导数应用举例word版
(完整word版)导数及其应用(1)
强化提升一 导数及其应用层次一：导数的概念、意义及简单应用突破点(一) 导数的运算八个公式+三个法则+复合函数求导[例1] (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ；(2)y ＝ln xx ；(3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x ＋e ；(5)y ＝ln (2x ＋3)x 2＋1. [方法技巧]00A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 017)＋2 017ln x ，则f ′(1)＝________.[解析] (1)由题意可知f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ·1x ＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 017)＋2 017x ， 所以f ′(2 017)＝2 017＋2f ′(2 017)＋2 0172 017， 即f ′(2 017)＝－(2 017＋1)＝－2 018. 故f ′(1)＝1＋2×(－2 018)＋2 017＝－2 018. [答案] (1)B (2)－2 018[方法技巧]对抽象函数求导的解题策略在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f (x )＝f ′(x 0)x ＋sin x ＋ln x (x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，[例1]已知函数f(x)＝x3－(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[解](1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.[方法技巧][例2]设曲线y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．[解析] y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1.y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，设P (m ，n )，则曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．[答案] (1,1)[例3] 直线y ＝kx ＋1b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2[解析] 依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ×1＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ×1＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.[答案] C[方法技巧]根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解． 层次二：函数的单调性、极值最值突破点(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x .(1)当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； (3)当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 上单调递减，在 1－a2a，＋∞上单调递增．[方法技巧][例2]已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，求函数f(x)的单调区间．[解]对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.所以f(x)＝x4＋54x－ln x－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．所以函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)．[方法技巧]用导数求函数单调区间的三种类型及方法(1)当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时求导并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．突破点(二)利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．(1)可导函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，即f ′(x )max >0(或f ′(x )min <0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 上含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．[例1] 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求a 的取值范围； (3)若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值．[解] (1)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3]．(2)因为f (x )在区间(－1,1)上为减函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，即a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x ＜1，所以3x 2＜3，所以a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．(3)因为f (x )＝x 3－ax －1，所以f ′(x )＝3x 2－a .由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)． 因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)， 所以3a3＝1，即a ＝3. 应用结论“函数f (x )在(a ，b )上单调递增⇔f ′(x )≥0恒成立；函数f (x )在(a ，b )上单调递减⇔f ′(x )≤0恒成立”时，切记检验等号成立时导数是否在(a ，b )上恒为0. [易错提醒][例2] (1)若0<x 1<x 2A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1>x 1e x 2 D ．x 2e x 1<x 1e x 2(2)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] (1)构造函数f (x )＝e x－ln x ，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x －1x .令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此f (x )＝e x －ln x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A ，B 错；构造函数g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，故函数g (x )＝e xx 在(0,1)上单调递减，故g (x 1)>g (x 2)，即e x 1x 1>e x 2x 2，则x 2e x 1>x 1e x 2，故选C. (2)设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案] (1)C (2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)[方法技巧]利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．突破点(三) 利用导数解决函数的极值问题根据函数图象判断函数极值的情况[例1] 设函数象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)[解析] 由图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．[答案] D [方法技巧]知图判断函数极值情况的策略知图判断函数极值情况的思路是：先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x 轴交点的横坐标为函数的极值点．求函数的极值[例2] (2017·桂林、崇左联考)设a >0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处切线的斜率； (2)求函数f (x )的极值．[解] (1)由已知x >0.当a ＝2时，f ′(x )＝x －3＋2x ，∴曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处切线的斜率为f ′(3)＝23.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x ＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x .由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a .①若0<a <1，当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ∴当x ＝a 时，f (x )取极大值f (a )＝－12a 2－a ＋a ln a ，当x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝－a －12.②若a >1，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝－a －12；当x ＝a 时，f (x )取极小值f (a )＝－12a 2－a ＋a ln a .③当a ＝1时，x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，f (x )没有极值． 综上，当0<a <1时，f (x )的极大值为－12a 2－a ＋a ln a ，极小值为－a －12；当a >1时，f (x )的极大值为－a －12，极小值为－12a 2－a ＋a ln a ；当a ＝1时，f (x )没有极值． [方法技巧][例3] (1)(2017·a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12C ．(0,1) D ．(0，＋∞)(2)(2017·太原五中检测)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a 的值为________． [解析] (1)∵f (x )＝x (ln x －ax )，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，由函数f (x )有两个极值点，可知f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点， 令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x ，设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln xx 2，∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0， 而g (x )max ＝g (1)＝1，∴只需0＜2a ＜1，即0＜a ＜12.(2)由题意得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为在x ＝1处，f (x )有极值10， 所以f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3，当a ＝－3，b ＝3时，在x ＝1处，f (x )无极值，不符合题意； 当a ＝4，b ＝－11时，符合题意，所以a ＝4. [答案] (1)B (2)4 [方法技巧]已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．突破点(四) 利用导数解决函数的最值问题[例1] 已知函数f (x )＝(x (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解] (1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x .令f ′(x )＝0，得x ＝k －1. f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f (x )(2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1； 当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1； 当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. [方法技巧]利用导数求函数最值的规律求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值时：(1)若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[a ，b ]上有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．[例2] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4.所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.[方法技巧]解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值． 1．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1,2) 解析：选C 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x＝(x －2)(2x －1)x >0，解得0<x <12或x >2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12，(2，＋∞)． 2．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[]1，4上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，518 B.(]－∞，3C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞ D.[)3，＋∞解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[]1，4上单调递减，则有f ′(x )≤0在[]1，4上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上恒成立，因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518，故选C.3.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．[3，＋∞)C ．[－2,3] D ．(－∞，－2)解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.当x <12时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)． 4．(2017·甘肃诊断考试)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析：选C 因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)<f (0)＝a ，所以c <a <b ，故选C.5．若函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( ) A ．(－2,0) B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝1－b x 2，∵函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－bx 2＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b 或x ＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)，∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意，故选D.6．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f (x )x >0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当a >b 时，有( )A ．af (a )<bf (b ) B ．af (a )>bf (b )C ．af (b )>bf (a ) D ．af (b )<bf (a )解析：选B 由f ′(x )＋f (x )x >0得xf ′(x )＋f (x )x >0，即[xf (x )]′x >0，即[xf (x )]′x >0.∵x >0，∴[xf (x )]′>0，即函数y ＝xf (x )为增函数，由a ，b ∈(0，＋∞)且a >b ，得af (a )>bf (b )，故选B.二、填空题7．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)8．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43. 答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 9．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )>0的解集为________．解析：由题图可知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)∪(－∞，－1)，f ′(x )<0，x ∈(－1，1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x 2－2x －3<0，解得x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)10．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________． 解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 三、解答题11．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性．解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：此时f ⎭⎪⎫∞上单调递增．12．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x . 当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)； 当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )＜0，g ′(3)＞0.g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立，由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；由g ′(3)＞0，得m ＞－373. 所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9.。
导数的应用举例
求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-2); (2)y=x2sinx+2cosx; (3)y=( x+1)( 1 -1). x
解: (1)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2) =4x(3x-2)+(2x2+3)3 =18x2-8x+9. 法2 y=(6x3-4x2+9x-6) =18x2-8x+9. (2)y=(x2sinx)+(2cosx) =(x2)sinx+x2(sinx)+2(cosx) =2xsinx+x2cosx-2sinx.
典型例题 5
典型例题 6
1-ax 已知 a>0, 函数 f(x)= x , x(0, +∞), 设 0<x1< 2 . 记曲线 a y=f(x) 在点 M(x1, f(x1)) 处的切线为 l. (1)求 l 的方程; (2)设 l 与 x 1 1 1 轴的交点为 (x2, 0), 证明: ① 0<x2≤ a ; ②若 x1< a , 则 x1<x2< a . 1 1 (1)解: f(x)=( x -a)=(x-1) =-x-2=- x2 . 1 (x-x )+ 1-ax1 . ∴切线 l 的方程为 y=- x 2 1 x
∵f(0)=2a, ∴b=2a. ∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a =x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a) =(x-a)(x2-x-2)
=(x+1)(x-2)(x-a)
令 (x+1)(x-2)(x-a)<0, 由于 a≥2, 则 当 a=2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1); 当 a>2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1)∪(2, a).
