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2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求曲线x =a cos 3t ，y = a sin 3t 在t =t 0处的曲率.解： 22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d y y a t tt t x x a t t t===--， 22224d d d(tan )1sec 1(tan )d d d d 3cos sin 3sin cos d y t t t x x x ta t t a t t t--=-=⋅==-，故 423/2123sin cos [1(tan )]3sin 2a t t k t a t==+- 且当t =t 0时， 023sin 2k a t =.2．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)1+； (2)()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑；(3) 2341111111153535353⋅-⋅+⋅-⋅+；(4)()21121!n n n n ∞-=-∑；(5)()()1111n n R n αα∞-=∈-∑；(6) ()11111123nn nn ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑．解：(1)()11n n U -=-，级数1nn U ∞=∑>，0n =，由莱布尼茨判别法级数收敛，又11121nn n Un∞∞===∑∑是P <1的P 级数，所以1nn U∞=∑发散，故原级数条件收敛． (2)()()111ln 1n n U n -=-+，()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数，且()()11ln ln 12n n >++，()1lim0ln 1n n →∞=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()11ln 11n U n n =≥++所以，1nn U∞=∑发散，所以原级数条件收敛．(3)()11153n n nU -=-⋅民，显然1111115353n n n n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑，而113n n ∞=∑是收敛的等比级数，故1nn U∞=∑收敛，所以原级数绝对收敛．(4)因为2112lim lim 1n n n n nU U n ++→∞→∞==+∞+．故可得1n n U U +>，得lim 0n n U →∞≠，∴lim 0n n U →∞≠，原级数发散．(5)当α>1时，由级数11n n α∞=∑收敛得原级数绝对收敛．当0<α≤1时，交错级数()1111n n n α∞-=-∑满足条件：()111n n αα>+；1lim 0n n α→∞=，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时()111111n n n nn αα∞∞-===-∑∑发散，所以原级数条件收敛．当α≤0时，lim 0n n U →∞≠，所以原级数发散．(6)由于11111123n nn ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭ 而11n n∞=∑发散，由此较审敛法知级数 ()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑发散．记1111123n U nn ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭，则 ()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +>又01111lim lim12311d n n n n U n n x n x→∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰ 由0111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰ 知lim 0n n U →∞=，由莱布尼茨判别法，原级数()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑收敛，而且是条件收敛．3．用根值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 1531nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑； (2)()[]11ln 1nn n ∞=+∑；(3) 21131n n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑；(4) 1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中a n →a （n →∞），a n ，b ，a 均为正数．解：(1)55lim1313n n n n →∞==>+，故原级数发散．(2) ()1lim01ln 1n n n →∞==<+，故原级数收敛． (3)121lim1931nn n n n -→∞⎛⎫==<⎪-⎝⎭，故原级数收敛．(4) lim limn n nb b a a →∞==，当b <a 时，b a <1，原级数收敛；当b >a 时，b a >1，原级数发散；当b =a 时，ba=1，无法判定其敛散性．4．求正弦交流电0i I sin t ω=经过半波整流后得到电流0πsin ,0π2π0,I t t i t ωωωω⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩的平均值和有效值。

