13柱坐标系与球坐标系北师大选修44精品PPT课件
高中数学 柱坐标系与球坐标系简介课件 新人教版选修44
若地处北半球，高OM 与z轴正向
的夹角为(90 )度，则称此地的
纬度是 北纬度 . 本初
若地处南半球，设
子午 线
北
z
OM与z轴负向的夹
角为(90 )度，则 西
称此地的纬度是
O 赤道
y东
.
x
南
课堂练习
3.如图把某地记为空间中的一点M，
若地处北半球，高OM 与z轴正向
的夹角为(90 )度，则称此地的
设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|
＝r.OP与Oz正向所夹的角为.设P在Oxy
平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向
旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样
点P的位置就可以用
有序数组(r,,)表示.
这样，空间的点与
z P
r
有序数组(r,,)之
间建立了一种对应 关系.
x
O
Q
y
球坐标系
把建立上述对应关系的坐标系叫做 球坐标系（或空间极坐标系），
第一讲 坐标系
四 柱坐标系与球坐标系简介
问题探究
在航空领域，人们怎样确定航天器 的准确位置呢？
问题探究
如何建立坐标系，才能方便地的得
出r,,的值，并由有序实数组(r,,)找
到航天器的具体位置呢？
问题探究
如何建立坐标系，才能方便地的得
出r,,的值，并由有序实数组(r,,)找
到航天器的具体位置呢？
纬度是 北纬度 . 本初
若地处南半球，设
子午 线
北
z
OM与z轴负向的夹
角为(90 )度，则 西
称此地的纬度是
O 赤道
y东
南纬度 .
x
南
课后作业 《学案》第一讲 单元检测卷.
柱坐标系和球坐标系
π 4
,5
=
, 2cos
π 4
=
1,
所以 ������ = ������sin������ =
2sin
π 4
=
1,
故(1,1,5)为所求.
������ = 5,
变式训练
将柱坐标点
π 2,6 ,1
化为直角坐标:
解：设所求点的直角坐标为(x,y,z).
因为(ρ,θ,z)=
2,
π 6
������ = ������cos������
P
3、得出P点柱坐标。
O x θQ
y
思考：当 M (r,, z) 处于下述特
殊情况时，各表示什么图形?
1、当r＝常数， 表示的是以z轴为轴的圆柱面； 2、当θ＝常数， 表示的是过z轴的半平面；
3、z＝常数， 表示的是与xOy平面平行的平面.
空间 直角坐标系
z
P(x,y,z)
xz
空间点P(x,y,z)
θ
y
x
Q
有序数组(ρ,θ,Z)叫P的柱坐标，记作(ρ,θ,Z).
其中 规定：ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π , Z∈R
（二）、化归定义
z
z
在空间直
在水平面 内建立极
角坐标系 中， 将
坐标系OX， 过极点O作
O
x
XOY平面
水平面的
O
内点用极
Y 坐标表示。
垂线Oz.
柱坐标系又称半极
坐标系,它是由平
思考：还可以用什么方法呢？
x
P
oc ay
b Q
二、学习目标
1、理解柱坐标系。并通过实 例了解在柱坐标系中刻画空间 中点的位置方法 2、体会柱坐标系与空间直角 坐标系的区别与联系。 3、了解柱坐标与空间直角坐 标的互化关系并进行简单的数 学应用。
北师大版高中数学选修4-4课件高二理科同步课件：1.3柱坐标系和球坐标系课后作业(共28张PPT)
解析:点C1的直角坐标为(1,1,1),设点C1的柱坐标为(ρ,φ,θ),球 坐标为(γ,φ,θ),其中ρ≥0,γ≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π,
x
由公式
y
z
cos , x
sin
,
及
y
z
sincos , sinsin , 得 z cos,
tan
x2 y x
(x
y2
, 0)
及
x2 y2
cos z ,
z
2
,
得
tan
2
及
1 cos
3, 3, 3
结合图形得 ,由cos 3 ,得tan 2.