导数应用举例
§2—6 导数应用举例我们知道，函数()x f y =的导数()x f '的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率，因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。
在()x f y =具有不同的实际意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。
一、 导数在物理上的应用举例 （一） 导数的力学意义设物体作变速运动的方程为()t s s =，则物体运动的速度()t v 是位移()t s s =对时间t 的变化率，即位移s 对时间t 的一阶导数()()dtdst s t v ='=；此时，若速度v 仍是时间t 的函数()t v ，我们可以求速度v 对时间t 的导数()t v '，用a 表示，就是()().22dtsd t s t v a =''='=在力学中，a 称为物体的加速度，也就是说，物体运动的加速度a 是位移s 对时间t 的二阶导数。
例1某物体的运动方程为()22310212秒米取g gt t s -=，求2=t 秒时的速度和加速度。
解： 根据导数的力学意义，得()()()()()()()().141024242,420242242,12,62秒米米=-=-==-=-=-=''=-='=g a g v g t t s t a gt t t s t v（二）导数学意义设通过某导体截面的电量q 是()t q q =，则通过该导体的电流()t I 是电量()t q q =对时间t 的变化率（单位时间内通过的电量），即电量的一阶导数()().dtdqt q t I ='= 例2设通过某导体截面的电量()ϕω+=t A q sin （库仑），其中ϕω,,A 为常数，时间t 的单位为秒，求通过该截面的电流().t I解： 因为()ϕω+=t A q sin ，所以()()()[]()ϕωωϕω+='+='=t A t A t q t I cos sin （安培）。
导数及其应用(压轴题) Word版含解析
2.4导数及其应用(压轴题)命题角度1利用导数研究函数的单调性高考真题体验·对方向1.(2016北京·18)设函数f(x)=x e a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.2.(2016四川·21)设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>-e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).新题演练提能·刷高分1.(2018北京海淀模拟)已知函数f(x)=x3+x2+ax+1.(1)若曲线y=f(x)在点(0,1)处切线的斜率为-3,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[-2,a]上单调递增,求a的取值范围.2.(2018江西师大附中模拟)已知函数f(x)=(2-m)ln x++2mx.(1)当f'(1)=0时,求实数m的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.3.(2018山东烟台期末)已知函数f(x)=ln x+-x+1-a(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若存在x>1,使f(x)+x<成立,求整数a的最小值.4.(2018重庆二诊)已知函数f(x)=-1e x+(x>0,a∈R).(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减,求a的取值范围;(2)当a∈(-3,-e)时,判断关于x的方程f(x)=2的解的个数.命题角度2函数的单调性与极值、最值的综合应用高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·21)已知函数f(x)=-x+a ln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a-2.2.(2017北京·19)已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.3.(2017全国Ⅱ·21)已知函数f(x)=ax2-ax-x ln x,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2<f(x0)<2-2.4.(2017山东·20)已知函数f(x)=x2+2cos x,g(x)=e x(cos x-sin x+2x-2),其中e≈2.718 28…是自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程.(2)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.5.(2016全国Ⅱ·21)(1)讨论函数f(x)=e x的单调性,并证明当x>0时,(x-2)e x+x+2>0;(2)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)=(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.新题演练提能·刷高分1.(2018湖北重点高中协作体联考)已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的极值点;(2)设g(x)=xf(x)-ax2+(a>0),若g(x)的最大值大于-1,求a的取值范围.2.(2018河南中原名校质量考评)已知函数f(x)=e x-x2+ax.(1)当a>-1时,试判断函数f(x)的单调性;(2)若a<1-e,求证:函数f(x)在[1,+∞)上的最小值小于.3.(2018安徽合肥第二次质检)已知函数f(x)=(x-1)e x-ax2(e是自然对数的底数).(1)判断函数f(x)极值点的个数,并说明理由;(2)若∀x∈R,f(x)+e x≥x3+x,求a的取值范围.4.(2018山东青岛一模)已知函数f(x)=a e2x-a e x-x e x(a≥0,e=2.718…,e为自然对数的底数),若f(x)≥0对于x∈R恒成立.(1)求实数a的值;(2)证明:f(x)存在唯一极大值点x0,且≤f(x0)<.命题角度3利用导数研究函数的零点或方程的根高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·21)已知函数f(x)=e x-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.2.(2017全国Ⅱ·21)已知函数f(x)=a e2x+(a-2)e x-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.3.(2015全国Ⅰ·21)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-ln x.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.新题演练提能·刷高分1.(2018湖北黄冈等八市联考)已知函数f(x)=e x,g(x)=.(1)设函数F(x)=f(x)+g(x),试讨论函数F(x)零点的个数;(2)若a=-2,x>0,求证:f(x)·g(x)>.2.(2018广东深圳第二次调研)设函数f(x)=e x-1-a ln x,其中e为自然对数的底数.(1)若a=1,求f(x)的单调区间;(2)若0≤a≤e,求证:f(x)无零点.3.(2018山东济南一模)已知函数f(x)=a ln x-x2+(2a-1)x(a∈R)有两个不同的零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2>2a.命题角度4导数与不等式高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·21)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.2.(2016全国Ⅲ·21)设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)·(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f'(x);(2)求A;(3)证明:|f'(x)|≤2A.新题演练提能·刷高分1.(2018河北唐山二模)设f(x)=,g(x)=a x+x a.(1)证明:f(x)在(0,1)上单调递减;(2)若0<a<x<1,证明:g(x)>1.2.(2018河南郑州第二次质量检测)已知函数f(x)=e x-x2.(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(2)求证:当x>0时,≥ln x+1.3.(2018山西太原二模)已知函数f(x)=m ln x-e-x(m≠0).(1)若函数f(x)是单调函数,求实数m的取值范围;(2)证明:对于任意的正实数a,b,当a>b时,都有e1-a-e1-b>1-.4.(2018河北石家庄一模)已知函数f(x)=(x+b)(e x-a)(b>0)在(-1,f(-1))处的切线方程为(e-1)x+e y+e-1=0.(1)求a,b;(2)若方程f(x)=m有两个实数根x1,x2,且x1<x2,证明:x2-x1≤1+.命题角度5恒成立与存在性问题高考真题体验·对方向(2017全国Ⅲ·21)已知函数f(x)=x-1-a ln x.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,1+1+…1+<m,求m的最小值.新题演练提能·刷高分1.(2018江西南昌一模)已知函数f(x)=ln(ax)+bx在点(1,f(1))处的切线方程是y=0.(1)求函数f(x)的极值;(2)当≥f(x)+x(m<0)恒成立时,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数).2.(2018河北唐山一模)已知函数f(x)=e x-1,g(x)=ln x+a.(1)设F(x)=xf(x),求F(x)的最小值;(2)证明:当a<1时,总存在两条直线与曲线y=f(x)与y=g(x)都相切.3.(2018河北衡水中学模拟)已知函数f(x)=.(1)确定函数f(x)在定义域上的单调性;若f(x)≤k e x在(1,+∞)上恒成立,求实数k的取值范围.4.(2018山东潍坊一模)函数f(x)=e x sin x,g(x)=(x+1)cos x-e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)对∀x1∈0,,∃x2∈0,,使f(x1)+g(x2)≥m成立,求实数m的取值范围;(3)设h(x)=·f(x)-n·sin 2x在0,上有唯一零点,求正实数n的取值范围.。
