2018年吉林省长春市高考数学四模试卷(理科)
吉林省长春市2018届普通高中高三质量监测(四)理科综合试题及答案 精品
长春市普通高中2018届高三质量监测（四）理科综合能力测试本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共16页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 N—14 O—16 Al—27 Fe—56Cu—64 Au—197第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于细胞核的叙述，正确的是A．核仁与某种RNA的合成有关B．核膜由两层磷脂分子组成C．细胞核内的液体叫做细胞液 D．DNA通过核孔进出细胞核2．最新研究发现，如果限制人体内谷氨酰胺（一种非必需氨基酸）的含量，肿瘤细胞会因为无法正常吸收葡萄糖而导致代谢受抑制。
下列叙述错误的是A．恶性肿瘤细胞膜上的糖蛋白数量比正常细胞少B．谷氨酰胺可能是合成葡萄糖载体蛋白的原料C．人体不能合成谷氨酰胺，只能从外界环境获取D．切断肿瘤细胞的“糖路”，可“饿死”肿瘤细胞3．寨卡病毒是RNA病毒，可直接以其基因组RNA作为mRNA 指导蛋白质的合成。
下列叙述正确的是A．寨卡病毒可在人体内环境中繁殖B．寨卡病毒基因的遗传遵循分离定律C．寨卡病毒RNA彻底水解的产物有6种D．寨卡病毒RNA经过转录和翻译合成蛋白质4．下图表示一株小麦叶片叶绿体内C3相对含量在一天24h内的变化过程。
下列叙述错误的是A．与B点相比，C点叶绿体中C5含量较高B．CD段C3含量升高可能是由晴转阴导致的C．与F点相比，G点叶绿体中ATP和[H]含量较高D．D→I段植物体内有机物的含量先下降后上升5．下列关于生物体内物质运输的叙述，正确的是A．细胞呼吸时丙酮酸要转运到线粒体内才能被利用B．细胞吸收离子的速率与细胞呼吸强度成正比C．细胞通过胞吞和胞吐运输的一定是大分子物质D．植物顶端优势的形成与生长素的极性运输有关6．下列关于过敏反应和自身免疫病的叙述，错误的是A．都会发生特异性免疫过程B．都不会破坏组织细胞C．都与免疫系统的防卫功能有关D．都会引起机体功能紊乱7．下列说法正确的是A．乙醇用作医用消毒剂时，无水乙醇消毒效果最好B．高锰酸钾溶液可以杀死埃博拉病毒，其消毒原理与漂白粉消毒饮用水的原理不同C．公益调查《柴静雾霾调查：穹顶之下》发布，其中雾霾中的PM2.5属于胶体D．天津港爆炸案中对剧毒的氰化钠(NaCN) 喷洒双氧水处理，利用了双氧水的氧化性8．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列叙述中正确的是A．N A个Fe(OH)3胶体粒子的质量为107gB．标准状况下，1L液态水中含有的H+数目为10-7N AC．14g分子式为C n H2n的链烃中含有的碳碳双键的数目为N A/n D．1 mol冰醋酸和l mo1乙醇经酯化反应可生成H2O分子数为N A9．短周期主族元素X、Y、Z、W原子序数依次增大，X最外层电子数是次外层2倍，Y是非金属性最强的元素，Z原子半径在同周期元素中最大，W可与Z形成离子化合物Z2W。
2018年长春市四模理科综合试题答案 精品
2018年长春市高中毕业生第四次调研测试理科综合能力测试参考答案及评分细则1．【参考答案】A【命题立意】本题考查与同位素标记法相关的经典科学实验。
【解析】证明DNA是遗传物质的噬菌体侵染细菌实验是用35S 标记蛋白质分子，用32P标记DNA分子，故A选项错误。
2．【参考答案】A【命题立意】本题考查了现代生物进化理论的有关知识以及分析推理能力。
【解析】不同时期种群基因库的差异是自然选择的结果、种群基因频率发生变化不一定会形成新的物种、生物变异是不定向的，但定向的自然选择决定了生物进化的方向，故B、C、D均不正确。
3．【参考答案】B【命题立意】本题考查了有关种群特征的知识。
【解析】社鼠与其天敌种群数量波动是有时间差的、不是同步的，故B选项正确，种群的数量可能在K值上下波动、种群的年龄组成变化会影响种群数量、仅是食物充足的条件下社鼠的种群数量不会一直呈“J”型增长。
4．【参考答案】D【命题立意】本题主要考查了识图能力和分析综合能力。
【解析】M物质是丙酮酸，④过程不会发生在线粒体中，发生在细胞质基质中，故D选项正确。
蛋白质合成过程发生在核糖体中，H2O中的H来自于氨基和羧基、在缺氧的情况下，③过程中也会产生少量的[H]、③是葡萄糖分解为丙酮酸，此过程发生在细胞质基质中，故A、B、C选项均错误。
5．【参考答案】C【命题立意】本题考查了有关内环境的知识。
【解析】由内环境进入组织细胞的是养料和氧气，故C选项正确。
6．【参考答案】C【命题立意】本题考查了有关染色体复制的知识和获取知识的能力。
【解析】细胞能长久保持分裂能力实质上就是发生了癌变，所以C选项是错误的。
7．【参考答案】A【命题立意】本题考查元素化合物相关知识【解析】根据学生对臭氧的理解知A是错误的8．【参考答案】C【命题立意】考查常见的生活中的有机物等基础知识【解析】油脂水解得不到氨基酸,煤中不存在苯等有机物,淀粉不能与银氨溶液作用9．【参考答案】C【命题立意】考查限定条件下的同分异构体【解析】有两个甲基,并不是两个甲基支链10．【参考答案】B【命题立意】考查有关溶液化学试剂相互作用显色的反应.【解析】氯化铵溶液加热酸性增强,红色变深;氨水受热挥发红色变浅,碳酸钠溶液加热水解程度增大,红色变深,滴入石蕊的硫酸溶液加热水减少，红色变深（或不考虑水蒸发，H+浓度不变，红色不变），溶有有SO2的品红溶液亚硫酸分解无色变红色,氢氧化钙受热溶解度减小,碱性减弱,红色变浅. 11．【参考答案】D【命题立意】考查弱电解质的电离及电解原理【解析】对于A不同浓度的氨水电离程度不同,碳酸根在溶液中要水解,氧化钠和过氧化钠阴离子之比为1,电解氢氧化钠溶液实质是电解水,故体积为2:112．【参考答案】C【命题立意】本题考查离子反应和离子共存的相关知识【解析】酸性二价铁与硝酸根不共存,中性溶液铁离子不共存,加入铝产生氢气的可以是酸溶液,也可以是碱溶液13．【参考答案】B【命题立意】本题考查氧化还原反应的相关计算【解析】根据电子得失守恒可知生成25克碳酸钙则有0.25mol一氧化碳参加反应生故转移电子数为0.5mol二、选择题:本大题包括 8小题，每小题6分，共48分。
吉林省长春82018年高考数学仿真试卷(理科)Word版含解析
吉林省长春82018年高考仿真试卷（理科数学）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|x﹣x2＜0}，B={x||x|＜2}，则（∁RA）∩B=（）A．（﹣2，0]∪[1，2）B．[0，1] C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）2．已知复数z=cosθ+isinθ，θ∈R，则z n=cosnθ+isinnθ，n∈N*；若复数z=cos+isin，那么=（）A．0 B．i C．1 D．﹣i3．已知a，b∈R，则“ab=4”是“直线2x+ay﹣1=0与bx+2y+1=0平行”的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（）A．6 B．8 C．12 D．165．函数f（x）=sin2x﹣4sin3xcosx的最小正周期与奇偶性分别是（）A．；奇函数B．；奇函数C．；偶函数D．；偶函数6．数列{an }满足a1=2，an+1an=an﹣1，n∈N*，Sn是其前n项和，则S100=（）A． B． C． D．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．8．对两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2）…，（xn，yn），则下列不正确的说法是（）A．若求得相关系数r=﹣0.89，则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关B．同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和E1=1.8，同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和E2=2.4，则模型1的拟合效果更好C．用相关指数R2来刻画回归效果，模型1的相关指数R12=0.48，模型2的相关指数R22=0.91，则模型1的拟合效果更好D．该回归分析只对被调查样本的总体适用9．在△ABC中，若=，sinC=2sinB，则tanA=（）A．B．1 C．D．210．已知x，y满足不等式组，关于目标函数z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|最值的说法正确的是（）A．最小值0，最大值9 B．最小值2，最大值9C．最小值3，最大值10 D．最小值2，最大值1011．过双曲线﹣=1（m＞0，n＞0）上的点P（，﹣）作圆x2+y2=m的切线，切点为A，B，若•=0，则该双曲线的离心率的值为（）A．2 B．3 C．4 D．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x2﹣4x）=a有六个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，）C．（1，2）D．（2，）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值组成的集合为．14．已知a=5x dx，则二项式（﹣）a展开式中的常数项是．（填数值）15．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD外接球表面积为．16．已知函数y=f （x ），x ∈D ，若存在常数C ，对∀x 1∈D ，∃唯一的x 2∈D ，使得=C ，则称常数C 是函数f （x ）在D 上的“倍几何平均数”．已知函数f （x ）=2﹣x ，x ∈[1，3]，则f （x ）在[1，3]上的“倍几何平均数”是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=，设b n =a 2n ﹣，S n 为数列{b n }的前n 项和．（1）求a 2，a 3，b 1，b 2；（2）证明数列{b n }是等比数列；（3）求S n ．18．“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（3）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望．19．直角梯形ABEF 中，BE ∥AF ，∠FAB=90°，AF=BE=3AB=3，C ，D 分别是边BE ，AF 上的点（不是端点），且CD ⊥AF ，如图1所示；现沿CD 把直角梯形ABEF 折成一个120°的二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示．（1）求证：BE ∥平面ADF ；（2）当四棱锥F ﹣ABCD 体积最大时，求平面ADF 与平面BEF 所成的锐二面角的余弦值．20．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线l ：y=kx+m （k ≠0），与该椭圆交于P 、Q 两点，直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1、k 2，满足4k=k 1+k 2，试问：当k 变化时，m 2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．21．已知函数，a ∈R ．（Ⅰ）当 a=1时，求函数 f （x ）的最小值；（Ⅱ）当a ＜0时，讨论函数 f （x ）的单调性；（Ⅲ）是否存在实数a ，对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有恒成立，若存在求出a 的取值范围，若不存在，说明理由．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD ．（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）若tan ∠CED=，⊙O 的半径为3，求OA 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线：，（t 为参数）与曲线C ：（θ为参数）相交于不同的两点A ，B ．以O 为极点，Ox 正半轴为极轴，两坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若α=，求线段|AB|的长度．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f （x ）=|x ﹣a|﹣a ，a ∈R（1）当a=﹣2时，解不等式：f （x ）＜﹣x+2；（2）若f （x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为9，求a 的值．吉林省长春82018年高考数学仿真试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）A）∩B=（）1．已知集合A={x|x﹣x2＜0}，B={x||x|＜2}，则（∁RA．（﹣2，0]∪[1，2）B．[0，1] C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【分析】通过解一元二次不等式和绝对值不等式便可解出集合A，B，然后进行补集，交集的运算即可．【解答】解：解x﹣x2＜0得，x＜0，或x＞1；解|x|＜2得，﹣2＜x＜2；∴A={x|x＜0，或x＞1}，B={x|﹣2＜x＜2}；A={x|0≤x≤1}；∴∁R∴（∁A）∩B=[0，1]．R故选B．2．已知复数z=cosθ+isinθ，θ∈R，则z n=cosnθ+isinnθ，n∈N*；若复数z=cos+isin，那么=（）A．0 B．i C．1 D．﹣i【分析】利用复数的运算法则化简分子，然后利用复数的除法求解即可．【解答】解：复数z=cosθ+isinθ，θ∈R，则z n=cosnθ+isinnθ，n∈N*；若复数z=cos+isin，那么====﹣i．故选：D．3．已知a，b∈R，则“ab=4”是“直线2x+ay﹣1=0与bx+2y+1=0平行”的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可．【解答】解：若直线2x+ay﹣1=0与bx+2y+1=0平行，则ab﹣2×2=0，即ab=4，当a=﹣2，b=﹣2时，两直线方程为2x﹣2y﹣1=0，﹣2x+2y+1=0，此时两直线重合，故“ab=4”是“直线2x+ay﹣1=0与bx+2y+1=0平行”的必要不充分条件，故选：C．4．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（）A．6 B．8 C．12 D．16【分析】若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，根据分步计数原理分别求出安排方案种数，相加即得所求．【解答】解：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有×3=6种方法． 若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2=6种方法．综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有 6+6=12种，故选C ．5．函数f （x ）=sin2x ﹣4sin 3xcosx 的最小正周期与奇偶性分别是（ ）A ．；奇函数B ．；奇函数C ．；偶函数D ．；偶函数【分析】先利用二倍角正弦降幂，提取sin2x ，再由二倍角余弦降幂，最后由二倍角正弦化简得f （x ）=，则答案可求．【解答】解：∵f （x ）=sin2x ﹣4sin 3xcosx=sin2x ﹣2sin2x•sin 2x=sin2x （1﹣2sin 2x ）=sin2x•cos2x=．∴T=，∵f （﹣x ）=， ∴f （x ）为奇函数．故选：A ．6．数列{a n }满足a 1=2，a n+1a n =a n ﹣1，n ∈N *，S n 是其前n 项和，则S 100=（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】a 1=2，a n+1a n =a n ﹣1，n ∈N *，可得：a n+1=1﹣，于是a n+3=a n ．即可得出． 【解答】解：∵a 1=2，a n+1a n =a n ﹣1，n ∈N *，∴a n+1=1﹣，可得a 2=，a 3=﹣1，a 4=2，…，∴a n+3=a n ．∴S 100=33×（﹣1）+2=．故选：B ．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A．B．C．1 D．【分析】由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．该几何体的体积V=××1=．故选：A．8．对两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2）…，（xn，yn），则下列不正确的说法是（）A．若求得相关系数r=﹣0.89，则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关B．同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和E1=1.8，同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和E2=2.4，则模型1的拟合效果更好C．用相关指数R2来刻画回归效果，模型1的相关指数R12=0.48，模型2的相关指数R22=0.91，则模型1的拟合效果更好D．该回归分析只对被调查样本的总体适用【分析】根据r＜0则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关；线性回归方程一定过样本中心点；在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，相关指数表示拟合效果的好坏，指数越小，相关性越强；相关指数R2用来衡量两个变量之间线性关系的强弱R2越接近于1，说明相关性越强，相反，相关性越小，命题可做判断．【解答】解：对于A，r＜0则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关，正确；对于B，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确；对于C，相关指数R2用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，R2越接近于1，说明相关性越强，相反，相关性越小，因此R2越大拟合效果越好，故不正确；对于D，回归分析只对被调查样本的总体适用，正确；故选：C．9．在△ABC中，若=，sinC=2sinB，则tanA=（）A．B．1 C．D．2【分析】由=，sinC=2sinB，化为a2﹣b2=bc，c=2b，再利用余弦定理可得A．【解答】解：在△ABC中，∵=，sinC=2sinB，∴a2﹣b2=bc，c=2b，∴a2=b2+=7b2．∴cosA===，A∈（0，π），∴A=则tanA=．故选：A．10．已知x，y满足不等式组，关于目标函数z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|最值的说法正确的是（）A．最小值0，最大值9 B．最小值2，最大值9C．最小值3，最大值10 D．最小值2，最大值10【分析】作出不等式组对应的平面区域，讨论x﹣2y﹣2和x﹣y的符号，取得极大值，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，作出x﹣2y﹣2=0对应的直线，则由图象知平面区域都在直线x﹣2y﹣2=0的左上方，即x﹣2y﹣2＜0，则z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|=|x﹣y|﹣（x﹣2y﹣2），当x﹣y≥0，对应的区域在直线x﹣y=0的下方，即平面区域ABED，此时z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|=|x﹣y|﹣（x﹣2y﹣2）=x﹣y﹣x+2y+2=y+2，即y=z+2，平移直线y=z+2，得当直线经过A（1，0）时，y最小，此时z最小，即z=2，当经过E时，y最大，此时z最大，由得，即E（，），此时z=+2=，即此时2≤z≤，当x﹣y＜0，对应的区域在直线x﹣y=0的上方，即平面区域CDE，此时z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|=|x﹣y|﹣（x﹣2y﹣2）=﹣x+y﹣x+2y+2=﹣2x+3y+2，即y=x+﹣，平移直线y=x+﹣，得当直线经过D时，直线的截距最小，此时z最小，由，得，即D（1，1），此时z=﹣2+3+2=3，当直线经过C时，直线的截距最大，此时z最大，由得，即C（1，3），此时z=﹣2+3×3+2=9，即此时3≤z≤9，综上2≤z≤9，即最小值2，最大值9，故选：B．11．过双曲线﹣=1（m＞0，n＞0）上的点P（，﹣）作圆x2+y2=m的切线，切点为A，B，若•=0，则该双曲线的离心率的值为（）A．2 B．3 C．4 D．【分析】如图，根据向量的数量积•=0得出∠APB=90°，又PA=PB，PA，PB是圆的切线，从而四边形OAPB是正方形，利用OA=OP求出m的值，又因为双曲线﹣=1（m＞0，n＞0）上的点P（，﹣），求出n的值，从而得出该双曲线的离心率的值．【解答】解：如图，∵•=0，∴∠APB=90°，又PA=PB，PA，PB是圆的切线，∴四边形OAPB是正方形，∴OA=OP=×2=2，即=2，∴m=4，又因为双曲线﹣=1（m＞0，n＞0）上的点P（，﹣），∴，∴n=12，则该双曲线的离心率的值是e===2．故选A．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x2﹣4x）=a有六个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，）C．（1，2）D．（2，）【分析】作函数f（x）=的图象，从而由题意可得x2﹣4x=m有两个解，f（x）=a有三个都大于﹣4的解，从而解得．【解答】解：作函数f（x）=的图象如右图，∵x2﹣4x=m最多有两个解，f（x）=a最多有三个解，∴当x2﹣4x=m有两个解，f（x）=a有三个解时，方程f（x2﹣4x）=a有6个不同的实根；若使f（x）=a有三个解，则2＜a；若使x2﹣4x=m有两个解，则m＞﹣4；故f（x）=a的三个解都大于﹣4；故x＞﹣4，故﹣x+＜，可得a，故实数a的取值范围是：（2，）．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值组成的集合为{0，1，3} ．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值，并输出．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．依题意得，或，或，解得x=0，或x=1，x=3．故答案为：{0，1，3}．14．已知a=5x dx ，则二项式（﹣）a 展开式中的常数项是 15 ．（填数值）【分析】求定积分得到a 值，然后写出二项展开式的通项，由x 得指数为0求得r 值，则答案可求．【解答】解：∵a=5x dx==6．∴（﹣）a =（﹣）6，由， 取6﹣3r=0，得r=2．∴二项式（﹣）a 展开式中的常数项是．故答案为：15．15．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接球表面积为 ．【分析】三棱锥B ﹣ACD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．【解答】解：根据题意可知三棱锥B ﹣ACD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的中，底面边长为1，棱柱的高为，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心， ∴正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O ，外接球的半径为r ，表面积为：4πr 2．