第四章 时域离散相似法
傅里叶变换算法详细介绍
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上前言第一部分、DFT第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式离散傅立叶变换/***************************************************************************************************/这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。
感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。
/**************************************************************************************************/前言：“关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong，那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。
这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。
ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂：以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）连续傅里叶变换一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。
连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
第四章 连续仿真
离散相似法
频域相似法、时域相似法
数值积分法
数学模 型——差分方程，并求出其数值解（也成数 值解法）。 单步法与多步法 显式与隐式
仿真模型误差
截断误差
基于泰勒展开公式的数值计算法，积分方法的阶次越高， 截断误差越小，减小步长可缩小每一步的截断误差。
二是状态事件(state-event) 一条件时发生。
系统达到某
思考题
交通系统仿真中那些属于连续仿真？
离散相似法
数值积分法将微分方程转换成计算机可编程的 迭代式，通过计算各采样点的模型数值求解微 分方程。 离散相似法就是用离散化的模型直接代替连续 系统的数学模型。 常用的方法有吐斯丁法、状态变换法。
仿真算法比较和选择
欧拉法和龙格－库塔法可用于非线性系统；吐斯 丁法、状态转移法限于线性系统。
(2)达到某一阀值后的连续状态变量可引起另一事件 发生。
如化学反应中某一成分达到预设标准后反应关闭。
(3)某些连续变量的功能性描述可以在某些离散时 间点上改变。
如污染物排放可立即改变生态系统的平衡关系。
组合仿真模型
组合仿真中有两类事件： 一是时间事件(time-event) 指在某些特定 时间点上发生的事件。这在离散仿真中很 常见。
连续仿真的一些概念
模型：一般用状态变量的微分来描述： ds(t ) s 2 (t ) t 2 dt s (0) k • S不能用解析方法得到时，可用积分方法来仿真：
ds s (t 2 ) s (t1 ) ( )dt dt t1
t2
电力系统稳定性分析与仿真
电力系统稳定性分析
电力系统稳定性问题的分类： 美国国际电气与电子工程师协会（Institute of Electrical and Electronics Engineering,
IEEE）把电力系统稳定性问题分为暂态稳定性（Transient Stability）和静态稳定性 （Steady-state Stability）两大类。
现主要围绕电力系统暂态稳定问题进行论述。
电力系统暂态稳定性是指系统突然经受大干扰后，各个同步电机能 否继续保持同步运行的能力。通常所考虑的扰动包括发生各种短路故 障、切除大容量发电机或输电设备以及某些负荷的突然变化等。
电力系统 稳定性分析
根据在扰动后的不同时间里系统各部分的反应不同，在分析暂态稳定时往往分为以下三个阶 段： 起始阶段：即故障后约一秒钟内的时间段。在这期间系统中的保护和自 动装置有一系列的动作， 例如切除故障线路和重合闸，切除发电机等。在这个时间段中发电机的调节系统还来不及起到明 显的作用。 中间阶段：在起始阶段后，大约持续5秒钟的时间段。在此期间发电机的调节系统将发挥作用。 后期阶段：在故障后几分钟内。这时热力设备（如锅炉等）将影响到电力系统的暂态过程，另 外系统中还将发生由于频率的下降自动切除部分负荷等操作。
统
的应用范围主要在以下几方面：
数
字
仿
1)应用于系统规划、设计与试验；
真 2)应用于系统动态特性分析与研究；
3)应用于辅助决策、管理与控制；
4)应用于人员的教学培训。
仿真系统模型
电
力
本文采用230kV的四机两区域系统以及华东电网为研究模型，研究平台为
系
PSS/E30。
统
本算例采用负荷模型为恒阻抗特性。以下是该系统的数据说明。
信号与系统的分析方法有时域,变换域两种
3.幂级数展开法(长除法)
因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即
X ( z)
n
x ( n) z
n
x(2) z x(1) z
2
x(0) z 0 x(1) z 1 x(2) z 2
所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数 就是序列x(n)。 如收敛域为|z|>Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展 成Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|<Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数。
[例2-5]利用部分分式法，求X ( z) 1 (1 2 z 1 ) (1 0.5z 1 ) , 的z反变换。 解：
2
z 2
1 z X ( z) 1 1 (1 2 z )(1 0.5 z ) ( z 2)( z 0.5) X ( z) z A1 A2 z ( z 2)( z 0.5) z 2 z 0.5
j Im[ z ]
Re[ z ]
z
同样,对于级数
x ( n) z n ，满足 z z
n 0
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[ z ]
Re[ z ]
z
(2).有限长序列
x (n)
.
