决策模型

△+6
2.56 阴 P（N2）=0.5 △+2
A3
aA1
1111
多雨 P（N3）=0.1
△+1.2
• 投资决策 • 问题的提出 投资决策问题：为了生产某种产品，设计了两个基 建方案，一是建大厂，二是建小厂，大厂需要投资 300万元，小厂需要投资160万元，两者的使用期都 是10年。估计在此期间，产品销路好的可能性是 0.7，销路差的可能性是0.3，若销路好，建大厂每 年收益100万元，建小厂每年收益40万元；若销路 差，建大厂每年损失20万元，建小厂每年收益10万 元（详见表3—1），试问应建大厂还是建小厂？进 一步的，将投资分为前三年和后七年两期考虑，根 据市场预测，前三年销路好的概率为0.7，而如果前 • 三年的销路好，则后七年销路好的概率为0.9，
• 现在考虑一种情况： 假定对投资决策问题分为前三年和后七年两期 • 考虑。根据市场预测，前三年销路好的概率为 • 0.7，而如果前三年销路好，则后七年销路好 的概率为0.9，如果前三年销路差，则后七年 的销路肯定差，在这种情况下，建大厂和建小 厂那个方案好？ （a）画出决策树如下（图4—3）
图4—3 决策树
• （b）计算各点的益损期望值 点4：[0.9×100+0.1×(—20)]×7(年)=616万元 点5：1.0×(—20)×7(年)= —140万元 点2：0.7×100×3(年)+0.7×616+0.3×(— 20)×3(年)+0.3×(—140) —300(大厂投资)=281.2 点6：[0.9×40+0.1×10]×7(年)=259 点7：1.0×10×7(年)=70 点3： 0.7×40×3(年)+0.7×259+0.3×10×3(年)+0.3× 70— 160(小厂投资)=135.3 通过比较，建大厂仍然是合理方案。
－14900 A
－14900 B （0.5） 小风暴
应急
正常速度
大 风 暴 （0.1）
-50800 应急 －50000 D 抽空施工 F
－54000 －46000 －38000
－50000
（2）计算第一级机会点E,F的损失费用期望值
E ( E ) 0.5 24000 0.3 18000 0.2 12000 19800 E ( F ) 0.7 54000 0.2 46000 0.1 38000 50800
（1）提前加班，确保工程在15天内完成，实施 此方案需增加额外支付18 000元。 （2）先维持原定的施工进度，等到15天后根据 实际出现的天气状况再作对策： a）若遇阴雨天，则维持正常进度，不必支付额外 费用。 b）若遇小风暴，则有下述两个供选方案：一是抽 空（风暴过后）施工，支付工程延期损失费20 000 元，二是采用应急措施，实施此措施可能有三种结 果：有50%的可能减少误工期1天，支付延期损失费 和应急费用24 000元; 的可能减少误工期2天，支付 延期损失费和应急费用18 000元;有20%的可能减少 误工期3天支付延期损失费和应急费用 12 000元。
3）若遇大风暴，则仍然有两个方案可供选择： 一是抽空进行施工，支付工程的延期损失费 50 000元;二是采取应急措施，实施此措施可能 有三种结果：有70%的可能减少误工期 2天，支付 延期损失费及应急费用54 000元;有20%可能减小 误工期3天，支付延期损失费及应急费用46 000元; 有10%的可能减少误工期4天，支付延期损失费及应 急费用38 000元。 试进行决策，选择最佳行动方案。
表 4—3 N2 状态 益损值 方 案 A1 概率 P1 a11 „ ai1 „ am1 P2 a12 „ ai2 „ am2 „ „ „ „ „ „ Pj a1j „ aij „ amj „ „ „ „ „ „ Pn a1n „ ain „ amn N1 „ Nj „ Nn
„
Ai
„
Am
