《代数结构》课件
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第5章代数结构
S
M
• (R, )是独异点. • (*, ◦, )是独异点, 而(+, ◦)不是.
小结与作业
代数结构的定义
半群及独异点
作业
习题5.1 2, 3
第5章 代数结构
5.1 代数结构简介
本讲内容
1 2
3
代数结构的定义
两种最简单的代数结构: 半群及独异点
子代数 代数结构的同态与同构
4
• 3.子代数
本讲内容
1 2
3
群的有关概念
子群
群的同态
• 1. 群的有关概念
• 非空集合G, G上的运算“” 满足的运算性 质“游戏规则”: 程序设计语言和自动机? • Def 5-10 设G , 是G上的2元代数运算,若 下列3个条件成立,则称(G, )为群(group). • (1) 满足结合律; • (2) G关于有单位元, 通常记为e; • (3) G中每一个元素在G中都有逆元. 封闭性, 结合性, 幺元性, 逆元性.
• 下面的例子可以进一步帮助理解同态像是 如何对原代数结构进行缩影的.
• 例5-9 验证: 代数结构(Z, .)与(B, *)同态,其中 “.‖Z上的乘法运算, B = {正, 负, 零}, B上的 运算定义见下表:
* 正 负 零
正 负 零
正 负 零 负 正 零 零 零 零
• Hint
正, x 0 : Z B, ( x) 负, x 0. 零, x 0
第5章 代数结 2
3
代数结构的定义
两种最简单的代数结构: 半群及独异点
子代数
4
代数结构的同态与同构
Chapter 5 代数结构
• 代数方法建立的数学模型.
《代数结构》PPT课件
第五章 代数结构
本章主要内容
• 代数系统的引入，运算的性质：封闭性、结合性、分配性、交换性； • 主要的代数系统：广群、半群、独异点、群、子群；代数系统之间的
关系； • 交换群和循环群； • 陪集、拉格朗日定理； • 同态映射、同构映射； • 环、同态象、域。
学习要求
• 本章从一般代数系统的引入出发，研究一些特殊的代数系统中运算的 性质。通过本章的学习使学生了解代数系统的结构与性质。
则容易验证∘对于运算*是可分配的，但*对于运算∘是不可分 配的。如1*(0∘1)=1≠0=(1*0)∘(1*1)
2020/11/20
20
定理 设*和∘是非空集合A上的两个二元运算，*是可交换的。
如果*对于运算∘满足左分配律或右分配律，则运算*对于运
算∘是可分配的。
证明：设*对于运算∘满足左分配律，且∗是可交换
接受一角硬币和二角五分硬币，而所对应的商品是桔子水、
可口可乐和冰淇淋。当人们投入上述硬币的任何两枚时，自
动售货机将按表5-1.1所示供应相应的商品。
表格左上角的记号*可以理解为一个二元运算的运算符。
这个例子中的二元运算*就是集合{一角硬币，二角五分硬币}
上的不封闭运算。
表 5-1.1
*
一角硬币 二角五分硬币
加法运算呢？
解：对于任意的2r,2sA，r，sN，因为2r·2s=2r+sA所以
乘法运算是封闭的。而对于加法运算是不封闭的，因为至
少有2+22=6A
2020/11/20
15
二、可交换性
定义5-2.2 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于 任意的x,yA，都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是可
即 a*(a∘b)=a 同理可证a∘(a*b)=a
本章主要内容
• 代数系统的引入，运算的性质：封闭性、结合性、分配性、交换性； • 主要的代数系统：广群、半群、独异点、群、子群；代数系统之间的
关系； • 交换群和循环群； • 陪集、拉格朗日定理； • 同态映射、同构映射； • 环、同态象、域。
学习要求
• 本章从一般代数系统的引入出发，研究一些特殊的代数系统中运算的 性质。通过本章的学习使学生了解代数系统的结构与性质。
则容易验证∘对于运算*是可分配的，但*对于运算∘是不可分 配的。如1*(0∘1)=1≠0=(1*0)∘(1*1)
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定理 设*和∘是非空集合A上的两个二元运算，*是可交换的。
如果*对于运算∘满足左分配律或右分配律，则运算*对于运
算∘是可分配的。
证明：设*对于运算∘满足左分配律，且∗是可交换
接受一角硬币和二角五分硬币，而所对应的商品是桔子水、
可口可乐和冰淇淋。当人们投入上述硬币的任何两枚时，自
动售货机将按表5-1.1所示供应相应的商品。
表格左上角的记号*可以理解为一个二元运算的运算符。
这个例子中的二元运算*就是集合{一角硬币，二角五分硬币}
上的不封闭运算。
表 5-1.1
*
一角硬币 二角五分硬币
加法运算呢？
解：对于任意的2r,2sA，r，sN，因为2r·2s=2r+sA所以
乘法运算是封闭的。而对于加法运算是不封闭的，因为至