x(n), n1 n n2 x ( n) 其他n 0,
X ( z) 4 A [( z 2) ]z 2 1 z 3 X ( z) 1 A2 [( z 0.5) ] z 0.5 z 3 4 z 1 z X ( z) 3 z2 3 z 0.5
又 z 2, 查p54表2.1得 4 n 1 n 2 (0.5) , n 0 x ( n) 3 3 0 ,n 0
《系统建模与仿真》概论
History for CVDS:
Development of mechanics for
CVDS
Self regulating governor for steam
engines
<1940
W W II Servom echanism >1940
M odern control theory and practice
确定了系统内部发生变化的过程
概论（1）--系统、模型、仿真（2） (系统的分类)
(1)工程领域: 机械,航空,航天,电力,冶金,化工和电子等. 非工程领域: 交通管理,生产调度,库存控制,生态环境
和社会经济等. (2) CVDS (Continuous Variable Dynamic Systems)
e2 e3 e4
e5
e6
tim e
Comparison with a CVDS Trajectory
D iscrete state
dx/dt = f(x,u,t)
tim e Hybrid System: each state can hide CVDS behavior
Historical Perspective on the Control and Optimization of DEDS and CVDS
概论（1）-- 系统、模型、仿真
不同系统之间的相似性
Ft
M
K
B
R
E t
C
L
M d d 2 2 x t B d d K x t F x t
L d d 2 q 2 t R d d C q t E q t
概 论 （ 1） -- 系 统 、 模 型 、 仿 真
离散fréchet(弗雷歇) 距离评价曲线相似度
离散fréchet(弗雷歇) 距离评价曲线相似度离散Fréchet距离是一种用于评估曲线相似度的度量方法。
它可以帮助我们确定两条曲线之间的相似程度，无论曲线是连续的还是离散的。
Fréchet距离最初是由法国数学家Maurice René Fréchet在20世纪初提出的。
他以弗雷歇的名字命名这一概念，以表彰他在函数分析和拓扑学领域的杰出贡献。
为了更好地理解离散Fréchet距离，我们可以将其想象成两条曲线之间的最短距离。
这个距离可以被理解为一个连续路径，从一条曲线上的一个点转移到另一条曲线上的相应点，且该路径长度最短。
不同的路径长度代表着曲线之间的相似程度，较短的路径长度表示两条曲线越相似。
离散Fréchet距离的计算方法比较复杂，但它主要涉及在两条曲线上选择相应的离散点，并使用动态规划算法计算最短路径。
在这个过程中，我们需要考虑到每个离散点的顺序和相互之间的距离。
这个度量方法的优势在于它考虑到了曲线的形状和拓扑结构。
相比于其他常见的曲线相似度度量方法，离散Fréchet距离更能反映曲线之间的整体相似度，而不仅仅是局部特征。
离散Fréchet距离在很多领域都有广泛的应用。
例如，在地理信息系统中，它可以用于比较地图路径的相似程度。
在生物信息学领域，它可以用于比较DNA或蛋白质序列的相似性。
而在计算机图形学中，它则可用于比较曲线或轮廓的相似度。
了解离散Fréchet距离的概念和应用，在实践中具有重要意义。
通过掌握这个度量方法，我们可以更好地理解和评估曲线之间的相似度。
这将有助于我们在各个领域中进行更精确的曲线分析和比较，从而提高我们对数据和信息的理解与利用能力。
总之，离散Fréchet距离在曲线相似度评价中扮演着重要的角色。
它不仅能够全面地考虑曲线形状和拓扑结构，还具有广泛的应用领域。
深入理解和应用离散Fréchet距离，将有助于我们进行更准确和全面的曲线分析和比较。
离散fréchet(弗雷歇) 距离评价曲线相似度
离散fréchet(弗雷歇) 距离评价曲线相似度1.离散Fréchet (弗雷歇)距离是一种评价曲线相似度的方法。
2.它可以度量两条离散曲线之间的相似性。
3.弗雷歇距离考虑了曲线形状和顺序的一致性。
4.这种距离度量方法可以应用于很多领域，例如图形识别和时间序列分析。
