(完整)高二文科数学——抛物线练习题
抛物线的练习题
抛物线的练习题抛物线的练习题在数学学科中，抛物线是一个经常出现的图形，它具有许多有趣的性质和应用。
通过解决抛物线的练习题，我们不仅可以加深对抛物线的理解，还可以提高我们的数学思维能力和解决问题的能力。
下面，我们来看一些关于抛物线的练习题。
练习题一：求顶点坐标已知抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
求抛物线的顶点坐标。
解答：顶点是抛物线的最高点或最低点，它的 x 坐标可以通过公式 x = -b/2a求得。
将 x = -b/2a 代入抛物线的方程，即可求得顶点的 y 坐标。
练习题二：求焦点坐标已知抛物线的焦点坐标为 F(x1, y1)，顶点坐标为 V(xv, yv)，且焦距为 p。
求抛物线的方程。
解答：根据抛物线的定义可知，焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到直线的距离。
利用这个性质，我们可以得到焦点坐标与顶点坐标之间的关系。
根据焦点到顶点的距离等于焦距 p，可以得到以下关系式：√((x1 - xv)^2 + (y1 - yv)^2) = p将抛物线的标准方程 y = ax^2 + bx + c 代入上述关系式，再利用顶点坐标的求解方法，可以得到抛物线的方程。
练习题三：求抛物线与直线的交点已知抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c，直线的方程为 y = mx + n。
求抛物线与直线的交点坐标。
解答：将直线的方程代入抛物线的方程，可以得到一个关于 x 的二次方程。
解这个二次方程，即可求得交点的 x 坐标。
将求得的 x 坐标代入直线的方程，即可求得交点的 y 坐标。
练习题四：求两条抛物线的交点已知两条抛物线的方程分别为 y1 = a1x^2 + b1x + c1 和 y2 = a2x^2 + b2x + c2，其中a1 ≠ 0，a2 ≠ 0。
求两条抛物线的交点坐标。
解答：将两条抛物线的方程相减，可以得到一个关于 x 的二次方程。
解这个二次方程，即可求得交点的x 坐标。
高中数学抛物线习题精选(带答案)
抛物线习题精选一、选择题1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，在抛物线准线上的射影分别是，，则为（）．A．45°B．60°C．90°D．120°2．过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）．A．B．C．D．4．若抛物线（）的弦PQ中点为（），则弦的斜率为（）A．B．C．D．5．已知是抛物线的焦点弦，其坐标，满足，则直线的斜率是（）A．B．C．D．6．已知抛物线（）的焦点弦的两端点坐标分别为，，则的值一定等于（）A．4 B．－4 C．D．7．已知⊙的圆心在抛物线上，且⊙与轴及的准线相切，则⊙的方程是（）A．B．C．D．8．当时，关于的方程的实根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．将直线左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线仅有一个公共点，则实数的值等于（）A．－1 B．1 C．7 D．910．以抛物线（）的焦半径为直径的圆与轴位置关系为（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么长是（）A．10 B．8 C．6 D．412．过抛物线（）的焦点且垂直于轴的弦为，为抛物线顶点，则大小（）A．小于B．等于C．大于D．不能确定13．抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0）14．已知抛物线（）上有一点，它到焦点的距离为5，则的面积（为原点）为（）A．1 B．C．2 D．15．记定点与抛物线上的点之间的距离为，到此抛物线准线的距离为，则当取最小值时点的坐标为（）A．（0，0）B．C．（2，2）D．16．方程表示（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆17．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则的坐标为（）A．（－2，8）B．（2，8）C．（－2，－8）D．（－2，8）18．设为过焦点的弦，则以为直径的圆与准线交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或1或219．设，为抛物线上两点，则是过焦点的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．不充分不必要20．抛物线垂点为（1，1），准线为，则顶点为（）A．B．C．D．21．与关于对称的抛物线是（）A．B．C．D．二、填空题1.顶点在原点，焦点在轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_________．2.抛物线顶点在原点，焦点在轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_________．3．过点（0，－4）且与直线相切的圆的圆心的轨迹方程是_________．4．抛物线被点所平分的弦的直线方程为_________．5．已知抛物线的弦过定点（－2，0），则弦中点的轨迹方程是________．6．顶点在原点、焦点在轴上、截直线所得弦长为的抛物线方程为____________．7．已知直线与抛物线交于、两点，那么线段的中点坐标是__ _．8．一条直线经过抛物线（）的焦点与抛物线交于、两点，过、点分别向准线引垂线、，垂足为、，如果，，为的中点，则 =__________．9．是抛物线的一条焦点弦，若抛物线，，则的中点到直线的距离为_________．10．抛物线上到直线的距离最近的点的坐标是____________．11．抛物线上到直线距离最短的点的坐标为__________．12．已知圆与抛物线（）的准线相切，则 =________．13．过（）的焦点的弦为，为坐标原点，则=________．14．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的纵坐标为__________．15．已知抛物线（），它的顶点在直线上，则的值为__________．16．过抛物线的焦点作一条倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的范围是________．17．已知抛物线与椭圆有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为__________．18．抛物线的焦点为，准线交轴于，过抛物线上一点作于，则梯形的面积为_______________．19．探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点处，如果到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_________．三、解答题1．知抛物线截直线所得的弦长，试在轴上求一点，使的面积为392．若的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程3．已知是以原点为直角顶点的抛物线（）的内接直角三角形，求面积的最小值．4．若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的的坐标．5．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过．6．抛物线以轴为准线，且过点，（）求证不论点的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值．7．已知抛物线（）的焦点为，以为圆心，为半径，在轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点、，为线段的中点．①求的值；②是否存在这样的，使、、成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．8．求抛物线和圆上最近两点之间的距离．9．正方形中，一条边在直线上，另外两顶点、在抛物线上，求正方形的面积．10．已知抛物线的一条过焦点的弦被焦点分为，两个部分，求证．11．一抛物线型拱桥的跨度为，顶点距水面．江中一竹排装有宽、高的货箱，问能否安全通过．12．已知抛物线上两点，（在第二象限），为原点，且，求当点距轴最近时，的面积．13．是抛物线上的动点，连接原点与，以为边作正方形，求动点的轨迹方程．参考答案：一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D二、1．；2．；3．；4．5．；6．（在已知抛物线内的部分）7．或；8．（4，2）；9．10．；11．；12．2；13．－414．2；15．0，，，；16．17．；18．3．14；19．36.2cm三、1．先求得，再求得或2．3．设，，则由得，，，于是当，即，时，4．抛物线的准线方程为，过作垂直准线于点，由抛物线定义得，，要使最小，、、三点必共线，即垂直于准线，与抛物线交点为点，从而的最小值为，此时点坐标为（2，2）．5．建立坐标系，设抛物线方程为，则点（26，－6.5）在抛物线上，抛物线方程为，当时，，则有，所以木箱能安全通过．6．设抛物线的焦点为，由抛物线定义得，设顶点为，则，所以，即为椭圆，离心率为定值．7．①设、、在抛物线的准线上射影分别为、、，则由抛物线定义得，又圆的方程为，将代入得②假设存在这样的，使得，由定义知点必在抛物线上，这与点是弦的中点矛盾，所以这样的不存在8．设、分别是抛物线和圆上的点，圆心，半径为1，若最小，则也最小，因此、、共线，问题转化为在抛物线上求一点，使它到点的距离最小.为此设，则，的最小值是9．设所在直线方程为，消去得又直线与间距离为或从而边长为或，面积，10．焦点为，设焦点弦端点，，当垂直于轴，则，结论显然成立；当与轴不垂直时，设所在直线方程为，代入抛物线方程整理得，这时，于是，命题也成立．11．取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（－26，－6.5），（26，－6.5），设抛物线型拱桥的方程为，则，所以，抛物线方程为．当时，，而，故可安全通过．12．设，则，因为，所以，直线的方程为，将代入，得点的横坐标为（当且仅当时取等号），此时，，，，所以．13．设，，过，分别作为轴的垂线，垂足分别为，，而证得≌，则有，，即、，而，因此，即为所求轨迹方程．。
【高二数学】抛物线经典例题(共14页)
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高中数学抛物线练习(有答案)
1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：FK p =③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。
⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。
所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。
所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。
所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。
，py x py x 2222-== 4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。
