偏微分课程课件12_有限元离散方法(一维问题)
合集下载
偏微分方程的离散化方法优秀课件
2!
3!
4!
(*)
P(x) xP(x) O(x)
P(x
x) P(x)
x
P(x)
(x/ 2)2
P(x)
(x/ 2)3
P(x)
2
2
2!
3!
P(x) x P(x)O(x)
2
2
1、 一 阶 前 差 商
P P ( x x ) P ( x ) ， P Pi1 Pi
x
x
x i
x
2、 一 阶 后 差 商
12
上式两端同除 x 2 ,整理得:
P '' ( x) P(x x) 2P(x) P(x x) O(x 2 ) x 2
忽略二阶截断误差 O(x 2 )
2P x 2
P(x
x)
2P(x) x 2
P(x
x)
，
2P x 2
Pi 1
2 Pi x 2
Pi 1
(用 节 点 位 置 )
i
1、 一种常用二阶差商处理方法
P P ( x x / 2 ) P ( x x / 2 ) ， P Pi1 / 2 Pi1 / 2 忽 略 截 断 误 差 O (( x / 2 ) 2 )
x
x
x i
x
1、 二阶差商
将 方 程 (*)正 负 相 加 ,可 得 : P(x x) P(x x) 2P(x) x 2 P '' (x) x 4 P (4) (x) .........
Pn i1
2 Pi n
Pn i1
P n1 i
Pi n
x2
t
P n1 i
(1 2 ) Pi n
(
偏微分方程数值解PPT课件
t
t
n j
tn j1
x x
EXCEL
0.01, x 0.1
t n1 j
t
n j
2(TW
t
n j
)
3
t
n j
t
n j1
x
t n1 j
0.02TW
0.68t
n j
0.3t
n j1
此微分方程，是在不考虑流体本身热传 导时的套管传热微分方程.由计算结果可 知，当计算的时间序列进行到72时，传 热过程已达到稳态，各点上的温度已不 随时间的增加而改变。如果改变套管长 度或传热系数，则达到稳态的时间亦会 改变。
b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0
• 物理实际问题的归类：
• 波动方程(双曲型）一维弦振动模型：
2u t 2
2
2u x 2
• 热传导方程（抛物线型）一维线性热传导方程
u t
2u x 2
• 拉普拉斯方程（椭圆型ux22）稳态y2u2 静 电0 场或稳态温度分布场）
第4页/共32页
un i 1
b
un i1
uin
x
f (ix, nt)
ui0
(i x )
un m1
umn
x
0
u0n 1(nt )
(i 1,2, ,m) (n 0,1, 2, ) (n 0,1,2, )
第13页/共32页
一维流动热传导方程
将上式进行处理得到：
un1 i
t
f
(ix, nt )
(a2
t (x)2
1的)偏t )
微
分
采
用
向
后
欧
有限元方法ppt课件
每个单元 ei [xi1,xi] 的长度为 hi xi xi1 . 单元在区间中分布的疏密程度或单元尺寸的大小，可根
据问题的物理性质来决定，一般来说，在物理量变化剧烈的 地方，单元尺寸要相对小一些，排列要密一些.
5
设V h
为H
1 E
的有限维子空间，它的元素为
u h ( x).
要构造 V h ，只需构造单元基函数 i .构造单元基函数所遵循 的原则是：
得到 和 为 K ( i )
F (i)
类似地，可写出 K ( 3 ) 和 K ( 4 ) .
然后进行叠加，便得到总刚度矩阵和总荷载向量：
依边界条件
即
在 中划去首末
两行和首末两列，在 中划去首末两行，便得到如下线性代
数方程组：
解之，得
§8. 二维椭圆边值问题的有限元方法
用有限元方法求解二维椭圆边值问题的过程与两点 边值问题的有限元方法大体相同，只是在具体处理时比一维 情形更复杂些．考虑如下椭圆型方程的第一边值问题：
与边值问题(7.1)、(7.2)等价的Galerkin变分问题是：
求u
H
1 E
，使得
其中
a u ,v f,v 0 , v H E 1
(7.19)
a u ,v a b p d d u xd d v x q u v d x， f,u a bfu d x .
仍用分段线性函数构成的试探函数空间 V
其中 这就是总荷载向量.
(7.17)
其这样，就可将式(7.16)写成
因此，有限元方程为
(7.18)
从总刚度矩阵和总荷载向量的形成过程可以看出，K的计 算，实际上是把 K (i) 中四个元素在适当的位置上“对号入座” 地叠加，b的计算也是如此．我们引入 B(i)，只是为了叙述方 便，实际上，在编制程序时并不需要．显然，方程组(7.18)
据问题的物理性质来决定，一般来说，在物理量变化剧烈的 地方，单元尺寸要相对小一些，排列要密一些.
