四年级数学第二讲加法原理 (5)
加法原理和乘法原理
【例1】用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类：①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。
②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。
③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。
所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。
举一反三1、书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。
志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？2、一列火车从上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少中不同的车票？3、已知往返于甲、乙两地的火车中途要停靠四个站，问：要有多少种不同车票票价（来回票价一样）？需准备多少种车票？4、各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？【例2】一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？1、4 ×4的方格图中（如下图），共有多少个正方形？2、妈妈，爸爸，和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法？3、图中共有_____个三角形。
4、下图中有______个长方形。
举一反三知识要点二：乘法原理——分步计数原理 【知识导入2】我们再来看看这类问题：问题1：从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有多少条？ 问题2：三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有多少种？ 问题3：有一项活动，需要在三名教师、五名男生和六名女生中各选一人参加，有多少种选法？ 【提炼特点】（1）完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可； （2）完成每一步有若干个方法；（3）把每个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数. 【抽象概括】分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.【注意】：○1 这个原理也称“乘法原理”； ○2 分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事件。
小学四年级奥数课件：加法原理
例2： 旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、
蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表 示信号，最多能表示出多少种不同的信号？
根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第 一类是只挂一面信号旗，有红、黄、蓝3种；第二 类是挂两面信号旗，按前面学的乘法原理会有： 3×2=6种。所以，一共可以表示出不同的信号
例1： 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，
还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班， 轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地 到乙地，共有多少种不同走法？
一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走 法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙 地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法。
例6： 右图中每个小方格的边长都是1。一只小虫从
直线AB上的O点出发，沿着横线与竖线爬行，可上 可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定 回到O点）。如果小虫爬行
的总长是3，那么小虫有多
少条不同的爬行路线？
பைடு நூலகம்
第一步往上，再往左右有两种可能（因为必须 回到AB线上）， 分别是：（上1，左1，下1）， （上1，右1，下1）； 第一步往上，再往下也有两 种可能：（上1，下1，左1），（上1，下1，右1）； 同理第一步往下也有4种可能；
例4： 用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区
域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问： 共有多少种不同的染色方法？
在本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻， 那么就要分颜色相同与不同两种情况分析。
当区域A与区域E颜色相同时，A有5种颜色可选； B有4种颜色可选；C有3种颜色可选；D也有3种颜色 可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有
再就是左右， 第一步往左，第二步分别上下各 一种：（左1，上1，下1），（左1，下1，上1）； 第一步往左，第二步还往左右，则第三步也只能左 右，共4种；同理第一步往右也有6种情况。共有：
四年级奥数专题加法原理和乘法原理
四年级奥数专题加法原理和乘法原理TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】二讲加法与乘法原理知识导航加法原理：做一件事情，完成．．它有n类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有m1+m2+……+m n种不同的方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。
要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。
合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有m n种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×m n种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。
完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
精典例题例1：一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同。
