正、余弦定理在实际中的应用 应用题

课时跟踪检测(三) 正、余弦定理在实际中的应用

一、选择题

1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( ) A ．α＞β B ．α＝β C ．α＋β＝90°

D ．α＋β＝180°

2．两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在C 北偏东30°，B 在C 南偏东60°，则A ，B 之间距离为( )

A.2a km

B.3a km C ．a km

D ．2a km

3．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )

A ．5

B ．10

C ．10 2

D ．10 3

4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )

A.1762海里/小时

B ．346海里/小时 C.1722海里/小时

D ．342海里/小时

5.

如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，则乙船每小时航行( )

A ．102海里

B ．202海里

C ．30海里

D ．302海里

二、填空题

6．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地距离为________km.

7．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到

另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.

8．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30 n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________ n mile.

三、解答题

9．海岛O上有一座海拔1 000米的山，山顶上设有一个观察站A，上午11时，测得一轮船在岛北偏东60°的C处，俯角30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B处，俯角60°.则该船的速度为每小时多少千米？

10．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶多少海里．

答案

课时跟踪检测(三)

1.解析：选B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知

α＝β，故应选B.

2．选A△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝2a.

3.选C如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′

中，利用正弦定理可求得BB′的长度．

在△ABB′中，∠B′＝30°，

∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10 m ， 由正弦定理，得

BB ′＝AB sin 45°

sin 30°＝10×

2

21

2

＝102(m)．

∴坡底延伸10 2 m 时，斜坡的倾斜角将变为30°. 4．选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MN sin 120°

，

∴MN ＝68×3

2＝346，

∴v ＝MN 4＝172

6(海里/小时)．

5．选D 如图，连接A 1B 2，在△A 1A 2B 2中，易知∠A 1A 2B 2＝60°，又易求得A 1A 2＝302×1

3

＝102＝A 2B 2，

∴△A 1A 2B 2为正三角形， ∴A 1B 2＝10 2.

在△A 1B 1B 2中，易知∠B 1A 1B 2＝45°， ∴B 1B 22＝400＋200－2×20×102×

2

2

＝200， ∴B 1B 2＝102，∴乙船每小时航行302海里． 6．解析：如右图所示，由题意可知AB ＝33， BC ＝2， ∠ABC ＝150°. 由余弦定理，得

AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7.则A ，C 两地距离为7 km.

答案：7

7．解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，

∠ABO ＝45°，

则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：

x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin 45°sin 60°＝106

3(cm)．

答案：106

3

cm

8.解析：如图所示，B 是灯塔，A 是船的初始位置，C 是船航行后的位置，

则BC ⊥AD ，∠DAB ＝30°， ∠DAC ＝60°，则在Rt △ACD 中，

DC ＝AC sin ∠DAC ＝30sin 60°＝15 3 n mile ， AD ＝AC cos ∠DAC ＝30cos 60°＝15 n mile ， 则在Rt △ADB 中，

DB ＝AD tan ∠DAB ＝15tan 30°＝5 3 n mile ， 则BC ＝DC －DB ＝153－53＝10 3 n mile. 答案：10 3

9.解：如图所示，设观察站A 在水平面上的射影为O ，依题意OB ＝OA ·tan 30°＝

3

3

(千米)， OC ＝OA ·tan 60°＝ 3(千米)， 则BC ＝

OB 2＋OC 2－2OB ·OC ·cos 120°＝13

3

(千米)． ∴船速v ＝

133÷10

60

＝239(千米/小时)． 10．解：设甲沿直线与乙船同时到C 点， 则A 、B 、C 构成一个△ABC ， 如图，设乙船速度为v ，