5
设V h
为H
1 E
的有限维子空间，它的元素为
u h ( x).
要构造 V h ，只需构造单元基函数 i .构造单元基函数所遵循 的原则是：
得到 和 为 K ( i )
F (i)
类似地，可写出 K ( 3 ) 和 K ( 4 ) .
然后进行叠加，便得到总刚度矩阵和总荷载向量：
依边界条件
即
在 中划去首末
两行和首末两列，在 中划去首末两行，便得到如下线性代
数方程组：
解之，得
§8. 二维椭圆边值问题的有限元方法
用有限元方法求解二维椭圆边值问题的过程与两点 边值问题的有限元方法大体相同，只是在具体处理时比一维 情形更复杂些．考虑如下椭圆型方程的第一边值问题：
与边值问题(7.1)、(7.2)等价的Galerkin变分问题是：
求u
H
1 E
，使得
其中
a u ,v f,v 0 , v H E 1
(7.19)
a u ,v a b p d d u xd d v x q u v d x， f,u a bfu d x .
仍用分段线性函数构成的试探函数空间 V
其中 这就是总荷载向量.
(7.17)
其这样，就可将式(7.16)写成
因此，有限元方程为
(7.18)
从总刚度矩阵和总荷载向量的形成过程可以看出，K的计 算，实际上是把 K (i) 中四个元素在适当的位置上“对号入座” 地叠加，b的计算也是如此．我们引入 B(i)，只是为了叙述方 便，实际上，在编制程序时并不需要．显然，方程组(7.18)
偏微分方程的离散化方法课件
x2 )
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pin ，就可以求得第 n+1
时刻（下步时间）的值
P n1 i
。因此如初始条件，即
n=0
时各网格的
P
值已给定，
就可以依次求得以后各时间的 P 值。这种差分格式是显式差分格式。在显式差分
格式中：只有一个未知数 Pin1 ，由一个方程就可以求出。简单，精度较差，时间
步长受到严格限制，基本不用。
（2）隐式差分：利用 P（x，t）关于 t 的一阶向后差商和关于 x 的二阶差商， 在点（i，n+1）的差分方程：
P n1 i 1
2Pin1 x 2
P n1 i1
P n1 i
Pi n
t
(1
2
) Pi n 1
(
P n1 i1
Pi
n 1 1
)
Pi n
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pin ，为了求得第 n+1 时刻（下
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。
（2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段， 在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。
离散空间
P
t
离散时间
1、网格系统 它有x，y两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格， 如考虑时间，则。编号：x→i，y→j，t→n。为步长（对三 维z→k）。 节点：网格的交点叫网格节点。取一些与边界s接近的网格 节点，把他们连成折线Sh，Sh所围成的区域记为Dh，Dh 内的节点为内部节点、边界上的节点为边界节点。
第7章有限元法基础——一维问题分析
( 2)
对于单元（3）：
0 kA 1 1 0 0 0.701 1 1 0 K 0 hA 0.10 1 1 0 401 l 1 1 7 7 W ( C ) 7 47 0 0 0 ( 3) F (W ) hATf 401 301200
i
Xj
Xj
Xj
X
Xi
S cdX 0
i
j
对上面方程中的四项分别计算
Xj
d d d (a( dX (Si dX ))dX a dX Xi
Xj
X Xi
dSi d a a( dX dX )dX l ( i j ) Xi
X
Xi
X
j
j
bl bl Si (b )dX i j 3 6
求解：
T1 200 T 157.8 2 (C ) T3 37.1 T4 31.1
7.2 固体力学问题
对于线性一维杆单元，每个单元应变能为：
( e )
E 2 dV 2 V
对于由n个单元和m个节点组成的一般物体，其总势能应变能 和外力做功的差：
代入内壁边界条件：
0 0 0 T1 200 1 1 1 0.35 0.35 T 0 0 2 0 0.35 0.35 7 7 T3 0 0 0 7 47 T4 1200
3. 对单元建立方程。这是本章的主要部分。我们用迦辽金方法 和最小势能理论建立描述单元的公式。 4. 将单元组合，以表示整体问题，构造总体刚度或传导矩阵。
5. 应用边界条件和负荷。
对于单元（3）：
0 kA 1 1 0 0 0.701 1 1 0 K 0 hA 0.10 1 1 0 401 l 1 1 7 7 W ( C ) 7 47 0 0 0 ( 3) F (W ) hATf 401 301200
i
Xj
Xj
Xj
X
Xi
S cdX 0
i
j
对上面方程中的四项分别计算
Xj
d d d (a( dX (Si dX ))dX a dX Xi
Xj
X Xi
dSi d a a( dX dX )dX l ( i j ) Xi
X
Xi
X
j
j
bl bl Si (b )dX i j 3 6
求解：
T1 200 T 157.8 2 (C ) T3 37.1 T4 31.1
7.2 固体力学问题
对于线性一维杆单元，每个单元应变能为：
( e )
E 2 dV 2 V
对于由n个单元和m个节点组成的一般物体，其总势能应变能 和外力做功的差：
代入内壁边界条件：
