2018年吉林省长春市高考数学四模试卷(理科)

2018年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合1，，则
A. B. C. D.
2.若复数为纯虚数，则实数a的值为
A. 1
B. 0
C.
D.
3.为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形
图：
根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是
A. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果
D. 药物A、B对该疾病均没有预防效果
4.已知的三个顶点坐标分别为，，，则向量在方向
上的投影为
A. B. C. D.
5.设公差小于0的等差数列的前n项和为，且，则当取得最大值时
n的值为
A. 6
B. 7
C. 8
D. 11
6.函数的
部分图象如图所示，则
A. B. C. D.
7.如图，三棱柱中，侧棱底面，
底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列
叙述正确的是
A. 与是异面直线
B. 平面
C. AE，为异面直线，且
D. 平面
8.设x，y满足约束条件若目标函数的最大值为18，
则a的值为
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
9.如图所示程序框图，若输出的x为，则输入的值为
A. 1
B.
C.
D. 2
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是
某几何体的三视图，则该几何体的所有面中，最大面的
面积为
A.
B.
C.
D.
11.双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和
，过焦点与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若是和的等比中项，则该双曲线的离心率为
A. B. C. 2 D.
12.已知函数，对任意的，，都有恒
成立，则实数k的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若的展开式中的项的系数为20，则实数______．
14.已知函数，则曲线在处的切线的斜率为______．
15.如图，直角中，，斜边AB上的高为OC，M为OA的
中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨
迹方程为______．
16.半径为1的球放置于一个圆锥中，并使得球与圆锥底面相切，则圆锥体积的最小值
为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，已知D为BC边上
一点，，若．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若的面积为，求a的值．
18.某省高中男生身高统计调查数据显示：
全省100000名男生的身高服从正态分布，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，，第六组，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．
Ⅰ求该学校高三年级男生的平均身高与这50名男生中身高在以上含的人数；
Ⅱ从这50名男生中身高在以上含的人中任意抽取2人，该2人身高排名从高到低在全省前130名的人数记为，求的数学期望．
附：参考数据：若服从正态分布，则，
，．
19.已知平行四边形ABCD中，，，点E为AD的中点，点F为BD
与CE的交点，现沿BE将折起至位置，使平面PBE与平面BCDE垂直，设点G为的重心．
Ⅰ求证：平面FED；
Ⅱ求平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值．
20.在平面直角坐标系中，已知点P是离心率为的椭圆C上的点，，为椭圆C的
左右焦点，且的周长为6．
Ⅰ求椭圆C的标准方程；
Ⅱ已知与为平面内的两个定点，方程为的直线l与椭圆C交于M，N两点，问直线AM与BN的交点是否在一条直线上，如果是，请求出该直线的方程；否则请说明理由．
21.已知函数．
Ⅰ当且时，试判断函数的单调性；
Ⅱ若且，求证：函数在上的最小值小于；
Ⅲ若在R上是单调函数，求ab的最小值．
22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数
Ⅰ求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
Ⅱ设曲线C和直线l相交于A，B两点，点P为曲线C上异于A，B的一点，求
面积的最大值．
23.已知函数．
Ⅰ若不等式的解集为或，求实
数a的值；
Ⅱ若对，，求实数a的取值范围．
答案和解析
【答案】
1. C
2. D
3. B
4. B
5. B
6. B
7. C
8. A
9. D10. C11. A12. D
13.
14.
15. ．
16.
17. 解：Ⅰ在中，，
可得，
由，可得，
，即为，，若，
，
有，
故；
Ⅱ由的面积为，
得，
再由余弦定理可得
，
可得．
18. 解：Ⅰ根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为
，
高于全市的平均值；
由频率分布直方图知，后两组频率为，
人数为，
即这50名男生身高在以上含的人数为10人．
，
，
，
全省前130名的身高在cm以上，这50人中cm以上的有5人；随机变量可取0，1，2，于是
，，．
．
19. 本小题满分
12分
证明：Ⅰ延长BG
交PE于H，
连接HD．
平行四边形
ABCD中，，
，点E
为AD的中点，
点F为BD与CE
的交点，
现沿BE将
折起至位置，使平面PBE与平面BCDE垂直，
设点G为的重心．
，，，
平面PDE，
平面分
解：以E为原点，以EB为x轴，以EC为y轴，
以过点E垂直于平面BCDE的直线为z轴，建立坐标系．
则0，，，0，，
，0，，
设平面BFG的法向量y，，
则，取，得，分
平面PBE的法向量1，分
设平面BFG与平面PBE所成锐二面角为，
则．
故平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值为分
20. 解：由且，
可得，，即椭圆的方程为．
设，，联立消去x得，，即，，
AM：，BN：，
可得，
即，
解得，故直线AM与BN的交点在同一条直线上．
21. 解：Ⅰ由题可得，
设，则，
所以当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以，
因为，所以，即，
所以函数在R上单调递増．
证明Ⅱ由知在上单调递増，
因为，所以，
所以存在，使得，即，即，所以函数在上单调递减，在上单调递増，
所以当时，
．
令，，则恒成立，
所以函数在上单调递减，所以，
所以，即当时，
故函数在上的最小值小于；
Ⅲ，
所以，
由为R上的单调函数，可知一定为单调增函数
因此，
令，
所以，
当时，，
当时，，在R上为增函数，
当时，与矛盾，
当时，等价于，等价于，当时，，，
令，，
则，
当，解得，当，解得，
当时，，
所以ab的最小值为．
22. 本小题满分10分
解：Ⅰ曲线C的极坐标方程为，
曲线C的直角坐标方程为，
直线l的参数方程为为参数，
直线l：分
Ⅱ设，
点P到直线l的距离：
，
曲线C是圆心为，半径的圆，
圆心到直线l的距离，
，
面积的最大值为分23. 解：Ⅰ当时，
由题意可知，，，
．
经检验成立．
Ⅱ令
当时显然不成立；
当时，，从而，即．
当时，，从而，即．
综上可得实数a的取值范围是．
【解析】
1. 解：；
，且；
．
故选：C．
可解出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．
考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集、补集的概念及运算．
2. 解：复数为纯虚数，
，，
解得．
故选：D．
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3. 解：由A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：
