2021-2022年高一数学下学期第二次间周考试题

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北京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

北京师大附中2021-2022学年（下）高一期中考试数学试卷班级________姓名________学号________考生须知1．本试卷有三道大题，共6页．考试时长120分钟，满分150分．2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效．3．考试结束后，考生应将答题纸交回．一、选择题（每小题4分，共40分，每题均只有一个正确答案）1．若角α的终边经过点(2,4)P-，则tanα=（）A．12-B．12C．2D．2-2．已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a ，b 的夹角为（）A．45︒B．60︒C．90︒D．135︒3．已知||1a=，||b=，且1ab⋅=，则|2|a b-=（）A．3B C．5D．94．要得到函数2sin23y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需把函数2sin2y x=的图象（）A．向左平移3π个单位B．向右移3π个单位C．向左平移6π个单位D．向右平移6π个单位5．已知tan3α=-，则2sin cos2sin cosαααα-+的值为（）A．57B．57-C．75D．75-6．“sin sinαβ=”是“2kαβπ=+，k∈Z”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．化简cos(2)sin()sin 2πααπα--⎛⎫+ ⎪⎝⎭的结果为（）A ．tan αB ．cos αC ．sin αD ．sin α-8．在锐角中,设sin sin ,cos cos x A B y A B =⋅=⋅,则,x y 的大小关系为A ．x y≤B ．x y≥C ．x y>D ．x y <9．设函数()sin(cos )f x x x =，下列命题中真命题的个数为（）①()f x 是奇函数；②当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；③()f x 是周期函数；④()f x 在无数个零点；⑤()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．在矩形ABCD 中，22AB BC ==，动点M 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AM BD ⋅的取值范围为（）A ．[5,1]--B ．[5,1]-C．[31]-+-D．[3-+-二、填空题（每小题5分，共25分）11．已知扇形的圆心角为120°，扇形的面积为3π，则该扇形所在圆的半径为________．12．已知5sin cos 4αα-=，则sin 2α=________．13．23sin 502cos 20-︒=-︒_______.14．如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 是线段AB 的靠近点B 的一个三等分点，若边DC上存在点F ，使得EA EF λ⋅=成立，则λ的一个符合题意的值为________．15．声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．技术人员获取某种声波，其数学模型记为()H t ，其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由1S ，2S 两种不同的声波合成得到的，1S ，2S 的数学模型分别记为()f t 和()g t ，满足()()()H t f t g t =+．已知1S ，2S 两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个：①sin2y t π=；②sin 2t y π=；③y sin 3t π=；④y 2sin 3t π=．则1S ，2S 两种声波的数学模型分别是________．（填写序号）三、解答题（共6小题，共85分．解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程）16．已知向量a →＝（1，2），b →＝（－3，k ）．(1)若a →∥b →，求b →的值；(2)若a →⊥（a →＋2b →），求实数k 的值；(3)若a →与b →的夹角是钝角，求实数k 的取值范围．17．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，其中712π是()f x 的一个零点．(1)求()f x 的最小正周期及解析式；(2)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．18．据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，x 为月份.已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元.（1）求f (x )的解析式；（2）求此商品的价格超过8万元的月份.19．设函数()4cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ．(1)求()f x 的单调递减区间；(2)若曲线()y f x =的对称轴只有一条落在区间[0,]m 上，求m 的取值范围．20．已知函数()4sincos (0)223xx f x m ωωπω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭．在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m 值的两个条件作为已知．(1)求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若函数()f x 在区间[0,]a 上是增函数，求实数a 的最大值．条件①：()f x 最小正周期为π；条件②：()f x 最大值与最小值之和为0；条件③：(0)2f =．21．已知集合{1,2,,}S n =⋅⋅⋅（3n ≥且*n ∈N ），{}12,,,m A a a a =⋅⋅⋅，且A S ⊆．若对任意i a A ∈，(1)j a A i j m ∈≤≤≤，当i j a a n +≤时，存在(1)k a A k m ∈≤≤，使得i j k a a a +=，则称A 是S的m 元完美子集．(1)判断下列集合是否是{1,2,3,4,5}S =的3元完美子集，并说明理由；①1{1,2,4}A =；②2{2,4,5}A =；(2)若{}123,,A a a a =是{1,2,,7}S =⋅⋅⋅的3元完美子集，求123a a a ++的最小值；(3)若{}12,,,m A a a a =⋅⋅⋅是{1,2,,}S n = （3n ≥且*n ∈N ）的m 元完美子集，求证：12(1)2m m n a a a ≥+++⋅⋅⋅+．。

甘肃省兰州第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

兰州一中2021-2022-2学期期中考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.总分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一．单选题（共8小题，每小题5分）1．已知向量a ,b ，且AB =a +2b ，BC =-5a +6b ，CD =7a -2b ，则一定共线的三点是（）A ．A ，B ，DB ．A ，B ，CC ．B ，C ，DD ．A ，C ，D2.已知sin α-sin β=1，cos α-cos β=-22，α，β∈(0,π)，则α-β=（）A.-π3B.-π32C ．πD ．±π36333.下列命题中是真命题的有（）A.一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同；B.有A 、B 、C 三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则样本容量为30；C.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲；D ．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的80%分位数为4.4.已知向量a ，b 满足a =4,b =(1,22)，且(a +2b )⊥(3a -b )．则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．πB ．πC ．2πD ．5π63365.从2，3，5，7这四个数中任取三个数组成无重复数字的三位数，则这个三位数是奇数的概率为（）A.13B.23C.34D.566．2cos20︒-cos40︒=（）2sin 40︒A.32B.12C ．D ．137.已知i ,j 为互相垂直的单位向量，a =-i +2j ,b =3i -(λ-4)j ，且a 与a -b 的夹角为锐角，则λ的取值范围为（）3⎝A ．(0,+∞)B ．(0,10) (10,+∞)C ．(-∞,0)D ．(-∞,-2) (-2,0)8.函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω>0)在区间⎡π,π⎤上单调递减,则实数ω的取值范围是（）A ．⎡1,1⎤B ．⎛0,1⎤⎢⎣2⎥⎦C ．⎡1,5⎤D ．(0,1]⎢⎣2⎥⎦2⎥⎦⎢⎣24⎥⎦二．多选题（共4小题，每小题5分，有漏选得3分，有错选得0分）9．已知事件A ,B ，且P (A )=0.4，P (B )=0.3，则（）A ．如果B ⊆A ，那么P (A B )=0.4,P (AB )=0.3B.如果A 与B 互斥，那么P (A B )=0.7,P (AB )=0C.如果A 与B 相互独立，那么P (A B )=0.7，P (AB )=0.12D.如果A 与B 相互独立，那么P (AB )=0.42,P (AB )=0.1810.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%．下列说法中正确的有（）A ．从高中生中抽取了440人B ．每名学生被抽到的概率为1150C ．估计该地区中小学生总体的平均近视率为53%D.估计高中学生的近视人数约为4400011.下列命题中是真命题的有（）A.存在α，β，使tan (α-β)=tan α-tan βB.在∆ABC 中，若sin2A =sin 2B ，则∆ABC 是等腰三角形C.在∆ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件D.在∆ABC 中，若cos A =5，cos B =3则cos C 的值为631356512.在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的对边分别为a ，b ，c ，下列命题中正确的是（）A.若A >B >C ，则sin A >sin B >sin CB.若a =40，b =20，B =25︒，则满足条件的∆ABC 有且仅有一个C.若a =b cos C ，则∆ABC 是直角三角形D.若∆ABC 为锐角三角形，且cos 2A -3sin A +2=0.若b +c =6，则∆ABC 外接圆面积的最小值为9π363第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题（共4小题，每小题5分）13.已知数据x ,x ,x , ,x 的方差为8，则数据1x +5,1x +5,1x +5, ,1x +5的方123n差为.2122232n14．已知sin ⎛π+α⎫=2，则cos ⎛2π-2α⎫= .⎪ ⎝⎭⎝3⎪⎭⎡π⎤15.关于x 的方程3sin x cos x +cos 2x =k +1在x ∈⎢⎣0,2⎥⎦上有两个解，则实数k 的取值范围为．16.设|AB |=20，若平面上点P 满足，对于任意t ∈R ，有|AP -t AB |5，则PA ⋅PB 的最小值为．四、解答题17．（10分）如图，在∆ABC 中，AD =1AB =1，AC =2，∠BAC =60︒，点E 是CD 的中点，3记AB =a ，AC =b ．(1)用a ,b 表示CD ,AE ；(2)求∠AED 的余弦值．18．甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢3局的学校获胜，比赛结束）．约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后进行女生排球比赛．按照以往比赛经验，在21男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为3，乙校获胜的概率为3，在女生排球比赛中，每12局甲校获胜的概率为3，乙校获胜的概率为3，设各局比赛相互之间没有影响且无平局．(1)求恰好比赛3局，比赛结束的概率；(2)求甲校以3:1获胜的概率．19．2021年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的数3学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组[65，70），第二组[70，75），第三组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a 的值以及这100人中测试成绩在[80，85）的人数；(2)估计全市老师测试成绩的平均数（同组中的每个数据都用该组区间中点值代替）和中位数（保留两位小数）；(3)若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，并在这6人中再抽取2人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率．20．已知函数f (x )=-1+23sin x cos x +2cos 2x ．(1)求函数f (x )的单调减区间；(2)当x ∈⎡-7π,5π⎤时，求函数f (x )的值域．⎣⎢1212⎥⎦21.如图所示，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处-1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船，奉命以20海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以20海里/小时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间．22.已知∆ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且(2a -b )cos C =c cos B (1)求角C ；(2)若a =2,b =3,CD 为角C 的平线，求CD 的长；(3)若a cos B +b cos A =4，求锐角∆ABC 面积的取值范围.3高一期中考试数学答案参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ACACCABC二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABDACDACACD三．填空题（共4小题）13．2.114.9-．115.0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．16．-75．四．解答题（共6小题）17．【答案】(1)13CD b a =-+ ，A E 1126b a =+ .217【解析】(1)根据题意，利用向量的加法的线性运算，直接计算即可.(2)根据题意，得3AB a == ，2AC b == ，且cos 603a b a b ⋅=⋅⋅︒= ，由(1)得，13CD b a =-+ ，A E 1126b a =+，所以，可以分别求出,,CD AE AD ，然后，直接利用余弦定理即可求出AED ∠的余弦值(1)因为E 是CD 的中点，113AD AB ==，所以，13AD AB = ，∴CD CA AD =+1133AC AB b a =-+=-+ .111()226AE AC AD AC AB =+=+ 1126b a =+.(2)在ADC 中，113AD AB ==，2AC =，60BAC ∠=︒，所以，3AB a == ，2AC b == ，且cos 603a b a b ⋅=⋅⋅︒=，所以，211()33CD b a b a =-+=-+ 12943393=⨯+-⨯，21111111117()493126264366422AE b a b a =++=⨯+⨯+⨯=++= E 是CD 的中点，所以，32DE =.因此，在ADE 中，32DE 72AE =，1AD =，利用余弦定理得，2227c 731os 21442212AE DE AD AED AE DE +-+-==⋅∠⋅18.【答案】(1)29(2)427【解析】（1）分甲校获胜和乙校获胜两种情况讨论，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分两种情况讨论：①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜；②前两局男排比赛中甲1胜1负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，利用独立事件与互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.(1)解：恰好比赛3局，比赛结束的情况有：甲校获胜，概率为1221433327P =⨯⨯=，乙校获胜，概率为2112233327P =⨯⨯=，∴恰好比赛3局，比赛结束的概率1242227279P P P =+=+=．(2)解：甲校以3:1获胜的情况有：①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜，概率为：23221833381P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭；②前两局男排比赛中甲1胜1负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，概率为14221114C 333381P =⨯⨯⨯⨯=，∴甲校以3:1获胜的概率34844818127P P P '=+=+=．19.【答案】(1)0.04a =;20；(2)77.25分,76.67分(3)35【解析】（1）根据频率之和为1，可求得a 的值，根据频数的计算可求得测试成绩在[80，85）的人数；（2）根据频率分布直方图可计算中位数，即可求得第50%分数位；（3）列举出所有可能的抽法，再列出第四组至少有1名老师被抽到可能情况，根据古典概型的概率公式求得答案.(1)由题意得：5(0.010.020.060.07)1a ⨯++++=，解得0.04a =；这100人中测试成绩在[80，85）的人数为1000.04520⨯⨯=（人）；(2)平均数为：(67.50.0172.50.0777.50.0682.50.0487.50.02)577.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（分），设中位数为m ,且7580m ≤≤，则0.050.35(75)0.060.5m ++-⨯=，解得76.67m ≈，故第50%分数位76.67分；(3)第三组频率为50.060.3⨯=，第四组频率为50.040.2⨯=，第五组频率为50.020.1⨯=，故从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，三组人数为3人，2人和1人，记第三组抽取的人为123,A A A ，,第四组抽取的人为12B B ，,第五组抽取的人为1C ,则抽取2人的所有情况如下：121311121123212221313231121121,,,,,,,,,,,A A A A A B A B A C A A A B A B A C A B A B A C B B B C B C ，，，共15种，其中第四组至少有1名老师被抽到的抽法有111221223132121121,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B B B B C B C 共9种，故第四组至少有1名老师被抽到的概率为93155P ==.20.【【答案】(1)单调减区间是2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z∈(2)[]22-,【解析】（1）先对函数化简变形得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈可求出函数的减区间，（2）由75,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得[]2,6x πππ+∈-，再利用正弦函数的性质可求出函数的值域(1)()2123cos 2cos f x x x x =-++，cos 232x x =，2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，所以函数的单调减区间是2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；(2由75,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得[]2,6x πππ+∈-，所以1sin 216x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以22sin 226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以函数的值域为[]22-,21．【答案】缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要620小时.【解析】在ABC 中，由余弦定理求得BC ，由正弦定理求得ABC ∠，在BCD △中，由正弦定理求得∠BCD ，得BD ，由速度公式可得时间．【详解】设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获（在D 点）走私船，则3CD t =海里，BD =20t 海里．在ABC 中，由余弦定理，有222222cos (31)22(31)BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=-+--1262⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭则6=BC 又sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，2sin 26ABC ∴∠=，∴∠ABC =45°，故B 点在C 点的正东方向上．∴∠CBD =90°+30°=120°，在BCD △中，由正弦定理得，sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，sin 1sin 2203BD CBD BCD CD t⋅∠∴∠===，∴∠BCD =30°，则缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．又在BCD △中，∠CBD =120，∠DCB =30°，∴∠CDB =30，6BD CB ==.206BD t ==620t =故缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要620小时．22．【答案】(1)3π(2)635(3)83,433⎛⎝(1)解：由()2cos cos a b C c B -=及正弦定理得()2sin sin cos sin cos A B C C B -=所以()2sin cos sin sin A C B C A =+=∴sin 0A ≠，∴1cos 2C =∵0C π<<，∴3C π=(2)解：设CD x =由+= ACD BCD ABC S S S 得111113326222222x x ⋅⋅+⋅⋅=⨯⨯.解得635x =CD 的长度为635(3)解：设ABC 外接圆半径为R ，由cos cos 4a Bb A +=2sin cos 2sin cos 4R A B R B A +=，即2sin 4R C =，即42sin sin cR C C==，∴4c =所以ABC 的面积13sin 24S ab C ab==∵4sin sin 32b a B A =83sin 3a A =，83sin 3b B =∴1632sin 33S A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭16322sin cos sin 333A A A ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭16331sin 322A A A ⎫=+⎪⎪⎝⎭216331cos sin 322A A A ⎫=+⎪⎪⎝⎭163311cos23444A A ⎫=-+⎪⎪⎝⎭8343sin 2363A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵02A π<<，02B π<<，23A B π+=，∴2032A <-<ππ，∴62A ππ<<，∴52666A πππ<-<，∴1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，∴8333S ⎛∈ ⎝。

四川省成都市新都一中2021-2022学年高一下学期期中联考模拟数学试卷(二)