球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：××1=，所以球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr 2=π故答案为：π．16．已知函数y=f （x ），x ∈D ，若存在常数C ，对∀x 1∈D ，∃唯一的x 2∈D ，使得=C ，则称常数C 是函数f （x ）在D 上的“倍几何平均数”．已知函数f （x ）=2﹣x ，x ∈[1，3]，则f （x ）在[1，3]上的“倍几何平均数”是 ．【分析】根据题意可得到对∀x 1∈[1，3]，∃唯一的x 2=4﹣x 1，且x 2∈[1，3]，使得x 1+x 2=4，从而得出，这样便可得出f （x ）在[1，3]上的“倍几何平均数”．【解答】解：∵x ∈[1，3]；∴对∀x 1∈[1，3]，∃唯一的x 2=4﹣x 1，且x 2∈[1，3]，使，x 1+x 2=4；∴=；∴f （x ）在[1，3]上的“倍几何平均数”是．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=，设b n =a 2n ﹣，S n 为数列{b n }的前n 项和．（1）求a 2，a 3，b 1，b 2；（2）证明数列{b n }是等比数列；（3）求S n ．【分析】（1）利用递推关系即可得出．（2）由条件====．即可证明．（3）利用等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．【解答】（1）解：由递推关系：a 2=+1=，a 3=a 2﹣3×2=；b 1==﹣，b 2==﹣=﹣．．（2）证明：由条件====．∴数列{b n }是首项为，公比为的等比数列．（3）由（2）知： =﹣．∴S n ==﹣．18．“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（3）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望．【分析】（1）利用古典概率计算公式结合排列组合知识，能求出至少两次试验成功的概率．（2）根据乙小组在第四次成功前共有三次失败，可知乙小组共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，所以各种可能的情况数为=12种，由此能求出结果．（3）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4，分别求出P （ξ=0），P （ξ=1），P （ξ=2），P （ξ=3），P （ξ=4），由此能求出ξ的期望．【解答】解：（1）甲小组做了三次试验，至少两次试验成功的概率为：P （A ）==．（2）根据乙小组在第四次成功前共有三次失败，可知乙小组共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，所以各种可能的情况数为=12种，所以所求的概率为P （B ）=12×=． （3）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4，P （ξ=0）==，P （ξ=1）=+=，P （ξ=2）=++=，P （ξ=3）=+=，P （ξ=4）=•=，E ξ==．19．直角梯形ABEF 中，BE ∥AF ，∠FAB=90°，AF=BE=3AB=3，C ，D 分别是边BE ，AF 上的点（不是端点），且CD ⊥AF ，如图1所示；现沿CD 把直角梯形ABEF 折成一个120°的二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示．（1）求证：BE ∥平面ADF ；（2）当四棱锥F ﹣ABCD 体积最大时，求平面ADF 与平面BEF 所成的锐二面角的余弦值．【分析】（1）根据面面平行的性质证明平面BCE ∥平面ADF 即可证明BE ∥平面ADF ；（2）设AD=a ，求出当四棱锥F ﹣ABCD 体积最大时，AD 的值，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角的余弦值．【解答】（1）证明：在图2中，BC ∥AD ，CE ∥DF ，BC ，CF ⊂平面BCE ，AD ，DF ⊂平面ADF ， 且BC∩CE=C，由面面平行判断定理的推论得：平面BCE ∥平面ADF ， 又BE ⊂平面BCE ，∴BE ∥平面ADF ． （2）过D 作Dz ⊥平面ABCD ，由条件，以D 为原点，DA ，DC ，DZ 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系．设AD=a ，（0＜a ＜2），则DF=3﹣a ，V F ﹣ABCD =a （30﹣a ）sin =a （3﹣a ）≤（）2=，当且仅当a=3﹣a ，即a=时，四棱锥F ﹣ABCD 体积最大．此时B（，1，0），F（﹣，0，），E（﹣，1，），=（﹣，﹣1，），=（﹣，0，），设平面BEF的一个法向量=（x，y，z），则：•=﹣x﹣y+z=0，•=﹣x+z=0，取x=，则y=3，z=7，所以=（，3，7），平面ADF的法向量为=（0，1，0），所以平面ADF与平面BEF所成的锐二面角的余弦值为：cosθ=|cos＜，＞|===．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量，得到椭圆的方程．（2）联立直线与椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．利用韦达定理，通过直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，求解即可．【解答】解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1所以椭圆C的方程是…（2）当k变化时，m2为定值，证明如下：由得，（1+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣1）=0．…设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．则x 1+x 2=，x 1x 2=…（•） …∵直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1，k 2，且4k=k 1+k 2，∴4k==，得2kx 1x 2=m （x 1+x 2），…将（•）代入得：m 2=，…经检验满足△＞0．…21．已知函数，a ∈R ．（Ⅰ）当 a=1时，求函数 f （x ）的最小值；（Ⅱ）当a ＜0时，讨论函数 f （x ）的单调性；（Ⅲ）是否存在实数a ，对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有恒成立，若存在求出a 的取值范围，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求导后解出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判出在各区间段内的单调性，从而的导函数的最小值；（Ⅱ）求出函数的导函数，根据a 的不同取值对函数定义域分段，由函数导函数的符号判断原函数在各区间段内的单调性；（Ⅲ）在假设存在实数a 使得对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有恒成立的前提下，把问题转化为（x 2）﹣ax 2＞f （x 1）﹣ax 1恒成立，然后构造函数g （x ）=f （x ）﹣ax ，利用导函数求出使函数g （x ）在（0，+∞）上为增函数的a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），由，当a=1时，，．∴当x ∈（0，2）时，f'（x ）＜0，f （x ）为减函数；当x ∈（2，+∞），f'（x ）＞0，f （x ）为增函数．∴f （x ）在x=2时取得最小值，其最小值为f （2）=﹣2ln2．（Ⅱ）∵，∴（1）当﹣2＜a ＜0时，若x ∈（0，﹣a ），f'（x ）＞0，f （x ）为增函数；若x ∈（﹣a ，2），f'（x ）＜0，f （x ）为减函数；若x ∈（2，+∞），f'（x ）＞0，f （x ）为增函数．（2）当a=﹣2时，在（0，+∞）上f ′（x ）≥0，f （x ）为增函数；（3）当a ＜﹣2时，若x ∈（0，2），f'（x ）＞0，f （x ）为增函数；若x ∈（2，﹣a ），f'（x ）＜0，f （x ）为减函数；若x ∈（﹣a ，+∞），f'（x ）＞0，f （x ）为增函数．（Ⅲ）假设存在实数a 使得对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有恒成立，不妨设0＜x 1＜x 2，只要，即：f （x 2）﹣ax 2＞f （x 1）﹣ax 1．令g （x ）=f （x ）﹣ax ，只要 g （x ）在（0，+∞）为增函数即可．又函数．考查函数要使g'（x ）≥0在（0，+∞）恒成立，只要﹣1﹣2a ≥0，即a，故存在实数a ，对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有恒成立．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD ．（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）若tan ∠CED=，⊙O 的半径为3，求OA 的长．【分析】（1）要想证AB 是⊙O 的切线，只要连接OC ，求证∠ACO=90°即可；（2）先由三角形判定定理可知，△BCD ∽△BEC ，得BD 与BC 的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA 的长．【解答】解：（1）如图，连接OC ，∵OA=OB ，CA=CB ，∴OC ⊥AB ．∴AB 是⊙O 的切线；（2）∵BC 是圆O 切线，且BE 是圆O 割线，∴BC 2=BD•BE，∵tan ∠CED=，∴．∵△BCD ∽△BEC ，∴，设BD=x ，BC=2x ．又BC 2=BD•BE，∴（2x ）2=x•（x+6），解得x 1=0，x 2=2，∵BD=x ＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线：，（t 为参数）与曲线C ：（θ为参数）相交于不同的两点A ，B ．以O 为极点，Ox 正半轴为极轴，两坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若α=，求线段|AB|的长度．【分析】（1）利用cos 2θ+sin 2θ=1可把曲线C 的参数方程为普通方程：=1，由极坐标与直角坐标的互化公式得C 的极坐标方程．（2）当时，直线的参数方程为，把直线的参数方程代入椭圆方程化为：13t 2+56t+48=0，利用|AB=|t 1﹣t 2|=即可得出．【解答】解：（1）曲线C ：（θ为参数）的参数方程为普通方程： =1，由极坐标与直角坐标的互化公式得C 的极坐标方程为：ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ=4，即ρ2=．（2）当时，直线的参数方程为，把直线的参数方程代入=1，化为：13t 2+56t+48=0，∴t 1+t 2=﹣，t 1t 2=．∴|AB=|t 1﹣t 2|==．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f （x ）=|x ﹣a|﹣a ，a ∈R（1）当a=﹣2时，解不等式：f （x ）＜﹣x+2；（2）若f （x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为9，求a 的值．【分析】（1）当a=﹣2时，利用绝对值不等式的解法进行求解即可．（2）根据绝对值的应用转化为f （x ）=0有两个根，求出方程的根，利用三角形的面积公式建立方程进行求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣2时，由f （x ）＜﹣x+2，得|x+2|+2＜﹣x+2，即|x+2|＜﹣x ，所以：即x ＜x+2＜﹣x ，则，得，解得：﹣4＜x ＜﹣，所以原不等式的解集为：（﹣4，﹣）．（2）由f （x ）图象与x 轴有公共点，则f （x ）=0有两个根，即|x ﹣a|=a ，有两个根，所以：a ＞0；两个根分别为：x 1=0，x 2=2a ，而f （x ）的图象与x 轴围成的图形为等腰直角三角形，所以：S=，解得：a=3．。
吉林省长春市第四十七中学2018年高三数学理测试题含解析
吉林省长春市第四十七中学2018年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，由图中数据求出三棱锥的表面积．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，则三棱锥的表面积是++2×=2+2，故选D．【点评】本题考查由三视图求面积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．2. 已知等比数列{a n}为递增数列，其前n项和为S n．若S3=7，a2=2，则 a3 +a4 +a5=(A) (B(C) 28 (D) 56参考答案：C3. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，若抛物线上一点P到y轴的距离是1，则等于A.2 B．3 C.4 D．5参考答案：B4. 有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出的四位数有（）个．A．78 B．102 C．114 D．120参考答案：C【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分四种情况讨论：①、取出的4张卡片种没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，②、取出的4张卡片种有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，③若取出的4张卡片为2张1和2张2，④、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分四种情况讨论：①、取出的4张卡片种没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，此时有A44=24种顺序，可以排出24个四位数；②、取出的4张卡片种有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2、3、4中取出2个，有C32=3种取法，安排在四个位置中，有A42=12种情况，剩余位置安排数字1，可以排出3×12=36个四位数，同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③、若取出的4张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有C42=6种情况，剩余位置安排两个2，则可以排出6×1=6个四位数；④、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1，在2、3、4中取出1个卡片，有C31=3种取法，安排在四个位置中，有C41=4种情况，剩余位置安排1，可以排出3×4=12个四位数；则一共有24+36+36+6+12=114个四位数；故选C．【点评】本题考查排列组合的运用，解题时注意其中重复的数字，要结合题意，进行分类讨论．5. 已知. 、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一动点，圆与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则(▲) A．B．C．D．与的大小关系不确定参考答案：【知识点】圆与圆锥曲线的综合．H9【答案解析】A 解析：由题意知，圆C是△AF1F2的旁切圆，点M是圆C与x轴的切点，设圆C与直线F1A的延长线、AF2分别相切于点P，Q，则由切线的性质可知：AP=AQ，F2Q=F2M，F1P=F1M，∴MF2=QF2=（AF1+AF2）﹣（AF1+AQ）=2a﹣AF1﹣AP=2a﹣F1P=2a﹣F1M∴MF1+MF2=2a，∴t=a=2．故选A．【思路点拨】由题意知，圆C是△AF1F2的旁切圆，点M是圆C与x轴的切点，设圆C与直线F1A的延长线、AF2分别相切于点P，Q，则由切线的性质可知：AP=AQ，F2Q=F2M，F1P=F1M，由此能求出t的值．6. 设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩（）＝A、（1,4）B、（3,4）C、（1,3）D、（1,2）∪（3,4）参考答案：B7. 已知△OAB是边长为1的正三角形，若点P满足，则的最小值为（）A．B．1 C．D．参考答案：C以为原点，以为轴，建立坐标系，为边长为的正三角形，，，，，故选C.8. 定义某种运算⊙：⊙的运算原理如框图，则式子5⊙3+2⊙4=（）A．14 B．15 C．16 D．18参考答案：A该程序框图的功能是输入一对，的值，输出相应的值，且。
吉林省吉林大学附属中学2017-2018学年高三上学期第四次摸底考试理数试题 Word版含解析
2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）已知集合{|10}{}A x x B a A B A =-<==，，…，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）[01)，（B ）(11)-，（C ）(10]-， （D ）(10)-， 【答案】C 【解析】 试题分析：(]1,0A =-，{}B a =，A B A ⋃=，(]1,0a ∴∈-，故选C ．考点：1、集合的表示方法；2、集合的并集.（2）已知圆22:40C x y x +-=，直线:30l mx y m -+=，则（ ） （A ）l 与C 相交 （B ）l 与C 相切 （C ）l 与C 相离 （D ）以上三个选项均有可能 【答案】D考点：1、点和圆的位置关系；2、直线和圆的位置关系.（3）已知函数21sin()10()0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，，…，实数a 满足(1)()2f f a +=，则a 的所有可能值为（ ）（A ）1或（B ） （C ）1 （D ）1或 【答案】A考点：已知分段函数的解析式求函数值.（4）已知1e 、2e 是夹角为90︒的两个单位向量，若12=a e ，12=-b e ，则a 与b 的夹角为（ ）（A ）30︒ （B ）60︒ （C ）120︒ （D ）150︒ 【答案】C 【解析】试题分析：121(3)(2)2a b e e e ∙=+∙-=-，2,2a b ==，1cos ,2a ba b a b∙∴==-∙， a 与b 的夹角为120︒，故选C.考点：1、平面向量的数量积；2、向量的夹角.（5）直线12:30:0l ax y l x by c --=++=，，则1ab =-是12l l ∥的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 试题分析：当1ab =-且3c =时，1l 与2l 重合，而12//l l 时一定有()110a b ⨯--⨯=，即1ab =-，所以1ab =-是12l l ∥的必要不充分条件，故选B.考点：已知两直线方程判断两直线位置关系. （6）若函数()(1)(01)，且x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()l o g ()a g x x k =+的图象是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A考点：1、函数的奇偶性；2、对数函数图象的性质及变换.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数图象的性质及变换，属于中档题.函数图象的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图象经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题图象是利用对数函数图象经过“平移变换”得到的.（7）若不等式组3434xx yx y⎧⎪+⎨⎪+⎩………所表示的平面区域被直线43y kx=+分为面积相等的两部分，则k=（）（A）73（B）37（C）43（D）34【答案】A【解析】试题分析: 画出可行域如图，由图可知直线43y kx=+恒过点40,,3⎛⎫⎪⎝⎭当直线43y kx=+经过,B C中点15,22D⎛⎫⎪⎝⎭时平面区域被直线43y kx=+分为面积相等的两部分，将15,,22x y==代入43y kx=+得7,3k=故选A.x考点：1、线性规划可行域的画法；2、三角形面积公式.（8）若()2παπ∈，，且3cos2sin()4παα=-，则sin 2α的值为（ ）（A ） （B ）16- （C ） （D ）1718- 【答案】D考点：1、两角差的正弦公式；2、余弦二倍角公式.（9）已知()f x 在R 上可导，且2()2(2)f x x xf '=+，则(1)f -与(1)f 的大小关系是（ ） （A ）(1)(1)f f -= （B ）(1)(1)f f -> （C ）(1)(1)f f -< （D ）不确定 【答案】B 【解析】 试题分析：()()()()()()222,222,24,28,4f x x xf f x x f f f x x x '''''=+∴=+=-=-<时， ()()0,f x f x '<在(),4-∞上递减,()()11,f f ∴-> 故选B.考点：1、导函数的求法；2、根据导数判断函数的单调性.（10）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和都是等差数列，且公差相等，则2a =（ ） （A ）34（B ）1 （C ）43（D ）12【答案】A考点：1、等差数列的通项；2、等差数列前n 项和公式.（11）已知ABC △的三边a 、b 、c 成等比数列，a 、b 、c 所对的角依次为A 、B 、C . 则sin cos B B +的取值范围是（ ）（A ）(11+，（B ）1[12+， （C ）(1 （D ）1[2【答案】C 【解析】试题分析：sin cos 4y B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，a 、b 、c 是等比数列，2b ac ∴=，()222111cos 12222a c b c a B aca c +-⎛⎛⎫==+-≥= ⎪ ⎝⎭⎝，03B π<<，sin 124B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，14B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，故选C.考点：1、等比数列的定义；2、余弦定理；3、三角函数的最值.【方法点晴】本题考查的知识点比较多，主要考查等比数列的定义、余弦定理及三角函数的最值，属于难题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2s i n s i n y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如s i n s i n a x by c x d+=+的可化为s i n ()x y φ=的形式利用三角函数有界性求最值；③sin cos y a x b x =+型，可化为)y x φ=+求最值 .本题是利用方法③的思路解答的.（12）已知函数2342015()12342015x x x x f x x =+-+-++，2342015()12342015x x x x g x x =-+-+--，设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的所有零点均在区间[]()a b a b ∈Z ，、内，则b a -的最小值为 （ ）（A ）6 （B ）8 （C ）9 （D ）10 【答案】D考点：1、函数“零点定理”；2、函数图象的平移变换；3、利用导数判定函数的单调性. 