高数积分总结doc

第四章 一元函数的积分及其应用

第一节 不定积分

一、原函数与不定积分的概念 定义1.设)(x f 是定义在某区间的已知函数，

若存在函数)(x F ，使得)

()(x f x F ='或

dx x f x dF )()(=,则称)(x F 为)(x f 的一个原函数

定义2.函数

)(x f 的全体原函数C x F +)(叫做)(x f 的不定积分，，记为:

⎰+=C x F x x f )(d )(

其中

)(x f 叫做被积函数 x x f d )(叫做被积表达式 C 叫做积分常数

“

⎰”叫做积分号

二、不定积分的性质和基本积分公式

性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即

()⎰=='

⎰

x x f x x f x f x x f d )(d )(d )(d )(；.

性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即

⎰+=+=⎰'C x f x f C x f x x f )()(d ,)(d )(或

性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即

⎰≠=⎰)0(d )(d )(k x x f k x x kf .

性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即

[]⎰⎰±=⎰±x x g x x f x x g x f d )(d )(d )()(

基本积分公式

(1)⎰+=C kx x k d (k 为常数) (2)C x x x ++=

⎰+1

1

1d μμμ(1-≠μ) (3)C x x x

+=⎰ln d 1 (4)⎰

+=C e dx e x x

(5)⎰

+=C a

a x a x

x

ln d

(6)⎰+=C x x x sin d cos (7)⎰

+-=C x x x cos d sin (8)⎰+=C x x x tan d sec 2 (9)⎰+-=C x x x cot d csc 2 (10)⎰+=C x x x x sec d tan sec (11)⎰+-=C x x x x csc d cot csc (12)⎰++=C x x x x tan sec ln d sec

(13)+-=C x x x x cot ln d csc (14)C x x +=arctan d 1

三、换元积分法和分部积分法 定理1. 设)(x ϕ可导，并且.)(d )(⎰

+=C u F u u f 则有

C

x F x u C

u F u

u f x u x x f x x x f +=+⎰=⎰'⎰))(()

()(d )()

()

(d )]([d )()]([ϕϕϕϕϕϕϕ代回令凑微分

该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法． 定理2.设)(t x

ϕ=是可微函数且0)(≠'t ϕ，若)())((t t f ϕϕ'具有原函

数)(t F ，则

()()d x t f x x

ϕ=⎰换元

()()()()()11

d .

t x f t t t

F t C

F x C ϕϕϕϕ--='⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦⎰

积分

回代

该方法叫第二换元积分法

:

)d (的原则或及选取v v u '

1) v 容易求得 ; x v u x v u d d )2''⎰

⎰比

解题技巧: :的一般方法及选取v u '

把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的顺序,

前者为u 后者为.v '

第二节 定积分概念

一、原函数与不定积分的概念 二、定积分的定义和存在定理

三、定积分的几何意义与定积分的性质 1．定积分的几何意义 2. 定积分的性质 性质1.=⎰±dx x g x f b a

)]()([

±⎰b a dx x f )(⎰b

a dx x g )(.

性质2.

=⎰b a

dx x kf )(k ⎰b

a dx x f )( (k 是常数).

性质3. =⎰b a

dx x f )(⎰+c a dx x f )(⎰b

c dx x f )(.

性质4.

=⎰b a

dx x f )(a b dx b

a -=⎰.

推论1. 如果在],[b a 上，则),()(x g x f ≤≤⎰b a dx x f )(⎰b a dx x g )( (a

推论2. ≤⎰b a

dx x f )(⎰b

a dx x f )(

性质5.

0)(≥⎰b a

dx x f )(b a <.

性质6. 设M 与m 分别是函数

],[)(b a x f 在上的最大值及最小值，则

≤-)(a b m ≤⎰b a dx x f )()(a b M - (b a <).

性质7 .(定积分中值定理) 如果函数

)(x f 在闭区间],[b a 上连续，

则在积分区间],[b a ]上至少存在一点ξ，使下式成立：

))(()(a b f dx x f b

a

-=⎰ξ (b a ≤≤ξ)

可积的充分条件:

定理1.上连续在函数],[)(b a x f ，则.],[)(可积在b a x f

定理2.,],[)(上有界在函数b a x f 且只有有限个间断点 ，则.],[)(可积在b a x f

第三节 微积分基本公式 一、微积分基本公式 1. 变上限函数

定义1. 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则它在],[b a 任意一个子区间],[x a 上可积，则

⎰=

Φx

a dx t f x )()( (

b x a ≤≤)

是上限变量x

的函数，称此函数为积分上限函数，也称为变上限函数. 2. 微积分基本公式

定理2.=⎰b a

dx x f )(-)(b F )

(a F

1.定积分的换元积分法

定理3.=⎰b a dx x f )([]

dt t t f ⎰'βα

ϕϕ)()(

注：设

)(x f 在],[a a -上连续,证明

(1)若)(x f 在],[a a -为偶函数，则 ⎰-a a

dx x f )(=⎰a dx x f 0)(2；

(2)若)(x f 在],[a a -上为奇函数，则

⎰-a

a dx x f )(=0.

2.定积分的分部积分法

定理4.⎰-⎰=b a

b a

b a

vdu uv udv ][