少有2+22=6A
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二、可交换性
定义5-2.2 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于 任意的x,yA，都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是可
即 a*(a∘b)=a 同理可证a∘(a*b)=a
离散数学课件 第五章 代数结构_2
aHbH，同理bHaH
aH=bH
拉格朗日定理
定理5-7.1(拉格朗日定理) 设<H，>为有限群<G， >的子群，|G|=n, |H|=m, 那么|G|/|H| = n/m是 整数，即m|n 。
拉格朗日定理的推论
推论1 任何质数阶的群不可能有非平凡子群。 推论2 设<G,>为n阶有限群，那么对于任意aG,a 的阶必是n的因子且必有an=e,这里e是群<G,>的幺 元。如果n为质数，则<G,>必是循环群。
陪集举例
例1.求出<N6,+6>关于子群<{[0],[3]},+6>的所有左 陪集,右陪集。 解:令H={[0],[3]}, 则左陪集: 右陪集: [0]H={[0],[3]}=[3]H H[0]={[0],[3]}=H[3] [1]H={[1],[4]}=[4]H H[1]={[1],[4]}=H[4] [2]H={[2],[5]}=[5]H H[2]={[2],[5]}=H[5] 从中可以看出：{[0]H,[1]H,[2]H}是G的一个划分。
补充：元素的阶（a的阶，记为|a| ）
1．元素a的幂的定义
定义：给定群<G, * >,aG,若nN,则定义:
a0 = e,
an+1 = an * a,
a-n = a-1 * a-1 * * a-1= (a-1)n =(an)-1
对m用归纳法可证：am * an = am+n (m,nI),
5-5 阿贝尔群和循环群
定义 5-5.1 设 <G,>为一群,若 运算满足交 换律，则称G为交换群或阿贝尔群(Abel group)。 例：由于加法运算“+”满足交换律，因此群 <Z，+ >，<R, +>，<Q, +>，<C, +>都是交换群。
代数结构
代數結構
9
[Z5,+5] 與 [Z5,× 5]
[Z5,+5] 的單位元素是 0 而 [Z5,× 5] 的單位元素則 是 1。 從表 7.1 也可以看出每一個 [Z5,+5] 的元素都有 反元素，例如 2 的反元素是 3，因為 2 +5 3 = 0。 因此，[Z5,+5] 是一個交換群。 在 [Z5,× 5] 中，除了 0 以外的所有元素都有反元 素。 [Z5,× 5]因此只能算是一個交換單群。
38
拉格蘭吉定理
2013/7/12
代數結構
39
拉格蘭吉定理
必頇注意的是，如果一個群 G 的級數 （元素個數）是 n 而 m 是可以除盡 n 的 一個正整數，這並不保證 G 一定有一個 級數為 m 的子群！
2013/7/12
代數結構
40
[nZ,+]
我們可以很容易地就驗證 [nZ,+] 是 [Z,+]的子群。 不僅如此，事實上， [nZ,+] 還是 [Z,+] 唯一的 子群。 要證明這一點，讓我們假設 [S,+] 是任何一個 [Z,+] 的子群。 如果 S={0}，則 S=0Z。 如果 S{0}，那麼假設 m 是 S 的一個元素且 m0。 M 要麻是一個正數，或者 m 是一個負數，則 -mS 且 –m 是正數。
代數結構
57
冪 等 性 質
儘管一般的整數算術也滿足布林代數的 許多性質，但是，單單冪等性質應該就 足以說服我們算術不是布林代數。 除非 x=0，否則 x+x=x 這個性質對於一般 的數與一般的加法都不成立。
2013/7/12
代數結構
58
二重性
在布林代數的定義裡的每一個性質都有都有它的二重 性性質，即將任何一個等式中的 +, , 1, 0 分別取代以 , +, 0, 1，所得結果是另一個有效的等式。 因此，一旦我們證得一個布林代數的新性質 P，我們 可以將證明中的每一個步驟取代以它的二重性步驟。 其結果是 P 的二重性性質的證明。 因此，一旦我們證得了 P，我們知道 P 的二重性性質 也成立。 例如，由於 x+x=x，因此根據二重性，我們知道 xx=x。
代数结构
第4章 代数结构
1 什么是代数系统 2 代数系统的特殊运算 3 代数系统的特殊元素 4 同构 5 同态
a
1
1 代数系统
定义 设有一个非空集合A，有若干个定义在该集合上的k 个运算f1，f2，… ，fk，如果这k个运算都是封闭的，那么有集 合A连同这些运算所组成的系统就称为一个代数系统，记作<A ，f1，f2，… ，fk>。 例 正整数集合I+以及在该集合上的普通加法运算 + 组成一
数f,使得对于A中任何元素a,b都有f(a*b)=f(a) ⊕f(b),
则称(A,*)和(B, ⊕)同构，f为(A,*)和(B, ⊕)的同构映射
特殊的， (A,*)和(A,*)之间的同构映射为自同构映射，简称自同构
