：sin sin AC CBB CAB=∠，则100sin sin 2AC CAB CB B ∠===故选：A.（2）∵//AD BC ，∴45ACB DAC ∠=∠=︒，∴AC ==，又180604575MCA ∠=︒-︒-︒=︒，154560MAC ∠=︒+︒=︒，∴45AMC ∠=︒， 在AMC 中，sin sin MC AC MAC AMC =∠∠，∴sin45MC ︒==︒，∴sin 300MN MC MCN m =∠=︒=.故选：D ．【一隅三反】1．（2020·江苏高一课时练习）某快递公司在我市的三个门店A ，B ，C 分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A ，B 与门店C 都相距a km ，而门店A 位于门店C 的北偏东50°方向上，门店B 位于门店C 的北偏西70°方向上，则门店A ，B 间的距离为（ ）A ．a kmB kmC kmD ．2a km【答案】C【解析】由题意知AC ＝BC ＝akm ，∠ACB ＝50°+70°＝120°， 由余弦定理得，2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠222212()32a a a a =+-⨯-=，所以AB =，即门店A ，B km . 故选：C.2．（2020·北京二十中高一期末）2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收物圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（ ） A ．50米 B ．57米C ．64米D ．70米【答案】D【解析】由题意，设李华家为A ，有害垃圾点为B ，可回收垃圾点为C ， 则李华的行走路线，如图所示，在ABC 中，因为80,30,60AB BC B ===， 由余弦定理可得：70AC ===米， 即李华回到自家楼下至少还需走70米. 故选：D .3．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D，已知km CD =，30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是（ ）A． B． CD．【答案】C【解析】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，在ADC中，由正弦定理得sin 2sin sin 75CD ADCAC DAC⋅∠===∠︒在BDC中，由正弦定理得1sin 1sin 2CD BDCBC DBC⨯⋅∠===∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠())22112112=+-⨯⨯=，所以AB =. 故选：C.4．（2020·四川绵阳市·高一期末）如图，轮船A 和轮船B 同时离开海港匀速直线航行，其中轮船A 的航行速度是v (nmile/h )，轮船B 的航行速度比轮船A 快10(nmile/h )．已知航行l h 后，测得两船之间的距离为（v+20）nmile ，如果两艘轮船的航行方向之间的夹角为钝角，则v 的取值范围是_____．【答案】()10,30【解析】不妨设海港所在点为C ，作图如下：根据题意可得10,,20BC v AC v AB v =+==+， 因为90ACB ∠>︒，根据余弦定理可得：2220AC BC AB +-<，即()()22210200v v v ++-+<， 解得1030v -<<，又要满足三角形三边关系，即可得：AB BC AC -<， 即10v >.故v 的取值范围是()10,30.故答案为：()10,30。