四川省成都市新都一中高2021级第二期期中联考模拟02数学试卷一、单选题1．已知04πα<<，且1sin ,cos ,tan a b c ααα===，则（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．c a b>>2．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若10b =，6A π=，且ABC 有唯一解，则a 的取值情况是（）A ．5a =B ．5a =或者10a ≥C ．510a ≤≤D ．不确定3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弧长等于8m 3π的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据3 1.73≈）（）A ．26m B ．29m C ．212m D ．215m 4．用分期付款的方式购买一件电器，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元及欠款的利息，月利率为1%，则买这件电器实际花（）．A ．1105元B ．1255元C ．1305元D ．1405元5．数列{}n a 中，12a =，21n n a a +=，则下列结论中正确的是（）A ．数列{}n a 的通项公式为2n n a =B ．数列{}n a 为等比数列C ．数列{}ln n a 为等比数列D ．数列{}ln n a 为等差数列6．已知向量a ，b 的夹角为120︒，1a b ==r r ，c 与a b +同向，则a c - 的最小值为（）A ．1B ．12C ．34D ．327．如图，在ABC 中，2AD DB =，AE EC =，CD 交BE 于F ，设AB a =，AC b = ，则AF =（）A ．1133a b+ B ．1255a b+C ．2355a b+ D ．1134a b+ 8．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()()()sin sin sin a b A B b c C +-=+，7a =，则该三角形的外接圆直径为（）A ．14B ．7CD9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S，满足121,3,2)a a n ===≥，则2022a =（）A ．4043B ．4042C ．4041D ．404010．在数列{}n a 中，11a =，142n n S a +=+，则2019a 的值为()A ．20207572⨯B ．20197572⨯C ．20187572⨯D ．无法确定11．数列{}n a 中，11a =，10(2)n n a a n n ---=≥，12111222n n S a a a =+++ .当99100n S =时，n 等于（）A ．98B ．99C ．100D ．10112．设数列{}n a 满足15a =，213a =，2126n n n na a a +++=，则下列说法不正确的是（）A ．2156n n na a a ++=-B ．n a 都是整数C ．4nn a >D ．{}n a 中与2019最接近的项是7a 二、填空题13．非零向量(sin ,2)a θ= ，(cos ,1)b θ= ，若a 与b 共线，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．14．已知数列{}n a的通项公式为n a n =n a 的最小值为___________.15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若222S =，5100S =，则10S =______.16．已知A ，B ，C ，D 是平面内四点，且(2,1),(2,1)AC BD ==- ，则AB CD ⋅的最小值为___________.三、解答题17．已知cos 410x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)求sin x 的值；(2)求tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18．已知等差数列{}n a 为递减数列，且132a a +=-，133a a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值.19．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年比上一年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设()f n 表示前n 年的纯利润（()f n =前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额）．(1)从第几年开始获得纯利润？(2)若五年后，该台商为开发新项目，决定出售该厂，现有两种方案：①年平均利润最大时，以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．问哪种方案较合算？20．已知等差数列{}n a 为3，7，11，15，….(1)求{}n a 的通项公式；(2)135，()*419N m m +∈是数列{}n a 中的项吗？为什么？(3)若m a ，()*N ,t a m t ∈是{}n a 中的项，那么23m t a a +，是数列{}n a 中的项吗？请说明理由.21．已知函数()()()()cos 0,0,f x A x A ωϕϕπ=+>∈，同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期T π=；②()f x 的图像可以由sin cos y x x =+的图像平移得到；③函数()f x 的最大值为2；④()0f =(1)请选出这三个条件并说明理由，再求出函数()f x 的解析式；(2)若曲线()y f x =的图像只有一个对称中心落在区间[]0,a 内，求a 的取值范围.22．如图，在ABC 中，1CA =，2CB =，60ACB ∠=︒．(1)求||AB uu u r ；(2)已知点D 是AB 上一点，满足AD AB λ=uuu r uu u r，点E 是边CB 上一点，满足BE BC λ= ．①当12λ=，求AE CD ⋅ ；②是否存在非零实数λ，使得AE CD ⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.四川省成都市新都一中高2021级第二期期中联考模拟02数学参考答案1．C∵04πα<<，1cos sin 0∴>>>αα，∴1cos 1tan sin c ==>ααα，∴c b a >>，故选：C 2．B由正弦定理得，sin 5sin sin b A a B B==，由ABC 有唯一解，当sin 1B =时，即90B = ∠，ABC 唯一，符合条件，可得5a =；当1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,B Ð有两个值，ABC 不唯一，不符合条件；当1sin 0,2B ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，5sin a b B =≥，故B A ∠≤∠，ABC 唯一，符合条件，可得10a ≥，故选：B 3．B如图，由题意可得：823=43AOB ππ∠=，4OA =，在Rt AOD 中，可得：3AOD π∠=，6DAO π∠=，114222OD AO ==⨯=，可得：矢422=-=，由sin43AD AO π=== 可得：弦2AD ==所以：弧田面积12=（弦⨯矢+矢221)22)292=⨯+=+≈平方米．故选：B4．B购买时付150元，欠1000元，每月付50元，分20次付清．设每月付款数构成数列{}n a ，则15010001%60a =+⨯=，()2501000501%59.5600.51a =+-⨯==-⨯，()35010005021%59600.52a =+-⨯⨯==-⨯，…∴()()600.510.560.5120n a n n n =--=-+≤≤，∴{}n a 是以60为首项，0.5-为公差的等差数列，∴()20201915020600.515012552S ⨯+=⨯+⨯-+=，∴买这件电器实际花1255元．故选：B 5．C数列{}n a 中，12a =，21n n a a +=，则22212a a ==，222432(2)2a a ===，显然123,,a a a 不成等比数列，A ，B都不正确；依题意，1ln ln 20a =>，由21n n a a +=两边取对数得：1ln 2ln n n a a +=，因此，数列{}ln n a 是首项为ln 2，公比为2的等比数列，C 正确，D 不正确.故选：C 6．D1a b ==r r Q ，向量a ，b 的夹角为120︒，c 与a b +同向，a ∴r 与c的夹角为60︒．又a c -=故mina c-=．故选；D 7．B因为2AD DB =，AE EC =，所以11,32AD AB AE AC == ，因为,,D F C 三点共线，所以1(1)(1)3AF AD AC AB AC λλλλ=+-=+- ，因为,,E F B 三点共线，所以1(1)(1)2AF AB AE AB AC μμμμ=+-=+- ，所以1311(1)2λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得31,55λμ==，所以1255AF AB AC =+，故选：B8．D由已知，()()()sin sin sin a b A B b c C +-=+，由正弦定理可得：()()()a b a b b c c +-=+，化简得：222b c a bc +-=-，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，又因为ABC 中，(0,π)A ∈，所以2π3A =，所以2πsin sin3A =设三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：2sin 3a r A ==，故选：D.9．A由2)n =≥知：为等差数列，1==2==，则公差1d =，n =，故2n S n =，则21(1)n S n -=-(2)n ≥，可得221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，而11a =也满足，所以21n a n =-，则20222202214043a =⨯-=.故选：A 10．A∵11a =，142n n S a +=+，∴212142S a a a =+=+，解得25a =.∵142n n S a +=+，∴2142n n S a ++=+，两式相减得，2144n n n a a a ++=-，∴()211222n n n n a a a a +++-=-，∴{}12n n a a +-是以212a a -＝3为首项，2为公比的等比数列，∴11232n n n a a -+-=⨯，两边同除以12n +，则113224n n n n a a ++-=，∴2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以34为公差，11122a =为首项的等差数列，∴()133112244n n a n n -=+-⨯=，∴()23123124nn n n a n --=⨯=-⨯，∴()20172020201932019127572a =⨯-⨯=⨯.故选：A.11．B由10(2)n n a a n n ---=≥，得1(2)n n a a n n --=≥，()()()()n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-21213431 ()n n n =+++++=+1123412.当1n =时，此式也满足1a ，故数列{}n a 的通项公式为：()n a n n =+112.()n a n n n n ∴==-+⨯+1111121212121111111112222231n n S a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++.又因为99100n S =，所以991100n n =+，解得99n =.故选：B.12．C易知当2n =时，22134a =<，可知C 不正确.依题意，可得2216nn n n a a a ++-=，则335a =.所以2312+++-n n n a a a ()122166+++==-n n n n a a a ，223112266n n n n n n a a a a a a ++++++=+，()()1312266++++++=+n n n n n n a a a a a a ，又0n a ≠，所以3122166n n n nn n a a a a a a +++++++=，令216n nn n a a b a +++=，所以{}n b 为常数列，又31265a a a +=，即2156n n n a a a ++=-，所以A ，B 正确.由2156n n n a a a ++=-，()211232n n n n a a a a +++-=-或()211323n n n n a a a a +++=--，又2123a a -=，2132a a -=-，所以{}12n n a a +-是首项为3，公比为3的等比数列，{}13n n a a +-是首项为2-，公比为2的等比数列.故123n n n a a +-=，132+-=-nn n a a ，所以两式相减得23n nn a =+，所以6793a =，72315a =，D 正确.故选：C.13．13解：∵非零向量a 与b共线，∴sin 2cos θθ=，显然cos 0θ≠，所以tan 2θ=，∴tan 11tan()41tan 3πθθθ--==+．故答案为：1314．1因为n n n a n+===易知数列{}n a为递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1a，即最小值为1故答案为：115．350方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则2151222,510100,S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得18,6,a d =⎧⎨=⎩所以10110810963502S =⨯+⨯⨯⨯=.方法二：设2n S An Bn =+，则254222,255100,S A B S A B =+=⎧⎨=+=⎩解得3,5,A B =⎧⎨=⎩所以210310510350S =⨯+⨯=.故答案为：350．16．4-设(,)A x y ，(,)B m n ，则(2,1)C x y ++，(2,1)D m n -+，所以(,)AB m x n y =-- ，(4,)CD m x n y =---，则2222()4()()(2)()4AB CD m x m x n y m x n y ⋅=---+-=--+--，当2m x -=，n y =时AB CD ⋅的最小值为4-.故答案为：4-17．(1)因为x ∈(π2，3π4)，所以x －π4∈(π4，π2)，于是sin(x －π4)，则sin x ＝sin[(x －π4)＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x－π4)sin π4＝10×2＋10×2＝45．(2)由(1)知，4sin 5x =，因为x ∈(π2，3π4)，所以cos x35，所以tan x =43-，则22tan 24tan 21tan 7x x x ==-，所以tan 2tan314tan(24171tan 2tan 4x x x πππ++==--⋅.18．(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=，且0d <.由132a a +=-，133a a =-，解得11a =，33a =-（13a =-，31a =不合题意，舍去）.由3123a d =+=-，解得2d =-.从而()()11232n a n n =+-⨯-=-.(2)由（1）可知32n a n =-，所以()213222n n n S n n +-⎡⎤⎣⎦==-.由35k S =-，可得2235k k -=-，即22350k k --=，解得7k =或5k =-.又*k N ∈，故7k =.19．(1)由题意，知每年的经费构成了以12为首项，4为公差的等差数列，则()()215012472240722n n f n n n n n -⎡⎤=-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦，获得纯利润就是要求()0f n >，即2240700n n -+->，解得218n <<．又*n N ∈，故从第三年开始获得纯利润；(2)①年平均利润为()23640216216f n n n n ⎛⎫=-+=-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当6n =时取等号，故此方案获利61648144⨯+=（万美元），此时6n =．②()()2224072210128f n n n n =-+-=--+，当10n =时，()max 128f n =．故此方案共获利12816144+=（万美元）．比较两种方案，在获利相同的前提下，第①种方案只需六年，第②种方案需要十年，故选择第①种方案．20．(1)设数列{}n a 的公差为d ，依题意有13a =，734d =-=，∴()34141n a n n =+-=-.(2)令41135n a n =-=，得34n =，∴135是数列{}n a 的第34项；∵()419451m m +=+-，且*N m ∈，∴419m +是数列{}n a 的第()5m +项.(3)∵m a ，t a 是数列{}n a 中的项，∴41m a m =-，41t a t =-，∴()()()2324134142311m t a a m t m t +=-+-=+--，∵*231N m t +-∈，∴23m t a a +是数列{}n a 的第()231m t +-项.21．(1)由题意知条件②：sin cos )4y x x x π=+=+，与③矛盾，故②③不能同时成立，则①④必满足，所以T π=，所以22πωπ==，故排除②，所以()cos()(0,2f x A x A πωϕϕ=+><同时满足①③④．所以2A =，2ω=，此时()2cos(2)f x x ϕ=+，因为(0)f =，所以2cos ϕ=即cos 2ϕ=，因为(0,)ϕπ∈，所以6π=ϕ，所以()2cos(2)6f x x π=+；(2)令262x k πππ+=+，k Z ∈，解得26k x ππ=+，所以()f x 的对称中心是(,0),26k k Z ππ+∈，因为曲线()y f x =只有一个对称中心落在区间[0，]a 内，所以263a ππ< ，所以a 的取值范围是2[,)63ππ．22．(1)解：∵AB CB CA =- ，且24CB = ，21CA = ，21cos 601CB CA ⋅=⨯⨯︒= ，∴||||AB CB CA =-=(2)解：①12λ=时，12AD AB = ，12BE BC = ，∴D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，∴12AE AC CE AC CB =+=+ ，1()2CD CA CB =+ ，∴11()22AE CD AC CB CA CB ⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭ 211112244AC CA AC CB CB CA CB =⋅+⋅+⋅+ 211112cos12022=-⨯+⨯⨯⨯︒211121cos602444+⨯⨯⨯︒+⨯=；②存在．理由如下：假设存在非零实数λ，使得AE CD ⊥ ，由AD AB λ=uuu r uu u r ，得()AD CB CA λ=- ，∴()CD CA AD CA CB CA λ=+=+- (1)CB CA λλ=+- ．又BE BC λ= ，∴()AE AB BE CB CA BC λ=+=-+ (1)CB CA λ=-- ，∴AE CD ⋅= 2(1)CB CB CA λλλ--⋅+ 22(1)(1)CB CA CA λλ-⋅-- 24(1)(1)(1)λλλλλ=--+---2320λλ=-+=，解得23λ=或0λ=（不合题意，舍去），所以存在非零实数23λ=，使得AE CD ⊥ .。

2021-2022学年广东省江门市高一下学期期末调研测试(二)数学试题

2021-2022学年广东省江门市高一下学期期末调研测试(二)数学试题1.实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（）A．B．2 C．3 D．2.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为A．6 B．8 C．10 D．123.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（）A．A与B为相互独立事件B．A与B互为对立事件C．A与B为互斥事件D．4.把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是A．B．C．D．5.已知，，且，则（）A．1 B．C．2 D．6. 2021年江苏进入新高考模式，数学增加了多选题，已知在多项选择题的四个选项A、B、C、D中，有多项符合题目要求．规定：全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了一些选项（选项个数大于或等于1），则其得分的概率为（）．A．B．C．D．7.已知为异面直线，平面平面.直线满足，则( )A．，且B．，且C．与相交,且交线垂直于D．与相交,且交线平行于8.向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（）A．B．C．D．9.下列式子正确的是（）A．B．C．D．10.已知某班10名男生引体向上的测试成绩统计如表所示，则下列说法正确的是（）A．这10名男生引体向上测试成绩的平均数为8.4B．这10名男生引体向上测试成绩的第25百分位数为7.5C．这10名男生引体向上测试成绩的中位数为8.5D．这10名男生引体向上的测试成绩众数为911.在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（）A．这艘船航行速度的大小为B．这艘船航行速度的大小为C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为12.如图，在三棱锥中，D，E，F分别是侧棱，，的中点．则下列结论中，其中正确的有（）A．∥平面B．平面∥平面C．三棱锥与三棱锥的体积比为1∶4D．异面直线与所成角为60°13.已知复数，是z的共轭复数，则___________．14.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______.15.甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则第4次由甲射击的概率___________．16.已知函数，若函数的最小正周期为，则__________，若，则函数的最小正周期为__________.17.如图，在正方体中，点E为的中点．(1)求证：平面；(2)若，从正方体中截去三棱锥后，求剩下的几何体的体积．18.江门市某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数：(2)若按照分层随机抽样的方法从成绩在，的两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求至少有2人的成绩在内的概率．19.已知，，，，求的值.20.甲乙两人组成“星队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．甲和乙在第一轮都猜错的概率为，“星队”在第二轮中只猜对一个谜语的概率为.（1）求，；（2）求“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的概率．21.如图，四棱锥的底面是矩形，E为侧棱的中点，侧面是正三角形，且侧面底面．(1)求证：平面；(2)当为何值时，使得？22.在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，C，S为的面积，若__________（填条件序号）（1）求角C的大小；（2）若边长，求的周长的最大值．。

辽宁省沈阳市第二中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

沈阳二中2021－2022学年度下学期期中考试高一（24届）数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为A ．3B ．5CD 2．若sin10sin100a ︒=︒，则sin 20︒=（）A ．21aa +B ．21a a -+C ．221a a +D ．221a a -+3．若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．54．已知()()tan ,1,1,2a b θ=-=- ，其中θ为锐角，若a b +与a b - 夹角为90 ，则212sin cos cos θθθ=+（）A ．1B ．1-C ．5D ．155．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．由于潮汐，某港口一天24h 的海水深度H （单位：m ）随时间t （单位：h ，024t ≤<）的变化近似满足关系式()2124sin 123H t t ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则该港口一天内水深不小于10m 的时长为（）A ．12hB ．14hC ．16hD ．18h717sinsin 918π-=（）A ．3B ．4C D ．38．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式，设ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，“三斜求积”公式表示为S =在ABC 中，若2sin 6sin a C A =，()2216a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（）A ．2B C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．如果α是第一象限的角，则α-是第四象限的角B ．如果α，β是第一象限的角，且αβ<，则sin sin αβ<C ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为23πD ．若圆心角为23π的扇形的弦长为83π10．已知平面向量()0,1a =，()2b = ，则下列说法正确的有（）A ．36a b +=B ．()()30a b a b +⋅-=-C ．向量a b + 在a上的投影向量为3aD ．向量a b + 与a 的夹角为3π11．已知不相等的复数1z ，2z ，则下列说法正确的是（）A ．若20z <，则z 是纯虚数B ．若12=z z ，则2212z z =C ．若21z =z ，则1z ，2z 在复平面内对应的点关于实轴对称D ．若22120z z ->，则2212z z >12．已知函数()()cos 206f x x πωω⎛⎫=-> ⎝⎭的最小正周期为2π，将()f x 的图象向左平移6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（）A ．()00g =B ．()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π单调递增C ．()g x 的图象关于4x π=-对称D ．()g x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上的最大值是1第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13．已知0θπ<<，向量2sin ,2cos 2a θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()1,sin θ= b ，且a b ∥ ，则θ＝______________．14．一艘轮船向正东方向航行，在A 处看，灯塔B 在船的北偏东60 方向上，航行30千米后到达C 处，在C 处看，灯塔B 在船的北偏西75 方向上，则此时船与灯塔B 之间的距离是______千米．15．设复数1z ，2z 满足122z z ==，且12z z +=，其中i 为虚数单位，则12z z -=________.16．设函数()66sincos 55kx kxf x =+，其中k 是一个正整数，若对任意实数a ，均有(){}(){}1f x a x a f x x R <<+=∈，则k 的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知平面向量a ，b 满足()1,3a =，2b = ．(1)若//b a，求b 的坐标；(2)若()()25a b a b +⊥- ，求32a b - 的值．18．已知1sin cos 8αα=，且ππ42α<<．(1)求cos sin αα-的值；(2)求()()()()()π11πsin 2πcos πcos cos 229πcos πsin 3π2sin πsin 2αααααααα⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫--+--+ ⎪⎝⎭的值．19．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，向量()m b = 与()cos ,sin n B A =r共线．(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，ABC 外接圆面积为16π3，求ABC 内切圆的半径．20．已知()1sin cos sin 23234f x x x x ππ⎛⎫=++⎛⎫⎪⎝⎭+- ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)若122612x af x f ππ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+≥对任意的5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围.21．已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象如图所示.(1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()sin 4g x f x x =+，当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.22．如图，风景区的形状是如图所示的扇形OAB 区域，其半径为4千米，圆心角为60°，点C 在弧AB 上．现在风景区中规划三条商业街道DE 、CD 、CE ，要求街道DC 与OA 平行，交OB 于点D ，街道DE 与OA 垂直（垂足E 在OA 上）．(1)如果弧BC 的长为弧CA 长的三分之一，求三条商业街道围成的△CDE 的面积；(2)试求街道CE 长度的最小值．1．D 【分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.【详解】() 125i z i -=（i 是虚数单位）可得()125i z i -=解得z =本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.2．C 【分析】利用诱导公式，同角三角函数的平方关系以及二倍角公式化简求解【详解】由题0a >，()sin10sin100sin 9010cos10a a a ︒=︒=+=，又因为22sin 10cos 101+= 解得sin10==又因为21sin 202sin10cos102a a ︒==+=故选：C 3．A 【分析】设z x yi =+，得到()()22221x y ++-=，化简得到12z i --何意义计算得到答案.【详解】设z x yi =+，则()()22221z i x y i +-=++-==，即()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.()()1212z i x y i --=-+-=，表示点(),x y 和()1,2之间的距离，故()()min 12122z i r --=---=.故选：A.【点睛】本题考查了复数的模，与圆相关距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.4．A 【分析】由向量夹角为90 ，可得22()()0a b a b a b +⋅-=-=，进而求得tan 2θ=，由222221sin cos tan 12sin cos cos 2sin cos cos 2tan 1θθθθθθθθθθ++==+++代入求解即可.【详解】由()()tan ,1,1,2a b θ=-=- ，a b + 与a b - 夹角为90 ，则22()()0a b a b a b +⋅-=-=，所以2tan 150θ+-=，θ为锐角，解得tan 2θ=.222221sin cos tan 14112sin cos cos 2sin cos cos 2tan 141θθθθθθθθθθ+++====++++.故选A.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算及三角函数的基本关系，考查了利用三角齐次式进行弦化切的转化，属于中档题.5．B 【分析】利用正弦定理、余弦定理将角化为边，即可得到,a b 之间的关系，从而确定出三角形的形状.【详解】因为2cos sin sin B A C =，所以22222a c b a c ac+-⋅⋅=，所以22a b =，所以a b =，所以三角形是等腰三角形，故选：B.【点睛】本题考查利用正、余弦定理判断三角形的形状，难度一般.本例还可以直接利用()sin sin C A B =+，通过三角函数值找到角之间的联系从而判断三角形形状.6．C 【分析】由题意列出不等式，根据正弦函数的图象与性质求解即可.【详解】由题意，可知()2124sin 10123H t t ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭ππ，即21sin 1232t ⎛⎫-≥- ⎝⎭ππ，因为024t ≤<，所以22431233t -≤-<ππππ，由正弦函数图象与性质可知，2761236t -≤-≤ππππ，解得622t ≤≤，所以该港口一天内水深不小于10m 的时长为22616-=小时，故选：C 7．B 【分析】根据三角函数诱导公式及三角恒等变换公式化简即可．【详解】17sin sin 918π9sin1sin cos sincos99999πππππ-==＝49995sin)4cos()4cos 18225sinsin cos99186ππππππππ-+===．故选：B ．8．C 【分析】根据若2sin 6sin a C A =，()2216a c b +=+，得到ac 和222a c b +-，代入S =.【详解】解：因为2sin 6sin a C A =，所以26=a c a ，即6ac =，又()2216a c b +=+，所以2224a c b +-=，所以=S ，故选：C 9．AD 【分析】由象限角的概念判断A ；举反例判断B ；由扇形弧长、面积公式计算判断C ，D 作答.【详解】对于A ，α是第一象限的角，即22,Z 2k k k ππαπ<<+Î，则22,Z 2k k k ππαπ--<<-Î，α-是第四象限的角，A 正确；对于B ，令11,66ππαβ=-=，α，β是第一象限的角，且αβ<，而sin sin αβ=，B 不正确；对于C ，设扇形所在圆半径为r ，则有3r ππ=，解得3r =，扇形面积13322S ππ=⨯⨯=，C不正确；对于D ，设圆心角为23π的扇形所在圆半径为r '，依题意，4sin3r '==，扇形弧长2833l r ππ'==，D 正确.故选：AD 10．BCD 【分析】根据向量的模的坐标公式即可判断A ；根据根据数量积的坐标运算即可判断B ；根据，向量a b + 在a上的投影向量为()a b a a a a+⋅⋅ ，即可判断C ；根据向量夹角的计算公式即可判断D.【详解】解：对于A ，()a b +=，则6a b +=，故A 错；对于B，()1a b -=-- ，则()()27330a b a b +⋅-=--=- ，故B 正确；对于C ，向量a b + 在a上的投影向量为()3a b a a a a a+⋅⋅=，故C 正确；对于D,()31cos ,62a b a a b a a ba+⋅+===+，又0,a b a π≤+≤，所以向量a b + 与a 的夹角为3π，故D 正确.故选：BCD.11．AC 【分析】由题意设(),z a bi a b R =+∈，由复数的乘法运算及性质可得0,0a b =≠，即可判断A ；举出反例即可判断B 、D ；由复数的几何意义可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，设(),z a bi a b R =+∈，则22220z a b abi =-+<，则0ab =且220a b -<，所以0,0a b =≠，所以z 是纯虚数，故A 正确；对于B ，若11z =，2z i =，此时121z z ==，但221211z z =≠=-，故B 错误；对于C ，若()2,z a bi a b R =+∈，在复平面对应的点为(),a b ，则()21z =z ,a bi a b R =-∈，在复平面对应的点为(),a b -，所以1z 、2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，故C 正确；对于D ，若12z i =+，212z i =+，则2134z i =+，2234z i =-+，此时22120z z ->，但21z 、22z 的大小无法比较，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题考查了复数的分类、运算、几何意义的应用，考查了复数模的求解与应用，牢记知识点、举出合理反例是解题关键，属于中档题.12．AC 【分析】由周期求出ω，由图象变换求得()g x 的解析式并化简，然后由正弦函数的性质判断各选项．【详解】由题意222ππω=，2ω=，所以()cos(46f x x π=-，1()cos[4(]cos(4sin 4662g x x x x πππ=+-=+=-，()sin 2=-g x x ，(0)0g =，A 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎣⎦时，220,x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 2y x =递增，()g x 递减，B 错；()sin(142g ππ-=--=是最大值，C 正确；,123x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 2y x =的最小值是12-，()g x 的最大值是12，D 错；故选：AC ．13．2π【分析】由向量共线的坐标运算可得答案.【详解】因为∥ a b ，所以22sin 2cos 2θθ=，所以2224sincos 2cos 222θθθ=，因为0θπ<<，cos 02θ≠，所以21sin ,sin 222θθ==，因为0θπ<<，所以24θπ=，2πθ=．故答案为：2π.14．【分析】确定三角形ABC ∠的内角度数，根据正弦定理求得答案.【详解】由题意可知AC =30千米，30135BAC ABC ∠=∠=，，由正弦定理可得sin sin BC AC BAC ABC=∠∠，则130sin 2sin AC BAC BC ABC ⨯∠==∠千米，故答案为：15．【解析】令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果.【详解】设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=+，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=，222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=，2ac bd ∴+=-，12()()z z a c b d i ∴-=-+-===.故答案为：16．8【分析】首先化简函数，()224224345(sin cos )(sin sin cos cos cos 555555858kx kx kx kx kx kx kx f x =+-⋅+=+，根据题意最小正周期1T <，可得52k π>，即可得解.【详解】()66224224sin cos (sin cos sin cos cos )55555555kx kx kx kx kx kx kx kx f x =+=+-⋅+22222(sin cos )3sin cos 5555kx kx kx kx =+-⋅2323451sin cos 45858kx kx =-=+，若对任意实数a ，均有(){}(){}1f x a x a f x x R <<+=∈，则最小正周期1T <，即2145k π<，即52k π>，由Z k ∈，所以8k ≥，所以则k 的最小值为8.故答案为：817．(1)13,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭或13,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ (2)【分析】（1）运用向量的共线定理表示出b ，再根据模长公式建立方程求解即可；（2）根据向量垂直的等价形式求出a b ，再根据模与向量的关系式求解即可.(1)由题意设()1,3b λ= ，b λ== 12λ=±，即13,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭或13,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，(2)∵()()25a b a b +⊥- ，∴()()250a b a b +-= ，即222950a b a b --= ，即()22102139504a b ⨯+--⨯= ，故56a b = ，又a ==所以32a b -===18．(1)(2)5【分析】（1）先求()2cos sin αα-，再根据象限判断正负，即可求解。