③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中一般情况归纳：抛物线的定义：例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程． 分析：点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等，符合抛物线定义．例2：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长．分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．由⎩⎨⎧+==142x y x y 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
高二数学抛物线试题
高二数学抛物线试题1.已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，若，则的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵直线y=k（x-2）（k＞0）恒过定点（2，0）即为抛物线y2=8x的焦点F过A，B两点分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，再过B作AC的垂线，垂足为E，设|BF|=m，∵|FA|=2|FB|，∴|AF|=2m∴AC=AF=2m，|BD|=|BF|=m如图，在直角三角形ABE中，AE=AC-BD=2m-m=m，AB=3m，∴cos∠BAE=∴直线AB的斜率为：k=tan∠BAE=2,故选 D.【考点】直线与圆锥曲线的关系.2.若点A的坐标为（3，2），F为抛物线的焦点，点P是抛物线上的一动点，则取得最小值时，点P的坐标是。
【答案】（2，2）【解析】由抛物线的定义可知，|PF|等于P点到准线的距离，因此当|PA|+|PF|取得最小值时，直线AP与抛物线的准线垂直，求得P点的坐标为（2，2）.【考点】抛物线的定义与性质3.准线为的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣4x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=8x【答案】B【解析】设抛物线方程为，准线方程，解得，抛物线方程【考点】抛物线方程的应用.4.如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点上，且灯的深度等于灯口直径，且为64 ，则光源安装的位置到灯的顶端的距离为____________．【答案】.【解析】先以反射镜定点为原点，以顶点和焦点所在直线为轴，建立直角坐标系．设抛物线方程为，依题意可点在抛物线上，代入抛物线方程得，求得，进而可求得焦距为，即为所求．【考点】抛物线的应用．5.已知抛物线．命题p: 直线l1:与抛物线C有公共点．命题q: 直线l2:被抛物线C所截得的线段长大于2．若为假, 为真,求k的取值范围．【答案】或或．【解析】先求出p为真, ；q为真,得且．由为假, 为真可得：p,q一真一假．若p真q假, 则或;若q真p假, 则．综上可得结论．若p为真,联立C和l1的方程化简得．时,方程显然有解;时,由得且．综上 (4分)若q为真, 联立C和l2的方程化简得,时显然不成立;∴,由于l2是抛物线的焦点弦, 故,解得且．(8分)∵为真, 为假,∴p,q一真一假．若p真q假, 则或; 若q真p假, 则．综上或或． (12分)【考点】复合命题真假的判断；根与系数的关系；焦点弦问题．6.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点．求证：(1)为定值；(2) 为定值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设过焦点的直线方程与联立，利用韦达定理，即可得出结论；（2）利用，及根与系数的关系即可得出．(1)抛物线的焦点为，设直线的方程为．由消去，得.由根与系数的关系，得(定值)．当轴时，，，也成立．(2)由抛物线的定义，知，.(定值)．当轴时，，上式仍成立．【考点】抛物线的简单性质.7.抛物线y＝x2到直线 2x－y＝4距离最近的点的坐标是 .【答案】【解析】设与直线平行的直线方程为，将和联立消去并整理可得，即时直线与相切。
(完整word版)文科数学抛物线练习
高二文科数学-—抛物线练习题【知识回顾】平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线。
（1）设00(,)P x y 是抛物线上的一点，则当焦点F 在x 轴上时，02pPFx =+;当焦点F 在y 轴上时，02p PF y =+.此公式叫做焦半径公式。
（2）设AB 是过抛物线22y px =的焦点F 的一条弦,则12||AB x x p =++。
一、选择题1．经过（1,2）点的抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2=4x B ．x 2=21y C 。
y 2=4x 或x 2=21y D. y 2=4x 或x 2=4y 2．抛物线y = —2x 2的准线方程是( )A 。
x = —21 B .x =21 C 。
y =81 D 。
y = —81 3．动圆M 经过点A （3,0)且与直线l ：x = —3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 A. x y 122= B 。
x y 62=C. xy 32= D.x y 242=4．动点M 到定点(4,0)F 的距离比它到定直线x +5=0的距离小1,则点M 的轨迹是( ) A ．y 2=4x B ．y 2=16x C ．x 2=4y D ．x 2=16y 5．已知抛物线的焦点在直线240x y --=上，则此抛物线的标准方程是 A.x y 162= B 。
yx 82-=C. x y 162=或y x 82-= D 。
x y 162=或y x 82=6．抛物线y 2+4x =0关于直线x +y =0对称的曲线的方程为( )A ．x 2= —4yB ．x 2=4yC ．y 2=4xD ．y 2= -4x7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(,2)M m -到焦点P 的距离为4,则m 的值为 ( ） A 。
4± B.2- C 。
2-或4- D 。
2±8．设AB 是抛物线py x 22=的焦点弦,B A 、在准线上的射影分别为11B A 、,则11FB A ∠等于（ ）A. ︒45 B 。
高二数学抛物线试题
高二数学抛物线试题1.抛物线上的点到直线的距离最小值为A．B．C．D．3【答案】A【解析】在抛物线上任设一点，则该点到直线的距离为，所以最小值为.【考点】点到直线的距离.2.斜率为2的直线L经过抛物线的焦点F，且交抛物线与A、B两点，若AB的中点到抛物线准线的距离1，则P的值为（）.A.1B.C.D.【答案】B【解析】设斜率为2且经过抛物线的焦点F的直线L的方程为，联立，得，即；设，中点；则；因为AB的中点到抛物线准线的距离为1，所以，.【考点】直线与抛物线的位置关系.3.已知圆C：的圆心为抛物线的焦点，直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，则该圆的方程为（）.A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为抛物线的焦点为，即为圆C的圆心，又直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，所以圆心到直线的距离即为半径，则有，故选C.【考点】点到直线的距离公式，圆的切线的性质，抛物线的焦点坐标公式，圆的标准方程.4.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则=（）A．B．C．4D．【答案】B.【解析】由题意可设抛物线方程为，因为点到该抛物线焦点的距离为3，所以，即，即抛物线方程为，又因为点在抛物线上，所以，所以，故选B．【考点】抛物线的简单性质．5.已知点M是抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C:上，则的最小值为__________．【答案】4【解析】抛物线的准线方程为：x=-1过点M作MN⊥准线，垂足为N∵点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点∵A在圆C：，圆心C（4，1），半径r=1∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小∴=4．【考点】圆与圆锥曲线的综合；考查抛物线的简单性质；考查距离和的最小．6.抛物线的焦点坐标是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意可知条件中表示的是焦点在y轴上抛物线，2p=4，p=2，而焦点坐标为，故选B.【考点】抛物线的焦点坐标.7.已知过曲线上任意一点作直线的垂线，垂足为,且.⑴求曲线的方程；⑵设、是曲线上两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】⑴⑵当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.【解析】⑴要求曲线方程,但是不知道是哪种曲线,所以只能设点.根据,转化为求曲线方程即可;⑵要证明直线恒过定点,必须得有直线方程,所以首先设出直线方程.又因为两个角是直线和的倾斜角,所以点也得设出来.利用韦达定理,然后讨论的范围变化,证明并得出定点坐标. 试题解析：⑴设，则，由得，;即;所以轨迹方程为;⑵设，由题意得（否则）且,所以直线的斜率存在，设其方程为，因为在抛物线上,所以，将与联立消去，得;由韦达定理知①;(1)当时，即时，,所以，,所以.由①知：,所以因此直线的方程可表示为，即.所以直线恒过定点(2)当时，由，得==将①式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为,即,所以直线恒过定点;所以由(1)(2)知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点. 12分【考点】相关点法求曲线方程;分类讨论.8.已知为抛物线上的两点，且的横坐标分别为，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，则的纵坐标为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为为由抛物线上的两点，且的横坐标分别为，所以两点的坐标分别为.由抛物线得，求导可得.所以过点的切线的斜率为4，故过点的切线方程为.同理写出过点的切线方程.所以它们交点的纵坐标是-4.故选C.【考点】1.曲线上的点.2.曲线的切线.3.直线的交点.9.设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的焦点F坐标为(，0)，则直线l的方程为y=2(x-)，它与y轴的交点为A(0，-)，所以△OAF的面积为，解得a=±8．所以抛物线方程为y2=±8x，故选B．【考点】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质，直线方程的点斜式。
高中数学《抛物线》练习题