4
3
故C1的直角坐标为1,1,1 , 柱坐标为(
x cos 1,
得
y
sin
3, 经验证D适合.
z 4,
2.在空间球坐标系中,方程γ=2(0≤φ≤,0≤θ<2π)表示()
2 A.圆B.半圆
C.球面D.半球面
答案:D
解析:如图所示,又∵γ=2,0≤φ≤,0≤θ<22π,
∴点P的轨迹为半球面.
3.若点M的直角坐标为(2,0,2),则点M的柱坐标为()
cos 2cos 5 ,
6 x
sin
ห้องสมุดไป่ตู้
2sin
5
6
,
z 3,
3, y 1, z 3,
1.3 柱坐标系与球坐标系 课件 (北师大选修4-4)
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐 标 (ρ ,θ ,Z) 之间的变换公式为
x cos y sin z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它 在柱坐标系中的坐标. 解 得 点在柱坐标系中的坐标为 ρ （ 2 ， ，1）. 4 = 注：求θ 时要注意角的终边与点的 射影所在位置一致
z
针方向旋转到OQ时所转过的最小正角
为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数 组(r,φ,θ)表示.
空间的点与有序数组 (r,φ,θ)之间建立了一种 对应关系.
z
P(r,φ,θ)
我们把建立上述 Q 对应关系的坐标系 x 叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .
o θ
r φ
y
有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标， 其中 r 0 , 0 , 0 2
阅读课本P16---17
了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.
z 设P是空间任意一点， P(ρ,θ,Z) 在oxy平面的射影为Q， 用(ρ ,θ )(ρ ≥0, 0≤θ ＜2π )表示点Q o y 在平面oxy上的极坐标， θ 点P的位置可用有 Q x 序数组(ρ ,θ ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱 坐标系. 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱 坐标，记作(ρ ,θ ,Z). 其中 ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π , -∞＜Z＜+∞
小结
坐标系
数轴 平面直角坐标系 平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系 球坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化，从而产生了坐标法.
高中数学(北师大版)选修4-4 ：1.3柱坐标系和球坐标系含解析
§3 柱坐标系和球坐标系课后篇巩固探究A组1.在空间球坐标系中,方程r=2表示( )A.圆B.半圆C.球面D.半球面,r=2表示半球面,故选D.2.设点M的直角坐标为(-1,-,3),则它的柱坐标是( )A. B.C. D.M的柱坐标是(r,θ,z),则r==2,θ=,z=3,故点M的柱坐标是,故选C.3.设点M的直角坐标为(-1,-1,),则它的球坐标为( )A. B.C. D.M的球坐标为(r,φ,θ).由坐标变换公式,得r==2,cos φ=,得φ=.∵tan θ==1,∴θ=.∴点M的球坐标为,故选B.4.已知点M的球坐标为,则点M到Oz轴的距离为( )A.2B.C.2D.4M的直角坐标为(x,y,z).∵(r,φ,θ)=,∴∴M(-2,2,2).∴点M到Oz轴的距离为=2.故选A.5.若点M的球坐标为,则点M的直角坐标为.M的直角坐标为(x,y,z),则故点M的直角坐标为.6.导学号73144016在柱坐标系中,已知点M的柱坐标为,则|OM|= .M的直角坐标为(x,y,z).由(r,θ,z)=知x=rcos θ=2cos=-1,y=2sin.因此|OM|===3.7.已知点P的柱坐标为,点B的球坐标为,求这两个点的直角坐标.P的直角坐标为(x,y,z),则x=cos=1,y=sin=1,z=5.设点B的直角坐标为(x',y',z'),则x'=sin cos,y'=sin sin,z'=cos.所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为.8.在柱坐标系中,求满足的动点M(r,θ,z)围成的几何体的体积.,满足r=1,0≤θ<2π,0≤z≤2的动点M(r,θ,z)的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面为正方形的圆柱,如图所示.圆柱的底面半径r=1,h=2.所以V=Sh=πr2h=2π.9.已知在球坐标系中,M,N,求|MN|.方法一)∵由题意知,|OM|=|ON|=6,∠MON=,∴△MON为等边三角形.∴|MN|=6.(方法二)设点M的直角坐标为(x,y,z),则故点M的直角坐标为,同理得点N的直角坐标为,。
高中数学 第一章 坐标系 1.3 柱坐标系与球坐标系简介
柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系图1－4－1如图1－4－1所示，建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点．它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示．建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ<2π，z ∈R .2．球坐标系图1－4－2建立如图1－4－2所示的空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ.设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)．有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记做P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π)．3．空间直角坐标与柱坐标的转化空间点P (x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.4．空间直角坐标与球坐标的关系空间点P (x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ .1．要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？【提示】 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离．2．在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r ＝1分别表示空间中的什么曲面？【提示】 ρ＝1表示以z 轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r ＝1表示球心在原点的单位球面．3．空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别有哪些？【提示】 (1)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角刻画点的位置．(2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.。
高中数学 第1章 坐标系 1.3 柱坐标系和球坐标系学案 北师大版选修44
