复变函数 第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点

第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点

第一阶 解析函数的罗朗展式

一、双边幂级数

212

00102002

00()()()()()

n n n n n c c c z z c c z z c z z c z z z z z z ∞

--=-∞

-=+-+-+-+

++--∑L L 定理 双边幂级数

()

n

n

n c z z ∞

=-∞

-∑的收敛圆环为:H r z a R <-<，则该级数满足

（1） 在H 内绝对且内闭一致收敛于函数()f z 。（2）函数()f z 在H 内解析 （2） 在H 内可逐项求导 （4）可沿H 内的曲线逐项积分。 定理 在圆环:H r z a R <-<内解析的函数()f z 可展为双边幂级数

()

n

n

n c z z ∞

=-∞

-∑，其中

11()

2()

n n f c d i a ζζπζ+Γ=

-⎰ （0,1,2,n =±±）Γ为圆环内的圆周a ζρ-=，并且展式是唯一的。

例如 将函数1

()(1)(2)

f z z z =

--在以下三个圆环内展成罗朗展式

（1）1z <， （2）12z << （3）21z <<+∞。 解11()21

f z z z =

--- （1）10

111111()()(1)2112212

n n n f z z z z z z ∞

+==

-=-=-----∑。 （2）1101011111111111()()1212222112n n n n n n n n n z z f z z z z z z z z

z ∞∞∞∞

-+=====

-=-=-=-----∑∑∑∑。 （3）1002111111121121()212111n n n n n

n n n f z z z z z z z z z z z z

-∞∞∞

===-=-=-=-=----∑∑∑。 二、 解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式

定义 如果函数()f z 在z a =点的去心邻域0z a R <-<内解析，点a 是奇点，则称a 是()f z 的孤立奇点。

如果z a =为()f z 的孤立奇点，则必存在正整数R ，使得()f z 在z a =点的去心邻域0z a R <-<内展为罗朗展式。

例如 1

()(1)(2)

f z z z =--在z 平面内只有两个奇点1,2z z ==，试分别求()f z 在此两点去心邻域内的

罗朗展式。

解（1）在011z <-<内，0

111111

()(1)(1)(2)121(1)11n n f z z z z z z z z z ∞

=---==+=+=----------∑

（2）在021z <-<内，0

1111

()(1)(2)(1)(2)2212n n n f z z z z z z z ∞

===-+=-------+-∑

（3）在∞点的去心邻域11z <-<+∞内，

1

01

11111111111()()()1121(1)111111111

n n n n f z z z z z z z z z z z z ∞∞+==----=+=+=+=+=-------------∑∑ （3） 在在∞点的去心邻域12z <-<+∞内

101

111111111()(1)()()122122222212

n

n n n n f z z z z z z z z z z ∞∞+===-=-=--=---+------+-∑∑。 例如 sin ()z

f z z

=

在z 平展式为面上只有点奇0z =，在去心邻域0z <<+∞内的罗朗 20

(1)()(21)!n n

n z f z n ∞

=-=+∑ 。 例如 1z

z

e e +在z 展式为面上只有点奇0z =，在去心邻域0z <<+∞内的罗朗为

1

11

1

!!n z

z

n

n n z e e n n z ∞

∞==+=+∑∑。

第二阶 解析函数的孤立奇点

一、孤立奇点的三种类型

000

1

()()()n

n

n

n n n n n n c z z c z z c z z ∞

∞

∞

--=-∞

==-=-+-∑∑∑。前部分叫正则部分，后部分叫主要部分。 1.可去奇点

定义 设a 为函数()f z 的孤立奇点，则（1）如果()f z 在a 点展式的主要部分为零，则称a 为函数()f z 的可去奇点。例如sin ()z

f z z

=

在0z =点。 定理 如果z a =是()f z 的可去奇点，则下列三条等价：

（1） 如果()f z 在a 点展式的主要部分为零。（2）lim ()z a

f z b →= （3）在z a =的邻域有界。

2．极点

如果()f z 的主要部分为有限项 122()()

m

m

c c c z a z a z a ---++---L ，就称a 为函数()f z 的m 阶极点。一阶极点又叫单极点。

例如1

()(1)(2)

f z z z =

--，在1,2z z ==点。

定理 如果a 为()f z 的m 阶极点，则

（1）()f z 在点a 的主要部分有m 项。（2）()f z 在点a 的去心邻域内能表成()

()()m

z f z z a λ=

-，其中

()0a λ≠，且在a 的邻域内解析。（3）

1

()

f z 以点a 为m 阶零点。 定理 a 为()f z 的m 阶极点的充要条件是lim ()z a

f z →=∞。

例如 2

51

()(1)(21)z f z z z +=

-+的一阶极点为1z =，二阶极点为12z =-。

3. 本性奇点

如果()f z 的主要部分为无限项，则称称a 为函数()f z 的本性奇点。例如1

z

z

e e +在z 面上的展式含有z 的负指数幂有无限项。因此只有本性奇点0z =。 定理 a 为()

f z 的本性奇点的充要条件是lim ()z a

f z →不存在。

定理 a 为()f z 的本性奇点，则a 也为

1

()

f z 的本性奇点。