(word完整版)高中数学导数及其应用
高中数学导数及其应用、知识网络二、高考考点1导数定义的认知与应用；2、求导公式与运算法则的运用；3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用;6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点（一）导数1导数的概念（1导数的定义（I）设函数」」■在点厂及其附近有定义，当自变量x在匸处有增量厶x （△ x可正可负），则函数y相应地有增量■' '■ -，L■' ■ ■■，这两个增量的比/（jr0+，叫做函数'■/ : ''：|在点门到」二'这间的平均变化率。
如果Ay-时，丄.有极限，则说函数在点;巾处可导，并把这个极限叫做了（力在点■:处的导数（或变化率），记作'■I'-，即血mAx am Ax。
（H）如果函数匚在开区间（「）内每一点都可导，则说■''"-在开区间（「）内可导，此时，对于开区间）内每一个确定的值“，都对应着一个确定的导数「’ ' ，这样在开区间（■•'）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做■'-在开区间（「’）内的导函数（简称导数），记作■''-或『，即y = ^）=血空=陥f显垃-f①姑Ax AJt-jft Ax 。
认知：（I）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数匚在点匸处的导数广（必）是一个数值；在点心处的导数广（心）是‘⑴的导函数广〔Q当工=可时的函数值。
（H）求函数- ■'在点’I 处的导数的三部曲：①求函数的增量-';Ay只奄（心）②求平均变化率一lim —=③求极限'■"亠上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。
（2）导数的几何意义：函数丿J 在点。
处的导数，是曲线1在点处的切线的斜率。
（3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别：（I）若函数- ■'在点厂处可导，则在点匸处连续；若函数；■在开区间（“’）内可导9丿-在开区间（-'）内连续（可导一定连续）。
导数的几何意义（切线问题）（可编辑修改word版）
导数的⼏何意义（切线问题）（可编辑修改word版）导数的⼏何意义——切线问题解题模板：计算切线⽅程三部曲1.写出切点坐标(x0 , f (x0))；注意：若切点已知，直接表⽰，切点未知，设参表⽰2.计算切线斜率f '(x0)；3.计算切线⽅程为y -f (x0 )=f '(x0 )(x -x0 ).例. （2016 新课标 2）若直线y =kx +b 是曲线y = ln x + 2 的切线，也是曲线y = ln(x +1) 的切线，则b =．练习：1.（2019 新课标1）曲线y = 3(x2+x)e x在点(0, 0) 处的切线⽅程为.2.（2019 新课标2）曲线y = 2 s in x + cos x 在点(, -1) 处的切线⽅程为( )A. x -y --1 = 0B. 2x -y - 2-1 =0C. 2x +y - 2+1 = 0D. x +y -+1 = 03．（2015 陕西）设曲线y=e x在点（0,1）处的切线与曲线y=1(x>0)上点P 处的切线垂x直，则P 的坐标为．4．(2018 全国卷Ⅲ)曲线y = (ax +1)e x在点(0,1) 处的切线的斜率为-2 ，则a =．5．（2014 新课标Ⅰ）设曲线y =ax - ln(x +1) 在点(0, 0) 处的切线⽅程为y = 2x ，则a = （）A．0 B．1 C．2 D．36（2014 江苏）．在平⾯直⾓坐标系xoy 中，若曲线y =ax2+b（a, b 为常数）过点P(2, -5) x，且该曲线在点P 处的切线与直线7x + 2 y + 3 = 0 平⾏，则a +b =.涉及复合函数f (ax +b)的导函数问题1.（2016 北京）设函数f (x) =xe a -x +bx ，曲线y = f (x) 在点(2, f (2)) 处的切线⽅程为y = (e -1)x + 4 ，a = , b =2．（2014 ⼴东）曲线y =e-5x+ 2 在点(0,3) 处的切线⽅程为．3.（2014 江西）若曲线y=e-x上点P 处的切线平⾏于直线2x+y+1=0,则点P 的坐标是.4. （2009 安徽）已知函数f (x) 在 R 上满⾜f (x) = 2 f (2 -x) -x2+ 8x - 8 ，则曲线y =f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线⽅程是( )（A）y = 2x -1 （B）y =x （C）y = 3x - 2 （D）y =-2x + 3与函数奇偶性结合考查1．(2018 全国卷Ⅰ)设函数f (x) =x3+ (a -1)x2+ax ，若f (x) 为奇函数，则曲线y =f (x)在点(0, 0) 处的切线⽅程为（）A.y =-2xB.y =-xC.y = 2xD.y =x2．(2016 年全国Ⅲ) 已知f (x) 为偶函数，当x < 0 时，f (x) = ln(-x) + 3x ，则曲线y =f (x) ，在点(1, -3) 处的切线⽅程是．与最值问题（基本不等式）结合考查41．（2010 辽宁）已知点P 在曲线y= 上，为曲线在点P 处的切线的倾斜⾓，则的e x+1取值范围是（）33A．[0, ) B．[ , ) C．( , ] D．[ ,)4 4 2 2 4 4在点P 处切线与过点P 处切线区别求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者（切点确定）只有⼀条，⽽后者（切点待定）包括了前者．1. 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线⽅程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线⽅程．。
利用导数解决含参的问题(word版含答案和详细解析)
利用导数解决含参的问题(word版含答案和详细解析)高考理科复专题练利用导数解决含参的问题考纲要求：1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次），会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
命题规律：利用导数探求参数的范围问题每年必考，有时出现在大题，有时出现在小题中，变化比较多。
不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理。
这也是2018年考试的热点问题。
高考题讲解及变式：利用单调性求参数的范围例1.【2016全国1卷（文）】若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）。
A。
[-1,1]B。
(-1,1)C。
(-∞,-1]∪[1,+∞)D。
(-∞,-1)∪(1,+∞)答案】C解析】因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递增，所以f'(x)>0.将f(x)代入f'(x)得f'(x)=1-2sinx+acosx。
要使f'(x)>0，即要使1-2sinx+acosx>0.因为-1≤sinx≤1，所以1-2sinx≥-1.所以acosx>-1，即a>-1/cosx。
因为cosx=1时，a不等于-1；cosx=-1时，a不等于1.所以a∈(-∞,-1]∪[1,+∞)，选C。
变式1.【2018XXX高三实验班第一次月考（理）】若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上为单调函数，则k的取值范围是_______。
答案】k≥1或k≤-1解析】在区间(1,+∞)上，f'(x)=k-1/x。
应用导数求解实际问题的例子
应用导数求解实际问题的例子以下是一些应用导数求解实际问题的例子：1. 假设一张长方形的长为x，宽为y，且其周长为20个单位长度。
求该长方形的最大面积。
解析：题目要求我们求最大面积，这意味着需要优化函数A=xy，其中x和y都是长度单位。
由于周长为20个单位长度，可以写出等式2(x+y)=20，即x+y=10。
这个等式可以用来解出一个变量，例如，y=10-x。
现在我们可以将y代入面积函数中，从而得到A=x(10-x)=10x-x^2。
此时，我们需要求导并令导数等于零，以便找到函数的极值点。
求导后得到A' = 10 - 2x，令A'等于零，可以求得x=5，这是A的最大值点。
将x=5代入原函数，得到A=25，因此该长方形的最大面积为25平方单位长度。
2. 假设你正在绕椭圆形的操场跑步，其中长轴为6个单位长度，短轴为4个单位长度。
你的速度是每秒8个单位长度，且沿椭圆形跑道以正方向移动。
在点(2,0)处你的方向是多少度？解析：该问题需要我们求解椭圆形上的切线，因此需要将椭圆的参数方程与速度向量表示为函数，然后取导数。
对于该椭圆形，参数方程为x=3cos(t)，y=2sin(t)，其中t是参数。
速度向量可以表示为v=<dx/dt, dy/dt>，即v=<-3sin(t), 2cos(t)>。
现在，在点(2,0)处，即当t=0时，我们可以求出速度向量的大小为2sqrt(5)个单位长度。
椭圆形上的切线的斜率为dy/dx，可以通过求解dy/dt和dx/dt的比率来得到。
因此，dy/dx=dy/dt/dx/dt= (2cos(t)) / (-3sin(t))。
将t=0代入该公式，可以求得dy/dx=-2sqrt(5)/3。
最后，用反正切函数找到与这个斜率相对应的角度，这个角度就是切线的方向角。
因此，切线的方向角为arctan(-2sqrt(5)/3)≈-68.2度。
由于题目中要求以正方向为基础，因此角度为360-68.2≈291.8度。
导数的应用举例
2 a
)
上单调递增,
在 (-∞, 0) 上单调递减,
在
(-
2 a
,
+∞)
上也单调递减.
导数的应用举例 6
已知函数 f(x)=x2eax, 其中 a≤0, e 为自然对数的底数. (1)讨论 函数 f(x) 的单调性; (2)求函数 f(x) 在区间 [0, 1] 上的最大值.
解: (2)由(1)知当 a=0 时, f(x) 在区间 [0, 1] 上为增函数;
即 3x2-2ax-3≥0 在 [1, +∞) 上恒成立.
由于 f(0)=-3<0,
则必有
a 3
≤1
且
f(1)=-2a≥0.
解得 a≤0.
故实数 a 的取值范围是 (-∞, 0].
(2)由题设 f(-
1 3
)=0,
即
1 3
+
2 3
a-3=0.
解得 a=4.
∴f(x)=3x2-8x-3.
令
f(x)=0
设函数 f(x)=- 13x3+2ax2-3a2x+b, 0<a<1. (1)求函数 f(x) 的单调
区间、极值; (2)若当 x[a+1, a+2] 时, 恒有 |f(x)|≤a, 试确定 a
的取值范围. 解: (2)∵0<a<1, ∴2a<a+1.