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2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．一点沿对数螺线e a r ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解：d d de e .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=2．某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期．解：投资20年中总收入的现值为205%5%2001200800e d (1e )5%400(1e )2528.4 ()t y t --⋅-==-=-=⎰万元纯收入现值为R =y －800=2528.4－800=1728.4(万元) 收回投资，即为总收入的现值等于投资, 故有5%200(1e )8005%12005ln =20ln =4.46 ().5%2008005%4T T -⋅-==-⨯年3．求下列函数在[－a ，a ]上的平均值：(1)()f x =解：200111π1.arcsin 2422aa a a x y x x a a a a -⎡====+⎢⎣⎰⎰ (2) 2().f x x =解：2223001111d d .233aa a a a y x x x x x a a a -⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰4．用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：22π11(1)sin d x x x+∞⎰; 解：原式=22ππ1111lim sin d lim coslim cos1.b bb b b x bx x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰2d (2);22xx x +∞-∞++⎰解：原式=02200d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭ 0(3)e d n x x x +∞-⎰(n 为正整数)解：原式=10e d deen x n xn xn x x x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰100e d !e d !n x x n x x n x n +∞+∞---=+===⎰⎰(4)(0)a a >⎰;解：原式=00000πlim lim arcsin lim arcsin .12a a xa a εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;解：原式=()e e 0110πlim arcsin(ln )lim lim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰1(6)⎰.解：原式=110+⎰22122111202lim 2lim πππlim lim 2222π.424εεεεε++-→→→→=+⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰5．计算下列积分（n 为正整数）：（1）1;n x ⎰解：令sin x t =,d cos d x t t =, 当x =0时t =0，当x =1时t=π2, ππ12200sin cos d sin d cos n n n tx t t t t t==⎰⎰⎰由第四章第五节例8知11331π, 24221342, 253n n n n n n x n n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰为偶数, 为奇数.(2)π240tan d .n x x ⎰解：πππ2(1)22(1)22(1)44400π2(1)411tantan d tansec d tan d 1tan d tan 21n n n n n n n I x x x x x x x xx x I I n ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰由递推公式 1121n n I I n -+=-可得 111(1)(1)[(1)].43521n nn I n π--=---+-+-6．证明下列等式：2321(1)()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正常数)；证明：左222222000111()d()()d ()d 222a a a x t x f x x tf t t xf x x ====⎰⎰⎰ 令右所以，等式成立. (2)若()[,]f x C a b ∈，则ππ220(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰.证明：左πππ0222π02(cos )(d )(cos )d (cos )d x tf t t f t t f x x =--==⎰⎰⎰令.所以，等式成立.7．求不定积分max(1,)d x x ⎰.解： ,1max(1,)1,11,1x x x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩故原式=212231,12,111,12x c x x c x x c x ⎧-+<-⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩又由函数的连续性，可知：213111,1,2c c c c c c =+=+= 所以 221,121max(1,)d ,11211,12x c x x x c x x x c x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪++>⎪⎩⎰8．a , b , c 取何实数值才能使201lim sin x bx t c x ax →=-⎰ 成立.解：因为0x →时，sin 0x ax -→而该极限又存在，故b =0.用洛必达法则，有220000,1,lim lim 2cos cos lim 2, 1.sin x x x a x x x x a x a a x→→→≠⎧⎪==⎨--=-=⎪-⎩ 所以 1,0,2a b c ===- 或 1,0,0a b c ≠==.9．问a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解：y′=3ax 2+2bx , y″=6ax +2b 依题意有3620a b a b +=⎧⎨+=⎩解得 39,22a b =-=.10．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：32(1) 535y x x x =-++；解：23103y x x '=-+610y x ''=-，令0y ''=可得53x =. 当53x <时，0y ''<，故曲线在5(,)3-∞内是凸弧；当53x >时，0y ''>，故曲线在5[,)3+∞内是凹弧. 因此520,327⎛⎫⎪⎝⎭是曲线的唯一拐点.(2) e xy x -=；解：(1)e , e (2)x xy x y x --'''=-=- 令0y ''=，得x =2当x >2时，0y ''>，即曲线在[2,)+∞内是凹的；当x <2时，0y ''<，即曲线在(,2]-∞内是凸的. 因此(2，2e －2)为唯一的拐点.4(3) (1)e x y x =++；解：324(1)e , e 12(1)0xxy x y x '''=++=++> 故函数的图形在(,)-∞+∞内是凹的，没有拐点. (4) y =ln (x 2+1)；解：222222(1), 1(1)x x y y x x -'''==++ 令0y ''=得x =－1或x =1.当－1<x <1时，0y ''>，即曲线在[－1，1]内是凹的.当x >1或x <－1时，0y ''<，即在(,1],[1,)-∞-+∞内曲线是凸的. 因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2).arctan (5) e x y =；解：arctan arctan 222112e ,e 1(1)x xx y y x x -'''==++ 令0y ''=得12x =. 当12x >时，0y ''<，即曲线在1[,)2+∞内是凸的；当12x <时，0y ''>，即曲线在1(,]2-∞内是凹的，故有唯一拐点1arctan 21(,e)2. (6) y =x 4(12ln x －7).解：函数y 的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.324(12ln 4),144ln .y x x y x x '''=-=令0y ''=，在(0，+∞)，得x =1.当x >1时，0y ''>，即曲线在[1,)+∞内是凹的; 当0<x <1时，0y ''<，即曲线在(0，1]内是凸的，故有唯一拐点(1，－7).11．判定下列曲线的凹凸性： (1) y =4x －x 2；解：42,20y x y '''=-=-<，故知曲线在(,)-∞+∞内的图形是凸的. (2) sin(h )y x =；解：cosh ,sinh .y x y x '''==由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ''>，当(,0)x ∈-∞时，0y ''<，故y =sinh x 的曲线图形在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的.1(3) (0)y x x x=+> ；解：23121,0y y x x '''=-=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的. (4) y =x arctan x . 解：2arctan 1xy x x '=++，2220(1)y x ''=>+ 故曲线图形在(,)-∞+∞内是凹的.12．求下列函数的最大值、最小值：254(1) (), (,0)f x x x x=-∈-∞；解：y 的定义域为(,0)-∞，322(27)0x y x+'==，得唯一驻点x =－3 且当(,3]x ∈-∞-时，0y '<，y 单调递减；当[3,0)x ∈-时，0y '>，y 单调递增,因此x =－3为y 的最小值点，最小值为f (－3)=27. 又lim ()x f x →-∞=+∞，故f (x )无最大值.(2) () [5,1]f x x x =+∈-；解：10y '==，在(5,1)-上得唯一驻点34x =，又 53,(1)1,(5)544y y y ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ,故函数()f x 在[－5，1]上的最大值为545. 42(3) 82, 13y x x x =-+-≤≤.解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x =0及x =2，而 y (－1)=－5， y (0)=2， y (2)=－14， y (3)=11, 故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14.13．确定下列函数的单调区间：(1) 3226187y x x x =---；解：所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导，且2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-可得函数的两个驻点：121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内，y '分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加，在[1,3]-内单调减少. (2) 82 (0)y x x x=+>；解: 函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x'=-，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y '<；在[2,)+∞内y '>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少.(3) ln(y x =；解: 函数定义域为(,)-∞+∞，0y '=>,故函数在(,)-∞+∞上单调增加.(4) 3(1)(1)y x x =-+；解: 函数定义域为(,)-∞+∞,22(1)(21)y x x '=+-，则函数有驻点: 11,2x x =-=,在1(,]2-∞内， 0y '<，函数单调减少；在1[,)2+∞内， 0y '>，函数单调增加.(5) e (0,0)n xy x n x -=>≥；解: 函数定义域为[0,)+∞，11e e e ()n xn x x n y nxx x n x -----'=-=-函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y '>，函数单调增加；在[,]n +∞上0y '<，函数单调减少.(6) sin 2y x x =+；解: 函数定义域为(,)-∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪-∈-∈⎪⎩Z Z 1) 当π[π,π]2x n n ∈+时， 12cos 2y x '=+，则1π0cos 2[π,π]23y x x n n '≥⇔≥-⇔∈+； πππ0cos 2[π,π]232y x x n n '≤⇔≤-⇔∈++. 2) 当π[π,π]2x n n ∈-时， 12cos 2y x '=-，则 1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n '≥⇔≤⇔∈--1π0cos 2[π,π]26y x x n n '≤⇔≥⇔∈-. 综上所述，函数单调增加区间为πππ[,] ()223k k k z +∈，函数单调减少区间为ππππ[,] ()2322k k k z ++∈. (7) 54(2)(21)y x x =-+. 解: 函数定义域为(,)-∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x '=-++-+⋅=+--函数驻点为123111,,2218x x x =-==, 在1(,]2+∞-内， 0y '>,函数单调增加，在111[,]218-上， 0y '<,函数单调减少，在11[,2]18上， 0y '>,函数单调增加，在[2,)+∞内， 0y '>,函数单调增加.故函数的单调区间为: 1(,]2-∞-，111[,]218-，11[,)18+∞.14．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间： (1)f (x ) = ln(2+x )； (2)f (x ) = cos 2x ； (3)f (x )=(1+x )ln(1+x )； (4)()2f x =；(5)()23xf x x =+； (6)()()1e e 2x xf x -=-；解：(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111nnn x x n ∞==+-+∑，(-1<x ≤1)故()()110ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑，(-2≤x ≤2) 因此()()()11ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑，(-2≤x ≤2) (2)()21cos 2cos 2x f x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑，(-∞<x <+∞)得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑ 所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑，(-∞<x <+∞) (3)f (x ) = (1+x )ln(1+x ) 由()()()1ln 111n nn x x n +∞==+-+∑，(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()1120111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()22f x x ==()()()21!!2111!!2n n n n x n ∞=-=+-∑ (-1≤x ≤1) 故()()()()221!!2111!!2n n n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑ ()()()()2211!!211!!2nn n n x x n ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)(5)()()()(220211131313313nn n n nn n x f x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑，x ∈(-∞,+∞)得()01e!n nxn x n ∞-=⋅-=∑，x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑15．设生产q 件产品的总成本C (q )由下式给出：C (q )=0.01q 3－0.6q 2+13q .(1)设每件产品的价格为7元，企业的最大利润是多少？(2)当固定生产水平为34件时，若每件价格每提高1元时少卖出2件，问是否应该提高价格？如果是，价格应该提高多少？解：(1) 利润函数为32322()70.010.6130.010.66()0.03 1.26L q q q q q q q q L q q q =-+-=-+-'=-+-令()0L q '=，得 231206000q q -+= 即 2402000q q -+=得20q =-(舍去) 2034.q =+≈此时， 32(34)0.01340.63463496.56L =-⨯+⨯-⨯=(元) (2)设价格提高x 元，此时利润函数为2()(7)(342)(34)220379.44L x x x C x x =+--=-++令()0L x '=, 得5x =(5)121.5696.56L =>故应该提高价格，且应提高5元.16．某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半). 解: 设年销售批数为x , 则准备费为103x ;又每批有产品610x 件,库存数为6102x 件,库存费为6100.052x ⨯元. 设总费用为,则63100.05102y x x⨯=+.17．求下列函数在0x x =处的三阶泰勒展开式： ⑴04);y x = ⑵ 0(1)ln (1).y x x x =-=解：⑴ 1357(4)222211315 , , ,.24816y x y x y x y x ----''''''==-==-所以113(4) , (4) ,(4)432256y y y ''''''==-=(4)7215[4(4)]16[4(4)]y x x θθ+-=-+-423721115(4)(4)(4)(4) (01).464512128[4(4)]x x x x x θθ----+--<<+-⑵ 2344ln(1)234(1)x x x x x x θ+=-+-+ 234434524(1)ln (1)ln[1(1)](1)(1)(1) (1){(1)}234[1(1)](1)(1)(1) (1).234[1(1)]y x x x x x x x x x x x x x x x θθ∴=-=-+----=---+-+----=--+-+-18．利用泰勒公式求下列极限：⑴ 30sin lim ;x x x x →- ⑵ tan 0e 1lim ;x x x →- (3) 21lim[ln(1)].x x x x →∞-+ 解：⑴ 34sin 0()3!x x x x =-+ 343300[0()]sin 13!lim lim 6x x x x x x x x x x →→--+-∴==⑵tan 2e 1tan 0(tan )x x x =++tan 200e 11tan 0(tan )1lim lim 1x x x x x x x→→-++-∴== (3) 令1x t=,当x →∞时，0t →，2222022011111lim[2ln(1)]lim[ln(1)]lim{[()]}21()1lim().22x t t t t x x t t o t x t t t t o t t →∞→∞→→-+=-+=--+=-=19．在括号内填入适当的函数，使等式成立： ⑴ d( )cos d t t =； ⑵ d( )sin d x x ω=; ⑶ 1d( )d 1x x=+； ⑷ 2d( )e d x x -=; ⑸d( )x =; ⑹ 2d( )sec 3d x x =； ⑺ 1d( )ln d x x x =; ⑻d( )x =. 解： ⑴(sint)cos t '=d(sin )cos d t C t t ∴+=.⑵11(cos )(sin )sin x x x ωωωωω'-=-⋅-=1d(cos )sin d x C x x ωωω∴-+=.⑶ 1[ln(1)]1x x'+=+ 1d[ln(1)]d 1x C x x∴++=+. ⑷ 22211(e )(2)e =e 22x x x ---'-=-⋅-221d(e )ed 2x x C x--∴-+=.⑸(2)2x '= )C x ∴=. ⑹2211(tan3)sec 33sec 333x x x '=⋅⋅=21d(tan3)sec 3d 3x C x x ∴+=.⑺ 21111(ln )2ln ln 22x x x x x'=⋅⋅=211d(ln )ln d 2x C x x x∴+=.⑻ 2(1(2)x x '--=-= d()C x ∴=.20．求下列函数的高阶导数： ⑴ e sin ,xy x =⋅求(4)y； ⑵ 22e ,x y x =⋅求(6)y；⑶ 2sin ,y x x =⋅求(80)y .解：⑴e sin e cos e (sin cos )x x xy x x x x '=⋅+⋅=+(4)e (sin cos )e (cos sin )2cos e 2e (cos sin )2e (cos sin )2e (sin cos )=4e sin x x x x x x x y x x x x x y x x y x x x x x''=++-=⋅'''=-=-+---⑵ 6(6)2(6)260(e )()ix i i i yC x -==∑ 22(6)22(5)22(4)622524222(e )6()(e )15()(e )2e 622e 1522e 32e (21215)x x x x x x x x x x x x x x '''=++=+⋅⋅+⋅⋅=++⑶ 80(80)2()(80)800()(sin )i i i i yC x x -==∑ 2(80)(79)(78)22(sin )802(sin )31602(sin )πππsin(80)+160sin (79)6320sin (78)222sin 160cos 6320sin .x x x x x x x x x x x x x x x =+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅++⋅=--21．求n 次多项式1101nn n n y a x a x a x a --=++++的n 阶导数.解： 1()()1()()()()0100()()()()=()=!n n n n n n n n n n n ya x a x a x a a x a n --=++++⋅22．已知e sin ,e cos ,ttx t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩求当π3t =时d d y x 的值. 解：d de cos e sin cos sin d d d e sin e cos sin cos d t t t t yy t t t tt x x t t t tt--===++π3ππcos sind 332ππd sin cos 33t y x =-==+.23．求函数11ln21xy x+=-的反函数()x y ϕ=的导数. 解：21[ln(1)ln(1)]2d 1111()d 2111y x x y x x x x =+--=+=+--故反函数的导数为：2d 11d d d x x yy x ==-.24．求下列函数的导数： ⑴ π3ln sin 7S t =+; 解：3S t '= ⑵y x =;解：12)y x x x '=+=+ ⑶ 2(1)sin (1sin )y x x x =-⋅⋅-; 解：222222sin (1sin )(1)cos (1sin )(1)sin (cos ) 2sin 2sin cos cos sin 2sin 2y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x=--+--+--=-+--+⑷ 1sin 1cos x y x-=-;解：22cos (1cos )(1sin )sin 1sin cos (1cos )(1cos )x x x x x xy x x ------'==--⑸ πtan e y x =+; 解：2sec y x '=⑹ sec 3sec xy x x=-; 解：2sec tan sec 3sec tan x x x xy x x x -'=-⑺ 2ln 2lg 3log y x x x =-+; 解：11112323(1)ln10ln 2ln1012y x x x x n '=-+⋅=-+⋅⋅ ⑻ 211y x x=++. 解：22(12)(1)x y x x -+'=++25．设()Q Q T =表示重1单位的金属从0C ︒加热到C T ︒所吸收的热量，当金属从C T ︒升温到()C T T +∆︒时，所需热量为()(),Q Q T T Q T ∆=+∆-Q ∆与T ∆之比称为T 到T T +∆的平均比热，试解答如下问题：⑴ 如何定义在C T ︒时，金属的比热；解：0()()lim()T Q T T Q T Q T Tν∆→+∆-'==∆⑵ 当2()Q T aT bT =+(其中a , b 均为常数)时，求比热. 解：()2Q T a bT ν'==+.26．垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t 的关系式为：21()10(m),2h t t gt =-求： ⑴ 物体从t =1(s)到t =1.2(s)的平均速度：解：11112 1.4410(1.2)(1)220.78 (m s )1.210.2g gh h v --⨯-+-===-⋅- ⑵ 速度函数v (t )；解：()()10v t h t gt '==-. ⑶ 物体何时到达最高.解：令()100h t gt '=-=,得10(s)t g=, 即物体到达最高点的时刻为10 s.t g=27．已知2()max{,3}f x x =，求()f x '.解：23, (), x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩当x <时，()0f x '=,当x >时，()2f x x '=,2(((0,x x x f x f -+'===-'==故(f '不存在.又20,(x x x f f x -+'=='==+=故f '不存在. 综上所述知0, ()2, x f x x x ⎧<⎪'=⎨>⎪⎩28．试证：方程21x x ⋅=至少有一个小于1的正根.证：令()21xf x x =⋅-，则()f x 在[0,1]上连续，且(0)10,(1)10f f =-<=>,由零点定理，(0,1)ξ∃∈使()0f ξ=即210ξξ⋅-= 即方程21x x ⋅=有一个小于1的正根.29．研究下列函数的连续性，并画出图形：2,1,,01,(1)()(2)()1,1;2,12;x x x x f x f x x x x ≤⎧≤≤⎧==⎨⎨>-<<⎩⎩ 221(3)()lim ;(4)()lim .1x x nx x nn n n n x f x f x x n n x --→∞→∞--==++解：(1)由初等函数的连续性知，()f x 在（0，1），（1，2）内连续，又21111lim ()lim(2)1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=== 1lim ()1,x f x →∴= 而(1)1f =，()f x ∴在1x =处连续，又，由2lim ()lim 0(0)x x f x x f ++→→===，知()f x 在0x =处右连续，综上所述，函数()f x 在[0，2)内连续. 函数图形如下：图1-2(2) 由初等函数的连续性知()f x 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞内连续，又由1111lim ()lim 11,lim ()lim 1,x x x x f x f x x --++→-→-→-→-====-知1lim ()x f x -→-不存在，于是()f x 在1x =-处不连续.又由1111lim ()lim 1,lim ()lim11,x x x x f x x f x --++→→→→==== 及(1)1f =知1lim ()(1)x f x f →=，从而()f x 在x =1处连续，综上所述，函数()f x 在(,1)-∞-及(1,)-+∞内连续，在1x =-处间断.函数图形如下：图1-3(3)∵当x <0时，221()lim lim 1,1x x x xx x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++ 当x =0时，00()lim 0,n n n f x n n →∞-==+ 当x >0时，2222111()limlim lim 1111x xxx x xx n n n xn n n n f x n n n n --→∞→∞→∞---====+++1,0,()lim0,0,1,0.xxx xn x n n f x x n n x --→∞-<⎧-⎪∴===⎨+⎪>⎩由初等函数的连续性知()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续，又由 0lim ()lim11,lim ()lim(1)1x x x x f x f x ++--→→→→===-=- 知0lim ()x f x →不存在，从而()f x 在0x =处间断.综上所述，函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续，在0x =处间断.图形如下：图1-4(4)当|x |=1时，221()lim0,1nn n x f x x x →∞-==+ 当|x |<1时，221()lim,1nnn x f x x x x →∞-==+ 当|x |>1时，2222111()limlim 111nnn n n n x x f x x x x x x →∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==⋅=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭即 ,1,()0,1,, 1.x x f x x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩由初等函数的连续性知()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由1111lim ()lim ()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x --++→-→-→-→-=-===-知1lim ()x f x →-不存在，从而()f x 在1x =-处不连续.又由 1111lim ()lim()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=-== 知1lim ()x f x →不存在，从而()f x 在1x =处不连续.综上所述，()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在1x =±处间断. 图形如下：图1-530．国民收入的年增长率为7.1%，若人口的增长率为1.2%，则人均收入年增长率为多少？解：人均收入年增长率=国民收入的年增长率－人口增长率=7.1%－1.2%=5.9%.习题三【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．无2．无3．无4．无5．无6．无7．无8．无9．无10．无11．无12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)NJ

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求函数1()f x x=在01x =-处的n 阶泰勒公式. 解： 121211(1)(1)1(1)n n n n n x x x x x x θ+++=--++-+-++ 12211()1[(1)](1) {1(1)(1)(1)} (01).[1(1)]n n n f x x x x x x x x θθ++∴==-+-++=-++++++++<<-+2．将函数()0arctan d xt F t x t =⎰展开成x 的幂级数．解：由于()210arctan 121n n n t t n +∞==-+∑ 所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx n n n n x n n n n t t F t t x t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1） 3．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 213n n n ∞=∑；(2)1!31n n n ∞=+∑； (3)232333331222322n n n +++++⋅⋅⋅⋅；(4) 12!n n n n n ∞=⋅∑ 解：(1) 23n n n U =，()2112311lim lim 133n n n n n nU n U n ++→∞→∞+=⋅=<，由比值审敛法知，级数收敛．(2) ()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散． (3) ()()11132lim lim 2313lim21312n nn n n n n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=> 所以原级数发散． (4) ()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n nn n n n n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛．4．设有一半径为R ，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m 的质点，试求细棒对该质点的引力。