2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期数学检测试题(解析版)

2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期数学检测试题一、单选题 1．若复数21iz =-+，则z =（）A ．2BC ．1D 【答案】B【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数模的计算公式进行求解即可. 【详解】因为22(1)11(1)(1)i z i i i i ⋅--===---+-+--，所以z ==故选：B2．在ABC 中，已知6a =，4b =，c =C =（） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．120︒【答案】C【分析】利用余弦定理的推论计算cos C 的值，进而求出C 的值.【详解】因为6a =，4b =，c = 所以2223616281cos 22642a b c C ab +-+-===⨯⨯，又()0,180C ︒∈，所以60C ︒=.故选：C .3．已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =．若λ为实数，(a λb +)∥c ，则λ＝（）. A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【分析】先求出a λb +的坐标，再由(a λb +)∥c ，，列方程可求得结果【详解】因为向量(1,2)a =，(1,0)b =，所以(1,2)(1,0)(1,2)a b λλλ+=+=+，因为(a λb +)∥c ，(3,4)c =，所以1234λ+=，解得12λ=，4．已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为182，那么原正方形的面积为（） A ．36 B ．362C ．72D ．722【答案】C【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．【详解】解：设原正方形的边长为a ，根据斜二测画法的原则可知O C a ''=，1122O A OA a ''==，高122sin 452A D O A a '''=︒==， ∴对应直观图的面积为222182a ==即272a =，故原正方形的面积为72. 故选：C.5．已知点D 是ABC 所在平面上一点，且满足12BD BC =-，则AD =（）A ．1122AB AC -B ．1122AB AC +C ．1322AB AC -+D ．3122AB AC -【答案】D【分析】根据向量的加法、减法法则运算即可得到答案．【详解】解：由题意：D 为ABC 所在平面内的一点， 12BD BC =-，所以32CD CB =所以()33312222AD AC CD AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=-故选：D ．6．瑞士著名数学家欧拉发现公式i cos isin x x x e =+（i 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.根据欧拉公式可知，2021i4πe 表示的复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由欧拉公式并结合三角函数的诱导公式进行计算，并结合复数的几何意义进行判断即可. 【详解】∵2021i 420212021cossin i cos 505sin 505i 4444πππππe ππ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22cossin i i 4422ππ=--=--， ∴2021i4πe表示的复数在复平面内对应的点22,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，位于第三象限. 故选：C.7．已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足0GA GB GC ++=，则G 点是三角形ABC 的（） A ．垂心 B ．内心C ．外心D ．重心【答案】D【分析】直接利用平面向量的线性运算和三角形重心的定义，即可判断点G 是△ABC 的重心. 【详解】因为0GA GB GC ++=，所以 GA GB GC CG +=-=.以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD 交AB 于点O .如图所示:则CG GD =，所以13GO CO =，CO 是AB 边上的中线，所以G 点是△ABC 的重心.故选：D8．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为（）A 2310 B ．298aC 232 D 210 【答案】B【分析】取11A D 中点F ，连接BE 、EF 、1C F 、1BC 、1AD ，证明出1//EF BC ，故四点B 、1C 、E 、F 共面，所以过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EFC B ，根据已知，即可求解.【详解】取11A D 中点F ，连接BE 、EF 、1C F 、1BC 、1AD ，因为11//AB C D 且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//AD BC ，E 、F 分别为1AA 、11A D 的中点，所以，1//EF AD 且11222EF AD a ==，所以，1//EF BC ，故B 、1C 、E 、F 四点共面，所以过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EFC B ，其中22EF a =，12BC a =，22152BE C F AB AE a ==+=，过点E 、F 在平面1BC FE 内分别作1BC 的垂线，垂足点分别为G 、H ，因为1BE C F =，1EBG FC H ∠=∠，12EGB FHC π∠=∠=，所以，1Rt EBG Rt FHC ≅△△，故1BG C H =，在平面1BC FE 内，因为1EG BC ⊥，1FH BC ⊥，1//EF BC ，所以，四边形EFHG 为矩形，则2GH EF ==，所以，1122BC EF BG C H -==，所以，梯形1BC FE 的高22225232244a a h BE BG ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，梯形1B CFE 的面积223219228a S a ⎫=⨯=⎪⎪⎭.故选：B.9．已知非零向量a ，b ，下列说法正确的是（）A ．若a b =，则a b =B ．若a ，b 为单位向量，则a b =C ．若a b >且a 与b 同向，则a b >D ．a b a b +≥+【答案】A【分析】根据平面向量的定义依次判断选项即可得到答案.【详解】对于A ，若a b =，则两向量的大小相等，方向相同，故a b =成立，故A 对，对于B ，若a ，b 都是单位向量，两向量的方向不定，故a b =不成立，故B 错，对C ，因为两向量不能比较大小，故C 错，对于D ，根据平面向量的三角形法则a b a b +≤+成立，故D 错，故选：A二、多选题10．下列命题正确的是（）A ．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内B ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线C ．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行D ．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行【答案】BC【分析】由公理1判断A ，由公理3判断B ，由空间中点、线、面的位置关系判断C 和D .【详解】由公理1可知，如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线一定在这个平面内，故A 错误；由公理3知，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故B 正确；因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行，即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故C 正确；一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故D 错误. 故选：BC .11．已知△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，2BD DC =，下列结论正确的是（） A ．sin 2sin C B =B ．若30B ∠=︒，则△ABC 为直角三角形C ．若60BAC ∠=︒，则△ADC 为等边三角形D ．若30BAD ∠=︒，则△ABD 为等腰三角形【答案】ABD【分析】由已知设22BD DC x ==，BAD CAD α∠=∠=，利用正弦定理即可判断A ；若30B =︒，结合已知得sin 2sin 1C B ==，可求得角C ，即可判断B ；若30BAD ∠=︒，则60BAC ∠=︒，结合sin 2sin C B =，求得△ABC 的内角，即可判断CD. 【详解】解：做出图形：由已知设22BD DC x ==，BAD CAD α∠=∠=，在△ABD ，△CAD 中，由正弦定理得sin sin AD BDB α=，sin sin AD CDC α=，两式相除得sin 2sin C BDB CD==，所以sin 2sin C B =. 对于A ，由以上可知，A 正确；对于B ，若30B =︒，结合已知得sin 2sin 1C B ==，故90C =︒，故B 正确；对于D ，若30BAD ∠=︒，则60BAC ∠=︒，所以120C B =︒-，代入sin 2sin C B =得()sin 1202sin B B ︒-=，即sin120cos cos120sin 2sin B B B ︒-︒=，即33cos sin 22B B =，所以3tan 3B =，所以30B =︒，90C =︒，故△ABD 为等腰三角形，△ADC 为直角三角形，故C 错误，D 正确. 故选：ABD.12．如图，在透明塑料制成的长方体1111ABCD A B C D -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（）A ．水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状B ．水面四边形EFGH 的面积不改变C ．棱11AD 始终与水面EFGH 平行 D ．当1E AA ∈时，AE BF +是定值【答案】ACD【分析】从棱柱的特征平面可判断A ；由水面四边形EFGH 的面积是改变的可判断B ；由11//////A D AD CB EH ，11A D ⊄水面EFGH ，EH ⊂水面EFGH ，可判断C ；由体积是定值，高BC 为定值，则底面积EABF 为定值，可判断D .【详解】根据面面平行性质定理，可得BC 固定时，在倾斜的过程中，始终有//////AD EH FG BC ，且平面//AEFB 平面DHGC ，故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A 正确；水面四边形EFGH 的面积是改变的，故B 错误；因为11//////A D AD CB EH ，11A D ⊄水面EFGH ，EH ⊂水面EFGH ，所以11//A D 水面EFGH 正确，故C 正确；由于水的体积是定值，高不变，所以底面ABFE 面积不变，即当E 在1AA 时，AE BF +是定值.故D 正确. 故选：ACD .三、填空题13．已知复数z 满足2z =，则34z i +-的最小值是______．【答案】3【分析】根据绝对值不等式a b a b a b -≤+≤+，求出34z i +-的最小值即可．【详解】∵复数z 满足2z =， ∴3434523z i i z +-≥--=-=， ∴34z i +-的最小值是3．故答案为3．【点睛】本题主要考查了不等式的应用问题，也考查了复数的运算问题，是基础题目． 14．已知向量(),1a x =，()1,2b =-，且a b ⊥，则a b -=___________.【答案】10【分析】由垂直的坐标表示求得x ，再由模的坐标运算求解．【详解】由a b ⊥得20a b x ⋅=-=，2x =，则(1,3)a b -=，所以221310a b -=+=．故答案为：10．15．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=__________．21. 【分析】利用余弦定理求出BC 的数值，正弦定理推出ACB ∠的余弦值，利用()cos cos 30ACB θ=∠+︒展开求出cos θ的值．【详解】解：如图所示，在ABC 中，40AB =，20AC =，120BAC ∠=︒，由余弦定理得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒=，所以7.BC =由正弦定理得21sin sin AB ACB BAC BC ∠∠=⋅=．由120BAC ∠=知ACB ∠为锐角，故227cos 1sin ACB ACB ∠=-∠ 故()21cos cos 30cos cos30sin sin3014ACB ACB ACB θ∠∠∠=+=-=． 21.四、双空题16．球面几何是几何学的一个重要分支，在刚海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.如图，A ，B ，C 是球而上不在同一大圆(大圆是过球心的平面与球面的交线)上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB ，BC ，CA ，由这三条劣弧组成的图形称为球面△ABC .已知地球半径为R ，北极为点N ，P ､Q 是地球表面上的两点.①若P ，Q 在赤道上，且经度分别为东经40°和东经100°，则球面△NPQ 的面积为___________.②若26NP NQ PQ ===，则球面NPQ △的面积___________. 【答案】23R π 2R π【分析】利用PQ 所在的经度求出球面三角形PNQ 面积，再利用已知可得三角形PNQ 为等边三角形，进而可以求解．【详解】解：PQ 在赤道上，且经度分别为40︒和100︒，上半球面面积为221422R R ππ⨯⨯=，球面PNQ 面积为226023603R R ππ︒⨯=︒，当26RNP NQ PQ ==PNQ 为等边三角形，根据题意构造一个正四面体N PQS -，如图所示：其中心为O ，O 是高NH 的靠近H 的四等分点，则1cos cos 3OH OH NOP HOP OP ON ∠=-∠=-=-=-，由余弦定理可得：22222221cos 223ON OP PN R PN NOP ON OP R +--∠===-⋅，解得26PN ，正好为题目所给的长度，所以球面PNQ 的面积为22144PNQS R R ππ=⨯=，故答案为：23R π；2R π．五、解答题17．如图所示，在三棱柱111ABC A B C －中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面1EFA ∥平面BCHG ．【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析【分析】（1）通过证明//BC GH 来证得,,,B C H G 四点共面. （2）通过面面平行的判定定理来证得平面1EFA ∥平面BCHG . 【详解】（1）由于,G H 分别是1111,A B AC 的中点，所以11//GH B C ，根据三棱柱的性质可知，11//BC B C ，所以//BC GH ，所以,,,B C H G 四点共面.（2）由于,E F 分别是,AB AC 的中点，所以//BC EF ，由于EF ⊂/平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，所以//EF 平面BCHG .根据三棱柱的性质可知11//,AG BE AG BE =，所以四边形1BEA G 是平行四边形，所以1//A E BG ，由于1A E ⊂/平面BCHG ，BG ⊂平面BCHG ，所以1//A E 平面BCHG . 由于11,,EF A E E EF A E ⋂=⊂平面1EFA ，所以平面1EFA ∥平面BCHG .18．已知复数()()2204332i z a a a a =-++-+（i 为虚数单位，a R ∈）为纯虚数，0z 和实数b 是关于x 的方程()232i 6i 0x x -++=的两个根.（1）求a ，b 的值；（2）若复数z 满足i z a b =+，说明在复平面内z 对应的点Z 的集合是什么图形？并求该图形的面积.【答案】（1）3a =，3b =；（2）在复平面内z 对应的点Z的集合是以原点为圆心，以为圆，18S π=.【分析】（1）根据纯虚数的定义求得a ，再根据0z 和实数b 是关于x 的方程()232i 6i 0x x -++=的两个根结合韦达定理即可求得b ；（2）设()i,,z x y x y R =+∈，根据i z a b =+，即可求得在复平面内z 对应的点Z 的轨迹，从而得出答案.【详解】解：（1）∵复数()()2204332i z a a a a =-++-+（i 为虚数单位，a R ∈）为纯虚数，∴22430320a a a a ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得3a =， ∴02i z =，由韦达定理可得，0032i 6i z b z b +=+⎧⎨=⎩，解得3b =；（2）∵复数z 满足i z a b =+，∴z =设()i,,z x y x y R =+∈，则有2218x y +=，∴在复平面内z 对应的点Z的集合是以原点为圆心，以为∴218S πr π==.19．已知ABC的面积为①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①6a =，1cos 3=-C ；条件②：A C =，7cos 9B =-. (1)b 和c 的值.(2)sin()A B -的值.【答案】(1)若选①：2b =，c =②：8b =，c =(2)若选①；若选②：2327-.【分析】若选择条件①：(1)利用同角三角函数基本关系式可求sin C 的值，利用三角形的面积公式可求a ，b 的值，进而根据余弦定理可求c 的值．(2)由正弦定理可求sin A ，sin B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，cos B 的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．若选择条件②：(1)由题意可得a c =，利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，利用三角形的面积公式可求a ，c 的值，根据余弦定理可求b 的值．(2)由正弦定理可求sin A ，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，利用两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．【详解】（1）若选择条件①：在ABC 中，∵1cos 3=-C ，∴(,)2C ππ∈，sin C∵1sin 2S ab C ==6a =，∴2b =，由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=， ∴c =若选择条件②：在ABC 中，∵A C =，∴a c =．∵7cos 9B =-，∴(,)2B ππ∈，sin B ==，∵211sin 22S ac B c ===∴a c ==由余弦定理，2222cos 64b a c ac B =+-=，∴8b =；（2）若选择条件①：由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，可得62sin sin A B =，∴sin A =sin B ， ∵,(0,)2A B π∈，∴cos Acos B ，∴sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-. 若选择条件②：由正弦定理得sin sin a b A B =，∴1sin sin 3aA B b ==， ∵(0,)2A π∈，∴cos 3A ==∴1723sin()sin cos cos sin ()3927A B A B A B -=-=⨯-=-． 20．已知向量a 与b 的夹角为34πθ=，且3a =，22b =. （1）若2ka b +与34a b +共线，求k ；（2）求a 与a b +的夹角的余弦值.【答案】（1）32；（2. 【分析】（1）可设()234ka b a b λ+=+，可得出关于λ、k 的方程组，解出这两个未知数即可得解；（2）计算出()a a b ⋅+、a b +的值，利用平面向量的数量积可求得a 与a b +的夹角的余弦值.【详解】（1）若2ka b +与34a b +共线，则存在λ，使得()234ka b a b λ+=+即()()3240k a b λλ-+-=，又因为向量a 与b 不共线，所以30240k λλ-=⎧⎨-=⎩，解得1232k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以32k =；（2）cos 36a b a b θ⎛⋅=⋅=⨯=- ⎝⎭， 222912a b a a b b +=+⋅+=- ()296cos ,35a ab a a ba ab a a b a a b ⋅++⋅-<+>====⋅++21．如图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r .（1）试确定R 与r 的关系；（2）若小圆锥､大圆锥的侧面积为1S ､2S ，球的表面积为3S ，求123::S S S ；（3）求出两个圆锥的总体积（即体积之和）与球的体积之比.【答案】（1）3R r =；（2）123::3S S S =；（3）3:8. 【分析】（1）根据题意分析出△ABC 为直角三角形，及30ABC ∠=︒，进而得到答案；（2）由题意，求出大小圆锥的母线长，进而算出它们的侧面积，再求出球的表面积，最后得到答案；（3）根据（1），求出圆锥体积之和与球的体积，进而得到答案.【详解】（1）由几何体的特征，得到△ABC 为直角三角形，由于大圆锥的轴截面为等边三角形，故30ABC ∠=︒，所以：AC R =，3BC R ，所以32BC R r == （2）球心到圆锥底面的距离12R OO =，所以小圆锥的高为22R R R -=，故小圆锥的母线长为R 3R ，所以213πS R =，2232πS R =⋅，234S πR =⋅，故123::3S S S .（3）由（1）得：两个圆锥的体积和为321232R r R ππ⋅⋅⋅=，球的体积为343R π. 故两个圆锥的体积和为32πR ；体积之比为：334:3:823R R ππ=. 22．如图，某市政府计划在长为1km 的道路AB 一侧的一片区域内搭建一个传染病预防措施宣传区.该区域由直角三角形区域ABC （ACB ∠为直角）和以BC 为直径的半圆形区域拼接而成.点P 为半圆弧上的一点（异于B ､C ），CH AB ⊥.设,62ππA θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭.（1）为了让更多的市民看到宣传内容，达到最佳宣传效果，需满足CAB PBC ∠=∠，且CA CP +达到最大值.求θ为何值时，CA CP +最大，最大值为多少？（2）为了让宣传栏达到最佳稳定性，更加耐用，需满足π3PBA ∠=，且CH CP +达到最大值.问当θ为何值时，CH CP +取得最大值.【答案】（1）3πθ=时，AC CP +的最大值为54；（2）512πθ=. 【分析】（1）由题意得BAC PBC θ∠=∠=，则cos AC θ=，2sin PC θ=，再结合平方关系及二次函数的最值即可出答案；（2）在直角△ABC 中，由1122ABC S CA CB AB CH =⋅⋅=⋅，得sin cos CH θθ=，在直角△PBC 中，sin sin 6πPC θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用三角恒等变换结合正弦函数的性质即可得出答案. 【详解】解：（1）由题意得BAC PBC θ∠=∠=，1AB =千米，则在直角△ABC 中，cos AC θ=，sin BC θ=，在直角△PBC 中，2sin sin PC BC θθ=⋅=，2cos cos 1AC CP θθ+=-++，,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当1cos 2θ=，即3πθ=时，AC CP +的最大值为54；（2）在直角△ABC 中，由1122ABC SCA CB AB CH =⋅⋅=⋅，解得sin cos sin cos 1θθCH θθ==，在直角△PBC 中，sin sin sin 326πππPC BC θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以31sin cos sin cos 2CH CP θθθθθ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故23131cos 21sin cos sin cos 222θCH CP θθθθθ-++=+11sin 22sin 2423πθθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以当512πθ=时，CH CP +.。