0 0 0 T1 200 1 1 1 0.35 0.35 T 0 0 2 0 0.35 0.35 7 7 T3 0 0 0 7 47 T4 1200
3. 对单元建立方程。这是本章的主要部分。我们用迦辽金方法 和最小势能理论建立描述单元的公式。 4. 将单元组合，以表示整体问题，构造总体刚度或传导矩阵。
5. 应用边界条件和负荷。
计算机应用基础偏微分方程求解PPT课件
6.2 二阶偏微分方程的求解
二 抛物线型偏微分方程
第16页/共43页
6.2 二阶偏微分方程的求解
parabolic函数用于求解抛物型偏微分方程的解，调用格 式如下：
u1=parabolic(u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d) b: 边界条件 u0: 初始条件 tlist；时间列表 u1:对应于tlist的解向量 p,e,t :网格数据
• 启动偏微分方程求解界面
– 在 MATLAB 下键入 pdetool
• 该界面分为四个部分
– 菜单系统 – 工具栏 – 集合编辑 – 求解区域
第20页/共43页
6.3 偏微分方程求解工具箱
菜单栏
工具栏
第21页/共43页
6.3 偏微分方程求解工具箱
第22页/共43页
5.3 偏微分方程求解工具箱
第9页/共43页
6.1 偏微分方程组求解
边界条件程序”c7mbc.m” function [pa, qa, pb, qb]=c7mpbc(xa, ua, xb, ub, t) pa=[0; ua(2)]; qa=[1; 0]; pb=[ub(1)-1; 0]; qb=[0; 1];
function u0=c7mpic(x) u0=[1; 0];
进入反应器，相当于总质量速率为G=2500kg.h-1.m2。反应管
外用速率为F 130kg h-1烟道气与反应混合物
逆流加热反应管，烟道气出口温度为620 C。其
它数据：催化剂的堆积密度＝1440kg / m3，操作
压力P 1.2bar，乙苯的反应热H＝140000kJ / m ol，
床层有效导热系数e 0.45w.m1.k 1,有效扩散系数
偏微分方程的离散化方法PPT精选文档
2!
3!
4!
(*)
P(x) xP(x) O(x)
P(x x) P(x) x P(x) (x/2)2 P(x) (x/2)3 P(x)
2
2
2!
3!
P(x) x P(x)O(x)
2
2
16
1、 一 阶 前 差 商
P P ( x x ) P ( x ) ， P Pi1 Pi
x
x
x i
P P ( x x / 2 ) P ( x x / 2 ) ， P Pi1 / 2 Pi1 / 2 忽 略 截 断 误 差 O (( x / 2 ) 2 )
x
x
x i
x
17
1、 二阶差商
将 方 程 (*)正 负 相 加 ,可 得 : P(x x) P(x x) 2P(x) x 2 P '' (x) x 4 P (4) (x) .........
x
2、 一 阶 后 差 商
P P ( x ) P ( x x ) ， P Pi Pi1
x
x
x i
x
3、 一 阶 中 心 差 商
P P ( x x ) P ( x x ) ， P Pi1 Pi1
x
2x
x i
2x
忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O (x2)
2
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。 （2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段， 在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。
有限元离散
有限元离散
有限元离散（Finite Element Discretization）是一种将连续物理
问题转化为离散形式的方法。
它是求解偏微分方程的经典数值解法之一。
在有限元离散中，将求解区域分割为有限数量的小单元，并在每个小单元上定义一个近似解。
通过在每个小单元上建立基函数，将连续解近似表示为这些基函数的线性组合。
然后，通过在整个求解区域上组装这些小单元的近似解，得到整个问题的离散形式。
最后，使用数值方法求解得到离散问题的解。
有限元离散方法的关键步骤包括：
1. 网格划分：将求解区域划分为小单元，常用的网格包括三角形和四边形网格。
2. 建立基函数：在每个小单元上选取适当的基函数，并通过选取基函数的系数来近似表示解。
3. 建立离散形式：将原问题转化为离散形式，通常是通过将原问题乘以一个测试函数，并在整个求解区域上积分得到离散形式。
4. 组装和求解：将离散形式在整个求解区域上组装，并通过数值方法求解得到离散问题的解。
5. 后处理：对求解结果进行分析、可视化和评估。
有限元离散方法在工程、物理学和计算机图形学等领域广泛应用，常用于求解结构力学、流体力学、电磁场等各种物理问题。
偏微分(3)分离变量法PPT课件
(
)
sin
ka
L
(t
)sin
k
L
x
d
其中
Bk
(
)
2
ka
L f ( , ) sin k d
0
L
(2.10)
2021/3/22
21
分离变量法:
令
k
u(x, t) Ck(t)sin
k 1
L
x
(2.11)
是混合问题的解。 显见上述函数满足（2.2）。
(2.1)
Ck(t)sin k 1
k
L
x k
从而定出 X (x) 所适合的常微分方程齐次边值问题，以及
T (t) 适合的常微分方程。
本征
求解该常微分方程齐次边值问题，
第二步 求出全部本征值和本征函数，并求
值问 题
出相应的 T (t) 的表达式。
第三步 将所有变量分离形式的特解叠加起来，并
利用初始条件定出所有待定系数。