问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？思路点拨①：从两个口袋中只需取一个小球,则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法。
所以是加法原理的问题。
②：要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题。
模仿练习孙老师的一个口袋内装有60个小球，另一个口袋内装有80个小球，所有这些小球颜色各不相同。
小学四年级奥数
小学四年级奥数四年级第一讲：乘法原理基础班1、有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。
从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。
问：有多少种不同的装束？2、四角号码字典，用4个数码表示一个汉字。
小王自编一个"密码本"，用3个数码（可取重复数字）表示一个汉字，例如，用"011"代表汉字"车"。
问：小王的"密码本"上最多能表示多少个不同的汉字？3、"IMO"是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。
现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的"IMO"？4、在右图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。
问：共有多少种不同的放法？5、要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不同的评选结果？6、甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。
从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？7、如下图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？8、在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？9、一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？10、由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？11、某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？提高班1.用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。
四年级 加法原理与乘法原理
加法原理 ：
完成一件工作共有N类不同的方法;在 第一类方法中有m1种不同的方法;在第二 类方法中有m2种不同的方法;……;在第N 类方法中有mn种不同的方法;那么完成这 件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn 种不同方法& 秘诀：加法原理就是一步到位．
例2、由甲村去乙村有3条道路;由乙村去丙村有4条道路& 甲村经乙村到丙村共有多少种不同的走法？
第四关：思维碰撞
用印有数字0、2、4、7、8的五张卡片能组成多少不 同的三位数？能组成多少个不同的三位偶数？
解:由乘法原理;共可组成443=48个不同的三位数&而要组成 一个三位偶数;其个位只能取0、2、4、8;而这又受到百位是 否取到2、4、8的影响;因此必须分情况讨论&第一类; 百位 取7没有取到2、4、8;有一种方法；个位取0、2、4、8中的 任意一个;有4种方法；十位取除了百位和个位已用去两张卡 片外的剩余3张卡片中的任意一张;有3种方法；十位取除了 百位和个位已用去两张卡片外的剩余3张卡片中的任意一张; 有3种方法& 由加法原理和乘法原理;共可组成143+333=39个不同的三位 偶数&
3、分步也是进行“不重复、不遗漏”计数的基本方法&分步时要注意 两大要点：一是不同步骤的先后顺序会影响到解题的难易度;要认真思考; 不可随意；二是当某一步中的选取方法受到前一步中的选取方法的影响时; 就必须对前一步进行分类;从而将加法原理与乘法原理结合起来使用&
1第71页;第1、2题 2第73页;第5、6题
使
用
&
小马虎要买一本数学书;一本语文书;一本英语书; 在书店里他发现有4种数学书;3种语文书; 5种英语书可供选择;他有多少种不同的选择方法？
加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理1、加法原理：做一件事情分几类，每一类方法数之和就是完成这件事情的总方法数。
2、乘法原理：做一件事情分几步，每一步方法数之积就是完成这件事情的总方法数。
P29作业1、分四步组成四位数第一步：写好千位上的数，有3种选择（0不能作千位数）（所以一定要先考虑千位）第二步：写好百位上的数，有3种选择第三步：写好十位上的数，有2种选择第四步：写好个位上的数，有1种选择所以共有3×3×2×1=18个2、分三步组成三位数第一步：写好百位上的数，有4种选择（哪一位先考虑都行）第二步：写好十位上的数，有3种选择第三步：写好个位上的数，有2种选择所以共有4×3×2=24个3、分三步组成三位数第一步：写好个位上的数，有2种选择（个位一定是2或4）（所以一定要先考虑个位）第二步：写好十位上的数，有3种选择第三步：写好百位上的数，有2种选择所以共有2×3×2=12个4、分三步完成借书的事情第一步：第一个人来借书有7种选择第二步：第二个人来借书有6种选择第三步：第三个人来借书有5种选择所以共有7×6×5=210种5、分五步组成五位数第一步：写好万位上的数，有5种选择（哪一位先考虑都行）第二步：写好千位上的数，有4种选择第三步：写好百位上的数，有3种选择第四步：写好十位上的数，有2种选择第五步：写好个位上的数，有1种选择所以共有5×4×3×2×1=120个6、分三步完成种菜的任务第一步：第一块田里种菜有4种选择第二步：第一块田里种菜有3种选择第三步：第一块田里种菜有2种选择所以共有4×3×2=24种7、分类完成选书的事情第一类：选语文、数学（这一类在分2步完成，第一步选语文有3种选择，第二步选数学有4种选择，所以一共有3×4=12种）第二类：选数学、外语（同理，有4×5=20种）第三类：选外语、语文（同理，有3×5=15种）一共有12+20+15=47种（分类的要相加）综合列式：3×4+4×5+3×5=47种8、为叙述方便，设五个人为ABCDE，不能坐两端的是A。
加法原理(讲师版)
学科培优数学“加法原理”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位无论自然界还是学习生活中，事物的组成往往是分门别类的，例如解决一件问题的往往不只一类途径，每一类途径往往又包含多种方法，如果要想知道一共有多少种解决方法，就需要用到加法原理知识梳理一、加法原理一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有N=m1+m2+…+mk种不同的方法.加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”.二、加法原理解题三部曲：1、完成一件事分N类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加例题精讲【试题来源】【题目】小明、小华、小红三人去公园玩，想排成一行拍照留念，他们只拍了一张照片（人相同，位置不同为一张），请问他们共有多少种不同的照法？【答案】7【解析】1、要仔细审题，特别注意一道题小括号的内容，往往括号能提供解题的关键信息。