2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一年级下册学期第二次学情分析考试数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一下学期第二次学情分析数学试题一、单选题1．设复数z 满足（其中i 为虚数单位），则（）2i z =-z =ABC ．5DA【分析】利用复数求模长公式进行计算.=故选：A2．已知样本9，10，11，x ，y 的平均数是10xy =（）A ．93B ．94C ．95D ．96D【分析】根据平均数和标准差列方程即可求解.【详解】由题意，91011105x y++++=，解得或，()()222010108x y x y +=⎧⎪∴⎨-+-=⎪⎩812x y =⎧⎨=⎩128x y =⎧⎨=⎩∴ ；96xy=故选：D.3．设，，）1cos 662a =22tan131tan 13b =-c =A ．B ．C．D ．a b c >>a b c <<a c b<<b c a<<C【分析】利用和差公式，二倍角公式等化简，再利用正弦函数的单调性比较大小.,,a b c 【详解】，1cos 66sin 30cos 6cos30sin 6sin(306)sin 242a ==-=-= ，，22tan13tan 261tan 13b ==-sin 25c == 因为函数在上是增函数，，sin y x =()0,90 242526<<所以sin 24sin 25sin 26<<由三角函数线知：，，因为，sin 26MP = tan 26AT =MP AT <所以，所以sin 26tan 26<a c b<<故选：C.4．已知平面平面，直线平面，直线平面，，在下列说法α⊥βm ⊂αn ⊂βl αβ= 中，①若，则；②若，则；③若，则.m n ⊥m l ⊥m l ⊥m β⊥m β⊥m n ⊥正确结论的序号为（）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③D【分析】由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断①；由面面垂直的性质定理可判断②；由线面垂直的性质定理可判断③．【详解】平面平面．直线平面，直线平面，，α⊥βm ⊂αn ⊂βl αβ= ①若，可得，可能平行，故①错误；m n ⊥m l ②若，由面面垂直的性质定理可得，故②正确；m l ⊥m β⊥③若，可得，故③正确．m β⊥m n ⊥故选：D ．本题考查空间线线和线面、面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题．5．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若，则的形ABC 1cos cos b B a A -=ABC 状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形C【分析】通过正弦定理将边化为角，化简即可得结果.【详解】由正弦定理得，即，sin cos sin sin cos B A A A B =-sin sin C A =由于为三角形内角，所以.,A C C A =故选：C.6．如图正方体中，M ，N 分别是，的中点，则正确的是1111ABCD A B C D -1AD 1BD （）A ．且平面ABCD 11A D BD ⊥MN ∥B ．且平面11A D BD ⊥MN ∥11BDD B C ．与相交且平面ABCD 1A D 1BD MN ∥D ．与异面且平面1A D 1BD MN ∥11BDD B A【分析】结合线线垂直、线面平行和直线相交、异面等知识正确答案.【详解】由于平面，所以与平交，由此排除BD 选项.1N BD ∈⊂11BDD B MN 11BDD B 由于平面，平面，且，1BD ⊂11BDD B 1A D ⋂11BDD B D =1D BD ∉根据异面直线的知识可知：与是异面直线.由此排除C 选项.1A D 1BD 对于A 选项，根据正方体的性质可知，1111,,A D AD A D AB AD AB A ⊥⊥= 所以平面，所以.1A D ⊥1ABD 11A D BD ⊥由于分别是的中点，所以，,M N 11,AD BD //MN AB由于平面平面，所以平面，所以A 选项正确.MN ⊂,ABCD AB ⊂ABCD //MN ABCD 故选：A7．在△中，，E 是上一点．若，则（）ABC 2BD DC =AD 12λ=+ CE CA CB λ=A ．B ．C ．D ．16121413A【分析】根据图形可设，从而得到，根据已知条件= AE m AD (1)3m CE m CA CB =-+，即可求出的值.12λ=+ CE CA CBλ【详解】如图所示，设，=AE m AD 则1()3⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭CE CA AE CA mAD CA m CD CA CA m CB CA ，(1)3=-+m m CA CB又∵，∴，∴，12λ=+CE CA CB 12m =136λ==m 故选：．A 8．如图，在平行六面体中，点是棱上靠近的三等分点，点1111ABCD A B C D -E 1BB B 是棱的中点，且三棱锥的体积为2，则平行六面体的F 1CC 1A AEF -1111ABCD A B C D -体积为（）A ．8B ．12C ．18D ．20B【分析】首先设点到的距离为，点到平面的距离为，得到E 1AA dF 11ABB A h，11112△=A AE ABB A S S 再计算平行六面体的体积即可.1111ABCD A B C D -【详解】如图设点到的距离为，点到平面的距离为，E 1AA dF 11ABB A h 则，，1112△=⋅⋅A AE S AA d ,1=⋅ABB A S AA d 所以11112△=A AE ABB A S S ，111,1263△△-=⋅⋅=⇒⋅=A AEF A AE A AEV S h Sh 平行六面体的体积为1111ABCD A B C D -111111-=⋅ABCD A B C D ABB A S V h所以.11111212△-==⋅ABCD A A D AE B C S h V 故选：B本题主要考查几何体的体积，同时考查了三棱锥的体积，属于简单题.二、多选题9．为了了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽取了名运动员的年龄200020进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有（）A ．名运动员是总体；B ．所抽取的名运动员是一个样本；200020C ．样本容量为；D ．每个运动员被抽到的机会相等.20CD【分析】根据总体、样本、总体容量、样本容量等概念及在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会均等即可求解.【详解】由已知可得，名运动员的年龄是总体，名运动员的年龄是样本，总200020体容量为，样本容量为，在整个抽样过程中每个运动员被抽到的机会均为，2000201100所以A 、 B 错误，C 、D 正确.故选：CD.本题主要考查总体、样本、总体容量、样本容量等概念及抽样的公平性问题，属基础题.10．已知复数的实部为，则下列说法正确的是（）()()()32=-+∈z a i i a R 1-A ．复数的虚部为B ．复数的共轭复数z 5-z 15=-z iC ．D ．在复平面内对应的点位于第三象限z =z ACD首先化简复数，根据实部为-1，求，再根据复数的概念，判断选项.z a 【详解】，()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i=-+=+--=++-因为复数的实部是-1，所以，解得：，321a +=-1a =-所以，15z i =--A.复数的虚部是-5，正确；B.复数的共轭复数，不正确；z z 15z i =-+，正确；D.在复平面内对应的点是，位于第三象=z ()1,5--限，正确.故选：ACD11．下列命题中是真命题的是（）A ．在四边形ABCD 中，若，且，则四边形ABCD 是菱形0AB CD +=0AC BD ⋅= B ．若点G 为的外心，则ABC 0GA GB GC ++=C ．向量，能作为平面内的一组基底1(2,3)e =-213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．若O 为△所在平面内任一点，且满足，则△ABC ()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=为等腰三角形ABC AD【分析】A 由相反向量的定义及向量数量积的垂直表示知ABCD 是菱形，B 根据钝角三角形外心即可判断命题的真假，C 由平面内基底的性质判断真假，D 利用向量加减法的几何含义及向量数量积的垂直表示即可判断真假.【详解】A ：四边形ABCD 中，由知：线段、平行且相等，由0AB CD +=AB CD 知：对角线相互垂直，即ABCD 是菱形，真命题；0AC BD ⋅=B ：以钝角△的外心为例，显然若点G 为外心时，，假命题；ABC 0GA GB GC ++≠C ：由已知有，显然共线，所以不能作为平面内的一组基底，假命题；124e e =D ：，，若为中点，则，OB OC CB -=OB OA OC OA AB AC -+-=+ D BC 2AB AC AD += 由有，所以垂直平分，即，()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-= 0CB AD ⋅= AD BC AB AC =故△为等腰三角形.ABC 故选：AD.关键点点睛：利用相反向量的定义、向量数量积的垂直表示、平面中基底的性质、几何图形中向量加减法表示判断各选项所描述命题的真假.12．在正方体中，分别为的中点，则下列结论中1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,BC CC BB 正确的是（）A ．1D D AF⊥B ．二面角F AEC --C ．异面直线与1A G EFD ．点到平面的距离是点到平面的距离的2倍G AEF C AEF BCD【分析】由于在正方体中，，与不垂直，故与不垂直，判11//D D A A 1A A AF 1D D AF 断选项A ；过点作，交的延长线于，连接，设正方体的棱长为C CM AE ⊥AE M FM 2，，判断选项B ；取的中点，连接，则，tan FCFMC CM ∴∠=11B C H 1,A H GH //GH EF 与所成角即为直线与所成角，在中用余弦定理，判断1A GEF 1A G GH 1A GH ∠11AC G △选项C ；连接交于点，则点到平面的距离与点到平面的距离CG EF N G AEF C AEF 之比为，而∽，判断选项D.GNCN GNF △CNE 【详解】在正方体中，显然有，且在正方体1111ABCD A B C D -11//D D A A中，与不垂直，1111ABCD A B C D -1A A AF 故与不垂直，选项A 错误；1D DAF 过点作，交的延长线于，连接，由二面角的定义可知，C CM AE ⊥AE M FM 即为二面角的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则FMC ∠F AE C --1,CF CM === ，选项B 正确；tan FC FMC CM ∴∠===取的中点，连接，则，11B C H 1,A H GH //GH EF 故异面直线与所成角即为直线与所成角1A G EF 1A G GH 1A GH∠而，1A H =1A G ==GH ==故在中，由余弦定理可得11AC G △，选项C 正确；2221111cos 2A G GH A H A GH A G GH +-∠===⋅⋅连接交于点，则点到平面的距离与点到平面的距离之比为CG EF N G AEF C AEF ，而∽ GNCN GNF △CNE 故，选项D 正确.2GN GFCN CE ==故选：BCD.三、填空题13．一组数据从小到大排列，依次为，若它们的中位数与平均数相等，则2,3,4,,9,10x______.x =8【分析】先计算平均数和中位数，根据题意得出关于x 的方程，解方程得到x 的值.【详解】因为数据2,3,4，，9,10的中位数与平均数相等，所以x ，解得.423491026x x ++++++=8x =主要考查了平均数，中位数的概念和方程求解的方法．要掌握这些基本概念才能熟练解题．14．如图，某人在高出海平面方米的山上P 处，测得海平面上航标A 在正东方向，俯角为，航标B 在南偏东，俯角，且两个航标间的距离为200米，则30°60︒45︒__________米.h =200【分析】根据题意利用方向坐标，根据三角形边角关系，利用余弦定理列方程求出的值．h 【详解】航标在正东方向，俯角为，由题意得，．A 30°60APC ∠=︒30PAC ∠=︒航标在南偏东，俯角为，则有，．B 60︒45︒30ACB ∠=︒45CPB ∠=︒所以，；BC PC h ==tan 30PCAC ==︒由余弦定理知，2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-∠即，224000032h h h =+-可求得（米．200h =)故200．本题考查方向坐标以及三角形边角关系的应用问题，考查余弦定理应用问题，是中档题．15．在中．已知，为线段上的一点，且满ABC ∆2CD DB =P AD足．若的面积为，则的最小值为12CP CA mCB =+ ABC ∆3ACB π∠=CP_______．2【分析】利用A ，P ，D 三点共线可求出m ，并得到．再利用平面13=1123CP CA CB =+ 向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．CP【详解】解∵12CP CA mCB=+13(2)22CA m CD CD DB=+⋅=∵A ，P ，D 三点共线，∴，即m ．13122m +=13=∴131223CP CA CD=+⨯ 1122CA CD=+ 112223CA CB =+⨯，1123CA CB =+又∵．3ABC S ACB π=∠=∴，即CA •CB ＝8．12CA CBsin ACB ⋅∠=∴8ab =∴CP ==)CA b CB a ===令，=≥．2==故答案为2．本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．四、双空题16．若正三棱台中上底的边长为1，下底的边长为2，侧棱长为1，则它111ABC A B C -的表面积为_________，与所成角的余弦值为_______________．1AA 1BC【分析】根据题目所给边长，直接求表面积即可得解，延长交于点，111,,AA BB CC P 作中点，中点，连接，，则与1PC N AB M 11,,MN B N MB 1111//,//MB AA B N BC 1AA 所成角即为和所成角，在中解三角形，即可得解.1BC 1MB 1B N1MB N【详解】根据题意正三棱台的上下底面为等边三角形，111ABC A B C -上底面为边长为1的等边三级形，下底为边长为2的等边三角形，侧面为等腰梯形上底边长为1，下底边长为2，腰长为1，所以高h=所以面积，111122322S =⨯⨯⨯⨯延长交于点，111,,AA BB CC P 由上底的边长为1，下底的边长为2，所以分别为中点，111,,A B C ,,PA PB PC 作中点，中点，连接，1PC N AB M 11,,MN B N MB ，则与所成角即为和所成角，1111//,//MB AA B N BC 1AA 1BC 1MB 1B N 连接，在底面的投影为，为底面的中心且在上，MC P O O MC 作于，显然NH MC ⊥H //NH PO 由，23CO ==2PC=所以PO ===所以，34NHPO ==MH MOOH =+==所以，，32MN ==212APMB ==在等腰梯形上底边长为1，下底边长为2，腰长为1，11BCC B 所以，1BC =1B N =在中，，1MB N222111211cos 2MB B N MN MB N MB B N +-∠===⋅根据线线所成角的范围，则与1AA 1BC 故.本题考查了求空间几何体的表面积，考查了异面直线所成角，计算量较大，属于较难题.本题的关键点为：（1）通过平移把异面直线平移到同一平面中；（2）通过空间线面关系进行计算，是本题的核心能力.五、解答题17．已知复数满足（a ＞0，a ∈R ），且，其中为虚数单位．z i 1i ⋅=-+z a 2z z +∈R i (1)求复数；z (2)若复数，，在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求cos ∠ABC ．z 2z 2z z -(1)1iz =+【分析】（1）根据，得到，进而得到为实数求解.i 1i ⋅=-+z a i z a =+2z z +（2）化简得到复数所对应的点，进而得到向量和的坐标，然后利用向量的夹BA BC 角公式求解.【详解】(1)解：因为，i 1i ⋅=-+z a 所以，()i 1i i=--+=+z a a 则，22i i +=+++z a z a ，()22i i 1-=+++a a a ，22221i 11⎛⎫=++-∈ ⎪++⎝⎭a a Ra a 所以，22101a -=+所以，21a =又，所以，0a >1a =所以．1i z =+(2)，，()221i 2iz =+=21i z z -=-所以，，，()1,1A ()0,2B ()1,1C -所以，，()1,1BA =-()1,3BC =-．cos cos ,BA BC ABC BA BC BA BC⋅∠=<>==18．某企业员工人参加“抗疫”宣传活动，按年龄分组：第组，第组x 1[)25,302，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图[)30,353[)35,404[)40,455[]45,50所示.区间[)25,30[)30,35[)35,40[)40,45[]45,50频数5050a 150b(1)上表是年龄的频数分布表，结合此表与频率分布直方图，求正整数、、的值；x a b (2)现在要从年龄较小的第、、组中用分层抽样的方法抽取人，问：这三组应各12330取多少人？(3)若同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，根据频率分布直方图估计该企业员工的平均年龄.(1)，，500x =200a =50b =(2)这三组中抽取的人数分别为、、5520(3)41【分析】（1）计算出第组的频率，结合频率、频率和总人数之间的关系可求得的值，1x 再利用频率、频率和总人数之间的关系可求得、的值；a b （2）计算出第、、组的人数之比，结合分层抽样可计算出这三组所抽取的人数；123（3）将每个矩形底边的右端点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得结果.【详解】(1)解：第组的频率为，所以，，150.020.1⨯=505000.1x ==，50050.08200a =⨯⨯=.5000.02550b =⨯⨯=(2)解：第、、组的人数之比为，12350:50:2001:1:4=现在要从年龄较小的第、、组中用分层抽样的方法抽取人，12330第组抽取的人数为人，第组所抽取的人数为人，113056⨯=213056⨯=第组所抽取的人数为人.3430206⨯=(3)解：，300.025350.025400.085450.065500.02541x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以估计该企业员工的平均年龄为.4119．在中，角，，所对边分别为，，，且.ABC A B C a b c ()tan 2tan b A c b B=-（1）求角；A （2）若向量，，求的取值范围.()cos ,2cos m B A =20,cos 2C n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2m n -（1）；（2）.60︒【分析】（1）首先，利用正弦定理，正切化为正弦和余弦，化简得，求角；1cos 2A =（2）根据（1）的结果，得的坐标，再化简，根据角2m n - 121sin 226m n B π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ 的范围求模的范围.B 【详解】解：（1）由，及正弦定理，()tan 2tan b A c b B=-得，()sin sin sin 2sin sin cos cos A BBC B A B =-即，sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=即，()sin 2sin cos A B C A+=所以，.1cos 2A =3A π=（2），()222cos ,12cos cos ,cos cos ,cos 23C m n B B C B B π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以，22241cos 221cos 232cos cos 322B B m n B B ππ⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭-=+-=+⎪⎝⎭ 11sin 226B π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由于，得，203B π<<1sin 2,162B π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦所以.2m n -∈ 20．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 是线段PC 上的一点，．PC =()RPE EC λλ=∈(1)试确定实数，使平面BED ，并给出证明；λ//PA (2)当时，证明：PC ⊥平面BED ．2λ=(1)，证明见解析1λ=(2)证明见解析【分析】（1）作辅助线，连接AC ，可证明当E 为PC 中点时，使平面BED ，即//PA 得答案.（2）证明平面PAC ，即证明，再通过证明△PAC 与△OEC 相似，证明BD ⊥BD PC ⊥，根据线面垂直的判定定理，即可证明PC ⊥平面BED ．PC OE ⊥【详解】(1)连接AC ，且，AC BD O =若平面BED ，因为平面PAC ，平面平面，PA ∥PA ⊂PAC BED EO =所以，又因为O 为AC 中点，PA EO ∥所以E 为PC 中点，即．1λ=当时，E 为PC 中点，又因为O 为AC 中点，1λ=所以，平面BED ，平面BED ，PA OE ∥PA ⊂OE ⊂所以平面BED ．PA ∥(2)连接OE ，因为平面ABCD ，平面ABCD ，PA ⊥BD ⊂所以，在菱形ABCD 中，，PA BD ⊥AC BD ⊥又因为，PA AC A = 所以平面PAC ，平面PAC ，BD ⊥PA ⊂所以，BD PC ⊥在直角三角形PCA 中，，2PA =PC =AC =所以OC =因为，所以，所以2λ=CE =CE OC=又，故△PAC 与△OEC 相似，AC PC=CE AC OC PC =所以，PC OE ⊥又因为，，OE ，平面BED ，PC BD ⊥OE BD O = BD ⊂所以平面BED ．PC ⊥21．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ，AD ＝2，PA ＝PD E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAB ；（2）若二面角P －AD －B 为60°．①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；．【详解】试题分析：（1）要证明平面，可以先证明平面，利用线//EF PAB //EF MA 面平行的判定定理，即可证明平面；（2）①要证明平面平面//EF PAB PBC ⊥，可用面面垂直的判定定理，即只需证明平面即可；②由①ABCD PB ⊥ABCD平面，所以为直线与平面所成的角，由BE ⊥PBC FEB ∠EF PBC PB 为直角，即可计算的长度，在中，即计算直线与平面ABP ∠,AM EF Rt EBF ∆EF 所成的角的正弦值．PBC 试题解析：（1）证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM ．因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝BC ．由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ．12又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM ．又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB ．（2）①证明：如图，连接PE ，BE ．因为PA ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P －AD －B 的平面角．在△PAD 中，由PA ＝PD AD ＝2，可解得PE ＝2．在△ABD 中，由BA ＝BD AD ＝2，可解得BE ＝1．在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，由余弦定理，可解得PB 从而∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB ．又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ．又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD ．②连接BF ．由①知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB∠ABP 为直角．而MB ＝PBAMEF12又BE ＝1，故在Rt △EBF 中，sin ∠EFB ＝．BE EF 所以直线EF 与平面PBC 直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据平面，可以确定为直线与平面所成的角，可放置在BE ⊥PBC FEB ∠EF PBC 中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．Rt EBF ∆EF PBC 22．如图所示，四边形OAPB 中，OA ⊥OB ，PA +PB =10，∠PAO =∠PBO ，∠APB =，56π设∠POA =α，△AOB 的面积为.S （1）用α表示OA 和OB ；（2）求△AOB 面积S 的最大值．（1），；，；（2）π10sin()3sin cos OA ααα+=+π(0,)2α∈π10sin()6sin cos OB ααα+=+π(0,)2α∈【分析】（1）在和中分别利用正弦定理可求得，从而AOP BOP △10sin sin cos AP ααα=+得，在和中再一次分别利用正弦定理可求得OA 和10cos sin cos BP ααα=+AOP BOP △OB ；（2）由（1）表示出，50AOB S = sin cos t αα=+将上式转化为可求出结果25AOB S=π4t α=+∈【详解】解：（1）在中，由正弦定理得．AOP sin sin AP OPPAO α=∠在中，由正弦定理得．BOP △πsin sin()2BP OPPBOα=∠-因为∠PAO =∠PBO ，PA +PB =10，所以，10sin cos AP APαα-=则，．10sin sin cos AP ααα=+10sin 10cos 10sin cos sin cos BP αααααα=-=++因为四边形OAPB 内角和为2，可得∠PAO =∠PBO =，π3π在中，由正弦定理得，AOP sin sin AP OAAPO α=∠即，10πsin cos sin()3OAααα=++所以，π10sin()3sin cos OA ααα+=+π(0,)2α∈在中，由正弦定理得即，BOP △sin sin BP OBBOP BPO =∠∠cos sin BP OB BPO α=∠则，10πsin cos sin()6OBααα=++所以，．π10sin()6sin cos OB ααα+=+π(0,2α∈（2）的面积AOB ππ10sin()10sin()113622sin cos sin cos S OA OB αααααα++=⋅=⋅⋅++=．50=设，．sin cos t αα=+π)4t α+∈则50S ==150(252=当时，即时，t =π4α=S 25=所以AOB。