∴f(x)=-x2+4ax-3a2 在 [a+1, a+2] 上为减函数. ∴f(x)max=f(a+1)=2a-1, f(x)min=f(a+2)=4a-4. ∵当 x[a+1, a+2] 时, 恒有 |f(x)|≤a, 即
(完整word版)导数的基本题型归纳,推荐文档
导数基础题型题型一 导数与切线利用两个等量关系解题：①切点处的导数=切线斜率，即()k x f o ='；②切点()o o y x ,代入曲线方程或者代入切线方程.切点坐标（或切点横坐标）是关键例1：曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2例2：已知函数的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是（） A.12 B ．1 C.32 D ．2例3 求曲线132+=x y 过点（1,1）的切线方程练习题：1.已知函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )A.18B.14C.12 D ．12.曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．153.设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．－12 D.124.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________.5.已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. 求直线l 2的方程；题型二 用导数求函数的单调区间①求定义域；②求导；③令0)(='x f 求出x 的值；④划分区间（注意：定义域参与区间的划分）；⑤判断导数在各个区间的正负.例1：求函数c x x x y +-+=33123的单调区间.例2 求函数x a x a x x f )1(ln 21)(2+-+=的单调区间（其中a ＞0）例3：已知函数ax x y +=2在),1[+∞上为增函数，求a 的取值范围.练习题：1.求函数x x x f ln 2)(2-=的单调增区间.2.已知331)(23-++=x ax x x f 在]3,1[上单调递减，求a 的取值范围.题型三 求函数极值和最值①求定义域；②求导；③令0)(='x f 求出x 的值；④列表（注意：定义域参与区间的划分）； ⑤确定极值点.；5，求出极值，区间端点的函数值，比较后得出最值例：求函数x x y ln 2-=的极值.例：求函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值.例：已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为 （ ）A ．－37B ．－29C ．－5D ．－11例：若函数b bx x x f 36)(3+-=在)1,0(内有极小值，则实数b 的取值范围是 （ ）A ．)1,0(B ．)1,(-∞C ．),0(∞+D ．)21,0(练习题：1.设函数x xx f ln 2)(+= 则 （ ） A.x=21为f(x)的极大值点 B.x=21为f(x)的极小值点 C.x=2为 f(x)的极大值点 D.x=2为 f(x)的极小值点2. 已知函数x b x a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值，则a 与b 满足 . ,题型四、函数与导数图象的关系▲函数看增减，导数看正负例：若函数c bx x x f ++=2)(的图象的顶点在第四象限,则函数f ′(x)的图象是（ ）练习题：1.下图是函数y=f(x)的导函数y=f ′(x)的图象,则下面判断正确的是 （ ）A.在区间(-2,1)内f(x)是增函数B.在(1,3)内f(x)是减函数C.在(4,5)内f(x)是增函数D.在x=2时f(x)取到极小值2. f ′(x)是f （x ）的导函数，f ′(x)的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）A B C D。
导数运算及应用举例
导数运算及应用举例例1、求下列函数的导数：（1）233ln xx x x y ++=； （2）)3)(3(2+-=x x x y ； （3）)4,0(,2sin 1π∈-=x x x y ； （4）312)31(x e y x -=+。
解：（1）∵221233ln ln x x x x x x x x y ++=++=-， ∴3234223ln 211212ln 1121x x x x x x x x x y -++-=⋅-⋅++-='--。
（2）∵2429)3)(3(x x x x x y -=+-=∴x x y 1843-='（3）∵x x x x x x x x y cos sin )cos (sin 2sin 12-=-=-=， 又∵)4,0(π∈x ，∴x x cos sin <，∴)sin (cos x x x y -=∴x x x x x x x x x y sin )1(cos )1()cos sin ()sin (cos 1+--=--⋅+-⋅='。
（4）621231223312312)31()3()31(3)31(2])31[(])31[()31()(x x e x e x x e x e y x x x x --⋅-⋅--=-'---'='++++ 412)31()611(x x e x --=+ 例2、已知曲线C 1：2x y =与曲线C 2：2)2(--=x y ，直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程。
解：设l 与C 1相切于点),(111y x P ，l 与C 2相切于点),(222y x P ，直线l 的斜率为k 。
C 1：2x y =，x y 2='，12x k =，)4,2(21k k P C 2：2)2(--=x y ，)2(2--='x y ，)2(22--=x k ，)4,22(22k k P --。
常用导数公式Word版
这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。
导数与函数的单调性(word解析版)
导数与函数的单调性(word解析版) x在区间[0,2]上可导，且f(0)=0，f(2)=2，则函数f(x)在区间[0,2]上的单调递增区间为（）.A。
[0,1] B。
[1,2] C。
[0,2] D。
[0,1]∪[1,2]答案】B解析】根据题意，f(x)在[0,2]上可导，且f(0)=0，f(2)=2，因此可以利用导数求解其单调性.首先求导数f'(x)，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.由于f'(x)=1+cosx，当x∈[0,2]时，cosx的取值范围是[-1,1]，因此f'(x)的取值范围是[0,2].因此函数f(x)在[0,2]上单调递增，单调递增区间为[1,2]，故选B选项.方法技巧归纳】1.求导数f'(x)，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.2.对于多项式函数一般不超过三次的情况，可以直接利用导数求解其单调性和极值.3.对于含参数的函数，可以先求导数，然后根据参数的取值范围来判断函数的单调性和极值.变式1】【2018江苏高考】设函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a，b，c为常数，且f(x)在[0,1]上单调递增，则（）.A。
a>0，b>0，c>0 B。
a>0，b0 C。
a0，c>0 D。
a0答案】C解析】根据题意，f(x)在[0,1]上单调递增，因此可以利用导数求解其单调性.首先求导数f'(x)，得到f'(x)=3x2+2ax+b，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.由于f(x)在[0,1]上单调递增，因此f'(x)在[0,1]上恒大于等于0.又因为f'(x)是一个二次函数，因此其开口向上，当x∈[0,1]时，f'(x)的最小值为0，即当x=0时，f'(x)取到最小值，此时有f'(0)=b.由于f'(x)在[0,1]上恒大于等于0，因此b≥0.又因为f(x)为单调递增函数，因此其二次项系数a>0.又因为f(x)在[0,1]上单调递增，因此f(1)>f(0)，即1+a+b+c>0，因此c>-(1+a+b).综上所述，可得a0，c>0，故选C选项.变式2】【2018山东高考】设函数f(x)=x3+3x2+3x+k，其中k为常数，则f(x)在区间（-∞，0）上单调递（增/减）；在区间（0，+∞）上单调递（增/减）.答案】单调递减，单调递增解析】根据题意，可以利用导数求解函数f(x)的单调性.首先求导数f'(x)，得到f'(x)=3x2+6x，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.当x∈(-∞，0)时，f'(x)的取值范围是[0，+∞)，因此f(x)在(-∞，0)上单调递减；当x∈(0，+∞)时，f'(x)的取值范围是(-∞，0]，因此f(x)在(0，+∞)上单调递增，故选单调递减，单调递增.讨论函数$f(x)=1-x^2e^x$的单调性。
各类函数求导法Word版
§2.2 各类函数导数的求法一、复合函数的微分法设有函数)(u f y =，)(x g u =，且)(x g 在点x 可导，)(u f 在相应的点u 处可导，则复合函数))((x g f y =在点x 可导，且)()()))(((x g u f x g f ''=' 或写为 dxdudu dy dx dy ⋅=。
x u y →→ 此求导法则称为连式法则，可推广到多个函数的情况。
【注意】此结论反过来不成立。
例如：①2)(u u f y ==，||)(x x u ==ϕ，则在0=x 处，2)]([x x f y ==ϕ可导，但2)(u u f y ==可导，||)(x x u ==ϕ不可导。
②||)(u u u f y -==，||)(x x x u +==ϕ，则在0=x 处，0)]([==x f y ϕ可导，但||)(u u u f y -==，||)(x x x u +==ϕ都不可导。
例2.1 若xx f dx d 1)]([4=，则=)('x f 。
解：由复合函数的求导法则得：x x f xx f x x x f x f dx d 41)('41)('14)(')]([44344=⇒=⇒=⋅=。
例2.2 若xtx x t t f )21(lim )(0+=→，则=)('t f 。
解：先求出)(t f 的具体表达式，再求导。
t t x x te x t t f 22210)21(lim )(=+=⋅→则 t t t e t te e t f 222)12(2)('+=+=。
例2.3 设⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2323x x f y ，2arcsin )('x x f =，求=x dx dy 。
解：22')23(122323arcsin 23232323'2323+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x x x x f x x f dx d dx dy π233)1(arcsin 0=⋅==x dx dy 。
《导数的简单应用》word版
第三讲 导数的简单应用[必记公式]1．基本初等函数的八个导数公式原函数导函数f (x )＝C (C 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈R ) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a >0，且a ≠1) f ′(x )＝1x log a e ＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x2.导数四则运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x gx ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)； (4)若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y x ′＝y u ′·u x ′， 即y x ′＝a ·y u ′.[重要概念]1．切线的斜率函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，因此曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0(f ′(x )<0)，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增(单调递减)．3．函数的极值设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近所有的点x ，都有f (x )<f (x 0)，那么f (x 0)是函数的一个极大值，记作y 极大值＝f (x 0)；如果对x 0附近的所有的点都有f (x )>f (x 0)，那么f (x 0)是函数的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)．极大值与极小值统称为极值．4．