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2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．证明恒等式：222arctan arcsinπ (1).1xx x x +=≥+ 证明：令22()2arctan arcsin 1xf x x x =++,22222222(1)22()1(1)2211x x xf x x x x x +-⋅'=++=-=++ 故()f x C ≡，又因(1)πf =,所以()πf x =,即222arctan arcsinπ.1xx x +=+2．将函数f (x ) = x -1(0≤x ≤2)展开成周期为4的余弦级数.解：将f (x )作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn nn x n xa f x x x xn n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰ 故()()()22121π81cos π221n n x f x n ∞=-=-⋅-∑(0≤x ≤2)3．写出函数()21π00πx f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩的傅里叶级数的和函数．解：f (x )满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f (x )，在间断点x =0，x =±π处，分别收敛于()()00122f f -++=-，()()2πππ122f f -++-=，()()2πππ122f f -+-+--=，综上所述和函数．()221π00π102π1π2x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩4．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间： (1)f (x ) = ln(2+x )； (2)f (x ) = cos 2x ； (3)f (x )=(1+x )ln(1+x )； (4)()2f x =；(5)()23xf x x =+； (6)()()1e e 2x xf x -=-；解：(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111nnn x x n ∞==+-+∑，(-1<x ≤1)故()()11ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑，(-2≤x ≤2) 因此()()()11ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑，(-2≤x ≤2) (2)()21cos 2cos 2x f x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑，(-∞<x <+∞)得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑ 所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑，(-∞<x <+∞) (3)f (x ) = (1+x )ln(1+x ) 由()()()1ln 111n nn x x n +∞==+-+∑，(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()1120111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()22f x x ==()()()21!!2111!!2n n n n x n ∞=-=+-∑ (-1≤x ≤1) 故()()()()221!!2111!!2n n n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑ ()()()()2211!!211!!2nn n n x x n ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)(5)()()()(220211131313313nn n n nn n x f x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑，x ∈(-∞,+∞)得()01e!n nxn x n ∞-=⋅-=∑，x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑5．设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为 C ′(x )=x 2－14x +111，R ′(x )=100－2x ．试求最大利润．解：设利润函数L (x )．则L (x )=R (x )－C (x )－50由于L ′(x )=R ′(x )－C (x )=(100－2x )－(x 2－14x +111)=－x 2+12x －11 令L ′(x )=0得x =1，x =11．又当x =1时，L ″(x )=－2x+12>0．当x =11时L ″(x )<0，故当x =11时利润取得最大值．且最大利润为 L (11)=1120(1211)d 50x x x -+--⎰311013341[611]50111.333x x x =-+--==6．设星形线的参数方程为x =a cos 3t ，y =a sin 3t ，a >0求d) 星形线所围面积；e) 绕x 轴旋转所得旋转体的体积； f) 星形线的全长．解：(1)D =4⎠⎛0ay d x =4⎠⎜⎛π2a sin 3t d ()a cos 3t =12a 2⎠⎜⎛0π2sin 4t cos 2t d t=12a 2⎠⎜⎛0π2()sin 4t−sin 6t d t =38πa 2．(2)V x =2π⎠⎛0a y 2d x =2π⎠⎜⎛π2()a sin 3t 2d ()a cos 3t =6πa 3⎠⎜⎛0π2 sin 7t cos 2t d t=32105πa 3(3)x t ′=-3a cos 2t sin t y t ′=3a sin 2t cos t x t ′2+y t ′2=9a 2sin 2t cos 2t ，利用曲线的对称性，l =4⎠⎜⎛0π2x t ′2+ y t ′2d t =4⎠⎜⎛π2 3a sin 2t cos 2t d t=12a ⎠⎜⎛0π214sin 22t d t =6a ⎠⎜⎛0π2 sin2t d t =[]3a ()-cos2t π2=6a ．7．求下列曲线段的弧长：a) y 2=2x ，0≤x ≤2；解：见图18，2yy ′=2． y ′=1y∴1+y ′2=1+1y 2．从而 (18)l =2⎠⎛021+y ′2d x =2⎠⎛21+1y 2d x=2⎠⎛021y 1+y 2d y 22 =2⎠⎛021+y 2d y =y 1+y 2+ln ()y +1+y 2⎪⎪20=25+ln(2+5)b) y =ln x ，3≤x ≤8；解：l =⎠⎛381+y ′2d x =⎠⎛381+1x 2d x =⎠⎛381+x 2x d x =⎣⎡⎦⎤1+x 2-ln 1+1+x 2x 83=1+12ln 32．c) y =⎠⎜⎛−π2xcos t d t , −π2≤t ≤π2；解：l =⎠⎜⎜⎛−π2π21+y ′2d x =⎠⎜⎜⎛−π2π21+cos x d x=⎠⎜⎜⎛−π2π22cos x 2d x =42⎠⎜⎛0π2cos x 2d x 2 =42sinx 2⎪⎪⎪π2=4.8．计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17.(17)解：以底面上的固定直径所在直线为x 轴，过该直径的中点且垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x 2+y 2=R 2．过区间[-R ，R ]上任意一点x ，且垂直于x 轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x 对应的圆周上的点为(x ，y )，则该等边三角形的边长为2y ，故其面积等于A ()x =34()2y 2=3y 2=3()R 2-x 2 ()-R ≤x ≤R 从而该立体的体积为 V =⎠⎛-RRA ()x d x =⎠⎛-R R3()R 2-x 2d x=433R 3．9．证明下列等式：2321(1)()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正常数)；证明：左222222000111()d()()d ()d 222a a a x t x f x x tf t t xf x x ====⎰⎰⎰ 令右所以，等式成立. (2)若()[,]f x C a b ∈，则ππ220(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰.证明：左πππ0222π02(cos )(d )(cos )d (cos )d x tf t t f t t f x x =--==⎰⎰⎰令.所以，等式成立.10．一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x , y ）处的切线斜率为2x －2，求该曲线方程.解：依题意知：22y x '=- 两边积分，有22y x x c =-+又x =1时，y =0代入上式得c =1，故所求曲线方程为221y x x =-+.11．求由方程e d cos d 0yxtt t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数.解：方程两边对x 求导，有e cos 0y y x '⋅+=又 e 1sin yx =-故 cos sin 1xy x '=-.12．用定积分的几何意义求下列积分值:1(1)2 d x x ⎰；解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积，故原式=1.(2)(0)x R >⎰.解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R 的圆在第一象限内的面积，故原式=21π4R .13．试决定22(3)y k x =-中的k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点. 解：224(3),12(1)y kx x y k x '''=-=- 令0y ''=，解得x =±1，代入原曲线方程得y =4k ，只要k ≠0，可验证(1，4k )，(－1，4k )是曲线的拐点.18x k y =±'=±，那么拐点处的法线斜率等于18k ，法线方程为18y x k=. 由于(1，4k )，(－1，4k )在此法线上，因此148k k=±, 得22321, 321k k ==-(舍去)故8k ==±14．求如图所示的三角形脉冲函数的频谱函数.解：()202202E T E t t T f t E T E t t T ⎧+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩()()02022e d 22e d e d 41cos 2i t Ti t i t T F f tt E E t t E t E t T T E T T ωωωωωω+∞--∞---=⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰15．设a 为非零常数，b 为正常数，求y =ax 2+bx 在以0和ba为端点的闭区间上的最大值和最小值.解：20y ax b '=+=得2b x a =-不可能属于以0和ba为端点的闭区间上, 而 22(0)0,bb y y a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故当a >0时，函数的最大值为22bb y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为(0)0y =;当a <0时，函数的最大值为(0)0y =，最小值为22bb y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.16．利用重要极限1lim(1)e uu u →+=，求下列极限：2221232cot 0113(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);1(5)lim [ln(2)ln ];(6)lim.ln xx x x x x x x x x x x x x x xx x x x+→∞→∞→→→∞→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+-+-解：1112222111(1)lim lim e 1lim 11xxxx x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+++ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1022121553555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎝⎭⎣⎦102551051055lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=+⎢⎥ ⎪+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 22233112cot323tan 23tan 000(3)lim(13tan )lim e .lim(13tan )(13tan )xx x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤+===+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][][]cos 211cos 212221cos 2121cos 2120220333ln ln cos21(cos21)03(cos21)ln 1(cos21)0cos213limlim ln 1(cos21)2sin 3limln lim (4)lim(cos 2)lim e lim elim ee e x x x x x x x x xx x x xx x x x x x x x x x x x x ----→→→→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭→→→-+-→-⋅+--⋅=====[]1cos 212201(cos21)sin 6ln e lim 6116ee e .x x x x x -→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭⎛⎫-⋅⋅ ⎪-⨯⨯-⎝⎭===22222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.x x x x xxx x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+⎛⎫+-=⋅⋅=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭== (6)令1x t =+，则当1x →时，0t →.1110001111limlim 1.ln ln(1)ln eln lim ln(1)lim(1)x t tt t t x tx t t t →→→→-=-=-=-=-=-+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦17．求曲线y =ln x 在与x 轴交点处的曲率圆方程.解：由ln 0y x y =⎧⎨=⎩解得交点为(1，0).1112111,1 1.x x x x y xy x ===='==''=-=-故曲率中心 212(1,0)(1)312x y y x y y y y αβ=⎧''⎡⎤+==-⎪⎢⎥''⎣⎦⎪⎨'⎡⎤+⎪==-+⎢⎥⎪''⎣⎦⎩曲率半径为R =故曲率圆方程为：22(3)(2)8x y -++=.18．设一路灯高4 m ，一人高53m ，若人以56 m ·min -1的等速沿直线离开灯柱，证明：人影的长度以常速增长.证明：如图，设在t 时刻，人影的长度为y m.则 53456yy t=+化简得 d 7280,40,40d yy t y t t=== (m ·min －1). 即人影的长度的增长率为常值.19．球的半径以速率v 改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？解： 324d π,π,.3d rV r A r v t=== 2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V rr v t r tA A r r v t r t =⋅=⋅=⋅=⋅20．求下列函数在0x x =处的三阶泰勒展开式： ⑴04);y x = ⑵ 0(1)ln (1).y x x x =-=解：⑴ 1357(4)222211315 , , ,.24816y x y x y x y x ----''''''==-==-所以113(4) , (4) ,(4)432256y y y ''''''==-=(4)7215[4(4)]16[4(4)]y x x θθ+-=-+-423721115(4)(4)(4)(4) (01).464512128[4(4)]x x x x x θθ----+--<<+-⑵ 2344ln(1)234(1)x x x x x x θ+=-+-+ 234434524(1)ln (1)ln[1(1)](1)(1)(1) (1){(1)}234[1(1)](1)(1)(1) (1).234[1(1)]y x x x x x x x x x x x x x x x θθ∴=-=-+----=---+-+----=--+-+-21．设0a >，且b 与n a 相比是很小的量，证明：1.n b a na -≈+11x n≈+，有11(1)n n b b a a n a na -=≈+⋅=+.22．在括号内填入适当的函数，使等式成立： ⑴ d( )cos d t t =； ⑵ d( )sin d x x ω=; ⑶ 1d( )d 1x x=+； ⑷ 2d( )e d x x -=; ⑸ d( )x=; ⑹ 2d( )sec 3d x x =； ⑺ 1d( )ln d x xx =; ⑻ d( )x =. 解： ⑴(sint)cos t '=d(sin )cos d t C t t ∴+=.⑵11(cos )(sin )sin x x x ωωωωω'-=-⋅-=1d(cos )sin d x C x x ωωω∴-+=.⑶ 1[ln(1)]1x x'+=+ 1d[ln(1)]d 1x C x x∴++=+. ⑷ 22211(e )(2)e =e 22x x x ---'-=-⋅-221d(e )e d 2x x C x --∴-+=.⑸ (2)2x '=)C x∴=. ⑹2211(tan3)sec 33sec 333x x x '=⋅⋅=21d(tan3)sec 3d 3x C x x ∴+=.⑺ 21111(ln )2ln ln 22x x x x x'=⋅⋅=211d(ln )ln d2x C x x x∴+=.⑻ 2(1(2)x x '--=-= d()C x ∴=.23．设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f =，试证：(), 0,()(0), 0,f x xg x xf x ⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩ 可导，且导函数连续.证明：因()f x 具有二阶连续导数，故0x ≠时，()g x 可导,又002000()(0)()(0)(0)lim lim 0()(0)()(0)lim lim 2()(0)lim ,22x x x x x f x f g x g x g x xf x f x f x f x xf x f →→→→→'--'==-'''-⋅-==''''== 故 ()g x 是可导的，且导函数为 2()(), 0,()(0), 0, 2xf x f x x xg x f x '-⎧≠⎪⎪'=⎨''⎪=⎪⎩又因2()()lim ()limx x xf x f x g x x →→'-'=000()()()lim2()(0)lim lim (0) 22x x x f x xf x f x xf x fg →→→''''+-='''''===故()g x 的导函数是连续的.24．设()y f x =是由方程组2323,e sin 1,yx t t y t ⎧=++⎪⎨=+⎪⎩ 所确定的隐函数，求202d d t y x=.解：分别对已知方程组的两边关于x 求导，得：d d 162,d d d d de sin e cos ,d d d y y t t t x xy y t t t xx x ⎧=⋅+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 再对x 求一次导，得2222222222d d d 06()62,d d d d d dy d d d (e )sin 2e cos e sin ()e cos ,d d d d d d y y y y xt t t t x x xy y t t t t t t t x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪'=+⋅⋅-+⋅⎪⎩ 将00,1t t y===代入上述各式，得002022202d 1d e, ,d 2d 2d 3, d 4d e 3e.d 24t t t t t y x x t x y x =======-=-25．设()ln(1)f x x =+，求()().n f x解：()1(1)!(ln )(1)n n nn x x --=-⋅()()1(1)!()[ln(1)](1)(1)n n n nn f x x x --∴=+=-⋅+.26．求函数11ln21xy x+=-的反函数()x y ϕ=的导数. 解：21[ln(1)ln(1)]2d 1111()d 2111y x x y x x x x =+--=+=+--故反函数的导数为：2d 11d d d x x yy x==-.27．3arccos 3x y -=-求3x y ='.解：21(6)3x x y x ---'=- 313x y ='=28．证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a . 证明：在双曲线上任取一点00(,),M x y则222220, , x a a a y y y x xx =''==-=-，则过M 点的切线方程为：20020()a y y x x x -=--令220000002202x y x a y x x x x a a=⇒=+=+=得切线与x 轴的交点为0(2,0)x ，令2000000002x y a x y y y y x x =⇒=+=+=得切线与y 轴的交点为0(0,2)y ，故 2000012222.2S x y x y a ===29．若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<<<,证明:在1[,]n x x 中必有ξ，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.证: 由题设知()f x 在1[,]n x x 上连续，则()f x 在1[,]n x x 上有最大值M 和最小值m ，于是12()()()n f x f x f x m M n+++≤≤,由介值定理知，必有1[,]n x x ξ∈，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.习题二30．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：32(1) 535y x x x =-++；解：23103y x x '=-+610y x ''=-，令0y ''=可得53x =. 当53x <时，0y ''<，故曲线在5(,)3-∞内是凸弧；当53x >时，0y ''>，故曲线在5[,)3+∞内是凹弧. 因此520,327⎛⎫⎪⎝⎭是曲线的唯一拐点.(2) e xy x -=；解：(1)e , e (2)xxy x y x --'''=-=- 令0y ''=，得x =2当x >2时，0y ''>，即曲线在[2,)+∞内是凹的；当x <2时，0y ''<，即曲线在(,2]-∞内是凸的. 因此(2，2e －2)为唯一的拐点.4(3) (1)e x y x =++；解：324(1)e , e 12(1)0xxy x y x '''=++=++> 故函数的图形在(,)-∞+∞内是凹的，没有拐点. (4) y =ln (x 2+1)；解：222222(1), 1(1)x x y y x x -'''==++ 令0y ''=得x =－1或x =1.当－1<x <1时，0y ''>，即曲线在[－1，1]内是凹的.当x >1或x <－1时，0y ''<，即在(,1],[1,)-∞-+∞内曲线是凸的. 因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2).arctan (5) e x y =；解：arctan arctan 222112e ,e 1(1)x xx y y x x -'''==++ 令0y ''=得12x =. 当12x >时，0y ''<，即曲线在1[,)2+∞内是凸的；当12x <时，0y ''>，即曲线在1(,]2-∞内是凹的，故有唯一拐点1arctan 21(,e)2. (6) y =x 4(12ln x －7).解：函数y 的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.324(12ln 4),144ln .y x x y x x '''=-=令0y ''=，在(0，+∞)，得x =1.当x >1时，0y ''>，即曲线在[1,)+∞内是凹的; 当0<x <1时，0y ''<，即曲线在(0，1]内是凸的，故有唯一拐点(1，－7).【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题 1．无 2．无 3．无 4．无 5．无 6．无 7．无 8．无 9．无 10．无 11．无 12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)HZ