海南省海口市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题(A)

海口市第一中学2021-2022学年度第二学期高一年级数学科期中考试试题(A)一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|4}A x x =<，{0,1,2,3,4}B =，则A ∩B =()A.{0,1,2} B.{1,2,3}C.{2,3}D.{0,1,2,3}2.1b a >+是33b a >的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若一个平面图形的直观图是边长为2的正三角形，则该平面图形的面积为()A.64 B. C.24 D.4.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()2x f x =,则()f x 的值域为()A.[1,+∞) B.(0,1) C.(0,1] D.(-∞,1]5.函数2()2f x x a x =--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2) 6.已知3sin()63πα+=-，则2cos(2)3πα-=（）A.23- B.13- C.23 D.137.圣·索菲亚教堂(英语:SAINT SOPHIA CATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度,在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ,高为15)-m,在它们之间的地面上的点M (,,B M D 三点共线)处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15︒和60 ，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30,则小明估算索菲亚教堂的高度为()A.20mB.30mC.3mD.303m8.已知函数()2sin()(0)6f x x πωω=+>,若方程|()|1f x =在区间(0,2)π上恰有5个实根，则ω的取值范围是()A.75,63⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.513,36⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.43,32⎛⎤ ⎥⎝⎦二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数z 的共轭复数为z ，若1iz i =+,则()A.z 的实部是1 B.z 的虚部是i - C.1z i=+ D.||2z =10.设函数2log (1),2()23,2x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则以下结论正确的为()A.()f x 为R 上的增函数B.()f x 有唯一零点0x ，且012x <<C.若()5f m =，则33m =D.()f x 的值城为R11.已知0,0a b >>，且2a b +=,则()A.24a b -<B.22112a b ≥+C.lg lg a b +≤0D.23b a b +≥12.有下列4个关于三角函数的命题，其中是真命题的是()A.0003cos 1x R x x ∃∈+=B.函数44()cos sin 22x x f x =-的图象关于y 轴对称C.若,αβ都是第一象限角，且αβ>,则tan tan αβ>D.当()2sin cos f x x x =+取最大值时，5cos 5x =三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分。

陕西省西安高新第一 2021-2022学年高一下学期月考2数学试题

高一数学试题一、选择题：（共大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a =（）A.1- B.1C.3D.72.若点(1,3)和(4,2)--在直线20x y m ++=的两侧，则m 的取值范围为（）A.(,5)(10,)-∞-+∞∪ B.[5,10)- C.(5,10)- D.[5,10]-3.已知直线l 过点(2,3)P ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线l 的条数为（）A.1B.2C.3D.44.数列{}n a 满足11a =，且对任意的*,m n ∈N 都有m n m n a a a mn +=++，则1232011111a a a a ++++= （）A.201101B.400201C.200201D.1992005.在直角梯形ABCD 中，90ABC ︒∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（）A.5B.5C.10D.106.已知函数21,0,()1,0,x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是()A.B.C.(1)-D.(-7.若点(cos ,sin )P θθ在直线1x ya b+=上，则下列不等式正确的是（）A.221a b +≤ B.221a b +≥ C.22111a b +≤ D.22111a b +≥8.,,a b c 是ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，若2222022a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B =+（）A.1011B.2022C.2020D.20219.已知,x y 满足约束条件10,0,0,x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩若1y x +的最大值为2,则m 的值为（）A.4B.5C.8D.910．若M ，N 分别为圆()()221:654C x y ++-=与圆()()222:211C x y -+-=上的动点，P 为直线50x y ++=上的动点，则PM PN +的最小值为（）A.3-B.6C.9D.1211.已知,,a b c 三个数成等差数列，直线0bx ay c -+=恒过定点A ，且A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则121m n++的最小值为()A.23B.43C.2D.412.已知数列{}n a 满足113a =，21n n n a a a +=+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则12201111111a a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（共大题共4小题，每小题4分，共16分）13.已知两直线12:2)(3)50,:6(21)5l m x m y l x m y +++-=+-=（，若12//l l ，则实数m =_______.14.已知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆2220x y x +-=的公共弦所在直线的方程为0x =，则圆E 的标准方程为.15.某公司招收男职员x 名，女职员y 名，且x 和y 必须满足条件51122239,211x y x y x -≥-⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则1010z x y =+的最大值为_________.16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(2)(1)5C x y -+-=，线段AB 是圆222:(4)(2)4C x y +++=的一条动弦，且||AB =，线段AB 的中点为Q ，则直线OQ 被圆1C 截得的弦长的取值范围是.三、解答题：（本大题共5小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）如图，面积为8的平行四边形ABCD ，A 为原点，点B 的坐标为(2,1)-，点C ，D 在第一象限.（1）求直线CD 的方程；（2）若||BC =，求点D 的横坐标.18.（10分）数列{}n a 的前n 项和n S ，满足13122n n S a a =-，且13a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设32log 1n n na b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T．19.（12分）设函数()2sin 22cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC △中，若5264A f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且2CD DA = ，BD =cos ABD ∠=BC 长．20．（12分）在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB 的最小覆盖圆就是以AB 为直径的圆；②锐角三角形ABC 的最小覆盖圆就是其外接圆．已知x ，y 满足方程244x y +=，记其构成的平面图形为W ，平面图形W 为中心对称图形，()0,A t ，()2,0B ，(C ，()2,0D -为平面图形W 上不同的四点．（1）求实数t 的值及ABC △的最小覆盖圆的方程；（2）求四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程；（3）求平面图形W 的最小覆盖圆的方程．21.（12分）如图，设直线1:0l x =，2:340,l x y -=点A 的坐标为()31,4a a ⎛⎫>⎪⎝⎭．过点A 的直线l 的斜率为k ，且与1l ，2l 分别交于点M ，N （M ，N 的纵坐标均为正数）．（1）设1a =，求MON △面积的最小值；（2）是否存在实数a ，使得11OM ON+的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由．。

2021-2022学年上海市杨浦高级中学高一下学期期中数学试题(含详解)

杨浦高级中学2021学年度第二学期期中测试高一数学试卷一､填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.教室里的挂钟时间从中午12点到当天下午3点，时针转了__________弧度.2.若一扇形的圆心角为3π，弧长为2π，则该扇形的面积是________．3.已知角α的终边过点P （5，a ），且tan α＝－125，则sin α＋cos α的值为________.4.已知正方形ABCD 的边长为2，,,AB a BC b AC c ===，则a b c ++ ＝_____．5.已知1cos 3α=，3cos()3αβ-=且02πβα<<<，则cos β=_______.6.已知函数f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为________.7.已知向量a 、b，a = 2b =，且()a b a +⊥r r r ，则a 在b 上的投影为___________.8.在ABC 中，已知tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x m x +++=的两个实根，则C ∠=________．9.若函数()sin 2cos f x x x=+取最小值时x θ=，则sin θ=___________.10.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．二､选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号的空格内填写代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.11.函数()()2tan 11f x x x x =⋅-<<的图象可能是（）A.B.C.D.12.已知向量()2,0a =，1,12b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2a b += （）A.B.C. D.513.已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈ ，且112uλ+=，则下列说法正确的是,A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C 、D 可能同时在线段AB 上D.C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上14.在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（）A.43310 B.43310+ C.33410- D.43310±三､解答题（本大题共有5小题，满分48分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.15.已知函数()f x x =，()22sin 2x g x =.（1）若α是第一象限角，且()335f α=，求()g α的值；（2）求使()()f x g x =成立的x 的取值集合.16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c22cos 02A CB +-=.（1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长.17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的图像如图.（1）根据图像，求()f x 的表达式及严格增区间；（2）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围.18.探究与实践告诉我们：平面上不共线的三个点O ､A ､B ，对平面上任意一点P ，都有实数λ与μ，使得OP OA OB λμ=+，且A ､B ､P 三点共线的充要条件是1λμ+=.已知ABC 中，过重心G 的直线交线段AB 于P ，交线段AC 于Q ，设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB = ，AQ qQC =.根据阅读材料的内容，解决以下问题：（1）求证：111p q+=；（2）求12S S 的取值范围.19.定义函数()()cos sin f x x =为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：()()()cos sin cos sin f x πx πx +=+=-=⎡⎤⎣⎦()cos sin x ()f x =.可得：π也为函数()()cos sin f x x =的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究()()cos sin f x x =的单调性：函数()()cos sin f x x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是严格减函数，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上严格增函数，再结合()()πf x f x +=，可以确定：()()cos sin f x x =的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数()()f x x=为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：sin cos（1）求“余正弦”函数的定义域；（2）判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；（3）探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.杨浦高级中学2021学年度第二学期期中测试高一数学试卷一､填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.教室里的挂钟时间从中午12点到当天下午3点，时针转了__________弧度.【答案】2π-【解析】【分析】由时钟的时针在钟面上每转动一个整点的大刻度所得的度数求出中午12点到当天下午3点所转弧的度数即可得解.【详解】因时钟的时针在钟面上为顺时针转动，则每转动一个整点的大刻度所转弧的度数为30- ，从中午12点到当天下午3点，时针转了3个这样的大刻度，则时针所转弧的度数为30390-⨯=- ，所以时针转了2π-弧度.故答案为：2π-2.若一扇形的圆心角为3π，弧长为2π，则该扇形的面积是________．【答案】6π【解析】【分析】利用扇形的弧长公式求扇形的半径，进而应用扇形面积公式求其面积即可.【详解】由题意，令扇形的半径为R ，则23Rππ=，即有6R =，∴该扇形的面积是12662ππ⨯⨯=．故答案为：6π.3.已知角α的终边过点P （5，a ），且tan α＝－125，则sin α＋cos α的值为________.【答案】－713【解析】【分析】利用三角函数的定义求解.【详解】由三角函数的定义得，tan α＝5a ＝－125，∴a ＝－12，∴P （5，－12）.这时r ＝13，∴sin α＝－1213，cos α＝513，从而sin α＋cos α＝－713.故答案为：－7134.已知正方形ABCD 的边长为2，,,AB a BC b AC c === ，则a b c ++＝_____．【答案】【解析】【分析】利用向量的加法计算即可.【详解】22a b c AB BC AC AC ++=++==⨯故答案为：5.已知1cos 3α=，cos()3αβ-=且02πβα<<<，则cos β=_______.【答案】9【解析】【分析】根据题意，可知02παβ<-<，结合三角函数的同角基本关系，可求出sin α和sin()αβ-再根据[]cos cos ()βααβ=--，利用两角差的余弦公式，即可求出结果.【详解】因为02πβα<<<，所以02παβ<-<，因为1cos 3α=，所以22sin 3α==，又cos()3αβ-=，所以sin()3αβ-==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-⎣⎦133339=⨯+⨯=.故答案为：539.6.已知函数f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为________.【答案】－3【解析】【分析】由题设，结合诱导公式可得f (4)＝a sin α＋b cos β，再应用正余弦函数的周期性、诱导公式可得f (2017)＝－a sin α－b cos β即可求值.【详解】∵f (4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2017)＝a sin (2017π＋α)＋b cos (2017π＋β)＝a sin (π＋α)＋b cos (π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.故答案为：－3.7.已知向量a 、b ，a = 2b = ，且()a b a +⊥r r r ，则a 在b上的投影为___________.【答案】32-## 1.5-【解析】【分析】由已知得出()0a b a +⋅=r r r ，结合平面向量数量积的几何意义可得出a 在b上的投影.【详解】由已知可得()20a b a a b a +⋅=⋅+= ，所以，3a b ⋅=-，所以，a 在b上的投影为3cos ,2a b a a b b⋅<>==-.故答案为：32-.8.在ABC 中，已知tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x m x +++=的两个实根，则C ∠=________．【答案】34π##135︒【解析】【分析】根据根与系数关系可得tan tan A B m +=-，tan tan 1A B m =+，再由三角形内角和的性质及和角正切公式求tan C ，即可得其大小.【详解】由题设，tan tan A B m +=-，tan tan 1A B m =+，又()()tan tan tan tan tan 11tan tan A BC A B A B A Bπ+⎡⎤=-+=-+=-=-⎣⎦-，且0C π<<，∴34C π=.故答案为：34π.9.若函数()sin 2cos f x x x =+取最小值时x θ=，则sin θ=___________.【答案】55-【解析】【分析】利用三角函数的恒等变换，再利用诱导公式即可求解.【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=+=+，其中sin ϕϕ==x θ= 时取最小值，()22k k Z πθϕπ∴+=-+∈，()22k k Z πθϕπ∴=--+∈sin sin 2sin 225k cos ππθϕπϕϕ⎛⎫⎛⎫∴=--+=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：55-.10.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．【答案】13【解析】【分析】根据()f x 的对称轴，以及其单调性，初步求得ω的取值范围，再对取值进行验证，即可求得结果.【详解】由题意可得362k ωππππ+=+，Z k ∈，则31k ω=+，Z k ∈．因为()f x 在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以34162T ππ-≤，所以8T π≥，即28ππω≥，解得16ω≤，则3116k +≤，即5k ≤．当5k =时，()2sin 166f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，所以5k =，即16ω=不符合题意；当4k =，即13ω=时，()2sin 136f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以4k =，即13ω=符合题意，故ω的最大值是13．故答案为：13.【点睛】本题考察三角函数中的参数范围问题，解决问题的关键是充分挖掘函数对称性和单调性，属困难题.二､选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号的空格内填写代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.11.函数()()2tan 11f x x x x =⋅-<<的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】结合函数的奇偶性和特殊点的处的函数值的符号可得正确的选项.【详解】因为()()2tan 11f x x x x =⋅-<<，故()()()()2tan f x x x f x -=-⋅-=，故()f x 为偶函数，故排除AC.而()12tan10f =>，故排除D ，故选：B.12.已知向量()2,0a =，1,12b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2a b += （）A.B.C. D.5【答案】A 【解析】【分析】先求2a b +的坐标，再用平面向量模长的坐标运算求解即可.【详解】()21,2a b += ，所以2a b +== .故选：A.13.已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈，且112uλ+=，则下列说法正确的是,A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C 、D 可能同时在线段AB 上D.C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D 【解析】【分析】根据向量共线定理得到,,,A B C D 四点共线，再根据反证法求证，问题可逐一解决.【详解】解：由()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈，可得：,,,A B C D 四点共线，对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则12AC AB = ，则1,02λμ==，不满足112u λ+=，即选项A 错误；对于选项B ，若D 是线段AB 的中点，则12AD AB = ，则10,2λμ==，不满足112uλ+=，即选B 错误；对于选项C ，若C 、D 同时在线段AB 上，则01,01λμ<<<<，则112u λ+>，不满足112uλ+=，即选项C 错误；对于选项D ，假设C 、D 同时在线段AB 的延长线上，则1,1λμ>>，则112u λ+<，则不满足112uλ+=，即假设不成立，即C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，即选项D 正确；故选：D.【点睛】本题考查了向量共线定理，重点考查了反证法，属中档题.14.在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（）A.43310 B.43310+ C.33410- D.43310±【答案】A【解析】【分析】由三角函数的定义知x 0=cos α，因为cos α=cos 66ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，所以利用两角差的余弦公式可求.【详解】解：由题意，x 0=cos α.α∈,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，6πα+∈,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又cos(6πα+)=4532<，∴6πα+∈,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，∴sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=35-，∴x 0=cos α=cos 66ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 6π+sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 6π=43315252⨯-⨯=43310-.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是根据cos(6πα+)=452<，缩小角的范围，从而确定sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正负.三､解答题（本大题共有5小题，满分48分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.15.已知函数()f x x =，()22sin 2x g x =.（1）若α是第一象限角，且()335f α=，求()g α的值；（2）求使()()f x g x =成立的x 的取值集合.【答案】（1）15（2）11{2π,x x k k Z =∈或222π2π,}3x k k Z =+∈.【解析】【分析】（1）先求出3sin 5α=，结合α所在象限求得cos α，进而利用半角公式进行求解；（2）利用半角公式，辅助角公式求得π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而求出使()()f x g x =成立的x 的取值集合.【小问1详解】()5f αα==，解得：3sin 5α=，因为α是第一象限角，所以4cos 5α==()212sin 1cos 25g ααα==-=；【小问2详解】()()f x g x =，22sin 1cos 2x x x ==-，cos 1+=x x ，利用辅助角公式得：2πsin 16x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以11ππ2π,66x k k Z +=+∈，或22π5π2π,66x k k Z +=+∈，解得：112π,x k k Z =∈，或222π2π,3x k k Z =+∈，故使()()f x g x =成立的x 的取值集合为11{2π,x x k k Z =∈或222π2π,}3x k k Z =+∈16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 22cos 02A C B +-=.（1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长.【答案】（1）23B π=；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出B 的值．（2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果，进一步求出三角形的周长．22cos (1cos())2A CB B AC +-=-++∵A B C π++=(1cos())(1cos )B AC B B -++=--cos 12sin 106B B B π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵(0,)B π∈，∴7,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴566B ππ+=，23B π=解法2：∵A BC π++=，2222cos 2cos 2sin 222A CB B B B B π+--=-=-2cos 2sin 2sin sin 0222222B B B B B B ⎫=-=-=⎪⎭∵(0,)B π∈，∴sin02B ≠sin 022B B -=∴tan 2B =，∵0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴23B π=，∴23B π=（2）由（1）知23B π=，所以ABC 的面积为12sin 234ac ac π==16ac =因为2sin 2sin sin B A C =，由正弦定理可得2232b ac ==，b =由余弦定理222222cos ()323b ac ac a c ac π=+-⋅=+-=∴2()3248a c ac +=+=，∴a c +=所以ABC 的周长为【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图像如图.（1）根据图像，求()f x 的表达式及严格增区间；（2）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围.【答案】（1）()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，增区间为5πππ,π,1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）[-1,2].【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而可得函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性，即可求解()f x 的单调递增区间．（2）利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，根据正弦函数的定义域和值域，即可求得m 的范围．【小问1详解】根据函数()sin()(00||2f x A x A πωϕωϕ=+>>，，的图象，可得1A =，124312πππω⋅=-，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，由五点法作图，可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=，故()sin(2)3f x x π=+，令222232k x k πππππ-++ ，求得51212k x k ππππ-++ ，k ∈Z ，()f x 的单调递增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【小问2详解】将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线:sin 26C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]2sin(21,26x π-∈-，所以m 的取值范围为[]1,2-．18.探究与实践告诉我们：平面上不共线的三个点O ､A ､B ，对平面上任意一点P ，都有实数λ与μ，使得OP OA OB λμ=+ ，且A ､B ､P 三点共线的充要条件是1λμ+=.已知ABC 中，过重心G 的直线交线段AB 于P ，交线段AC 于Q ，设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB = ，AQ qQC = .根据阅读材料的内容，解决以下问题：（1）求证：111p q+=；（2）求12S S 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）41[,)92．【解析】【分析】(1)将AG 表示为xAP y AQ + 形式，根据题意可知当P 、G 、Q 三点共线时，x ＋y ＝1，据此即可证明；(2)利用三角形面积公式及(2)中结论可得1221119()24S S p =--+，由p 的范围及二次函数的性质即可求得12S S 的取值范围．【小问1详解】AP pPB = ，AQ qQC = ，∴1p AB AP p += ，1q AC AQ q+= ，∵G 是△ABC 重心，∴()21113233p q AG AB AC AP AQ p q ++=⨯⨯+=+ 由材料可知，∵P 、G 、Q 三点共线，∴11133p q p q+++=，化简即为111p q +=；【小问2详解】由(1)1p AP AB p=+uu u ruu u r ，1q AQ AC q =+ ，∴121||||sin ||||2111||||||||sin 2AP AQ BAC S AP AQ p q S p q AB AC AB AC BAC ⋅⋅∠⋅===⋅++⋅⋅⋅∠ ， 111p q +=，1p q p =-，可知1p >，∴112111p q p p p q p p -==+-+-，∴212222111111911121212()24S p q p p p S p q p p p p p p p =⋅=⋅===+++-+--++--+，1p > ，∴101p<<，则当112p =时，12S S 取得最小值49，当11p =或0时，12S S 取得最大值12， 11p≠或0，故12S S 的取值范围是41[,)92．19.定义函数()()cos sin f x x =为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：()()()cos sin cos sin f x πx πx +=+=-=⎡⎤⎣⎦()cos sin x ()f x =.可得：π也为函数()()cos sin f x x =的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究()()cos sin f x x =的单调性：函数()()cos sin f x x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是严格减函数，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上严格增函数，再结合()()πf x f x +=，可以确定：()()cos sin f x x =的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数()()sin cos f x x =为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：（1）求“余正弦”函数的定义域；（2）判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；（3）探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.【答案】（1）R（2）偶函数，理由见解析（3）()()sin cos f x x =在[]()2π,2ππZ k k k +∈是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上严格增函数；最小正周期为2π；理由见解析.值域为[]sin1,sin1-.【解析】【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得()()sin cos f x x =的定义域.（2）根据函数奇偶性的定义，求得()()sin cos f x x =的奇偶性.（3）结合题目所给的解题思路，求得()()sin cos f x x =的单调区间、最小正周期、值域.【小问1详解】()()sin cos f x x =的定义域为R .【小问2详解】对于函数()()sin cos f x x =，()()()()sin cos sin cos f x x x f x -=-==⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是偶函数.【小问3详解】()()()()2πsin cos 2πsin cos f x x x f x +=+==⎡⎤⎣⎦，cos y x =在区间[]0,π上递减，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递减.cos y x =在区间[]π,2π上递增，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递增.所以()f x 的最小正周期为2π，()f x 在[]()2π,2ππZ k k k +∈上是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上是严格增函数.结合()()sin cos f x x =的单调性可知，()f x 的值域为[]sin1,sin1-.。