函数的最值将函数y ＝f (x )在[a ，b ]内的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[重要性质]1．定积分的性质(1)⎠⎜⎛a bkf(x)d x ＝k ⎠⎜⎛ab f(x)d x ； (2)⎠⎜⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]d x ＝⎠⎜⎛a b f 1(x)d x±⎠⎜⎛abf 2(x)d x. (3)⎠⎜⎛abf(x)d x ＝⎠⎜⎛a c f(x)d x ＋⎠⎜⎛cb f(x)d x(其中a<c<b)． 2．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么⎠⎜⎛abf(x)d x ＝F(b)－F(a)．[失分警示]1．对复合函数求导法则用错．2．判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立．3．混淆在点P 处的切线和过点P 的切线：前者点P 为切点，后者点P 不一定为切点，求解时应先设出切点坐标．4．关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先求定义域．考点导数的几何意义及定积分典例示法题型1 导数的几何意义典例1 [2015·陕西高考]设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x>0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．[解析] y′＝e x ，则y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 切＝1，又曲线y ＝1x (x>0)上点P 处的切线与y ＝e x 在点(0,1)处的切线垂直，所以y ＝1x (x>0)在点P 处的切线的斜率为－1，设P(a ，b)，则曲线y＝1x(x>0)上点P 处的切线的斜率为y′|x ＝a ＝－a －2＝－1，可得a ＝1，又P(a ，b)在y ＝1x上，所以b ＝1，故P(1,1)．[答案] (1,1) 题型2 定积分的计算典例2 [2014·湖北高考]若函数f(x)，g(x)满足⎠⎜⎛-11f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 对于①，⎠⎜⎛-11⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12x cos 12x d x ＝⎠⎜⎛-1112sin x d x ＝12⎠⎜⎛-11sin x d x ＝⎪⎪⎪12－cos x 1－1＝12{－cos 1－[－cos (－1)]}＝12(－cos 1＋cos 1)＝0. 故①为一组正交函数；对于②，⎠⎜⎛-11[(x ＋1)(x －1)]d x ＝⎠⎜⎛-11(x 2－1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 1－1＝13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝23－2＝－43≠0， 故②不是一组正交函数；对于③，⎠⎜⎛-11(x·x 2)d x ＝⎠⎜⎛-11x 3d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 41－1＝0. 故③为一组正交函数，故选C . [答案] C1．求曲线y ＝f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x 0，y 0)，求y ＝f(x)过点P 的切线方程： 求出切线的斜率f′(x 0)，由点斜式写出方程． (2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f(x)的切线方程：设切点P(x 0，y 0)，通过方程k ＝f′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求y ＝f(x)的切线方程： 设切点P(x 0，y 0)，利用导数求得切线斜率f′(x 0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，再由点斜式或两点式写出方程．2．利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数已知过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．3．求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强． (2)利用微积分基本定理求定积分．(3)利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分⎠⎜⎛011－x 2d x 的几何意义是求单位圆面积的14，所以⎠⎜⎛011－x 2d x ＝π4. 提醒：求曲线的切线方程时，务必分清在点P 处的切线还是过点P 的切线，前者点P 为切点，后者点P 不一定为切点，求解时应先求出切点坐标．考点利用导数研究函数的单调性典例示法题型1 利用导数研究函数的单调性(单调区间)典例3 [2014·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝e x －e －x －2x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b 的最大值；(3)已知1.4142<2<1.4143，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．[解] (1)f′(x)＝e x ＋e －x －2≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e 2x －e －2x －4b(e x －e －x )＋(8b －4)x ， g′(x)＝2[e 2x ＋e －2x －2b(e x ＋e －x )＋(4b －2)]＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x －2b ＋2)．①当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0； ②当b>2时，若x 满足2<e x ＋e －x <2b －2， 即0<x<ln (b －1＋b 2－2b)时，g′(x)<0. 而g(0)＝0，因此当0<x<ln (b －1＋b 2－2b)时， g(x)<0.综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g(ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g(ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.6928；当b ＝324＋1时，ln (b －1＋b 2－2b)＝ln 2， g(ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.6934.所以ln 2的近似值为0.693.题型2 根据函数的单调性求参数的范围典例4 [2016·西安质检]已知函数f(x)＝mx 2－x ＋ln x. (1)若在函数f(x)的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m 的取值范围；(2)当0<m≤12时，若曲线C ：y ＝f(x)在点x ＝1处的切线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求m 的值或取值范围．[解] (1)f′(x)＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x ，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解．当m≤0时显然成立；当m>0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m>0，故需且只需Δ>0，即1－8m>0，故0<m<18.综上所述，m<18，故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，18.(2)∵f(1)＝m －1，f′(1)＝2m ，故切线方程为y －m ＋1＝2m(x －1)，即y ＝2mx －m －1.从而方程mx 2－x ＋ln x ＝2mx －m －1在(0，＋∞)上有且只有一解．设g(x)＝mx 2－x ＋ln x －(2mx －m －1)，则g(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．又g(1)＝0，故函数g(x)有零点x ＝1. 则g′(x)＝2mx －1＋1x －2m ＝2mx 2－2m ＋1x ＋1x＝2mx －1x －1x.当m ＝12时，g′(x)≥0，又g(x)不是常数函数，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴函数g(x)有且只有一个零点x ＝1，满足题意． 当0<m<12时，由g′(x)＝0，得x ＝12m或x ＝1.且12m >1，由g′(x)>0，得0<x<1或x>12m ； 由g′(x)<0，得1<x<12m.故当x 在(0，＋∞)上变化时，g′(x)、g(x)的变化情况如下表： x (0,1) 1 ⎝⎛⎭⎪⎫1，12m12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞ g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x)极大值极小值根据上表知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <0.又g(x)＝mx ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m ＋m ＋ln x ＋1.∴g ⎝⎛⎭⎪⎫2＋1m >0，故在⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞上，函数g(x)又有一个零点，不符合题意．综上所述，m ＝12.1．导数与单调性之间的关系(1)导数大(小)于0的区间是函数的单调递增(减)区间． (2)函数f(x)在D 上单调递增⇔∀x∈D ，f′(x)≥0且f′(x)在区间D 的任何子区间内都不恒为零；函数f(x)在D 上单调递减⇔∀x∈D，f′(x)≤0且f′(x)在区间D 的任何子区间内都不恒为零．2.根据函数的单调性求参数取值范围的思路 (1)求f′(x)．(2)将单调性转化为导数f′(x)在该区间上满足的不等式恒成立问题求解．考点利用导数研究函数的极值与最值典例示法题型1 求函数的极值(最值)典例5 [2016·合肥质检]已知函数f(x)＝e 1－x (2ax －a 2)(其中a≠0)．(1)若函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)设函数f(x)的最大值为g(a)，当a>0时，求g(a)的最大值． [解] (1)由f(x)＝e 1－x (2ax －a 2)，得f′(x)＝－e 1－x (2ax －a 2)＋2a e 1－x ＝－e 1－x (2ax －a 2－2a)＝0，又a≠0，故x ＝1＋a 2，当a>0时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋a 2上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a2，＋∞上为减函数，∴1＋a2≤2，即a≤2，∴0<a≤2；当a<0时，不合题意， 故a 的取值范围为(0,2]．(2)由(1)得，当a>0时，f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 2＝2a·e－ a2即g(a)＝2a e － a 2.则g′(a)＝(2－a)e － a 2＝0，得a ＝2，∴g(a)在(0,2)上为增函数，在(2，＋∞)上为减函数， ∴g(a)max ＝g(2)＝4e.题型2 知极值的个数求参数范围典例6 [2016·沈阳质检]已知函数f(x)＝x ln x －a 2x 2－x ＋a(a ∈R )在其定义域内有两个不同的极值点．(1)求a 的取值范围；(2)记两个极值点为x 1，x 2，且x 1<x 2.已知λ>0，若不等式e 1＋λ<x 1·x λ2恒成立，求λ的取值范围．[解] (1)依题，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以方程f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有两个不同的根， 即方程ln x －ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不同的根． 解法一：可以转化为函数y ＝ln x 与函数y ＝ax 的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，如图．可见，若令过原点且与函数y ＝ln x 图象相切的直线斜率为k ，只需0<a <k .令切点A (x 0，ln x 0)，所以k ＝y ′|x ＝x 0＝1x 0，又k ＝ln x 0x 0，所以1x 0＝ln x 0x 0，解得x 0＝e ，于是k ＝1e ，所以0<a <1e.