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．在边长为a 的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形，将四边上折焊成一个无盖方盒，问截去的小正方形边长为多大时，方盒的容积最大？解：设小正方形边长为x 时方盒的容积最大.232222(2)44128V a x x x ax a xV x ax a=-⋅=-+'=-+ 令0V '=得驻点2a x =(不合题意，舍去)，6a x =. 即小正方形边长为6a 时方盒容积最大.2．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数：(1)21n n nx∞+=∑； (2) 22021n n x n +∞=+∑；解：(1)由()321lim n n n x n x nx ++→∞+=知，当|x |=<1时，原级数收敛，而当|x |=1时，21n n nx ∞+=∑的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)．记 ()23111n n n n S nx x nx x ∞∞+-====∑∑易知11n n nx ∞-=∑的收敛域为(-1,1)，记()111n n S nx x ∞-==∑ 则()1011x n n x S x x x∞===-∑⎰ 于是()()12111x S x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，所以()()()3211x S x x x =<- (2)由2422221lim 23n n n x n x n x++→∞+=⋅+知，原级数当|x |<1时收敛，而当|x |=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑，易知级数21021n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1)，记()211021n n x S x n +∞==+∑，则()212011n n S x x x ∞='==-∑，故()1011d ln 21xx S x x x +'=-⎰ 即()()1111ln 021x S S x x+-=-，()100S =，所以()()()11ln 121x x S xS x x x x +==<-3．写出下列级数的一般项： (1)1111357++++；2242468x x ++⋅⋅⋅⋅； (3)35793579a a a a -+-+；解：(1)121n U n =-； (2)()2!!2n n x U n =； (3)()211121n n n a U n ++=-+；4．某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期．解：投资20年中总收入的现值为205%5%2001200800e d (1e )5%400(1e )2528.4 ()t y t --⋅-==-=-=⎰万元纯收入现值为 R =y －800=2528.4－800=1728.4(万元)收回投资，即为总收入的现值等于投资, 故有5%200(1e )8005%12005ln =20ln =4.46 ().5%2008005%4T T -⋅-==-⨯年5．设有一半径为R ，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m 的质点，试求细棒对该质点的引力。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)LO