1.3 柱坐标系和球坐标系1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法.(重点)2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.(重点)3.体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别.(易错易混点)教材整理1 柱坐标系和球坐标系 1.柱坐标系如图131，建立空间直角坐标系O xyz .设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.图131特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面；z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的平面.2.球坐标系设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM →与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP →的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图132).这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r <＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.图132特别地，r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.( )(2)在柱坐标系M (r ，θ，z )中，θ表示OM 与y 轴所成的角.( ) (3)球坐标中，r 表示OM 的长度.( )【解析】 (1)√ 柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同. (2)× θ表示OM 与x 轴所成的角. (3)√ 球坐标中r 表示OM 的长度. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√教材整理2 空间中点的坐标之间的变换公式设空间一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，则填空：(1)柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1的直角坐标是________.(2)球坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，π6的直角坐标是________. 【解析】 (1)x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，z ＝1.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1的直角坐标是(1，3，1).(2)x ＝4×sin π4×cos π6＝6，y ＝4×sin π4×sin π6＝2， z ＝4cos π4＝2 2.∴⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，π6的直角坐标是(6，2，22).【答案】 (1)(1, 3，1) (2)(6， 2，22)预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6，3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5. 【精彩点拨】 柱坐标――→x ＝r cos θy ＝r sinθz ＝z直角坐标 【自主解答】 设点的直角坐标为(x ，y ，z ).(1)∵(r ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝2cos5π6＝－3，y ＝r sin θ＝2sin 5π6＝1，z ＝3，∴(－3，1,3)为所求.(2)∵(r ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝2cos π4＝1，y ＝r sin θ＝2sin π4＝1，z ＝5，∴(1,1,5)为所求.点(r ，θ，z )是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面xOy 内实际为极坐标系，且r ≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上，z 为任意实数.化点的柱坐标(r ，θ，z )为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝rsin θ，z ＝z转化为三角函数的求值与运算即得.1.将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1；(2)(1，π，0).【解】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )，(1)∵(r ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝2cos π6＝3，y ＝r sin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求.(2)∵(r ，θ，z )＝(1，π，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝cos π＝－1，y ＝r sin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34π，54π；(2)⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，π6.【精彩点拨】 球坐标――――――→x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ直角坐标【自主解答】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )，(1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，5π4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin3π4cos 5π4＝－1，y ＝r sin φsin θ＝2sin 3π4sin 5π4＝－1，z ＝r cos φ＝2cos 3π4＝－2，∴(－1，－1，－2)为所求. (2)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos π6＝364，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin π6＝324，z ＝r cos φ＝6cos π3＝62，∴⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62为所求.首先要明确点的球坐标(r ，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz ，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ＜2π.化点的球坐标(r ，φ，θ)为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.转化为三角函数的求值与运算.2.将下列各点的球坐标分别化为直角坐标.(1)⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，23π；(2)(3，π，π).【解】 设点的直角坐标为(x ，y ，z ).(1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，2π3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－332，92，3为所求. (2)∵(r ，φ，θ)＝(3，π，π)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝3sin πcos π＝0，y ＝r sin φsin θ＝3sin πsin π＝0，z ＝r cos φ＝3cos π＝－3，∴(0,0，－3)为所求.探究1 【提示】 设空间中点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，它们都是有序数组，但意义不同.直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角.探究2 在空间的柱坐标系中，方程r ＝r 0(r 0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？【提示】 在空间的柱坐标系中，方程r ＝r 0表示中心轴为z 轴，底半径为r 0的圆柱面，它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的.方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面.方程z ＝z 0表示平行于xOy 坐标面的平面，如图所示.常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图133，建立空间直角坐标系A xyz ，以Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标.图133【精彩点拨】 先求C 1的直角坐标，再根据柱坐标、球坐标与直角坐标的关系，求得其柱坐标、球坐标.【自主解答】 点C 1的直角坐标为(1,1,1).