抛 物 线一、选择题1．抛物线y ＝14x 2的焦点关于直线x －y －1＝0的对称点的坐标是( ) A ．(2，－1) B ．(1，－1) C ．(14，－14) D ．(116，－116) 2．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( ) A.3 B ．2 C.5 D. 63．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．54．已知P (8，a )在抛物线y 2＝4px 上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．8D ．165．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上有一点M (4，y )，它到焦点F 的距离为5，则△OFM 的面积(O 为原点)为( )A ．1 B.2 C ．2 D ．2 26．设定点M ⎝⎛⎭⎫3，103与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为( )A ．(0,0)B ．(12)C ．(2,2) D.⎝⎛⎭⎫18，－12 7．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都是满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，2]C ．[0,2]D ．(0,2)8．抛物线y ＝14ax 2(a ≠0)的焦点坐标为( ) A ．a >0时为(0，a )，a <0时(0，－a ) B ．a >0时为(0，a 2)，a <0时为(0，－a 2) C ．(0，a ) D ．(1a，0) 9．若抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离是( )A ．6B ．4C ．2D ．1 10．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点， 若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线11．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝3p ，则|PQ |等于( )A ．4pB ．5pC ．6pD ．8p12．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5，25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x13．与y 轴相切并和圆x 2＋y 2－10x ＝0外切的动圆圆心的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线和一条射线C ．椭圆D ．抛物线14．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－215．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点，且过A 、B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36xB ．y 2＝－36xC ．y 2＝±36xD ．y 2＝±33x 16．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78 D ．017．若双曲线x 23－16y 2p2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．4 218．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一动点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于定点A (4,5)，则|P A |＋d 的最小值为( )A ．4 B.74 C.17－1 D.34－119．已知直线l ：y ＝k (x ＋1)，抛物线C ：y 2＝4x ，l 与C 有一个公共点的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．1条、2条或3条20．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是A ．12B ．－12C ．3D ．－3二、填空题21．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________.22．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝________.23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是________．24．若点A的坐标为(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动，为使|MA|＋|MF|最小，点M的坐标应为______________．25抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点A(4，m)，其到准线的距离为6，则m ＝________.26．抛物线y2＝2px(p>0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是________．27已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝____. 28．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点到AB的距离为________．三、解答题29．如图所示，P为圆M：(x－3)2＋y2＝1上的动点，Q为抛物线y2＝x上的动点，试求|PQ|的最小值．30．抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．31如下图所示，线段AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a(a为常数，且a≥1)，求弦的中点M到x轴的最近距离．32点P在抛物线2y2＝x上，点Q在圆(x－2)2＋y2＝1上，求|PQ|的最小值．。
高中数学抛物线专项习题
抛物线1、设圆C 与圆1)3(22=-+y x 外切，与直线y=0相切，则C 的圆心轨迹为（ ）A 、抛物线B 、双曲线C 、椭圆D 、圆2、设抛物线x y 82=上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ）A 、4B 、6C 、8D 、123、已知F 是抛物线x y =2的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则该线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）4、以x 轴为对称轴，以坐标原点为顶点，焦点在直线x-y=1上的抛物线的方程是（ ）A 、x y 42-=B 、x y 42=C 、x y 22-=D 、x y 22=5、过点F （1,0）且与直线x=-1相切的动圆圆心P 的轨迹方程是（ ）A 、x y 42=B 、x y 42-=C 、x y 22=D 、x y 22-=6、以双曲线6322y x -=1的右焦点为焦点的抛物线标准方程为（ ） A 、x y 122= B 、y x 122= C 、x y 62= D 、y x 62=7、F 是抛物线y x 42=的焦点，P 是该抛物线上的动点，若2=PF ，则点P 的坐标是（ ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛49,3 B 、()1,2± C 、()2,1± D 、（0，0）8、已知抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A 、B 两点，若P （2,2）为AB 的中点，则抛物线C 的方程为（ ）A 、x y 42=B 、x y 42-=C 、y x 42=D 、x y 82=9、设抛物线x y 82=的焦点为F ，准线为L ，P 为抛物线上一点，PA 垂直L ，A 为垂足。
如果直线AF 的斜率为3-，那么PF =A 、34B 、8C 、38D 、1610、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M ()0,2y 。
若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则=OM ( )A 、22B 、32C 、4D 、5211、已知F 是抛物线x y =2上的两点3=+BF AF ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A 、43B 、1C 、45D 、47 12、已知抛物线C ：24x y =，若存在定点A 与定直线L ，使得抛物线C 上任一点P ，都有点P 到点A 的距离与点P 到点L 的距离相等，则定点A 到定直线L 的距离为（ ）A 、81B 、21 C 、2 D 、4 13、已知抛物线方程为)0(22>=p px y ，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM ，BM 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M ，N 两点，那么∠MFN 必是（ ）A 、锐角B 、直角C 、钝角D 、以上皆有可能14、已知抛物线px y 22=的焦点F 与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且AF AK 2=，则ΔAFK 的面积为（ ）A 、4B 、8C 、16D 、3215、设椭圆)0(1x 2222>>=+b a by a 的右焦点与抛物线x y 82=的焦点相同，离心率为0.5，则此时椭圆的方程为（ ）A 、11612x 22=+yB 、11216x 22=+yC 、16448x 22=+yD 、14864x 22=+y 16、AB 是抛物线x y =2的一条焦点弦，若4=AB ，则AB 的中点到直线x+21=0的距离为_____________17、已知点P 是抛物线x y 22=上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A （⎪⎭⎫ ⎝⎛427，，则PM PA +的最小值是_____________18、抛物线x y 42=上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离4=MF ，则点M 的横坐标x=_____________ 19、已知双曲线)0(19x 222>=-a y a中心在原点，右焦点与抛物线x y 162=的焦点重合，则该双曲线的离心率为_____________20、以抛物线C ：x y 82=上的一点A 为圆心作圆，若该圆经过抛物线C 的顶点和焦点，那么该圆的方程为_____________21、若抛物线px y 22=的焦点与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，则p 的值为___________ 22、过抛物线241x y =焦点的直线与此抛物线交于A 、B 两点，A 、B 中点的纵坐标为2，则弦AB 的长为_____________23、已知圆C 与两圆1)2(1)4(2222=-+=++y x y x ，外切，圆C 的圆心轨迹方程为L ，设L 上的点与点M （x ，y ）的距离的最小值为m ，点F （0,1）与点M （x ，y ）的距离为n 。
抛物线习题