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．利用泰勒公式求下列极限：⑴ 30sin lim ;x x x x →- ⑵ tan 0e 1lim ;x x x →- (3) 21lim[ln(1)].x x x x →∞-+ 解：⑴ 34sin 0()3!x x x x =-+ 343300[0()]sin 13!lim lim 6x x x x x x x x x x →→--+-∴== ⑵tan 2e 1tan 0(tan )x x x =++tan 200e 11tan 0(tan )1lim lim 1x x x x x x x→→-++-∴== (3) 令1x t=,当x →∞时，0t →，2222022011111lim[2ln(1)]lim[ln(1)]lim{[()]}21()1lim().22x t t t t x x t t o t x t t t t o t t →∞→∞→→-+=-+=--+=-=2．求下列幂级数的收敛半径及收敛域： (1)x +2x 2+3x 3+…+nx n+…；(2)1!nn x n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑； (3)21121n n x n -∞=-∑；(4)()2112nn x n n ∞=-⋅∑；解：(1)因为11limlim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11nn n ∞=-∑，由lim(1)0nx nn →-≠知级数1(1)n n n ∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n n a n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦所以收敛半径1e R ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e nnn n n ∞=∑；应用洛必达法则求得()10e e1lim 2xx x x →-+=-，故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-<⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x =-e 时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n→∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)．(4)令t =x -1，则级数变为212n n t n n ∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n na n na n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2]3．求下列各曲线所围图形的面积：（1）y =12x 2 与x 2+y 2=8(两部分都要计算)；解：如图D 1=D 2解方程组⎩⎨⎧y =12x 2x 2+y 2=8得交点A (2，2)(1)D 1=⎠⎛02⎝⎛⎭⎫8-x 2-12x 2d x =π+23∴ D 1+D 2=2π+43,D 3+D 4=8π-⎝⎛⎭⎫2π+43=6π-43．（2）y =1x与直线y =x 及x =2；解： D 1=⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x -1x d x =⎣⎡⎦⎤12x 2-ln x 21=32-ln2.(2)（3）y =e x ，y =e -x 与直线x =1；解：D =⎠⎛01()e x -e -xd x =e+1e-2．(3)（4） y =ln x ，y 轴与直线y =ln a ，y =ln b ．(b>a>0)；解：D =⎠⎛l n al n b e y d y =b -a ．(4)（5）抛物线y =x 2和y =-x 2+2；解：解方程组⎩⎨⎧y =x 2y =-x 2+2得交点 (1，1)，(-1，1) D =⎠⎛-11()-x 2+2-x 2d x =4⎠⎛01()-x 2+1d x =83．(5)（6）y =sin x ，y =cos x 及直线x =π4，x =94π；解：D =2⎠⎜⎜⎛π45π4(sin x -cos x )d x=2[]-cos x -sin x 5π4π4=42．(6)（7）抛物线y =-x 2+4x -3及其在(0，-3)和(3，0)处的切线；解：y′=-2x +4． ∴y ′(0)=4，y ′(3)=-2．∵抛物线在点(0，-3)处切线方程是y =4x -3 在(3，0)处的切线是y =-2x +6 两切线交点是(32，3)．故所求面积为(7)()()()()()33222302332223024343d 2643d d 69d 9.4D x x x x x x x x x x x x x⎡⎤⎡⎤=---+-+-+--+-⎣⎦⎣⎦=+-+=⎰⎰⎰⎰（8）摆线x =a (t -sin t )，y =a (1-cos t )的一拱 (0≤t ≤2π)与x 轴；解：当t =0时，x =0, 当t =2π时，x =2πa ．所以()()()2π2π002π2202d 1cos d sin 1cos d 3π.aS y x a t a t t at ta ==--=-=⎰⎰⎰(8)（9）极坐标曲线 ρ=a sin3φ；解：D =3D 1=3·a 22⎠⎜⎛0π3sin 23φd φ=3a 22 ·⎠⎜⎛0π3 1-cos6φ2d φ =3a 24 ·⎣⎡⎦⎤φ-16sin6φπ3=πa 24．(9)（10） ρ=2a cos φ；解：D =2D 1=2⎠⎜⎛0π212·4a 2·cos 2φd φ=4a 2⎠⎜⎛0π21+cos2φ2d φ =4a 2·12⎣⎡⎦⎤φ+12sin2φπ2=4a 2·12·π2=πa 2．(10)4．证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2. 证明：如果|()|lim0()x f x g x ρ→+∞=≠，那么对于ε(使0ρε->),存在x 0，当0x x ≥时|()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()()g x f x g x ρερε-<<+ 成立，显然()d ag x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散.如果0ρ=，则有|()|()f x g x ε<, 显然()d ag x x +∞⎰收敛, 则|()|d af x x +∞⎰亦收敛.如果ρ=+∞，则有|()|()()f x g x ρε>-，显然()d ag x x +∞⎰发散，则|()|d af x x +∞⎰亦发散.习题五5．已知()d 1p x x +∞-∞=⎰,其中1,()0,1,x p x x <=≥⎩求C . 解：111()d 0d 0d p x x x x x x +∞-+∞-∞-∞--=⋅++⋅=⎰⎰⎰⎰⎰11001arcsin arcsin π1x x C xC xC --=+=⋅+⋅==⎰⎰所以1πC =.6．计算下列定积分：3(1);x ⎰解：原式43238233x ==-221(2)d x x x --⎰;解：原式01222211()d ()d ()d x x x x x x x x x -=-+-+-⎰⎰⎰1232233210111111132233251511.6666x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++= π(3)()d f x x ⎰,其中π,0,2()πsin ,π;2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩解：原式πππ2π222π0π221πd sin d cos 1.28x x x x xx=+=-=+⎰⎰ 222(4)max{1,}d ;x x -⎰解：原式121122233211212011d d d 2.333x x x x x x x -----=++=++=⎰⎰⎰(5).x解：原式πππ242π04d (cos sin )d (sin cos )d sin cos x x x x x x x x x ==-+--⎰⎰⎰ππ24π04(sin cos )(cos sin )1).x x x x =++--=7．用定积分的几何意义求下列积分值:1(1)2 d x x ⎰；解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积，故原式=1.(2)(0)x R >⎰.解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R 的圆在第一象限内的面积，故原式=21π4R .8．问a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解：y′=3ax 2+2bx , y″=6ax +2b 依题意有3620a b a b +=⎧⎨+=⎩解得 39,22a b =-=.9．求数列1000n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大的项.解：令y =y '===令0y '=得x =1000.因为在(0，1000)上0y '>，在(1000,)+∞上0y '<, 所以x =1000为函数y的极大值点，也是最大值点，max (1000)y y ==.故数列的最大项为1000a =.10．试证:方程sin x x =只有一个实根.证明:设()sin f x x x =-，则()cos 10,f x x =-≤()f x 为严格单调减少的函数，因此()f x 至多只有一个实根.而(0)0f =，即0x =为()f x 的一个实根，故()f x 只有一个实根0x =，也就是sin x x =只有一个实根.11．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（）.⑴ 201sinlimsin x x x x →； ⑵ lim (1)x x k x→+∞+；⑶ sin lim sin x x xx x→∞-+； ⑷ e e lim .e e x x xx x --→+∞-+ 解：⑴ ∵200111sin2sin coslimlim sin cos x x x x x x x x x→→-=不存在,（因1sin x ，1cos x 为有界函数）又2001sin1limlim sin 0sin x x x x x x x→→==, 故不能使用洛必达法则. ⑶ ∵sin 1cos limlimsin 1cos x x x x xx x x→∞→∞--=++不存在, 而sin 1sin lim lim 1.sin sin 1x x x x x x xx x x→∞→∞--==++故不能使用洛必达法则.⑷ ∵e e e e e e lim lim lim e e e e e ex x x x x xxx x x x x x x x ------→+∞→+∞→+∞-+-==+-+ 利用洛必达法则无法求得其极限.而22e e 1e lim lim 1e e 1e x x xxx xx x ----→+∞→+∞--==++. 故答案选（2）.12．计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率. 解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4) 当x =2时， 0,2y y '''==- ，故 23/22.(1)y k y ''=='+13．椭圆22169400x y +=上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？解：方程22169400x y +=两边同时对t 求导，得d d 32180d d x y x y t t ⋅+⋅= 由d d d d x y t t -=. 得 161832,9y x y x ==代入椭圆方程得：29x =，163,.3x y =±=±即所求点为1616,3,3,33⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.14．设f (x )是周期为2的周期函数，它在[-1,1]上的表达式为f (x )=e -x，试将f (x )展成傅里叶级数的复数形式.解：函数f (x )在x ≠2k +1，k =0,±1,±2处连续.()()()[]()()()π1π111π11211e d e e d 221e 21πe e 1121π1πsinh111πn i x l x in x l n l x n i n n c f x x xl n i n in in ------+--===-+-=⋅⋅-+-=⋅⋅-+⎰⎰故f (x )的傅里叶级数的复数形式为()()()()π21π1sinh1e 1πn in xn in f x n ∞=-∞⋅--=+∑ (x ≠2k +1，k =0,±1,±2,…)15．求函数()e xf x x =的n 阶麦克劳林公式.解： 21e 1e 2!(1)!!n n x x x x x x n n θ-=+++++- 312()e e (01)2!(1)!!n n xx x x x f x x x x n n θθ+∴==+++++<<-16．没1()1x f x x -=+,求1(0),(),().f f x f x- 解: 10(0)110f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-==+--1111().111x x f x x x--==++17．求下列函数的高阶微分：⑴ y 2d y ； ⑵ xy x =，求2d y ； ⑶ cos 2y x x =⋅，求10d y ； ⑷ 3ln y x x =⋅，求d ny ；⑸ 2323cos sin 0r a θθ⋅-=(a 为常数)，求2d r .解：⑴d d y x x '==,2d d y x '=3222(1)d .x x -=+⑵ (ln )(ln )(1ln ).xy y y y x x x x '''===+21[(1ln )],x y x x x''=++故 2221d [(1ln )]d (0).x y x x x x x=++> ⑶ 由莱布尼兹公式，得1010(10)10()(10)101001091010d (cos 2)d [C cos 2]d 10π9[2cos(2)102cos(2π)]d 221024(cos 25sin 2)d .ii i i y x x x x x x x x x x x x x x -====++⋅⋅+=-+∑ ⑷ 由莱布尼兹公式，得3()13(1)23(2)33(3)31223124d [(ln )C ()(ln )C ()(ln )C ()(ln )]d (1)!(2)!(1)(3)![(1)3(1)6(1)2(1)(2)( +6(1)6n n n n n n n n n n n n n n n n y x x x x x x x x x n n n n n x n x x x x xn n n n ---------'''=⋅+⋅+⋅'''+⋅----=⋅-⋅+⋅⋅-⋅+⋅⋅----⋅⋅-334)!]d [(1)6(4)!]d .nn n n n x xn x x --=-⋅⋅- ⑸ 223tan r a θ=两端求导，得2222323tan sec 2rr a r θθθ''=⋅⇒= 等式两端再求导得22232223(2tan sec 4tan sec )r rr a θθθθ'''+=⋅+⋅解得24314sin 4cos r a θθ+''=故2224314sin d d .4cos r a θθθ+=18．设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f =，试证：(), 0,()(0), 0,f x xg x xf x ⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩ 可导，且导函数连续.证明：因()f x 具有二阶连续导数，故0x ≠时，()g x 可导,又002000()(0)()(0)(0)lim lim 0()(0)()(0)lim lim2()(0)lim ,22x x x x x f x f g x g xg x xf x f x f x f x xf x f →→→→→'--'==-'''-⋅-==''''== 故 ()g x 是可导的，且导函数为 2()(), 0,()(0), 0, 2xf x f x x xg x f x '-⎧≠⎪⎪'=⎨''⎪=⎪⎩又因2()()lim ()limx x xf x f x g x x→→'-'= 000()()()lim2()(0)lim lim (0) 22x x x f x xf x f x xf x fg →→→''''+-='''''===故()g x 的导函数是连续的.19．若π1()1,(arccos )3f y f x '==，求2d d x y x=.解：22d 11(arccos )(()d d π11(d 344x y f x x x y f x ='=⋅-'===20．求下列函数在给定点处的导数： ⑴ 1sin cos ,2y x x x =+求π4d d x y x =；解：11sin cos sin sin cos 22y x x x x x x x '=+-=+π41ππππsin cos )244442x y ='=+=+⑵ 23(),55x f x x =+-求(0)f '和(2)f '；解：232()(5)5f x x x '=+-317(0) (2)2515f f ''== ⑶ 254, 1,()43, 1,x x f x x x x -≤⎧=⎨->⎩求(1)f '.解：211()(1)431(1)limlim 511x x f x f x x f x x +++→→---'===-- 11()(1)541(1)lim lim 511x x f x f x f x x ---→→---'===-- 故(1) 5.f '=21．已知sin ,0,(),0,x x f x x x <⎧=⎨≥⎩求()f x '.解：当0x <时，()cos ,f x x '= 当0x >时，()1,f x '= 当0x =时，0sin 0(0)lim 1,0x x f x --→-'==- 00(0)lim 1,0x x f x ++→-'==- 故(0) 1.f '= 综上所述知cos ,0,()1,0.x x f x x <⎧'=⎨≥⎩22．讨论函数y =0x =点处的连续性和可导性.解：00(0)x f →==,故函数在0x =处连续.又2300limlim 0x x x x -→→==∞-,故函数在0x =处不可导.23．(1) 设1()f x x=，求00()(0);f x x '≠解：0021()().x x f x f x x =''==-(2) 设()(1)(2)(),f x x x x x n =--⋅⋅-求(0).f '解：00()(0)(0)limlim(1)(2)()0(1)!x x n f x f f x x x n x n →→-'==--⋅⋅--=-24．研究下列函数的连续性，并画出图形：2,1,,01,(1)()(2)()1,1;2,12;x x x x f x f x x x x ≤⎧≤≤⎧==⎨⎨>-<<⎩⎩ 221(3)()lim ;(4)()lim .1x x nx x nn n n n x f x f x x n n x --→∞→∞--==++解：(1)由初等函数的连续性知，()f x 在（0，1），（1，2）内连续，又21111lim ()lim(2)1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=== 1lim ()1,x f x →∴= 而(1)1f =，()f x ∴在1x =处连续，又，由2lim ()lim 0(0)x x f x x f ++→→===，知()f x 在0x =处右连续，综上所述，函数()f x 在[0，2)内连续. 函数图形如下：图1-2(2) 由初等函数的连续性知()f x 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞内连续，又由1111lim ()lim 11,lim ()lim 1,x x x x f x f x x --++→-→-→-→-====-知1lim ()x f x -→-不存在，于是()f x 在1x =-处不连续.又由1111lim ()lim 1,lim ()lim11,x x x x f x x f x --++→→→→==== 及(1)1f =知1lim ()(1)x f x f →=，从而()f x 在x =1处连续，综上所述，函数()f x 在(,1)-∞-及(1,)-+∞内连续，在1x =-处间断.函数图形如下：图1-3(3)∵当x <0时，221()lim lim 1,1x x x xx x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++ 当x =0时，00()lim 0,n n n f x n n →∞-==+当x >0时，2222111()limlim lim 1111x xxx x xx n n n xn n n n f x n n n n --→∞→∞→∞---====+++1,0,()lim0,0,1,0.xxx xn x n n f x x n n x --→∞-<⎧-⎪∴===⎨+⎪>⎩由初等函数的连续性知()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续，又由 0lim ()lim11,lim ()lim(1)1x x x x f x f x ++--→→→→===-=- 知0lim ()x f x →不存在，从而()f x 在0x =处间断.综上所述，函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续，在0x =处间断.图形如下：图1-4(4)当|x |=1时，221()lim0,1nn n x f x x x →∞-==+ 当|x |<1时，221()lim,1nnn x f x x x x →∞-==+ 当|x |>1时，2222111()limlim 111nnn n n n x x f x x x x x x →∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==⋅=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭即 ,1,()0,1,, 1.x x f x x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩由初等函数的连续性知()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由1111lim ()lim ()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x --++→-→-→-→-=-===-知1lim ()x f x →-不存在，从而()f x 在1x =-处不连续.又由 1111lim ()lim()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=-== 知1lim ()x f x →不存在，从而()f x 在1x =处不连续.综上所述，()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在1x =±处间断. 图形如下：图1-525．利用0sin lim1x xx→=或等价无穷小量求下列极限：002000sin (1)lim ;(2)lim cot ;sin 1cos 2(3)lim ;sin arctan 3(5)lim;(6)lim 2sin ;2x x x x x n n x n mxx x nx x x x x xx →→→→→→∞-22102320020041arctan (7)lim ;(8)lim ;arcsin(12)sin arcsin 2tan sin cos cos (9)lim ;(10)lim ;sin 1cos 4(12)lim 2sin t x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x αβ→→→→→→-----+ 222200;an ln cos ln(sin e )(13)lim ;(14)lim .ln cos ln(e )2x x x x x ax x xbx x x→→+-+-解：(1)因为当0x →时，sin ~,sin ~,mx mx nx nx 所以00sin limlim .sin x x mx mx mnx nx n→→==00002000limcos cos (2)lim cot lim cos lim 1.sin sin sin lim1cos 22sin sin (3)lim lim 2lim 2.sin sin x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx x x x x x x x→→→→→→→→=⋅===-=== (4)因为当0x →时，2221ln(1e sin )~e sin 1~2x x x x x +,所以22200002e sin sin lim lim 2e lim 2.12x x x x x x x x x x x→→→→⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭(5)因为当0x →时，arctan3~3,x x 所以00arctan 33limlim 3x x x xxx →→==.sinsin22(6)lim 2sin lim lim .222n n n n n n n n nx xx x x x x x →∞→∞→∞=⋅== (7)因为当12x →时，arcsin(12)~12x x --,所以22111122224141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→---+===-+=---- (8)因为当0x →时，22arctan ~,sin~,arcsin ~,22x xx x x x 所以 2200arctan lim lim 2sin arcsin 22x x x x xx x x →→==⋅. (9)因为当0x →时，2331sin ~,1cos ~,sin ~2x x x x x x -,所以233300001tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11lim .2cos 2x x x x x x x x x x x x xx x x →→→→⋅--==⋅== (10)因为当0x →时，sin~,sin~2222x x x x αβαβαβαβ++--，所以22002222sinsincos cos 22lim lim 222lim1().2x x x x xx xx x x xx αβαβαβαβαββα→→→+---=+--⋅⋅==-(11)因为当0x →时，~)~,x x --所以000 1.x x x →→→==-=-(12)因为当0x →时，sin ~,sin 2~2,x x x x 所以2222200222200201cos 42sin 2lim lim 2sin tan sin (2sec )2(2)8lim lim (2sec )2sec 84.lim(2sec )x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x →→→→→-=++⋅==++==+ (13)因为ln cos ln[1(cos 1)],ln cos ln[1(cos 1)],ax ax bx bx =+-=+- 而当0x →时，cos 10,cos 10ax bx -→-→故 ln[1(cos 1)]~cos 1,ln[1(cos 1)]~cos 1,ax ax bx bx +--+-- 又当x →0进，2222111cos ~,1cos ~,22ax a x bx b x --所以 22220000221ln cos cos 11cos 2lim lim lim lim .1ln cos cos 11cos 2x x x x a xax ax ax a bx bx bx b b x→→→→--====-- (14)因为当0x →时，222sin 0,0e ex x x x →→ 故 222222sin sin ln ~,ln ~,11e ee e x x xx x xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以22222222200022222000020sin ln 1ln(sin e )ln(sin e )ln e e lim lim lim ln(e )2ln(e )ln e ln 1e sin sin sin e lim lim e lim e lim e e 1 1.x x x x x x x x x x x x x xx x x x xx x x x x x x x xx x x x x →→→→→→→⎛⎫+ ⎪+-+-⎝⎭==+-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=26．当0x →时，22x x -与23x x -相比，哪个是高阶无穷小量？解：232200limlim 022x x x x x x x x x→→--==-- ∴当0x →时，23x x -是比22x x -高阶的无穷小量.27．利用重要极限10lim(1)e uu u →+=，求下列极限：2221232cot 00113(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);1(5)lim [ln(2)ln ];(6)lim.ln xx x x xx x x x x x x x x x xx x x x+→∞→∞→→→∞→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+-+-解：1112222111(1)lim lim e 1lim 11x xxx x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+++ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1022121553555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎝⎭⎣⎦102551051055lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=+⎢⎥ ⎪+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 22233112cot 323tan 23tan 000(3)lim(13tan )lim e .lim(13tan )(13tan )xx x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤+===+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][][]cos 211cos 212221cos 2121cos 2120220333ln ln cos21(cos21)03(cos21)ln 1(cos21)0cos213limlim ln 1(cos21)2sin 3limln lim (4)lim(cos 2)lim elim elim ee e x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭→→→-+-→-⋅+--⋅=====[]1cos 212201(cos21)sin 6ln e lim 6116ee e .x x x x x -→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭⎛⎫-⋅⋅ ⎪-⨯⨯-⎝⎭===22222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.x x x x xxx x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+⎛⎫+-=⋅⋅=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭== (6)令1x t =+，则当1x →时，0t →.1110001111limlim 1.ln ln(1)ln eln lim ln(1)lim(1)x t tt t t x tx t t t →→→→-=-=-=-=-=-+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦28．解:因为221(1)()(1)11x a x a b x b ax b x x +--++---=++由已知211lim 21x x ax b x →∞⎛⎫+=-- ⎪+⎝⎭知，分式的分子与分母的次数相同，且x 项的系数之比为12，于是 10a -= 且()112a b -+= 解得 31,2a b ==-.29．设()2,()ln xf xg x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x . 解: ()ln (())22,g x x x f g x ==(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==⋅=⋅()2(())22,(())()ln ()ln ln(ln ).xf x f f xg g x g x g x x x x x ====30．一点沿对数螺线e a r ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解：d d de e .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题 1．无 2．无 3．无 4．无 5．无 6．无 7．无8．无9．无10．无11．无12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)GT