【思路点晴】本题主要考查函数“零点定理”、函数图象的平移变换、利用导数判定函数的单调性，属于难题.该题条件比较隐含，一定要细心审题、才能挖掘出隐含条件，首先利用导数判断出()y f x =和()y g x =在(,)-∞+∞是单调函数，再利用“零点定理”判断出()f x 、()g x 的零点位置，进而得到(3)f x +和(4)g x -的零点位置，从而得到b a -的最小值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）（13）已知()()|1|g x f x x =+-是奇函数，且(1)1f -=.则(1)g = . 【答案】3-考点：1、函数的奇偶性；2、巳知解析式求函数值.（14）在ABC △中，3AB =，5AC =，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC 的值为 . 【答案】8 【解析】试题分析：设BC 中点为D 连接OD 、AD ，则O DB C ⊥，则()A OB CA DD O B C A D B C⋅=+⋅=⋅ ()()()221122AB AC AC AB AC AB =+-=-=221(53)82⨯-=，即AO BC 的值为8. 考点：平面向量的数量积.（15）已知()n n n A a b ，()n *∈N 是曲线:e x C y =上的点，设1(01)A ，，曲线C 在n A 处的切线交x 轴于点1(0)n a +，，则数列{}n b 的通项公式是n b = . 【答案】1e n - 【解析】 试题分析：,x x y e y e '=∴=在(,)n n a b 处切线方程是()n a n n y b e x a -=-即()n n a a n y e e x a -=-，令0y =得{}111,1,n n n n n x a a a a a ++==--=-是以0为首项以-1为公差的等差数列11,n n n a n b e -=-∴=.考点：1、利用导数求切线斜率；2、数列的通项公式.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及数列的通项问题，属于难题.求曲线切线的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在0x x =处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=∙-.（16）过点0)引直线l 与曲线y A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB △的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 .【答案】考点：1、弦长公式；2、三角形面积公式；3、利用均值不等式.【方法点晴】本题主要考查弦长公式、三角形面积公式及最值问题，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用：①参数法 ；②配方法；③判别式法；④三角函数有界法；④函数单调法；⑤均值不等式法来求最值.本题用方法⑤求出了AOB △面积的最大值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （17）（本题满分12分）设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求tan B 及边长a 的值；（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ．【答案】（Ⅰ）5a =；（Ⅱ）10+. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由cos 3,sin 4,a B b A ==两式相除，利用正弦定理化简得4tan ,3B =进而3cos 5B =，35cos a B ==；（Ⅱ）由 （Ⅰ）可得41sin ,sin 52B S ac B ==得5c =，再由余弦定理得b =10a b c ++=+ 试题解析：（Ⅰ）由cos 3a B =，sin 4b A =，两式相除，有3cos cos cos 14sin sin sin tan a B a B b B b A A b B b B ==⋅=⋅=，所以4tan 3B =，又cos 3a B =，故cos 0B >， 则3cos 5B =，所以5a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知4s i n 5B =，由1s i n 2S a c B =，得到5c =．由2222c o s b a c a c B =+-，得b =故5510l =+++ABC △的周长为10+考点：1、正弦、余弦定理；2、三角形面积公式. （18）（本题满分12分） 设数列{}n a 满足：123n n a a a a n a ++++=-()n *∈N .（Ⅰ）求证：数列{1}n a -是等比数列；（Ⅱ）若(2)(1)n n b n a =--，且对任意的正整数n ，都有214n b t t +…，求实数t 的取值范围.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）12t ≥或14t ≤-.即214n b t t -….则2max 1()4n b t t -…，所以，21184t t -…，解得12t …或14t -…，所以t 的取值范围是11(][)42-∞-+∞，，考点：1、等比数列的证明；2、不等式恒成立问题. （19）（本题满分12分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC AB ∥，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =，2BC CD EA ED ====.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求直线BE 和平面CDE 所成角的正弦值.A【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3.（Ⅱ）以D 为坐标原点，DA DB ，所在直线分别为x y ，轴建立空间直角坐标系D xyz -.得(000)(00)(0)0D B C E ，，，，，，，所以(2222)(202)(20)BE DE DC =-==-，，，，，，，.可求得平面CDE 的一个法向量是(111)=-，，n . 设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，得||sin |cos |||||BE n BE n BE n α⋅=<>===⋅，故直线BE 和平面CDE 所成角的. 考点：1、平面与平面垂直的性质定理；2、直线与平面成的角. （20）（本题满分12分）已知两个动点A 、B 和一个定点00()M x y ，均在抛物线2:2(0)C y px p =>上（A 、B 与M 不重合）. 设F 为抛物线的焦点，Q 为其对称轴上一点，若1()02QA AB AB +⋅=，且||FA 、||FM 、||FB 成等差数列.（Ⅰ）求OQ 的坐标（可用0x 、0y 和p 表示）；（Ⅱ）若||3OQ =，5||2FM =，A 、B 两点在抛物线C 的准线上的射影分别为1A 、1B ，求四边形11ABB A 面 积的取值范围.【答案】（Ⅰ）0(0)OQ x p =+，；（Ⅱ）(010]，. （Ⅱ）由5||3||2OQ FM ==，由焦半径公式得005322p x p x +=+=，，得1p =， 故22y x =，02x =，所以124x x +=，且1112121211[()()]||522||22ABB A x x y y S y y +++-==-.又2212122()8y y x x +=+=，则2222222111211(8)(8)164y y y y y y +-=-≤=,12[44]y y ∈-，， 222121212()2[016]y y y y y y -=+-∈，，注意到12y y ≠，得12||(04]y y -∈，，11125||(010]2ABB A S y y =-∈，，所以四边形11ABB A 面积的取值范围为(010]，.考点：1、拋物线的定义、性质及几何意义；2、向量的数量积；3、均值不等式求最值. 【方法点晴】本题主要考查拋物线的定义、性质及几何意义和最值问题，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（Ⅱ）就是用的这种思路，利用均值不等式法求四边形范围的. （21）（本题满分12分）已知2()ln ()2f x x x ax g x x =-=--，.（Ⅰ）对一切(0)()()x f x g x ∈+∞，，…恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当1a =-时，求函数()f x 在区间[3](0)m m m +>，上的最值； （Ⅲ）证明：对一切(0)x ∈+∞，，都有1212ln 1e e x x x++>-成立. 【答案】（Ⅰ）3a …；（Ⅱ）210e m <<时min 2211()()e f x f e ==-，max ()(3)[ln(3)1]f x m m =+++，当21e m …时min ()()(ln 1)f x f m m m ==+，max ()(3)(3)[ln(3)1]f x f m m m =+=+++；（Ⅲ）证明见解析.（Ⅲ）问题等价于证明122ln e e x x x x x ++>-，(0)x ∈+∞，. 由（Ⅱ）知1a =-时，()ln f x x x x =+的最小值是21e -，当且仅当21e x =时取等号. 设122()(0)e e x x G x x +=-∈+∞，，，则11()e x x G x +-'=，易知m a x21()(1)e G x G ==-，当且仅当1x =时取到. 从而可知对一切(0)x ∈+∞，，都有1212ln 1ee x x x++>-. 考点：1、不等恒成立求参数范围；2、利用导数求最值。
吉林省长春市2018届高三数学上学期第四次模拟考试试题理201801150194
吉林省长春市2018届高三数学上学期第四次模拟考试试题理第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）4x1. 已知集合M＝{x|x＞x2}，N＝{y|y＝，x∈M}，则M∩N＝()21 1A．{x|0＜x＜} B．{x|1＜x＜2} C．{x|0＜x＜1} D．{x| ＜x＜1}2 22. “(m－1)(a－1)>0”是“lo g a m>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3. 执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）31125137A．?B．C．S D．S ?SS??412241204. 已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）43A．23B．3C．D．3233（第3题）（第4题）5. 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定6. 已知x，y满足约束条件Error!当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2 5时，a2＋b2的最小值为()A．5 B．4 C. 5 D．27. 已知f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋2f(2)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f(1)＝2，则f(2019)等于()A．2 B．3 C．－2 D．－38. 将函数f(x)sin2x 的图像向右平移(0)个单位后得到函数g(x)的图像，若对2满足f(x)g(x)2的，则（）x，x，有xx 121212min3- 1 -A.512B.3C.4D.629. 已知数列为等比数列，且，则的值为aax 2dx a 4aaaa2014( 20122 20142016)n20132015（ ） A．B ． 2C ．2 D ． 4 210. 在ABC 中,角 A ，B ,C 所对的边分别为 a ，b ,c ，若bc1,b 2c cos A0 ，则当角 B取得最大值时， ABC 的周长为（ ）A. 3B. 2 2C. 2 3D. 3 211.已知是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且错误！未找到引用源。
吉林省长春市普通高中2018届高三一模考试理数试题(附答案)
长春市普通高中2018届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则()()122i i -+-=（ ） A ．5i B ．5i - C ．5 D ．-5 2．集合{},,a b c 的子集的个数为（ ） A ．4 B ．7 C ．8 D ．163．右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升． 其中正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．等差数列{}n a 中，已知611||||a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．95．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（ ）A ．95，94B ．92，86C ．99，86D ．95，916．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线3y x =-上，则角α的取值集合是（ ） A ．{|2,}3k k Z πααπ=-∈ B ．2{|2,}3k k Z πααπ=+∈ C ．2{|,}3k k Z πααπ=-∈ D ．{|,}3k k Z πααπ=-∈ 7．已知0,0x y >>，且4x y xy +=，则x y +的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．12 D ．168．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）A ．4立方丈B ．5立方丈C ． 6立方丈D ．12立方丈9．已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O ，半径为R 的球面上，6,23AB BC ==，且四棱锥O ABCD -的体积为83，则R 等于（ ）A ．4B ．23C ．479D ．13 10．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A ．求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和B ．求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和C ．求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和D ．求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和11．已知O 为坐标原点，设12,F F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线上任一点，过点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则||OH =（ ） A ．1 B ．2 C ． 4 D ．1212．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，当[0,]2x π∈时，()f x =()()()1g x x f x π=--在区间3[,3]2ππ-上所有零点之和为（ ）A ．πB ．2πC ． 3πD ．4π 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知角,αβ满足22ππαβ-<-<，0αβπ<+<，则3αβ-的取值范围是 ．14．已知平面内三个不共线向量,,a b c 两两夹角相等，且||||1a b ==，||3c =，则||a b c ++= ．15．在ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1(sin )cos sin cos 2b C A A C -=，且a =ABC 面积的最大值为 ． 16．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为 ． 三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S n +=+-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2log 1)n n b a =-（，求证：122334111111n n b b b b b b b b +++++<． 18．长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计： 点击量 []0,1000(1000,3000]()3000,+∞节数61812（Ⅰ）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数． （Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[]0,1000内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000,3000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X 的分布列与数学期望．19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设1,60PA ABC =∠=，三棱锥E ACD -3，求二面角D AE C --的余弦值．20．已知椭圆C 的两个焦点为()()121,0,1,0F F -，且经过点33,2E ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（点A 位于x 轴上方），若11AF F Bλ=，且23λ≤<，求直线l 的斜率k 的取值范围．21．已知函数()xf x e =，()()lng x x a b =++．（Ⅰ）若函数()f x 与()g x 的图像在点()0,1处有相同的切线，求,a b 的值； （Ⅱ）当0b =时，()()0f x g x ->恒成立，求整数a 的最大值；（Ⅲ）证明：23ln 2(ln 3ln 2)(ln 4ln 3)+-+-[ln(1)ln ]1n e n n e +++-<-． （二）选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为()1,2，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求||||PA PB ⋅． 23．选修4-5：不等式选讲设不等式||1||1||2x x +--<的解集为A ． （Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）若,,a b c A ∈，求证：1||1abcab c->-．长春市普通高中2018届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A2. C3. D4. C5.B6. D7. B8. B9. A10. C11. A12. D简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】A (12)(2)5-+-=i i i . 故选A.2. 【命题意图】本题考查集合的子集.【试题解析】C 集合有3个元素，所以子集个数共有328=个.故选C. 3. 【命题意图】本题考查函数的应用.【试题解析】D 通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D. 4. 【命题意图】本题考查等差数列及其前n 项和. 【试题解析】C 由题意知6111150,0,2<>=-a a a d ，有2[(8)64]2=--n d S n ，所以当8=n 时前n 项和取最小值.故选C. 5. 【命题意图】本题主要考查茎叶图.【试题解析】B 由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B. 6. 【命题意图】本题主要考查角的终边所在集合问题.【试题解析】D 终边落在直线=y 上的角的取值集合为{|,}3Z πααπ=-∈k k 或者2{|,}3Z πααπ=+∈k k .故选D. 7. 【命题意图】本题考查基本不等式的应用.【试题解析】B 414141,()()59+=+=++=++≥x y x y x y y x y x y x，当且仅当3,6==x y 时取等号.故选B.8. 【命题意图】本题考查中华传统文化及三视图.【试题解析】B 由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B. 9. 【命题意图】本题主要考查球的相关知识.【试题解析】A 由题意可知球心到平面ABCD 的距离 2，矩形ABCD 所在圆的半径为32，从而球的半径4=R .故选A.10. 【命题意图】本题主要考查算法和等差数列的前n 项和. 【试题解析】C 由题意可知1594033=++++S ，为求首项为1，公差为4的等 差数列的前1009项和.故选C.11. 【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.【试题解析】A 不妨在双曲线右支上取点P ，延长21,PF FH ，交于点Q ，由角分线性质可知1||||,=PF PQ 根据双曲线的定义，12||||||2-=PF PF ，从而2||2=QF ，在12∆FQF 中，OH 为其中位线，故||1=OH .故选A.12. 【命题意图】本题是考查函数的奇偶性、周期性和对称性及零点的相关知识. 【试题解析】D 由题意知()f x 为奇函数，周期为2π，其图象关于(,0)π对称，()g x 的零点可视为1(),π==-y f x y x 图象交点的横坐标，由1π=-y x 关于(,0)π对称，从而在3[,3]2ππ-上有4个零点关于(,0)π对称，进而所有零点之和为4π. 故选D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. (,2)ππ-14. 215.16.简答与提示：13. 【命题意图】本题考查不等式的性质. 【试题解析】由不等式22ππαβ-<-<，0+αβπ<<，则3()2()αβαβαβ-=++-，因此3αβ-取值范围是(,2)ππ-.14. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】由题意可知，c b a ,,的夹角为︒1201==可得b a +与c 反向， 且1||=+b a 2=++b .15. 【命题意图】本题考查解三角形的相关知识. 【试题解析】由题意可知1cos sin 2=b A B ，cos sin sin 2==A B Ab a，得tan 3π==A A ，由余弦定理2212=+-b c bc ，由基本不等式12bc ≤，从而ABC ∆面积的最大值为b c =时取到最大值.16. 【命题意图】本题考查圆锥的体积最值问题.【试题解析】设圆锥的底面圆半径为(03)<<r r积为1133π==V r 2(09)=<<t r t ，有13=V 2329,3183(6)'=-=-+=--y t t y t t t t ，当06<<t 时函数为增函数，当69<<t 时函数为减函数，从而当6=t时体积取最大值. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列前n 项和与通项的应用，还有裂项求和的应用等.【试题解析】（1）由11222(1)2(2)n n nn S n S n n +-⎧=+-⎪⎨=+-- ⎪⎩≥，则21nn a =+(2)n ≥. 当1n =时，113a S ==，综上21nn a =+.（2）由22log (1)log 2nn n b a n =-==.12233411111...n n bb b b b b b b +++++1111...122334(1)n n =++++⨯⨯⨯+ 1111111(1)()()...()223341n n =-+-+-++-+1111n =-<+. 得证.18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对抽样的理解，以及分布列的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：（1）根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000. （2）X 的可能取值为0，20，40，602611(0)15P X C === 11322662(20)155C C P X C ====12232651(40)153C C P X C +==== 132631(60)155C P X C ====则X 的分布列为即1003EX =19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE 在PBD △中，////PE DE PB OE BO DO OEACE PB ACE PB ACE=⎫⎫⇒⎬⎪=⎭⎪⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎪⎪⎭平面平面平面（2）242P ABCD P ACD E ACD V V V ---===，设菱形ABCD 的边长为a 211(2)133P ABCD ABCDV SPA -=⋅=⨯⨯=，则a =取BC 中点M ，连接AM .以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴， 建立如图所示坐标系.D，(0,0,0)A，1)2E，3(2C1(0,)2AE=，3(2AC=，1(1,n=-，2(1,0,0)n=1212||cos||||1n nn nθ⋅===⋅+即二面角D AE C--的余弦值为13.20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1) 由椭圆定义122||||4=+=a EF EF，有2,1,===a c b从而22143+=x y.(2) 设直线:(1)(0)=+>l y k x k，有22(1)143=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y k xx y，整理得2236(4)90+--=y yk k，设1122(,),(,)A x yB x y，有21212122,()(1)λλλ-=-=+-y y y y y y，222(1)414,23434λλλλ-=+-=++k k，由于23λ≤<，所以114223λλ≤+-<，21442343≤<+k，解得0<≤k21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，利用导数比较大小等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（1）由题意可知，()f x 和()g x 在(0,1)处有相同的切线，即在(0,1)处(1)(1)f g =且(1)(1)f g ''=，解得1,1a b ==.（2）现证明1x e x +≥，设()1x F x e x =--，令()10x F x e '=-=，即0x =，因此()(0)0min F x F ==，即()0F x ≥恒成立，即1x e x +≥，同理可证ln 1x x -≤.由题意，当2a ≤时，1x e x +≥且ln(2)1x x ++≤，即1ln(2)x e x x ++≥≥，即2a =时，()()0f x g x ->成立.当3≥a 时，0ln <e a ，即ln()+x e x a ≥不恒成立.因此整数a 的最大值为2.（3）由ln(2)x e x >+，令1n x n -+=， 即11ln(2)n n n e n-+-+>+，即11ln (2)n n n e n -+-+>+ 由此可知，当1n =时，0ln 2e >，当2n =时，12(ln3ln2)e ->-，当3n =时，23(ln4ln3)e ->-，……当n n =时，1[ln(1)ln ]-+>+-n n e n n .综上：012123...ln2(ln3ln2)(ln4ln3)...[ln(1)ln ]---+++++>+-+-+++-n n e e e e n n 0121231...11ln 2(ln 3ln 2)(ln 4ln 3)...[ln(1)ln ]---+>++++->+-+-+++-n ne e e e en n .即23ln 2(ln3ln 2)(ln 4ln3)...[ln(1)ln ]1+-+-+++-<-n e n n e . 22. (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与平面直角坐标方程的互化、直线的参数方程的几何意义等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 （Ⅰ）直线l的参数方程为1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (， 圆的极坐标方程为θρsin 6=.（Ⅱ）把1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得21)70t t +-=， 127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ， 则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅=23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想. 【试题解析】（1）由已知，令2(1)()|1||1|2(11)2(1)x f x x x x x x ⎧⎪=+--= -<<⎨⎪- ⎩≥≤-由|()|2<f x 得{|11}=-<<A x x .（2）要证1||1abc ab c->-，只需证|1|||abc ab c ->-， 只需证2222221a b c a b c +>+，只需证222221(1)a b c a b ->-只需证222(1)(1)0a b c -->，由,,a b c A ∈，则222(1)(1)0a b c -->恒成立.长春市普通高中2018届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A2. C3. D4. C5.B6. D7. B 8. B 9. A 10. C 11. A 12. D 简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】A (12)(2)5-+-=i i i . 故选A.2. 【命题意图】本题考查集合的子集.【试题解析】C 集合有3个元素，所以子集个数共有328=个.故选C.3. 【命题意图】本题考查函数的应用.【试题解析】D 通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D.4. 【命题意图】本题考查等差数列及其前n 项和.【试题解析】C 由题意知6111150,0,2<>=-a a a d ，有2[(8)64]2=--n d S n ， 所以当8=n 时前n 项和取最小值.故选C.5. 【命题意图】本题主要考查茎叶图.【试题解析】B 由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.6. 【命题意图】本题主要考查角的终边所在集合问题.【试题解析】D 终边落在直线=y 上的角的取值集合为 {|,}3Z πααπ=-∈k k 或者2{|,}3Z πααπ=+∈k k .故选D. 7. 【命题意图】本题考查基本不等式的应用.【试题解析】B 414141,()()59+=+=++=++≥x y x y x y y x y x y x，当且仅当3,6==x y 时取等号.故选B.8. 【命题意图】本题考查中华传统文化及三视图.【试题解析】B 由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.9. 【命题意图】本题主要考查球的相关知识.【试题解析】A 由题意可知球心到平面ABCD 的距离 2，矩形ABCD 所在圆的半径为32，从而球的半径4=R .故选A.10. 【命题意图】本题主要考查算法和等差数列的前n 项和.【试题解析】C 由题意可知1594033=++++S ，为求首项为1，公差为4的等 差数列的前1009项和.故选C.11. 【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.【试题解析】A 不妨在双曲线右支上取点P ，延长21,PF F H ，交于点Q ，由角分 线性质可知1||||,=PF PQ 根据双曲线的定义，12||||||2-=PF PF ，从而2||2=QF ， 在12∆F QF 中，OH 为其中位线，故||1=OH .故选A.12. 【命题意图】本题是考查函数的奇偶性、周期性和对称性及零点的相关知识.【试题解析】D 由题意知()f x 为奇函数，周期为2π，其图象关于(,0)π对称，()g x 的零点可视为1(),π==-y f x y x 图象交点的横坐标，由1π=-y x 关于(,0)π对称，从而在3[,3]2ππ-上有4个零点关于(,0)π对称，进而所有零点之和为4π. 故选D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. (,2)ππ- 14. 2 15. 16. 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查不等式的性质.【试题解析】由不等式22ππαβ-<-<，0+αβπ<<，则3()2()αβαβαβ-=++-，因此3αβ-取值范围是(,2)ππ-.14. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】由题意可知，c b a ,,的夹角为︒1201==可得b a +与c 反向， 且1||=+b a 2=++b .15. 【命题意图】本题考查解三角形的相关知识. 【试题解析】由题意可知1cos sin 2=b A B ，cos sin sin 2==A B A b a ，得tan 3π==A A ，由余弦定理2212=+-b c bc ，由基本不等式12bc ≤，从而ABC ∆面积的最大值为b c =时取到最大值.16. 【命题意图】本题考查圆锥的体积最值问题.【试题解析】设圆锥的底面圆半径为(03)<<r r 锥的体积为1133π==V r 2(09)=<<t r t ，有13=V 2329,3183(6)'=-=-+=--y t t y t t t t ，当06<<t 时函数为增函数，当69<<t 时函数为减函数，从而当6=t时体积取最大值.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列前n 项和与通项的应用，还有裂项求和的应用等.【试题解析】（1）由11222(1)2(2)n n n n S n S n n +-⎧=+-⎪⎨=+-- ⎪⎩≥，则21n n a =+(2)n ≥. 当1n =时，113a S ==，综上21n n a =+.（6分）（2）由22log (1)log 2n n n b a n =-==. 12233411111...n n b b b b b b b b +++++1111...122334(1)n n =++++⨯⨯⨯+ 1111111(1)()()...()223341n n =-+-+-++-+1111n =-<+. 得证. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对抽样的理解，以及分布列的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：（1）根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000. （4分）（2）X 的可能取值为0，20，40，60 2611(0)15P X C === 11322662(20)155C C P X C ==== 12232651(40)153C C P X C +==== 132631(60)155C P X C ==== 则X 的分布列为即1003EX =（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE 在PBD △中，////PE DE PB OE BO DO OE ACE PB ACE PBACE =⎫⎫⇒⎬⎪=⎭⎪⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎪⎪⎭平面平面平面 （4分）（2）24P ABCD P ACD E ACD V V V ---===，设菱形ABCD 的边长为a211(2)133P ABCD ABCDV SPA -=⋅=⨯⨯=，则a =取BC中点M ，连接AM .以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.D ，(0,0,0)A，1)2E ，3(2C1(0,)22AE =，3(22AC =， 1(1,n =-，2(1,0,0)n = 1212||cos 13||||1n n n n θ⋅===⋅+即二面角D AE C --的余弦值为13. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1) 由椭圆定义122||||4=+=a EF EF，有2,1,===a c b从而22143+=x y . （4分）(2) 设直线:(1)(0)=+>l y k x k ，有22(1)143=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y ，整理得2236(4)90+--=y y k k ，设1122(,),(,)A x y B x y ，有21212122,()(1)λλλ-=-=+-y y y y y y ，222(1)414,23434λλλλ-=+-=++k k ，由于23λ≤<，所以114223λλ≤+-<，21442343≤<+k，解得02<≤k .（12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，利用导数比较大小等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（1）由题意可知，()f x 和()g x 在(0,1)处有相同的切线， 即在(0,1)处(1)(1)f g =且(1)(1)f g ''=，解得1,1a b ==. （4分）（2）现证明1x e x +≥，设()1xF x e x =--， 令()10xF x e '=-=，即0x =，因此()(0)0min F x F ==，即()0F x ≥恒成立， 即1x e x +≥， 同理可证ln 1x x -≤.由题意，当2a ≤时，1x e x +≥且ln(2)1x x ++≤， 即1ln(2)xe x x ++≥≥， 即2a =时，()()0f xg x ->成立.当3≥a 时，0ln <e a ，即ln()+xe x a ≥不恒成立. 因此整数a 的最大值为2. （9分）（3）由ln(2)xe x >+，令1n x n-+=， 即11ln(2)n nn e n -+-+>+，即11ln (2)n n n e n-+-+>+ 由此可知，当1n =时，0ln 2e >， 当2n =时，12(ln 3ln 2)e ->-， 当3n =时，23(ln 4ln 3)e ->-，……当n n =时，1[ln(1)ln ]-+>+-n n en n .综上：012123...ln 2(ln 3ln 2)(ln 4ln 3)...[ln(1)ln ]---+++++>+-+-+++-n ne e e e n n 0121231 (1)1ln 2(ln 3ln 2)(ln 4ln 3)...[ln(1)ln ]---+>++++->+-+-+++-n ne e e e en n .即23ln 2(ln 3ln 2)(ln 4ln 3)...[ln(1)ln ]1+-+-+++-<-n e n n e . （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与平面直角坐标方程的互化、直线的参数方程的几何意义等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】 （Ⅰ）直线l的参数方程为1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (， 圆的极坐标方程为θρsin 6=. （5分）（Ⅱ）把1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得21)70t t +-=， 127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅= （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】（1）由已知，令2(1)()|1||1|2(11)2(1)x f x x x x x x ⎧⎪=+--= -<<⎨⎪- ⎩≥≤-由|()|2<f x 得{|11}=-<<A x x .（5分）（2）要证1||1abcab c->-，只需证|1|||abc ab c ->-，只需证2222221a b c a b c +>+，只需证222221(1)a b c a b ->-只需证222(1)(1)0a b c -->，由,,a b c A ∈，则222(1)(1)0a b c -->恒成立.（10分）。
2018届吉林省长春市普通高中高三质量监测(二)理科数学试题及答案 精品
长春市普通高中2018届高三质量监测（二）数 学（理 科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知集合{}0x x P =≥，1Q 02x xx ⎧+⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则()R Q P = ð（ ） A ．(),2-∞ B ．(],1-∞- C ．()1,0- D ．[]0,22、复数12i i--的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、已知随机变量ξ服从正态分布()21,σN ，若()20.15ξP >=，则()01ξP ≤≤=（ ）A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15 4、已知:p 函数()f x x a =+在(),1-∞-上是单调函数，:q 函数()()log 1a g x x =+（0a >且1a ≠）在()1,-+∞上是增函数，则p ⌝成立是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、若x ，y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，则35x y +的取值范围是（ ）A ．[]13,15-B ．[]13,17-C ．[]11,15-D ．[]11,17-6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163B ．203C ．152D ．1327、已知平面向量a ，b 满足a = ，2b = ，3a b ⋅=-，则2a b += （ ）A ．1 B ． C ．4D ．8、下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为1A 、2A 、⋅⋅⋅⋅⋅⋅、16A ，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ ）A ．6B ．10C ．91D ．929、已知函数()1cos cos 22f x x x x =+，若将其图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．56π C ．12πD ．512π10、设m ，R n ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ） A ．(),22⎡-∞-++∞⎣ B ．(),⎡-∞-+∞⎣C ．22⎡-+⎣ D ．(][),22,-∞-+∞11、若()F ,0c 是双曲线22221x y a b-=（0a b >>）的右焦点，过F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，∆OAB 的面积为2127a ，则该双曲线的离心率e =（ ）A ．53B ．43C ．54D ．8512、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121a a ==，(){}2n n nS n a ++为等差数列，则n a =（ ） A ．12n n- B ．1121n n -++ C ．2121n n -- D ．112n n ++二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、62x ⎛ ⎝的展开式中常数项为 ．14、已知0a >且曲线y x a =与0y =所围成的封闭区域的面积为2a ，则a = ．15、正四面体CD AB 的外接球半径为2，过棱AB 作该球的截面，则截面面积的最小值为 ． 16、已知函数()f x 为偶函数且()()4f x f x =-，又()235,01222,12x x x x x f x x -⎧--+≤≤⎪=⎨⎪+<≤⎩，函数()12xg x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()()()F x f x g x =-恰好有4个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）在C ∆AB 中，tan 2A =，tan 3B =． ()1求角C 的值；()2设AB =C A ． 18、（本小题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示．()1已知[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；()2该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥CDP-AB中，PA⊥平面CDAB，D2PA=AB=A=，四边形CDAB满足DAB⊥A，C//DB A且C4B=，点M为CP中点，点E为C B边上的动点，且C λBE=E．()1求证：平面D A M⊥平面CPB；()2是否存在实数λ，使得二面角DP-E-B的余弦值为23？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．20、（本小题满分12分）在C ∆AB 中，顶点()1,0B -，()C 1,0，G 、I 分别是C ∆AB 的重心和内心，且G//C I B． ()1求顶点A 的轨迹M 的方程；()2过点C 的直线交曲线M 于P 、Q 两点，H 是直线4x =上一点，设直线C H 、PH 、Q H 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，试比较12k 与23k k +的大小，并加以证明． 