山东省淄博市部分学校2021-2022学年高一下学期期中质量检测数学试题

2021-2022学年度第二学期高一数学期中检测试题2022.5一、选择题(共12个小题，1--8每小题为单选，每小题5分) 1.已知向量a →＝(－2，3)，b →＝(x ，1)，且a →⊥b →，则x ＝( ) A ．－23 B ．23 C ．－32D ．322．cos 475°－sin 475°的值为( ) A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．123．设tan ,tan αβ是方程2320x x −+=的两个根，则tan()αβ+的值为 ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 4.已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD = ( ) A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．2134AD AB AC =− D ．3255AD AB AC =−+5. 为了得到函数4sin cos y x x =，R x ∈的图象，只要把函数3sin 2cos2y x x =+，R x ∈图象上所有的点（） A. 向左平移12π个单位长度 B. 向右平移12π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移6π个单位长度6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sinC)，n ＝(3a c +，sinB ﹣sinA)，若m ∥n ，则角B 的大小为A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7.已知|a |＝8，与a 同向的单位向量为e ，|b |＝4，a ，b 的夹角为120°，则向量b 在向量a 方向上的投影向量为( ) A.4e B.－4e C.2e D.－2e 8．已知向量a ＝(cos20°，cos70°)，b ＝(sin10°，sin80°)，若t 是实数，且u a tb =+，则u 的最小值为（）A ．2B ．1C ．32 D ．22多项选择题（9—12为多选题，每小题5分共20分） 9．下列各式中值为12的是（）． A ．2sin 75cos 75B ．2π12sin12− C ．cos 45cos15sin 45sin15− D ．()tan 77tan 3221tan 77tan 32−+⋅10．下列说法正确的有A. 在△ABC 中，a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin CB. 在△ABC 中，若sin 2A =sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形C. △ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的充要条件D. 在△ABC 中，若sin A=12，则A=6π11．已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（）． A ．()g x 的最小正周期为2π3 B ．()g x 在区间ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()g x 的图像关于直线4π9x =对称 D ．()g x 的图像关于点π,09⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 12．下列命题中正确的是( )A.非零向量a →,b →满足|a →|=|b →|=|a →-b →|,则a →与a →+b →的夹角为300; B.a →•b →>0,则a →与b →的夹角为锐角; C.若//a b 且//b c ，则//a c D.△ABC 的外接圆的圆心为O,半径为1,若AB →+AC →=2AO →,且|OA →|=|CA →|,则向量BA →在向量BC →方向上的投影向量为32(BC →|BC →|)第II 卷（非选择题)二、填空题(共5个小题，每小题5分，共25分。

2022-2023学年下学期高一数学周测试卷

（Ⅰ）求2021年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（Ⅱ）2021年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
21.设函数 .
（1）求函数的定义域；
（2）若对任意实数，关于的方程总有解，求实数的取值范围.
22．已知函数（其中且）的图象关于原点对称．
（1）求，的值
②y＝f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f（x）在区间（，）上单调递减；
④将函数y＝ cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
四、解答题
17．计算下列各式的值（10分）：
（1）；
（2）
18．（1）化简：；
（2）已知sin（α+ ）＝，求cos（ +α）的值．
19．（2021·河北迁安·高一期末）已知函数，（，，）图象的一部分如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求的值域.
20．某汽车制造企业计划在2021年引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，该企业确定每辆新能源汽车的售价为5万元，并且全年内生产的汽车当年全部销售完．
C．时， D．的图像关于直线对称
三、填空题
13．已知函数的定义域为______．
14．已知，则tan( 14．已知，则tan(π-α)=__________.
15．已知曲线y＝sin（ωx+ ）关于直线x＝1对称，则|ω|的最小值为．
16．关于函数f（x）＝，有下列命题：
①y＝f（x）的最大值为；

2021-2022学年广东省深圳市光明区高级中学高一下学期期中考试数学试卷含详解

光明区高级中学2021-2022学年第二学期期中考试试题高一数学一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i 是虚数单位，复数4i1i -等于（）A.22i-- B.22i- C.22i-+ D.22i+2.已知()()1,1,,22A B -，O 是坐标原点，则AB OA +=（）A.()1,3- B.()3,1- C.()1,1- D.()2,2-3.在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（）A.0.12B.0.88C.0.28D.0.424.在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，b =，3B π∠=，则A ∠为（）A.4π B.34π C.4π或34π D.6π5.已知5a ＝，4b ＝，且·12a b - ＝，则向量a 在向量b 上的投影向量为（）A.35-b B.35bC.－34b D.34b 6.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，则第一次点数大于第二次点数的概率为（）．A.13B.512C.49D.127.设D 为△ABC 所在平面内一点，且2BC CD =，则()A.1322=- AD AB ACB.1322AD AB AC=-+C.3122=+ AD AB AC D.3122AD AB AC =- 8.如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD为边长为P 为边BD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围为（）A.[]6,0- B.25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[]7,0-二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知,,a b c为非零平面向量，则下列说法正确的有（）A.0a b a b ⊥⇔⋅=B.,λλ⇔∃∈=∥a b R b aC .若a c b c ⋅=⋅ ，则a b = D.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 10.口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A =“取出的两球同色”，B =“取出的2球中至少有一个黄球”，C =“取出的2球中至少有一个白球”，D =“取出的两球不同色”，E =“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（）A.事件A 与D 为对立事件B.事件B 与C 是互斥事件C.事件C 与E 为对立事件D.事件()1P C E = 11.△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．下列四个论断正确的是()A.若A B >，则sin sin A B >B.()cos cos B C A+=C.若sin cos a bA B =，则π4B = D.60B =︒，4c =，2b =此三角形无解12.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[)2060,元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（）A.估计众数为45B.估计中位数是4009C.估计平均数为43D.支出在[)50,60的频率为0.25三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设x R ∈，若复数()()132i z x x =++-在复平面上对应的点位于第四象限，则x 的取值范围是_________.14.某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一1500人､高二1200人､高三1800人中抽取50人进行问卷调查，则高三抽取的人数是___________.15.一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x ，5，10，其中5x ≠，已知该组数据的中位数是众数的32倍，则该组数据的标准差为___________．16.在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若2sin (2)tan c B a c C =+，sin sin b A C B =，则ac 的最小值为________．四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.设复数z 1=1-ai （a ∈R ），复数z 2=3+4i ．（1）若12z z R +∈，求实数a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求|z 1|．18.甲有大小相同的两张卡片，标有数字2、4；乙有大小相同的卡片四张，分别标有1、2、3、4．（1）求乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率；（2）甲、乙分别取出一张卡，比较数字，数字小者获胜，求乙获胜的概率．19.已知(2,1)a =-，(1,)b m = ，(2,)c n = .（1）若a b ⊥ ，且()//a b c + ，求实数m ，n 的值；（2）若1n =，且()c a -与b 的夹角为60︒，求实数m 的值.20.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos ,63==B c .（1）若ABC 的面积为103，求a ；（2）若AC边上的中线BD =，求sin A 的值.21.在ABC 中，a b c 、、分别为内角、、A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC 的形状．22.某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务.为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查，来模拟饮品店开卖之后的利润情况.考虑沙难承受能力有限，超过1.4万人即停止预约，以下表格是160天内进入沙滩的每日人数的频数分布表.人数（万）[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)[0.6,0.8)[0.8,1.0)[1.0,1.2)[1.2,1.4]频数（天）88162424a32（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图，并求a和这组数据的65%分位数；（2）据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X（单位：个）为该沙难的人数（X为10的倍数，如有8006人，则X取8000）.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记Y为该店每日的利润（单位：元），求Y和X的函数关系式.以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.光明区高级中学2021-2022学年第二学期期中考试试题高一数学一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i 是虚数单位，复数4i1i -等于（）A.22i --B.22i- C.22i-+ D.22i+C【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：4i 4i(1i)4i(1i)22i 1i (1i)(1i)2++===-+--+，故选：C ．2.已知()()1,1,,22A B -，O 是坐标原点，则AB OA += （）A.()1,3- B.()3,1- C.()1,1- D.()2,2-D【分析】根据向量线性运算可得+=AB OA OB ，由坐标可得结果.【详解】()2,2+=+==-AB OA OA AB OB 故选：D【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.3.在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（）A.0.12 B.0.88C.0.28D.0.42D【分析】先分别求出甲地不下雨的概率，和乙地不下雨的概率，再根据独立事件的概率求解.【详解】因为甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，所以甲地不下雨的概率为0.7，乙地不下雨的概率为0.6，所以甲、乙两地都不下雨的概率为0.70.60.42p =⨯=故选：D【点睛】本题主要考查独立事件的概率，对立事件的概率，属于基础题.4.在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，b =，3B π∠=，则A ∠为（）A.4π B.34π C.4π或34π D.6πA【分析】已知两边和其中一边的对角，可用正弦定理求另一边的对角，其中要注意角的取值情况.【详解】在ABC 中，2a =，b =，3B π∠=，由正弦定理得：sin sin a b A B=，2sin sin 23sin 2a B A b π∴==a b < A B ∴<4A π∴=故选：A 5.已知5a ＝，4b ＝，且·12a b - ＝，则向量a 在向量b 上的投影向量为（）A.35-bB.35bC.－34b D.34b C【分析】向量a 在向量b 上的投影向量等于与向量b 同向的单位向量和向量a在向量b 上的投影(实数)的向量的数乘积()2·a b bb，根据已知条件计算即得.【详解】向量a 在向量b 上的投影向量为()2·123444a b b b b b=-=-⨯ ,故选：C6.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，则第一次点数大于第二次点数的概率为（）．A.13B.512C.49D.12B【分析】列举出所有情况，找出第一次点数大于第二次点数的情况，按照古典概型求解即可.【详解】不妨用(),x y 表示两次投掷的基本事件，其中x 代表第一次投掷的点数，y 代表第二次投掷的点数．故所有投掷的结果所包含的基本事件有：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，……，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，()6,6，共36种，其中满足第一次点数大于第二次点数基本事件()2,1，()3,1，()3,2，()4,1，()4,2，()4,3，()5,1，()5,2，()5,3，()5,4，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，共15种．所以第一次点数大于第二次点数的概率1553612P ==．故选：B ．7.设D 为△ABC 所在平面内一点，且2BC CD =，则()A.1322=- AD AB ACB.1322AD AB AC=-+C.3122=+ AD AB ACD.3122AD AB AC=- B【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】由于2BC CD =，所以D 在BC 的延长线上，12AD AC CD AC BC =+=+ ()113222AC AC AB AB AC =+-=-+.故选：B8.如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD 为边长为P 为边BD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围为（）A.[]6,0- B.25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[]7,0-C【分析】根据题意可计算出AB 的长，由此建立平面直角坐标系，设点P 的坐标，进而表示向量,AP CP的坐标，计算AP CP ⋅，结合二次函数的知识求得结果.【详解】由题意可知，BCD △为等边三角形，则有60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，在Rt △ABD 中，3tan 3023AD BD =⨯== ,24AB AD ==；如图以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则有()0,4A ，()3,0C ，由于60DBC ∠=︒，故可设P 点坐标为()3x ,且03x ≤≤，所以()34AP x x =- ，()23,3CP x x =-，所以(23343AP CP x x x x ⋅=-+-223346344274x x x ⎛- ⎭=⎝=--，因为03x ≤≤，当334x =时，22743344x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭-取得最小值274-，当0x =时，22743344x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭-取得最大值为0，所以2704AP CP -≤⋅≤，故选：C.二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知,,a b c为非零平面向量，则下列说法正确的有（）A.0a b a b ⊥⇔⋅= B.,λλ⇔∃∈=∥a b R b a C.若a c b c ⋅=⋅ ，则a b= D.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ AB【分析】A ．利用平面向量的数量积运算判断；B.利用平面向量共线定理判断；C.利用平面向量数量积的运算律判断；D.利用平面向量的共线定理判断.【详解】A.因为a b ⊥ ，所以,90= a b ，则0a b ⋅= ，故正确；B.若,a b为非零平面向量，且ab，由共线向量定理知：,R b a λλ∃∈=，故正确；C.若a c b c ⋅=⋅ ，则()0c a b ⋅-= ，则()c a b ⊥- ，故错误；D.()a b c ⋅⋅ 与c 共线，()a b c ⋅⋅与a 共线，故错误；故选：AB10.口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A =“取出的两球同色”，B =“取出的2球中至少有一个黄球”，C =“取出的2球中至少有一个白球”，D =“取出的两球不同色”，E =“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（）A.事件A 与D 为对立事件 B.事件B 与C 是互斥事件C.事件C 与E 为对立事件D.事件()1P C E = AD【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，逐项验证得出答案.【详解】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件A =“取出的两球同色”，B =“取出的2球中至少有一个黄球”，C =“取出的2球至少有一个白球”，D =“取出的两球不同色”，E =“取出的2球中至多有一个白球”，由对立事件定义得A 与D 为对立事件，故选项A 正确；B 与C 有可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件，故选项B 错误；C 与E 有可能同时发生，不是对立事件，故选项C 错误；P （C ）631=155=-，P （E ）1415=，8()15P CE =，从而()P C E P = (C )P +(E )()1P CE -=，故选项D 正确故选：AD ．11.△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．下列四个论断正确的是()A.若A B >，则sin sin A B >B.()cos cos B C A+=C.若sin cos a bA B =，则π4B = D.60B =︒，4c =，2b =此三角形无解ACD【分析】根据正弦定理和三角形性质可判断ACD ，根据三角形内角和及三角函数诱导公式可判断B ．【详解】对于A ，若A B >，则a >b ，根据正弦定理得sin sin A B >，故A 正确；对于B ，若()()cos cos πcos B C A A +=-=-，故B 错误；对于C ，若sin cos a b A B =，则根据正弦定理得sin sin sin cos A BA B =，即tan B =1，∵B 是三角形内角，故π4B =，故C 正确；对于D ，若60B =︒，4c =，2b =，则根据正弦定理得342sin 1sin sin 2b cC B C⨯=⇒==>，故△ABC 无解，故D 正确．故选：ACD ．12.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[)2060,元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（）A.估计众数为45B.估计中位数是4009C.估计平均数为43D.支出在[)50,60的频率为0.25CD【分析】利用最高矩形的中点求得众数，判断出A ；根据中位数是把频率分布直方图分成面积相等的两部分的平行于y 轴的直线横坐标，求得中位数，判断出B ；利用矩形的面积和求得支出在[)50,60的频率，判断出D ，利用平均数公式求得平均数，判断出C ．【详解】解：最高的矩形为第三矩形，其横坐标中点为45，故估计众数为45，A 正确；第一个矩形的面积是0.10，第二个矩形的面积是0.24，第三个矩形的面积是0.36，第四个矩形的面积是10.700.30-=；前面两个矩形的面积和是0.34，故将第三个矩形分成4:5即可，∴中位数是4400401099+⨯=,B 正确．由()1100.010.0240.0360.3-⨯++=，则[)50,60部分的频率为0.3，故D 错误；平均数为()100.01250.024350.036450.35543.6⨯⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 错误；故选：CD ．三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设x R ∈，若复数()()132i z x x =++-在复平面上对应的点位于第四象限，则x 的取值范围是_________.2-13⎛⎫⎪⎝⎭,【分析】根据复平面各象限的复数的特征，得10320x x +>⎧⎨-<⎩，解不等式组得概念即可求出结果.【详解】因为复数()()132i z x x =++-在复平面上对应的点位于第四象限，所以10320x x +>⎧⎨-<⎩，解得213x -<<，故答案为：21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.14.某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一1500人､高二1200人､高三1800人中抽取50人进行问卷调查，则高三抽取的人数是___________.20【分析】分层抽样，高三按比例180021500120018005=++抽取即可.【详解】由题知高三占比180021500120018005=++，所以抽取250205⨯=人.故答案为：20.15.一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x ，5，10，其中5x ≠，已知该组数据的中位数是众数的32倍，则该组数据的标准差为___________．3【分析】根据条件求出x ，然后可算出答案.【详解】由题意，可得该组数据的众数为2，所以232322x +=⨯=，解得4x =，故该组数据的平均数为122451046+++++=．所以该组数据的方差为2222221(14)(24)(24)(44)(54)(104)96⎡⎤⨯-+-+-+-+-+-=⎣⎦，即标准差为3．故答案为：316.在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若2sin (2)tan c B a c C =+，sin sin b A C B =，则ac 的最小值为________．12【分析】利用正弦定理及和角公式可得23B π=，再结合条件及正弦定理可得2ac b =，然后利用余弦定理及基本不等式即求.【详解】∵在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，2sin (2)tan c B a c C =+，∴sin 2sin sin (2sin sin )cos CC B A C C=+，∴()2sin cos 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A C B C C B C B C C =+=++=++，∴2cos sin sin 0B C C +=，即1cos 2B =-，()0,B π∈，∴23B π=，因为23sin sin 22sin 2b A C B B B ==⨯=，∴22bac b =，即2ac b =，又222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，∴22222ac a c ac ac ac ⎛⎫=++≥+ ⎪⎝⎭，即12ac ≥，当且仅当a c =时取等号，∴ac 的最小值为为12.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键时利用边角互化，把23sin sin 22sin 2b A C B B =⨯=化为2ac b =，再利用余弦定理及基本不等式即求.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.设复数z 1=1-ai （a ∈R ），复数z 2=3+4i ．（1）若12z z R +∈，求实数a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求|z 1|．（1）a =4（2）54【分析】（1）由已知利用复数代数形式的加减化简，再由虚部为0求得a 值；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简12z z ,由实部为0且虚部不为0求得a 值，再由复数模的计算公式求|z 1|.【详解】解：（1）∵z 1=1-ai （a ∈R ），z 2=3+4i ，∴z 1+z 2=4+（4-a ）i ，由12z z R +∈，得4-a =0，即a =4；（2）由12z z =()()()()134134343434342525ai i ai a a i i i i ----+==-++-是纯虚数，得{340340a a -=+≠，即34a =，∴|z 1|=|314i -54=．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是中档题．18.甲有大小相同的两张卡片，标有数字2、4；乙有大小相同的卡片四张，分别标有1、2、3、4．（1）求乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率；（2）甲、乙分别取出一张卡，比较数字，数字小者获胜，求乙获胜的概率．（1）13（2）12【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【小问1详解】乙随机抽取的两张卡片，基本事件为{}{}{}{}{}{}1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4，其中和为偶数的事件为：{}{}1,3,2,4，所以乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率为2163=【小问2详解】甲、乙分别取出一张卡，基本事件为()()()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,4,1,4,2,4,3,4,4，其中乙的数字小的事件为：()()()()2,1,4,1,4,2,4,3，所以乙获胜的概率为4182=.19.已知(2,1)a =-，(1,)b m = ，(2,)c n = .（1）若a b ⊥ ，且()//a b c + ，求实数m ，n 的值；（2）若1n =，且()c a -与b 的夹角为60︒，求实数m 的值.（1）2m =，6n =-；（2）m =【分析】（1）根据a b ⊥ ，得2110m -⨯+⨯=，根据()//a b c + ，得23(1)0n ⨯--⨯=，即可得答案；（2）根据向量夹角公式可得()cos 60||c a bc a b -⋅︒=-‖，再将向量的坐标代入运算，即可得答案；【详解】触：（1）若a b ⊥，则2110m -⨯+⨯=，解得2m =.因此(1,2)b =，所以(1,3)a b +=- .由()//a b c +，得23(1)0n ⨯--⨯=，解得6n =-.（1）若1n =，则(2,1)c =，得(4,0)c a -= .又因(1,)b m = ，故()4104c a b m -=⨯+⨯=，而||4c a -=，||b =由题意得()cos 60||c a bc a b -⋅︒=- ‖，12=，解得m =.20.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos ,63==B c .（1）若ABC 的面积为103，求a ；（2）若AC边上的中线BD =，求sin A 的值.（1（2）14【分析】（1）由三角形的面积公式可求解；（2）由BD 为AC 边上的中线，则有1()2BD BA BC =+，可得2a =，再根据余弦定理及正弦定理可求解.【小问1详解】因为cos ,(0,)6π=∈B B所以sin 6B =，因为103=ABC S，所以110sin ,233==ac B c，所以a =.【小问2详解】因为BD 为AC 边上的中线，所以1()2BD BA BC =+，则()222211()244=+=+⋅+ BD BA BC BA BA BC BC 因此()2221||2cos 4=++ BD c ca B a ，即213285433⎛⎫=++⎪⎝⎭a a 化简得238280,(2)(314)0,0+-=-+=>a a a a a ，所以2a =，由余弦定理2222cos b a c ca B =+-，解得228,33==b b ，由sin sin a b A B =，即22123sin 306A =sin 14A =.21.在ABC 中，a b c 、、分别为内角、、A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC 的形状．o 120，等腰三角形【详解】试题分析：（1）利用正弦定理，化简得222a b c bc =++，在利用余弦定理，求解1cos 2A =-，即可求解角A 的大小；（2）由（1），利用两角差的正弦函数，化简得0sin sin sin(60)B C B +=+，即可求解sin sin B C +的最大值.试题解析：（1）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++即222a b c bc =++，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-故1cos 2A =-，0120A =（2）由（1）得：0031sin sin sin sin(60)cos sin sin(60)22B C B B B B B +=+-=+=+故当030B =时，sin sin B C +取得最大值1，此时三角形为等腰三角形.考点：正弦定理；余弦定理.22.某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务.为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查，来模拟饮品店开卖之后的利润情况.考虑沙难承受能力有限，超过1.4万人即停止预约，以下表格是160天内进入沙滩的每日人数的频数分布表.人数（万）[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)[0.6,0.8)[0.8,1.0)[1.0,1.2)[1.2,1.4]频数（天）88162424a32（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图，并求a 和这组数据的65%分位数；（2）据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X （单位：个）为该沙难的人数（X 为10的倍数，如有8006人，则X 取8000）.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记Y 为该店每日的利润（单位：元），求Y 和X 的函数关系式.以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.（1）频率分布直方图答案见解析，48a =，65%分位数是1.1（2）10000(10000)1.55000(010000)X Y X X >⎧=⎨-≤≤⎩，概率为0.65【分析】（1）利用总人数即可求出a 的值，利用分位数的计算方法求解65%分位数即可；（2）分两段求解Y 与X 的关系，然后得到分段函数的解析式，利用古典概型的概率公式求解即可．【小问1详解】解：由总人数为160知160881624243248a =------=.由图表知道人数在1.0以下的是50%，在1.2以下的是80%，我们不妨假设1.0到1.2是均匀分布的，0.650.51.00.2 1.10.80.5-+⨯=-，所以65%分位数是1.1.画出频率分布直方图如下所示：【小问2详解】解：由题意知：当10000≥X 时，10100010000=⨯=Y 元.当10000<X 时，1010005 1.550001010⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭X X Y X ，所以10000(10000)1.55000(010000)X Y X X >⎧=⎨-≤≤⎩.设销售的利润不少于7000元的事件记为A ，实际上得到8000≥X ，此时()(244832)1600.65=++÷=P A .。