5.利用离散Fréchet距离，我们可以比较两个曲线是否相似。
6.它可以帮助我们找到最相似的曲线或者确定曲线之间的差异。
7.在物体形状匹配中，离散Fréchet距离可以用于比较不同物体的形状相似度。
8.通过计算离散Fréchet距离，我们可以量化两个曲线的差异。
9.这种评价方法可以帮助我们识别图形或者模式之间的差异。
10.离散Fréchet距离的计算需要考虑路径的多样性和相互匹配的方式。
11.它可以通过考虑距离度量和路径优化来得到更准确的结果。
12.离散Fréchet距离的应用涉及到对曲线形状进行比较和匹配的问题。
13.在路径规划中，离散Fréchet距离可以用于衡量不同路径规划方案的相似性。
14.离散Fréchet距离的计算复杂度取决于曲线的长度和采样点的个数。
15.它可以在离散曲线处理中作为一个重要的工具和度量标准。
16.离散Fréchet距离可以用于评价曲线的相似度，以提供有关曲线形状的信息。
17.通过计算离散Fréchet距离，我们可以得到曲线之间的相似性分数，用以衡量它们的相似程度。
18.这种距离度量方法可以用于模式识别和数据挖掘领域中的曲线分析。
19.离散Fréchet距离可用于匹配不完全对齐的曲线，以提供更准确的比较结果。
20.利用离散Fréchet距离，我们可以根据曲线的形状特征来识别和分类不同的曲线。
21.离散Fréchet距离的研究为曲线相似度评价提供了一种有效的方法。
计算机仿真技术基础第4章连续系统模型的离散化处理方法
1 S2
Z 1 TZ
Z • Z 12
T Y(Z) Z 1 U(Z)
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) y(n) Tu(n)
２）选用一阶保持器
Gh ( S )
T 1 TS 1
e TS S
2
离散化传递函数 G(Z ) Gh(S )G(S )
T
1
TS
1
e TS S
2
1
S
Y CX DU
t
状态方程的解 X (t) (t)X (0) (t )Bu( )d
采用零阶保持器对状态空间表达0式进行离散化处
理
u(t )
u(k )
零阶 保持器
u~(k )
x Ax Bu
x
~x
对e A于T X连(K续T解)
eX A( t()K1)T( tX) X(0(0))
t
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的
映射关系是：
Z
eTs
或
s 1 ln Z T
其中Ｔ是采样周期
若直接将这个映射关系代入Ｇ(S)得到G(Z)将 会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变 换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似 的离散模型。
4.1.1 简单替换法
由幂级数展开式：
eTx 1 Tx (Tx)2 (Tx)n
y(n 1) y(n) T [u(n 1) u(n)] 2
4.2 离散相似法
4.2.1 离散相似法的概念
离散相似法将连续系统模型处理成与之等效 的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型， 使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相 似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过 具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之 与连续系统等效。
连续函数离散化
连续函数离散化 Prepared on 22 November 2020连续函数离散化替换法传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，连续系统为Ｓ域的传递函数G(S)，离散系统为Ｚ域的脉冲传递函数G(Z)。
替换法的基本思想：对给定的连续系统模型G(S)，设法找到Ｓ域到Ｚ域的某种映射关系，将Ｓ域的变量映射到Ｚ平面上，由此得到与连续系统G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数G(Z)。
然后，再由G(Z)通过Ｚ反变换得到系统的时域离散模型——差分方程，从而快速求解。