正余弦定理应用
3、在△ABC中，根据下列条件 分别判定△ABC的形状。
cos A
（1） cos B
b a
（2）a2tanB=b2tanA
(3)(a+b+c)(b+c-a)=bc且
sinA=2sinBcosC
；舟山包船捕鱼 舟山包船捕鱼
;
；
又一个谁朋友尴尬地说。 我无语了。这是没有“发小”的一代，没有老街生活的一代，没有街坊和故园的一代。他们会不停地搬，但不是“搬家”。“搬家”意味着记忆和情感地点的移动，意味着朋友的告别和人群的刷新，而他们，只是随父母财富的变化，从一个物理空间转到另一物理空间。 城市是个巨大的商品，住宅也是个商品，都是物，只是物，孩子只是骑在这头物上飞来飞去。 我问过一位初中语文老师，她说，现在的作文题很少再涉及“故乡”，因为孩子会茫然，不知所措。 是啊，你能把偌大当故乡吗？你能把朝阳、海淀或某个商品房小区当故乡吗？你会发现根本不熟 悉它，从未在这个地点发生过深刻的感情和行为，也从未和该地点的人有过重要的精神联系。 是啊，故乡不是一个地址，不是写在信封和邮件上的那种。故乡是一部生活史，一部留有体温、指纹、足迹由旧物、细节、各种难忘的人和事构成的生活档案。 还是上面那位朋友，我曾提议：为何 不搞个聚会，让儿子和从前同院的伙伴们重逢一次，合个影什么的？这对孩子的成长有帮助，能让一个孩子从变化了的对方身上觉察到自己的成长朋友怔了怔，羞涩地笑笑：其实儿子只熟悉隔壁的孩子，同楼的都认不全，偶尔，他会想起某只丢失或弄坏的玩具，很少和人有关，他的快乐是游 戏机、动画片、 成堆的玩具们给的。该我自嘲了，一个多么不恰当的浪漫！ 这个时代有一种切割的力量，它把生活切成一个个的单间：成人和宠物在一起，孩子和玩具在一起。我曾在一小区租住了4年，天天穿行其中，却对它一无所知。搬离的那天，我有一点失落，我很想去和谁道一声别， 说点什么，却想不出那人是谁。 4 那天，忽收一条短信：“王开岭，你妈妈叫你回家吃饭。” 我愣了，以为恶作剧。可很快，我对它亲热起来，30年前，类似的唤声曾无数次在一个个傍晚响起，飘过一条条小巷，飘进我东躲西藏的耳朵里。 传统老街上，一个贪玩的孩子每天都会遭遇这样的 通缉，除了家长的嗓门，街坊邻居和小伙伴也会帮着喊。 感动之余，我把这条短信的主语换成朋友们的名字，发了出去。当然，我只选了同龄人，有过老街童年的一代。 后来，才知这短信源于一起著名的网络事件，某天，有人发了个帖子：“贾君鹏，你妈妈叫你回家吃饭。”短短几日，跟 帖竟高达几十万，大家纷纷以各自腔调催促这个不听话的孩子快回家，别让妈妈等急了，别让饭菜凉了，别挨一顿骂或一顿揍。 声嘶力竭之际，有人揭穿了谜底，这个响彻神州的伟大名字竟是虚拟的，乃某网站精心策划。我一点不沮丧，甚至感动于阴谋者的情怀细致。 一个贾君鹏沉默，千 万个贾君鹏应声。 我们都竖起耳朵，聆听从远处飘来的蒲公英般的声音 某某某，你妈妈叫你回家吃饭。 我暗暗为自己的童年庆幸。如果说贾君鹏的一代可叫作露天童年、旷野童年、老街童年，那如今的孩子，则是温室童年、会所童年、玩具童年了。 面对现代街区和路途，父母不敢再把孩 子轻易交出去了，不允许童年有任何闪失。 就像风筝，从天空撤下，把绳剪掉，挂在墙上。 再不用担心被风吹跑，被树挂住了。翅膀，就此成为传说和纪念。 或许，你再也看不到这样的情景了 一群像风筝一样在街上晃荡的孩子。 5 我终于想起来了，《读书郎》的词、曲，乃同一人。 宋 扬，湖北人。此歌生于1944年。 那些美丽的禁忌 中国的青山绿水在哪？ 我想，答案应该是：在有禁忌的地方。 