高一数学周考试题

A、 f : x y 1 x 2
B、f : x y 1 x C、f : x y 2 x D、f : x y x
3
3
8、已知 f (2x 1) 4x2 ，则下列结论正确的是 ( )
A． f (3) 9 B． f (3) 4 C． f (x) x2
D． f (x) (x 1)2
时间:60 分钟
高一周考（3）
满分:100 分命卷人:向金娥审核人:
一、单选题(每小题 5 分,共 6 小题 30 分)
1、已知集合
,
,则
()
A. 1,2
B. 1,2
C. 2,1
D. 2,3
2、集合
用列举法可表示为
()
A.
B.
C.
D.
3、设a是实数，则a 5成立的一个必要不充分条件是（）
A、a 6
B、a 4
C、a 2 25
D、1 1 a5
4、函数 y x 的大致图象可能是 (
)
1 x
A
B．
C.
D．
5、关于x的不等式ax2 bx 2 0的解集为x 1 x 2,则关于x的不等式
bx2 ax 2 0的解集为（）
A、x 2 x 1
C、 x x 1或x 2
B、x x 2或x 1 D、x x 1或x 1
6、已知 x 0, y 0 ，且 2 1 1，若 x 2 y m2 2m 恒成立，则实 xy
数的取值范围是（
）
A、2 m 4 B、1 m 1
C、- 2 m 1 D、- 2 m 4
二、多选题(每小题 5 分,共 2 小题 10 分)
7、集合A x 0 x 4, B x 0 x 2,则下列能表示从 A到B的函数的是（）

精品解析：广东省湛江市2021-2022学年高一下学期期末数学试题(解析版)

湛江市2021—2022学年度第二学期期末调研考试高一数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某学校有高中学生2000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为700，660，640.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为（）A.32B.33C.64D.66【答案】B 【解析】【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数.【详解】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为1001200020=，则高二年级抽取的人数是16603320⨯=人，故选:B ．2.已知集合(){}2log 1A x y x ==+，{}2230B x x x =+-≤，则集合A B = （）A.()1,-+∞ B.[]3,1- C.(]1,1- D.(]1,3-【答案】C 【解析】【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义即可求解.【详解】解：(){}{}()2log 1101,A x y x x x ==+=+>=-+∞ ，{}[]2303,12B x x x =-≤=-+ ，所以，(]1,1A B =- .故选：C.3.若直线l 与平面α相交，则()A.平面α内存在直线与l 异面B.平面α内存在唯一一条直线与l 平行C.平面α内存在唯一一条直线与l 垂直D.平面α内的直线与l 都相交【答案】A 【解析】【详解】当直线l 与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A 正确；该平面内不存在与直线l 平行的直线，故B 错误；该平面内有无数条直线与直线l 垂直，所以C 错误，平面α内的直线与l 可能异面，故D 错误，故选A.4.复数2iz i=+（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】化简复数z ，再求复数对应复平面的点所在的象限.【详解】()()()22112222555i i i i z i i i i -+====+++-，则z 在复平面内对应的点是12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A【点睛】本题考查复数的除法计算，以及复数的几何意义，属于基础题型.5.在ABC 中，已知1sin ,,336A B AC π===，则BC =（）A.3B.2C.32D.92【答案】B 【解析】【分析】直接由正弦定理即可得到答案【详解】由正弦定理sin sin BC ACA B=，得2BC =．故选：B6.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，“A B >”是“sin sin A B >”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】【详解】由A B >，则a b >，据正弦定理sin sinBa bA =知，sin sin AB >；由sin sin A B >，据正弦定理sin sinBa bA =，则a b >，得AB >，所以A B >是sin sin A B >的充分必要条件．故本题答案选C .7.设0.3log 2a =，0.3log 3b =，0.33c =，30.3d =，则这四个数的大小关系是（）A.a b c d <<<B.b a d c<<< C.b a c d<<< D.d c a b<<<【答案】B 【解析】【分析】利用同底的对数函数单调性及指数函数性质比较出大小关系即可.【详解】解：∵0.30.30.3log 3log 2log 10<<=，∴0b a <<，又0.3003331,10.30.30>==>>，∴0c d >>，故b a d c <<<.故选：B .8.如图，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点()11,A x y ，角23πβα=+的始边与角α的始边重合，且终边与单位圆交于点()22,B x y ，记()12f y y α=-.若角α为锐角，则()f α的取值范围是（）A.13,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B.13,22⎛⎫-⎪⎝⎭C.3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的定义，可得12,y y 表达式，根据两角和的正弦公式、辅助角公式，可得()f α的解析式，根据α的范围，结合正弦函数的性质，即可得答案.【详解】由题意得11sin y y OA α==，22sin y y OB β==，23πβα=+所以()12213sin sin sin sin sin sin cos 322f y y πααβααααα⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 226πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,663πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则13sin ,622πα⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f α的取值范围是3,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数为偶函数且在()0,∞+上是增函数的是（）A.()2log f x x = B.21()1f x x=-C.()22x f x x =+ D.()2f x x x=+【答案】AD 【解析】【分析】根据各函数的性质直接判断即可【详解】对A ，()2log f x x =为偶函数且在()0,∞+上是增函数，故A 正确；对B ，21()1f x x=-为偶函数且在()0,∞+上是减函数，故B 错误；对C ，()22x f x x =+不为偶函数，故C 错误；对D ，()2f x x x =+为偶函数且在()0,∞+上是增函数，故D 正确故选：AD10.下列各式中，值为12的是（）A.212sin 15-︒B.2sin15cos15︒︒C.D.22cos 601︒-【答案】BC 【解析】【分析】根据二倍角的正弦公式、余弦公式，两角差的正切公式，逐一化简计算，即可得答案.【详解】对于A ：()23cos 212sin 1515cos302︒=⨯︒==-︒，故A 错误对于B ：()1sin 2si 2n15cos151sin 3025︒︒=⨯︒=︒=，故B 正确对于C()tan 60tan15111tan(6015tan 4521tan 60tan15222)︒-==︒-+︒︒︒=︒=︒，故C 正确；对于D ：()212cos 601cos 260cos1202︒-=⨯︒=︒=-，故D 错误；故选：BC11.已知向量)a =，()cos ,sin b αα= ，0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则下列结论正确的有（）A.1b = B.若a b ∥，则6πα=C.a b ⋅的最大值为2 D.a b -r r【答案】ABC 【解析】【分析】先利用平面向量的基本运算得到三角关系，再利用三角函数运算逐一判断即可.【详解】对于A，1b == ，A 正确；对于B ，若//a bcos 0αα-=，3tan 3α∴=，又0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故6πα=，B 正确；对于C，sin 2sin 3a b πααα⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭ ，0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，5,336πππα⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，所以当32ππα+=时最大值为2，C 正确；对于D ，||a b -=== 因为0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以5,336πππα⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,132πα⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，当sin 13πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，min1a b-==，D 错误.故选：ABC.12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（）A.AC AF ⊥B.EF ∥平面ABCDC.三棱锥A BEF -的体积为定值D.AEF 的面积与BEF 的面积相等【答案】BC 【解析】【分析】证明AC ⊥平面11BB D D ，可判断A 选项的正误；利用面面平行的性质可判断B 选项的正误；利用锥体的体积公式可判断C 选项的正误；利用三角形的面积公式可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，连接AC 、BD ，因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，1BB ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC BB ⊥∴，1BD BB B ⋂= ，所以，AC ⊥平面11BB D D ，因为AF ⊄平面11BB D D ，AF ⊂平面11AB D ,平面11BB D D ⋂平面111AB D B D =因此，,AC AF 不垂直，A 选项错误；对于B 选项，因为平面1111//A B C D 平面ABCD ，EF ⊂平面1111D C B A ，故//EF 平面ABCD ，B 选项正确；对于C 选项，因为BEF 的面积为11124BEF S EF BB =⋅=△，点A 到平面BEF 的距离为定值，故三棱锥A BEF -的体积为定值，C 选项正确；对于D 选项，设AC BD O = ，取11B D 的中点M ，连接OM 、AM ，由A 选项可知，AC ⊥平面11BB D D ，即AO ⊥平面11BB D D ，11B D ⊂Q 平面11BB D D ，则11AO B D ⊥，因为11//BB DD 且11BB DD =，故四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D 且11//BD B D ，因为M 、O 分别为11B D 、BD 的中点，故1//DO D M 且1DO D M =，所以，四边形1DD MO 为平行四边形，1DD ⊥Q 平面ABCD ，DO ⊂平面ABCD ，所以，1DD DO ⊥，故四边形1DD MO 为矩形，所以，11OM B D ⊥，AO OM O = ，所以，11B D ⊥平面AOM ，AM ⊂ 平面AOM ，11AM B D ∴⊥，11AM DD BB =>= ，所以，11122AEF BEF S EF AM EF BB S =⋅>⋅=△△，D 选项错误.故选：BC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若()f x =()3f -=_________.【答案】32-##-1.5【解析】【分析】根据所给解析式，代入数据，即可得答案.【详解】由题意得()323f -==-.故答案为：32-14.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.【答案】710.【解析】【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C =种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326C C =种情况，若选出的2名学生都是女生，有221C =种情况，所以所求的概率为6171010+=.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.15.已知A ，B ，C 是单位圆O 上的三点，且OA OB OC =+，则AB AC ⋅=_________.【答案】12-##0.5-【分析】根据OA OB OC =+ 两边平方化简可得1cos 2BOC ∠=-，从而23BOC π∠=，【详解】因为OA OB OC =+ ，故2222cos OA OB OC OB O B C C O +∠=⋅⋅+uu r uu u r uuu r uu u r uuu r ，解得1cos 2BOC ∠=-，又[]0,BOC π∠∈，故23BOC π∠=.故,OAB OBC 均为边长为1的正三角形.所以2111cos 32AB AC π⋅=⨯⨯=-uu u r uuu r 故答案为：12-16.对实数a 、b 定义一个运算：11a a b a b b a b -≤⎧⊕=⎨->⎩，设函数22()(2)()f x x x x =-⊕-（x ∈R ），若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是__________．【答案】3(,2](1,)4-∞-⋃--【解析】【详解】由()()2221x x x---≤可得：312x -<<，则：()2232,123,12x x f x x x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩或.据此有：()3111,24f f ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭.当1x =-时，x -x 2=-2,当32x =时，234x x -=-.函数y =f (x )-c 的图象与x 轴恰有两个公共点等价于函数y =f (x )与y =c 的图象有如图所示：函数y =c 在1y =-和34y =-之间及y =-2以下与函数f (x )有两个交点.据此可得：实数c 的取值范围是(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃--⎪⎝⎭点睛：本题的核心是考查函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()2,3a =- ，()1,1b =r，()2,1c =- ，t R ∈.（1）若a tb - 与c共线，求实数t ；（2）求a tb +的最小值及相应的t 值.【答案】（1）43（2）当12t =-时取等号，a tb + 取最小值为522【解析】【分析】（1）利用向量共线定理可得关于t 的方程，解出即得t 值；（2）利用求模公式表示出a tb +，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t 值即可；【小问1详解】∵()()()2,31,12,3t t t a tb =--=----r r，又a tb - 与c共线，()2,1c =- ，∴()()()21320t t --⨯---⨯=，解得43t =.【小问2详解】由题意，()()()2,31,12,3a tb t t t +=-+=-++r r，∴a tb +=r r 2==，当且仅当12t =-时取等号，a tb + 取最小值为218.已知()sin(2)sin 22f x x x ππ⎛⎫=-++⎪⎝⎭.（1）化简()f x 并求函数()f x 图象的对称轴方程；（2）当3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值.【答案】（1）()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(Z)28k x k ππ=+∈；（2）最大值为1，最小值为.【解析】【分析】（1）利用三角函数诱导公式及辅助角公式即可化简()f x ，利用正弦函数的对称轴即可求解对称轴方程；（2）根据（1）的结果，整体带入求解正弦型函数的值域即可.【小问1详解】解:()sin(2)sin 2sin 2cos 2224f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令2(Z)42x k k πππ+=+∈，得(Z)28k x k ππ=+∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为：(Z)28k x k ππ=+∈.【小问2详解】解：由（1）得()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故372,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，所以1sin 242x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()1f x ≤≤，所以当3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，函数()f x 的最大值为1，最小值为.19.移动支付为人民群众的生活带来极大的方便.为了解某地区居民移动支付的使用情况，随机调查了该地区100名居民在一星期内使用移动支付的相关情况，列表如下：支付次数x 015x ≤≤1530x <≤3045x <≤4560x <≤60x >人数a3025b10已知这100名居民中一星期内使用移动支付次数超过30次的占55%.（1）求a ，b 的值；（2）估计该地区居民在一星期内使用移动支付次数超过45次的概率.【答案】（1）15,20a b ==；（2）310【解析】【分析】（1）根据题意结合列表即可求解a ，b 的值；（2）结合列表可得100名居民中一星期内使用移动支付次数超过45次的人数为30人，利用古典概型的概率公式即可求解.【小问1详解】解：由题意，一星期内使用移动支付次数超过30次的人数为2510b ++人，故251055%100b ++=，解得20b =，又302510100a b ++++=，解得15a =，故15,20a b ==.【小问2详解】解：由题可知，100名居民中一星期内使用移动支付次数超过45次的人数为30人，故该地区居民在一星期内使用移动支付次数超过45次的概率为30310010P ==.20.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，记ABC 的面积为S .已知_________.从①2sin tan a C c A =，②2cos 2a B c b =-，③)2224S b c a=+-三个条件中选择一个填在上面的横线上，并解答下列问题.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）（1）求角A 的大小；（2）若边长2a =，求ABC 的周长的取值范围.【答案】（1）无论选择①②③，3A π=；（2）(]4,6【解析】【分析】（1）若选①，由正弦定理边化角可得sin sin 2sin sin cos A C A C A=，整理可得1cos 2A =，根据A 的范围，可求得角A ；若选②，正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，可得sin 2cos sin B A B =整理可得1cos2A =，根据A 的范围，可求得角A ；若选③，根据余弦定理、面积公式，代入化简可得tan A =根据A 的范围，可求得角A ；（2）根据（1）及正弦定理可得(sin sin )3b c B C +=+，根据两角和的正弦公式、辅助角公式，整理可得4sin 6b c B π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据角B 的范围及正弦函数的性质，即可得答案.【小问1详解】若选①2sin tan a C c A =，由正弦定理边化角可得sin sin 2sin sin cos A CA C A=，因为,(0,)A C π∈，所以sin 0,sin 0A C ≠≠，所以1cos 2A =，解得3A π=；若选②2cos 2aB c b =-，由正弦定理边化角可得2sin cos 2sin sin A BC B =-，所以2sin cos sin 2sin 2sin()2(sin cos cos sin )A B B C A B A B A B +==+=+，所以sin 2cos sin B A B =，因为(0,)A B π∈、，sin 0B ≠，所以1cos 2A =，解得3A π=；若选③)2224S b c a =+-，由余弦定理可得2222cos bc a bc A +-=，所以14sin 2cos 2bc A bc A ⨯=，所以sin A A =，所以sin tan cos AA A==因为(0,)A π∈，所以3A π=【小问2详解】由（1）得3A π=，由正弦定理得43sin sin sin 3a b c A B C ===，所以434324331(sin sin )sin sin sin cos sin 333322b c B C B B B B B π⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=+=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭4sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当62B ππ+=时，4sin 6b c B π⎛⎫+=+⎪⎝⎭有最大值为4，所以(]2,4b c +∈，所以ABC 的周长的取值范围为(]4,621.四棱锥A BCDE -的侧面ABC 是等边三角形，EB ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，1BE =，2BC CD ==，F 是棱AD 的中点.（1）证明：EF ∥平面ABC ；（2）求四棱锥A BCDE -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）取AC 中点G ，连接,GF GB ，根据中位线的性质证明BE GF ∥得到平行四边形BEFG ，进而得到EF ∥平面ABC ；（2）取BC 中点H ，连接AH ，易得AH ⊥平面BCDE ，进而求得四棱锥A BCDE -的体积即可【小问1详解】取AC 中点G ，连接,GF GB ，由中位线性质可得GF CD ∥，又EB ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，故EB CD ∥.又12GF CD =，12BE CD =，故EB CD =.所以平行四边形BEFG ，所以∥BG EF .因为EF ⊄平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，故EF ∥平面ABC ；【小问2详解】取BC 中点H ，连接AH ，因为EB ⊥平面ABC ，AH ⊂平面ABC ，故EB AH ⊥，又等边三角形ABC ，故AH BC ⊥，且3AH =.又BC BE B = ，故AH ⊥平面BCDE ，所以四棱锥A BCDE -的体积()111223332A BCDE V -=⋅+⋅⋅=22.已知函数()()f x x x a =-.其中a R ∈，且0a >.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，(,)2a +∞，单调递减区间为(0,)2a；（2）当502a ≤<时，min 1()42a f x =--；当52a ≥时，min ()1f x a =-.【解析】【分析】（1）将函数()f x 的解析式去掉绝对值，转化为分段函数，求单调区间时分别在0,0x x ≥<时结合二次函数求解其单调区间；（2）结合（1）中的单调区间确定函数在区间1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，从而求得函数的最小值.【小问1详解】解：由题知，函数22,0()(),0x ax x f x x x a x ax x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，其中0a >当0x ≥时，222()()24a a f x x ax x =-=--则函数()f x 在区间(0,)2a 单调递减，在区间(,)2a+∞单调递增；当0x <时，222()()24a a f x x ax x =-+=--+，则函数()f x 在区间(,0)-∞递增∴综上，函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，(,)2a +∞，单调递减区间为(0,2a.【小问2详解】解：因为0a >，所以当12a ≥即2a ≥时，函数()f x 在1[,0]2-递增，在(0,1]递减且11(242af -=--，(1)1f a =-，若1()(1)2f f -≥，即52a ≥时，min ()(1)1f x f a ==-，若1()(1)2f f -<，即522a ≤<时，min 11()()242a f x f =-=--，当012a<<即02a <<时，函数()f x 在1[,0]2-递增，在(0,]2a 递减，在(,1]2a 递增，且11()242a f -=--，2()24a a f =-，而02a <<时，21424a a --<-，即1()()22a f f -<，所以02a <<时，min 11()()242a f x f =-=--，∴综上所述，当502a ≤<时，min 1()42a f x =--；当52a ≥时，min ()1f x a =-.。