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的映射关系是：Ts e Z =或Z Ts ln 1= 其中Ｔ是采样周期若直接将这个映射关系代入G(S)得到G(Z)将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似的离散模型。
简单替换法由幂级数展开式： +++++=!!212n x x x e nx取近似式：Ts e Z Ts +≈=1或：TZ s 1-= 用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是简单替换法，又称Euler 法。
例：二阶连续系统s s s U s Y s G 50400)()()(2+==，001.0=T 解：简单替换法TZ s 1-=代入G(s) 001.0=T 代入双线性替换法 取近似式：2121Ts Tse Z Ts -+==或)1()1(2+-=Z T Z s 用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是双线性替换法，又称Tustin 变换。
相当于数值积分法中的梯形法，有较好的性能。
例：二阶连续系统ss s U s Y s G 50400)()()(2+==，001.0=T 用双线性替换法建立差分方程。
解：双线性替换：)1()1(2+-=z T z s 代入G(s) 001.0=T 代入域离散相似法离散相似法将连续系统模型处理成与之等效的离散模型的一种方法。
设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相似。
控制系统仿真复习题及答案
《控制系统仿真》复习题及参考答案1绪论1.1什么是仿真？它所遵循的基本原则是什么？答：仿真是建立在控制理论，相似理论，信息处理技术和计算技术等理论基础之上的，以计算机和其他专用物理效应设备为工具，利用系统模型对真实或假想的系统进行试验，并借助专家经验知识，统计数据和信息资料对试验结果进行分析和研究，进而做出决策的一门综合性的试验性科学。
它所遵循的基本原则是相似原理。
1.2在系统分析与设计中仿真法与解析法有何区别？各有什么特点？答：解析法就是运用已掌握的理论知识对控制系统进行理论上的分析，计算。
它是一种纯物理意义上的实验分析方法，在对系统的认识过程中具有普遍意义。
由于受到理论的不完善性以及对事物认识的不全面性等因素的影响，其应用往往有很大局限性。
仿真法基于相似原理，是在模型上所进行的系统性能分析与研究的实验方法。
1.3数字仿真包括那几个要素？其关系如何？答: 通常情况下，数字仿真实验包括三个基本要素，即实际系统，数学模型与计算机。
将实际系统抽象为数学模型，称之为一次模型化，它还涉及到系统辨识技术问题，统称为建模问题；将数学模型转化为可在计算机上运行的仿真模型，称之为二次模型化，这涉及到仿真技术问题，统称为仿真实验。
虽然两者有十分密切的联系，但仍有区别。
系统建模或系统辨识是研究实际系统与数学模型之间的关系，而系统仿真技术则是研究系统数学模型与计算机之间的关系。
结果分析建立仿真模型图1.1 计算机仿真三要素关系图1.4为什么说模拟仿真较数字仿真精度低？其优点如何？。
答：由于受到电路元件精度的制约和容易受到外界的干扰，模拟仿真较数字仿真精度低但模拟仿真具有如下优点：（1）描述连续的物理系统的动态过程比较自然和逼真。
（2）仿真速度极快，失真小，结果可信度高。
（3）能快速求解微分方程。
模拟计算机运行时各运算器是并行工作的，模拟机的解题速度与原系统的复杂程度无关。
（4）可以灵活设置仿真试验的时间标尺，既可以进行实时仿真，也可以进行非实时仿真。
零阶保持器
从频域看是把由于采样离散化而产生的高频分量 滤去，而将采样函数的离散频谱恢复成连续函数的主 频谱分量。
连续系统离散化过程
信号重构器不是理想的滤波器会给信号带来幅 值的衰减和相位的延迟，故：
用Z变换方法求脉冲传递函数
Gz
Y U
z z
Z
Gh
s
Gs
若G(s)=k
s a
，采用零阶保持器，则Gh
s
1
eTs s
Gz
Z
1
esT s
s
k
a
z
1 z
Z
k
ss
a
z
1 z
Z
k a
1 s
s
1
a
k a
z
1 z
z
z 1
z
z eaT
Байду номын сангаас