2021/3/22
12
物理意义
正弦展开的Fourier级数的系数，即
Ak
2 L
L
( ) sin
k
d
0
L
(k 1,2,)
(1.17)
Bk
2
ka
L
( ) sin
k
d
0
L
(1.18)
这样，我们就给出了混合问题（1.1）-（1.4）的形 式解（1.14），其中系数由公式（1.17）和（1.18）给 出。
2021/3/22
10
sin x, sin 2 x, sin k x, 是[0, L]上的正交函数列
[
有限元分析离散方法
基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。
方法运用的基本步骤：
步骤1：剖分:
将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合．元素（单元）的形状原则上是任意的．二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等．每个单元的顶点称为节点（或结点）．
步骤2：单元分析:
进行分片插值，即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开，即建立一个线性插值函数
步骤3：求解近似变分方程
用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中。
4.有限分析法：同有限差分法一样，用一系列网格线将区域离散，所不同的是每个节点与相邻8个邻点组成。在计算单元中把控制方程中的非线形项局部线形化，并对该单元上未知函数的变化型线作出假设，把所选定型线表达式中的系数和常数项用单元边界节点上未知的变量值来表示，这样该单元内的被求问题就转化为第一类边界条件下的一个定解问题，可以找出分析解；然后利用这一分析解，得出该单元中点及边界上8个邻点上未知值间的代数方程，此即为单元中点的离散方程。两种离散方法外节点法：节点在子域的四角，先定节点位置而计算相应的界面内节点法：节点在子域中心，子域与控制容积重合。 计算时先定界面后算出节点位置。
方法运用的基本步骤：
步骤1：剖分:
将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合．元素（单元）的形状原则上是任意的．二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等．每个单元的顶点称为节点（或结点）．
步骤2：单元分析:
进行分片插值，即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开，即建立一个线性插值函数
步骤3：求解近似变分方程
用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中。
4.有限分析法：同有限差分法一样，用一系列网格线将区域离散，所不同的是每个节点与相邻8个邻点组成。在计算单元中把控制方程中的非线形项局部线形化，并对该单元上未知函数的变化型线作出假设，把所选定型线表达式中的系数和常数项用单元边界节点上未知的变量值来表示，这样该单元内的被求问题就转化为第一类边界条件下的一个定解问题，可以找出分析解；然后利用这一分析解，得出该单元中点及边界上8个邻点上未知值间的代数方程，此即为单元中点的离散方程。两种离散方法外节点法：节点在子域的四角，先定节点位置而计算相应的界面内节点法：节点在子域中心，子域与控制容积重合。 计算时先定界面后算出节点位置。
偏微分方程的有限元方法市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
第19页
展开J
(Ju(nu)n
)
1 2
(un , un
)
(
f
,
un
)
1 2
n i 1
n
(i , j )cic j
j 1
n
( f , j )c j
j 1
令
J (un ) 0 j 1, 2, , n
c j
则c1, c2 ,, cn满足
n
(i , j )ci ( f , j ) j 1, 2, , n
第1页
偏微分方程有限元方法
一 边值问题变分原理
1 引论 （1）等周问题
在长度一定全部平面封闭曲线中，求所 围面积为最大曲线。
模型：在条件
s2
dx
2
dy
2
ds
l
下
s1 ds ds
求使得泛函 s(x, y) 1 s2 x dy y dx ds
2 s1 ds ds
到达最大函数 x(s), y(s。)
x (a,b)
J (u) 1 (Lu,u) ( f ,u)
2
1
b d p du udx
b
qu
2
dx
b
fudx
2 a dx dx
a
a
1 b ( pu2 qu2 2 fu)dx
2a
引入泛函算子
(u, v)
b
[
p
du
dv
quv]dx
a dx dx
则 J (u) 1 (u,u) ( f ,u)
x2
,,x
n
)T
ann
b (b1, b2 ,,bn )T
则J(x)可表示为：
偏微分方程的有限元方法67页PPT
偏微分方程ห้องสมุดไป่ตู้有限元方法
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
偏微分方程的有限元法
第五章 偏微分方程的有限元法
5.1 泛函与变分原理 5.2 基于变分原理的有限元法 5.3 matlab有限元法工具箱
第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法（FEA，Finite Element Analysis，FEM） 有限元法的基本思想是用较简单的问题代替复杂问
题，然后再对简单问题进行求解的数值计算方法。
5.2 基于变分原理的有限元法