a
14
例 A={x|x=2n,n∈ N+},证明(A,×)和(N+,+)同构
证：f是A到N+的双射函数 f(2k)=k 对于A中任意元素2i,2j，都有 f(2i X 2j)=f(2i+j)=i+j f(2i)+f(2j)=i+j f(2i X 2j) ＝ f(2i)+f(2j)
a
10
习题
代数系统（N7 ,7）的等幂元、幺元、零元、以及各元素的逆元 1.等幂元：0,1 2.幺元：1 3.零元：0 4.逆元：0无逆元；1逆元为1，2和4互为逆元，3和5互为逆元
6逆元为6
a
11
求代数系统(R,a+b-ab)的等幂元、幺元、零元、逆元 等幂元：0,1 幺元：0 零元：1 逆元：a/(a-1)
a
13
同构
*abc aaab bbbc cc ca
⊕x y x xxxy yyyz z zzx
1 什么是代数系统 2 代数系统的特殊运算 3 代数系统的特殊元素 4 同构 5 同态
a
1
1 代数系统
定义 设有一个非空集合A，有若干个定义在该集合上的k 个运算f1，f2，… ，fk，如果这k个运算都是封闭的，那么有集 合A连同这些运算所组成的系统就称为一个代数系统，记作<A ，f1，f2，… ，fk>。 例 正整数集合I+以及在该集合上的普通加法运算 + 组成一
数f,使得对于A中任何元素a,b都有f(a*b)=f(a) ⊕f(b),
则称(A,*)和(B, ⊕)同构，f为(A,*)和(B, ⊕)的同构映射
特殊的， (A,*)和(A,*)之间的同构映射为自同构映射，简称自同构
a
14
例 A={x|x=2n,n∈ N+},证明(A,×)和(N+,+)同构
证：f是A到N+的双射函数 f(2k)=k 对于A中任意元素2i,2j，都有 f(2i X 2j)=f(2i+j)=i+j f(2i)+f(2j)=i+j f(2i X 2j) ＝ f(2i)+f(2j)
a
10
习题
代数系统（N7 ,7）的等幂元、幺元、零元、以及各元素的逆元 1.等幂元：0,1 2.幺元：1 3.零元：0 4.逆元：0无逆元；1逆元为1，2和4互为逆元，3和5互为逆元
6逆元为6
a
11
求代数系统(R,a+b-ab)的等幂元、幺元、零元、逆元 等幂元：0,1 幺元：0 零元：1 逆元：a/(a-1)
a
13
同构
*abc aaab bbbc cc ca
⊕x y x xxxy yyyz z zzx
离散数学代数结构部分演示精品PPT课件
例5.2 设Q是有理数集合，*是Q上的二元 运算，对任意的a，b∈Q，a*b＝a+ba·b，问运算*是否可交换。
解：因为 a*b＝a+b-a·b＝b+a-b·a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
7
5.1节 二元运算及其性质
➢定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。
义两个二元运算*和★，对于任意 x，y∈N，有x*y＝max(x，y)， x★y＝min(x，y)，
验证运算*和★满足吸收律。
13
解：对于任意a，b∈N a*(a★b)＝max(a，min(a，b))＝a
a★(a*b)＝min(a，max(a，b))＝a 因此，*和★满足吸收律。
14
5.2节 二元运算中的特殊元素 1. 幺元 ➢定义5.7 设*是S上的二元运算，
23
2. 逆元 ➢定义5.9 设*是S上的二元运算，
24
例5.8 整数集Z上关于加法的幺元是0，对 任意的整数m，它关于加法的逆元是-m, 因为
25
➢定理5.5 设*是S上可结合的二元运算， e为幺元,如果S中元素x存在（关于运 算* ）的逆元， 则必是惟一的。
所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。
15
➢在自然数集N上加法的幺元是0，乘法 的幺元是1. 对于给定的集合和运算有的存在幺 元，有的不存在幺元。
16
17
➢ 定理5.1 设*是S上的二元运算， 如果S中存在关于运算*的）幺元， 则必是唯一的。
所以幺元是唯一的。
18
➢定理5.2 设*是S上的二元运算，
如果S中既存在关于运算*的左幺元 el ，
2 封闭性 集合S中任意的两个元素运算的结果都是 属于S的，就是说S对该运算是封闭的
解：因为 a*b＝a+b-a·b＝b+a-b·a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
7
5.1节 二元运算及其性质
➢定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。
义两个二元运算*和★，对于任意 x，y∈N，有x*y＝max(x，y)， x★y＝min(x，y)，
验证运算*和★满足吸收律。
13
解：对于任意a，b∈N a*(a★b)＝max(a，min(a，b))＝a
a★(a*b)＝min(a，max(a，b))＝a 因此，*和★满足吸收律。