k 1 eaT a z eaT
利用Z逆变换求得其差分方程模型：
t
X t tx0 t BU d
其中
0
t eAt L1 sI A 1
求通解的方法2：
通过展开 d eAtxt 求 xt 的通解： dt
d eAt xt AeAt xt eAt xt eAt Axt xt eAt But
dt
上式两边从 t0到 t 积分可得
t
eAt xt eAt0 xt0 eA Bu d
1 s2
eTs
由Z变换的线性性质和位移定理可得
Gz
Tz
z 12
1 z
时域分析方法总结
时域分析方法总结引言时域分析是信号处理领域中常用的一种方法，它的核心思想是对信号在时间上进行观察和分析，从而获取有关信号的时序特征和动态行为。
本文将对时域分析的基本概念和常用方法进行总结和介绍。
时域分析的基本概念时域分析主要依赖于时域信号，即信号在时间轴上的变化。
时域信号是连续的，可以通过采样来离散表示。
常见的时域信号包括周期信号、非周期信号以及随机信号等。
时域分析的目的是通过观察和分析信号在时间上的变化，揭示信号的特征和规律。
常用的时域分析方法1. 时域波形分析时域波形分析是最直观和基本的时域分析方法。
它通过观察信号的波形，分析信号的振幅、频率、周期和相位等特征。
常用的时域波形分析方法包括均方根(RMS) 分析、极值分析和傅里叶级数分析等。
这些方法适用于周期信号和非周期信号的分析。
2. 自相关函数分析自相关函数是用于描述信号与其自身之间的相关性的函数。
自相关函数分析能够揭示信号中的周期性成分和重复模式。
通过计算信号与其延迟后的版本之间的相关性，可以获得自相关函数。
自相关函数分析常用于随机信号的分析和模式识别任务。
3. 相位谱分析相位谱分析是用于分析信号的频率和相位关系的方法。
它通过将信号转换为频域表示，获得信号的频谱信息。
相位谱分析基于信号的频域特性，可以帮助人们理解信号的相位信息、频率成分以及相位偏移等。
常用的相位谱分析方法包括快速傅里叶变换 (FFT) 和功率谱密度分析。
4. 瞬态响应分析瞬态响应分析是用于分析信号对于外部激励的瞬时响应情况。
它通过分析信号在时域上的变化来了解系统的动态行为。
瞬态响应分析常用于分析系统的响应时间、准确性和稳定性等性能指标。
常用的瞬态响应分析方法包括阶跃响应分析和脉冲响应分析。
应用场景时域分析方法在多个领域中都有广泛的应用，包括信号处理、通信、控制系统、生物医学工程等。
时域分析方法可以帮助人们深入了解信号的特性和行为，并根据分析结果进行系统设计、故障诊断、模式识别等工作。
连续系统模型的离散化处理方法
计算各环节输出量
打印间隔到否 N
打印Yn+1 计算次数到否 N
结束
*
31
五、离散相似模型的精度与稳定性
离散相似模型只能等效于原来的连续系统 其精度受采样周期和信号重构器性能的影响 信号重构器存在一定程度的幅值减小和相位
滞后 在离散化后，模型精度变差，可能不稳定。
*
32
1 采样周期对精度的影响
Tmin—系统中反应最快的那个闭环子系统的 最小时间常数
*
34
2 信号重构器对仿真模型精度的影响
加入一个理想滤波器,保留输入信号主频段,滤 掉附加的频谱分量,不失真
理想滤波器不存在,一般用零阶、一阶、三角 保持器来近似
3 离散相似模型的稳定性
稳定性不及双线性替换法，Ts或信号重构器 选择不当，离散模型的稳定性变差
*
22
离散模型
C 惯性环节
*
23
D 超前-滞后环节
*
24
四、采用离散化模型的系统仿真
把各个环节有机地连接起来。 1 连接矩阵（面向结构图）
1
2
-
-
4
6
5
3 -
a
*
25
*
26
*
27
连接方程
U=w yK U—输入向量 YK—输出向量 W—连接矩阵
*
28
2 仿真计算过程
基本计算单元：各环节的离散化模型
两种形式：传递函数的离散化相似处理— 离散传递函数；连续状态方程的离散相似 处理—离散化状态方程
*
11
二、Z域离散相似方法
1 基本方法
*
12
Z反变换得差分模型
*
连续函数离散化
连续函数离散化1.1替换法传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，连续系统为Ｓ域的传递函数G(S)，离散系统为Ｚ域的脉冲传递函数G(Z)。
替换法的基本思想：对给定的连续系统模型G(S) ，设法找到Ｓ域到Ｚ域的某种映射关系，将Ｓ域的变量映射到Ｚ平面上，由此得到与连续系统G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数G(Z)。