换言之，在信仰之乡。 “童山秃岭”一词，似乎北方人才念叨。 一个乍赴南疆的人，尤其冬天，视觉上会有异样感，满目葱茏，直让你怀疑自己戴了墨镜。若到了那些大西南村 寨，绿的浓度和幅度更让人油生幻觉，以为掉进了绿池子里。 不仅绿，且绿得亢奋、魔幻、忘情。 和气候水土有关，又不尽然。在北方，即便炎夏雨季，也不会绿得这般浩瀚、深邃；即便同处南国，城乡之绿也相去甚远，再郁郁葱葱，也挡不住天天砍、月月伐的开发啊。 最感人的绿，为何 独藏南方乡野呢？ 较之北方和城市，南野多一缕精神上的东西：禁忌。 具体地说，即草木崇拜。 他们奉树为仙，敬林若祖，轻易不敢折木斫枝，生怕违逆神灵，冒犯风水。 禁忌源于信奉，人有信奉，则生敬畏，进而生律戒 手脚即老实多了。 惜爱草木，古即倡之。天人合一的儒家，早早 流露出对植被的体恤。孟子道：“斧斤以时入山林。”也就是说，伐木要择时，不滥为。夫子曰：“断一树，杀一兽不以其时，非孝也。”《礼记·月令》正告：“孟春之月，禁止伐木季春之月，毋伐桑柘 仲春之月，毋焚山林 孟夏之月，毋伐大树季夏之月，毋有斩伐。”《荀子》亦云： “圣王之制也：草木荣华滋硕之时，则斧斤不入山林，不夭其生，不绝其长也。” 以上“时忌”，主要源于惜佑之德，类似如今的“休渔期”，旨在让草木休养生息。但不难判断，这些竹简之言虽语气严正，但精神威慑力和伦理契约性都很弱，行为强制力几乎没有，说到底，“劝言”而已。 民间对树的尊崇和仰望，要等到草木图腾和相关禁忌文化生成之后。 植物有灵的说法，先秦有之，有位树神叫“句芒”。至于大规模的树膜拜 何时开始、能量如何，我没细考，但在华夏的犄角旮旯里，随处可闻“树精”“树神”“树怪”的魅说。 我客居山东济宁时，窗外有条古槐路，街心 有铁栏，护着一株数百岁的嶙峋老槐，每天清早，枝桠上都会新添一缕缕的红绸布，皆是夜里缠上的，用意不外乎祈福驱灾。这条路扩了许多回，树也从路边到了中央，可谁也不敢去伤它。甚至，为让老树享怡孙之乐，整条路全补种了新槐。 从前，凡去一个村子，村口总会遇一棵沧桑大树， 北方以槐、榆、柳居多，南方以樟、榕、橡为主。该树往往地位显赫、待遇优厚，一打听，保准跳出一大堆灵异故事。 汉族社会的树崇拜，大概俗气些，总要从树家族中选出最特别的来供奉，其余则随意处置了。硕者为王、老者为寿、怪者为奇，一棵树若备这几样特征，被景仰的可能性即有 了。 相对于北方，南方乡民对树的感情和构思更丰富些，除“树精”“树怪”这些非凡个体，还把神圣的范围扩大到了族群：“风水林”。 广东鹤山雅瑶镇昆东村后的小冈上，有一片风水林，相传从南洋带回的种子。该树叫格木，为亚热带珍贵树种，其大龄者已逾两百岁，上世纪60年代， 某造船厂许以两台拖拉机换这片木材，被村民一口拒绝。且不说经济实惠，那个高音喇叭天天喊阶级斗争、反封建迷信的年代，敢拒绝尔等要求，足见“风水林”在百姓心目中的威望了。 宁受政治打击，不遭神灵报应，此即信奉和服从、天命和政令的区别，天壤之别。风水林在南方现身很早， 也很普遍，凡上年头的村子，几乎都有一群备受孝敬的树。风水林的指认，其实很讲究，入选者多是在防风御寒、涵养水源上功劳大的林子。 风水林，让“青山绿水”的比率和稳定性大大提高了。从单株神树到成片的风水林，人的敬畏范围和禁忌力度在放扩，受惠面积和获益程度也在增长。 其实，迷信的人很聪明。 都市多宫殿，乡野多祠堂。 北方多政事，南土多庙香。 在树面前，城里人和北方人颇显恣意和霸道。 所以，北方城里的树，年轮偏小，寿者极少。 较之汉族社会，少数民族的树神崇拜，情感上更天真，纪律上更严格，行动上更彻底。 贵州的苗、侗两族，自古崇 拜草木，在其眼里，树等于神灵和福祉。每年春，族人都要过“树秧节”，人人种苗造林，连未婚男女的信物也是一棵树苗。