药物A的预防效果优于药物B的预防效果．
故选：B．
观察等高条形图，能够求出结果．
本题考查等高条形图的应用，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
4. 解：，，，
可得，，
向量在方向上的投影为，
故选：B．
求得向量AB，AC的坐标，再由向量的投影的定义，计算可得所求值．
本题主要考查平面向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示以及向量的投影求法，考查运算能力，属于基础题．
5. 解：由题意知，
，
，
即，
．
由等差数列公差小于0，从而取最大值时．
故选：B．
由题意知，利用通项公式可得：，可得，由等差数列公差小于0，即可得出结论．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6. 解：根据函数的部分图象，可得，，，结合五点法作图可得，，函数，
则，
故选：B．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求得的值．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．
7. 解：A不正确，因为与在同一个侧面中，故不是异面直线；
B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在平面；C正确，因为AE，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故A平面不正确；
故选：C．
由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项
本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强．
8. 解：画出约束条件的可行
域，如图：目标函数最大值
为18，
即目标函数
在的交点处，
目标函数z最大值为18，
所以，所以．
故选：A．
由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函
数的最大值求出a的值．
本题直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，正确作出可行域是解题的关键．
9. 解：由题意知时，
时，
时，
时，
以此类推可知，解得．
故选：D．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
10. 解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为三棱锥，其中D为棱的中点，
，，
，．
可确定其最大面的面积为．
故选：C．
由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，其中D为棱的中点，分别求出四个三角形的面积，比较得答案．
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
11. 解：根据题意，设P的坐标为，
双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，
则，，，，
过焦点与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，
则，则有，解可得，
则，
若是和的等比中项，则有，
则有，
变形可得：，
则，
则该双曲线的离心率，
故选：A．
根据题意，设P的坐标为，由双曲线的标准方程分析可得、、、的坐标，求出P的坐标，即可得，由等比数列的性质分析可得，则有，将其变形可得，结合双曲线的性质可得，
由双曲线的离心率公式计算可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的离心率公式，关键是得到关于a、b、c的等式．
12. 解：根据题意，不妨设，则等价于
，
令，则，
再设，，
原不等式等价于在上恒成立，又由，
则，，则有恒成立，
又由，
则必有，即k的取值范围为；
故选：D．
根据题意，不妨设，则原不等式等价于，令，则，再设，，求导，求出函数的最值即可求出k的范围
本题考查函数的恒成立问题，涉及导数的性质以及应用，关键是将原问题转化为函数的最值问题．
13. 解：的展开式的通项公式为，令，
可得展开式中的项的系数为，
故，
故答案为：．
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得项的系数，再根据项的系数等于60，求得实数a的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
14. 解：，
，
故答案为：．
求出函数的导数，计算的值即可．
本题考查了切线的斜率问题，考查导数的应用，是一道基础题．
15. 解：根据题意，如图建立坐标系，则，，
设N的坐标为，则，
设，
则，，，
则，则，
，
又由过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则，
则有，即，
变形可得：；
又由，则，
则点N的轨迹方程为，；
故答案为：，．
根据题意，建立坐标系，设N的坐标为，由此分析可得A、M、B的坐标，设
，由三角函数的定义分析可得、的值，由平行线的性质分析可得，即，变形即可得答案．
本题考查轨迹方程的求法，涉及抛物线的定义，关键是分析得到的值．16. 解：设圆锥的高为h，底面半径为r，
则当圆锥体积最小小球与圆锥侧面相切，
由三角形相似可得，即，
圆锥的体积．
当且仅当即时取等号．
故答案为：．
根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．本题考查了圆锥的结构特征，体积公式与基本不等式的应用，属于中档题．
17. Ⅰ运用余弦定理可得，由
，可得，运用余弦定理化简可得，再由正弦定理即可得到所求值；
Ⅱ运用三角形的面积公式可得b，再由余弦定理计算可得a的值．
本题考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18. Ⅰ根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为
结合频率分布直方图即可得出．
由，可得
，可得全省前130名的身高在cm以上，这50人中cm以上的有5人；随机变量可取0，1，2，利用超几何分布列的计算公式即可得出．
本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19. Ⅰ延长BG交PE于H，连接HD，推导出，由此能证明平面PED．
以E为原点，以EB为x轴，以EC为y轴，以过点E垂直于平面BCDE的直线为z 轴，建立坐标系利用向量法能求出平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值．
本题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识本题考查学生的空间想象能力、推理
论证能力和运算求解能力．
20. Ⅰ由且，即可求出a，c，可得b，即可得到椭圆方程，
Ⅱ设，，联立，根据韦达定理和直线方程可得
，即可求出直线方程．
本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题
21. Ⅰ先求导，再构造函数，再求导，根据函数的最值即可判断，
Ⅱ等价于当时，构造函数
，，求出函数的最值即可证明，
Ⅲ等价于，构造函数，求导，分类讨论，求出函数的最值即可．
本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于难题．
22. Ⅰ由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l的参数方程，能求出直线的普通方程．
Ⅱ设，点P到直线l的距离，再求
出，由此能求出面积的最大值．
本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．
23. Ⅰ根据去绝对值，求解的解析式，解集为或，即可求实
数a的值；
Ⅱ对a进行讨论，去绝对值，求解实数a的取值范围．
本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容本小题重点考查化归与转化思想．。