对于具有不同物理性质和数学模型的问题，有限 元法的基本做法是相同的，只是具体公式推导和 运算求解不同。
有限元法基本做法
1. 首先把待求的偏微分方程边值问题转化为等价的变分问 题。
2. 然后通过有限单元剖分的离散处理，构造一个分片解析 的有限元子空间。
3. 通过构造近似函数，把变分问题近似地转化为gh Ritz法探求变分问题的近似解（极值函数解），以此作 为所求边值问题的近似解。
5.1 泛函与变分原理
20世纪60年代初首次提出结构力学计算有 限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其 描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函 数”。
有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化 情况。不同于求解满足整个定义域边界条件的允 许函数的Rayleigh Ritz法（往往是困难的）， 有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问 题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片 函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件， 这是有限元法优于其它近似方法的原因之一。
对于驻定问题，两边界固定 y x x0 0 x x1
F y
d dx
F y
0
这就是最简泛函的欧拉方程，等价于泛函取极值的必要条件。
把变分问题转化微分方程的定解问题（边值问题）来求解。
5.1 泛函与变分原理 5.2 基于变分原理的有限元法 5.3 matlab有限元法工具箱
第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法（FEA，Finite Element Analysis，FEM） 有限元法的基本思想是用较简单的问题代替复杂问
题，然后再对简单问题进行求解的数值计算方法。
5.2 基于变分原理的有限元法
对于具有不同物理性质和数学模型的问题，有限 元法的基本做法是相同的，只是具体公式推导和 运算求解不同。
有限元法基本做法
1. 首先把待求的偏微分方程边值问题转化为等价的变分问 题。
2. 然后通过有限单元剖分的离散处理，构造一个分片解析 的有限元子空间。
3. 通过构造近似函数，把变分问题近似地转化为gh Ritz法探求变分问题的近似解（极值函数解），以此作 为所求边值问题的近似解。
5.1 泛函与变分原理
20世纪60年代初首次提出结构力学计算有 限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其 描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函 数”。
有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化 情况。不同于求解满足整个定义域边界条件的允 许函数的Rayleigh Ritz法（往往是困难的）， 有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问 题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片 函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件， 这是有限元法优于其它近似方法的原因之一。
对于驻定问题，两边界固定 y x x0 0 x x1
F y
d dx
F y
0
这就是最简泛函的欧拉方程，等价于泛函取极值的必要条件。
把变分问题转化微分方程的定解问题（边值问题）来求解。
一维问题有限元资料
（1）单元刚度矩阵的建立(矩阵方法)
总势能表达式可以改写为：
1
eT
d}
K e
e
d}
eT
d}
e
F}
2
其中，单元刚度矩阵为
K e
L
0
EA BT
Bdx
L
0
EA L2
1
1
1
1 dx
EA 1 1
L 1
1
注意：单元刚度矩阵为对称矩阵
（1）单元刚度矩阵的建立(矩阵方法)
等效结点力列阵为：
F}e
uj ui
dx
} EA
2L
uj ui
2
EA 2L
(u
2 j
2u jui
+
u
2 i
)
L
L
} VP
pu(x)dx
0
p
0
Ni (x)ui + Nj(x)u j
dx
Fieui Fjeu j
EA 2L
(u
2 j
2u jui
+
u
2 i
)
Fie u i
Fjeu j
(c)单元平衡分析
EA
（3）边界条件处理
若结构需满足如下位移边界条件： u1 a; u3 ; 可以通过置“1”法，修改结构刚度矩阵，以满足位移边界条 件
（3）边界条件处理
若结构需满足如下位移边界条件： u1 a; u3 ; 可以通过置大数法，修改结构刚度矩阵，以满足位移边界条件。 将结构刚度方程第1和第3个方程展开，可得
LNT pdx
0
L Ni
0
N
j
pdx
一阶偏微分方程求解方法PPT课件
i 1
i 1
18
19
2019/10/22
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
n
n
w j[( Ci i ) q] d w*j[ ( Ci i ) s] d 0
i 1
i 1
由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：
n
n
{[ w j( i )d]Ci}
{[ w*j ( i )d]Ci}