吉林省实验中学2014-2015学年度上学期高二文科数学课后作业（十三）一、选择题1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 2．(2010·湖南文，5)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．123．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±1024．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y5．(2011～2012·厦门市质检)抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为( )A．1 B.3 2C．2 D.5 26．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()A．2B．3C．4D．57．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是()A．x＋4＝0 B．x－4＝0C．y2＝8x D．y2＝16x8．设过抛物线的焦点F的弦为AB，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．以上答案都有可能9．(2010·东北师大附中模拟)抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x212－y24＝1的渐近线的距离为()A．1 B. 3C.33 D.3610．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为()A．2 3 B. 3C.12 3 D.14 3二、填空题11．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)．若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．12．已知圆x2＋y2＋6x＋8＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________.13．以双曲线x216－y29＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．14．(2011·山西省忻州市联考)点M(5,3)到抛物线x2＝ay(a>0)的准线的距离为6，则抛物线的方程是________．15．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y2＝2x的准线和双曲线x2 16－y29＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．三、解答题16．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．17．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝y 2－8.(1)求动点P 的轨迹方程．(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点．求证：OC ⊥OD (O 为原点)18．已知点M (－2,4)及焦点为F 的抛物线y ＝18x 2，在此抛物线上的点P ，使|PM |＋|PF |的值最小，求P 点坐标．。
抛物线的试题及答案高中
抛物线的试题及答案高中一、选择题1. 已知抛物线方程为 \( y^2 = 4px \)，其中 \( p > 0 \)，该抛物线的焦点坐标是（）。
A. \( (0, 0) \)B. \( (p, 0) \)C. \( (0, p) \)D. \( (2p, 0) \)答案：B2. 若抛物线 \( y = ax^2 + bx + c \) 经过点 \( (1, 0) \)，则下列哪个条件一定成立？（）A. \( a + b + c = 0 \)B. \( a + b + c = 1 \)C. \( a - b + c = 0 \)D. \( a - b + c = 1 \)答案：A二、填空题3. 抛物线 \( x^2 = 4y \) 的准线方程是 ________。
答案：\( y = -1 \)4. 抛物线 \( y = -2x^2 + 4x + 5 \) 的顶点坐标是 ________。
答案：\( (1, 6) \)三、解答题5. 已知抛物线 \( y = 2x^2 - 4x + 5 \)，求其焦点坐标和准线方程。
解：首先，将抛物线方程 \( y = 2x^2 - 4x + 5 \) 转化为标准形式\( x^2 = \frac{1}{2}(y - 5) \)。
由此可知，\( p = \frac{1}{4} \)，焦点坐标为 \( (0, \frac{5}{4}) \)，准线方程为 \( y = -\frac{3}{4} \)。
6. 抛物线 \( x^2 = 6y \) 与直线 \( y = mx + 2 \) 相交于两点 A 和 B。
求直线 AB 的斜率。
解：将直线方程 \( y = mx + 2 \) 代入抛物线方程 \( x^2 = 6y \) 得 \( x^2 = 6(mx + 2) \)。
整理得 \( x^2 - 6mx - 12 = 0 \)。
设A 点坐标为 \( (x_1, y_1) \)，B 点坐标为 \( (x_2, y_2) \)，由韦达定理得 \( x_1 + x_2 = 6m \)，\( x_1x_2 = -12 \)。
(完整版)抛物线练习题(含答案)
抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32，±62B.⎝⎛⎭⎫74，±72C.⎝⎛⎭⎫94，±32D.⎝⎛⎭⎫52，±102 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．125．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．20B ．8C ．22D ．248．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3 B. 3 C.12 3 D.143 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－210．抛物线y ＝1mx 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，m 4 B.⎝⎛⎭⎫0，－m 4 C.⎝⎛⎭⎫0，14m D.⎝⎛⎭⎫0，－14m 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4二、填空题13．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1= 。
高中数学抛物线练习题(含答案)
抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32，±62B.⎝⎛⎭⎫74，±72C.⎝⎛⎭⎫94，±32D.⎝⎛⎭⎫52，±102 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．125．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．20B ．8C ．22D ．248．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3 B. 3 C.12 3 D.143 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－210．抛物线y ＝1mx 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，m 4 B.⎝⎛⎭⎫0，－m 4 C.⎝⎛⎭⎫0，14m D.⎝⎛⎭⎫0，－14m 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4二、填空题13．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1= 。
高考数学抛物线大题专练30题(含详解)经典收藏版
目录目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11抛物线大题专练（一）1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．3．如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．4．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．5．已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．6．已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．7．已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．8．抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．9．已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．抛物线大题专练（二）10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．11．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．12．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．13．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．14．如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）当直线过点M（p，0）时，证明y1．y2为定值；（2）如果直线过点M（p，0），过点M再作一条与直线垂直的直线l′交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．16．（2014•陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．17．（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．18．（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．19．（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．20．（2014•江西）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．抛物线大题专练（三）21．（2014•杭州二模）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．22．（2014•包头一模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．（1）若∠BFD=120°，△ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；（2）在（1）的条件下，若A，B，F三点在同一直线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．23．（2014•长春三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．24．（2014•长沙二模）已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求△PCD面积的最小值．25．（2015•上海模拟）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．26．（2014•乌鲁木齐三模）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点过F，过H（﹣，0）引直线l交此抛物线于A，B两点．（1）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；（2）若p=2，点M在抛物线上，且+=t，求t的取值范围．27．