直线与椭圆的位置关系

的方程为( )
A．9x－y－4＝0
B．9x＋y－5＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋y－5＝0
【解析】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 A，B 在椭圆y92＋ x2＝1 上，所以yy992122＋＋xx2122＝＝11，，两式相减得y12－9 y22＋x12－x22＝0， 得（y1－y2）9（y1＋y2）＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦 AB 被点 P(12， 12)平分，所以 x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得y1－9 y2＋x1 －x2＝0，得yx11－－yx22＝－9，即直线 AB 的斜率为－9，所以直线 AB 的方程为 y－21＝－9(x－12)，即 9x＋y－5＝0.
焦点三角形
椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的三角形 PF1F2 称做焦点 三角形(如图)．∠F1PF2＝θ.
S△PF1F2＝12r1r2sinθ＝c|y0|．
直线与椭圆位置关系判断 y＝kx＋m，
联立xa22＋yb22＝1， 得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0 该一元二次方程的 判别式为 Δ. Δ>0⇔有两个交点⇔相交； Δ＝0⇔一个交点⇔相切； Δ<0⇔无交点⇔相离．
当
y＝－31时，弦长最大为4
3
3 .
方法二：直线所过的定点为(0，1)在椭圆上，可设另外一交 点为(2cosθ，sinθ)，则弦长为
4cos2θ＋（1－sinθ）2 ＝ －3sin2θ－2sinθ＋5 ＝
－3（sinθ＋13）2＋136≤4
3
3 .
当且仅当 sinθ＝－13时取等号．选 B.
★状元笔记 本类型题目常见问题
(1)设弦中点为 M(x，y)，由①式，2＝－2xy，∴x＋4y＝0. 故所求的轨迹方程为 x＋4y＝0(－43<x<34)．
(2)不妨设 l 交椭圆于 A，B，弦中点为 M(x，y)， 由①式 kl＝kAB＝－2xy. 又∵kl＝kMN＝yx－－21，∴－2xy＝yx－－21.
整理，得
x2
＋
2y2
【解析】 设弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为 M(x0，y0)，则有x212＋y12＝1，x222＋y22＝1.
两式作差，得（x2－x1）2（x2＋x1）＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0. ∵x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，yx22－－yx11＝kAB， 代入后求得 kAB＝－2xy00.①
解得 k＝±1.
(2)∵M→A＝(x1，y1－1)，M→B＝(x2，y2－1)， ∴M→A·M→B＝x1x2＋(y1－1)(y2－1) ＝(1＋k2)x1x2－43k(x1＋x2)＋196 ＝－19（6（2k1＋2＋k12））－9（21k62k＋2 1）＋196＝0. ∴不论 k 取何值，以 AB 为直径的圆恒过点 M. 【答案】 (1)±1 (2)略
【例2】已知椭ax22圆by22 1(ab0)的一个顶点 B（为 0,4） ,离心率
e 5，直线 l交椭圆M于、N两点。 5
（1）若直l的 线方程y为 x4，求弦M长N的长； （2）如果三角 BM形N的重心恰好为椭焦 圆点 的 F， 右求直线
l方程的一般式。
题型二 弦长问题
3 椭圆两顶点 A(－1，0)，B(1，0)过焦点 F(0，1)的直线 l 与椭圆交于 CD 两点．当|CD|＝32 2时．求 l 的方程．
思考题 3 (1)已知椭圆 E：xa22＋yb22＝1(a>b>0)的右焦点为
F(3，0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点．若 AB 的中点为 M(1，
－1)，则 E 的方程为( )
A.4x52 ＋3y62 ＝1
B.3x62 ＋2y72 ＝1
C.2x72 ＋1y82 ＝1
D.1x82 ＋y92＝1
【解析】 由题意 b＝1，c＝1. ∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2. ∴椭圆方程为y22＋x2＝1. 若直线 l 斜率不存在时，|CD|＝2 2，不合题意．
若 l 斜率存在时，设 l 方程 y＝kx＋1， 联立yy＝2＋k2xx＋2＝1，2，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0. Δ＝8(k2＋1)>0 恒成立． 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)． ∴x1＋x2＝－k22＋k 2，x1x2＝－k2＋1 2. ∴|CD|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2 （x1＋x2）2－4x1x2
＝2
2（k2＋1） k2＋2 .