解法二：可以转化为函数g (x )＝ln xx与函数y ＝a 的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点．又g ′(x )＝1－ln xx2，当0<x <e 时，g ′(x )>0， 当x >e 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．从而g (x )极大值＝g (e)＝1e.又g (x )有且只有一个零点是1，且在x →0时，g (x )→－∞，在x →＋∞时，g (x )→0，所以g (x )的草图如图所示，可见，要想函数g (x )＝ln xx与函数y ＝a 的图象在(0，＋∞)上有两个不同交点，只需0<a <1e.解法三：令g (x )＝ln x －ax ，从而可以转化为函数g (x )有两个不同的零点，而g ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0)，若a ≤0，可见g ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时g (x )不可能有两个不同零点．若a >0，当0<x <1a 时，g ′(x )>0，当x >1a时，g ′(x )<0，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减，从而g (x )极大值＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a－1.又因为在x →0时，g (x )→－∞，在x →＋∞时，g (x )→－∞，于是只需：g (x )极大值>0，即ln 1a －1>0，所以0<a <1e .综上所述，0<a <1e.(2)e 1＋λ<x 1·x λ2等价于1＋λ<ln x 1＋λln x 2.由(1)可知x 1，x 2分别是方程ln x －ax ＝0的两个根， 即ln x 1＝ax 1，ln x 2＝ax 2，所以原式等价于1＋λ<ax 1＋λax 2＝a (x 1＋λx 2)，因为λ>0,0<x 1<x 2，所以原式等价于a >1＋λx 1＋λx 2.又由ln x 1＝ax 1，ln x 2＝ax 2作差得，ln x 1x 2＝a (x 1－x 2)，即a ＝ln x 1x 2x 1－x 2. 所以原式等价于lnx 1x 2x 1－x 2>1＋λx 1＋λx 2，因为0<x 1<x 2且原不等式恒成立，所以ln x 1x 2<1＋λx 1－x 2x 1＋λx 2恒成立．令t ＝x 1x 2，t ∈(0,1)，则不等式ln t <1＋λt －1t ＋λ在t ∈(0,1)上恒成立．令h (t )＝ln t －1＋λt －1t ＋λ，又h ′(t )＝1t －1＋λ2t ＋λ2＝t －1t －λ2t t ＋λ2，当λ2≥1时，可见t∈(0,1)时，h′(t)>0，所以h(t)在(0,1)上单调递增，又h(1)＝0，h(t)<0在(0,1)上恒成立，符合题意．当λ2<1时，可见t∈(0，λ2)时，h′(t)>0，t∈(λ2,1)时，h′(t)<0，所以h(t)在(0，λ2)上单调递增，在(λ2,1)上单调递减，又h(1)＝0，所以h(t)在(0,1)上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e1＋λ<x1·xλ2恒成立，只需λ2≥1，又λ>0，所以λ≥1.利用导数研究函数极值与最值的步骤(1)利用导数求函数极值的一般思路和步骤①求定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，研究极值情况；④确定f′(x0)＝0时x0左右的符号，定极值．(2)若已知函数极值的大小或存在情况，求参数的取值范围，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来讨论求解．3求函数y＝f x在[a，b]上最大值与最小值的步骤①求函数y＝f x在a，b内的极值；②将函数y＝f x的各极值与端点处的函数值f a，f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.提醒：1求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点；2求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大小值；3对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论.[全国卷高考真题调研]1．[2015·全国卷Ⅱ]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)答案A解析令F(x)＝f xx，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝xf′x－f xx2，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以F(x)＝f xx在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝f xx在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.2．[2014·全国卷Ⅱ]设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )A．0 B．1C．2 D．3答案D解析∵y＝ax－ln (x＋1)，∴y′＝a－1x＋1，当x＝0时y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.3．[2016·全国卷Ⅲ]已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln (－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．答案y＝－2x－1解析 由题意可得当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，则f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.[其它省市高考题借鉴]4．[2014·江西高考]若f (x )＝x 2＋2⎠⎜⎛01f(x)d x ，则⎠⎜⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C .13 D ．1答案 B解析 ∵⎠⎜⎛01f(x)d x ＝⎠⎜⎛01x 2d x ＋⎠⎜⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎠⎜⎛01fx d x d x＝⎪⎪⎪13x 31＋⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎠⎜⎛01f x d x x 1＝13＋2⎠⎜⎛01f(x)d x ， ∴⎠⎜⎛1f(x)d x ＝－13.故选B . 5．[2016·北京高考]设函数f(x)＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f(x)的单调区间．解 (1)因为f(x)＝x e a －x ＋bx ，所以f′(x)＝(1－x)·e a －x ＋b.依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f 2＝2e ＋2，f′2＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e .(2)由(1)知f(x)＝x e 2－x ＋e x.由f′(x)＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f′(x)与1－x ＋e x －1同号．令g(x)＝1－x ＋e x －1，则g′(x)＝－1＋e x －1.所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)． 故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．一、选择题1．[2016·郑州质检]函数f(x)＝e x cos x 的图象在点(0，f(0))处的切线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0答案 C解析 依题意，f(0)＝e 0cos 0＝1，因为f′(x)＝e x cos x －e x sin x ，所以f′(0)＝1，所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，故选C .2．[2016·南宁适应性测试(二)]设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( )A ．1B .13 C .23 D .43答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝1得x ＝±1.由对称性与图形可知，S ＝2(1×1－⎠⎜⎛01x 2d x)＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫1×1－13x 3⎪⎪⎪⎪10＝43，选D . 3．[2016·广西质检]若函数f(x)＝(x 2－cx ＋5)e x在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．(－∞，8]D ．[－2,4]答案 B解析 f′(x)＝[x 2＋(2－c)x －c ＋5]e x ，因为函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，等价于x 2＋(2－c)x －c ＋5≥0对任意x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c≤x 2＋2x ＋5，c≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，∵x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c≤4.4．[2016·沈阳质检]已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B .12<x 0<1C .22<x 0< 2 D .2<x 0<3 答案 D解析 由题令f(x)＝x 2，f′(x)＝2x ，f(x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝lnx(x∈(0,1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y′＝1x，所以l的方程为y ＝1x1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 2，所以1＋ln 2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g(x)＝x 2－ln2x －1，x∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g′(x)＝2x －1x ＝2x 2－1x ，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－ln 2 <0，g(2)＝1－ln 2 2<0，g(3)＝2－ln 23>0，从而2<x 0<3，选D .5．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋c(x ∈R )，则下列结论错误的是( )A ．函数f (x )一定存在极大值和极小值B ．若函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是增函数，则x 2－x 1≥233C ．函数f (x )的图象是中心对称图形D ．函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))(x 0∈R )处的切线与f (x )的图象必有两个不同的公共点答案 D解析 对于选项A ，f ′(x )＝3x 2＋2ax －1，方程3x 2＋2ax －1＝0的根的判别式Δ＝4a 2＋12>0恒成立，故f ′(x )＝0必有两个不等实根，不妨设为x 1，x 2，且x 1<x 2，令f ′(x )>0，得x <x 1或x >x 2，令f ′(x )<0，得x 1<x <x 2，所以函数f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 1时，函数f (x )取得极大值，当x ＝x 2时，函数f (x )取得极小值，故A 选项的结论正确；对于选项B ，令f ′(x )＝3x 2＋2ax －1＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2a 3，x 1x 2＝－13，易知x 1<x 2，所以x 2－x 1＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝4a 29＋43≥233，故B 选项的结论正确；对于选项C ，易知两极值点的中点坐标为⎝ ⎛ －a3，⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 23x ＋x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 23x －x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，所以函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3成中心对称，故C 选项的结论正确；对于D 选项，令a ＝c ＝0得f (x )＝x 3－x ，f (x )在(0,0)处切线方程为y ＝－x ，且⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－xy ＝x 3－x有唯一实数解，即f (x )在(0,0)处切线与f (x )图象有唯一公共点，所以D 不正确，选D.6．