然后，再由G(Z)通过Ｚ反变换得到系统的时域离散模型——差分方程，从而快速求解。
G(S) G(Z) 差分方程根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的映射关系是：Ts e Z =或Z Ts ln 1=其中Ｔ是采样周期若直接将这个映射关系代入G(S)得到G(Z)将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似的离散模型。
1.1.1 简单替换法由幂级数展开式： +++++=!!212n x x x e nx+++++==!)(!2)(12n Ts Ts Ts e Z nTs取近似式：Ts e Z Ts +≈=1 或：TZ s 1-=用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是简单替换法，又称Euler 法。
例：二阶连续系统ss s U s Y s G 50400)()()(2+==，001.0=T 解：简单替换法TZ s 1-=代入G(s) )()(501)250(400)1(50)1(400)(2222z U z Y T z T z T T z T z z G =-+-+=-+-=)(400)()501()()250()(22z U T z Y T z zY T z Y z =-+-+⇒ )(400)()501()()250()(2221z U z T z Y z T z Y z T z Y ---=-+-+⇒ )2(400)2()501()1()250()(2-+------=⇒k u T k y T k y T k y001.0=T 代入)2(104.0)2(95.0)1(95.1)(3--⋅+---=k u k y k y k y 1.1.2 双线性替换法+-++-+-+++++===---!)2/(!2)2/(21!)2/(!2)2/(21222/2/)2(2k Ts Ts Ts k Ts Ts Ts ee e e k kTs Ts Ts Ts Ts 取近似式：2121Ts Ts e Z Ts -+==或)1()1(2+-=Z T Z s 用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是双线性替换法，又称Tustin 变换。
第四章数字相关和卷积运算Corr...
第四章 数字相关和卷积运算 （Correlation and Convolution ）在第三章我们已经介绍了相关函数的基本定义，相关可以从时域角度表现信号间的相似程度，可以用来作为滤波和识别分类手段。
卷积是线性时不变系统分析中基本的运算，也可以起到滤波的作用。
由于计算机的普及，总是用计算机来进行信号与系统的分析，所以这里我们只介绍数字相关和数字卷积。
第一节 线性相关（Linear Correlation）线性相关是相关的一种运算，这里的线性相关与医学统计中略有不同。
线性相关是讨论两信号之间的同步性（synchronism ）或相似性(similarity)或同相性(in-phase)或两信号的变化规律是否具有线性关系(linear relationship)或接近线性关系的程度。
这里还要给出相关函数(correlation Function)（在医学统计里一般是不给出的）和相关系数（correlation coefficient ）这两个相联系而又不同的概念。
设有离散信号和，其线性相关函数为：)(n x )(n y (4-1)∑+∞−∞=+=n xy m n y n x m r )()()(上式表示的相关运算，是两数字序列的对应项相乘再相加的运算。
式中m 表示位移量，m>0表示序列左移，m<0表示右移，不同的m 得到不同的值，如、、。
值大于0表示有同相成份存在，小于0表示有反相成分存在，等于0表示两序列正交或者相互独立。
线性相关运算的简洁表示为：)(n y )(m r xy )0(xy r )1(xy r )1(－xy r )(m r xy )()()(n y n x m r xy •= (4-2)式中 “·”表示线性相关运算符（correlation operator ）。
当和完全相等时(4-1)，(4-2)就由互相关函数变成自相关函数了。