2、审题发现题目问的实质是有几种人员组合，这个组合不需要考虑组合里的人位置的变化。
3、知道题问的是什么后，就开始用我们今天所学的加法原理解题了。
第一步：分类，一共三个人，那么人员的组合可分三类了。
第一类：一个人第二类：二个人第三类：三个人把每类有几种人员组合找出来，然后类类相加即可。
最后答案是7.【知识点】加法原理【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】有数字1、2、3可以组成多少个数？（每个数字最多只能用一次）【答案】15【解析】三个数字每个数字最多只能用一次，那么就是说每个数字也可以不用。
那么1、2、3三个数字组成一个数该怎么分类呢？一共三个数，那么顶多可组成一个三位数；想到这个地方就豁然开朗了。
原来是可以分成三类的。
第一类：组成一位数第二类：组成两位数第三类：组成三位数每类里找种数，就是我们在乘法原理中学过的数码问题了。
小学数学《加法原理》练习题及答案
小学数学《加法原理》练习题及答案加法原理是小学数学中的一个基本概念，用于解决合并、组合、排
列等类似问题。
下面是一些关于加法原理的练习题及答案。
1. 一个草莓蛋糕上有5个草莓和3个蓝莓，那么一共有多少个水果？
答案：5 + 3 = 8，一共有8个水果。
2. 有3件红色衣服和2件蓝色衣服，现在要从中选择一件衣服穿，
一共有多少种选择呢？
答案：3 + 2 = 5，一共有5种选择。
3. 一只箱子里有4个苹果和6个橙子，小明想要从中选择2个水果，有多少种不同的选择方法？
答案：10 + 9 + 8 + ... + 1 = 55，一共有55种不同的选择方法。
4. 按下面的要求选择其中的数字：选择两个偶数数字，一共有多少
种选择方法？
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案：2 + 2 = 4，一共有4种选择方法。
5. 有红色、黄色、蓝色、绿色四个颜色的挂历，每个颜色可以选择
或不选择，一共有多少种选择方法？
答案：2^4 = 16，一共有16种选择方法。
6. 一件礼物有3种包装纸可以选择，然后可以打上3种不同的红色
蝴蝶结，一共有多少种不同的包装方式？
答案：3 × 3 = 9，一共有9种不同的包装方式。
7. 体育馆有5个入口，其中A、B、C三个入口可直接进入看比赛，另外两个入口不能进入，某人随机选择一个入口，他能够进入看比赛
的可能性是多少？
答案：3/5，一共有3个进入的入口。
这些练习题通过不同的情境来练习加法原理的运用，帮助学生理解
和掌握加法原理的概念，并培养他们的逻辑推理和问题解决能力。
希
望对学生的学习有所帮助。
数学枚举法和加法原理的应用
数学枚举法和加法原理的应用1. 数学枚举法数学枚举法是一种基于逐个检查可能解的方法，用于解决特定问题的数学方法。
它通常适用于问题空间较小且可以通过逐个尝试来得到解的情况。
在数学枚举法中，我们通过列举所有可能的组合或排列来找到问题的解。
数学枚举法在数论、几何和组合数学中得到广泛的应用。
2. 加法原理加法原理是组合数学中的一种基本原理，用于计算多个事件发生的总次数。
根据加法原理，如果两个事件可以同时发生的次数分别为m和n，则这两个事件发生的总次数为m + n。
加法原理也适用于多个事件的情况，只需要将事件发生的次数相加即可。
3. 数学枚举法的应用数学枚举法在解决各种实际问题中发挥着重要的作用。
以下是数学枚举法的一些应用示例：•排列组合问题：数学枚举法常用于解决排列组合问题，例如从一组物品中选择不同的组合或排列的问题。
•密码破译：通过枚举所有可能的密码组合，可以尝试破解密码。
这种方法虽然耗时较长，但在密码组合较小的情况下是可行的。
•游戏问题：如数独、数码拼图等，都可以通过枚举所有可能的解来求解。
•找零问题：在货币组合有限的情况下，可以通过枚举所有可能的找零方式来解决找零问题。
4. 加法原理的应用加法原理在实际问题中也有很多应用。
以下是加法原理的一些应用示例：•路径问题：在图论中，求从点A到点B的路径数量时，可以通过将所有可能的路径分解为多个子路径并使用加法原理计算总路径数量。
•概率问题：在概率计算中，如果事件A和事件B互斥且无关，则两个事件同时发生的概率为P(A) + P(B)。
•赛事问题：在比赛中，如果参赛者可以选择参加多个项目，则总的参赛方式数量可以通过将每个项目的参赛方式数量相加得到。
•组合问题：如果有多个组合方式，并且每种组合方式都包含不同的元素，则可以使用加法原理计算总的组合方式数量。
以上仅是数学枚举法和加法原理在实际问题中的一些应用示例，实际应用中还有更多的情况。
通过数学枚举法和加法原理，我们可以解决复杂的问题并得到准确的答案。
四年级数学第二讲加法原理
四年级数学第二讲：加法原理基础班1.南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。
如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船，那么共有多少种不同的走法？2.光明小学四、五、六年级共订300份报纸，每个年级至少订99份报纸。
问：共有多少种不同的订法？3.将10颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法？4.在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？5.用1，2，3这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是2的有多少个？6.下图中每个小方格的边长都是1。
有一只小虫从O点出发，沿图中格线爬行，如果它爬行的总长度是3，那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条？7．如下图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？8．书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？9．如下图中，沿线段从点A走最短的路线到B，各有多少种走法？10．在1～1000的自然数中，一共有多少个数字0？11．在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？12．十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？答案1.38种。
2.10种。
提示：没有年级订99份时，只有三个年级各订100份一种订法；只有一个年级订99份时，另外两个年级分别订100份和101份，有6种订法；有两个年级订99份时，另外一个年级订102份，有3种订法。
3.8种。
4.45个。
提示：两个数码都是奇数的有5×5（个），两个数码都是偶数的有4×5（个）。