21、（本小题满分12分）设函数()()()1ln 1f x ax x bx =-+-，其中a 和b 是实数，曲线()y f x =恒与x 轴相切于坐标原点． ()1求常数b 的值；()2当01x ≤≤时，关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；()3求证：10000.41000.5100011001100001000e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE ，BE ，∠APE 的平分线与AE ，BE 分别交于点C ，D ，其中30∠AEB = ．()1求证：D DD CE PB P ⋅=B PAP ；()2求C ∠P E 的大小． 23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，曲线1C的参数方程为21x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρ=．()1求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；()2试判断曲线1C 与2C 是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x a a =++-+，R x ∈． ()1当3a =时，求不等式()7f x >的解集；()2对任意R x ∈恒有()3f x ≥，求实数a 的取值范围．长春市普通高中2018届高三质量监测（二）数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.D2.A3.C4.C5.D6.D7.B8.B9.C 10.A 11.C 12.A简答与提示：1. 【命题意图】本题主要考查集合交集与补集的运算，属于基础题.【试题解析】D 由题意可知{|1Q x x =-≤或2}x >，则{|12}Q x x =-<≤R ð，所以{|02}P Q x x =≤≤R ð. 故选D.2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】A131255ii i-=--，所以其共轭复数为3155i +. 故选A.3. 【命题意图】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对统计学原理有全面的认识.【试题解析】C (01)(12)0.5(2)0.35P P P ξξξ==->=≤≤≤≤. 故选C. 4. 【命题意图】本题借助不等式来考查命题逻辑，属于基础题. 【试题解析】C 由p 成立，则1a ≤，由q 成立，则1a >，所以p ⌝成立时1a >是q 的充要条件.故选C.5. 【命题意图】本题主要考查线性规划，是书中的原题改编，要求学生有一定的运算能力. 【试题解析】D 由题意可知，35x y +在(2,1)--处取得最小值，在35(,)22处取得最大值，即35[11,17]x y +∈-.故选D.6. 【命题意图】本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.【试题解析】D 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，所以其体积为41138362--=. 故选D.7. 【命题意图】本题考查向量模的运算.【试题解析】B|2|+==a b . 故选B.8. 【命题意图】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题. 【试题解析】B 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10. 故选B.9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于基础题.【试题解析】C 由题意()sin(2)6f x x π=+，将其图像向右平移ϕ(0)ϕ>个单位后解析式为()sin[2()]6f x x πϕ=-+，则26k πϕπ-=，即212k ππϕ=+()k ∈N ，所以ϕ的最小值为12π. 故选C.10. 【命题意图】本题借助基本不等式考查点到直线的距离，属于中档题.【试题解析】A由直线与圆相切可知||m n +=理得1mn m n =++，由2()2m n mn +≤可知211()4m n m n ++≤+，解得(,2[2)m n +∈-∞-++∞ . 故选A.11. 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，结合着较大的运算量，属于难题.【试题解析】C 由题可知，过I 、III 象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan b aθ=，222tan 2ab a bθ=-，因此△OAB 的面积可以表示为3222112tan 227a b a a a a b θ⋅⋅==-，解得34b a=，则54e =. 故选C.12. 【命题意图】本题是最近热点的复杂数列问题，属于难题. 【试题解析】A 设(2)n n n b nS n a =++，有14b =，28b =，则4n b n =， 即(2)4n n n b nS n a n =++= 当2n ≥时，1122(1)(1)01n n n n S S a a n n ---++-+=-所以12(1)11n n n n a a n n -++=-，即121n n a a n n -⋅=-，所以{}n a n 是以12为公比，1为首项的等比数列，所以11()2n n a n -=，12n n n a -=. 故选A.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13.60 14.4915.83π 16.192,8⎛⎫⎪⎝⎭简答与提示： 13. 【命题意图】本题主要考查二项式定理的有关知识，属于基础题.【试题解析】由题意可知常数项为2246(2)(60C x =. 14. 【命题意图】本题考查定积分的几何意义及微积分基本定理，属于基础题.【试题解析】由题意32223aa x ==⎰，所以49a =.15. 【命题意图】球的内接几何体问题是高考热点问题，本题通过求球的截面面积，对考生的空间想象能力及运算求解能力进行考查，具有一定难度.【试题解析】由题意，面积最小的截面是以AB 为直径，可求得AB =，进而截面面积的最小值为283ππ=.16. 【命题意图】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图像进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题.【试题解析】由题意可知()f x 是周期为4的偶函数，对称轴为直线2x =. 若()F x 恰有4个零点，有(1)(1)(3)(3)g f g f >⎧⎨<⎩，解得19(2,)8a ∈.17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查两角和的正切公式，以及同角三角函数的应用，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求. 【试题解析】解：(1) +,tan tan()A B C C A B π+=∴=-+(3分)tan 2,tan 3,tan 1,4A B C C π==∴=∴=(6分)(2)因为tan 3B =sin 3sin 3cos cos B B B B⇒=⇒=，而22sincos 1B B +=，且B 为锐角，可求得sin B =.(9分)所以在△ABC 中，由正弦定理得，sin sin AB AC B C =⨯=.(12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 本题主要考查数据处理能力.【试题解析】(1)由图可知0.035a =，0.025b =. (4分)(2) 利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人. (6分)从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X ， 则X 的所有可能取值为：150，200，250，300.363101(150)6C P X C ===，21643101(200)2C C P X C ===， 12643103(250)10C C P X C ===， 343101(300)30C P X C ===，(10分) 且1131150200250300210621030EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 取PB 中点N ，连结MN 、AN ，M 是PC 中点，1//,22MN BC MN BC ∴==，又//BC AD ，//,MN AD MN AD ∴=，∴四边形ADMN 为平行四边形,AP AD AB AD ⊥⊥ ，AD ∴⊥平面PAB ，AD AN ∴⊥，AN MN ∴⊥AP AB = ，AN PB ∴⊥，AN ∴⊥平面PBC ，AN ⊂ 平面ADM ，∴平面ADM ⊥平面PBC . (6分)(2) 存在符合条件的λ.以A 为原点，AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，设(2,,0)E t ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(2,0,0)B从而(0,2,2)PD =- ，(2,2,0)DE t =-，则平面PDE 的法向量为1(2,2,2)n t =-，又平面DEB 即为xAy 平面，其法向量2(0,0,1)n =，则1212122cos ,3||||n n n n n n ⋅<>===⋅， 解得3t =或1t =，进而3λ=或13λ=.(12分) 20. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法，椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解：(1) 已知11(||||||)||||22ABC A S AB AC BC r BC y ∆=++⋅=⋅，且||2BC =,||3A y r =，其中r 为内切圆半径，化简得：||||4AB AC +=，顶点A 的轨迹是以B C 、为焦点，长轴长为4的椭圆（去掉长轴端点），其中2,1,a c b ===进而其方程为22143x y +=(0)y ≠.(5分)(2) 1232k k k =+，以下进行证明：当直线PQ 斜率存在时，设直线:(1)PQ y k x =-且11(,)P x y ，22(,)Q x y ，(4,)H m联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. (8分)由题意：13m k =，1214y m k x -=-，2324y m k x -=-.11212312()(4)()(4)(4)(4)y m x y m x k k x x --+--+=--21212121212882(5)()2424224()1636363m k kx x m k x x mk m mk x x x x k ++-+++====-+++当直线PQ 斜率不存在时，33(1,),(1,)22P Q -，231332222333m m m k k k -++=+== 综上可得1232k k k =+. (12分) 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求. 【试题解析】解：(1) 对()f x 求导得：1()ln(1)1ax f x a x b x-'=-++-+，根据条件知(0)0f '=，所以101b b -=⇒=. (3分)(2) 由(1)得()(1)ln(1)f x ax x x =-+-，01x ≤≤1()ln(1)11axf x a x x-'=-++-+22(1)(1)21()1(1)(1)a a x ax ax a f x x x x -+--++''=-+=-+++. ① 当12a ≤-时，由于01x ≤≤，有221()()0(1)a a x a f x x ++''=-≥+，于是()f x '在[0,1]上单调递增，从而()(0)0f x f ''≥=，因此()f x 在[0,1]上单调递增，即()(0)0f x f ≥=而且仅有(0)0f =；②当0a ≥时，由于01x ≤≤，有221()0(1)ax a f x x ++''=-<+，于是()f x '在[0,1]上单调递减，从而()(0)0f x f ''≤=，因此()f x 在[0,1]上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =；③当102a -<<时，令21min{1,}a m a+=-，当0x m ≤≤时，221()()0(1)a a x a f x x ++''=-≤+，于是()f x '在[0,]m 上单调递减，从而()(0)0f x f ''≤=，因此()f x 在[0,]m 上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =.综上可知，所求实数a的取值范围是1(,]2-∞-.（8分）(3) 对要证明的不等式等价变形如下：2110000100010000.41000.55210001100111()()(1)(1)100001000100001000e e ++<<⇔+<<+ 所以可以考虑证明：对于任意的正整数n，不等式215211(1)(1)n n e n n+++<<+恒成立. 并且继续作如下等价变形 2152112111(1)(1)()ln(1)1()ln(1)52n n e n n n n n n +++<<+⇔++<<++211(1)ln(1)0()5111(1)ln(1)0()2p n n nq n n n ⎧++-<⎪⎪⇔⎨⎪++->⎪⎩对于()p 相当于（2）中21(,0)52a =-∈-，12m =情形，有()f x 在1[0,]2上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =.取1x n=，当2n ≥时，211(1)ln(1)05nn n++-<成立；当1n =时，277(1)ln 21ln 210.710555+-=-<⨯-<.从而对于任意正整数n 都有211(1)ln(1)05n n n++-<成立.对于()q 相当于（2）中12a =-情形，对于任意x ∈[0,1]，恒有()0f x ≥而且仅有(0)0f =. 取1x n=，得：对于任意正整数n 都有111(1)ln(1)02n n n++->成立. 因此对于任意正整数n ，不等式215211(1)(1)n n e n n+++<<+恒成立.这样依据不等式215211(1)(1)n n e n n+++<<+，再令10000n =利用左边，令1000n = 利用右边，即可得到10000.41000.5100011001()()100001000e <<成立.(12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到弦切角定理以及三角形 相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解：(1) 由题意可知，EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠， 则△PED ∽△PAC ，则PE PD PAPC=，又PE ED PBBD=，则ED PB PD BD PAPC⋅=. (5分)(2) 由EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠，可得CDE ECD ∠=∠，在△ECD 中，30CED ∠= ，可知75PCE ∠= . (10分) 23. (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1) 对于曲线1C 有1x y +=，对于曲线2C 有2214x y +=.(5分)(2) 显然曲线1C ：1x y +=为直线，则其参数方程可写为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（为参数）与曲线2C ：2214x y +=联立，可知0∆>，所以1C 与2C 存在两个交点，由12t t +=，1285t t =，得21||d t t =-==. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及绝对值不等式及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】解：(1)当3a =时，()174,2135,22341,2x x f x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩所以()7f x >的解集为{}02x x x <>或 （5分） (2)()2122121f x x a x a x a x a a a =-+-+≥-+-+=-+由()3f x ≥恒成立，有13a a -+≥，解得2a ≥所以a 的取值范围是[)2,+∞ （10分）。
吉林省长春市普通高中2018届高三数学一模考试试题理(含解析)
长春市普通高中2018届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设为虚数单位，则（）A. B. C. 5 D. -5【答案】A【解析】由题意可得：.本题选择A选项.2. 集合的子集的个数为（）A. 4B. 7C. 8D. 16【答案】C【解析】集合含有3个元素，则其子集的个数为.本题选择C选项.3. 若图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D.4. 等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】因为等差数列中，，所以，有，所以当时前项和取最小值.故选C......................5. 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（）A. 95，94B. 92，86C. 99，86D. 95，91【答案】B【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.6. 若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为直线的倾斜角是，所以终边落在直线上的角的取值集合为或者.故选D.7. 已知，且，则的最小值为（）A. 8B. 9C. 12D. 16【答案】B【解析】由题意可得：，则：，当且仅当时等号成立，综上可得：则的最小值为9.本题选择B选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．8. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A. 4立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈【答案】B【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.9. 已知矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，，且四棱锥的体积为，则等于（）A. 4B.C.D.【答案】A【解析】由题意可知球心到平面ABCD的距离 2，矩形ABCD所在圆的半径为，从而球的半径 .故选A.10. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A. 求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和B. 求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和C. 求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和D. 求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和【答案】C【解析】由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11. 已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（）A. 1B. 2C. 4D.【答案】A【解析】延长交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，，从而，在中，为其中位线，故.故选A.点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.12. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,作图如下：，四个交点分别关于对称，所以零点之和为，选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知角满足，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】结合题意可知：，且：，利用不等式的性质可知：的取值范围是.点睛：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．14. 已知平面内三个不共线向量两两夹角相等，且，，则__________．【答案】【解析】因为平面内三个不共线向量两两夹角相等，所以由题意可知，的夹角为，又知，，所以，，故答案为.15. 在中，三个内角的对边分别为，若，且，面积的最大值为__________．【答案】【解析】由可得，，得，由余弦定理，面积的最大值为，当且仅当时取到最大值，故答案为.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.16. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为__________．【答案】【解析】设圆锥的底面半径为R，由题意可得其体积为：当且仅当时等号成立.综上可得圆锥体积的最大值为.三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列的通项公式；（Ⅱ）化简，则，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.试题解析：(Ⅰ)由，则.当时，，综上.（Ⅱ）由.. 得证.18. 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：点击量节数 6 18 12（Ⅰ）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数．（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间的分布列与数学期望．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)因为 36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，所以节应选出节；（Ⅱ）的所有可能取值为，根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果..试题解析：(Ⅰ)根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000.（Ⅱ）的可能取值为0，20，40，60则的分布列为0 20 40 60即 .19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ) )连接交于点，连接，根据中位线定理可得，由线面平行的判定定理即可证明平面；（Ⅱ）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：(Ⅰ)连接交于点，连接在中，（Ⅱ），设菱形的边长为，则.取中点，连接.以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系.，，，，，，，即二面角的余弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知椭圆的两个焦点为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，且，求直线的斜率的取值范围．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(1)由题意可得，，，则椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数k的不等式，求解不等式可得直线的斜率的取值范围是k=.试题解析：(1)由椭圆定义，有，，，从而.(2)设直线，有，整理得，设，，有，，，，由于，所以，，解得.，，由已知.21. 已知函数，．（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；（Ⅲ）证明：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)求出与，由且解方程组可求的值；（Ⅱ）恒成立等价于恒成立，先证明当时恒成立，再证明时不恒成立，进而可得结果；（Ⅲ））由，令，即，即，令，各式相加即可得结果. 试题解析：(Ⅰ)由题意可知，和在处有相同的切线，即在处且，解得.（Ⅱ）现证明，设，令，即，因此，即恒成立，即，同理可证.由题意，当时，且，即，即时，成立.当时，，即不恒成立.因此整数的最大值为2.（Ⅲ）由，令，即，即由此可知，当时，，当时，，当时，，……当时，.综上：.即.（二）选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求．【答案】(Ⅰ)为参数），；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）根据直线参数方程形式直接写出直线的参数方程，根据直角三角形关系得，即为圆的极坐标方程（2）利用将圆的极坐标方程化为直接坐标方程，将直线参数方程代入，利用韦达定理及参数几何意义得|=7试题解析：（Ⅰ）直线的参数方程为（t为参数），圆的极坐标方程为 .（Ⅱ）把代入，得，，设点对应的参数分别为，则,23. 选修4-5：不等式选讲设不等式的解集为．（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，求证：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）利用分析法证明，将所求不等式转化为，再根据，证明试题解析：（1）由已知，令由得.（2）要证，只需证，只需证，只需证只需证，由，则恒成立.点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.。