14
5.2节 二元运算中的特殊元素 1. 幺元 ➢定义5.7 设*是S上的二元运算，
23
2. 逆元 ➢定义5.9 设*是S上的二元运算，
24
例5.8 整数集Z上关于加法的幺元是0，对 任意的整数m，它关于加法的逆元是-m, 因为
25
➢定理5.5 设*是S上可结合的二元运算， e为幺元,如果S中元素x存在（关于运 算* ）的逆元， 则必是惟一的。
所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。
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➢在自然数集N上加法的幺元是0，乘法 的幺元是1. 对于给定的集合和运算有的存在幺 元，有的不存在幺元。
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➢ 定理5.1 设*是S上的二元运算， 如果S中存在关于运算*的）幺元， 则必是唯一的。
所以幺元是唯一的。
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➢定理5.2 设*是S上的二元运算，
如果S中既存在关于运算*的左幺元 el ，
2 封闭性 集合S中任意的两个元素运算的结果都是 属于S的，就是说S对该运算是封闭的
第6章 代数结构
第6章 代数结构
第6章 代数结构
6.1代数结构的ห้องสมุดไป่ตู้本概念
6.1.1 运算 1.运算的定义 定义6.1.1 设A是非空集合，从笛卡尔积A×A×…×A 到A的映射f 称为集合A上的n元运算。简称为n元运算。 在定义6.1.1中，当n=1时，f称为集合A上的一元运算； 当n=2时，f称为集合A上的二元运算。 在讨论抽象运算时，常用“*”、“∘”等来表示。设*是 二元运算，如果a与b运算得到c，记作a*b=c；若*是一元运算， a的运算结果记作*a或*(a)。 n个
第6章 代数结构
4.吸收律 定义6.2.4 设*和∘是非空集合A上的两个可交换的二元运 算，如果对于任意a,bA，有 a*(a∘b)=a a∘(a*b)=a 则称运算∗和运算∘满足吸收律。 【例6.7】设*和∘是自然数集合N上的二元运算，定义为： a,bN a*b=max(a,b)， a∘b=min(a,b) 验证运算*和∘适合吸收律。 解：a,bN 若a＞b，a*(a∘b)=a*b=a 若a＜b，a*(a∘b)=a*a=a 若a＝b，a*(a∘b)=a*a=a 即 a*(a∘b)=a 同理可证a∘(a*b)=a 因此运算*和∘适合吸收律。
如果在A中有一个元素，它既是左单位元又是右单位元， 则称它为A中关于运算∗的单位元或幺元。
第6章 代数结构
定理6.2.3 设∗是定义在集合A上的二元运算，el为A中关 于运算∗的左幺元，er为A中关于运算∗的右幺元，则el=er=e， 且A中的幺元是惟一的。 证明：因为el和er分别是A中关于运算∗的左幺元和右幺元， 所以 el=el ∗ er=er=e 设另一幺元e1A，则 e1=e1 ∗ e=e
证明：用反证法。设e=θ，那么对于任意的aA，必有 a=e∗a=θ∗a=θ， 于是A中的所有元素都是零元，与A中至少有两个元素矛 盾。
第910章代数结构
3.代数系统的特殊元素
设[A，]是代数系统 幺元e：若存在eA使得对任意xA有 elx=xer=x， 则称e为[A，]的幺元。 零元0：若存在0A使得对任意xA有 0lx=x0r=0， 则称0为[A，]的零元。
幂等元：若xA使得xx=x，则称x为[A， ]的幂等元。 元素a的逆元：若[A，]有幺元e，若对 aA存在a-1A 使得对任意xA有 aar-1=al-1a=e， 则称a-1为a的逆元。 可消去元：若a x=a y ，则x=y。就 称a为可消去元。
举例
（4）设∑*是字母表∑上的所有字符串的集 合（包括空字），°是字符串的连接运 算，则[∑* ，°]是盟。幺元为空字。
3. 群
群的定义
群：每个元素都有逆元的盟。 例（1） [Z， +]， [Q， +]， [R， +]均为群。 [Z， ×]， [Q， ×] , [R， ×] 都不是群。 [Q－｛0 ｝，×]， [R －｛0 ｝，×]均为群 （2） A=｛a,b,c,d｝上的二元运算如下 a b c d a a b c d b b c d a 则[A， ]是群 c c d a b d d a b c
举例
（1）[Z，+]有幺元0，无零元，每个元素 有逆元，每个元素都是可消去元；+满 足交换律，结合律，消去律。 [Z，×]有幺元1，零元0，1有逆元1 而其它元素无逆元，非零元素都是可消 去元； ×满足交换律，结合律， × 对+ 满足分配律。
（2）[（｛a,b｝），]有幺元 ，零元 ｛a,b｝ ， 有逆元 而其它元素无逆 元；∪满足交换律，结合律， 对∩ 满足分配律。 [（｛a,b｝）， ∩]有幺元 ｛a,b｝ ，零元 ， ｛a,b｝有逆元 ｛a,b｝而其它元素无逆元； ∩满足交 换律，结合律， ∩ 对满足分配律。
