(完整word)上海高考数学填选难题解析

* 上海 2012-2015 高考填选难题解析

2015 年

13.（理）已知函数 f (x ) = sin x ，若存在 x 1 、 x 2 、…、 x m 满足 0 ≤ x 1 < x 2 < ... < x m ≤ 6π ，

且 | f (x 1 ) - f (x 2 ) | + | f (x 2 ) - f (x 3 ) | +...+ | f (x m -1) - f (x m ) | = 12 (m ≥ 2, m ∈ N

的最小值为

；

【解析】根据题意，| f ( x m -1 ) - f ( x m ) | ≤ 2 ，如图所示，最少需要 8 个数

) ，则

m

13.（文）已知平面向量 a 、b 、c 满足 a ⊥ b ，且{| a |,| b |,| c |} = {1, 2, 3} ，则| a + b + c | 的

最大值是

；

【解析】平方后可知 c 与 a + b 同向时，取最大， 情况不是很多，可以列举法，如图可得最大值为

3 + 5

14. 在锐角三角形 ABC 中， tan A = 1

， D 为边 BC 上的点，△ ABD 与△ ACD 的面积分

2

别为 2 和 4，过 D 作 DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥ AC 于 F ，则DE DF ⨯u u u r u u u r =

；

【解析】取特殊情况 AB = AC ，根据题意 DC = 2DB ， 设 DB = a ，则 DC = 2a ，∵ tan A = 1 ，∴ tan

A

=

5 - 2

2 2

3( 5 + 2)a 4

可表示高 h = ，∵△ ABC 面积为 6，∴ h =

2 a

即 4 = 3( 5 + 2)a ，解得 a 2 = 8

( 5 - 2) ， DE = a sin B a 2 3

DF = 2a sin B ，∴ DE ⋅ DF = 2a 2 sin 2 B ⋅ cos ∠EDF = 2a 2 cos 2 A ⋅ (- cos A ) = - 16

2 15

17.（理）记方程①：x 2 + a 1 x +1 = 0 ；方程②：x 2 + a 2x + 1 = 0 ；方程③：x 2

+ a 3x +1 = 0 ；

其中 a 1 、 a 2 、 a 3 是正实数，当 a 1 、 a 2 、 a 3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无 实数根的是（

）

A. 方程①有实根，且②有实根

B. 方程①有实根，且②无实根

C. 方程①无实根，且②有实根

D. 方程①无实根，且②无实根

n

n

n

【解析】A 选项，方程①有实根说明 a 2

≥ 4 ，方程②有实根说明 a 2

≥ 4 ，并不能推出是递

1

2

增还是递减，也就无法得出 a 2 < 4 ；B 选项， a 2 ≥ 4 ， a 2 < 4 ，说明递减，则 a 2

< 4 ，

3 1 2 3

可推出方程③无实数根；C 、D 选项同理分析，均不对，故选 B ； 17.（文）已知点 A 的坐标为 (43,1) ，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转3

π

至OB ，则B 点纵坐标为（

）

3 3 5 3 11 13 A.

B.

C.

D.

2

2

2

2

【解析】设 ∠AOx = θ ，∴ sin

= 1

， cos = 4 3 ， 7 7

∴，根据题意， B 点纵坐标可表示为 7 sin( +

) ，

3

∴ 7 s in( + ) = 7 s in ⋅ 1 + 7 c os ⋅ 3 = 13

3 2 2 2

n

*

18、设(),n n n x y P 是直线21

n

x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1

lim

1

n n n y x →∞

-=-（ ） A ．1- B ．1

2

-

C ．1

D ．2 【解析】当 n → ∞ 时，直线方程趋近于 2x - y = 1，与圆 x 2

+ y 2

= 2 在第一象限的交点逐 渐靠近 (1,1) ，而

y n -1

可看作点 P (x , y ) 与点 (1,1) 连线的斜率，这两个点是越来越靠近

x n -1

的，它的斜率会逐渐接近圆 x 2

+ y 2

= 2 在点 (1,1) 处的切线的斜率，斜率为 -1，故选 A ；

a b

13. 某游戏的得分为1、2 、3 、4 、5 ，随机变量ξ 表示小白玩该游戏的得分，若 E (ξ ) = 4.2 ， 则小白得 5 分的概率至少为

；

【解析】设得 i 分的概率为 p i ，∴ p 1 + 2 p 2 + 3 p 3 + 4 p 4 + 5 p 5 = 4.2 ，

且 p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = 1 ，∴ 4 p 1 + 4 p 2 + 4 p 3 + 4 p 4 + 4 p 5 = 4 ，与前式相减得：

-3 p 1 - 2 p 2 - p 3 + p 5 = 0.2 ，∵ p i ≥ 0 ，∴ -3 p 1 - 2 p 2 - p 3 + p 5 ≤ p 5 ，即 p 5 ≥ 0.2

14. 已知曲线 C : x = - 4 - y 2

，直线 l : x = 6 ，若对于点 A (m , 0) ，存在 C 上的点 P 和 l 上

的 Q 使得 AP + AQ = 0 ，则 m 的取值范围为

；

x + x 【解析】根据题意，A 是 PQ 中点，即 m = P Q

=

x P + 6 ，∵ -2 ≤ x ≤ 0 ，∴ m ∈[2, 3] 2 2 P

17. 已知 P 1 (a 1 , b 1 )

与 P 2 (a 2 , b 2 ) 是直线 y = kx +1（ k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和 ⎧a x + b y = 1 y 的方程组 ⎨

1 1

的解的情况是（ ）

⎩a 2 x + b 2 y = 1

A. 无论 k , P 1 , P 2 如何，总是无解

B. 无论 k , P 1 , P 2 如何，总有唯一解

C. 存在 k , P 1 , P 2 ，使之恰有两解

D. 存在 k , P 1 , P 2 ，使之有无穷多解

a 1

b 1 【解析】由已知条件 b 1 = ka 1 +1， b 2 = ka 2 +1， D =

2 2

= a 1b 2 - a 2b 1 = a 1 (ka 2 +1) -

a 2 (ka 1 +1) = a 1 - a 2 ≠ 0 ，∴有唯一解，选 B ；

⎧(x - a )2 , ⎪

x ≤ 0

18. 设 f (x ) = ⎨ 1 ，若 f (0) 是 f (x ) 的最小值，则 a 的取值范围为（

）

⎪x + + a , x > 0 ⎩ x A. [-1 , 2]

B. [-1 , 0]

C. [1 , 2]

D. [0 , 2]

【解析】先分析 x ≤ 0 的情况，是一个对称轴为 x = a 的二次函数，当 a < 0 时，

f (x )min = f (a ) ≠ f (0) ，不符合题意，排除 AB 选项；当 a = 0 时，根据图像 f (x )min = f (0) ，

即 a = 0 符合题意，排除 C 选项；∴选 D ；解这类题要熟悉图像，找出关键区别点；