5.21个。
提示：与例5类似，连续四位都是2的只有1种，恰有连续三位是2的有4种，恰有连续两位是2的有16种。
6.10条。
提示：第一步向下有5条，第一步向上有1条，第一步向左或向右各有2条。
7．3×3+2×4=17（种）．8．6+7+15+21+6×7=91（种）．提示：拿两本的情况分为2本画报或2本书或一本画报一本书．9．（1）6；（2）10；（3）20；（4）35．10．9+180+3=192（个）．11．8+8×8+3×8×8=264（个）．12．9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）．我们通常解题，总是要先列出算式，然后求解。
小学数学四年级《加法原理》练习题及答案
小学数学四年级《加法原理》练习题及答案一、填空题（每题2分，共10分）1. 下面哪个数字能填入空格，使得等式成立？3 + 5 = _____ + 42. 在下面的方程中，把括号里面的数字填写出来，使等式成立。
( ) + 9 = 203. 一共有15个苹果，小明拿走了8个，那么还剩下______个苹果。
4. 在下面的算式中，填入括号内的数字，使等式成立。
6 + ( ) = 125. 某个数字的个位是3，十位是4，这个数字是______。
二、选择题（每题2分，共10分）1. 小红有8颗橙子，小明有6颗橙子，他们一共有______颗橙子。
a) 14 b) 18 c) 122. 已知5 + 3 = 8，根据加法原理，下面哪个式子是正确的？a) 8 + 5 = 13 b) 8 - 5 = 2 c) 8 + 3 = 113. 小明有6只红球和3只蓝球，小华有4只红球和6只蓝球，他们两个一共有______只球。
a) 16 b) 20 c) 154. 一只箱子里有10个苹果和7个橙子，一共有______个水果。
a) 17 b) 27 c) 105. 在下面的算式中，括号里面的数字应该是______ ，使等式成立。
7 + ( ) = 12a) 7 b) 8 c) 6三、计算题（每题10分，共20分）1. 小明有7块糖，小华有5块糖，他们共有______块糖。
2. 有一台机器正好运行了9小时，共生产了45件产品。
那么，这台机器平均每小时可以生产______件产品。
3. 教室里面有28个学生，小明给大家发了12个铅笔。
这样，每个学生平均得到______个铅笔。
4. 根据图形所示，填写下面的式子。
① 3个方块 + 2个圆形 = ______② 4个星星 - 1个三角形 = ______5. 小明有9个苹果和6个橙子，小华有8个苹果和3个橙子。
他们两个一共有______个水果。
四、解答题（每题10分，共20分）1. 请你把以下数字按照从小到大的顺序排列出来。
四年级下册数学试题-思维训练：05加法原理(解析版)全国通用
备课说明：1、加法原理与乘法原理是计数中最常用、也是最基本的两个原理，本讲共5道例题和练习，2道思考题，重点为加法原理，例1为加法原理基础题，目的在于是学生理解加法原理，例2、例3为加法原理的应用，可由学生先自由发挥，思考分类方法，教师再总结可行的方法，再解决问题（45分钟左右）；由于例4、例5有涉及到乘法原理。
因此例3讲完后，教师可口头增加一些如搭配衣服之类的问题，简单介绍乘法原理，也为后一讲数图形做准备。
计数时，要做到不重复不遗漏，合理分类十分重要，因此例题讲解时，怎样分类可让学生多做思考，找到合理的分类方法（50分钟）。
最后2道思考题给足学生自主思考的时间（20分钟）。
注：对于一些班级，本讲题量可能篇少，教师可适当添加几道备用题。
2、重点：理解并能运用加法原理；难点：计数时合理分类。
加法原理：做一件事，完成它有n 类办法，其中第一类办法中有1m 种方法，第二类办法中有2m 种方法，……，第n 类办法中有n m 种方法，那么完成这件事共有n m m m m N ++++= 321种不同的方法。
加法原理的关键在于分类，它与乘法原理是计数中最常用、也是最基本的两个原理。
书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任意取出一本书有多少种不同的取法？分析：在这个问题上，要从中选出一本书有两类方法，要么选数学书、要么选语文书，所以应该用加法原理计算。
解：1156=+ (种)答：有11种不同的取法。
从A 城到B 城有三种交通工具：火车、汽车、飞机。
坐火车每天有2个班次，坐汽车每天有3个班次，乘飞机每天只有一个班次。
那么从A 城到B 城共有多少种方法？解：6132=++ (种)答：从A 城到B 城共有6种方法。
某班级有男三好学生5人，女三好学生4人，从中任意选出一个人去领奖，有 种不同的选法。
解：945=+ (种)有许多面值为1元、2元、5元的邮票，用这三种邮票构成10元邮资，有多少种方法？解：只取1元：1种；只取2元：1种；只取5元：1种；取1元和2元：4种；取1元和5元：1种；取2元和5元：0种；取1元和2元和5元：2种；所以共有102014111=++++++ (种)旗杆上最多可以挂三面信号旗，现有红色、蓝色、黄色和绿色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，不用考虑旗子顺序，最多能表示出多少种不同的信号？分析与解：根据挂信号旗的面数可以将信号分为三类。
小学四年级数学：加法乘法原理讲义
小学四年级数学：加法乘法原理一、什么是加法原理？完成一件事情，可以有n类方法。
在第一类方法中有m1种不同的方法；在第二类方法中有m2种不同的方法；..........；在第n类方法中有m n种不同的方法。
那么完成这件事情一共有：m1+m2+........+m n种不同的方法。
这就是加法原理。
要点：①每一类方法是完全独立；②每类方法之间互不相干；③每类方法都可以单独完成这件事情。
1、小明要去旅游，现在有武当山，华山，黄山三个风景区。
小明可以选择去1个景区，也可以选择去2个景区，当然也可以选择去3个景区。
问小明要做一个选择，小明一共有多少种选择呢？2、现在有1、2、3、4四个数字，问可以组成多少个不含重复数字的数？3、数字和是4的四位数有多少个？4、1到20中，每次取2个不同的自然数相加，和大于20的取法有多少种？5、用20元钱购买1元，2元或者4元的练习本若干册，没有剩余的钱。
一共有多少种买法？6、设有长度为1、2、3、4......、9的线段若干条，现在要从这9条线段中选取若干条组成一个正方形，一共有多少种不同的取法？规定线段除了端点外不可以重叠，线段也不能折断，弯折。
7、某人射击10枪，命中了5枪，其中刚好4枪是连在一起的，问一共有多少种不同的情况？二、什么是乘法原理？完成一件事情，需要n个步骤。
在第一步中有m1种不同的方法；在第二步中有m2种不同的方法；..........；在第n步中有m n种不同的方法。
那么完成这件事情一共有：m1×m2×........×m n种不同的方法。
要点：①每一步都不是单独的；②几个步骤相辅相成；③几个步骤一起做完才能做完这件事情。
1、现在小明早上起来需要准备一套文具。
包含1个文具盒，1支钢笔，1支铅笔，1块橡皮，1把尺子。
已知，文具盒有5个不同的，10支钢笔，铅笔有4支不同的，橡皮有4块不同的，尺子有10把不同的，问小明选择一套文具有多少种选法？2、周末，小熊同学要去爸爸单位体验上班生活。
奥数讲座(4年级-下)(14讲)