【精编】中小学精品课件代数结构课件.ppt
2020返/6/回15 本章首页
2
第二节 置换(1)
• 群论的研究始于置换群.置换群在群论里有重要 的地位.例如，五次以上方程不能用根号求解的 问题的证明就用到置换群.置换概念本身在计算 机科学中也起作重要作用.同时置换群的记法简 单，运算方便.
• 本节的概念有:置换、循环置换、不相交置换、 对换、奇置换、偶置换等;
2020/返6/1回5 本章首页
11
第九节 同态定理
• 设f:G→G’是群同态,于是可以构造 商群G/Kerf,同态定理是: 同态基本定理设:f:G→G’是群同态, 则:
G/Kerf≌G’
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12
第十节 环(1)
• 前面讨论的都是只有一个代数运算的代数系统, 本节我们介绍有两个代数运算的代数系统—— 环 .环的两个被称为加法、乘法的代数运算是 我们最为熟悉的代数运算,由于本课程的限制,我 们对环仅作极其初步,简单的介绍.
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1
第一节 代数结构概述
• 我们在前面已经研究过集合，那时没有过多地 考虑一个集合内部元素之间的联系.现在我们要 在一个集合的内部引入运算，并研究其运算规 律,主要内容为:
• 1.代数系统的定义,然后用例子说明代数系统的 丰富性;
8
第七节 群的同态(1)
• 同态是两个代数系统间的一种联系，通过这种 联系，可以把一个代数系统的运算转移到另一 个代数系统.使得在一个代数系统中较难解决的 问题转移到另一个代数系统中成为较易解决的 问题.例如，我们常用的对数，实际上，它就是 正实数的乘法群到实数的加法群的一个同态.利 用对数，我们实现了把较难的乘法运算转化成 较易的加法运算，因此，同态是代数系统间十 分重要的关系
第五章代数结构
在定义5.1.1中，当n=1时，f 称为集合A上的一元运算；当 n=2时，f 称为集合A上的二元运算。
在讨论抽象运算时，“运算”常记为“*”、“∘”等。 设*是二元运算，如果a与b运算得到c，记作a*b=c；若*是一 元运算，a的运算结果记作*a或*(a)。
2019/11/29
6
设A=1 , a , 1 ，其中，a是非零实数。f：A→A，定义
设N4=0,1,2,3，N4上的模4加法＋4可以用运算表表示， 它的运算表如表5.1.1所示。N4上的模4乘法×4也可以用运算 表表示，它的运算表如表5.1.2所示。
2019/11/29
10
表5.1.1
+4 0 1 2 3 00123 11230 22301 33012
表5.1.2
×4 0 1 2 3 00000 10123 20202 30321
f3:a→ -a , aR
二元运算： f4:a,b→a+b , a,bR
事实这些例子的共同特 征就是运算结果还在原 来的集合中。称具有这 种特征的运算是封闭的，
f5:a,b→a·b , a,bR 简称闭运算。
f6:R2→R 三元运算：f7：三种颜色→三种颜色混合色
A→A A是各种颜色的集合。
2019/11/29
则对于任意a,b,cA，有
(b∘c)∗a=a∗(b∘c)=(a∗b)∘(a∗c)=(b∗a)∘(c∗a)
即
(b∘c)∗a=(b∗a)∘(c∗a)
故∗对于运算∘是可分配的。
同理可证另一半。
2019/11/29
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五、吸收律 定义5-2.5 设*和∘是非空集合A上的两个可交换的二元运算， 如果对于任意a,bA，有
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在讨论抽象运算时，“运算”常记为“*”、“∘”等。 设*是二元运算，如果a与b运算得到c，记作a*b=c；若*是一 元运算，a的运算结果记作*a或*(a)。
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设A=1 , a , 1 ，其中，a是非零实数。f：A→A，定义
设N4=0,1,2,3，N4上的模4加法＋4可以用运算表表示， 它的运算表如表5.1.1所示。N4上的模4乘法×4也可以用运算 表表示，它的运算表如表5.1.2所示。
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表5.1.1
+4 0 1 2 3 00123 11230 22301 33012
表5.1.2
×4 0 1 2 3 00000 10123 20202 30321
f3:a→ -a , aR
二元运算： f4:a,b→a+b , a,bR
事实这些例子的共同特 征就是运算结果还在原 来的集合中。称具有这 种特征的运算是封闭的，