还有个风俗：谁家婴儿降生，全寨老小要齐力替之栽种一百棵杉苗。 西双版纳，乃中国热带雨林最完整、面积最大之地，为什么呢？ 并非偏僻荒凉、不便开采，而因 这儿的主人是傣族、哈尼族、爱尼族、佤族、基诺族他们有个共同的图腾：神林。视树为衣食父母，为感恩示敬，将大片地势好、近水源的森林供为“神林”“龙林” 神的安息地，连其中的花草禽兽，也被视为精灵，不得侵扰。神林要求寂静与安详，不允伐木、狩猎、开垦，不允喧闹、泄秽、 有猥亵之语，连枯枝落果也不得捡拾。 整个西双版纳，“神”的领地有600余处，近10万公顷，珍稀植物和药用植物200余种。 中国最大的植物种子和基因库，寂静如初、仓储完好，靠的是 门神。 靠的是“闲人免入”和“肃静”的牌子，是精神防护罩和铁布衫。 有了这些，它刀枪不入。 如今，很多事都应了那句老话：礼失而求诸野。 不仅西双版纳，“神林”在滇桂川黔等其他部族也盛行，彝族、白族、水族、瑶族皆奉树为神，虔敬有加。 不错，这是迷信 迷恋和信奉，但谁敢说迷信乃愚人所致、庸人自扰呢？ 我觉得，乃谦卑使然，乃大智慧和大先见使然。 在迷信的光照 下，树是幸福的，树荫下的人也是幸福的。 景仰与厚泽，禁忌与荫庇，养护与反哺 物物循环，投桃报李。 所谓天道，所谓舍得，即如此。 害怕，有时候是美丽的。 怕久了，入了骨，便成爱。 上苍佑之，必使之有所忌、有所敬、有所自缚和不为 如此，其身心才 是安全、舒适的，像一盘 有序、有逻辑和对手的棋。 上苍弃之，则使之无所畏，狂妄僭越，手舞足蹈那样，其灵魂即时时于混乱、激酣中，距癫痫和毁灭即不远了。 ? 消逝的地平线? 纪念古代“登高” ? 江涵秋影雁初飞，与客携壶上翠微。 尘世难逢开口笑，菊花须插满头归。 杜牧《九日齐山登高》 有天，忽意 识到，古人比今人多一股冲动：逢高即上，遇巍则攀。 奇峰巨顶不必说，即便丘峦高阁，也少有无视者，总要上去站一站，临风凭栏，意气一番，感慨几许。所以，凡山亭江楼，词赋楹句总爆满。 也巧了，古代好辞章，尤其时空激荡的豪迈与峭拔之文，多与“登高”有染。王勃《滕王阁 序》、陈子昂《登幽州台歌》、李白《梦游天姥吟留别》、杜甫《望岳》、崔颢《登黄鹤楼》、范仲淹《岳阳楼记》、岳飞《满江红》皆为“高高在上”所得。 “闲云潭影日悠悠，物换星移几度秋。阁中帝子今何在？槛外长江空自流。” “昔人已乘黄鹤去，此地空余黄鹤楼。黄鹤一去不复 返，白云千载空悠悠。” 在古人那儿，登高眺远，既是抒怀酬志的精神仪式，又是放牧视野、孜求彻悟的心智功课。 “前不见古人，后不见来者。念天地之悠悠，独怆然而涕下。”高，带来大势大象，带来疏旷与飘逸，带来不羁与宏放，带来生命时空的全景式阅读。视野对心境的营造、地 理对情思的熏染，使得“往高处走” 有了强烈的召唤力，成了风靡千年的诱惑，于诗家墨客，更是一味精神致幻药。 然而，“登高”并非
正余弦定理应用
若a2+c2-b2 =ac又 lgsinA+lgsinC=-2lg2. 且S △ABC= 3
解此三角形
6、在四边形ABCD （如图）CD= 3 ∠ ACB=750 ∠ BCD=450 ∠ ADC=300 ∠ADB=450 求AB的长
1、在△ABC中 （1）A=600,a=1,b+c=2,解三角形。
3、在△ABC中，根据下列条件 分别判定△ABC的形状。
cos A b （1） cos B a
（2）a2tanB=b2tanA
(3)(a+b+c)(b+c-a)=bc且
sinA=2sinBcosC
b 8 4、在△ABC中，∠ A=600， c 5
它的内切圆半径是r= 2 3
求a,b,c
5、在△ABC中，
（2）ab=60,sinA=cosB,S △ABC=15.