四年级奥数讲座（二）目录第一讲乘法原理第二讲加法原理第三讲排列第四讲组合第五讲排列组合第六讲排列组合的综合应用第七讲行程问题第八讲数学游戏第九讲有趣的数阵图（一）第十讲有趣的数阵图（二）第十一讲简单的幻方及其他数阵图第十二讲数字综合题选讲第十三讲三角形的等积变形第十四讲简单的统筹规化问题第一讲乘法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：注意到 3×1=3．如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：共有六种走法，注意到3×2=6．在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．这就是乘法原理．例1某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？分析某人买饭要分两步完成，即先买一种主食，再买一种副食（或先买副食后买主食）．其中，买主食有3种不同的方法，买副食有5种不同的方法．故可以由乘法原理解决．解：由乘法原理，主食和副食各买一种共有3×5=15种不同的方法．补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．例2右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？分析甲虫要从A点沿线段爬到B点，必经过C点，所以，完成这段路分两步，即由A到C，再由C到B．而由A到C有三种走法，由C到B也有三种走法，所以，由乘法原理便可得到结论．解：这只甲虫从A到B共有3×3=9种不同的走法．例3书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？分析要做的事情是从外语、语文书中各取一本．完成它要分两步：即先取一本外语书（有6种取法），再取一本语文书（有4种取法）．(或先取语文书，再取外语书．）所以，用乘法原理解决．解：从架上各取一本共有6×4=24种不同的取法．例4王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？分析三人报名参加比赛，彼此互不影响独立报名．所以可以看成是分三步完成，即一个人一个人地去报名．首先，王英去报名，可报4个项目中的一项，有4种不同的报名方法．其次，赵明去报名，也有4种不同的报名方法．同样，李刚也有4种不同的报名方法．满足乘法原理的条件，可由乘法原理解决．解：由乘法原理，报名的结果共有4×4×4=64种不同的情形．例5由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？分析在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定．所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成．①要求组成不相等的三位数．所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法，由乘法原理，共可组成3×4×4=48个不相等的三位数．②要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取0，有3种不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字，故有3种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法，由乘法原理，共有3×3×2=18个没有重复数字的三位数．解：由乘法原理①共可组成3×4×4=48（个）不同的三位数；②共可组成3×3×2=18（个）没有重复数字的三位数．例6由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？分析要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数，故个位上只有能取1、3、5中的一个，有3种不同的取法；十位上，可以从余下的五个数字中取一个，有5种取法；百位上有4种取法；千位上有3种取法，故可由乘法原理解决．解：由1、2、3、4、5、6共可组成3×4×5×3=180个没有重复数字的四位奇数．例7右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？分析由于四个棋子要一个一个地放入方格内．故可看成是分四步完成这件事．第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B，故还剩下9个方格可以放B，B有9种放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C，C有4种放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D，D有1种放法，本题要由乘法原理解决．解：由乘法原理，共有16×9×4×1=576种不同的放法．例8现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？分析要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做．如先取一角的，再取贰角的，最后取壹元的．但注意到，取2张一角的人民币和取1张贰角的人民币，得到的钱数是相同的．这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币4张和贰角的人民币2张统一起来考虑．即从中取出几张组成一种面值，看共可以组成多少种．分析知，共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值，共8种情况．（即取两张壹角的人民币与取一张贰角的人民币是一种情况；取4张壹角的人民币与取2张贰角的人民币是一种情况．）这样一来，可以把它们看成是8张壹角的人民币．整个问题就变成了从8张壹角的人民币和3张壹元的人民币中分别取钱．这样，第一步，从8张壹角的人民币中取，共9种取法，即0、1、2、3、4、5、6、7、8；第二步，从3张壹元的人民币中取共4种取法，即0、1、2、3．由乘法原理，共有9×4=36种情形，但注意到，要求“至少取一张”而现在包含了一张都不取的这一种情形，应减掉．解：取出的总钱数是9×4-1=35种不同的情形．习题一1．某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法？2．如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？3．在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？4．一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？5．由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？6．某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？习题一解答1．3×2×4=24（种）．2．1×4×3=12（个）．