• 二、风险决策问题 当n>1，且各种自然状态出现的概率 pi (i 1,2,, n) 可通过某种途径获得时的决策问题，就是风阶决 策问题。如例4.1就是风险决策问题，对于这类问 题，我们介绍两种决策准则和相应的解决方法。 1. 最大可能准则 由概率论知识，一个事件的概率就是该事件在一 次试验中发生的可能性大小，概率越大，事件发生 的可能性就越大。基于这种思想，在风险决策中我 们选择一种发生概率最大的自然状态来进行决策， 而不顾及其他自然状态的决策方法，这就是最大可 能准则。这个准则的实质是将风险型决策问 题转化为确定型决策问题的一种决策方法。
• • • • • •
一、展销会选址问题： 某公司为扩大市场，要举办一个产品展销 会，会址打算选择甲、乙、丙三地，获利 情况除了与会址有关外，还与天气有关， 天气分为晴、阴、多雨三种，据天气预报， 估计三种天气情况可能发生概率为0.2，0.5， 0.3，其收益情况见表4—2，现要通过分析， 确定会址，使收益最大。
解 （1）据题意画出决策树，如图4－4。
提前加班
－18000 阴雨 （0.4） 减少误工 1 天 (0.5) －19800 减少误工 2 天 (0.3) E 减少误工 3 天(0.2) －19800 C 抽空施工 －20000 减少误工 2 天 (0.7) 减少误工 3 天(0.2) 减少误工 4 天(0.1) 0 －24000 －18000 －12000
表 4—2 自然状态 收益值 选址方案 概 率 天 N1（晴） P1=0.20 气 情 况 N3（多雨） P3=0.30
N2（阴） P2=0.50
A1（甲地）
4
6
1
A2（乙地）
5
4
1.5
A3（丙地）
6
2
1.2
• 在决策问题中，把面临的几种自然情况称为自 • 然状态或客观条件，简称为状态或条件，如N1，N2， N3，这些是不可控因素，把A1，A2，A3称为行动方 案或策略，这些是可控因素，至于选择哪个方案由 决策者决定。表4—2中右下方的数字4，6，1，5， 4，1.5，6，2，1.2称为益损值，根据这些数字的含 义不同，有时也称为效益值或风险值，由它们构成 的矩阵
若对例4.1按最大可能准则进行决策，则因 为自然状态 N 出现的概率 p2 0.50最大，因此就 2 在这种自然状态下进行决策，通过比较可知， 采取 A 行动方案获利最大。因此，采用 A 方案是 1 1 最优决策。 应该指出，如果各自然状态的概率较接近时，一 般不使用这种决策准则。 2.期望值准则（决策树法） 如果把每个行动方案看作随机变量，在每个自然 状态下的效益值看作随机变量的取值，其概率为自 然状态出现的概率，则期望值准则就是将每个行动 方案的数学期望计算出来，视其决策目标的情况选 择最优行动方案。
4 6 1 5 4 1.5 M 6 2 1.2
• •
称为决策的益损矩阵或风险矩阵，表4—2 中的P1，P2，P3是各状态出现的概率。
• 一般地，如果决策问题的可控因素，即行动方案用Ai（i=1~m） 表示，状态用Nj（j=1~n）表示，在Nj状态下 • 采用Ai行动方案的益损值用aij表示，Nj状态下的概率用Pj （j=1~n）表示，可得到决策矩阵（或称益损矩阵） • 的一般结构，如表4—3所 示。
上例只包括一个决策点，称为单级决策问 题。在有此实际问题中将包括两个或两个以上 的决策点，称为多级决策问题，可利用同样的 思路进行决策。 例4.2 某工程采正常速度施工，若无坏天气的影 响，可确保在30天内按期完成工程，但据天气预报， 15天后肯定变坏，有40%的可能出现阴雨天气，但 这不会影响工程进度;有50%的可能遇到小风暴而使 工期推迟15天;另有10%的可能遇到大风暴而使工期 推迟20天。对于以上可能出现的情况，考虑两种方 案：
将19 800和50 800标在相应的机会点上，然后在第 一级决策点C,D外分别进行方案比较：首先考察C点， 其应急措施支付额外费用的期望值较少，故它为最 佳方案，同时划去抽空施工的方案分枝，再在C上方 标明最佳方案期望损失费用19 800元;再考虑D外的 情况，应急措施比抽空施工支付的额外费用的期望 值少，故划去应急措施分标，在D上方标上 50 000元。
• 如果前三年的销路差，则后七年的销路肯定差， • 在这种情况下，建大厂和建小厂哪个方案好？ 自然状态 益损值 概率 方案 建大厂 销路好 0.7 100 销路差 0.3 -20
建小厂
40
10