w jq d
w
* j
s
d
i 1
i 1
n
{[
w j( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci
w jq d
w
* j
s
d
i 1
有j个代数方程，
20
通常等于待定系 数个数
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
n
{[ wj( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci wjq d w*j s d
i 1
系数
激励
边界条件
代数方程写成矩阵形式： [K ][C] [F ][b]
在x 0处：（）x0＝0 在x d处：（）xd＝10 12
3. 加权余量法－－例
3. 加权余数表达式：
Fj(R)
j
R
d
j
R
d，j
1,2
j 1时,得到一个代数方程：
F1(R)
1
R
d
1R
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
i -1 i
0
0
n1
则 uei Cei u, vei Cei v
n
n
v K u T
ei
ei ei
unvn
v F T ei ei
vn
i 1
i 1
uei Cei u, vei Cei v
vT
n i 1
CT ei
K C ei ei
u
unvn
vT
n i 1
C F T
ei
ei
2
i=1,2,3,4
Ku 0,L 0, un T F 0,L 0,1T
C K C T ei ei ei
xi
Kei
pBT B qN T N dx
xi1
O M M M M N
L 0 0
0
0
L
L L
0 0
k ei i 1,i 1
k ei i ,i 1
k ei i 1,i
k ei i ,i
0 L
0
L
2）转化为变分问题 考虑空间：
V S01 v
b a
v2
dv dx
2
dx
v(a)
0
任取v∈V, 乘方程两边
－ d ( p du) qu f , dx dx
－ddx
(
p
du dx
)
qu
v
fv
两边积分
b a
－d dx
(
p
du dx
)
qu
vdx
b a
fvdx
b － d
uh( x)
Nuei , 其中N
xi hi
x
,
x
xi1 hi
,
uei
ui 1 ui
duh( x) dx
dN dx
uei
1 1
hi
,
hi
uei
Buei
其中B
1 hi
,
1 hi
同理：vh ( x) Nvei ,
dvh dx
Bvei
ei
ei
p
duh dx
第八章 有限元离散方法 （一维问题）
微分方程解和有限元方法下的数值解
Poisson方程 －u f
微分方程
分部积分
变分问题
D(u, v) F(v)
泛函问题
Ritz-Galerkin过程
离散变分问题 D(uh , vh ) F (vh ) 有限元离散
线性代数问题
有限维基上表示
Kur f
代数方程
Vh {vh | vh Uh , vh (a) 0}
试探函数空间
找一个函数u∈V, 满足
D(u, v) F (v) v V
找一个函数 uh∈Vh, 满足 D(uh , vh ) F (vh ), vh Vh
有限元化
4）化为代数方程组--(4.1)单元分析(4.2)总体合成
找一个函数 uh Vh
u(b) v(b)
综上推理，有
b
a
p
du dx
dv dx
quv
dx
u(b)v(b)
v(b)
b a
fvdx
b
a
p du dx
dv dx
quv
dx
u(b)v(b)
b a
fvdx v(b)
D(u, v)
原微分方程转化为变分问题：
即找一个函数 uV 满足 D(u, v) F(v) v V
ei
p
duh dx
dvh dx
quhvh
dx
uh(b)取一个单元 ei [ xi1 , xi ]
ei ei
vh Vh
uh ( x) ui1
xi hi
x
ui
x xi1 hi
Nuei
N
xi hi
x
,
x
xi1 hi
,
uei
ui 1 ui
O
F
总荷
F (i) i 1
F (i) i
F (i1) i
F ( i 1) i 1
O
载 向量
Fei
单元荷载矩阵
F (n) n1
Fn(n)
两点边值问题有限元方法总结
－ddx
(
p
du dx
)
qu
f,
u(a) 0,
x (a,b)
p(b)u'(b) u(b) ,
p C1[a, b], p( x) p0 0, q C[a, b], q( x) 0
xi1
h
fdx
xi
xi
x
fdx
Fei
xi1
h
xi x xi1
xi1
h
fdx
f 2
1
h
1
,
i 1, 2, 3, 4
3）计算“总刚度矩阵”和“总荷载向量”
1 1
K
1
1
1 1 1 1 11
1
h
1 1 1 1
1 1
1 1
Kei 1 h1111
21 1
11
dvh dx
quhvh
dx
uh(b)vh(b)
L
du
u( x) Nuei , dx Buei
pBuei Bvei qNuei Nvei dx
ei
T
T
p Bvei Buei q Nvei Nuei dx
ei
vT ei
ei
pBT B qN T N
dx
uei
( p du)vdx
b
quvdx
a dx dx
ab
b
u ' vdx
uv
b a
v
' udx
du b b du dv a
a
p v p
dx
dx a a dx dx
du b b du dv
p v p
dx
dx a a dx dx
v(a) 0
p(b)u'(b) u(b) ,
p(a)u'(a)v(a) p(b)u'(b)v(b)
例题：
d 2u
dx2 2, x [0,1]
u(0) 0,
u'(1) 0.