已知函数f (x )＝(a －2)x －ax 3在区间[－1,1]上的最大值为2，则a 的取值范围是( )A ．[2,10]B ．[－1,8]C ．[－2,2]D ．[0,9]答案 B解析 f ′(x )＝－3ax 2＋a －2.(1)当a ＝0时，f ′(x )＝－2<0，f (x )在[－1,1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (－1)＝2，符合题意．(2)当0<a ≤2时，f ′(x )≤0恒成立，所以函数f (x )在定义域内为减函数，所以f (x )max ＝f (－1)＝2，符合题意．(3)当a <0或a >2时，由f ′(x )＝0，解得x ＝±a －23a .①当－ a －23a ≤－1，即 a －23a ≥1，即－1≤a <0时，函数f (x )在[－1,1]上单调递减，所以此时函数在定义域内的最大值为f (－1)＝2，满足条件；②当－ a －23a>－1，即a －23a<1，即a <－1或a >2时，若a <－1，函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，－ a －23a 与⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a －23a ，1上单调递增，在⎣⎢⎢⎡－ a －23a，⎦⎥⎥⎤a －23a 上单调递减，所以此时函数在定义域内的最大值为f (1)＝－2或f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－ a －23a ，而f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－ a －23a >f (－1)＝2，不满足条件，若a >2，函数f(x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，－ a －23a 与⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a －23a ，1上单调递减，在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－ a －23a， a －23a 上单调递增，所以此时函数在定义域内的最大值为f (－1)＝2或f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ a －23a ，则必有f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ a －23a ≤2，即(a －2)a －23a －a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ a －23a 3≤2，整理并因式分解得(a －8)(a ＋1)2≤0，所以由a >2可得2<a ≤8.综上可得－1≤a ≤8，故选B.二、填空题7．[2016·九江一模]已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x图象的切线，则实数a ＝________.答案 e 2解析 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a·e x＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.8．[2015·天津高考]曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．答案 16解析 由题意可得封闭图形的面积为⎠⎜⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪⎪10＝12－13＝16. 9．[2016·石家庄一模]设过曲线f(x)＝－e x －x(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g(x)＝ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．答案 －1≤a≤2解析 函数f(x)＝－e x －x 的导数为f′(x)＝－e x －1，设曲线f(x)＝－e x －x 上的切点为(x 1，f(x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.函数g(x)＝ax ＋2cos x 的导数为g′(x)＝a －2sin x ，设曲线g(x)＝ax ＋2cos x 上的切点为(x 2，g(x 2))，则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a－2sin x 2＝1e x1＋1，对∀x 1，∃x 2使得等式成立，则有y 1＝1e x1＋1的值域是y 2＝a －2sin x 2值域的子集，即(0,1)⊆[a －2，a ＋2]，⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a≤2.三、解答题10．[2016·石景山区高三统测]已知函数f(x)＝x －a ln x ，g(x)＝－1＋ax(a>0)．(1)若a ＝1，求函数f(x)的极值；(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，求函数h(x)的单调区间； (3)若存在x 0∈[1，e ]，使得f(x 0)<g(x 0)成立，求a 的取值范围． 解 (1)f(x)＝x －a ln x 的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝1时，f′(x)＝x －1x .由f′(x)＝0，解得x ＝1.当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；所以当x ＝1时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(1)＝1－ln 1＝1；(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝x －a ln x ＋1＋ax ，其定义域为(0，＋∞)．又h′(x)＝x 2－ax －1＋a x 2＝x ＋1[x －1＋a ]x 2.由a>0可得1＋a>0，在x∈(0,1＋a)上h′(x)<0，在x∈(1＋a ，＋∞)上h′(x)>0，所以h(x)的递减区间为(0,1＋a)；递增区间为(1＋a ，＋∞)． (3)若在[1，e ]上存在一点x 0，使得f(x 0)<g(x 0)成立， 即在[1，e ]上存在一点x 0，使得h(x 0)<0. 即h(x)在[1，e ]上的最小值小于零．①当1＋a≥e ，即a≥e －1时，由(2)可知h(x)在[1，e ]上单调递减．故h(x)在[1，e ]上的最小值为h(e )， 由h(e )＝e ＋1＋a e －a<0，可得a>e 2＋1e －1.因为e 2＋1e －1>e －1，所以a>e 2＋1e －1；②当1<1＋a<e ，即0<a<e －1时，由(2)可知h(x)在(1,1＋a)上单调递减，在(1＋a ，e )上单调递增．h(x)在[1，e ]上最小值为h(1＋a)＝2＋a －a ln (1＋a)． 因为0<ln (1＋a)<1，所以0<a ln (1＋a)<a.∴2＋a －a ln (1＋a)>2，即h(1＋a)>2不满足题意，舍去．综上所述：a∈⎝⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞. 11．[2016·贵阳监测]设函数f(x)＝x ln (ax)(a>0)． (1)设F(x)＝12f(1)x 2＋f′(x)，讨论函数F(x)的单调性；(2)过两点A(x 1，f′(x 1))，B(x 2，f′(x 2))(x 1<x 2)的直线的斜率为k ，求证：1x 2<k<1x 1.解 (1)f′(x)＝ln (ax)＋1，所以F(x)＝12(ln a)x 2＋ln (ax)＋1，函数F(x)的定义域为(0，＋∞)，F′(x)＝(ln a)x ＋1x＝ln a x 2＋1x.①当ln a≥0，即a≥1时，恒有F′(x)>0，函数F(x)在(0，＋∞)上是增函数；②当ln a<0，即0<a<1时，令F′(x)>0，得( ln a)x 2＋1>0, 解得0<x< －1ln a ； 令F′(x)<0，得(ln a)x 2＋1<0，解得x> －1ln a. 所以函数F(x)在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0， －1ln a 上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎪⎫ －1ln a ，＋∞上为减函数． (2)证明：因为k ＝f′x 2－f′x 1x 2－x 1＝ln ax 2－ln ax 1x 2－x 1＝ln x 2x 1x 2－x 1，x 2－x 1>0，要证1x 2<k<1x 1，即证x 2－x 1x 2<ln x 2x 1<x 2－x 1x 1，令t ＝x 2x 1，则t>1，则只要证1－1t<ln t<t －1即可，①设g(t)＝t －1－ln t ，则g′(t)＝1－1t >0(t>1)，故g(t)在(1，＋∞)上是增函数．所以当t>1时，g(t)＝t －1－ln t>g(1)＝0，即t －1>ln t 成立．②要证1－1t<ln t ，由于t>1，即证t －1<t ln t ，设h(t)＝t ln t －(t －1)，则h′(t)＝ln t>0(t>1)，故函数h(t)在(1，＋∞)上是增函数，所以当t>1时，h(t)＝t ln t－(t－1)>h(1)＝0，即t－1<t ln t成立．故由①②知1x 2<k<1x 1成立，得证．12．[2016·广西质检]已知函数f(x)＝1x ＋a ln x(a≠0，a ∈R )．(1)若a ＝1，求函数f (x )的极值和单调区间；(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )<0得0<x <1，由f ′(x )>0得x >1，所以当x ＝1时，f (x )有极小值1.f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(2)f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x2，且a ≠0，令f ′(x )＝0，得到x ＝1a，若在区间(0，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，即f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0.当1a<0，即a <0时，f ′(x )<0在(0，e]上恒成立，即f (x )在区间(0，e]上单调递减，故f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e＋a ，由1e ＋a <0，得a <－1e ，即a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e .当1a>0，即a >0时，①若e≤1a，则f ′(x )≤0对x ∈(0，e]成立，所以f (x )在区间(0，e]上单调递减，则f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a >0，显然，f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0不成立． ②若0<1a <e ，即a >1e时，则有所以f (x )在区间(0，e]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝a ＋a ln 1a ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ＋a ln 1a ＝a (1－ln a )<0，得1－ln a <0，解得a >e ，即a ∈(e ，＋∞)．综上，由①②可知：a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪(e ，＋∞)符合题意．. .。
(完整word版)导数及其运用
导数及其应用一、相关概念 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，x y ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