)(n x )(n y 对应式(4-1)，令k ＝m ＋n ，则n ＝k －m ，得：∑+∞−∞=−=k xy k y m k x m r )()()( (4-3)上式表示左移，相当于右移，(4-1) 与(4-3)是完全等效的。
控制系统仿真课程时域离散化模型推导中的教学探讨
作者： 王晓玲[1];肖敏[1]
作者机构： [1]南京邮电大学自动化学院人工智能学院,江苏南京210003
出版物刊名： 学周刊
页码： 7-8页
年卷期： 2020年 第27期
主题词： 控制系统仿真;线性时不变系统;时域离散相似算法;教学探讨
摘要：时域离散相似算法是连续系统仿真的常用方法,该算法具有计算量小、稳定性好、允许采样较大的步长等优点,因而是线性时不变系统中广泛应用的一种仿真算法。
教材中给出的时域离散化模型的推导是基于拉普拉斯变换和拉普拉斯反变换的,学生理解起来相对困难。
针对这一教学问题,文章将常数变易法引入时域离散化模型的推导中来,辅助时域离散化模型推导的教学,从而提高教学效率和教学质量。
连续传递函数离散化的方法与原理
目录第一章模拟化设计基础 1 第一节步骤 1 第二节在MATLAB中离散化 3 第三节延时e-Ts环节的处理 5 第四节控制函数分类 6 第二章离散化算法10 摘要10 比较11 第一节冲击响应不变法(imp,无保持器直接z变换法) 11 第二节阶跃响应不变法(zoh,零阶保持器z变换法) 11 第三节斜坡响应不变法(foh,一阶保持器z变换法) 11 第四节后向差分近似法12 第五节前向差分近似法14 第六节双线性近似法(tustin) 15 第七节预畸双线性法(prevarp) 17 第八节零极点匹配法(matched) 18 第三章时域化算法19 第一节直接算法1—双中间变量向后递推19 第二节直接算法2—双中间变量向前递推20 第三节直接算法3—单中间变量向后递推21 第四节直接算法4—单中间变量向前递推(简约快速算法) 21 第五节串联算法22 第六节并联算法23 第四章数字PID控制算法24 第一节微分方程和差分方程25 第二节不完全微分25 第三节参数选择26 第四节c51框架27 第五章保持器33 第一节零阶保持器33 第二节一阶保持器30 附录两种一阶离散化方法的结果的比较31第一章 模拟化设计基础数字控制系统的设计有两条道路，一是模拟化设计，一是直接数字设计。
如果已经有成熟的模拟控制器，可以节省很多时间和部分试验费用，只要将模拟控制器离散化即可投入应用。
如果模拟控制器还不存在，可以利用已有的模拟系统的设计经验，先设计出模拟控制器，再进行离散化。
将模拟控制器离散化，如果用手工进行，计算量比较大。
借助数学软件MATLAB 控制工具箱，可以轻松地完成所需要的全部计算步骤。
如果需要的话，还可以使用MATLAB 的SIMULINK 工具箱，进行模拟仿真。
第一节 步骤步骤1 模拟控制器的处理在数字控制系统中，总是有传输特性为零阶保持器的数模转换器（DAC ），因此，如果模拟控制器尚未设计，则应以下图的方式设计模拟控制器，即在对象前面加上一个零阶保持器，形成一个新对象Ts 1e G s s ()--，然后针对这个新对象求模拟控制器D(s)。
离散互相关公式
离散互相关公式离散互相关公式是信号处理中常用的一种数学工具，用于分析信号之间的相似性和相关性。
本文将从离散互相关公式的定义、计算方法、应用等方面进行阐述。
一、离散互相关公式的定义离散互相关公式是指两个离散信号之间的互相关函数，通常用符号R(k)表示。
其中，k为时间滞后，R(k)表示信号x(n)和y(n-k)之间的相似性，即：R(k) = Σx(n)*y(n-k)其中，n为离散时间点，Σ表示对所有n的取值进行求和。
离散互相关公式的计算方法包括直接计算法和快速傅里叶变换法。
1. 直接计算法直接计算法是指直接按照互相关公式进行计算，并将结果存储在一个数组中。
该方法的计算时间复杂度为O(N^2)，当信号长度较大时，计算时间会非常耗时。
2. 快速傅里叶变换法快速傅里叶变换法是指将信号通过傅里叶变换转换为频域信号，然后在频域进行计算。
该方法的计算时间复杂度为O(N*log2(N))，比直接计算法更快速和高效。
三、离散互相关公式的应用离散互相关公式广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
下面将介绍几个典型的应用场景。