（2014•太原二模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l1与抛物线交于不同的两点A、B，直线l2与抛物线交于不同的两点C、D．（Ⅰ）当l1过F时，在l1上取不同于F的点P，使得=，求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若l1与l2相交于点Q，且倾斜角互补时，|QA|•|QB|=a|QC|•|QD|，求实数a的值．28．（2014•合肥一模）已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p＞0）上，且抛物线的焦点F满足，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx+ny﹣m=0（m，n为常数且m≠0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）O为抛物线的顶点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别记为S1、S2、S3，求证：为定值．29．（2014•呼和浩特一模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l过定点A（4，0）且与抛物线C交于P、Q两点，若以弦PQ为直径的圆E过原点O．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当圆E的面积最小时，求E的方程．30．（2014•普陀区一模）已知点P（2，0），点Q在曲线C：y2=2x上．（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|=2，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值．抛物线大题专练参考答案与试题解析1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1，与抛物线方程联立，求出k的范围，利用，即可求出点A的纵坐标y1的取值范围．解答：解：（1）由定义得，则抛物线C的方程：x2=y（2）设直线AM的方程为：y=k（x﹣1）+1联立方程得x2﹣kx+k﹣1=0，A（k﹣1，（k﹣1）2），△1＞0即k≠2同理B（﹣k﹣1，（﹣k﹣1）2），△2＞0即k≠﹣2，令，则所以k＞2或，所以点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．2．（2015•淮安一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）求出函数y=﹣的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2．解答：解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2=x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0=﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y=kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4=0，所以．由，得．所以，故的为定值2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题和易错题．3．（2014•九江三模）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，求出p，即可求抛物线E的方程；（2）利用•+•=64，结合韦达定理，基本不等式，即可求直线l1、l2的方程．解答：解：（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，∴+=3，∴p=4．∴抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴•+•=32+16（k12+）≥64，当且仅当k12=，即k1=±1时取等号，∴直线l1、l2的方程为y=x+2或y=﹣x+2．点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．4．（2014•浙江二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出A，B的坐标，可得三角形ABO是Rt△，从而可求过A，B，O三点的圆方程；（Ⅱ）直线AB的方程为：x=my+b，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合α+β=，可得b=﹣2p﹣2mp，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，∴直线x=2p与抛物线y2=2px的两个交点坐标分别是：A（2p，2p），B（2p，﹣2p），∴三角形ABO是Rt△，∴过A，B，O三点的圆方程是：（x﹣2p）2+y2=4p2；（Ⅱ）设点，直线AB的方程为：x=my+b，它与抛物线相交，由方程组消去x可得y2﹣2mpy﹣2pb=0，故y1+y2=2mp，y1y2=﹣2pb，这样，tan==即1=，所以b=﹣2p﹣2mp，∴直线AB的方程可以写成为：x=my﹣2p﹣2mp，即x+2p=m（y﹣2p），∴直线AB过定点（﹣2p，2p）．点评：本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查和角的正切公式，考查直线过定点，属于中档题．5．（2014•广州二模）已知点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y=﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，可求a的值；（2）y=kx+1代入抛物线方程，利用韦达定理，确定S，T的坐标，根据|ST|=2，即可求直线l1的方程；（3）确定以线段ST为直径的圆的方程，展开令x=0，即可求这两个定点的坐标．解答：解：（1）∵点A（2，1）在抛物线E：x2=ay上，∴a=4．…（1分）（2）由（1）得抛物线E的方程为x2=4y．设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意，，y=kx+1代入抛物线方程，消去y得x2﹣4kx﹣4=0，解得．∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．…（2分）直线AB的斜率，故直线AB的方程为．…（3分）令y=﹣1，得，∴点S的坐标为．…（4分）同理可得点T的坐标为．…（5分）∴=．…（6分）∵，∴．由，得20k2=16k2+16，解得k=2，或k=﹣2，…（7分）∴直线l1的方程为y=2x+1，或y=﹣2x+1．…（9分）（3）设线段ST的中点坐标为（x0，﹣1），则=．…（10分）而|ST|2=，…（11分）∴以线段ST为直径的圆的方程为=．展开得．…（12分）令x=0，得（y+1）2=4，解得y=1或y=﹣3．…（13分）∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，﹣3）．…（14分）点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（2015•兴国县一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）①求抛物线方程；②求△ABS面积的最大值．考点：抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；②分类讨论，求出△ABS面积的表达式，即可求得其最大值．解答：解：①设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x1+x2+p=8，∴又得，∴所以依题意，∴p=4∴抛物线方程为y2=8x﹣﹣﹣﹣（6分）当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，∴抛物线方程为y2=8x②当直线的斜率存在时，由（2，y0）及，令y=0，得又由y2=8x和得：∴=﹣﹣﹣﹣（12分）当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，△ABS面积为∵，∴△ABS面积的最大值为．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（2015•路南区二模）已知抛物线y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）联立得y2+8y﹣8b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程．（Ⅱ）由直线l与y轴负半轴相交，得﹣1＜b＜0，由点O到直线l的距离d=，得S△AOB=|AB|d=4．由此利用导数性质能求出△AOB的面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）联立得：y2+8y﹣8b=0．依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞﹣2．设A（x1，y1），B（x2，y2），设圆心Q（x0，y0），则应有x0=，y0==﹣4．因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y1|=4，又|AB|==．所以|AB|=2r，即=8，解得b=﹣．所以x0==2b+8=，所以圆心为（，﹣4）．故所求圆的方程为（x﹣）2+（y+4）2=16．．（Ⅱ）因为直线l与y轴负半轴相交，∴b＜0，又l与抛物线交于两点，由（Ⅰ）知b＞﹣2，∴﹣2＜b＜0，直线l：y=﹣x+b整理得x+2y﹣2b=0，点O到直线l的距离d==，所以∴S△AOB=|AB|d=﹣4b=4．令g（b）=b3+2b2，﹣2＜b＜0，g′（b）=3b2+4b=3b（b+），∴g（b）在（﹣2，﹣）增函数，在（﹣，0）是减函数，∴g（b）的最大值为g（﹣）=．∴当b=﹣时，△AOB的面积取得最大值．点评：本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．8．（2015•大庆二模）抛物线M：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．（Ⅰ）求抛物线M的方程；（Ⅱ）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出椭圆左焦点坐标，得到抛物线准线方程，从而求得p值，则抛物线方程可求；（Ⅱ）写出A的坐标，由|OA|=t列式求得t与A的坐标间的关系，求出直线BC的方程，把A代入BC方程，得到a，c的关系，然后直接代入斜率公式求直线CD的斜率．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆N：+y2=1，∴c2=a2﹣b2=﹣1=，∴椭圆的左焦点为F1（﹣，0），∴﹣=﹣，则p=1．故M：y2=2x；（Ⅱ）由题意知，A（a，2a），∵|OA|=t，∴a2+2a=t2．由于t＞0，故有t=①由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为+=1．又∵A在直线BC上，故有+=1．将①代入上式，得：+=1，解得c=a+2+．又∵D（a+2，2），∴直线CD的斜率为：k CD====﹣1．点评：本题主要抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，解答此题的关键是对抛物线定义的灵活应用，是高考试卷中的压轴题．9．（2015•黄冈模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C，过点（1，），（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+|2的最小值．