f5:a,b→a·b , a,bR 简称闭运算。
f6:R2→R 三元运算：f7：三种颜色→三种颜色混合色
A→A A是各种颜色的集合。
2019/11/29
则对于任意a,b,cA，有
(b∘c)∗a=a∗(b∘c)=(a∗b)∘(a∗c)=(b∗a)∘(c∗a)
即
(b∘c)∗a=(b∗a)∘(c∗a)
故∗对于运算∘是可分配的。
同理可证另一半。
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五、吸收律 定义5-2.5 设*和∘是非空集合A上的两个可交换的二元运算， 如果对于任意a,bA，有
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离散数学代数结构2
梦想不会辜负每一个努力的人
《 代数结构 》
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《 代数结构 》
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A
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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第六章 代数结构
代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系 统，即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就 是具有一个二元运算的代数系统.
本章以群为例讨论代数结构，它的思想和 方法已经渗透到现代科学的许多分支、它的结 果已应用到计算机的不少方面，因此计算机科 学工作者应初步掌握其基本的理论和方法. 读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研 究的一般方法，从简单到复杂、从具体到一般， 从而发现代数系统的一般规律.本章的内容较为 抽象、难学.可根据具体情况删减一些内容.
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1 2019/5/30
第一节 代数结构概述
我们在前面已经研究过集合，那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系.现在我们要在一个集合的内部引入 运算，并研究其运算规律,主要内容为:
1.代数系统的定义,然后用例子说明代 数系统的丰富性;
2.代数系统的运算的常用记法和运算表 的概念.
8 2019/5/30
第七节 群的同态(1)
同态是两个代数系统间的一种联系，通 过这种联系，可以把一个代数系统的运 算转移到另一个代数系统.使得在一个 代数系统中较难解决的问题转移到另一 个代数系统中成为较易解决的问题.例 如，我们常用的对数，实际上，它就是 正实数的乘法群到实数的加法群的一个 同态.利用对数，我们实现了把较难的 乘法运算转化成较易的加法运算，因此， 同态是代数系统间十分重要的关系
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5 2019/5/30
第四节 子群
与集合的子集、向量空间的子空间一样. 群也有子群的概念.子群作为群的一部 分.它的结构对群的结构有重要影响.
主要概念有:平凡子群、非平凡子群、 由某个元素生成的子群、循环群、生成 元、元素的周期.
讨论了一个群的非空子集构成子群的条 件;在某个元素生成的子群的基础上定 义循环群,把循环群的结构研究清楚了.
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11 2019/5/30
第九节 同态定理
设f:G→G’是群同态,于是可以构造 商群G/Kerf,同态定理是:
同态基本定理设:f:G→G’是群同态, 则: G/Kerf≌G’返回本章Leabharlann 页12 2019/5/30
第十节 环(1)
前面讨论的都是只有一个代数运算的代 数系统,本节我们介绍有两个代数运算 的代数系统——环 .环的两个被称为加 法、乘法的代数运算是我们最为熟悉的 代数运算,由于本课程的限制,我们对环 仅作极其初步,简单的介绍.
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6 2019/5/30
第五节 陪集与正规子群
本节利用群G的一个子群H来作G的一个分类， 并由这样的分类来引入正规子群的概念.
1.利用群G的一个子群H,定义了G的一个等价 关系,这个等价关系决定了G的一个分类,每 个类Ha称为右陪集,类似地也定义了左陪集;
2.在左、右陪集的基础上定义了群的正规子 群,并讨论了子群为正规子群的条件,正规子 群是群的一类重要子群,有很好的代数性质, 应很好掌握它.
