2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)RH

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）

一、解答题

1．在半径为r的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.

解：设圆柱体的高为h,

，

2

23

π

ππ

4

V h r h h

=⋅=-

令0

V'=,

得.

h=

时，其体积为最大.

2．若2

lim

n

n

n U

→∞

存在，证明：级数

1

n

n

U

∞

=

∑收敛．

证：∵2

lim

n

n

n U

→∞

存在，∴∃M>0，使|n2U n|≤M，

即n2|U n|≤M，|U n|≤

2

M

n

而

2

1

n

M

n

∞

=

∑收敛，故

1

n

n

U

∞

=

∑绝对收敛．

3．判定下列级数的敛散性：

(1)

1

n

∞

=

∑；

(2)

()() 1111

1661111165451

n n

+++++⋅⋅⋅-+

；

(3) ()

23

1

3

3

2222

1

3333

n

n

n

-

-+-++

-；

(4)

1

5

5

n

++

+++；

解：

(1) (1

1

n

S n

=++++

=

从而lim

n

n

S

→∞

=+∞，故级数发散．

(2) 111111111566111116

5451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝

⎭

⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15

． (3)此级数为23q =-

的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散． 4．求正弦交流电0i I sin t ω=经过半波整流后得到电流

0πsin ,0π2π0,I t t i t ωωωω⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩

的平均值和有效值。

解：ππ2π00π0

0021sin d 0d cos ππππI I i I t t t t ωωωωωω

ωωωω⎡⎤=+

==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 有效值 I =2ππ2π2222π000π2220001()d ()d ()d ()d 2π2πsin d 2π4

T i t t i t t i t t i t t T I I t t ωωωωωωωωω

⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰⎰ 故有效值为 02

I I =.

5．设有一半径为R ，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m 的质点，试求细棒对该质点的引力。

解：如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段d s 对质点N 的引力的近似值即为引力元素

（图22）