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x求得c=1．设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），由于椭圆C过点（1，），代入椭圆方程结合a2=b2+c2，联立解得即可；（II）设l：x=ky+1，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由λ∈[﹣2，﹣1）可得到k2的取值范围．由于=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），通过换元，令t=∈[，]，即可得出|+|2的最小值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c=1，设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆C过点（1，），∴，又a2=b2+1，联立解得b2=1，a2=2．故椭圆C的标准方程为椭圆方程为+y2=1…（5分）（Ⅱ）由题意可设l：x=ky+1，由得（k2+2）y2+2ky﹣1=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有将①2÷②得+2=﹣⇒λ++2=…（8分）由λ∈[﹣2，﹣1]得﹣≤λ++2≤0⇒﹣≤≤0，0≤k2≤…（9分）=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），+=（x1+x2﹣4，y1+y2）x1+x2﹣4=k（y1+y2）﹣2=﹣，|+|=+==16﹣+令t=∈[，]，|+|2=8t2﹣28t+16∴t=时|+|2的最小值是4点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（2015•福建模拟）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．（Ⅰ）证明•的值与k1无关；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2，进而求出x1x2，根据向量数量积运算公式，可得•的值与k1无关；（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4），设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y1y3=﹣4，同理可得y2y4=﹣4，根据斜率公式可把表示成关于y1与y2的表达式，再借助（Ⅰ）的结果即可证明．解答：证明：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2（m≠0）．…（1分）将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4my﹣8=0．…（2分）从而y1y2=﹣8，于是，…（3分）∴与k 1无关．…（5分）（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4）．则．…（8分）设直线AM的方程为x=ny+1（n≠0），将其代入y2=4x，消去x，整理得y2﹣4ny﹣4=0∴y1y3=﹣4．同理可得y2y4=﹣4．…（10分）故，…（11分）由（Ⅰ）知，y1y2=﹣8，∴为定值．…（12分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的简单性质，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．11．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，则|AM|+4|BM|=x 1+4x2+5+5=9，当且仅当x1=4x2时取得最小值9．由于x1x2=1，则解得，x2=（负的舍去），代入抛物线方程y2=4x，解得，y2=，即有B（），将B的坐标代入直线x=my+1，得m=．则直线l：x=y+1，即有4x+y﹣4=0或4x﹣y﹣4=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．12．（2015•洛阳一模）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且•=﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程．解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，由于•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2==，即有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（2）由（1）得，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，则（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=16（1+m2），|AB|2=（y1﹣y2）2+（x1﹣x2）2=（y1﹣y2）2+（）2=y1﹣y2）2[1+（）2]=16（1+m2）2，即有|AB|=4（1+m2），由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|﹣|CD|=|AB|﹣|CD|，又CD为圆x2+y2﹣2x=0的直径，即有|CD|=2，则4（1+m2）=6，解得，m=，则直线l的方程是x+y﹣=0或x﹣y﹣=0．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．13．（2015•衡水模拟）已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设M（x，y），由题意可得：，化简可得曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．可得k1+k2=m，k1•k2=﹣1．得到切线QD⊥QE．因此△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=（4+m2）（k2+1），利用两点之间的距离公式可得|QD|=，|QE|=，代入即可得出．解答：解：（I）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．∴曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1•k2=﹣1．∴切线QD⊥QE．∴△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14．（2015•郴州二模）如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：（3）设过抛物线x2=4y焦点F的直线l与椭圆+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．利用抛物线的定义及梯形的中位线定理可得可得r====|O1O2|，即可证明；（2）设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4=0，可得根与系数的关系，由x2=4y，可得．可得k MA•k MB==﹣1，可得△MAB为直角三角形，可得△MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点．设线段AB的中点为P，可得⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得圆心P（2，3），半径r=|MP|=|3﹣（﹣1）|=4，即可得出所求的△MAB的外接圆的方程．（3）假设存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，设=λ，可得，，设C（x3，y3），D （x4，y4）．利用向量的坐标运算可得x1=﹣λx2，x4=﹣λx3．把x1=﹣λx2代入根与系数的关系可得．把y=kx+1代入椭圆方程可得（3k2+6）x2+6kx﹣1=0，把根与系数的关系与x4=﹣λx3联立可得，联立解得即可．解答：（1）证明：如图所示，设线段AF的中点为O1，过O1作O1O2⊥x轴，垂足为点O2，作AA1⊥x轴．则r====|O1O2|，∴r=|O1O2|，∴以AF为直径的圆与x轴相切；（2）解：设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．。
高中数学抛物线大题精选30道（含答案）
抛物线大题30题1 ．已知抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆224520x y +=的一个焦点相同,(1)求椭圆的焦点坐标与离心率;(2)求抛物线方程.2 ．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线AB 交抛物线于 A ．B,求AB 中点M 的轨迹方程｡3 ．已知直线l 过定点()0,4A ,且与抛物线2:2(0)C ypx p = >交于P 、Q 两点,若以PQ 为直径的圆经过原点O ,求抛物线的方程.4 ．已知p ：方程2212x y m m+=-表示椭圆；q ：抛物线y =221x mx ++与 x 轴无公共点,若p 是真命题且q 是假命题,求实数m 的取值范围．5 ．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上。
（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D ．E 两点，ME=2DM ， 记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式。
6 ．直线y=2x 与抛物线y=-x 2-2x+m 相交于不同的两点 A ．B ，求（1）实数m 的取值范围；（2）∣AB ∣的值(用含m 的代数式表示).7 ．已知抛物线1C :24(0)y px p =>,焦点为2F ,其准线与x 轴交于点1F ;椭圆2C :分别以12F F 、为左、右焦点,其离心率12e =;且抛物线1C 和椭圆2C 的一个交点记为M .(1)当1p =时,求椭圆2C 的标准方程;(2)在(1)的条件下,若直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ,且与抛物线1C 相交于,A B 两点,若弦长||AB 等于12MF F ∆的周长,求直线l 的方程.8 ．如图,已知直线l :2y kx =-与抛物线C :22(0)x py p =->交于A ,B 两点,O 为坐标原点,(4,12)OA OB +=--｡(Ⅰ)求直线l 和抛物线C 的方程; (Ⅱ)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时, 求△ABP 面积最大值.9．设圆Q 过点P (0,2), 且在x 轴上截得的弦RG 的长为4.(Ⅰ)求圆心Q 的轨迹E 的方程;(Ⅱ)过点F (0,1),作轨迹E 的两条互相垂直的弦AB ,CD ,设AB 、CD 的中点分别为M ,N ,试判断直线MN 是否过定点?并说明理由. 10.已知抛物线2:2C y px =的准线方程14x =-,C 与直线1:y x =在第一象限相交于点1P ,过1P 作C的切线1m ,过1P 作1m 的垂线1g 交x 轴正半轴于点1A ,过1A 作1的平行线2交抛物线C 于第一象限内的点2P ,过2P 作抛物线1C 的切线2m ,过2P 作2m 的垂线2g 交x 轴正半轴于点2A ,…,依此类推,在x 轴上形成一点列1A ,2A ,3A ,…,(*)n A n N ∈,设点n A 的坐标为(,0).n a(Ⅰ)试探求1n a +关于n a 的递推关系式; (Ⅱ)求证:13322n n a -≤⋅-; (Ⅲ)求证:()()1234211(23)2(23)6(23)13321n n n a a a n n n ++++≥-+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+. 