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3 2019/5/30
第二节 置换(2)
本节的结论有: 1.置换的乘法(即合成)满足结合律; 2.两个不相交的循环置换的乘法满足交换
律; 3.任意置换均可惟一地分解成不相交循环
置换的乘积(不考虑因子的次序) ； 4.每个置换都能分解成对换的乘积，且偶
置换只能分解成偶数个对换的乘积，奇置 换只能分解成奇数个对换的乘积； 5.在n个元素的所有置换中,奇偶置换各半.
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10 2019/5/30
第八节 商群
正规子群之所以重要，是因为这种子群 的陪集,对于与原来的群有密切关系的 某种代数运算来说作成群；
主要结论有:设N是群G的正规子群,N的 所有陪集按照以下的乘法
(aN)(bN)=abN
构成一个群(称为G对N的商群,记作G/N), 且商群G/N是群G的同态象.
学习本节时,可以把整数、有理数、实 数、复数的加法、乘法运算与环的两个 运算加以对照.
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13 2019/5/30
第十节 环(2)
本节的基本概念有: 环、环的运算表、交换环、有单位元
的环、零因子、左零因子、右零因子、 无零因子环、整环、除环、域、四元数 等; 本节介绍了与环有关的最基本的结论
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14 2019/5/30
本章小结
本章在简单地介绍了代数系统的概念后， 较为详细地讨论置换（它实际上是为讨 论群作准备）.然后我们就给出群的定 义，接着我们又讨论子群、陪集、正规 子群、商群、同态、同构等.最后一节 我们还极其简单地介绍了具有两个代数 运算的系统——环.这些内容对于抽象 思维能力和逻辑推理能力的培养很有帮 助.
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7 2019/5/30
第六节 拉格朗日定理
拉格朗日定理反映了有限群的元数与其 子群的元数之间的关系.是群论的最基 本定理之一.
拉格朗日定理是:设G是有限群,H是G的 子群,则有公式|G|=|H|(G:H).
本节给出了拉格朗日定理的两个推论及 几个应用拉格朗日定理的例子.
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2 2019/5/30
第二节 置换(1)
群论的研究始于置换群.置换群在群论 里有重要的地位.例如，五次以上方程 不能用根号求解的问题的证明就用到置 换群.置换概念本身在计算机科学中也 起作重要作用.同时置换群的记法简单， 运算方便.
本节的概念有:置换、循环置换、不相 交置换、对换、奇置换、偶置换等;
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9 2019/5/30
第七节 群的同态(2)
主要概念有:同态、单同态、满同态、 同构、零同态、同态象、同态核.
主要结论有:
1.设f是群G到群G’的同态映射，则G的单 位元的象是G’的单位元；且G的子群H在f 下的象f(H)是G’的子群;
2.设f是群G到群G’的同态映射,则同态核 是G的正规子群;
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15 2019/5/30
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4 2019/5/30
第三节 群
本节给出了群 的定义及群 的简单性质. 主要概念有:左(右)单位元、单位元、
左(右)逆元、逆元、可除条件、消去律、 有限群、无限群、交换群; 主要结论有: 1.群的定义中条件(2) 、(3)可分别用左 单位元、左逆元替代,也可分别用右单 位元、右逆元替代,还可以用可除条件 替代; 2.任意群中消去律成立.
代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系 统，即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就 是具有一个二元运算的代数系统.
本章以群为例讨论代数结构，它的思想和 方法已经渗透到现代科学的许多分支、它的结 果已应用到计算机的不少方面，因此计算机科 学工作者应初步掌握其基本的理论和方法. 读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研 究的一般方法，从简单到复杂、从具体到一般， 从而发现代数系统的一般规律.本章的内容较为 抽象、难学.可根据具体情况删减一些内容.
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1 2019/5/30
第一节 代数结构概述
我们在前面已经研究过集合，那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系.现在我们要在一个集合的内部引入 运算，并研究其运算规律,主要内容为:
1.代数系统的定义,然后用例子说明代 数系统的丰富性;
2.代数系统的运算的常用记法和运算表 的概念.
8 2019/5/30
第七节 群的同态(1)
同态是两个代数系统间的一种联系，通 过这种联系，可以把一个代数系统的运 算转移到另一个代数系统.使得在一个 代数系统中较难解决的问题转移到另一 个代数系统中成为较易解决的问题.例 如，我们常用的对数，实际上，它就是 正实数的乘法群到实数的加法群的一个 同态.利用对数，我们实现了把较难的 乘法运算转化成较易的加法运算，因此， 同态是代数系统间十分重要的关系
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5 2019/5/30
第四节 子群
与集合的子集、向量空间的子空间一样. 群也有子群的概念.子群作为群的一部 分.它的结构对群的结构有重要影响.