3．90×9=810（个）．4．4×4×3×2×1=96（种）．5．①8×8×8=512（个）；②4×8×8=256（个）；③4×7×6=168（个）；④1×7×6=42（个）；⑤1×3×6=18（个）．6．9×10×10×10×10×10=900000（部）．第二讲加法原理生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决．例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有N=m1+m2+…+mk种不同的方法．这就是加法原理．例1学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？分析在这个问题中，小明选一本书有三类方法．即要么选外语书，要么选科技书，要么选小说．所以，是应用加法原理的问题．解：小明借一本书共有：150+200+100=450（种）不同的选法．例2一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？分析①中，从两个口袋中只需取一个小球，则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法．所以是加法原理的问题．②中，要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题．解：①从两个口袋中任取一个小球共有3+8=11（种），不同的取法．②从两个口袋中各取一个小球共有3×8=24（种）不同的取法．补充说明：由本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事．事实上，往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理．例3如右图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？分析从甲地到丙地共有两大类不同的走法．第一类，由甲地途经乙地到丙地．这时，要分两步走，第一步从甲地到乙地，有4种走法；第二步从乙地到丙地共2种走法，所以由乘法原理，这时共有4×2=8种不同的走法．第二类，由甲地直接到丙地，由条件知，有3种不同的走法．解：由加法原理知，由甲地到丙地共有：4×2+3=11（种）不同的走法．例4如下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？分析从A点到B点有两类走法，一类是从A点先经过C点到B点，一类是从A点先经过D点到B点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A到B的全部走法时，只要用加法原理求和即可．解：从A点先经过C到B点共有：1×3=3（种）不同的走法．从A点先经过D到B点共有：2×3=6（种）不同的走法．所以，从A点到B点共有：3+6=9（种）不同的走法．例5有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？分析要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑．第一类，两个数字同为奇数．由于放两个正方体可认为是一个一个地放．放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即1，3，5；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有3×3=9种不同的情形．第二类，两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有3×3=9种不同情形．最后再由加法原理即可求解．解：两个正方体向上的一面同为奇数共有3×3=9（种）不同的情形；两个正方体向上的一面同为偶数共有3×3=9（种）不同的情形．所以，两个正方体向上的一面数字之和为偶数的共有3×3+3×3=18（种）不同的情形．例6从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？分析从1到500的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有1、2、3、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8×9=72个数不含4．三位数中，小于500并且不含数字4的可以这样考虑：百位上，不含4的有1、2、3、这三种情况．十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，个位上，不含4的也有九种情况．要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有3×9×9=243个三位数．由于500也是一个不含4的三位数．所以，1～500中，不含4的三位数共有3×9×9+1=244个．解：在1～500中，不含4的一位数有8个；不含4的两位数有8×9=72个；不含4的三位数有3×9×9+1=244个，由加法原理，在1～500中，共有：8+8×9+3×9×9+1=324（个）不含4的自然数．补充说明：这道题也可以这样想：把一位数看成是前面有两个0的三位数，如：把1看成是001．把两位数看成是前面有一个0的三位数．如：把11看成011．那么所有的从1到500的自然数都可以看成是“三位数”，除去500外，考虑不含有4的这样的“三位数”．百位上，有0、1、2、3这四种选法；十位上，有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种选法；个位上，也有九种选法．所以，除500外，有4×9×9=324个不含4的“三位数”．注意到，这里面有一个数是000，应该去掉．而500还没有算进去，应该加进去．所以，从1到500中，不含4的自然数仍有324个．这是一种特殊的思考问题的方法，注意到当我们对“三位数”重新给予规定之后，问题很简捷地得到解决．例7如下页左图，要从A点沿线段走到B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？分析观察下页左图，注意到，从A到B要一直向右、向上，那么，经过下页右图中C、D、E、F四点中的某一点的路线一定不再经过其他的点．也就是说从A到B点的路线共分为四类，它们是分别经过C、D、E、F的路线．第一类，经过C的路线，分为两步，从A到C再从C到B，从A到C有2条路可走，从C到B也有两条路可走，由乘法原理，从A经C到B共有2×2=4条不同的路线．第二类，经过D点的路线，分为两步，从A到D有4条路，从D到B有4条路，由乘法原理，从A经D到B共有4×4=16种不同的走法．第三类，经过E点的路线，分为两步，从A到E再从E到B，观察发现．各有一条路．所以，从A经E到B共有1种走法．第四类，经过F点的路线，从A经F到B只有一种走法．最后由加法原理即可求解．解：如上右图，从A到B共有下面的走法：从A经C到B共有2×2=4种走法；从A经D到B共有4×4=16种走法；从A经E到B共有1种走法；从A经F到B共有1种走法．所以，从A到B共有：4+16+1+1=22种不同的走法．习题二1．