高考总复习三角恒等变换专题习题附解析

高考总复习三角恒等变换专题习题附解析

文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]

三角恒等变换专题习题

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．已知α为锐角，cosα＝，则tan＝( )

A．－3 B．－

C．－D．－7

解析依题意得，sinα＝，故tanα＝2，tan2α＝＝－，所以tan＝＝－.

答案B

2．已知cos＝－，则cos x＋cos的值是( )

A．－B．±

C．－1 D．±1

解析cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1.

答案C

3．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( )

A. B.

C. D．－1

解析∵cos2θ＝，∴sin22θ＝，∴sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－(sin2θ)2＝.

答案B

4．已知α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值是( )

A．－1 B．1

C．2 D．4

解析∵α＋β＝，tan(α＋β)＝＝1，

∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.

∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ

＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2.

答案C

5.

(2014·成都诊断检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为和，则cos(α＋β)的值为( )

A．－B．－

C．0 D.

解析cosα＝，sinα＝，cosβ＝－，sinβ＝，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝·(－)－·＝－.选A.

答案A

6．若＝－，则sinα＋cosα的值为( )

A．－B．－

C. D.

解析∵(sinα－cosα)＝－(cos2α－sin2α)，

∴sinα＋cosα＝.

答案C

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．若tan＝，则tanα＝________.

解析∵tan＝＝，

∴5tanα＋5＝2－2tanα.

∴7tanα＝－3，∴tanα＝－.

答案－

8．(2013·江西卷)函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________．

解析y＝sin2x＋2sin2x＝sin2x－cos2x＋

＝2sin(2x－)＋，所以T＝π.

答案π

9．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ＝________.

解析f(x)＝sin x－2cos x＝(sin x－cos x)＝sin(x－φ)而sinφ＝，cosφ＝，当x －φ＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值，即θ＝φ＋＋2kπ时，f(x)取最大值．cosθ＝cos(φ＋＋2kπ)＝－sinφ＝－＝－.

答案－

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

10．已知tan2θ＝(<θ<π)，求的值．

解∵tan2θ＝＝，

∴tanθ＝－3或tanθ＝.

又θ∈(，π)，∴tanθ＝－3.

∴＝＝

＝＝－.

11．已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.

(1)求ω的值；

(2)设α，β∈，f＝－，

f＝，求cos(α＋β)的值．

解(1)∵T＝10π＝，∴ω＝.

(2)由(1)得f(x)＝2cos，

∵f＝2cos＝－2sinα＝－.

∴sinα＝，cosα＝.

∵f＝2cosβ＝，

∴cosβ＝，sinβ＝.

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝×－×＝－.

12．(2013·重庆卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab ＝c2.

(Ⅰ)求C；

(Ⅱ)设cos A cos B＝，＝，求tanα的值．

解(Ⅰ)因为a2＋b2＋ab＝c2，

由余弦定理有cos C＝＝＝－.

故C＝.

(Ⅱ)由题意得

＝.

因此(tanαsin A－cos A)(tanαsin B－cos B)＝，

tan2αsin A sin B－tanα(sin A cos B＋cos A sin B)＋cos A cos B＝，tan2αsin A sin B－tan αsin(A＋B)＋cos A cos B＝.①

因为C＝，A＋B＝，所以sin(A＋B)＝，

因为cos(A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B，即－sin A sin B＝，解得sin A sin B＝－＝.

由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.