求△ABC的三个内角。 2、在△ABC中，若
sin B sin C sin A cos B cos C
判断三角形的形状 3、在△ABC中，已知sinA:sinB:sinC =4:5:6。求cosA:cosB:弦定理的 正余弦定理的应用 综合应用
1、(1)在△ABC中，已知a,b,c分别 为内角A,B,C的对边，若 b=2a,B=A+600,则A=______
(2)在△ABC中，若B=300，
AB= 2 3 ,AC=2，则△ABC 的面积是_________
2、已知△ABC中，a︰b︰c =2︰ 6 ︰( 3 1 ) 则△ABC的面积______
;
uyd20vau
屋的顶棚和一面后墙。这一阵子紧张的劳动，已经把耿老爹累得满头大汗了。他刚托着耿正的肩膀跳下高架凳子，乔氏赶快就 端来一大碗蜂蜜水，满怀歉意地说：“耿大哥，可把你累坏了，快喝碗蜂蜜水吧。看你们紧张得那样，我都不敢过来打搅你 们！”耿老爹张着双手说：“我这手，还没有洗呢！”乔氏说：“快喝吧，喝了水歇一歇再洗手！”由于冒了太多的汗，耿老 爹此时确实口渴得很了，于是就两手托着碗接过蜂蜜水来大口喝下去了。乔氏接过空碗，对小青和耿正兄妹三人说：“娃儿们 谁喝，就到西屋里来自己倒吧。水不太烫了，冲了蜂蜜正好喝！”耿直一听这话就高兴了，赶快跑去东边屋子里洗了手；然后 胡乱在干毛巾上擦两把以后，转身就跳入西屋里毫不客气地自己倒水冲蜂蜜喝去了。小青和耿英终于可以轻松地收拾水盆儿和 湿毛巾了。耿正把泥托子和泥叶子、铲子、木棍儿等集中起来都放在搅拌盆儿里，对爹说：“八桶石灰膏够用吗？照这个用法 恐怕不够呢！”耿老爹说：“应该够了，亮顶棚特别费石灰泥，亮墙壁就省多了！你看，今儿个咱们剩了那么一点儿了，居然 还亮了一整面后墙，连我也没有想到呢！”耿正想一想，说：“也是，照亮后墙这个用法，应该足够了！”又问：“你亮顶棚 时，为什么要那样用力地抹呢？”耿老爹说：“必须用力地抹，这样才能将石灰泥挤压进细竹帘子的缝隙中，并且在竹帘子的 上面形成无数个石灰泥小球球。这样，等这些石灰泥小球球充分干燥之后，顶棚面上的石灰泥就会与细竹帘子牢固地结合在一 起了。”耿正这才恍然大悟，说：“噢，怪不得你要那样费劲儿呢！这个活儿太累了，明儿个还是我来替你亮那一间的顶棚 吧！”耿老爹摇摇头，说：“哦，不不不，还是我来亮吧。你以前从来没有做过这个活儿，一开始做，怎么也不行的。”紧紧 张张地干了两天半以后，五间新屋的顶棚和后墙终于亮完，剩下的三大桶石灰膏就全部用来亮侧墙了。亮侧墙虽然不用像顶棚 上面那样费力，但也是个很精细活儿呢。因此，耿正只是很少地参与了一点儿，主要还是由耿老爹亲自来完成的。四天以后， 五间新屋的屋内上面全部完成了。这个紧紧张张的活儿把大家累得实在够呛。但仔细观察上面的整体效果，耿老爹感到非常满 意。他对小青和耿正兄妹三人说：“最难做的活计已经做完了，咱们好好休息几天。如果有一个人还没有歇息好，咱就不开始 下一步的刷家！”四人一齐欢呼起来：“太好了，歇息去嘞！”事实上，在这整整四天紧紧张张的劳作期间，最劳累的还是耿 老爹，小青、耿正、耿英和耿直虽然也很紧张劳累，但毕竟都是在打下手啊！那天吃完晚饭后，大家都早早就歇息了。耿老爹 疲倦地躺在地铺上，感到浑身的骨头都快要散架了。翻身时
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课时跟踪检测(三) 正、余弦定理在实际中的应用
一、选择题
1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( ) A ．α＞β B ．α＝β C ．α＋β＝90°
D ．α＋β＝180°
2．两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在C 北偏东30°，B 在C 南偏东60°，则A ，B 之间距离为( )
A.2a km
B.3a km C ．a km
D ．2a km
3．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )
A ．5
B ．10
C ．10 2
D ．10 3
4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )
A.1762海里/小时
B ．346海里/小时 C.1722海里/小时
D ．342海里/小时
5.