①求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； ②求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00； ③取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s '（t ）。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v ′（t ）。
二．求导数的方法 1 几个常用函数的导数1．若()f x c =，则()f x '=________； 2．若()f x x =，则()f x '=________； 3．若2()f x x =，则()f x '=________； 4．若1()f x x=，则()f x '=________。
一阶导数 Word 文档
一阶导数导数 derivative 由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。
又称变化率。
如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米／小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米／小时。
为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置x与时间t的关系为x＝f（t），那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)/t1-t0]，当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况，自然就把极限[f(t1)-f(t0)/t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。
一般地，假设一元函数 y＝f(x )在 x0点的附近(x0－a ，x0 ＋a)内有定义，当自变量的增量Δx＝ x－x0→0时函数增量Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f 在x0点的导数（或变化率)，记作f′（x0），即f′（x0）=Δy/Δx (Δx→0)若极限为无穷大，称之为无穷大导数若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作f′，称之为f的导函数，简称为导数。
函数y＝f（x）在x0点的导数f′（x0）的几何意义：表示曲线l 在P0〔x0，f（x0）〕点的切线斜率。
导数是微积分中的重要概念。
导数定义为，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。
如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
y＝f(x )的导数f′就是f的一阶导数：二阶导数所谓二阶导数，即原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。
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§2—6 导数应用举例我们知道，函数()x f y =的导数()x f '的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率，因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。
在()x f y =具有不同的实际意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。
一、 导数在物理上的应用举例 （一） 导数的力学意义设物体作变速运动的方程为()t s s =，则物体运动的速度()t v 是位移()t s s =对时间t 的变化率，即位移s 对时间t 的一阶导数()()dtdst s t v ='=；此时，若速度v 仍是时间t 的函数()t v ，我们可以求速度v 对时间t 的导数()t v '，用a 表示，就是()().22dtsd t s t v a =''='=在力学中，a 称为物体的加速度，也就是说，物体运动的加速度a 是位移s 对时间t 的二阶导数。
例1某物体的运动方程为()22310212秒米取g gt t s -=，求2=t 秒时的速度和加速度。
解： 根据导数的力学意义，得()()()()()()()().141024242,420242242,12,62秒米秒米=-=-==-=-=-=''=-='=g a g v g t t s t a gt t t s t v（二）导数的电学意义设通过某导体截面的电量q 是()t q q =，则通过该导体的电流()t I 是电量()t q q =对时间t 的变化率（单位时间内通过的电量），即电量的一阶导数()().dtdqt q t I ='= 例2设通过某导体截面的电量()ϕω+=t A q sin （库仑），其中ϕω,,A 为常数，时间t 的单位为秒，求通过该截面的电流().t I解： 因为()ϕω+=t A q sin ，所以()()()[]()ϕωωϕω+='+='=t A t A t q t I cos sin （安培）。
二、 导数在经济工作中的应用举例（一） 边际的概念经济学上把“某某”经济函数()x f y =的导数()x f '，称为函数()x f 在x 处的“边际某某”，即称()x f '为函数()x f 的边际函数，称()0x f '为函数()x f 在点0x x =处的边际函数值。
它反映了函数()x f 在点0x x =处的变化速度。
一般地，“某某”经济函数()x f y =，则“边际某某”就记作()().,000x x x x dxdyx f My dxdyx f My ==='=='=它表示经济函数()x f y =在点0x 处，当经济量x 改变一个单位时，()x f 近似地改变()0x f '个单位。
设成本C 是产量x 的函数()x C C =，则边际成本();dxdC x C MC ='= 设产量P 是某种投入资源x 的函数()x P P =，则边际产量();dxdP x P MP ='= 设总收入R 是产量x 的函数()x R R =，则边际收入();dx dR x R MR ='= 设总利润L 是产量x 的函数()x L L =，则边际利润().dxdLx L ML ='=例3 某种产品的总成本C （万元）是产量x （万件）的函数（称为总成本函数）()3202.04.06100x x x x C +-+= （万元），试问当生产水平为10=x （万件）时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当？ 解：当生产水平为10=x （万件）时，总成本()1401002.0104.010*******2=⨯+⨯-⨯+=C （万元），这时每个单位产品的平均成本为()()件元14101401010==C ， 而 ()206.08.06x x x C +-='， 所以生产水平10=x （万件）时的边际成本为()().41006.0108.06102件元=⨯+⨯-='=C MC由于边际成本是生产水平为10=x （万件）时成本的瞬时变化率，可以近似地看作在这个水平上再增加一个单位产品，总成本增加的数量，它低于平均成本14()件元，所以从降低单位成本的角度看，还应该继续提高产量。
例4某公司总利润L （元）与每天产量x （吨）的关系为(),52502x x x L L -==试确定每天生产20吨、25吨和35吨时的边际利润，并予以经济解释。
解： 因为 (),10250x x L ML -='=(),502002502020=-='==L ML x (),025025025=-='==x L ML x ().1003502503535-=-='==L ML x上述结果表明，当日产量为20吨时，再多生产1吨，总利润约增加50元；当日产量为25吨时，再多生产产品，则利润不再增加，且开始减少；当日产量为35吨时，再多生产1吨，则利润约减少100元。
（二） 弹性的概念例如，甲商品每单位价格5元，涨价1元；乙商品每单位价格200元，也涨价1元，两种商品价格的绝对改变量都是1元，哪个商品的涨价幅度更大呢？我们只要用它们与其原价相比就能获得问题的解答。
甲商品涨价百分比为20%，乙商品涨价百分比为0.5%,显然甲商品的涨价幅度比乙商品的涨价幅度更大.为此,我们有必要研究函数的相对改变量与相对变化率. 例5设函数2x y =,当x 从8增加到10时,相应的y 从64增加到100,即自变量x 的绝对改变量,2=∆x 函数y绝对改变量.36=∆y 又%,25.566436%,2582==∆==∆y y x x 即当8=x 增加到10=x 时, x 增加了25%,y 相应增加了56.25%,我们分别称yyx x ∆∆和为自变量与函数的相对改变量.如果在本例中,再引入下式,25.2%25%25.56==∆∆xx y y则该式表示在(8,10)内,从8=x 到10=x 时,函数2x y =的平均相对变化率.因此我们有如下定义:定义 设函数()x f y =在x 处可导,函数的相对改变量()()()x f x f x x f y y -∆+=∆与自变量的相对改变量xx ∆之比xx y y∆∆称为()x f 从x 到x x ∆+两点间的弹性.当0→∆x 时,x x y y ∆∆的极限称为在x 处的弹性,记作.lim ,0y x y x x y yEx Ey Ex Ey x ⋅'=∆∆=→∆即由于Ex Ey 也为x 的函数,故也称它为()x f 的弹性函数.ExEy 反映了随着x 的变化,函数()x f y =变化幅度的大小,也就是函数()x f y =对自变量x 的变化反映的灵敏度,即ExEy表示在点x 处,当x 产生1%的改变时,函数()x f y =近似地改变%ExEy . 例6求幂函数αx y =(α为常数)的弹性函数.解: ().,11ααααααα=⋅=⋅'=='='--xxx y x y Ex Ey xxy 可见,幂函数的弹性恒为常数,等于幂指数α,即在任意点处的弹性不变.设某产品的需求量为价格P 的函数()P f Q =,通常当产品的价格上涨时,需求量就会减少,而当产品的价格下降时,需求量就会增加.根据函数弹性的定义可得,需求量Q 对价格P的 弹性.QPQ EP EQ ⋅'=需求量Q 对价格P 的弹性的经济意义是:当价格为P 时,若价格上涨(或下降)1%,需求量Q 将减少(或增加)%EPEQ. 例7设某商品的需求函数为Q=60-3P,求P=10,P=15时,需求量Q 对价格P 的弹性,并解释其含义.解: 因为 ,3-='Q 所以,203603-=--='=P PP P Q P Q EP EQ 当P=10时,,1201010-=-=EP EQ 当P=15时,,3201515-=-=EP EQ这表明,当价格P=10时,若涨价(或降价)1%,则需求量将减少(或增加)1%;当价格P=15时,若涨价(或降价)1%,则需求量将减少(或增加)3%. 练习2—6 1. 下列说法是否正确?(1) 一汽车在刹车后t 秒所行的距离()2630t t t s -=(米),则刹车开始时的速度为秒米30=v ,当5=t 秒时的加速度为212秒米=a .(2) 生产某种产品x 个单位成本函数为(),05.02002x x C +=则生产90个单位产品时,再多生产一个单位产品,成本将增加9个单位.(3) 设某种商品的总收益R 是商品价格P 和销售量Q 乘积,如果销售量Q 是价格P 的函数()212PP Q Q -==,则当价格P=6元时,价格每上涨1%,总收益将随之增加0.67%. 2. 已知一物体的运动规律为()224124-+=t t t s (米),求1=t 秒时速度和加速度.3. 某企业利润函数()25250x x x L -=(单位:千元),x 为日产量(单位:吨),求每日生产20吨25吨、35吨时的边际利润.4. 某种产品的销售量Q 与价格P 之间的关系为P P Q -=1,求销售价格P=21时的弹性系数. 习题2—61. 设质点作直线运动,其运动规律给定如下,求质点在指定时刻的速度与加速度: (1);2,233=+-=t t t s (2)3costA s π= (A 为常数), 1=t .2. 设通过某导体截面的电量为()ϕω+=t A q cos (库仑),其中ϕω,,A 为常数,时间t 的单位为秒,求通过该截面的电流()t I .3. 某产品生产x 个单位的总成本C 为x 的函数()2012.01000x x C C +==(元).求生产1000件产品时的边际成本,并说明其经济意义. 4. 某企业产品的成本函数和收入函数分别为()(),201350,51200300022x x x R x x x C +=++=其中x 为产品的产量,求边际成本、边际收入和边际利润.(提示:利润函数()()()x C x R x L -=)5. 设某商品需求量Q 对价格P 的函数关系是()PP f Q ⎪⎭⎫⎝⎛==411600,试求需求量Q 对价格P的弹性. 6. 生产函数Bx y 41=,其中y 是产出量,x 是投入量. (1) 证明B 就是生产函数的弹性ExEy; (2) 当B=16,41=x 个单位时的平均产量和边际产量各是多少?（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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