设点C 1的柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中r ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z 及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ，及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧r ＝2，tan θ＝1，及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33，结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2. 所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，φ，π4， 其中tan φ＝2，0≤φ≤π.化点M 的直角坐标(x ，y ，z )为柱坐标(r ，θ，z )或球坐标(r ，φ，θ)，需要对公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θz ＝z以及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ进行逆向变换，得到⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2，tan θ＝yxx，z ＝z以及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr .提醒：在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值.3.已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，求M 关于原点O 对称的点的柱坐标.【解】 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝1，∴M 关于原点O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1).(－1，－1，－1)的柱坐标为： ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2， ∴ρ＝ 2.tan θ＝－1－1＝1，又x <0，y <0，∴θ＝5π4，∴其柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4，－1， ∴M 关于原点O 对称点的柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4，－1.1.要刻画绕地球运转的某气象卫星的位置，应适合运用( ) A.极坐标系 B.空间直角坐标系 C.柱坐标系D.球坐标系【解析】 由题意知D 正确. 【答案】 D2.已知点A 的柱坐标为(1,0,1)，则点A 的直角坐标为( ) A.(1,1,0) B.(1,0,1) C.(0,1,1)D.(1,1,1) 【解析】 由点A 的柱坐标为(1,0,1)知，r ＝1，θ＝0，z ＝1， 故x ＝r cos θ＝1，y ＝r sin θ＝0，z ＝1，所以直角坐标为(1,0,1). 【答案】 B3.已知点A 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，π2，则点A 的直角坐标为________.【导学号：12990015】【解析】 ∵x ＝3×sin π2×cos π2＝0，y ＝3×sin π2×sin π2＝3，z ＝2×cos π2＝0，∴直角坐标为(0,3,0). 【答案】 (0,3,0)4.设点M 的直角坐标为(1，－3，4)，则它的柱坐标是________. 【解析】 r ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝－3，∵x >0，y <0，∴θ＝5π3，∴柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，4.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，45.已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，求这两个点的直角坐标.【解】 设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )， 则x ＝2cos π4＝2×22＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝5.设点B 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364，y ＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324， z ＝6cos π3＝6×12＝62. 所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
高中数学第一章坐标系1.3柱坐标系与球坐标系简介素材北师大版选修4-4(2021学年)
高中数学第一章坐标系1.3 柱坐标系与球坐标系简介素材北师大版选修４－4编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章坐标系１．３柱坐标系与球坐标系简介素材北师大版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为高中数学第一章坐标系 1.3 柱坐标系与球坐标系简介素材北师大版选修4-4的全部内容。
柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系图1-4-1如图1－4-１所示，建立空间直角坐标系Oxyz。
设Ｐ是空间任意一点.它在Oxy平面上的射影为Ｑ，用(ρ，θ）(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Ｑ在平面Oxｙ上的极坐标,这时点P的位置可用有序数组（ρ，θ，ｚ）(z∈Ｒ)表示．建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,ｚ）之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组（ρ,θ,z）叫做点P的柱坐标,记作P(ρ,θ,z),其中ρ≥0，0≤θ〈２π，z∈Ｒ.2.球坐标系图１-4-2建立如图１-4-２所示的空间直角坐标系Oｘyz。
设P是空间任意一点，连接ＯＰ,记｜OP｜=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Ｏｘy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组（ｒ,φ，θ)表示．这样,空间的点与（ｒ，φ,θ）之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系).有序数组（r，φ，θ)叫做点P的球坐标,记做P(r,φ,θ),其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π)．３．空间直角坐标与柱坐标的转化空间点P(x，y，z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式为错误!错误!４．空间直角坐标与球坐标的关系空间点Ｐ(x，y,ｚ)与球坐标（r，φ,θ）之间的变换公式为错误!错误!１.要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制?【提示】空间点的坐标都是三个数值,其中至少有一个是距离．２.在柱坐标系中,方程ρ=1表示空间中的什么曲面?在球坐标系中,方程r=1分别表示空间中的什么曲面?【提示】ρ＝１表示以z轴为中心,以１为半径的圆柱面；球坐标系中,方程ｒ＝1表示球心在原点的单位球面．３.空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别有哪些?【提示】（１)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同;球坐标系中,则以一点到原点的距离和两个角刻画点的位置.(2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组。
高中数学 1.3 柱坐标系和球坐标系 随堂验收课件 理 北师大版选修4-4
于
是
根
据
公
式
有
y
sin 1 sin 3
3, 2
z z 3,
故 点 M 的 直 角 坐 标 为(1 , 3 , 3). 22
再 令 M 的 球 坐 标 为 , , ,
1 2
sincos.