解：
1）单元剖分
4等分，即hi=h=1/4, i=1,2,3,4 xi=ih, i=1,2,3,4; x0=0
2）计算“单元刚度矩阵”和“单元荷载向量”
N
xi h
x
,
x
xi1 h
B
1 h
,
1 h
xi
0
无穷维线性空间
找一个函数u∈V, 满足 D(u, v) F(v)
找一个函数 uh∈Vh, 满足
D(uh , vh ) F (vh ) vh Vh Vh是V 的有限维子空间
v V
找子空间的一个途径： 找基函数，从而张成子空间 Vh span{0 ,1,K n }
定义离散区间
0 0.25
0.2
L 0 0 N M M
0 0 L M M O (n 1) (n 1)
Kei 单元刚度矩阵
K
总刚度矩阵
kk10((0110))
k(1) 01
k(1) 11
k(2) 11
k(2) 12
u0 0
k k (2) (2) 21 22
O
D(i , j )
k k (i)
(i)
i1,i1 i1,i
otherwise
x
xi1 hi
1
x
xi hi
,
i ( x)
xi1 hi 1
x
1
x xi hi 1
,
0,
x ei [ xi1 , xi ] x ei1 [ xi , xi1 ]
otherwise
i
(
xk
)
1, 0,
ik ik
uh ( x) i1( x)ui1 i ( x)ui , x ei ,
k k k k (i)
(i) (i1) (i1)
i,i1
i,i i,i
i,i1
k k (i1) (i1) i1,i i1,i1
Kei
单元刚度矩阵
O
k(n) n1,n1
k(n) n1,n
k(n) n,n1
k(n) nn
同理
F (1) 0
F (1) 1
F (2) 1
u0 0
F (2) 2
方程求解
快速算法
ur K \ f
迭代求解 5个部分
8.1 一维问题的有限元法（线性元）
1）讨论对象：常微分方程两点边值问题
－ddx
(
p
du dx
)
qu
f,
x (a,b)
u(a) 0,
p(b)u'(b) u(b) ,
p C1[a, b], p( x) p0 0, q C[a, b], q( x) 0
x
基函数
i 1
i
uh ( x)
xi hi
x ui1
x xi1 hi
ui ,
x ei [ xi1 , xi ], i 1,L , n
x
xi1 hi
1
x
xi hi
,
i(x)
xi1 hi 1
x
1
x xi hi 1
,
0,
x ei [ xi1 , xi ] x ei1 [ xi , xi1 ]
vn
vT 0,L 0, un T
0
0
n1
则 uei Cei u, vei Cei v
n
n
v K u T
ei
ei ei
unvn
v F T ei ei
vn
i 1
i 1
uei Cei u, vei Cei v
vT
n i 1
CT ei
K C ei ei
u
unvn
vT
n i 1
C F T
ei
ei
2
i=1,2,3,4
Ku 0,L 0, un T F 0,L 0,1T
C K C T ei ei ei
xi
Kei
pBT B qN T N dx
xi1
O M M M M N
L 0 0
0
0
L
L L
0 0
k ei i 1,i 1
k ei i ,i 1
k ei i 1,i
k ei i ,i
0 L
0
L
2）转化为变分问题 考虑空间：
V S01 v
b a
v2
dv dx
2
dx
v(a)
0
任取v∈V, 乘方程两边
－ d ( p du) qu f , dx dx
－ddx
(
p
du dx
)
qu
v
fv
两边积分
b a
－d dx
(
p
du dx
)
qu
vdx
b a
fvdx
b － d
uh( x)
Nuei , 其中N
xi hi
x
,
x
xi1 hi
,
uei
ui 1 ui
duh( x) dx
dN dx
uei
1 1
hi
,
hi
uei
Buei
其中B
1 hi
,
1 hi
同理：vh ( x) Nvei ,
dvh dx
Bvei
ei
ei
p
duh dx
第八章 有限元离散方法 （一维问题）
微分方程解和有限元方法下的数值解
Poisson方程 －u f
微分方程
分部积分
变分问题
D(u, v) F(v)
泛函问题
Ritz-Galerkin过程
离散变分问题 D(uh , vh ) F (vh ) 有限元离散
线性代数问题
有限维基上表示
Kur f
代数方程
Vh {vh | vh Uh , vh (a) 0}
试探函数空间
找一个函数u∈V, 满足
D(u, v) F (v) v V
找一个函数 uh∈Vh, 满足 D(uh , vh ) F (vh ), vh Vh
有限元化
4）化为代数方程组--(4.1)单元分析(4.2)总体合成
找一个函数 uh Vh
u(b) v(b)
综上推理，有
b
a
p
du dx
dv dx