吉林省吉林大学附属中学2018届高三上学期第四次摸底考试理数试题Word版含解析
吉林省吉林大学附属中学2018届第四次摸底考试高三上学期理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）已知集合{|10}{}A x x B a A B A =-<==，，…，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）[01)，（B ）(11)-，（C ）(10]-， （D ）(10)-， 【答案】C 【解析】 试题分析：(]1,0A =-，{}B a =，A B A ⋃=，(]1,0a ∴∈-，故选C ．考点：1、集合的表示方法；2、集合的并集.（2）已知圆22:40C x y x +-=，直线:30l mx y m -+=，则（ ） （A ）l 与C 相交 （B ）l 与C 相切 （C ）l 与C 相离 （D ）以上三个选项均有可能【答案】D考点：1、点和圆的位置关系；2、直线和圆的位置关系.（3）已知函数21sin()10()0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，，…，实数a 满足(1)()2f f a +=，则a 的所有可能值为（ ）（A ）1或 （B ） （C ）1 （D ）1或【答案】A考点：已知分段函数的解析式求函数值.（4）已知1e 、2e 是夹角为90︒的两个单位向量，若12=a e ，12=-b e ，则a 与b 的夹角为（ ） （A ）30︒ （B ）60︒ （C ）120︒ （D ）150︒ 【答案】C 【解析】试题分析：121(3)(2)2a b e e e ∙=+∙-=-，2,2a b ==，1cos ,2a ba b a b∙∴==-∙， a 与b的夹角为120︒，故选C.考点：1、平面向量的数量积；2、向量的夹角.（5）直线12:30:0l ax y l x by c --=++=，，则1ab =-是12l l ∥的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：当1ab =-且3c =时，1l 与2l 重合，而12//l l 时一定有()110a b ⨯--⨯=，即1ab =-，所以1ab =-是12l l ∥的必要不充分条件，故选B. 考点：已知两直线方程判断两直线位置关系.（6）若函数()(1)(01)，且x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+ 的图象是（ ）（A ）（B ） （C ） （D ）【答案】A考点：1、函数的奇偶性；2、对数函数图象的性质及变换.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数图象的性质及变换，属于中档题.函数图象的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图象经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题图象是利用对数函数图象经过“平移变换”得到的.（7）若不等式组03434x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k =（ ）（A ）73（B ）37（C ）43（D ）34【答案】A 【解析】试题分析: 画出可行域如图，由图可知直线43y kx =+恒过点40,,3⎛⎫⎪⎝⎭当直线43y kx =+经过,B C 中点15,22D ⎛⎫⎪⎝⎭ 时平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，将15,,22x y ==代入43y kx =+得7,3k =故选A.x考点：1、线性规划可行域的画法；2、三角形面积公式. （8）若()2παπ∈，，且3cos2sin()4παα=-，则sin 2α的值为（ ）（A ） （B ）16- （C ） （D ）1718- 【答案】D考点：1、两角差的正弦公式；2、余弦二倍角公式.（9）已知()f x 在R 上可导，且2()2(2)f x x xf '=+，则(1)f -与(1)f 的大小关系是（ ） （A ）(1)(1)f f -= （B ）(1)(1)f f -> （C ）(1)(1)f f -< （D ）不确定 【答案】B 【解析】 试题分析：()()()()()()222,222,24,28,4f x x xf f x x f f f x x x '''''=+∴=+=-=-<时， ()()0,f x f x '<在(),4-∞上递减,()()11,f f ∴-> 故选B.考点：1、导函数的求法；2、根据导数判断函数的单调性.（10）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和都是等差数列，且公差相等，则2a =（ ） （A ）34（B ）1 （C ）43（D ）12【答案】A考点：1、等差数列的通项；2、等差数列前n 项和公式.（11）已知ABC △的三边a 、b 、c 成等比数列，a 、b 、c 所对的角依次为A 、B 、C . 则sin cos B B + 的取值范围是（ ）（A ）(11+，（B ）1[12， （C ）(1 （D ）1[2【答案】C 【解析】试题分析：sin cos 4y B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，a 、b 、c 是等比数列，2b ac ∴=，()222111cos 12222a cbc a B aca c +-⎛⎛⎫==+-≥= ⎪ ⎝⎭⎝，03B π<<，sin 124B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，14B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭ C.考点：1、等比数列的定义；2、余弦定理；3、三角函数的最值.【方法点晴】本题考查的知识点比较多，主要考查等比数列的定义、余弦定理及三角函数的最值，属于难题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x by c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式利用三角函数有界性求最值；③sin cos y a x b x =+型，可化为)y x φ=+求最值 .本题是利用方法③的思路解答的.（12）已知函数2342015()12342015x x x x f x x =+-+-++，2342015()12342015x x x x g x x =-+-+--，设函 数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的所有零点均在区间[]()a b a b ∈Z ，、内，则b a -的最小值为 （ ）（A ）6 （B ）8 （C ）9 （D ）10 【答案】D考点：1、函数“零点定理”；2、函数图象的平移变换；3、利用导数判定函数的单调性. 【思路点晴】本题主要考查函数“零点定理”、函数图象的平移变换、利用导数判定函数的单调性，属于难题.该题条件比较隐含，一定要细心审题、才能挖掘出隐含条件，首先利用导数判断出()y f x =和()y g x =在(,)-∞+∞是单调函数，再利用“零点定理”判断出()f x 、()g x 的零点位置，进而得到(3)f x +和(4)g x -的零点位置，从而得到b a -的最小值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）（13）已知()()|1|g x f x x =+-是奇函数，且(1)1f -=.则(1)g = . 【答案】3-考点：1、函数的奇偶性；2、巳知解析式求函数值.（14）在ABC △中，3AB =，5AC =，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC 的值为 .【答案】8 【解析】试题分析：设BC 中点为D 连接OD 、AD ，则O D B C⊥，则()AO B C A D D O B C A D B C ⋅=+⋅=⋅()()()221122AB AC AC AB AC AB =+-=-=221(53)82⨯-=，即AO BC 的值为8.考点：平面向量的数量积.（15）已知()n n n A a b ，()n *∈N 是曲线:e x C y =上的点，设1(01)A ，，曲线C 在n A 处的切线交x 轴于 点1(0)n a +，，则数列{}n b 的通项公式是n b = . 【答案】1e n - 【解析】试题分析：,x x y e y e '=∴=在(,)n n a b 处切线方程是()n a n n y b e x a -=-即()n n a a n y e e x a -=-，令0y =得{}111,1,n n n n n x a a a a a ++==--=-是以0为首项以-1为公差的等差数列11,n n n a n b e -=-∴=.考点：1、利用导数求切线斜率；2、数列的通项公式.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及数列的通项问题，属于难题.求曲线切线的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在0x x =处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=∙-.（16）过点0)引直线l 与曲线y A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB △的面 积取最大值时，直线l 的斜率等于 .【答案】考点：1、弦长公式；2、三角形面积公式；3、利用均值不等式.【方法点晴】本题主要考查弦长公式、三角形面积公式及最值问题，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用：①参数法 ；②配方法；③判别式法；④三角函数有界法；④函数单调法；⑤均值不等式法来求最值.本题用方法⑤求出了AOB △面积的最大值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （17）（本题满分12分）设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求tan B 及边长a 的值；（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ．【答案】（Ⅰ）5a =；（Ⅱ）10+. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由cos 3,sin 4,a B b A ==两式相除，利用正弦定理化简得4tan ,3B =进而3cos 5B =，35cos a B ==；（Ⅱ）由 （Ⅰ）可得41sin ,sin 52B S ac B ==得5c =，再由余弦定理得b =10a b c ++=+试题解析：（Ⅰ）由cos 3a B =，sin 4b A =，两式相除，有3cos cos cos 14sin sin sin tan a B a B b B b A A b B b B ==⋅=⋅=，所以4tan 3B =，又c o s 3a B =，故c o s 0B >， 则3cos 5B =，所以5a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知4sin 5B =，由1sin 2S ac B =，得到5c =．由2222cos b a c ac B =+-，得b =故5510l =++=+ABC △的周长为10+考点：1、正弦、余弦定理；2、三角形面积公式. （18）（本题满分12分） 设数列{}n a 满足：123n n a a a a n a ++++=-()n *∈N .（Ⅰ）求证：数列{1}n a -是等比数列；（Ⅱ）若(2)(1)n n b n a =--，且对任意的正整数n ，都有214n b t t +…，求实数t 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）12t ≥或14t ≤-.即214n b t t -….则2max 1()4n b t t -…，所以，21184t t -…，解得12t …或14t -…， 所以t 的取值范围是11(][)42-∞-+∞，，考点：1、等比数列的证明；2、不等式恒成立问题. （19）（本题满分12分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC AB ∥，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =，2BC CD EA ED ====.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求直线BE 和平面CDE 所成角的正弦值.A【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）以D 为坐标原点，DA DB ，所在直线分别为x y ，轴建立空间直角坐标系D xyz -.得(000)(00)(0)0D B C E ，，，，，，，所以 (2222)(202)(20)BE DE DC =-==-，，，，，，，.可求得平面CDE 的一个法向量是(111)=-，，n . 设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，得||sin |cos |||||BE n BE n BE n α⋅=<>===⋅，故直线BE 和平面CDE 所成角的正弦值为. 考点：1、平面与平面垂直的性质定理；2、直线与平面成的角. （20）（本题满分12分）已知两个动点A 、B 和一个定点00()M x y ，均在抛物线2:2(0)C y px p =>上（A 、B 与M 不重合）. 设F 为抛物线的焦点，Q 为其对称轴上一点，若1()02QA AB AB +⋅=，且||FA 、||FM 、||FB 成等差数列.（Ⅰ）求OQ 的坐标（可用0x 、0y 和p 表示）；（Ⅱ）若||3OQ =，5||2FM =，A 、B 两点在抛物线C 的准线上的射影分别为1A 、1B ，求四边形11ABB A 面 积的取值范围.【答案】（Ⅰ）0(0)OQ x p =+，；（Ⅱ）(010]，.（Ⅱ）由5||3||2OQ FM ==，由焦半径公式得005322p x p x +=+=，，得1p =， 故22y x =，02x =，所以124x x +=，且1112121211[()()]||522||22ABB Ax x y y S y y +++-==-.又2212122()8y y x x +=+=，则2222222111211(8)(8)164y y y y y y +-=-≤=,12[44]y y ∈-，， 222121212()2[016]y y y y y y -=+-∈，，注意到12y y ≠，得12||(04]y y -∈，，11125||(010]2ABB A S y y =-∈，，所以四边形11ABB A 面积的取值范围为(010]，. 考点：1、拋物线的定义、性质及几何意义；2、向量的数量积；3、均值不等式求最值. 【方法点晴】本题主要考查拋物线的定义、性质及几何意义和最值问题，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（Ⅱ）就是用的这种思路，利用均值不等式法求四边形范围的. （21）（本题满分12分）已知2()ln ()2f x x x ax g x x =-=--，.（Ⅰ）对一切(0)()()x f x g x ∈+∞，，…恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当1a =-时，求函数()f x 在区间[3](0)m m m +>，上的最值； （Ⅲ）证明：对一切(0)x ∈+∞，，都有1212ln 1e e x x x++>-成立. 【答案】（Ⅰ）3a …；（Ⅱ）210e m <<时min2211()()e f x f e ==-，max ()(3)[ln(3)1]f x m m =+++，当21e m …时min ()()(ln 1)f x f m m m ==+，max ()(3)(3)[ln(3)1]f x f m m m =+=+++；（Ⅲ）证明见解析.（Ⅲ）问题等价于证明122ln e e x x x x x ++>-，(0)x ∈+∞，. 由（Ⅱ）知1a =-时，()ln f x x x x =+的最小值是21e -，当且仅当21e x =时取等号. 设122()(0)e e x x G x x +=-∈+∞，，，则11()e x xG x +-'=，易知max 21()(1)e G x G ==-，当且仅当1x =时取到. 从而可知对一切(0)x ∈+∞，，都有1212ln 1e e x x x++>-. 考点：1、不等恒成立求参数范围；2、利用导数求最值。
2018年吉林省长春市高考数学四模试卷(理科)
2018年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(★)设集合A={-3，-1，1，3}，B={x|x 2+2x-3=0}．则A∩（∁R B）=（）A．{1，-3}B．{-1，-3}C．{-1，3}D．{1，3}2．(★)若复数z= 为纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．0C．D．-13．(★)为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A、B对该疾病均没有预防效果4．(★)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（-3，3），C（4，2），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．5．(★★★)设公差小于0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S 3=11a 6，则当S n取得最大值时n的值为（）A．6B．7C．8D．116．(★★)函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，- φ＜）（x∈R）的部分图象如图所示，则f（）=（）A．B．C．D．7．(★★)如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E8．(★★)设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+y（a＞0）的最大值为18，则a的值为（）A．3B．5C．7D．99．(★★)如图所示程序框图，若输出的x为-1，则输入x 0的值为（）A．1B．C．-1D．210．(★★)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有面中，最大面的面积为（）A．4B．4C．8D．811．(★★★)双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F 1和F 2，左、右顶点分别为A 1和A 2，过焦点F 2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若|PA 1|是|F 1F 2|和|A 1F 2|的等比中项，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．12．(★★)已知函数f（x）=e x，对任意的x 1，x 2∈R，都有＜|k|•（f（x 1）+f（x 2））恒成立，则实数k的取值范围是（）A．[-2，2]B．（-∞，-2]∪[2，+∞）C．[]D．（]∪[）二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．(★★★)若（1-ax）6的展开式中的x 3项的系数为20，则实数a= ．14．(★★)已知函数f（x）=sinx+cosx，则曲线y=f（x）在x= 处的切线的斜率为．15．(★★★)如图，直角△OAB中，OA═4，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为．16．(★★★)半径为1的球放置于一个圆锥中，并使得球与圆锥底面相切，则圆锥体积的最小值为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．(★★★)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，已知D为BC边上一点，CD=2DB，若AD= ．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为2 ，求a的值．18．(★★★)某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N（170.5，16），现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5），第二组[162.5，167.5），…，第六组[182.5，187.5），如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）求该学校高三年级男生的平均身高与这50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；（Ⅱ）从这50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．（附：参考数据：若ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．19．(★★★)已知平行四边形ABCD中，A=60°，AD=2AB，点E为AD的中点，点F为BD与CE 的交点，现沿BE将△ABE折起至△PBE位置，使平面PBE与平面BCDE垂直，设点G为△PBE的重心．（Ⅰ）求证：GF∥平面PED；（Ⅱ）求平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值．20．(★★★)在平面直角坐标系中，已知点P是离心率为的椭圆C上的点，F 1，F 2为椭圆C的左右焦点，且△F 1PF 2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知A（-2，0）与B（2，0）为平面内的两个定点，方程为x=my+1（m∈R）的直线l与椭圆C交于M，N两点，问直线AM与BN的交点是否在一条直线上，如果是，请求出该直线的方程；否则请说明理由．21．(★★★★★)已知函数f（x）=e x- +ax（a，b∈R）．（Ⅰ）当a＞-1且b=1时，试判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＜1-e且b=1，求证：函数f（x）在[1，+∞）上的最小值小于；（Ⅲ）若f（x）在R上是单调函数，求ab的最小值．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．[选修4-4坐标系与参数方程选讲]22．(★★★★)已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C和直线l相交于A，B两点，点P为曲线C上异于A，B的一点，求△PAB面积的最大值．[选修4-5不等式选讲]23．(★★★★)已知函数f（x）=|x-2|．（Ⅰ）若不等式f（x-a+2）+f（x-1）≥4（a＜3）的解集为{x|x 或x }，求实数a的值；（Ⅱ）若对∀x∈R，f（x-a+2）+2f（x-1）≥1，求实数a的取值范围．。