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（）.⑴ 201sinlim sin x x x x →； ⑵ lim (1)x x k x →+∞+； ⑶ sin lim sin x x x x x →∞-+； ⑷ e e lim .e e x x x xx --→+∞-+ 解：⑴ ∵200111sin2sin cos lim lim sin cos x x x x x x x x x →→-=不存在,（因1sin x ，1cos x 为有界函数）又2001sin1lim lim sin 0sin x x x x x x x →→==, 故不能使用洛必达法则.⑶ ∵sin 1cos lim lim sin 1cos x x x x x x x x→∞→∞--=++不存在, 而sin 1sin lim lim 1.sin sin 1x x xx x x x x x x →∞→∞--==++ 故不能使用洛必达法则.⑷ ∵e e e e e e lim lim lim e e e e e ex x x x x xx x x x x x x x x ------→+∞→+∞→+∞-+-==+-+ 利用洛必达法则无法求得其极限. 而22e e 1e lim lim 1e e 1e x x xx x xx x ----→+∞→+∞--==++. 故答案选（2）.2．判定下列级数的敛散性：(1)1n ∞=∑； (2) ()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+； (3) ()23133********3nn n --+-++-；(4)155n ++++；解：(1)(11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散． (2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．3．已知电压u (t )=3sin2t ，求(1) u (t)在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均值；解： π2026()3sin2d .ππu t tt ==⎰ (2) 电压的均方根值.解：均方根公式为()f x =故 ()u t ===4．设有一截锥体，其高为h ，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a ，2b 和2A ，2B ，求这截锥体的体积。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)SD

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．已知函数()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0f a f b ==，试证：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使得()()0, (,)f f a b ξξξ'+=∈.证明：令()()e ,x F x f x =⋅()F x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理知，(,)a b ξ∃∈，使得()0F ξ'=，即()e ()e f f ξξξξ'+=,即()()0, (,).f f a b ξξξ'+=∈2．用比较审敛法判别下列级数的敛散性． (1)()()111465735n n ++++⋅⋅++；(2)22212131112131nn +++++++++++(3)1πsin 3n n ∞=∑； (4)1n ∞=；(5)()1101n n a a ∞=>+∑； (6) ()1121nn ∞=-∑．解：(1)∵ ()()21135n U n n n =<++而211n n ∞=∑收敛，由比较审敛法知1n n U ∞=∑收敛．(2)∵221111n n n U n n n n ++=≥=++而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知，原级数发散．(3)∵ππsin sin 33lim lim ππ1π33n nn n n n→∞→∞=⋅=而1π3n n ∞=∑收敛，故1πsin 3n n ∞=∑也收敛．(4)∵321n U n =<=而3121n n ∞=∑收敛，故1n ∞=收敛．(5)当a >1时，111n n n U a a =<+，而11n n a ∞=∑收敛，故111n n a∞=+∑也收敛．当a =1时，11lim lim 022n n n U →∞→∞==≠，级数发散．当0<a <1时，1lim lim 101n nn n U a →∞→∞==≠+，级数发散．综上所述，当a >1时，原级数收敛，当0<a ≤1时，原级数发散． (6)由021lim ln 2x x x →-=知121lim ln 211n x n →∞-=<而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知()1121n n ∞=-∑发散．3．判定下列级数的敛散性：(1)1n ∞=∑； (2) ()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+； (3) ()23133222213333n n n --+-++-；(4)155n +++++；解：(1)(11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散． (2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)AKK

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．验证：函数()lnsin f x x =在π5π[,]66上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使()0f ξ'=. 证：()l n s i f x x =在区间π5π[,]66上连续，在π5π(,)66上可导，且π5π()()ln 266f f ==-，即在π5π[,]66上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点π5π(,),66ξ∈使()0f ξ'=.事实上，由cos ()cot 0sin x f x x x '===得ππ5π(,),266x =∈故取π2ξ=，可使()0f ξ'=.2．判定下列级数的敛散性：(1)1n ∞=∑； (2) ()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+； (3) ()23133222213333n n n --+-++-；(4)155n +++++；解：(1) (11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散． (2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛．(4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．3．某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期．解：投资20年中总收入的现值为205%5%2001200800e d (1e )5%400(1e )2528.4 ()t y t --⋅-==-=-=⎰万元纯收入现值为 R =y －800=2528.4－800=1728.4(万元)收回投资，即为总收入的现值等于投资, 故有5%200(1e )8005%12005ln =20ln =4.46 ().5%2008005%4T T -⋅-==-⨯年4．半径为R 的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取离水面，问做功多少？解：如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为(x －R )2+y 2=R 2将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R ]区间上的许多薄片都上提2R 的高度时需作功的和的极限。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)UR

