七级数学上册 第1章 有理数教学参考资料素材 (新版)新人教版

第一章教学参考资料

一、有理数的含义

整数和分数统称有理数，很多学生想知道“为什么将这些数取名‘有理数’” ？要回答这个问题并不难，只需要略微多了解一点数学的发展史就可以了．

“有理数”是一个外来词，是由英语rational number 翻译而来的．rational number 的准确含义是“能表示成两个整数的比的数”，即“凡是能表示成两个整数的比的数就是有理数”，或者说“凡能用分数的形式来表示的数就是有理数”，因此，rational number 相对准确地翻译可以是“比数”，可惜的是我们的先辈并没有把rational number 翻译为“比数”，而是按照rational 一词的另一意思“有理的”，把rational number 翻译成了“有理数”，而且这种称呼一直沿用到今．如果我们的老师能给学生一些类似的解释，相信学生不会再为这个名称而苦恼．

在小学的时候，我们的学生都能把“整数表示成分母是1的分数”，而且大多数学生也都能把有限小数和循环小数表示成分数的形式．这样，整数、分数、有限小数、循环小数都属于有理数．教科书中说“整数和分数统称有理数”，其中当然包括有限小数和无限循环小数．

例 把3, 0.2, 0.3&，0.231⋅⋅

，0.231&&，0.21341&&表示成分数．

思路分析：3=13, 0.2=15，0.3&=3193＝, 0.231⋅⋅＝23177999333＝，0.231&&=229990

231－2＝990，0.21341&&＝213412199900－＝10664995． 特别提醒：把循环小数化成分数是有规律可循的．下面我们用方程的思想，借助具体的例子来总结这个规律：

设 0.231⋅⋅

＝x ……………①，现将左右两端同时乘以1000得

231. 231⋅⋅=1000 x ………②

于是，由②－①，得

231＝1000 x- x

即 999x ＝231 故 x =

231999

, 约分，得 x ＝77333．

可见0.231⋅⋅转化成分数是231999

．于是在此基础上给出纯循环小数化为分数的一般方法就不困难了．请老师引导学生，尽量让学生自已从中归纳得出相应的一般方法来．

设0.231

y =&&，则有 10y =2.31&&……………①

1000y =231. 31&&………②

由②－①得

1000y -10 y =231-2

即 y=

229990

231－2＝990． 可见0.231&&转化成分数是229990231－2＝990，在此基础上给出混循环小数化为分数的一般方法是不困难的．请老师们引导学生自己去归纳．

二、任意两个有理数之和、差、积、商仍为有理数

证明：因有理数都可以表示成两个整数的比的形式，故不妨设n a m =

， l b k

=， 其中m ，n ，k ，l 均为整数，且(m ，n )=1，(k ，l )=1，于是n l nk ml a b m k mk

++=+=． 由于m ，n ，k ，l 均为整数，因此nk ＋ml 与mk 均为整数，故nk ml mk +必为有理数，故a b +为有理数

对于两个有理数之差、积、商仍为有理数，可以用类似方法证明，这里从略．

三、 任意两个有理数之间都存在着无穷多个有理数

证明：假设任意两个有理数a 、b ,设a ＜b ，它们之间仅有有限个有理数，不妨设仅有n 个有理数，这n 个有理数按从小到大的顺序排列依次是a ＜c 1＜c 2＜c 3＜c 4＜…＜c n ＜b ．

由于任意两个有理数之和与积仍是有理数，因此当c n 是有

理数，b 是有理数时，2n c b +也是有理数，而且a ＜c n ＜2

n c b +＜b ．

即在有理数a 与b 之间找到了另外一个不同于c 1＜c 2＜c 3＜

c 4＜…＜c n 的第n ＋1个有理数2n c b +，而这正好与假设矛盾． 因此，任意两个有理数之间都存在着无穷多个有理数．

四、 按要求，数正方形

图

2

图1

1． 在图1中，所有正方形的个数是多少？

思路分析：要把图中的正方形数清楚，显然以边长的不同数值来分类进行统计要方便一些．

解：图1中，设边长最小的正方形的边长为1，则边长为1的正方形共有42

＝16个；边长为2的正方形共有32＝9个；边长为3的正方形共有22＝4个；边长为4的正方形仅有12＝1个．

于是图1中所有正方形，一共有12＋22＋32＋42＝30个．

2． 在图2中，以图中各点为顶点一共能画出多少个正方形？

思路分析：本题与第1题相比，略有不同．在本题中，除了第1题所涉及到的正方

等几种新的情形．

解：由1可知，边长为1的正方形共有42＝16个；边长为2的正方形共有32＝9个；边长为3的正方形共有22＝4个；边长为4的正方形有12＝1个．

的正方形共有32＝9个，如图3

有2×22＝8个，如图4

2个，如图5所示；边长为

的正方形1个，如图6所示．

故图2中所有满足条件的正方形一共有30＋9＋8＋2＋1＝50个．

特别提醒：这里的两个问题从本质上说并不难，但是对初一的学生来说，要能够把其中所有的正方形都按要求一一数清楚，可不是一件容易的事．因此，老师需要引导学生按“类”去数每个图中可能有的正方形．这样做的目的在于逐渐渗透“分类讨论的数学思想”，为学生的后续学习作铺垫．

等数，可以根据学生的实际可能来处理，只要学生能认识它们是一些正方形的边长即可，不必在此向学生介绍这些无理图6

图5图3图

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