如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，则乙船每小时航行( )
A ．102海里
B ．202海里
C ．30海里
D ．302海里
二、填空题
6．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地距离为________km.
7．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到
另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.
8．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30 n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________ n mile.
三、解答题
9．海岛O上有一座海拔1 000米的山，山顶上设有一个观察站A，上午11时，测得一轮船在岛北偏东60°的C处，俯角30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B处，俯角60°.则该船的速度为每小时多少千米？
10．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶多少海里．
答案
课时跟踪检测(三)
1.解析：选B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知
α＝β，故应选B.
2．选A△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝2a.
3.选C如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′
中，利用正弦定理可求得BB′的长度．
在△ABB′中，∠B′＝30°，
∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10 m ， 由正弦定理，得
BB ′＝AB sin 45°
sin 30°＝10×
2
21
2
＝102(m)．
∴坡底延伸10 2 m 时，斜坡的倾斜角将变为30°. 4．选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MN sin 120°
，
∴MN ＝68×3
2＝346，
∴v ＝MN 4＝172
6(海里/小时)．
5．选D 如图，连接A 1B 2，在△A 1A 2B 2中，易知∠A 1A 2B 2＝60°，又易求得A 1A 2＝302×1
3
＝102＝A 2B 2，
∴△A 1A 2B 2为正三角形， ∴A 1B 2＝10 2.
在△A 1B 1B 2中，易知∠B 1A 1B 2＝45°， ∴B 1B 22＝400＋200－2×20×102×
2
2
＝200， ∴B 1B 2＝102，∴乙船每小时航行302海里． 6．解析：如右图所示，由题意可知AB ＝33， BC ＝2， ∠ABC ＝150°. 由余弦定理，得
AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7.则A ，C 两地距离为7 km.
答案：7
7．解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，
∠ABO ＝45°，
则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：
x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin 45°sin 60°＝106
3(cm)．
答案：106
3
cm
8.解析：如图所示，B 是灯塔，A 是船的初始位置，C 是船航行后的位置，
则BC ⊥AD ，∠DAB ＝30°， ∠DAC ＝60°，则在Rt △ACD 中，
DC ＝AC sin ∠DAC ＝30sin 60°＝15 3 n mile ， AD ＝AC cos ∠DAC ＝30cos 60°＝15 n mile ， 则在Rt △ADB 中，
DB ＝AD tan ∠DAB ＝15tan 30°＝5 3 n mile ， 则BC ＝DC －DB ＝153－53＝10 3 n mile. 答案：10 3
9.解：如图所示，设观察站A 在水平面上的射影为O ，依题意OB ＝OA ·tan 30°＝
3
3
(千米)， OC ＝OA ·tan 60°＝ 3(千米)， 则BC ＝
OB 2＋OC 2－2OB ·OC ·cos 120°＝13
3
(千米)． ∴船速v ＝
133÷10
60
＝239(千米/小时)． 10．解：设甲沿直线与乙船同时到C 点， 则A 、B 、C 构成一个△ABC ， 如图，设乙船速度为v ，
则甲船速度为3v，到达C处用时为t.
由题意BC＝v t，AC＝3v t，∠ABC＝120°.
在△ABC中，
由余弦定理
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°，
∴3v2t2＝a2＋v2t2＋a v t.
∴2v2t2－a v t－a2＝0，
解得v t＝－a
2(舍)或v t＝a.
∴BC＝a，
在△ABC中AB＝BC＝a，
∴∠BAC＝∠ACB＝30°.
答：甲船应取北偏东30°的方向去追乙，此时乙船行驶a海里．。