知识讲解_直线的交点坐标与距离公式_基础

直线的交点坐标与距离公式

【学习目标】

1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.

2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理】

【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】 要点一：直线的交点

求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两

直线方程联立所得方程组11122200

A x

B y

C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可.若有111222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解，

此时两直线重合；若有

111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122

A B

A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.

要点诠释：

求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二：过两条直线交点的直线系方程

一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．

过两直线的交点的直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220A x B y C ++=，因此它不能表示直线2l ．

要点三：两点间的距离公式

两点11

1222()()P x y P x y ，，，间的距离公式为

12PP =

要点诠释：

此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.

要点四：点到直线的距离公式

点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=

的距离为d =要点诠释：

（1）点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为直线上所有的点到已知点P 的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；

（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.

要点五：两平行线间的距离

本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线10Ax By C ++=与直线20Ax By C ++=的距

离为d =

.

要点诠释：

(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；

(2)利用两条平行直线间的距离公式2

2

21||B

A C C d +-=

时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直

线中x ，y 的系数分别是相同的，才能使用此公式.

【典型例题】

类型一、判断两直线的位置关系

例1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：

（1）5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩；（2）26301132x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩；（3）260

1132x y y x -=⎧⎪⎨

=+⎪⎩

． 【答案】（1）1014,33⎛⎫

-

⎪⎝⎭

；（2）重合；（3）平行． 【解析】（1）解方程组5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩得该方程组有唯一解103

143x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，所以两直线相交，且交点坐

标为1014,33⎛⎫

-

⎪⎝⎭

． （2）解方程组2630 11

32x y y x -+=⎧⎪

⎨=+⎪⎩

①② ②×6得2x －6y+3=0，

因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合．

（3）解方程组260 11

32x y y x -=⎧⎪

⎨=+⎪⎩

①② ②×6－①得3=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行．

【总结升华】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 举一反三：

【变式1】判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：

（1）l1：2x+y+3=0，l2：x―2y―1=0；

（2）l1：x+y+2=0，l2：2x+2y+3=0；

（3）l1：x―y+1=0；l2：2x―2y+2=0．

【答案】（1）直线l1与l2相交，交点坐标为（―1，―1）．

（2）直线l1与l2无公共点，即l1∥l2．

（3）两直线重合．

类型二、过两条直线交点的直线系方程

例2．求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程．

【答案】15x+5y+16=0

【解析】可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或过定点系）求直线方程．

解法一：设所求的直线为l，由方程组

2330

20

x y

x y

--=

⎧

⎨

++=

⎩

得

3

5

7

5

x

y

⎧

=-

⎪⎪

⎨

⎪=-

⎪⎩

．∵直线l和直线3x+y―1=0平行，

∴直线l的斜率k=―3．

∴根据点斜式有

73

3

55

y x

⎡⎤⎛⎫⎛⎫

--=---

⎪ ⎪

⎢⎥⎝⎭⎝⎭

⎣⎦

，

即所求直线方程为15x+5y+16=0．

解法二：∵直线l过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点，∴设直线l的方程为2x―3y―3+λ(x+y+2)=0，

即(λ+2)x+(λ―3)y+2λ―3=0．

∵直线l与直线3x+y－1=0平行，

∴

2323

311

λλλ

+--

=≠

-

，解得

11

2

λ=．

从而所求直线方程为15x+5y+16=0．

【总结升华】直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用．

举一反三：

【变式1】求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．

证法一：对于方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令m=0，得x―3y―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．

解方程组

3110

4100

x y

x y

--=

⎧

⎨

++=

⎩

，得两直线的交点为（2，―3）．

将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m―1)×2+(m+3)×(―3)―(m―11)=4m―2―3m―9―m+11=0．

这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）．

证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y―1)m+(―x+3y+11)=0．

由于m取值的任意性，有

210

3110

x y

x y

+-=

⎧

⎨

-++=

⎩

，解得

2

3

x

y

=

⎧

⎨

=-

⎩

．

所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．类型三、对称问题