11．已知直线1:++=k kx y l ,抛物线x y C 4:2=,定点M(1,1)｡(I)当直线l 经过抛物线焦点F 时,求点M 关于直线l 的对称点N 的坐标,并判断点N 是否在抛物线C 上;(II)当)0(≠k k 变化且直线l 与抛物线C 有公共点时,设点P(a,1)关于直线l 的对称点为Q(x 0,y 0),求x 0关于k 的函数关系式)(0k f x =;若P 与M 重合时,求0x 的取值范围｡12．位于函数4133+=x y 的图象上的一系列点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,这一系列点的横坐标构成以25-为首项,1-为公差的等差数列{}n x . (Ⅰ)求点n P 的坐标;(Ⅱ)设抛物线 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,对于n ∈*N 第n 条抛物线n C 的顶点为n P ,抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,且在该点处的切线的斜率为n k ,求证:10111113221<+++-n n k k k k k k . 13．已知抛物线24y x =的焦点为F , A ．B 为抛物线上的两个动点.(Ⅰ)如果直线AB 过抛物线焦点,判断坐标原点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系, 并给出证明;(Ⅱ)如果4OA OB ⋅=-(O 为坐标原点),证明直线AB 必过一定点,并求出该定点.14．已知点F(2 ,0) ,直线:1l x =-,动点N 到点F 距离比到直线l 的距离大1;(1)求动点N 的轨迹C 的方程; (2)直线2y x =-与轨迹C 交于点A,B,求ABO ∆的面积.15．(本小题共13分)已知抛物线C :2y x =,过定点()0,0A x 01()8x ≥,作直线l 交抛物线于,P Q (点P 在第一象限). (Ⅰ)当点A 是抛物线C 的焦点,且弦长2PQ =时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设点Q 关于x 轴的对称点为M ,直线PM 交x 轴于点B ,且BQ BP ⊥.求证:点B 的坐标是0(,0)x -并求点B 到直线l 的距离d 的取值范围.16．抛物线()2:20C ypx p=上横坐标为32的点到焦点F 的距离为2（I ）求p 的值；（II ）过抛物线C 的焦点F.,作相互垂直的两条弦AB 和CD ， 求AB CD +的最小值。
高二数学抛物线训练题三 试题
卜人入州八九几市潮王学校高二数学抛物线训练题三一、选择题：1.顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线，过点)3,2(-，那么它的方程是〔〕A.x y y x342922=-=或 B.y x x y 342922=-=或 C.y x 342= D.x y 292-=2.抛物线)0(12≠=a x a y 的焦点坐标是〔〕A.)4,0()4,0(a a -或B.)4,0(aC.)41,0()41,0(a a -或D.)41,0(a3.P(x 0,y 0)是抛物线y 2=2mx 上的任意一点，那么点P 到焦点的间隔是()A.｜x 0-2m ｜B.｜x 0+2m ｜ C.｜x 0-m ｜D.｜x 0+m ｜4.边长为1的等边△AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A 、B 的抛物线方程是〔〕A.x y 632=B.x y 632-=C.x y 632±=D.x y 332±= 5．圆心在抛物线22y x =上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程为〔〕A.221204xy x y +---= B.22210x y x y ++-+= C.22210x y x y +--+= D.221204x y x y +--+=6.动点P 在曲线y=2x 2+1上挪动，那么点P 和定点A(0，-1)连线的中点的轨迹方程是()A.y=2x 2B.y=4x2C.y=6x 2D.y=8x 27．在抛物线x y 82-=中，以〔-1，-1〕为中点的弦所在的直线的方程为〔〕A.034=--y xB.034=++y xC.034=-+y xD.034=+-y x8．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于P ),(11y x ，Q ),(22y x 两点，假设126x x那么|PQ|为〔〕A.10B.8C.5D.69.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，假设AB 中点的横坐标为2，那么k 等于()A.0B.1C.210.直线和抛物线有且仅有一个公一共点是直线和抛物线相切的()11.抛物线y 2=2px 上横坐标为6的点到焦点的间隔是10，那么焦点到准线间隔是()A.4B.8C.1612.过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，假设A 、B 两点在抛物线的准线上 的射影是A 1、B 1，那么∠A 1FB 1等于() ° ° ° D.°12013.过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线，交抛物线于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点，假设x 1+x 2=6，那么｜AB ｜等于()B.614.过〔0，2〕的直线l 与抛物线24y x =仅有一个公一共点，那么满足条件的直线l 一共有()15.抛物线y 2=2px(p ＞0)上有一点M(4,y)，它到焦点F 的间隔为5，那么△OFM 的面积(O 为原点)为()B.222=2x 的焦点，P 是抛物线上任一点，A(3，1)是定点，那么｜PF ｜+｜PA ｜的最小值是()B.27D.21 17.长度为4的线段AB 的两个端点A 、B 都在抛物线x 2=4y 上，那么线段AB 的中点M 的纵坐标的最小值为() A.21 B.118．点),(y x 在抛物线x y 42=上，那么22132z x y 的最小值是〔〕A.2B.3C.4D.019.抛物线y=x 2上到直线2x-y-4=0最近的点的坐标是()A.(21，41)B.(1，1)C.(23，49)D.(2，4)20.假设点P 在抛物线y 2=x 上，点Q 在圆(x-3)2+y 2=1上，那么｜PQ ｜的最小值等于()A.3-1B.210-1 D.21(11-2) 二、填空题：21．抛物线顶点在原点，对称轴是坐标轴，焦点在直线02=+-y x 上，那么抛物线的方程为。
完整word版高二文科数学——抛物线练习题
高二文科数学——抛物线练习题【知识回首 】平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
（ 1）设 P( x 0 , y 0 ) 是抛物线上的一点， 则当焦点 F 在 x 轴上时， PFp x 0 ；当焦点 F 在2py 轴上时， PFy 0 。
此公式叫做焦半径公式。
2（ 2）设 AB 是过抛物线 y 22 px 的焦点 F 的一条弦，则 | AB | x 1x 2p 。
一、选择题（每题 4 分，共 40 分。
答案填在答题表里）1．经过（ 1， 2）点的抛物线的标准方程是（）2=4x21 221 y22A ．yB ． x =yC. y =4x 或 x =2D. y =4x或 x =4y22．抛物线 y= - 2x 2的准线方程是 ( )A . x= -1B . x=1C. y=1D . 1228y= -83．动圆 M 经过点 A(3，0)且与直线 l ： x= - 3 相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是A . y 212 xB . y 2 6 xC. y 23xD. y 224 x4．动点 M 到定点 F (4,0) 的距离比它到定直线x+5=0 的距离小 1，则点 M 的轨迹是 ()A ． y 2=4xB ． y 2=16xC ．x 2 =4yD ． x 2=16y5．已知抛物线的焦点在直线x 2 y 4 0 上，则此抛物线的标准方程是A . y 2 16 xB . x 2 8 y C. y 2 16x 或 x 2 8y D . y 216 x 或 x 28 y6．抛物线 y 2+4x=0 对于直线 x+y=0 对称的曲线的方程为（ ） A ． x 2= - 4y B ． x 2=4y C ． y 2=4xD ．y 2= - 4x7．已知抛物线的极点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点 M (m, 2) 到焦点 P 的距离为 4 ，则m 的值为 ( )A . 4 B. 2 C. 2 或 4 D. 28．设 AB 是抛物线 x 2 2 py 的焦点弦， A 、B 在准线上的射影分别为A 1、B 1 ，则 A 1 FB 1 等于（）A .45B.60C.90D. 1209．抛物线 y=x 2 上的点到直线 2x- y=4 的距离最短的点的坐标是（）A ． ( 1 , 1 )B ． (1,1)C ．( 3, 9 )D ． (2,4)2 42 410．设 F 为抛物线 x 24y 的焦点，点 P 在抛物线上运动，点A(2,3) 为定点，使 | PA | | PF | 为最小值时点 P 的坐标是 ( )A . 1,1B. ( 2,1)C. (2,1)D. (0,0)411．抛物线 y 2= - 8x 的焦点到准线的距离是12．抛物线y1x 2( m 0) 的焦点坐标是m13．过抛物线 y 24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) 两点，若 x 1 x 26 ，则| AB |的值是14．设 AB 是抛物线 y 22x 的过焦点的弦， AB4 ，则线段 AB 中点 C 到直线 x 1 的距离为【附带题】12 广东文）（ 12 分）在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 C 1 : x 2 y 2（ a 2 b 2 1( a b 0) 的左焦1，0) ，且在 P(0 ，1) 在 C 1 上。
高二数学抛物线试题
高二数学抛物线试题1.如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A．（1, 0）B．（2, 0）C．（3, 0）D．（－1, 0）【答案】A【解析】主要考查抛物线的标准方程、几何性质。
易得，焦点坐标为（1, 0），故选A。
2.抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1）B．（）C．D．（2，4）【答案】A【解析】主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系。
结合图形分析，与直线平行，且与抛物线相切的直线设为，与联立，切线与直线之间的距离即为抛物线上一点到直线的最短距离，求切点坐标即可。
选A。
3.过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（）A．2a B．C．4a D．【答案】C【解析】主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系。
解：抛物线y =ax2(a>0)即，其焦点为F（0，）。