1. 信号匹配离散互相关公式可以用于信号匹配，即找到两个信号之间的相似性。
例如，在语音识别领域中，我们可以将语音信号与语料库中的参考信号进行匹配，从而实现语音识别。
2. 图像匹配离散互相关公式也可以用于图像匹配。
例如，在图像识别领域中，我们可以将图像与模板进行匹配，从而实现图像识别。
3. 声音增强离散互相关公式可以用于声音增强。
例如，在语音通信领域中，我们可以将信号与噪声进行互相关，从而消除噪声，提高音质。
四、总结离散互相关公式是信号处理中常用的一种数学工具，用于分析信号之间的相似性和相关性。
本文从离散互相关公式的定义、计算方法、应用等方面进行了阐述。
在实际应用中，我们可以根据具体场景选择适合的计算方法，并结合其他算法进行综合应用，从而实现更加高效、准确的信号处理。
第4章 稳定性与Lyapunov方法
4.1.1 系统的平衡点
系统（4-1-1）的解记为 x = Φ (t ; x0 , t 0 ) ，构成 R 线性空间中的一个运动轨迹。
n
【定义 4.1.1】称 xe 是系统（4-1-1）的一个平衡点，如果 f ( xe , t ) = 0, ∀t ≥ t 0 。 一个系统可以没有平衡点，一个平衡点或多个平衡点。非线性系统的平衡点一般比较复杂，
4.1 稳定性的定义
根据考查变量的不同，系统的稳定性有不同的定义，有 Lyapunov 稳定性，输入输出稳定型， 甚至输入到状态的稳定性[3]。 Lyapunov 稳定性是内部稳定性，是根据内部状态变量的运动性质来定义的稳定性。 输入输出稳定性是外部稳定性，根据输入输出的性质来定义。输入输出稳定性的定义和判断 涉及到信号的量度，在文献[2][4]中有详细介绍。本章重点介绍 Lyapunov 稳定性，对于输入输出 稳定性只介绍其定义和简单的结论。 Lyapunov 稳定性指的是如下的自治系统在某个平衡点（Equilibrium Point）处的稳定性。
δ (ε , t 0 ) > 0 ，使得 x0 − x e ≤ δ (ε , t 0 ) ，有 x(t ) − x e ≤ ε , ∀t ≥ t 0 。
如果 δ 只与 ε 相关，而与 t 0 无关，则称系统是一致稳定的。时不变系统是一致稳定的，时变 系统则一般不是一致稳定的。 Lyapunov 稳定的意义是：对于某个有界的初始状态，从初始状态出发的轨迹也是有界的。但 轨迹最终不一定落到平衡点。
x − xe =
∑ (x
i =1
n
i
− x ei ) 2
xe 的 ε 邻域（球域） s (ε ) 定义为点集
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T e , GT e
AT 0
T
AT t
Bdt
Z域离散相似法
Y z Gz Z Gh s Gs U z
Z反变换求时 域差分模型
1 e Gh s s
Ts
简单替换法与双线性替换法
z 1 s T
题１：
2 z 1 s T z 1
第四章 小结
基本概念
零阶保持器能够无失真地恢复阶跃信号；一阶信号 重构器能够无失真地恢复斜坡信号 。
1
2 离散相似法的精度决定于 采样周期 和 信号重构器。
3 若连续系统G(s)是稳定的，则由简单替换法得到的 G(z)是 条件稳定 的，由双线性替换法得到的基本思想：
1
G( s )
s
2
3s 2
题２：已知一个连续系统的传递函数为：
K G(s) K 1 sa
求：（1）采用双线性替换法，推导其差分方程； （2）采用时域离散相似法，推导其差分方程。
题３
以积分环节为例，证明双线性替换法实质上 为改进欧拉法。
1 G(S ) S
题４ 用时域离散相似法，求系统的差分方程．
k G(S ) S ( s a)
对于给定的传递函数 Gs ，设法找到S 域到Z 域的 某种映射关系，将S 域的变量映射到Z平面上，得 到与连续系统传递函数 Gs 相对应的离散传函 。 进而求得系统的时域离散模型－－差分方程。 Gz
5 根匹配法的基本思想 用根匹配法所构造的离散传函G(Z)其零点、极 点同G(s)相匹配，并且二者具有相同的稳态响应值。
计算题
1 掌握替换法与双线性替换法的离散方法。 2 掌握时域离散相似法与Z域离散相似法公式和计算。 3 掌握典型环节的离散状态方程。
A X Bu x Y CX D u
X [ (K+1)T]=(T) X (KT) + G(T) u(KT) Y（KT）=C X（KT）+D u（KT）