如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？2．书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？3．如下图中，沿线段从点A走最短的路线到B，各有多少种走法？4．在1～1000的自然数中，一共有多少个数字0？5．在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？6．十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？习题二解答1．3×3+2×4=17（种）．2．6+7+15+21+6×7=91（种）．提示：拿两本的情况分为2本画报或2本书或一本画报一本书．3．（1）6；（2）10；（3）20；（4）35．4．9+180+3=192（个）．5．8+8×8+3×8×8=264（个）．6．9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）．第三讲排列在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．例如某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间．问：应准备有多少种不同船票？分析这个问题，可以用枚举法解决，三个城市之间，船票有下面六种设置方式：如果不用枚举法，注意到要准备的船票的种类不仅与所选的两个城市有关，而且与这两个城市作为起点、终点的顺序有关，所以，要考虑共准备多少种不同的船票，就要在三个城市之间每次取出两个，按照起点、终点的顺序排列．首先确定起点站，在三个城市中，任取一个为起点站，共有三种选法．其次确定终点站，每次确定了一个起点站后，只能从剩下的两个城市之中选终点站，共有两种选法．由乘法原理，共需准备：3×2=6种不同的船票．为叙述方便，我们把研究对象（如天津、青岛、大连）看作元素，那么上面的问题就是在三个不同的元素中取出两个，按照一定的顺序排成一列的问题．我们把每一种排法叫做一个排列（如天津——青岛就是一个排列），把所有排列的个数叫做排列数．那么上面的问题就是求排列数的问题．一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≢n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列．从n个不同元素中取出m个（m≢n）元素的所有排列的个数，叫做从上面的问题要计算从3个城市中取出2个城市排成一列的排列数，就是一般地，从n个不同元素中取出m个元素（m≢n）排成一列的问题，可以看成是从n个不同元素中取出m个，排在m个不同的位置上的问题，而第一步：先排第一个位置上的元素，可以从n个元素中任选一个，有n种不同的选法；第二步：排第二个位置上的元素．这时，由于第一个位置已用去了一个元素，只剩下（n-1）个不同的元素可供选择，共有（n-1）种不同的选法；第三步：排第三个位置上的元素，有（n-2）种不同的选法；…第m步：排第m个位置上的元素．由于前面已经排了（m-1）个位置，用去了（m-1）个元素．这样，第m个位置上只能从剩下的[n-（m-1）]=（n-m+1）个元素中选择，有（n-m+1）种不同的选法．由乘法原理知，共有：n（n-1）（n-2）…（n-m+1）种不同的排法，即：这里，m≢n；且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘．例1解：由排列数公式知：例2有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？分析这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中n=5，m=3．解：由排列数公式知，共可组成种不同的信号．补充说明：这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．例3用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？分析这是一个从8个元素中取5个元素的排列问题，且知n=8，m=5．解：由排列数公式，共可组成：例4幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？分析在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题．解：由排列数公式，共有：种不同的坐法．例5幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？分析与例4不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个位置，则问题转化为从6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题．解：由排列公式，共有：种不同的坐法．例6有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成一排）分析由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．解：由排列数公式，共可能有：种不同的拍照情况．例7 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？分析 4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从4个元素中选4个，排成一列的问题．这时n=4，m=4．解：由排列数公式知，共有。
加法原理数学中的加法
加法原理数学中的加法加法原理是数学中的一种基本原理，用于解决组合问题。
它是数学中常见的一种运算规则，广泛应用于概率论、组合数学等领域。
本文将介绍加法原理的概念、应用和相关性质，旨在帮助读者更好地理解和运用加法原理。
一、加法原理的定义加法原理是指将不同的情况进行相加的方法，用于解决能够通过排列或组合得到的问题。
它的基本思想是将多个互斥事件的可能结果相加，得到总的可能结果数。
二、加法原理的应用1. 简单例子假设有两个抽屉，第一个抽屉里面有3个红色球，第二个抽屉里面有4个蓝色球。
现在要从这两个抽屉中任选一个抽屉，然后从中取出一个球。
按照加法原理，选择红色球的可能性为3，选择蓝色球的可能性为4，那么总的可能性为3 + 4 = 7。
2. 复杂例子假设有5名男学生和4名女学生，班里要选出3名学生参加演讲比赛。
根据加法原理，可以将问题分解为两步：第一步，选择1名男学生或1名女学生参加演讲比赛，有5种选择男学生的方法和4种选择女学生的方法，总共有5 + 4 = 9种选择。
第二步，从剩下的学生中再选择2名学生。
由于已经选择了1名男学生或1名女学生，剩下的学生中有4名男学生和3名女学生。
根据加法原理，可以得到剩下学生的选择方法为4 + 3 = 7种。
因此，总的选择方法为9 * 7 = 63种。
三、加法原理的性质1. 互斥事件的加法性加法原理适用于互斥事件，即两个事件之间互不相容，不存在同时发生的情况。
在互斥事件下，可以将各个事件的可能结果相加得到总的可能性。
2. 事件的穷举性加法原理要求对所有可能性进行穷举，确保没有遗漏。
每个情况都应该被考虑到，以保证结果的完整性和准确性。