依题意设P（），Q（），直线PQ的方程为代入y =ax2整理得，则，，，，而由抛物线定义，，所以====4ª，故选C。
4.抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是．【答案】【解析】主要考查抛物线的标准方程及其几何性质，“点差法”求平行弦的斜率。
解：设弦端点为A（），B（），其中点为M（），则将A,B的坐标分别代入y=2x2两边分别相减，得，所以，即。
5. P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是．【答案】（1，0）【解析】主要考查抛物线的定义、标准方程及其几何性质、直线与圆的位置关系。
解：抛物线y 2=4x的焦点为（1,0），准线。
由抛物线定义“抛物线上的点，到焦点与到准线距离相等”知，与抛物线准线相切的圆，过抛物线的焦点（1,0），即Q点坐标为（1,0）.6.抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为．【答案】【解析】主要考查椭圆的几何性质、抛物线的标准方程及其几何性质。
高二文科抛物线练习题
高二文科抛物线练习题1. 某公司销售一种产品，已知销售量与产品价格之间存在一定关系。
根据市场调研数据，销售量与产品价格之间的关系可以用抛物线表示。
已知该抛物线的顶点坐标为(5, 120)，且过点(8, 40)。
现需求解以下问题：1.1 抛物线的标准方程是什么？首先考虑抛物线的一般方程，形如 y = ax^2 + bx + c。
由于已知抛物线的顶点为(5, 120)，代入原方程可得：120 = a(5)^2 + b(5) + c又已知过点(8, 40)，代入原方程可得：40 = a(8)^2 + b(8) + c解上述方程组可得 a = -5/9，b = 10/3，c = 55/9。
因此，抛物线的标准方程为 y = (-5/9)x^2 + (10/3)x + 55/9。
1.2 根据抛物线的标准方程，当产品价格为 15 时，销售量为多少？将 x = 15 代入抛物线的标准方程可得：y = (-5/9)(15)^2 + (10/3)(15) + 55/9计算后得到销售量 y = 105。
当产品价格为 15 时，销售量为 105。
1.3 当销售量最大时，产品的价格是多少？销售量最大时，对应的是抛物线的顶点。
已知抛物线的顶点为 (5, 120)，因此当销售量最大时，产品的价格为 5。
2. 某学校高二文科班级进行了一次抛物线练习题测试。
已知学生得分与排名之间存在一定的关系，根据历史数据调研发现，这种关系可以用抛物线表示。
已知抛物线的顶点坐标为(80, 1)，且过点(70, 2)。
现需求解以下问题：2.1 抛物线的标准方程是什么？考虑抛物线的一般方程 y = ax^2 + bx + c。
由于已知抛物线的顶点为(80, 1)，代入原方程可得：1 = a(80)^2 + b(80) + c又已知过点(70, 2)，代入原方程可得：2 = a(70)^2 + b(70) + c解上述方程组可得 a = -1/1000，b = 81/100，c = -639/10。
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高二文科数学——抛物线练习题【知识回顾】平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。
（1）设00(,)P x y 是抛物线上的一点，则当焦点F 在x 轴上时，02pPF x =+；当焦点F 在y 轴上时，02pPF y =+。
此公式叫做焦半径公式。
（2）设AB 是过抛物线22y px =的焦点F 的一条弦，则12||AB x x p =++。
一、选择题（每小题4分，共40分。
答案填在答题表里） 1．经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2=4x B ．x 2=21y C . y 2=4x 或x 2=21y D . y 2=4x 或x 2=4y 2．抛物线y = -2x 2的准线方程是( ) A .x = -21 B .x =21 C . y =81 D . y = -81 3．动圆M 经过点A (3，0)且与直线l ：x = -3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是A . x y 122=B . x y 62=C . x y 32=D .x y 242= 4．动点M 到定点(4,0)F 的距离比它到定直线x +5=0的距离小1，则点M 的轨迹是( ) A ．y 2=4x B ．y 2=16x C ．x 2=4y D ．x 2=16y5．已知抛物线的焦点在直线240x y --=上，则此抛物线的标准方程是A .x y 162=B .y x 82-=C . x y 162=或y x 82-=D . x y 162=或y x 82= 6．抛物线y 2+4x =0关于直线x +y =0对称的曲线的方程为（ ） A ．x 2= -4y B ．x 2=4y C ．y 2=4x D ．y 2= -4x7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(,2)M m -到焦点P 的距离为4，则m 的值为 ( )A .4±B .2-C . 2-或4-D .2± 8．设AB 是抛物线py x 22=的焦点弦，B A 、在准线上的射影分别为11B A 、，则11FB A ∠等于（ ）A . ︒45B . ︒60C . ︒90D .︒1209．抛物线y =x 2上的点到直线2x -y =4的距离最短的点的坐标是（ ）A ．(41,21) B ．(1,1) C ．(49,23) D ．(2,4) 10．设F 为抛物线y x 42=的焦点，点P 在抛物线上运动，点)3,2(A 为定点，使||||PA PF +为最小值时点P 的坐标是 ( ) A .⎪⎭⎫⎝⎛41,1 B .)1,2(- C .)1,2( D .)0,0( 二、填空题（每小题4分，共16分。
答案填在试卷指定的横线上）11．抛物线y 2= -8x 的焦点到准线的距离是12．抛物线)0(12<=m x m y 的焦点坐标是 13．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，若621=+x x ，则||AB 的值是14．设AB 是抛物线x y 22-=的过焦点的弦，4=AB ，则线段AB 中点C 到直线1x =的距离为【附加题】（12广东文）（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点1(10)F -，，且在(01)P ，在1C 上。
（1）求1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程高二文科数学第15周周练答卷 班别 座号 姓名11． 12． 13． 14．三、解答题（10+10+12+12=44分）15．（编者自拟题）（10分）已知动圆P 过定点(1,0)A -，且与直线:1l x =相切。
（1）求动圆圆心P 的轨迹方程；（2）若点P 的横坐标为2-，求||PA 。
16．（编者自拟题）（10分）已知直线1y kx =-与抛物线2y x =有两个不同的交点,A B 。
（1）求k 的取值范围； （2）若AOB ∆O 为原点，求k 的值。
17．（编者自拟题）（12分）已知过点(1,2)P 的一条动直线l 与抛物线22x y =交于,A B 两点。
（1）若点P 恰是线段AB 的中点，求直线l 的方程；（2）若点M 是线段AB 的中点，求动点M 的轨迹方程。
18．（编者自拟题）（12分）已知过抛物线x y 42=的焦点的直线l 与抛物线交于,A B 两点。
（1）若||5AB =，求直线l 的方程；（2）若2AF FB =，求直线l 的方程。
高二文科数学答案【部分习题思路提示】第8题：11||||,||||AF AA BF BB ==。
第9题：抛物线y =x 2上的点可表示为(x ,x 2)。
第10题：设点P 到准线的距离为d ，则||||PA PF +||PA d =+≥。
第14题：先求线段AB 中点C 到抛物线x y 22-=的准线的距离。
（11） 4 （12） (0,)4m （13） 8 （14） 25 三、解答题（10+10+12+12=44分）15．解：（1）根据动圆P 过定点(1,0)A -，且与直线:1l x =相切，可知动圆圆心P 到定点A 的距离与到定直线l 的距离相等，可见圆心P 的轨迹是以A 为焦点，l 为准线的抛物线，其中焦点到准线的距离为2，故所求的动圆圆心P 的轨迹方程为24y x =-。
（2）根据点P 到焦点A 的距离等于到准线l 的距离，可知||1(2)3PA =--=。
16．解：（1）将1y kx =-代入2y x =，得210x kx -+=。
要使直线与抛物线有两个不同的交点，就要使240k ∆=-≥，即2k ≤-或2k ≥，故所求的k 的取值范围是{|2k k ≤-或2}k ≥。
（2）设,A B两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则由（1），知1212,1x x k x x +==，其中11221,1y kx y kx =-=-，于是||AB∴=====。
又设原点O 到直线1y kx =-，即10kx y --=的距离为d ，则1||2AOBd S AB d ∆=⇒=⋅⋅= 2=，得3k =±。
∵3k =±满足（1）的结论，∴所求的k 的值为3k =±17．解：（1）若直线l x ⊥轴，则条件显然不成立。
若直线l 不垂直于x 轴，则直线可设为2(1)y k x -=-，即(1)2y k x =-+，代入22x y =，得2122240,2x kx k x x k -+-=∴+=，故线段AB 的中点的横坐标为k ，依题意知1k =，此时直线方程可化为1y x =+，易知与抛物线22x y =有两个不同的交点。
∴所求的直线方程为10x y -+=。
（2）若直线l x ⊥轴，则条件显然不成立。
设动点M 的坐标为(,)x y ，则122x x x k +==，其中(1)2y k x =-+，消去k ，得 (1)2y x x =-+，即22y x x =-+，这就是所求的动点M 的轨迹方程。
18．解：（1）易知抛物线x y 42=的焦点的坐标为(1,0)，准线方程为1x =-。
当直线l x ⊥轴时，条件显然不成立，设所求的直线方程为(1)y k x =-，它与抛物线的交点,A B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，得1212||||||(1)(1)2AB AF BF x x x x =+=+++=++。
将(1)y k x =-代入x y 42=，得2222212224(24)0,k k x k x k x x k+-++=∴+=。
再由||5AB =，得222242542k k k k++=⇒=⇒=± 故所求的直线方程为2(1)y x =±-，即220x y --=与220x y +-=。
（2）当直线l x⊥轴时，条件显然不成立，则由2AF FB=，得1122(1,)2(1,)x y x y--=-，即1212122,23x x x x -=-∴=-+。
再由21212224,1k x x x x k ++==，得1221x x k ⎧=⎪=⎨⎪=±⎩，其中121x x ==与条件不符，舍去。
故所求的直线方程为1)y x =±-，即0y --=与0y +-=。
【附加题】解：（1）由题意得：1,11b c a b c ===⇔===故椭圆1C 的方程为：2212x y += （2）①设直线:l x m =，直线l 与椭圆1C 相切m ⇔= 直线与抛物线22:4C y x =相切0m ⇔=，得：m 不存在②设直线:l y kx m =+直线l 与椭圆1C 相切222(12)4220k x kmx m ⇔+++-=两根相等221021m k ⇔∆=⇔=+直线与抛物线22:4C y x =相切2222(2)0k x km x m ⇔+-+=两根相等201km ⇔∆=⇔= 解得：2k m ==或:(2)22k m l y x =-==±+。