2021-2022学年四川省眉山市高一年级下册学期第二次质量检测数学试题【含答案】

2021级高一下期第二次质量检测数学试题第I 卷（非选择题共60分）一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 等差数列中，若，，则（）{}n a 22a=44a =8a =A. 8 B. 6C. D. 8±6±【答案】A 【解析】【分析】根据和求出公差，再根据等差数列的通项公式可求出结果.22a =44a =1d =【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 所以，即，422422d a a =-=-=1d =所以.82(82)268a a d =+-=+=故选：A 2. 已知，若，则（）()()3,2,,1a b m ==-a b ⊥m =A. B. C. D. 3232-2323-【答案】C 【解析】【分析】根据，可得，再根据数量积的坐标运算即可得解.a b ⊥ 0a b ⋅=【详解】因为，a b ⊥所以，解得.320a b m ⋅=-=23m =故选：C .3. 已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若，，则外接圆半径等于ABC 60A =3a =ABC （）A. 2B. C. D. 1332【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理可求出结果.【详解】设外接圆半径为，ABC R 根据正弦定理可得，3322sin sin 6032a R A ====所以，即外接圆半径为.1R =ABC 1故选：D4. 已知向量，，若，则实数的值为（）(3,2)a =-(4,2)b λ=- ()()2a b a b+-∥ λA. B. C. D. 23437475【答案】B 【解析】【分析】直接利用平面向量共线的性质求解即可..【详解】由已知得，，()25,24a b +=-λ()7,22a b λ-=-+∵∥，()2a b + ()a b - ∴，解得，()()()5227240⨯+---=λλ43λ=故选：B5. 在中，已知，则该三角形的形状为（）ABC 222sin 2sin sin A B C +=A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形D. 不能确定【答案】C 【解析】【分析】根据正弦定理将角化为边的关系，结合余弦定理即可得结果.【详解】因为，由正弦定理可得，222sin 2sin sin A B C +=2222a b c +=由余弦定理得，222cos 022a b c bC ab a +-==-<因为，所以为钝角，即该三角形的形状为钝角三角形，0C π<<C 故选：C.6. （）sin17cos 43cos17sin 43︒︒︒⋅+⋅︒=A. B.C. D. 3232-1212-【答案】A 【解析】【分析】由两角和的正弦公式，即可求出结果.【详解】由两角和的正弦公式，可知.()sin17cos 43cos17sin 43sin 31746s n 0i 23︒︒︒︒︒⋅︒=+=︒=+⋅故选：A.7. 设等差数列的前n 项和为，且，则（）{}n a n S 81225a a -=7S=A. 70 B. 35C. 25D. 20【答案】B 【解析】【分析】设等差数列的公差为，依题意可得，再根据等差数列前项和公式计算可得；d 135a d +=n 【详解】解：设等差数列的公差为，因为，即，即，d 81225a a -=()()1125711a a d d +-=+135a d +=所以；()()7111771772173352S a d a d a d ⨯-=+=+=+=故选：B 8. 中，，AC =2，，则在方向上的投影为（）ABC 3A π=3BC =AB CAA. B. C. D.1212-3232-【答案】B 【解析】【分析】利用余弦定理求出的长，再利用平面向量数量积的几何意义可求得结果.AB 【详解】由余弦定理可得，即，解得，2222cos3BC AC AB AB AC π=+-⋅2210AB AB -+=1AB =【详解】【详解】因为，，tan 62πα⎛⎫= ⎪⎝⎭-()tan 3αβ+=-则()()()πta tan πtan t n 6an 661tan πtan 6αβααβπβαβαα⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--=⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝+--+⎭-.123321==-⨯--故选：A.11. 已知数列满足，，，则满足的n 的最大取值为（）{}n a 11a =141n n n a a a +=+*()n N ∈137n a >A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】【分析】将递推公式两边取倒数，即可得到，从而得到数列是以1为首项，4为公差1114n n a a +-=1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的等差数列，即可求出的通项公式，再解不等式即可．{}n a 【详解】解：因为，所以，所以，又，141n n n a a a +=+1114n na a +=+1114n n a a +-=111a =数列是以1为首项，4为公差的等差数列．1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以，所以，由，即，即，解得114(1)43nn n a =+-=-143n a n =-137n a >114337n ->04337n <-<，因为为正整数，所以的最大值为；3104n <<n n 9故选：C12. 已知函数，则下列判断错误的是()22cos 23sin 463f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A. 为偶函数 B.的图像关于直线对称()f x ()f x 4x π=C. 的值域为D. 的图像关于点对称()f x []1,3-()f x ,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】化简f （x ）＝1+2cos4x 后，根据函数的性质可得．【详解】f （x ）＝1+cos （4x ）sin （4x ）＝1+2sin （4x ）＝1+2cos4x ，π3+3+π3+ππ36++f （x ）为偶函数，A 正确；4x 得,当k=1时，B 正确；k π,=k πx 4=因为2cos4x的值域为，C 正确；[]()22f x ∈-∴，，[]1,3-故D 错误．故选D ．【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，准确计算是关键，是基础题第II 卷（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知点，，则______．(2,4)A -(2,8)B AB =【答案】42【解析】【分析】根据坐标写出向量，根据向量的模的求法求出.(4,4)AB = 224442AB =+= 【详解】，(4,4)AB =，224442AB =+=故答案为：.4214. 如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B 位于小岛A 北偏东75°距离60海里处，小岛B 北偏东15°距离()海里处有一个小岛C ．则小岛A 到小岛C 的距离为______海里．30330-306【答案】【解析】∠=【分析】根据题意求出ABC2【答案】56【解析】【分析】由倍角公式以及诱导公式求解即可.【详解】235cos 22cos 12144366ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos 2cos 2sin 242ππααα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5sin 26α∴=故答案为：56三､解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知平面内两个不共线的向量，.,a b ||2,||1,,3a b a b π==〈〉=（1）求；||2a b -（2）求与的夹角.(2)a b - b 【答案】（1）2；（2）.23π【解析】【分析】（1）根据条件可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出的值；·1a b = 2|2|(2)a b a b -=- ||2a b - （2）可求出的值，进而可求出的值，从而可求出与的夹角．(2)a b b - cos 2,a b b <->(2)a b - b 【详解】解：（1）， ||2,||1,,3a b a b π==<>=，∴·1a b =；∴222|2|(2)444442a b a b a b a b -=-=+-=+-= （2），2(2)2121a b b a b b -=-=-=-，且，∴(2)1cos 2,2|2|||a b b a b b a b b -<->==--2,[0,]a b b π<->∈与的夹角为．∴(2)a b -b 23π【点睛】对向量数量积定义进行变行是求解向量长度，向量夹角的常用方法，同时要注意夹角的范围．18. 设等差数列的前n 项和为．{}n a n S （1）已知，公差，求．1510a =-2d =20S （2）已知，，求和．58a =924a =n a n S 【答案】（1）-380 （2），412n a n =-()25n S n n =-【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出，再根据前项和公式计算可得；1a n （2）依题意得到方程组，即可求出、，从而求出通项公式与前项和；1a d n 【小问1详解】解：由等差数列中，，公差，可得，{}n a 1510a =-2d =1(151)210a +-⨯=-解得，所以．138a =-()20120192019202038238022S a d ⨯⨯=+=⨯-+⨯=-【小问2详解】解：由等差数列中，，，可得，解得，所以{}n a 58a =924a =1148824a d a d +=⎧⎨+=⎩184a d =-⎧⎨=⎩．1(1)8(1)4412n a a n d n n =+-=-+-⨯=-所以．()()()184122522n n n a a n n S n n +-+-===-19. 已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且满足：．ABC 2cos cos cos()c C a B b B C =-+（1）求角C ；（2）若，的面积，求的周长．6c =ABC 6sin S b B =ABC 【答案】（1）π3C =（2）636+【解析】【分析】（1）利用余弦的诱导公式和两角和的正弦公式，结合正弦定理即可求解；（2）利用面积公式，结合题目调节得出之间的关系，再根据余弦定理求解即可.,a b 【小问1详解】（1）因为，πA B C ++=所以，()cos cos B C A+=-所以原等式转化为：，2cos cos cos c C a B b A =+由正弦定理得．()2sin cos sin cos sin cos sin C C A B B A A B =+=+因为，()sin sin A B C+=所以．2sin cos sin C C C =因为，()0,πC ∈所以，sin 0C ≠所以，1cos 2C =则．π3C =【小问2详解】（2）由，6sin S b B =根据面积公式，得，16sin sin 3sin 2b B ac B a B ==所以．2a b =由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==整理得，将代入，2236a b ab +-=2a b =即，2336b =所以，．23b =43a =所以周长为：．636a b c ++=+sin C（1）求的值；，，则，5CD =210AD =8BD =所以.Δ1sin 82ABD S BA BD B =⋅⋅⋅=21. 已知，，且.1cos 7α=()13cos 14αβ-=02πβα<<<（1）求的值；tan 2α（2）求.β【答案】（1）；（2）.8347-3π【解析】【分析】（1）先根据，且，求出，则可求，再求；1cos 7α=02πα<<43sin 7α=tan αtan 2α（2）先根据，，求出，再根据13cos()14αβ-=02παβ<-<sin()αβ-cos cos[()]βααβ=--求解即可.cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-【详解】（1）∵且，1cos 7α=02πβα<<<∴，243sin 1cos 7αα=-=∴，sin tan 43cos a αα==∴；22tan 183t t n 247an a a αα-==-（2）∵，02πβα<<<∴，02παβ<-<又∵，13cos()14αβ-=∴，233sin()1cos ()14αβαβ-=--=cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-，134********+⨯==⨯所以.3πβ=【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题.22. 已知.()13sin cos sin 23234f x x x x ππ⎛⎫=++⎛⎫ ⎪⎝⎭+- ⎪⎝⎭（1）求的单调递增区间；()f x （2）若对任意的恒成立，求a 的取值范围.122612x af x f ππ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+≥5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】（1）（） 5,1212k k πππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈（2）5a ≥【解析】【小问1详解】化简得131133()cos sin cos sin 2cos 2222224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131cos 2133sin 2sin 2cos 2422444x x x x +=+⨯++-，13sin 2cos 2sin 2223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 令，，解得，222232k x k πππππ-≤+≤+Z k ∈51212k x ππππ≤+≤-Zk ∈所以单调递增区间为，.5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈【小问2详解】由（1）可得，1cos 222612sin af f x a x x x ππ⎛⎫⎛⎫--+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，对任意的恒成立，2cos sin 2x x a +≥5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦只需要即可，max sin 2cos 2x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，22cos 232sin 32sin sin sin sin x x x x x x +-==-令，，为减函数，sin t x =1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦32y t t =-所以当时，，12t =max 5y =所以.5a ≥。

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2021-2022年高一数学下学期第二次间周考试题
一.选择题:(60分)
1.是（）．
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
3.已知为第三象限角，则所在的象限是（）
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限角
4.某市共有400所学校，现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本，调
查学生课外阅读的情况．把这400所学校编上1～400的号码，再从1～20中
随机抽取一个号码，如果此时抽得的号码是6，则在编号为21到40的学校中，
应抽取的学校的编号为( )
A．25 B．26 C．27 D．以上都不是
5．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是( )
A． B． C． D．
6.已知是第四象限角，，则（）
A． B． C．D．
7.若角的终边在第二象限且经过点，则等于
A． B． C． D．
8. 如果一扇形的弧长为，半径等于，则扇形所对圆心角为（）．A．B． C． D．
9．1001101
(2)
与下列哪个值相等( )
A．115
(8)B．113
(8)
C．114
(8)
D．116
(8)
10．已知件产品中有件次品，其余为合格品．现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为（）
A．B． C． D．
11．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）
A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球
13.为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，并决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则第4组至少有一名志愿者被
抽中的概率为（）
A. B. C. D.
二.填空题:（20分）
13.某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用
分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则
应抽取的男生人数为_______．
14.点在角的终边上，则
15.已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为．
16.执行如图所示的程序框图，则输出的S值是 .
三.解答题:（60分）
17.对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
通过计算平均值和方差，回答：甲、乙谁的平均成绩较好？谁的各门功课发展较平衡？18．同时抛掷1角、5角和1元的三枚硬币，计算：
(1)恰有一枚出现正面的概率；
(2)至少有两枚出现正面的概率．
19.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。

（I）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（II）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。

20.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
(Ⅰ)求y 关于t 的回归方程
(Ⅱ)用所求回归方程预测该地区xx 年（）的人民币储蓄存款. 附：回归方程中
1
12
2
21
1
()(),
()
.
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b x x x
nx
a y bx ====⎧---⎪⎪==
⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩
∑∑∑∑
延津县高级中学间周考考试卷
数学参考答案
1~12：BCBBC DABAB CC 13. 14. 15. 16. 17. 解()1
=
6080709070745
x ++++=甲 ()1
=
8060708075735x ++++=乙 ()2222221
=14641641045s ++++=甲
()2222221
=713372565
s ++++=甲
从以上数据可知：，
所以，甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较为均衡。

18. (1)用A 表示“恰有一枚出现正面”这一事件：
则A ＝{(正，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)}．因此P(A)＝38.
(2)用B 表示“至少有两枚出现正面”这一事件，
则B ＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，正，正)}，因此P(B)＝48＝1
2
.
19. 解：（I ）所有可能摸出的结果是：
111211122122{,},{,},{,},{,},{,},{,},A a A a A b A b A a A a 21221212{,},{,},{,},{,},{,},{,},A b A b B a B a B b B b
20. 解：（1）()11234535t =
++++=;()1
5678107.25
y =++++=
5
1
15263748510120i i
i t y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑
5
21
149162555i
i t
==++++=∑
所以1
2
21
120108
=
=1.25545
n
i i
i n
i i t y nx y
b t nx
==--=
--∑∑
ˆˆ7.2 1.23 3.6a
y bt =-=-⨯= 故所求回归方程为.
(2)将代入回归方程可预测该地区xx 年的人民币储蓄存款为
ˆ 1.26 3.610.8().y
千亿元20316 4F5C 作34882 8842 衂39262 995E 饞20232 4F08 伈#838538 968A 隊 29970 7512 甒31310 7A4E 穎22464 57C0 埀37561 92B9 銹U29523 7353 獓27291 6A9B 檛。