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求下列函数的高阶微分：⑴y 2d y ； ⑵ xy x =，求2d y ； ⑶ cos 2y x x =⋅，求10d y ； ⑷ 3ln y x x =⋅，求d ny ；⑸ 2323cos sin 0r a θθ⋅-=(a 为常数)，求2d r . 解：⑴d d y x x '==,2d d y x '=3222(1)d .x x -=+⑵ (ln )(ln )(1ln ).xy y y y x x x x '''===+21[(1ln )],x y x x x''=++故 2221d [(1ln )]d (0).x y x x x x x=++> ⑶ 由莱布尼兹公式，得1010(10)10()(10)101001091010d (cos 2)d [C cos 2]d 10π9[2cos(2)102cos(2π)]d 221024(cos 25sin 2)d .ii i i y x x x x x x x x x x x x x x -====++⋅⋅+=-+∑ ⑷ 由莱布尼兹公式，得3()13(1)23(2)33(3)31223124d [(ln )C ()(ln )C ()(ln )C ()(ln )]d (1)!(2)!(1)(3)![(1)3(1)6(1)2(1)(2)( +6(1)6n n n n n n n nnn n n n n n n y x x x x x x x x x n n n n n x n x x x x xn n n n ---------'''=⋅+⋅+⋅'''+⋅----=⋅-⋅+⋅⋅-⋅+⋅⋅----⋅⋅-334)!]d [(1)6(4)!]d .nn n n n x xn x x --=-⋅⋅- ⑸ 223tan r a θ=两端求导，得2222323tan sec 2rr a r θθθ''=⋅⇒= 等式两端再求导得22232223(2tan sec 4tan sec )r rr a θθθθ'''+=⋅+⋅解得24314sin 4cos r a θθ+''=故2224314sin d d .4cos r a θθθ+=2．求下列幂级数的收敛半径及收敛域： (1)x +2x 2+3x 3+…+nx n +…；(2)1!nn x n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑；(3)21121n n x n -∞=-∑； (4)()2112nn x n n∞=-⋅∑；解：(1)因为11limlim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11nn n ∞=-∑，由lim(1)0nx nn →-≠知级数1(1)n n n ∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n na n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦ 所以收敛半径1e R ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e nnn n n ∞=∑；应用洛必达法则求得()10e e1lim 2xx x x →-+=-，故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x =-e 时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n→∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)．(4)令t =x -1，则级数变为212n n t n n∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n n a n na n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2]3．解：1211111R ()()(1)!2(1)!2n n n n n +++=++++=12111111()[1()](1)!222(2)(3)2n n n n n ++++++++122111111()[1()](1)!212(1)2n n n n +<++++++1111()1(1)!212(1)n n n +=+-+11()!(21)2n n n =+从而 111()!(21)2n n R n n +<+4．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 213n n n ∞=∑；(2)1!31nn n ∞=+∑； (3)232333331222322nnn +++++⋅⋅⋅⋅；(4) 12!n nn n n ∞=⋅∑ 解：(1) 23n n n U =，()2112311lim lim 133n n n n n n U n U n ++→∞→∞+=⋅=<，由比值审敛法知，级数收敛．(2) ()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散．(3) ()()11132lim lim 2313lim 21312n nn n n n n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=> 所以原级数发散．(4) ()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n nn n nn n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛．5．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x （百台）的边际成本为C ′(x )（万元/百台），边际收入为R ′(x )=7－2x （万元/百台）． (1) 求生产量为多少时总利润最大？(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？解：(1) 当C ′(x )=R ′(x )时总利润最大．即2=7－2x ，x=5/2(百台)(2) L ′(x )=R ′(x )－C ′(x )=5－2x ．在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为 ΔL (x )=772255222(52)d 51x x x x-=-=-⎰．即此时总利润减少1万元.6．把长为10m ，宽为6m ，高为5m 的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？解：如图19，区间[x ，x +d x ]上的一个薄层水，有微体积d V =10·6·dx(19)设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为 d w =x ·60g d x =60gx d x ．于是将水全部抽出所作功为 w =⎠⎛0560gx d x=60g 2x 2⎪⎪50 =750g (KJ) ．7．已知()d 1p x x +∞-∞=⎰,其中1,()0,1,x p x x <=≥⎩求C .解：1111()d 0d 0d p x x x x x x +∞-+∞-∞-∞--=⋅++⋅=⎰⎰⎰⎰⎰11001arcsin arcsin π1x x C xC x C --=+=⋅+⋅==⎰⎰所以1πC =.8．已知sin πd 2x x x +∞=⎰，求： 0sin cos (1)d ;x xx x+∞⎰解：(1)原式=001sin(2)1sin πd(2)d .2224x t x t x t +∞+∞==⎰⎰22sin (2) d .x x x+∞⎰解：222002200200020000sin 1cos 2d d 21cos 2d d 22111d cos 2d 2211111d cos 2dcos2222111sin 2cos 2d2222ππ0.22xx x xx x x x x x x x x x xx x x x x xx x xx x x +∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞-==-=+=+⋅-⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰9．计算下列导数：2d (1)d x t x ⎰解：原式2=32d (2)d x x x ⎰解：原式32200d d d d x x x x =-=⎰⎰10．作出下列函数的图形：2(1)()1xf x x=+；解：函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数,2222222223121(1)(1)2(3)(1)x x x y x x x x y x +--'==++-''=+令0y '=，可得1x =±，令0y ''=，得x =0，列表讨论如下：函数有极大值1(1)2f =，极小值1(1)2f -=-，有3个拐点，分别为,⎛ ⎝(0，0)，，作图如上所示.(2) f (x )=x －2arctan x解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,2222114(1)y x xy x '=-+''=+ 令y′=0，可得x =±1，令y″=0，可得x =0.列表讨论如下：又()2limlim(1arctan )1x x f x x x x→∞→∞=-= 且 lim[()]lim (2arctan )πx x f x x x →+∞→+∞-=-=-故πy x =-是斜渐近线，由对称性知πy x =+亦是渐近线.函数有极小值π(1)12y =-，极大值π(1)12y -=-.(0，0)为拐点.作图如上所示. 2(3) ()1x f x x=+；解：函数的定义域为,1x R x ∈≠-.22232(1)(2)(1)(1)(1)2(1)x x x x x y x x x y x +-+'==≠-++''=+令0y '=得x =0，x =－2当(,2]x ∈-∞-时，0,()y f x '>单调增加；当[2,1)x ∈--时，0,()y f x '<单调减少；当(1,0]x ∈-时，0,()y f x '<单调减少；当[0,)x ∈+∞时，0,()y f x '>单调增加, 故函数有极大值f (－2)=－4，有极小值f (0)=0又211lim ()lim1x x x f x x →-→-==∞+，故x =－1为无穷型间断点且为铅直渐近线. 又因()lim 1x f x x →∞=，且2lim(())lim 11x x x f x x x x →∞→∞⎡⎤-==--⎢⎥+⎣⎦，故曲线另有一斜渐近线y =x －1. 综上所述，曲线图形为：(4)2(1)e x y --=.解：函数定义域为(－∞，+∞) .22(1)(1)22(1)e e2(241)x x y x y x x ----'=--''=⋅-+令0y '=，得x =1. 令0y ''=，得12x =±当(,1]x ∈-∞时，0,y '>函数单调增加；当[1,)x ∈+∞时，0,y '<函数单调减少；当2(,1[1,)22x ∈-∞-++∞时，0y ''>，曲线是凹的；当[1]22x ∈-+时，0y ''<，曲线是凸的, 故函数有极大值f (1)=1，两个拐点：1122(1),(1)A B --，又lim ()0x f x →∞=，故曲线有水平渐近线y =0.图形如下：11．判定下列曲线的凹凸性： (1) y =4x －x 2；解：42,20y x y '''=-=-<，故知曲线在(,)-∞+∞内的图形是凸的. (2) sin(h )y x =；解：cosh ,sinh .y x y x '''==由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ''>，当(,0)x ∈-∞时，0y ''<，故y =sinh x 的曲线图形在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的.1(3) (0)y x x x=+> ；解：23121,0y y x x'''=-=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的. (4) y =x arctan x . 解：2arctan 1xy x x'=++，2220(1)y x ''=>+ 故曲线图形在(,)-∞+∞内是凹的.12．在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.解：设圆柱体的高为h , ，223πππ4V h r h h =⋅=-令0V '=, 得.h =时，其体积为最大.13．证明下列不等式: (1) 当π02x <<时， sin tan 2;x x x +> 证明: 令()sin tan 2,f x x x x =--则22(1cos )(cos cos 1)()cos x x x f x x-++'=, 当π02x <<时， ()0,()f x f x '>为严格单调增加的函数，故()(0)0f x f >=, 即sin 2tan 2.x x x ->(2) 当01x <<时， 2e sin 1.2xx x -+<+ 证明: 令2()=e sin 12xx f x x -+--,则()=e cos xf x x x -'-+-,()=e sin 1e (sin 1)0x x f x x x --''--=-+<,则()f x '为严格单调减少的函数,故()(0)0f x f ''<=,即()f x 为严格单调减少的函数,从而()(0)0f x f <=,即2e sin 1.2xx x -+<+14．设f (x ) = x +1(0≤x ≤π)，试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数. 解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx xn==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n∞=--+=∑ (0<x <π)若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰ ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑ (0≤x ≤π)15．求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率： (1) y =ax +b ；(其中a ，b ∈R ，a ≠0) 解：y ′=a 即为边际函数. 弹性为：1Ey axa x Ex axb ax b=⋅⋅=++, 增长率为： y aax bγ=+. (2) y =a e bx ；解：边际函数为：y ′=ab e bx 弹性为：1e ebx bx Ey ab x bx Ex a =⋅⋅=, 增长率为： e ebxy bxab b a γ==. (3) y =x a解：边际函数为：y ′=ax a －1.弹性为：11a a Ey ax x a Ex x-=⋅⋅=,增长率为： 1.a y a ax ax xγ-==16．判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:2(1); (2)ln 1xy y x x x ==++ 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有201x x ≤+,当0x >时,有21122x x x x ≤=+,故(,),x ∀∈-∞+∞有12y ≤.即函数21xy x =+有上界. 又因为函数21xy x =+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数21xy x =+有界. 又由1212121222221212()(1)11(1)(1)x x x x x x y y x x x x ---=-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而当12x x >且121x x >时,12y y <. 故函数21xy x=+在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞),10,0M x ∀>∃>且12;e 0M x M x >∃>>,使2ln x M >.取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增.17．设0a >，且b 与n a 相比是很小的量，证明：1.n b a na-≈+11x n≈+，有11(1)n n b b a a n a na-=≈+⋅=+.18．求n 次多项式1101nn n n y a x a xa x a --=++++的n 阶导数.解： 1()()1()()()()0100()()()()=()=!n n n n n n n n n n n ya x a x a x a a x a n --=++++⋅19．用对数求导法求下列函数的导数： ⑴y =解：1(ln )[ln(2)4ln(3)5ln(1)]2y y y y x x x '''=⋅=⋅++--+45(3)145[](1)2(2)31x x x x x -=--++-+ ⑵ cos (sin );xy x =解：2cos (ln )(cos ln sin )1[(sin )ln sin cos cos ]sin cos (sin )(sin ln sin )sin xy y y y x x y x x x x xx x x x x'''==⋅=-+⋅⋅=- ⑶2x y =解：211(ln )[2ln(3)ln(5)ln(4)]22111 ].32(5)2(4)x y y y y x x x x x x x '''==++-+--=+--++-20．试求曲线exy -=在点（0，1）及点（－1，0）处的切线方程和法线方程.解：231e e (1)3xxy x ---'=-⋅+12. 3x x y y ==-''=-=∞故在点（0，1）处的切线方程为：21(0)3y x -=--，即2330x y +-=法线方程为：21(0)3y x -=-，即3220x y -+= 在点（－1，0）处的切线方程为：1x =- 法线方程为：0y =21．设12()()()()0n p x f x f x f x =≠，且所有的函数都可导，证明：1212()()()()()()()()n n f x f x f x P x P x f x f x f x ''''=+++证明：1212121212()1[()()()()()()()()()]()()()()().()()()n n n n n P x f x f x f x f x f x f x f x f x f x P x P x f x f x f x f x f x f x ''''=+++'''=+++22．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0,t ]内，转过角度θ，从而转角θ是t 的函数：()t θθ=.如果旋转是匀速的，那么称tθω=为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻0t 的角速度？解：设此角速度值为ω,则0000()()lim ()t t t t t tθθωθ∆→+∆-'==∆.23．已知2()max{,3}f x x =，求()f x '.解：23, (),x f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩当x <时，()0f x '=, 当x >时，()2f x x '=,2(((0,x xx f x f-+'===-'==故(f '不存在.又20,(x x x f f x -+'=='==+= 故f '不存在. 综上所述知0, ()2, x f x x x ⎧<⎪'=⎨>⎪⎩24．下列各题中均假定0()f x '存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么.(1) 000()()lim;x f x x f x A x∆→-∆-=∆解：0000000()()()()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆故0()A f x '=-(2) 000()()0,lim ;x x f x f x A x x→==- 解：00000()()limlim ()x x x x f x f x f x x x x x →→'=-=---故0()A f x '=- (3) 000()()lim.h f x h f x h A h→+--=解：00000000000000000()()()()()()limlim ()()()()lim lim()()2()h h h h f x h f x h f x h f x f x h f x h h h f x h f x f x h f x h h f x f x f x →→→→+--+---⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦+---=+-'''=+= 故02().A f x '=25．利用0sin lim1x xx→=或等价无穷小量求下列极限：002000sin (1)lim ;(2)lim cot ;sin 1cos 2(3)lim ;sin arctan 3(5)lim;(6)lim 2sin ;2x x x x x n n x n mxx x nx x x x x xx →→→→→→∞-22102320020041arctan (7)lim ;(8)lim ;arcsin(12)sin arcsin 2tan sin cos cos (9)lim ;(10)lim ;sin 1cos 4(12)lim 2sin t x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x αβ→→→→→→-----+ 222200;an ln cos ln(sin e )(13)lim ;(14)lim .ln cos ln(e )2x x x x x ax x x bx x x→→+-+-解：(1)因为当0x →时，sin ~,sin ~,mx mx nx nx 所以00sin limlim .sin x x mx mx mnx nx n→→==00002000limcos cos (2)lim cot lim cos lim 1.sin sin sin lim1cos 22sin sin (3)lim lim 2lim 2.sin sin x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx x x x x x x x→→→→→→→→=⋅===-=== (4)因为当0x →时，2221ln(1e sin )~e sin 1~2x x x x x +,所以22200002e sin sin lim lim 2e lim 2.12x x x x x x x x x x x→→→→⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭ (5)因为当0x →时，arctan3~3,x x 所以00arctan 33limlim 3x x x xxx →→==.sinsin 22(6)lim 2sin lim lim .222n n n n n n n n nx xx x x x x x →∞→∞→∞=⋅==(7)因为当12x →时，arcsin(12)~12x x --,所以22111122224141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→---+===-+=---- (8)因为当0x →时，22arctan ~,sin~,arcsin ~,22x xx x x x 所以 2200arctan lim lim 2sin arcsin 22x x x x xx x x →→==⋅.(9)因为当0x →时，2331sin ~,1cos ~,sin ~2x x x x x x -,所以 233300001tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11lim .2cos 2x x x x x x x x x x x x xx x x →→→→⋅--==⋅== (10)因为当0x →时，sin~,sin~2222x x x x αβαβαβαβ++--，所以22002222sinsincos cos 22lim lim 222lim1().2x x x x xx xx x x xx αβαβαβαβαββα→→→+---=+--⋅⋅==-(11)因为当0x →时，~)~,x x --所以000 1.x x x →→→==-=-(12)因为当0x →时，sin ~,sin 2~2,x x x x 所以2222200222200201cos 42sin 2lim lim 2sin tan sin (2sec )2(2)8lim lim (2sec )2sec 84.lim(2sec )x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x →→→→→-=++⋅==++==+ (13)因为ln cos ln[1(cos 1)],ln cos ln[1(cos 1)],ax ax bx bx =+-=+- 而当0x →时，cos 10,cos 10ax bx -→-→故 ln[1(cos 1)]~cos 1,ln[1(cos 1)]~cos 1,ax ax bx bx +--+-- 又当x →0进，2222111cos ~,1cos ~,22ax a x bx b x --所以 22220000221ln cos cos 11cos 2lim lim lim lim .1ln cos cos 11cos 2x x x x a xax ax ax a bx bx bx b b x→→→→--====-- (14)因为当0x →时，222sin 0,0e exx x x →→故 222222sin sin ln ~,ln ~,11e ee e x x xx x xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以22222222200022222000020sin ln 1ln(sin e )ln(sin e )ln e e lim lim lim ln(e )2ln(e )ln e ln 1e sin sin sin e lim lim e lim e lim e e 1 1.x x xx x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x →→→→→→→⎛⎫+ ⎪+-+-⎝⎭==+-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=26．解:因为221(1)()(1)11x a x a b x b ax b x x +--++---=++ 由已知211lim 21x x ax b x →∞⎛⎫+=-- ⎪+⎝⎭知，分式的分子与分母的次数相同，且x 项的系数之比为12，于是 10a -= 且()112a b -+= 解得 31,2a b ==-.27．用函数极限定义证明：22222102sin 314(1)lim 0; (2)lim 3; (3)lim 4; 42141(4)lim 2; (5)lim sin 0.21x x x x x x x x x x x x x x x →+∞→∞→-→→---===-++-==+证：(1)0ε∀>,要使1sin sin 0x xx x xε=≤<-, 只须1x ε>,取1X ε>，则当x X >时，必有sin 0xxε<-, 故sin lim0x xx→+∞=.(2)0ε∀>,要使22221313313||44x x x x ε-=<<-++,只须x >取X =X x >时，必有223134x x ε-<-+, 故2231lim 34x x x →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使24(4)22x x x ε-=<--++, 只要取δε=，则当02x δ<<+时，必有24(4)2x x ε-<--+,故224lim42x x x →--=-+. (4) 0ε∀>,要使21142221221x x x x ε-==<+-++,只须122x ε<+，取2εδ=，则当102x δ<<+时，必有214221x x ε-<-+故21214lim 221x x x →--=+.(5) 0ε∀>,要使11sin0sin x x x x xε=≤<-, 只要取δε=，则当00x δ<<-时，必有1sin 0x xε<-, 故01lim sin0x x x→=.28．根据数列极限的定义证明:21313(1)lim0;(2)lim ;212(3)1;(4)lim 0.999 1.n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-==+== 个证: (1)0ε∀>,要使22110n n ε=<-,只要n >.取N =,则当n>N 时,恒有210nε<-.故21lim 0n n →∞=. (2) 0ε∀>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要5n ε>,取5N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故313lim212n n n →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使2221a n ε=<<,只要n >取n =,则当n>N 时,1ε<-,从而lim 1n n →∞=. (4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <-个,故0ε∀>,不防设1ε<,要使1,0.999110n n ε=<-个只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则当n N >时,恒有,0.9991n ε<-个故lim 0.9991n n →∞=个.29．对下列数列求lim n n a x →∞=,并对给定的ε确定正整数()N ε,使对所有()n N ε>,有nx a ε-<:1π(1)sin ,0.001; (2)0.0001.2n n n x x n εε====解: (1)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使11π0sin2n n x n n ε-=<<,只须1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,必有0n x ε-<.当0.001ε=时,110000.001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于1000的整数. (2)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使0n x ε-==<=<1ε>即21nε>即可.取21Nε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N>时,有0nxε-<.当0.0001ε=时, 821100.0001N⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于108的整数.30．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（）.⑴21sinlimsinxxxx→；⑵lim(1)xxkx→+∞+；⑶sinlimsinxx xx x→∞-+；⑷e elim.e ex xx xx--→+∞-+解：⑴∵200111sin2sin coslim limsin cosx xx xx x xx x→→-=不存在,（因1sinx，1cosx为有界函数）又2001sin1lim lim sin0sinx xxx xx x→→==,故不能使用洛必达法则.⑶∵sin1coslim limsin1cosx xx x xx x x→∞→∞--=++不存在,而sin1sinlim lim 1.sinsin1x xxx x xxx xx→∞→∞--==++故不能使用洛必达法则.⑷∵e e e e e elim lim lime e e e e ex x x x x xx x x x x xx x x------→+∞→+∞→+∞-+-==+-+利用洛必达法则无法求得其极限.而22e e1elim lim1e e1ex x xx x xx x----→+∞→+∞--==++.故答案选（2）.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题2．无3．无4．无5．无6．无7．无8．无9．无10．无11．无12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)AKS

