莱斯利Leslie种群模型

令
—
t
xt yt
则上述关系的矩阵形式为
t At1, t 1,2, , k
由此，有
1 A0 ,
2 A1 A20 ,
3 A2 A30 ,
()
t At1 At0. 4
——————§—4—.5—应——用—（—一—）——————
由此可预测该地区t年后—的环境污染水平和经济发
展水平.下面作进一步地讨论：
经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突 出问题.为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关 系，可建立如下数学模型：
1
——————§—4—.5—应——用—（—一—）——————
设x0, y0分别为改地区目前—的环境污染水平与经济发展水
平, x1, y1分别为改地区若干年后的环境污染水平与经济
发展水平, 且有如下关系：
环境污染也保持着同步恶化趋势.
则也是A 的属于特征值 的特征向量
k
k
一个性质：若是矩阵A的属于特征值的特征向量，
7
——————§—4—.5—应——用—（—一—）——————
Case2 0 2 12 —
y0 2 0,不讨论此种情况.
1
Case30 7
0不是特征值，不能类似分析. 但是0可以由1，2唯一线性表出为 0 31 22
令
x1(k )
X
(k)
x(k) 2
x(k) n
,
k 1,2,
13
向量—则.显—X(然k—)即，—为随—时着—§刻时—t4k间该—.5的动—应变物——化种—用，群—（该中—一动雌—物）性—种动—群物—的的—各年—年龄—龄分组布
中雌性动物的数目会发生变化. 易知，时刻tk该动物种群的第一个年龄组中雌性动物
——————§—4—.5—应——用—（—一—）——————
4.5.1 经济发展与—环境污染的增长模型 矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、生命 科学和环境保护等领域都有着广泛而重要的应 用.§4.5和§4.6两节就来介绍这方面的知识.
本节先来介绍下面的经济发展与环境污染的增长 模型.
[经济发展与环境污染的增长模型]
每个年龄组的长度为
L n
.
11
——————§—4—.5—应——用—（—一—）——————
设第i个年龄组
[i
1 n
L,
i n
L—] 的生育率（即每一雌性动物
平均生育的雌性幼体的数目）为ai，存活率（即第i个
年龄组中可存活到第i+1个年龄组的雌性动物的数目与
第i 个年龄组中雌性动物的总数之比）为bi .
由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展 水平.
9
——————§—4—.5—应——用—（—一—）——————
— 2 因无实际意义而在Case 2中未作讨论，但在Case 3的讨论中仍起到了重要作用.
由经济发展与环境污染的增长模型易见，特征值 和特征向量理论在模型的分析和研究中获得了成功的 应用.
10
——————§—4—.5—应——用—（—一—）——————
4.5.2莱斯利（—Leslie）种群模型
莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分 布与数量增长之间的关系.
设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为L(单位： 年），将区间[0,L]作n等分得n个年龄组
[i 1 L, i L], i 1,2, , n, nn
xy11
3x0 2x0
y0 2 y0
令
0
x0 y0
,1
x1 y1
A
3 2
12
则上述关系的矩阵形式为
1 A0.
此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水
平和经济发展水平之间的关系. 2
——————§—4—.5—应——用—（—一—）——————
如
0
x0 y0
11
—
则由上式得 3 11 4 1
1 A0 2 21 4 41 40
由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济
发展水平. 一般地，若令xt , yt分别为该地区t年后的环境污染
水平与经济发展水平，则经济发展与环境污染的增长
模型为
xytt
3xt1 2xt1
yt 1 2 yt1
(t 1,2, , k)
3
——————§—4—.5—应——用—（—一—）——————
的数目等于在时段[tk-1,tk]内各年龄组中雌性动物生育的 雌性幼体的数目之和，即
x1(k )
x(k 1) 1
a1
x(k 1) 2
a2
xn(k1) an
a1x1(k1) a2 x2(k1) an xn(k1)
（2.1）
又tk时刻该动物种群的第i+1个年龄组中雌性动物的数 目等于tk-1 时刻第i个年龄组中雌性动物的存活量，即
x(k) i 1
x(k 1) i
bi
bi xi(k 1) ,
i 1,2, , n 1
（2.2）
14
§4.5 应 用（一） ———————————————————— 联立（2.1）和（2.2）—得
显然，1,2线性无关.
下面分三种情况分析：
Case 1 0 1 11
由(*)及特征值与特征向量的性质知，
t
At 0
At1
t 1
1
4t 11
6
——————§—4—.5—应——用—（—一—）——————
即
—
xt yt
4t
11
或
xt yt 4t
此式表明：在当前的环境污染水平和经济发展水平
的前提下，t 年后，当经济发展水平达到较高程度时，
由（*）及特征值与特征向量的性质
8
——————§—4—.5—应——用—（—一—）——————
t At 0 At (31 2—2 ) 3At1 2At2
3
t
112 2t2Fra bibliotek34t
11
2
1t
1 2
3 3
4 4
t t
2 4
,
即
xt yt
3 3
4 4
t t
2 4
,
xt 3 4t 2, yt 3 4t 4
令
x (0) 1
X (0)
x (0) 2
x (0) n
12
§4.5 应 用（一） ————————————————————
X (0) 即为初始时刻该动—物种群中雌性动物的年龄分
布向量.
取
tk
k n
L, k
1,2,
,
设在时刻tk该动物种群的第i个年龄组中雌性动物的
数目为 xi(k), i 1,2, , n
由矩阵A 的特征多项式
3 1
| E A |
( 4)( 1)
2 2
得A 的特征值为
1 4, 2 1
对1 4，解方程组 (4E A)X 0得特征向量 1 11
5
——————§—4—.5—应——用—（—一—）——————
对1 1，解方程组 (E —A) X 0得特征向量
2 12