3. 加法原理与排列、组合的关系加法原理和排列、组合有着密切的关系。
排列是指将若干个元素按照一定顺序排列的方式，而组合是指从中选择若干个元素，无顺序要求。
加法原理常常与排列、组合结合使用，用于解决不同情况下的排列或组合问题。
四、加法原理的应用举例1. 古典概型问题古典概型问题是指在已知条件下，通过枚举可能情况来求解事件发生的概率。
四年级奥数学练习试卷思维培训资料 (42)
第二讲 加法原理本讲主要教学目标有①使学生掌握加法原理的基本内容；②掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；③培养学生对分类讨论问题的能力，了解分类主要方法和遵循的主要原则.向上的有：1个三角形组成的：10个； 4个三角形组成的：6个； 9个三角形组成的：3个； 16个三角形组成的：1个。
向下的有：1个三角形组成的：6个； 4个三角形组成的：1个。
所以，一共有:27个。
专题精讲教学目标Ⅰ、分类讨论问题中加法原理应用【例1】（★★）学校四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人。
从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？分析：解决这个问题有3类办法：分别从一班、二班、三班男生中选1人。
从四年一班中任选1人有18种选法：同理，从二班20名中中任选1人有关20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；所以根据加法原理，从四年级3个班中任意选一名男生当升旗手的方法有：18+20+16=54（种）[拓展1]学校组织读书活动，要求每个同学读一本书，小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本，那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？分析：小明选一本书有三类方法，根据加法原理小明借一本书有150+200+100=450种方法.[拓展2]小明如果要选两本书不同类的书有多少种选法？分析：两本不同类的书可以有外语书+科技书、外语书+小说、科技书+小说三类组合，各类组合分别有150×200=30000种、150×100=15000种、200×100=20000种，一共有65000种选法.思考：小明如果要选三本不同类的书有多少种选法，需要使用加法原理吗？【例2】（★★）从3，5，7，11，19五个数中，每次取出两个数，分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成多少个真分数？分析：如果3作分子：5，7，11，19都可以作为分母，四个真分数；如果5作分子：7，11，19可以做分母，三个真分数；如果7作分子：11，19可以做分母，两个真分数；如果11作分子：只有19可以作分母，一个分数．4+3+2+1=10，可以组成10个真分数．[评注]注意到一种“对称性”，这里的真分数与假分数是一样多的。
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四年级数学第二讲：加法原理
基础班
1.南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。
如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船，那么共有多少种不同的走法？
2.光明小学四、五、六年级共订300份报纸，每个年级至少订99份报纸。
问：共有多少种不同的订法？
3.将10颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法？
4.在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？
5.用1，2，3这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是2的有多少个？
6.下图中每个小方格的边长都是1。
有一只小虫从O点出发，沿图中格线爬行，如果它爬行的总长度是3，那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条？
7．如下图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？
8．书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？
9．如下图中，沿线段从点A走最短的路线到B，各有多少种走法？
10．在1～1000的自然数中，一共有多少个数字0？
11．在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？
12．十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？
答案
1.38种。
2.10种。
提示：没有年级订99份时，只有三个年级各订100份一种订法；只有一个年级订99份时，另外两个年级分别订100份和101份，有6种订法；有两个年级订99份时，另外一个年级订102份，有3种订法。
3.8种。
4.45个。
提示：两个数码都是奇数的有5×5（个），两个数码都是偶数的有4×5（个）。
5.21个。
提示：与例5类似，连续四位都是2的只有1种，恰有连续三位是2的有4种，恰有连续两位是2的有16种。
6.10条。
提示：第一步向下有5条，第一步向上有1条，第一步向左或向右各有2条。
7．3×3+2×4=17（种）．
8．6+7+15+21+6×7=91（种）．
提示：拿两本的情况分为2本画报或2本书或一本画报一本书．
9．（1）6；（2）10；（3）20；（4）35．
10．9+180+3=192（个）．
11．8+8×8+3×8×8=264（个）．
12．9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）．
我们通常解题，总是要先列出算式，然后求解。
可是对有些题目来说，这样做不仅麻烦，而且有时根本就列不出算式。
这一讲我们介绍利用加法原理在“图上作业”的解题方法。
提高班
1. 用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。
问：共有多少种不同的染色方法？
11.小明要登15级台阶，每步登1级或2级台阶，共有多少种不同登法？
12.小明要登20级台阶，每步登2级或3级台阶，共有多少种不同登法？
13.有一堆火柴共10根，每次取走1～3根，把这堆火柴全部取完有多少种不同取法，
答案
1. 420种。
解：如上图所示，按A，B，C，D，E顺序染色。
若B，D颜色相同，则有
5×4×3×1×3=180（种）；
若B，D颜色不同，则有
5×4×3×2×2=240（种）。
共有不同的染色方法180+240=420（种）。
2. 987种。
3. 114种。
4. 274种。
提示：取走1根有1种方法，取走2根有2种方法，取走3根有4种方法。
将1，2，4作为数列的前三项，从第4项起每项都是它前三项的和，得到
1，2，4，7，13，24，44，81，149，274。
第10项274就是取走10根火柴的方法数。