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．椭圆22169400x y +=上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？解：方程22169400x y +=两边同时对t 求导，得d d 32180d d x y x y t t ⋅+⋅= 由d d d d x y t t -=. 得 161832,9y x y x == 代入椭圆方程得：29x =，163,.3x y =±=±即所求点为1616,3,3,33⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f (x )在[-π,π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩ (2)()()2πx π=-≤≤f x x ；(3)()ππ,π,22ππ,,22ππ,π;22⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩x f x x x x (4)()()cos ππ2=-≤≤xf x x .解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有 ()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx x n n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰ 于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑ (x ≠n π) (2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==⎰， ()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππn n a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…) 所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：()()221π41cos 3n n f x nx n∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞) (3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n n b f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nx n n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z ) (4)因为()cos 2x f x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，。

2019年秋季学期 2019级高数上期末试题参考答案

2)
=
dx x
，
两边积分得
1 ln u −=2 ln x + ln C ，即 u − 2 = ±C2 x2 ，
2u
u
记 C1 =
±C 2
，所以
u
− u
2
=
C1 x 2
．将
u
=
y x
回代，整理得
y = 2x , 1 − C1x2
由 y (1) = 1 得 C1
=
−1 ，所以所求得特解为
y
=
2x 1+ x2
因此 F ′′(x) = f (x) + f (x) = 2 f (x) ，即得 f (x) = 1 F ′′(x) . 2
(2)将函数 f (x) 在 x = 1 处展为泰勒公式得， 3
f= (x) f (1) + f ′(1)(x − 1) + f ′′(x ) (x − 1)2 ≤ f (1) + f ′(1)(x − 1)
故
∫ xf ′(x) d x = ∫ xdf (x) = xf (x) − ∫ f (x)dx
3．解由于
= x − ln(x + 1+ x2 ) + C ． 1+ x2
∫ ∫ I =
2π x cos8
xdx
0
=
(2π − t) cos8 t(−dt)
(=x 2π − t )
0
2π
∫ ∫ ∫ ∫ = 2π (2π − t) cos8 tdt = 2π 2π cos8 tdt − 2π t cos8 tdt = 2π 2π cos8 tdt −I ,
一、选择题
ABBA

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)AAF

8．无
9．无
10．无
11．无
12．无
13．无
14．无
15．无
16．无
17．无
18．无
19．无
20．无
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无
29．无
30．无
故
16．设 ,求 .
解:
17．球的半径以速率v改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？
解：
18．计算的近似值，使误差不超过 .
解：
19．求函数在处的阶泰勒公式.
解：
20．利用泰勒公式求下列极限：
⑴ ⑵ (3)
解：⑴
⑵
(3)令 ,当时，，
21．求下列函数的微分：
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷ ；
⑸ ；⑹ .
当时 ,
因此，曲线有三个拐点(－1，－1)， .
因为 =0
因此三个拐点在一条直线上.
11．利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：
;
证明：令
，
则曲线y=f(x)是凹的，因此，
,
即 .
;
证明：令f(x)=ex
.
则曲线y=f(x)是凹的，
则
即 .
证明：令f(x)=xlnx(x>0)
则曲线是凹的，，x≠y，有
证明：在[a，b]内存在，故在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且，故由罗尔定理知，，使得，，使得，又在上连续，在内可导，由罗尔定理知，，使，即在（a，b）内至少有一点，使 .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)BW

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求下列函数的极值:(1) 223y x x =-+；解: 22y x '=-,令0y '=，得驻点1x =.又因20y ''=>，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y =.(2) 3223y x x =-；解: 266y x x '=-,令0y '=，得驻点120,1x x ==, 126y x ''=-,010,0x x y y ==''''<>,故极大值为(0)0y =，极小值为(1)1y =-.(3) 3226187y x x x =--+；解: 2612186(3)(1)y x x x x '=--=-+,令0y '=，得驻点121,3x x =-=. 1212y x ''=-,130,0x x y y =-=''''<>,故极大值为(1)17y -=，极小值为(3)47y =-.(4) ln(1)y x x =-+；解: 1101y x'=-=+，令0y '=，得驻点0x =. 201,0(1)x y y x =''''=>+,故(0)0y =为极大值. (5) 422y x x =-+；解: 32444(1)y x x x x '=-+=-，令0y '=，得驻点1231,0,1x x x =-==. 210124, 0,0,x x y x y y =±=''''''=-+<>故(1)1y ±=为极大值，(0)0y =为极小值.(6) y x =+解: 1y '=-,令0y '=，得驻点13,4x =且在定义域(,1]-∞内有一不可导点21x =，当34x >时， 0y '<;当34x <时， 0y '>,故134x =为极大值点，且极大值为35()44y =. 因为函数定义域为1x ≤，故1x =不是极值点. (7)y =解:y '=,令0y '=，得驻点125x =.当125x >时， 0y '<；当125x <，0y '>,故极大值为12()5y =(8) 223441x x y x x ++=++；解: 2131x y x x +=+++,22(2)(1)x x y x x -+'=++, 令0y '=，得驻点122,0x x =-=.2223(22)(1)2(21)(2)(1)x x x x x x y x x --+++++''=++ 200,0x x y y =-=''''><,故极大值为(0)4y =，极小值为8(2)3y -=. (9) e cos x y x =；解: e (cos sin )x y x x '=-,令0y '=，得驻点ππ (0,1,2,)4k x k k =+=±±. 2e sin x y x ''=-，ππ2π(21)π440,0x k x k y y =+=++''''<>，故2π2π 4k x k =+为极大值点，其对应的极大值为π2π42()k k y x +=;21π(21)π 4k x k +=++为极小值点，对应的极小值为π(21)π421()e 2k k y x +++=-. (10) 1xy x =；解: 11211ln (ln )x x x y x x x x x-''==, 令0y '=，得驻点e x =. 当e x >时， 0y '<，当e x <时， 0y '>, 故极大值为1e (e)e y =.。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)LR

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求函数e e 2x xy -+=的2n 阶麦克劳林展开式.解：2221222122212211e e [e e ][11]222!(2)!(21)!2!(2)!(21)!1e e [222]22!(2)!(21)!12!(2)n n x n n x x x n x x n n x x x x x x y x x n n n n x x x n n x x n θθθθ++---+=+=++++++-+++-++-=+⋅++++=+++21e e (01).!2(21)!x x n x n θθθ-+-+<<+60. 设()f x 在0x 的某区间上，存在有界的二阶导函数.证明：当x 在0x 处的增量h 很小时，用增量比近似一阶导数0()f x '的近似公式000()()()f x h f x f x h+-'≈,其绝对误差的量级为()O h ，即不超过h 的常数倍. 证明：0()f x h +在0x 处泰勒展开式为20000()()()() (01)2f x h f x h f x f x h h θθ''+'+=++<<,则0000()()()()2f x h f x f x h f x h h θ''+-+'-=, 又知 0()f x h M θ''+≤,故 0()22f x h Mh h θ''+≤,即000()()()f x h f x f x h+-'≈的绝对误差为()O h .2．设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为 C ′(x )=x 2－14x +111，R ′(x )=100－2x ．试求最大利润．解：设利润函数L (x )．则L (x )=R (x )－C (x )－50由于L ′(x )=R ′(x )－C (x )=(100－2x )－(x 2－14x +111)=－x 2+12x －11 令L ′(x )=0得x =1，x =11．又当x =1时，L ″(x )=－2x+12>0．当x =11时L ″(x )<0，故当x =11时利润取得最大值．且最大利润为L (11)=1120(1211)d 50x x x -+--⎰311013341[611]50111.333x x x =-+--==3．求正弦交流电0i I sin t ω=经过半波整流后得到电流0πsin ,0π2π0,I t t i t ωωωω⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩的平均值和有效值。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)RD

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．一飞机沿抛物线路径210000x y =( y 轴铅直向上，单位为m )做俯冲飞行，在坐标原点O 处飞机速度v =200 m ·s -1，飞行员体重G =70kg ，求飞机俯冲至最低点即原点O 处时，座椅对飞行员的反力. 解：0010,5000x x y y =='''== ， 23/2(1)5000y R y '+==''飞行员在飞机俯冲时受到的向心力22702005605000mv F R ⋅=== (牛顿) 故座椅对飞行员的反力560709.81246F =+⨯= (牛顿).2．将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为：(1) f (x )=1-x 2 1122x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭； (2)()21,30,1,0 3.x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩解：（1） f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x )，由于f (x )为偶函数，有b n =0 (n =1,2,3,…)()()112221002112d 41d 6a f x x x x -==-=⎰⎰， ()()()()112221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x x n n -+==--==⎰⎰ 所以 ()()12211111cos 2π12πn n f x n x n +∞=-=+∑ (-∞<x <+∞) (2) ()()303033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤==++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn n n x a f x x n x n x x x x n n --==++⎡⎤=--=⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,πn n n x b f x x n x n x x x x n n --+==++=-=⎰⎰⎰ 而函数f (x )在x =3(2k +1)，k =0,±1,±2,…处间断，故()()()122116π6π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ (x ≠3(2k +1)，k =0,±1,±2,…)3．将f (x ) = 2+|x | (-1≤x ≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数211n n ∞=∑的和. 解：f (x )在(-∞,+∞)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f (x )是偶函数，故b n =0,(n =1,2,…) ()()11010d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰ ()()()11102cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰所以 ()()()221cos 21π542π21n n x f x n ∞=-=--∑，x ∈[-1,1] 取x =0得，()2211π821n n ∞==-∑，故 ()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑ 所以211π6n n ∞==∑4．求下列级数的和函数：。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)OT

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)AKV

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．试证:方程sin x x =只有一个实根.证明:设()sin f x x x =-，则()cos 10,f x x =-≤()f x 为严格单调减少的函数，因此()f x 至多只有一个实根.而(0)0f =，即0x =为()f x 的一个实根，故()f x 只有一个实根0x =，也就是sin x x =只有一个实根.2．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f (x )在[-π,π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩ (2)()()2πx π=-≤≤f x x ；(3)()ππ,π,22ππ,,22ππ,π;22⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩x f x x x x (4)()()cos ππ2=-≤≤xf x x .解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有 ()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx x n n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑ (x ≠n π) (2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==⎰， ()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππn n a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…) 所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：()()221π41cos 3n n f x nx n∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞) (3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n n b f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nx n n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z ) (4)因为()cos 2x f x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()ππ-π0π0π01212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x x a nx x nx x n x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰ 所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nx f x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π]3．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间：。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)UW

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．设21lim 51x x mx n x →++=-,求常数m , n 的值. 解：要使21lim 51x x mx n x →++=-成立，则21lim()0x x mx n →++=,即10m n ++= 又2112lim lim 2511x x x mx n x m m x →→+++==+=- 得3,4m n ==-2．写出函数()21π00πx f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩的傅里叶级数的和函数．解：f (x )满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f (x )，在间断点x =0，x =±π处，分别收敛于()()00122f f -++=-，()()2πππ122f f -++-=，()()2πππ122f f -+-+--=，综上所述和函数． ()221π00π102π1π2x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩3．将函数()0arctan d xt F t x t=⎰展开成x 的幂级数．解：由于()210arctan 121n n n t t n +∞==-+∑ 所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx n n n n x n n n n t t F t t x t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）4．将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数．解：21113212x x x x =-++++ 而 ()()()010********31314413334713n n n n n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑ 又()()()010********21214412224622n n n n n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n nn n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑5．某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期．解：投资20年中总收入的现值为205%5%2001200800e d (1e )5%400(1e )2528.4 ()t y t --⋅-==-=-=⎰万元纯收入现值为 R =y －800=2528.4－800=1728.4(万元)。

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2019最新高等数学期末考试试题（含答案）
一、解答题
1．在半径为r的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.
解：设圆柱体的高为h,
，
2
23
π
ππ
4
V h r h h
=⋅=-
令0
V'=,
得.
h=
时，其体积为最大.
2．若2
lim
n
n
n U
→∞
存在，证明：级数
1
n
n
U
∞
=
∑收敛．
证：∵2
lim
n
n
n U
→∞
存在，∴∃M>0，使|n2U n|≤M，
即n2|U n|≤M，|U n|≤
2
M
n
而
2
1
n
M
n
∞
=
∑收敛，故
1
n
n
U
∞
=
∑绝对收敛．
3．判定下列级数的敛散性：
(1)
1
n
∞
=
∑；
(2)
()() 1111
1661111165451
n n
+++++⋅⋅⋅-+
；
(3) ()
23
1
3
3
2222
1
3333
n
n
n
-
-+-++
-；
(4)
1
5
5
n
++
+++；
解：
(1) (1
1
n
S n
=++++
=
从而lim
n
n
S
→∞
=+∞，故级数发散．
(2) 111111111566111116
5451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝
⎭
⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15
． (3)此级数为23q =-
的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散． 4．求正弦交流电0i I sin t ω=经过半波整流后得到电流
0πsin ,0π2π0,I t t i t ωωωω⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩
的平均值和有效值。

解：ππ2π00π0
0021sin d 0d cos ππππI I i I t t t t ωωωωωω
ωωωω⎡⎤=+
==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 有效值 I =2ππ2π2222π000π2220001()d ()d ()d ()d 2π2πsin d 2π4
T i t t i t t i t t i t t T I I t t ωωωωωωωωω
⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰⎰ 故有效值为 02
I I =.
5．设有一半径为R ，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m 的质点，试求细棒对该质点的引力。

解：如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段d s 对质点N 的引力的近似值即为引力元素
（图22）。