即2 2（k2＋k2＋2 1）＝322，
解得 k2＝2.Fra Baidu bibliotekk＝± 2.
∴直线 l 方程为 2x－y＋1＝0 或 2x＋y－1＝0.
【答案】 2x－y＋1＝0 或 2x＋y－1＝0
思考题 2 (2017·济南统考)已知椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)的 离心率为 22，短轴的一个端点为 M(0，1)，直线 l：y＝kx－31与 椭圆相交于不同的两点 A，B.
－
x
－
4y＝
0(
2－4 9
7 2＋4 <x< 9
7，
4－ 9
7
4＋ <y< 9
7)，
此即所求的轨迹方程．
(3)由①式，弦所在的直线的斜率 k＝－2xy00＝－12， ∴其方程为 y－21＝－12(x－12)，即 2x＋4y－3＝0.
【答案】 (1)x＋4y＝0(－43<x<43) 2－4 7 2＋4 7 4－ 7 4＋ 7
①过定点被定点平分的弦所在直线的方程； ②平行弦中点轨迹； ③过定点的弦的中点的轨迹．解决有关弦及弦中点问题常用 方法是“韦达定理”和“点差法”．这两种方法的前提都必须保 证直线和椭圆有两个不同的公共点．
题型三 中点弦、弦中点问题
已知椭圆x22＋y2＝1. (1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程； (2)过 N(1，2)的直线 l 与椭圆相交，求被 l 截得的弦的中点的 轨迹方程； (3)求过点 P(12，12)且被 P 点平分的弦所在直线的方程．
直线与椭圆的位置关系
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1．能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程 解的问题，会根据韦达定理及判别式解决问题．
2．通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想．
请注意 作为高考热点的直线与圆锥曲线的位置关系主要体现在直 线与椭圆中，所以我们必须要对直线与椭圆的位置关系熟练掌 握，并适度强化．
课前自助餐
椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)的参数方程为xy＝ ＝abcsoinsθθ(θ 是参数)． 点 P(x0，y0)和椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)的关系： (1)P(x0，y0)在椭圆内⇔xa022＋yb022<1． (2)P(x0，y0)在椭圆上⇔xa022＋yb022＝1． (3)P(x0，y0)在椭圆外⇔xa022＋yb022>1．
(2)x2＋2y2－x－4y＝0( 9 <x< 9 ， 9 <y< 9 ) (3)2x＋4y－3＝0
【讲评】 在求中点弦的轨迹时，要注意由于中点一定在曲 线内部(含有焦点的一侧)，因此只能是轨迹方程表示的曲线在圆 锥曲线内部的那部分而不是全部．若是轨迹方程，则必须确定出 变量的取值范围．注意本例(2)中只规定 x，y 之一的范围是不够 的，具体原因请读者结合图形自行思考．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝3（2k42k＋1），x1x2＝－9（2k126＋1）.
∴|AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2＝
4
（13＋（k22k）2＋（19）k2＋4）＝4
26 9.
化简得 23k4－13k2－10＝0，即(k2－1)(23k2＋10)＝0，
3．若椭圆3x62＋y92＝1 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的
直线方程是( )
A．x－2y＝0
B．x＋2y－4＝0
C．2x＋3y－12＝0
D．x＋2y－8＝0
答案 D 解析 设这条弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为 k， 则xx33126622＋＋yy991222＝＝11，， 两式相减再变形，得x13＋6x2＋ky1＋9 y2＝0. 又弦中点为(4，2)，∴k＝－21. ∴这条弦所在的直线方程为 y－2＝－12(x－4)，即 x＋2y－8＝0.