则根据公式有
3 2
sinsin,经验证C适合.
3 cos,
7.若点M的柱坐标为( 2 , , 3 ) 6
x
sin
co s
y
sin
sin
2 sin 2 sin
3 4 3 4
cos 5 4
sin 5 4
1, 1,
z cos 2cos 3 2 , 4
( 1, 1, 2 )为 所 求 .
2 ( , , ) (6, , 2 ),
33
x sin co s
6 sin cos 2 33
________. 答 案:( 3,1,3)
,则它的直角坐标为
解析: 设点M的直角坐标为x, y, z,
则有xy2c2ossin6613, ,即点M的直角坐标为( 3,1,3).
z 3,
8.已知柱坐标系O-xyz中,点M的柱坐标为 (2, , 5 ) 3
,则|OM|=________. 答案:3
z 6,
6.若点M的柱坐标为
为( )
A.(1,,)
63
C.(2,,)
63
(1, , 3 ) 3
B.(1,,)
36
D.(2,,)
36
,则点M的球坐标
答案:C
解 析 : 设 点 M 的 直 角 坐 标 为 x , y, z , 又 柱 坐 标 为 (1, , 3 ),
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设P是空间任意一点， 在oxy平面的射影为Q，
z P(ρ,θ,Z)
用(ρ,θ)(ρ≥0,
0≤θ＜2π)表示点Q o 在平面oxy上的极坐标， θ
点P的位置可用有 序数组(ρ,θ,z)表示. x
y
Q
把建立上述对应关系的坐标系叫做柱
坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱
坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中
ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为
x cos
它的直角坐标.
44
x2sin34 cos 34 2
2（－
2
2）－1
2
y2sin34 sin34
2
2 2
2 1 2
z2cos34 2(－
2）－
2
2
点在直角坐标系中的坐标为
（ －1 ，1 ，－ 2 ）.
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Q
叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .
有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，
其中 r 0 ,0 ,0 2
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标 (r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos
y
r
sin
sin
z
P(r,φ,θ)
z r cos
oφ r θ
y
x
Q
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
y
sin
z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它 在柱坐标系中的坐标.
1 cos
1
sin
1 z
点在柱坐标系中的坐标为
解2
4
得
（ 2 ， ，1）.
4
ρ =
注：求θ时要注意角的终边与点的
射影所在位置一致
给定一个底面半径为r，高为h的圆 柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述 圆柱侧面以及底面上点的位置.
z
注：坐标与点的位置有关 o
x
y
练习：
1、设M 点 的直角坐(标 1,是 3,3),则它的柱 坐标是？
(2, 4 ,3)
3
2、设M的 点柱坐(2,标 ,7为 ),求它的直角
6
( 3,1,7)
阅读课本P18 了解球坐标系的概念以及在球坐标 系中点的确定
z 设P是空间任意一点，
P(r,φ,θ)
在oxy平面的射影为Q， 连接OP，记| OP |=r，
oφ
r
OP与OZ轴正向所
θ
y
夹的角为φ. 设P x
Q
在oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时
பைடு நூலகம்
针方向旋转到OQ时所转过的最小正角
为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数 组(r,φ,θ)表示.
空间的点与有序数组 (r,φ,θ)之间建立了一种 对应关系.
我们把建立上述
z
P(r,φ,θ)
oφ r
θ
y
对应关系的坐标系 x