• 图4—1 决策树 注意：决策问题的目标如果是效益（如利润、投资、 回报等）应取期望值的最大值，如果决策目标是费 用的支出或损失，则应取期望值的最小值。 （2）多级决策问题 下面以投资决策问题为例，说明决策方法。 （a）画决策树（图4—2） （b）计算各点的益损期望值： 点2：[0.7×100+0.3×(-20)]×10(年)-300（大厂 投资）=340万元 点3：[0.7×40+0.3×10]×10(年)-160（小厂投资） =150万元 由此可见，建大厂的方案是合理的。
• 三、不确定型决策 当风险决策问题的自然状态发生的概率既不 知道、也无法预先估计或利用历史资料得到时 的决策问题就称为不确定型决策问题。仍用 A N1 , N 2 ,, N n ，表示决策问题中的自然状态， 1 , A2 ,, Am 表示行动方案，a ij 表示在自然状态 N 下采取第 i 种行 j 动方的益损值。若a ij为效益值时取正值;若 a ij 为损 失值时取负值。下面介绍几不确定型 的决策则。 1. 乐观准则 乐观准则的思想就是对客观情况总是持乐观态度， 事事都合人意，即选最大效益的最大值 ma x ma x aij i j 所对应的行动方案作为决策。
概率统计模型
决策模型
决策是人们在生活和工作中普遍存在的一 种活动，是为解决当前或未来可能发生的问题 ，选择最佳方案的一种过程。比如，某人决定 要到某地出差，而天气预报可能有寒流，考虑 出差是否要带棉大衣，带上棉大衣无寒流是个 累赘，若不带又可能遇上寒流而挨冻，到底带 不带？这就要他作出决策;又如生产某种产品的 工厂，若对此种产品的市场需求不是很了解， 生产的数量太小，影响企业收入，生产的数量 太大，又势必造成产品积压，影响资金周转， 给企业造成损失，到底生产多少为宜？这就需 要有关人员通过市场调查后作出决策。所以， 小到个人生活，大至企业经营以及国家的政 治经济问题，都需要决策。
若对例4.1按期望值准则进行决策，则需要 计算各行动方案的期望收益，事实上
E ( A1 ) 4 0.2 6 0.5 1 0.3 4.1 E ( A2 ) 5 0.2 4 0.5 1.5 0.3 3.45
显然， A1 最大，所以采取行动方案 A1 最佳，即选择 E 甲地举办展销会效益最大。 值得提出的是，为了形象直观地反映决策问题未 来发展的可能性和可能结果所作的预测而采用的决 策树法就是按期望值准则进行决策的一种方案。以 例4.1来说明其决策步骤。
（3）计算第二级机会点B的损失费用期望值
E ( B) 0.4 0 0.5 19800 0.1 50000 14900
将其标在B的上方，在第二级决策点A处进行比较， 发现正常进度方案为最佳方案，故划去提前加班的 方案分枝，并将14 900标在A点上方。 因此，合理的决策应是开始以正常施工进 度进行施工，15天后再根据具体情况作进一步 决策，若出现阴雨天，则维持正常 速度;若出现 小风暴可采用应急措施;若出现大风暴，则进行 抽空施工。
晴 P（N1）=0.2 4.1
△+4
A1
阴 P（N2）=0.5
△+6
aA1 甲地 4.1 决 策 乙地 A2
1111 1aa
多雨 P（NBaidu Nhomakorabea）=0.1
△+1
3.45 AA1
晴 P（N1）=0.2
△+5
阴 P（N2）=0.5
△+4
aA1 11111
多雨 P（N3）=0.1
△+1.5
丙地
aa AA1
晴 P（N1）=0.2
E ( A3 ) 6 0.2 2 0.5 1.2 0.3 2.56
例4.1的决策树如图4－1所示，其中： □——表示决策点，从它引出的分枝叫方案分 枝，其数目就是方案数 ○——表示机会节点，从它引出的分支叫概率分 支，每条概率分支代表一种自然状态，并标 有相应状态发生的概率。 △——称为末稍节点，右边数字表示各方案在不同 自然状态下的益损值。 计算各机会节的期望值，并将结果标在节点止方， 再比较各机会节点上标值的大小，进行决策，在淘汰 方案分枝上标“＋＋”号，余下方案即为最优方案， 最优方案的期望值标在决策点的上方。本例上方标 4.1为最大，因此选定方案 ，其收益数值的期望4.1。