quv
dx
u(b)v(b)
v(b)
b a
fvdx
b
a
p du dx
dv dx
quv
dx
u(b)v(b)
b a
fvdx v(b)
D(u, v)
原微分方程转化为变分问题：
即找一个函数 uV 满足 D(u, v) F(v) v V
ei
p
duh dx
dvh dx
quhvh
dx
uh(b)取一个单元 ei [ xi1 , xi ]
ei ei
vh Vh
uh ( x) ui1
xi hi
x
ui
x xi1 hi
Nuei
N
xi hi
x
,
x
xi1 hi
,
uei
ui 1 ui
O
F
总荷
F (i) i 1
F (i) i
F (i1) i
F ( i 1) i 1
O
载 向量
Fei
单元荷载矩阵
F (n) n1
Fn(n)
两点边值问题有限元方法总结
－ddx
(
p
du dx
)
qu
f,
u(a) 0,
x (a,b)
p(b)u'(b) u(b) ,
p C1[a, b], p( x) p0 0, q C[a, b], q( x) 0
xi1
h
fdx
xi
xi
x
fdx
Fei
xi1
h
xi x xi1
xi1
h
fdx
f 2
1
h
1
,
i 1, 2, 3, 4
3）计算“总刚度矩阵”和“总荷载向量”
1 1
K
1
1
1 1 1 1 11
1
h
1 1 1 1
1 1
1 1
Kei 1 h1111
21 1
11
dvh dx
quhvh
dx
uh(b)vh(b)
L
du
u( x) Nuei , dx Buei
pBuei Bvei qNuei Nvei dx
ei
T
T
p Bvei Buei q Nvei Nuei dx
ei
vT ei
ei
pBT B qN T N
dx
uei
( p du)vdx
b
quvdx
a dx dx
ab
b
u ' vdx
uv
b a
v
' udx
du b b du dv a
a
p v p
dx
dx a a dx dx
du b b du dv
p v p
dx
dx a a dx dx
v(a) 0
p(b)u'(b) u(b) ,
p(a)u'(a)v(a) p(b)u'(b)v(b)
例题：
d 2u
dx2 2, x [0,1]
u(0) 0,
u'(1) 0.
解：
1）单元剖分
4等分，即hi=h=1/4, i=1,2,3,4 xi=ih, i=1,2,3,4; x0=0
2）计算“单元刚度矩阵”和“单元荷载向量”
N
xi h
x
,
x
xi1 h
B
1 h
,
1 h
xi
0
无穷维线性空间
找一个函数u∈V, 满足 D(u, v) F(v)
找一个函数 uh∈Vh, 满足
D(uh , vh ) F (vh ) vh Vh Vh是V 的有限维子空间
v V
找子空间的一个途径： 找基函数，从而张成子空间 Vh span{0 ,1,K n }
定义离散区间
0 0.25
0.2
L 0 0 N M M
0 0 L M M O (n 1) (n 1)
Kei 单元刚度矩阵
K
总刚度矩阵
kk10((0110))
k(1) 01
k(1) 11
k(2) 11
k(2) 12
u0 0
k k (2) (2) 21 22
O
D(i , j )
k k (i)
(i)
i1,i1 i1,i
otherwise
x
xi1 hi
1
x
xi hi
,
i ( x)
xi1 hi 1
x
1
x xi hi 1
,
0,
x ei [ xi1 , xi ] x ei1 [ xi , xi1 ]
otherwise
i
(
xk
)
1, 0,
ik ik
uh ( x) i1( x)ui1 i ( x)ui , x ei ,
k k k k (i)
(i) (i1) (i1)
i,i1
i,i i,i
i,i1
k k (i1) (i1) i1,i i1,i1
Kei
单元刚度矩阵
O
k(n) n1,n1
k(n) n1,n
k(n) n,n1
k(n) nn
同理
F (1) 0
F (1) 1
F (2) 1
u0 0
F (2) 2
方程求解
快速算法
ur K \ f
迭代求解 5个部分
8.1 一维问题的有限元法（线性元）
1）讨论对象：常微分方程两点边值问题
－ddx
(
p
du dx
)
qu
f,
x (a,b)
u(a) 0,
p(b)u'(b) u(b) ,
p C1[a, b], p( x) p0 0, q C[a, b], q( x) 0
x
基函数
i 1
i
uh ( x)
xi hi
x ui1
x xi1 hi
ui ,
x ei [ xi1 , xi ], i 1,L , n
x
xi1 hi
1
x
xi hi
,
i(x)
xi1 hi 1
x
1
x xi hi 1
,
0,
x ei [ xi1 , xi ] x ei1 [ xi , xi1 ]
vn
vT 0,L 0, un T