主要概念有:平凡子群、非平凡子群、 由某个元素生成的子群、循环群、生成 元、元素的周期.
讨论了一个群的非空子集构成子群的条 件;在某个元素生成的子群的基础上定 义循环群,把循环群的结构研究清楚了.
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11 2019/5/30
第九节 同态定理
设f:G→G’是群同态,于是可以构造 商群G/Kerf,同态定理是:
同态基本定理设:f:G→G’是群同态, 则: G/Kerf≌G’返回本章Leabharlann 页12 2019/5/30
第十节 环(1)
前面讨论的都是只有一个代数运算的代 数系统,本节我们介绍有两个代数运算 的代数系统——环 .环的两个被称为加 法、乘法的代数运算是我们最为熟悉的 代数运算,由于本课程的限制,我们对环 仅作极其初步,简单的介绍.
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6 2019/5/30
第五节 陪集与正规子群
本节利用群G的一个子群H来作G的一个分类， 并由这样的分类来引入正规子群的概念.
1.利用群G的一个子群H,定义了G的一个等价 关系,这个等价关系决定了G的一个分类,每 个类Ha称为右陪集,类似地也定义了左陪集;
2.在左、右陪集的基础上定义了群的正规子 群,并讨论了子群为正规子群的条件,正规子 群是群的一类重要子群,有很好的代数性质, 应很好掌握它.
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3 2019/5/30
第二节 置换(2)
本节的结论有: 1.置换的乘法(即合成)满足结合律; 2.两个不相交的循环置换的乘法满足交换
律; 3.任意置换均可惟一地分解成不相交循环
置换的乘积(不考虑因子的次序) ； 4.每个置换都能分解成对换的乘积，且偶
置换只能分解成偶数个对换的乘积，奇置 换只能分解成奇数个对换的乘积； 5.在n个元素的所有置换中,奇偶置换各半.
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10 2019/5/30
第八节 商群
正规子群之所以重要，是因为这种子群 的陪集,对于与原来的群有密切关系的 某种代数运算来说作成群；
主要结论有:设N是群G的正规子群,N的 所有陪集按照以下的乘法
(aN)(bN)=abN
构成一个群(称为G对N的商群,记作G/N), 且商群G/N是群G的同态象.
学习本节时,可以把整数、有理数、实 数、复数的加法、乘法运算与环的两个 运算加以对照.
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13 2019/5/30
第十节 环(2)
本节的基本概念有: 环、环的运算表、交换环、有单位元
的环、零因子、左零因子、右零因子、 无零因子环、整环、除环、域、四元数 等; 本节介绍了与环有关的最基本的结论
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14 2019/5/30
本章小结
本章在简单地介绍了代数系统的概念后， 较为详细地讨论置换（它实际上是为讨 论群作准备）.然后我们就给出群的定 义，接着我们又讨论子群、陪集、正规 子群、商群、同态、同构等.最后一节 我们还极其简单地介绍了具有两个代数 运算的系统——环.这些内容对于抽象 思维能力和逻辑推理能力的培养很有帮 助.
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第六节 拉格朗日定理
拉格朗日定理反映了有限群的元数与其 子群的元数之间的关系.是群论的最基 本定理之一.
拉格朗日定理是:设G是有限群,H是G的 子群,则有公式|G|=|H|(G:H).
本节给出了拉格朗日定理的两个推论及 几个应用拉格朗日定理的例子.
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第二节 置换(1)
群论的研究始于置换群.置换群在群论 里有重要的地位.例如，五次以上方程 不能用根号求解的问题的证明就用到置 换群.置换概念本身在计算机科学中也 起作重要作用.同时置换群的记法简单， 运算方便.
本节的概念有:置换、循环置换、不相 交置换、对换、奇置换、偶置换等;
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9 2019/5/30
第七节 群的同态(2)
主要概念有:同态、单同态、满同态、 同构、零同态、同态象、同态核.
主要结论有:
1.设f是群G到群G’的同态映射，则G的单 位元的象是G’的单位元；且G的子群H在f 下的象f(H)是G’的子群;
2.设f是群G到群G’的同态映射,则同态核 是G的正规子群;
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4 2019/5/30
第三节 群
本节给出了群 的定义及群 的简单性质. 主要概念有:左(右)单位元、单位元、
左(右)逆元、逆元、可除条件、消去律、 有限群、无限群、交换群; 主要结论有: 1.群的定义中条件(2) 、(3)可分别用左 单位元、左逆元替代,也可分别用右单 位元、右逆元替代,还可以用可除条件 替代; 2.任意群中消去律成立.