椭圆的弦长
AB 为椭圆的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)．
(1)弦长 l＝|x1－x2| 1＋k2＝|y1－y2|
1＋k12.
(2)kAB＝－ba22yx00. (3)直线 AB 的方程：y－y0＝－ba22yx00(x－x0)． (4)线段 AB 的垂直平分线方程：y－y0＝ba22yx00(x－x0)．
1．(课本习题改编)直线 y＝2x－1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关
系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
答案 A 解析 方法一：∵直线方程 y＝2x－1 过点(1，1)，而(1，1) 在椭圆内部，故选 A.
y＝2x－1， 方法 二：由x92＋y42＝1 得 10y2 ＋ 2y－ 35 ＝ 0，Δ ＝ 22 － 4×10×(－35)＝1 404>0，∴直线 y＝2x－1 与椭圆x92＋y42＝1 相 交．
★状元笔记 直线与椭圆位置关系的判断方法
(1)联立方程，借助一元二次方程的判别式 Δ 来判断；(2)借 助几何性质来判断．
如本例中的方法二则更为简捷，根据直线系方程抓住直线恒 过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，这也是解决 该题的难点所在，破解此类问题的关键是熟练掌握直线系方程， 另外抓住题中“m∈R”这个条件结合图形，也是很容易想到直 线必过定点．
mx－y－m＋1＝0， 【解析】 方法一：由1x62＋y92＝1， 消去 y，得1x62＋（mx－9m＋1）2＝1.整理，得 (16m2＋9)x2－32m(m－1)x＋16m2－32m－128＝0.(*) ∵Δ＝322m2(m－1)2－4(16m2＋9)(16m2－32m－128)
＝576(15m2＋2m＋8)＝576[15(m＋115)2＋11159]>0， ∴方程(*)恒有实根．∴原方程组恒有解． 故直线 l 与椭圆总有交点． 方法二：直线 l 的方程可化为 m(x－1)＋(1－y)＝0， 故直线 l 恒过 x－1＝0 和－y＋1＝0 的交点 A(1，1)． 又点 A 在椭圆1x62 ＋y92＝1 内部，∴直线 l 与椭圆总有交点． 【答案】 略
★状元笔记 弦长的求法
设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2] ＝ （1＋k12）[（y1＋y2）2－4y1y2](k 为直线斜率)． 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的 情况下进行的，不要忽略判别式．
2．直线 y＝kx＋1，当 k 变化时，此直线被椭圆x42＋y2＝1 截
得的最大弦长是( )
A．2
43 B. 3
C．4
D．不能确定
答案 B
解析 方法一：直线所过的定点为(0，1)在椭圆上，可设另
外一个交点为(x，y)，
则弦长为 x2＋（y－1）2＝ 4－4y2＋y2－2y＋1
＝ －3y2－2y＋5，
(1)若|AB|＝4 926，求实数 k 的值； (2)求证：不论 k 取何值，以 AB 为直径的圆恒过点 M.
【解析】 (1)由题意知ca＝ 22，b＝1. 由 a2＝b2＋c2，可得 c＝b＝1，a＝ 2. ∴椭圆的方程为x22＋y2＝1.
由yx2＝2＋kyx2－＝131，，得(2k2＋1)x2－43kx－196＝0. Δ＝196k2－4(2k2＋1)×(－196)＝16k2＋694>0 恒成立．
【解析】 kAB＝30－＋11＝21，kOM＝－1，由 kAB·kOM＝－ba22， 得ba22＝21，∴a2＝2b2.∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆 E 的方程为1x82 ＋y92＝1.
【答案】 D
(2)(2017·南昌二模)已知椭圆：y92＋x2＝1，过点 P(12，12)的直
线与椭圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 被点 P 平分，则直线 AB
思考题 1 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1， 试问：当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C，
(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？
题型一 直线与椭圆的位置关系
(2) 求证：不论 m 取何值，直线 l：mx－y－m＋1＝0 与椭 圆1x62 ＋y92＝1 总有交点．