2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学一模试卷(理科)
2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数2i1+i的模为（）A.1 2B.√22C.√2D.22. 已知集合A={x|y=√9−x2}，B={x|x≥a}．若A∩B=A，则实数a的取值范围为（）A.(−∞, −3]B.(−∞, −3)C.(−∞, 0)D.[3, +∞)3. 从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到卡片上的数字是奇数的情况下，第二次抽到卡片上的数字是偶数的概率为（）A.1 4B.12C.13D.234. 已知sin(π3−a)=13，则cos(5π6−a)=()A.1 3B.−13C.2√23D.−√235. 若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(−2, 4)，则它的离心率为（）A.√52B.2C.√3D.√56. (x2+2)(1x−1)5展开式中的常数项是（）A.12B.−12C.8D.−87. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值（）A.2B.3C.32D.928. 已知函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是π2，则该函数的一个单调增区间为（）A.[−π3,π6] B.[−5π12,π12] C.[π6,2π3] D.[−π3,2π3]9. 辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入m=8251，n=6105，则输出m的值为（）A.148B.37C.333D.010. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，该四棱锥的侧面积为4√3，则该半球的体积为（）A.4π3B.2π3C.8√2π3D.4√2π311. 已知抛物线C:y2=2x，直线l:y=−12x+b与抛物线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆与x轴相切，则b的值是()A.−15B.−25C.−45D.−8512. 在△ABC，∠C＝90∘，AB＝2BC＝4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|＝1，则CM→⋅CN→的取值范围为（）A.[114,9] B.[5, 9] C.[154,9] D.[114,5]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）在△ABC中，AB=2，AC=√7，∠ABC=2π3，则BC=________．若x，y满足约束条件{x−1≥0,x−y≤0,x+y−4≤0,则yx+1的最大值为________．甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C 学科； ③在长春工作的教师教A 学科；④乙不教B 学科． 可以判断乙教的学科是________．已知函数f(x)=xlnx +12x 2，x 0是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题： ①0<x 0<1e ；②x 0>1e ；③f(x 0)+x 0<0；④f(x 0)+x 0>0；其中正确的命题是________．（填出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知正项数列{a n }满足：4S n =a n 2+2a n −3，其中S n 为数列{a n }的前n 项和．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =1a n2−1，求数列{b n }的前n 项和T n ．某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[−20, −10]，需求量为100台；最低气温位于区间[−25, −20)，需求量为200台；最低气温位于区间[−35, −25)，需求量为300台．公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率． （1）求11月份这种电暖气每日需求量X （单位：台）的分布列；（2）若公司销售部以每日销售利润Y （单位：元）的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？如图，四棱锥P −ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA =PD ，底面ABCD 为矩形，点M 、E 、N 分别为线段AB 、BC 、CD 的中点，F 是PE 上的一点，PF =2FE ．直线PE 与平面ABCD 所成的角为π4．（1）证明：PE ⊥平面MNF ；（2）设AB =AD ，求二面角B −MF −N 的余弦值．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过抛物线M:x 2=4y 的焦点F ，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且F 1F →⋅F 1F 2→=6．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与抛物线M 相切，且与椭圆C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值．已知函数f(x)=e x ，g(x)=lnx ，ℎ(x)=kx +b ．（1）当b =0时，若对任意x ∈(0, +∞)均有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)成立，求实数k 的取值范围；（2）设直线ℎ(x)与曲线f(x)和曲线g(x)相切，切点分别为A （x 1, f(x 1)），B （x 2, g(x 2)），其中x 1<0． ①求证：x 2>e ；②当x ≥x 2时，关于x 的不等式a(x 1−1)+xlnx −x ≥0恒成立，求实数a 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]已知曲线C 1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线C 2的参数方程为：{x =3−12t,y =√32t, （t 为参数）. (1)求出曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程；(2)设曲线C 1与曲线C 2相交于P ，Q 两点，点A(3,0)，求|AP|⋅|AQ|的值． [选修4-5：不等式选讲]已知不等式|2x −5|+|2x +1|>ax −1． （1）当a =1时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R ，求a 的范围．参考答案与试题解析2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】∵2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i2=1+i，∴|2i1+i|=|1+i|=√2．2.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：集合A={x|y=√9−x2}={x|9−x2≥0}={x|−3≤x≤3}，B={x|x≥a}．若A∩B=A，则A⊆B，所以a≤−3，所以实数a的取值范围是(−∞,−3]．故选A．3.【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P(A)=35，P(AB)=3 5×24=310，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率．【解答】解：从标有1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张，设事件A 表示“第一张抽到奇数”，事件B 表示“第二张抽取偶数”， 则P(A)=35，P(AB)=35×24=310，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为： P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12． 故选B . 4.【答案】 B【考点】两角和与差的三角函数 【解析】直接由已知结合同角三角函数基本关系式求得cos(5π6−a)． 【解答】∵ sin(π3−a)=13，∴ cos(5π6−a)=cos[π2+(π3−a)] =−sin(π3−a)=−13． 5.【答案】 A【考点】双曲线的特性 【解析】先求渐近线带入点的坐标，再用c 2=a 2+b 2求离心率． 【解答】解：∵ 焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是y =±ab x ， ∴ 4=−ab ⋅(−2)，∴ ab =2，a =2b ，a 2=4b 2=4c 2−4a 2，e =√52．故选A . 6.【答案】 B【考点】 二项式定理的应用 【解析】写出二项式(1x −1)5的通项，由x 的指数为−2、0分别求得r 值，再由多项式乘多项式得答案． 【解答】(1 x −1)5的展开式的通项为T r+1=C5r∗(1x)5−r∗(−1)r=(−1)r∗C5r∗x r−5．取r−5=−2，得r=3，取r−5=0，得r=5．∴(x2+2)(1x−1)5展开式中的常数项是−C53−2C55=−12．7.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，该几何体为x，根据体积公式建立关系，可得答案【解答】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2，如图：AD＝1，BC＝2，SB＝x，AD // BC，SB⊥平面ABCD，AD⊥AB．∴底面的面积S=12×(1+2)×2＝3．该几何体为x，几何体的体积V=13×x×3=1，可得x＝3．8.【答案】A【考点】正弦函数的单调性【解析】化函数f(x)为正弦型函数，根据题意求出ω的值，写出f(x)的解析式，即可求出它的单调增区间．【解答】函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)=2sin(ωx+π6)；由f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离是π2，∴T=2×π2=π，∴ω=2πT=2；∴f(x)=2sin(2x+π6)，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z，∴函数f(x)的一个单调增区间为[−π3, π6 ]．9.【答案】B【考点】程序框图【解析】程序的运行功能是求m=8521，n=6105的最大公约数，根据辗转相除法可得m的值．【解答】由程序框图知：程序的运行功能是求m=82511，n=6105的最大公约数，∵8251=6105+2146；6105=2×2146+1813；2146=1813+333；1813=5×333+148；333=2×148+37，148=4×37+0∴此时m=37．∴输出m的值是37，10.【答案】D【考点】球内接多面体【解析】设出球的半径，利用棱锥的侧面积公式，求解半径，然后求解四棱锥的外接半球的体积．【解答】连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．则AB=√2r，四棱锥的侧面积为：4×√34×(√2r)2=4√3，解得r=√2，四棱锥的外接半球的体积为：V=12×4π3×(√2)3=4√23π，11.【答案】C【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】联立{y2=2xy=−12x+b得：y2+4y−4b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，即可求出b的值【解答】联立{y2=2xy=−12x+b得：y2+4y−4b=0．依题意应有Δ=16+16b>0，解得b>−1．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，∴y1+y2=−4，y1y2=−4b，∴x1+x2=−2(y1+y2)+4b=8+4b，设圆心Q(x0, y0)，则有x0=12(x1+x2)=4+2b，y0=12(y1+y2)=−2．∵以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y0|=2，又|AB|=√1+4⋅√(y1+y2)2−4y1y2=√5⋅√16+16b=4√5⋅√1+b，∵|AB|=2r，即4√5⋅√1+b=4，解得b=−45．故选C.12.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算数量积表示两个向量的夹角【解析】建立坐标系，设AN＝a，用a表示出CM→,CN→，得出CM→⋅CN→关于a的函数，从而得出范围．【解答】以CA，CB为坐标轴建立坐标系如图所示：∵AB＝2BC＝4，∴∠BAC＝30∘，AC＝2√3设AN＝a，则N(2√3−√3a2, a2)，M(2√3−√3(a+1)2, a+12)，∴CM→⋅CN→=(2√3−√3a2)(2√3−√3(a+1)2)+a2⋅a+12=a2−5a+9．∵ M ，N 在AB 上，∴ 0≤a ≤3． ∴ 当a ＝0时，CM →⋅CN →取得最大值9， 当a =52时，CM →⋅CN →取得最小值114． 故选：A ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 1【考点】 余弦定理 【解析】根据题意，设BC =t ，△ABC 中，由余弦定理可得cos∠ABC =4+t 2−74t=−12，变形可得：t 2+2t −3=0，解可得t 的值，即可得答案． 【解答】根据题意，设BC =t ，△ABC 中，AB =2，AC =√7，∠ABC =2π3，则有cos∠ABC =4+t 2−74t=−12，变形可得：t 2+2t −3=0， 解可得：t =−3或t =1， 又由t >0，则t =1， 即BC =1； 【答案】 32【考点】求线性目标函数的最值 简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，再由yx+1的几何意义，即可行域内的动点与定点P(−1, 0)连线的斜率求得答案． 【解答】解：由约束条件{x −1≥0,x −y ≤0,x +y −4≤0,作出可行域如图，联立{x =1,x +y −4=0,解得A(1, 3)， 由yx+1的几何意义，即可行域内的动点与定点P(−1, 0)连线的斜率可得， yx+1的最大值为k PA =3−01−(−1)=32． 故答案为：32.【答案】 C【考点】进行简单的合情推理 【解析】分析判断每一名话，能推理出正确结果． 【解答】由①得甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；由②得在哈尔滨工作的教师不教C 学科，甲不教C ； 由③得在长春工作的教师教A 学科； 由④得乙不教B 学科和A 学科． 综上，乙教C 学科． 【答案】 ①③ 【考点】利用导数研究函数的极值 命题的真假判断与应用 【解析】求导数，利用零点存在定理，可判断①②；f(x 0)+x 0=x 0lnx 0+12x 02+x 0=x 0(lnx 0+12x 0+1)=−12x 0<0，可判断③④． 【解答】∵ 函数f(x)=xlnx +12x 2，(x >0)∴ f′(x)=lnx +1+x ，易得f′(x)=lnx +1+x 在(0, +∞)递增， ∴ f′(1e )=1e >0， ∵ x →0，f′(x)→−∞，∴ 0<x 0<1e ，即①正确，②不正确； ∵ lnx 0+1+x 0=0∴ f(x 0)+x 0=x 0lnx 0+12x 02+x 0=x 0(lnx 0+12x 0+1)=−12x 02<0，即③正确，④不正确．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】令n ＝1，得4a 1=a 12+2a 1−3，且a n >0，解得a 1＝3．当n ≥2时，4S n −4S n−1=a n 2−a n−12+2a n −2a n−1，即4a n =a n 2−a n−12+2a n −2a n−1，整理得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)＝0，∵ a n >0，∴ a n −a n−1＝2， 所以数列{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 故a n ＝3+(n −1)×2＝2n +1．由（1）知：b n =1a n2−1=14n 2+4n =14n(n+1)=14(1n −1n+1)，∴ T n ＝b 1+b 2+...+b n =14(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=14(1−1n+1)=n4n+4． 【考点】 数列递推式 数列的求和 【解析】（1）利用数列的递推关系式推出数列{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，然后求解通项公式．（2）化简通项公式利用裂项相消法求解数列的和即可． 【解答】令n ＝1，得4a 1=a 12+2a 1−3，且a n >0，解得a 1＝3．当n ≥2时，4S n −4S n−1=a n 2−a n−12+2a n −2a n−1，即4a n =a n 2−a n−12+2a n −2a n−1，整理得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)＝0，∵ a n >0，∴ a n −a n−1＝2， 所以数列{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 故a n ＝3+(n −1)×2＝2n +1．由（1）知：b n =1a n2−1=14n 2+4n =14n(n+1)=14(1n −1n+1)，∴ T n ＝b 1+b 2+...+b n =14(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=14(1−1n+1)=n4n+4． 【答案】由已知X 的可能取值为100，200，300， P(X ＝100)=16+290=0.2，P(X ＝200)=3690=0.4， P(X ＝300)=11+2590=0.4，∴ X 的分布列为：由已知：①当订购200台时，E(Y)＝[200×100−50×(200−100)]×0.2+200×200×0.8＝35000（元）②当订购250台时，E(Y)＝[200×100−50×(250−100)]×0.2+[200×200−50×(250−200)]×0.4+[200×250]×0.4＝37500（元）综上所求，当订购250台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）由已知X的可能取值为100，200，300，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）当订购200台时，求出E(Y)＝35000元；当订购250台时，求出E(Y)＝37500元，由此求出11月每日应订购250台．【解答】由已知X的可能取值为100，200，300，P(X＝100)=16+290=0.2，P(X＝200)=3690=0.4，P(X＝300)=11+2590=0.4，∴X的分布列为：①当订购200台时，E(Y)＝[200×100−50×(200−100)]×0.2+200×200×0.8＝35000（元）②当订购250台时，E(Y)＝[200×100−50×(250−100)]×0.2+[200×200−50×(250−200)]×0.4+[200×250]×0.4＝37500（元）综上所求，当订购250台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台．【答案】方法一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，∠PEO=π4，OP=OE．因为MN // BC，OE // AB，所以MN⊥OE，所以MN⊥PE．又EF=14PE=√24OE，EQ=12OE，所以EFEO =EOEP=√24，所以△EFQ∽△EOP，所以∠EFQ=∠EOP=π2，所以PE=FQ．且MN∩FQ=Q，所以PE ⊥平面MNF ．方法二：取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP ⊥AD ． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以OP ⊥平面AC ， ∠PEO =π4，OP =OE ．又因为MN // BC ，OE // AB ，所以MN ⊥OE ，所以MN ⊥PE ．以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ．设AB =m ，AD =n ，则P(0, 0, m)，E(0, m, 0)，M(n 2,m2, 0)，F(0, 3m 4,m 4)， 于是PE →=(0, m, −m)，MF →=(−n 2,m 4,m4)．所以PE →∗MF →=0，所以PE ⊥MF ，且MN ∩MF =M ， 所以PE ⊥平面MNF取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP ⊥AD ． 因为平面PAD ⊥平面AC ，所以OP ⊥平面AC ，∠PEO =π4，OP =OE ．以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ．设AB =AD =m ，则P(0, 0, m)，E(0, m, 0)，B(m2,m,0)，M(m 2,m2, 0)，F(0, 3m 4,m 4)， 于是PE →=(0, m, −m)，BM →=(0, −m2, 0)，BF →=(−m2,−m 4,m4)．设平面BMF 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗BM →=−m2y =0n →∗BF →=−m 2x −m 4y +m4z =0，令x =1，得n →=(1, 0, 2)． 而平面NMF 的一个法向量为m →=PE →=(0, m, −m)．所以cos <m →,n →>=m →∗n→|m →|∗|n →|=√5∗√2m=−√105． 由图形得二面角B −MF −N 的平面角是钝角，故二面角B −MF −N 的余弦值为−√105．【考点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】（1）法一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥ADOP⊥平面ABCD，推导出MN⊥OE，MN⊥PE．△EFQ∽△EOP，从而PE=FQ．由此能证明PE⊥平面MNF．方法二：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O−xyz．利用向量法能证明PE⊥平面MNF（2）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O−xyz．利用向量法能求出二面角B−MF−N的余弦值．【解答】方法一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，∠PEO=π4，OP=OE．因为MN // BC，OE // AB，所以MN⊥OE，所以MN⊥PE．又EF=14PE=√24OE，EQ=12OE，所以EFEO =EOEP=√24，所以△EFQ∽△EOP，所以∠EFQ=∠EOP=π2，所以PE=FQ．且MN∩FQ=Q，所以PE⊥平面MNF．方法二：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面AC，∠PEO=π4，OP=OE．又因为MN // BC，OE // AB，所以MN⊥OE，所以MN⊥PE．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O−xyz．设AB=m，AD=n，则P(0, 0, m)，E(0, m, 0)，M(n2,m2, 0)，F(0, 3m4,m4)，于是PE →=(0, m, −m)，MF →=(−n 2,m 4,m4)．所以PE →∗MF →=0，所以PE ⊥MF ，且MN ∩MF =M ， 所以PE ⊥平面MNF取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP ⊥AD ． 因为平面PAD ⊥平面AC ，所以OP ⊥平面AC ，∠PEO =π4，OP =OE ．以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ．设AB =AD =m ，则P(0, 0, m)，E(0, m, 0)，B(m2,m,0)，M(m 2,m2, 0)，F(0, 3m 4,m 4)，于是PE →=(0, m, −m)，BM →=(0, −m2, 0)，BF →=(−m2,−m 4,m4)．设平面BMF 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗BM →=−m2y =0n →∗BF →=−m 2x −m 4y +m4z =0，令x =1，得n →=(1, 0, 2)． 而平面NMF 的一个法向量为m →=PE →=(0, m, −m)．所以cos <m →,n →>=m →∗n→|m →|∗|n →|=5∗2m=−√105． 由图形得二面角B −MF −N 的平面角是钝角，故二面角B −MF −N 的余弦值为−√105．【答案】∵ F(0, 1)，∴ b =1，又F 1F →⋅F 1F 2→=6， ∴ 2c 2=6,c =√3．又a 2−b 2=c 2，∴ a =2， ∴ 椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．设直线l 与抛物线相切于点P(x 0, y 0)，则l:y −x 024=x 02(x −x 0)，即y =x 02x −x 024，联立直线与椭圆{y =x02x −x 024x 24+y 2=1 ，消去y ，整理得(1+x 02)x 2−x 03x +14x 04−4=0．由△=16(x 02+1)−x 04>0，得0<x 02<8+4√5．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则：x 1+x 2=x 031+x 02,x 1x 2=x 04−164(1+x 02)．则|AB|=√1+x 024|x 1−x 2|=√1+x 024√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4+x 022⋅√16(x 02+1)−x 041+x 02原点O 到直线l 的距离d =22√x 0+4．故△OAB 面积S =12d ⋅|AB|=18x 02√16(x 02+1)−x 041+x 02=18√[16(x 02+1)−x 04]⋅x 041+x 02≤1+x 021+x 02=1，当且仅当16(1+x 02)−x 04=x 04，即x 02=4+2√6取等号，故△OAB 面积的最大值为1． 【考点】椭圆的标准方程 圆锥曲线的综合问题 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）通过焦点坐标以及F 1F →⋅F 1F 2→=6转化求解椭圆方程．（2）设直线l 与抛物线相切于点P(x 0, y 0)，求出切线方程，联立直线与椭圆{y =x02x −x 024x 24+y 2=1 ，消去y ，整理利用判别式，以及弦长公式，求解由原点O 到直线l 的距离，表示△OAB 面积，推出△OAB 面积的最大值为1． 【解答】∵ F(0, 1)，∴ b =1，又F 1F →⋅F 1F 2→=6， ∴ 2c 2=6,c =√3．又a 2−b 2=c 2，∴ a =2， ∴ 椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．设直线l 与抛物线相切于点P(x 0, y 0)，则l:y −x 024=x 02(x −x 0)，即y =x 02x −x 024，联立直线与椭圆{y =x02x −x 024x 24+y 2=1 ，消去y ，整理得(1+x 02)x 2−x 03x +14x 04−4=0． 由△=16(x 02+1)−x 04>0，得0<x 02<8+4√5．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则：x 1+x 2=x 031+x 02,x 1x 2=x 04−164(1+x 02)．则|AB|=√1+x 024|x 1−x 2|=√1+x 024√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4+x 022⋅√16(x 02+1)−x 041+x 02原点O 到直线l 的距离d =022√x 0+4． 故△OAB 面积S =12d ⋅|AB|=18x 02√16(x 02+1)−x 041+x 02=18√[16(x 02+1)−x 04]⋅x 041+x 02≤1+x 021+x 02=1，当且仅当16(1+x 02)−x 04=x 04，即x 02=4+2√6取等号，故△OAB 面积的最大值为1． 【答案】当b =0时：ℎ(x)=kx ，由f(x)≥ℎ(x)≥g(x)知：e x ≥kx ≥lnx ， 依题意：e x x≥k ≥lnx x对x ∈(0, +∞)恒成立，设m(x)=e x x(x >0),∴ m /(x)=e x (x−1)x 2，当x ∈(0, 1)时m′(x)<0； 当x ∈(1, +∞)时m′(x)>0， ∴ [m(x)]min =m(1)=e ， 设n(x)=lnx x(x >0),∴ n /(x)=1−lnx x 2，当x ∈(0, e)时n′(x)>0； 当x ∈(e, +∞)时n′(x)<0， ∴ [n(x)]max =n(e)=1e ， 故：实数k 的取值范围是[1e ,e] 由已知：f′(x)=e x ，g ′(x)=1x①：由y −e x 1=e x 1(1−x 1)得：ℎ(x)=e x 1+(x 1−1)⋅e x 1 由y −lnx 2=1x 2(x −x 2)得：ℎ(x)=1x 2x +lnx 2−1故{e x 1=1x2e x 1(x 1−1)=1−lnx 2∵ x 1<0，∴ e x 1(x 1−1)<0， ∴ lnx 2>1，故：x 2>e ；②由①知：x 2=e −x 1，e x 1(x 1−1)=x 1+1且x 2>e >1由a(x 1−1)+xlnx −x ≥0得：a(x 1−1)≥x −xlnx ，(x ≥x 2) 设G(x)=x −xlnx(x ≥x 2)G′(x)=1−lnx −1=−lnx <0， ∴ G(x)在[x 2, +∞)为减函数，∴ [G(x)]max =G(x 2)=x 2−x 2lnx 2 由a(x 1−1)≥x 2−x 2lnx 2， 得：a(x 1−1)≥x 2(1−lnx 2)， ∴ a(x 1−1)≥(x 1−1) 又x 1<0， ∴ a ≤1． 【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】 （1）依题意：e x x≥k ≥lnx x对x ∈(0, +∞)恒成立，根据函数的单调性求出k 的范围即可；（2）①得到ℎ(x)=e x 1+(x 1−1)⋅e x 1，∴ e x 1(x 1−1)<0，从而证明结论；②得到a(x 1−1)≥x −xlnx ，(x ≥x 2)，设G(x)=x −xlnx(x ≥x 2)G′(x)=1−lnx −1=−lnx <0，根据函数的单调性求出G(x)的最大值，从而求出a 的范围即可． 【解答】当b =0时：ℎ(x)=kx ，由f(x)≥ℎ(x)≥g(x)知：e x ≥kx ≥lnx ， 依题意：e x x≥k ≥lnx x对x ∈(0, +∞)恒成立，设m(x)=e x x(x >0),∴ m /(x)=e x (x−1)x 2，当x ∈(0, 1)时m′(x)<0； 当x ∈(1, +∞)时m′(x)>0， ∴ [m(x)]min =m(1)=e ， 设n(x)=lnx x(x >0),∴ n /(x)=1−lnx x 2，当x ∈(0, e)时n′(x)>0； 当x ∈(e, +∞)时n′(x)<0， ∴ [n(x)]max =n(e)=1e ， 故：实数k 的取值范围是[1e ,e] 由已知：f′(x)=e x ，g ′(x)=1x①：由y −e x 1=e x 1(1−x 1)得：ℎ(x)=e x 1+(x 1−1)⋅e x 1 由y −lnx 2=1x 2(x −x 2)得：ℎ(x)=1x 2x +lnx 2−1故{e x 1=1x 2e x 1(x 1−1)=1−lnx 2∵ x 1<0，∴ e x 1(x 1−1)<0， ∴ lnx 2>1，故：x 2>e ；②由①知：x 2=e −x 1，e x 1(x 1−1)=x 1+1且x 2>e >1由a(x 1−1)+xlnx −x ≥0得：a(x 1−1)≥x −xlnx ，(x ≥x 2) 设G(x)=x −xlnx(x ≥x 2)G′(x)=1−lnx −1=−lnx <0， ∴ G(x)在[x 2, +∞)为减函数，∴ [G(x)]max =G(x 2)=x 2−x 2lnx 2 由a(x 1−1)≥x 2−x 2lnx 2， 得：a(x 1−1)≥x 2(1−lnx 2)， ∴ a(x 1−1)≥(x 1−1) 又x 1<0， ∴ a ≤1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 【答案】解：(1)由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ， ∴ x 2+y 2=4x ，故曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2=4x ， 即(x −2)2+y 2=4．由{x =3−12t,y =√32t, 消去参数t ，可得√3x +y −3√3=0． ∴ 曲线C 2:√3x +y −3√3=0；(2)将{x =3−12t,y =√32t,代入x 2+y 2=4x ， 得t 2−t −3=0，∵ Δ=1+4×3=13>0，∴ 方程有两个不等实根t 1，t 2分别对应点P ，Q ， ∴ |AP|⋅|AQ|=|t 1|⋅|t 2|=|t 1⋅t 2|=|−3|=3， 即|AP|⋅|AQ|=3． 【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 直线与圆的位置关系 【解析】（1）把ρ=4cosθ两边同时乘以ρ，结合x =ρcosθ，y =ρsinθ即可求得曲线C 1的直角坐标方程，在{x =3−12ty =√32t中，直接消去参数t 即可求得曲线C 2的普通方程； （2）把曲线C 2的参数方程代入x 2+y 2=4x ，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合t 的几何意义求得|AP|⋅|AQ|的值． 【解答】解：(1)由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ， ∴ x 2+y 2=4x ，故曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2=4x ， 即(x −2)2+y 2=4．由{x =3−12t,y =√32t,消去参数t ，可得√3x +y −3√3=0． ∴ 曲线C 2:√3x +y −3√3=0； (2)将{x =3−12t,y =√32t,代入x 2+y 2=4x ， 得t 2−t −3=0，∵ Δ=1+4×3=13>0，∴ 方程有两个不等实根t 1，t 2分别对应点P ，Q ， ∴ |AP|⋅|AQ|=|t 1|⋅|t 2|=|t 1⋅t 2|=|−3|=3， 即|AP|⋅|AQ|=3．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当a =1时：不等式为：|2x −5|+|2x +1|>x −1， 等价于：解得：x <−12−12≤x ≤52x >52， 所以不等式的解集为：(−∞, +∞)；设函数f(x)=|2x −5|+|2x +1|={−4x +4,x <−126,−12≤x ≤524x −4,x >52，试卷第21页，总21页设函数g(x)=ax −1过定点A(0, −1)， 画出f(x)，g(x)的图象，不等式|2x −5|+|2x +1|>ax −1．不等式的解集为R ，k AB =6+152=145，由数形结合得a 的范围是[−4,145)．【考点】绝对值不等式的解法与证明 不等式恒成立的问题 【解析】（1）当a =1时，化简不等式，去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集； （2）化简函数为分段函数，画出函数的图象，然后求解即可． 【解答】当a =1时：不等式为：|2x −5|+|2x +1|>x −1， 等价于：解得：x <−12−12≤x ≤52x >52， 所以不等式的解集为：(−∞, +∞)；设函数f(x)=|2x −5|+|2x +1|={−4x +4,x <−126,−12≤x ≤524x −4,x >52，设函数g(x)=ax −1过定点A(0, −1)， 画出f(x)，g(x)的图象，不等式|2x −5|+|2x +1|>ax −1．不等式的解集为R ，k AB =6+152=145，由数形结合得a 的范围是[−4,145)．。
东北师大附中高三四模数学试题理(含解析)(最新整理)
A. B. C。 D.
【答案】A
【解析】
分析:首先根据题中所给的三视图，将几何体还原，得到该几何体是由一个长方体切割而成的，从而能够确定该几何体的各个顶点都在同一个长方体的顶点处,所以该几何体的外接球即为其对应的长方体的外接球，借助于长方体的对角线就是其外接球的直径，利用公式求得结果.
故选D.
8。学校艺术节对同一类的 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说：“ 或 作品获得一等奖”; 乙说:“ 作品获得一等奖"；
丙说：“ , 两项作品未获得一等奖"； 丁说:“ 作品获得一等奖".
若这四位同学只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）
东北师大附中2018届高三四模数学试题 理（含解析）
一、选择题： 本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只
一项是符合题目要求的。
1。已知集合 ， ,则（ ）
A。 B。 C. D.
【答案】B
【解析】
分析：根据一元二次不等式的解法求得集合B,之后根据子集的定义可以判断出 ，根据交集中元素的特征求得 ,根据并集中元素的特征，可以求得 ，从而求得结果.
详解：根据题意，设直线的方程为 ，
与抛物线联立，可得 ，整理可得 ，
从而有 ，根据 ,
结合抛物线的定义可知 ,所以 ,
所以抛物线的准线方程为 ，即 ，故选A.
点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的问题，在解题的过程中，利用直线过的点以及直线的倾斜角，利用点斜式写出直线的方程,之后与抛物线联立，求得两根和,之后借助于抛物线的定义，转化得出p所满足的等量关系式,最后求得题中所要的结果。
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2018年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合1，，则A. B. C. D.2.若复数为纯虚数，则实数a的值为A. 1B. 0C.D.3.为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是A. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果B. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果C. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D. 药物A、B对该疾病均没有预防效果4.已知的三个顶点坐标分别为，，，则向量在方向上的投影为A. B. C. D.5.设公差小于0的等差数列的前n项和为，且，则当取得最大值时n的值为A. 6B. 7C. 8D. 116.函数的部分图象如图所示，则A. B. C. D.7.如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是A. 与是异面直线B. 平面C. AE，为异面直线，且D. 平面8.设x，y满足约束条件若目标函数的最大值为18，则a的值为A. 3B. 5C. 7D. 99.如图所示程序框图，若输出的x为，则输入的值为A. 1B.C.D. 210.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有面中，最大面的面积为A.B.C.D.11.双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，过焦点与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若是和的等比中项，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.12.已知函数，对任意的，，都有恒成立，则实数k的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若的展开式中的项的系数为20，则实数______．14.已知函数，则曲线在处的切线的斜率为______．15.如图，直角中，，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为______．16.半径为1的球放置于一个圆锥中，并使得球与圆锥底面相切，则圆锥体积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，已知D为BC边上一点，，若．Ⅰ求的值；Ⅱ若的面积为，求a的值．18.某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，，第六组，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．Ⅰ求该学校高三年级男生的平均身高与这50名男生中身高在以上含的人数；Ⅱ从这50名男生中身高在以上含的人中任意抽取2人，该2人身高排名从高到低在全省前130名的人数记为，求的数学期望．附：参考数据：若服从正态分布，则，，．19.已知平行四边形ABCD中，，，点E为AD的中点，点F为BD与CE的交点，现沿BE将折起至位置，使平面PBE与平面BCDE垂直，设点G为的重心．Ⅰ求证：平面FED；Ⅱ求平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，已知点P是离心率为的椭圆C上的点，，为椭圆C的左右焦点，且的周长为6．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ已知与为平面内的两个定点，方程为的直线l与椭圆C交于M，N两点，问直线AM与BN的交点是否在一条直线上，如果是，请求出该直线的方程；否则请说明理由．21.已知函数．Ⅰ当且时，试判断函数的单调性；Ⅱ若且，求证：函数在上的最小值小于；Ⅲ若在R上是单调函数，求ab的最小值．22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数Ⅰ求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；Ⅱ设曲线C和直线l相交于A，B两点，点P为曲线C上异于A，B的一点，求面积的最大值．23.已知函数．Ⅰ若不等式的解集为或，求实数a的值；Ⅱ若对，，求实数a的取值范围．答案和解析【答案】1. C2. D3. B4. B5. B6. B7. C8. A9. D10. C11. A12. D13.14.15. ．16.17. 解：Ⅰ在中，，可得，由，可得，，即为，，若，，有，故；Ⅱ由的面积为，得，再由余弦定理可得，可得．18. 解：Ⅰ根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为，高于全市的平均值；由频率分布直方图知，后两组频率为，人数为，即这50名男生身高在以上含的人数为10人．，，，全省前130名的身高在cm以上，这50人中cm以上的有5人；随机变量可取0，1，2，于是，，．．19. 本小题满分12分证明：Ⅰ延长BG交PE于H，连接HD．平行四边形ABCD中，，，点E为AD的中点，点F为BD与CE的交点，现沿BE将折起至位置，使平面PBE与平面BCDE垂直，设点G为的重心．，，，平面PDE，平面分解：以E为原点，以EB为x轴，以EC为y轴，以过点E垂直于平面BCDE的直线为z轴，建立坐标系．则0，，，0，，，0，，设平面BFG的法向量y，，则，取，得，分平面PBE的法向量1，分设平面BFG与平面PBE所成锐二面角为，则．故平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值为分20. 解：由且，可得，，即椭圆的方程为．设，，联立消去x得，，即，，AM：，BN：，可得，即，解得，故直线AM与BN的交点在同一条直线上．21. 解：Ⅰ由题可得，设，则，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，因为，所以，即，所以函数在R上单调递増．证明Ⅱ由知在上单调递増，因为，所以，所以存在，使得，即，即，所以函数在上单调递减，在上单调递増，所以当时，．令，，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，即当时，故函数在上的最小值小于；Ⅲ，所以，由为R上的单调函数，可知一定为单调增函数因此，令，所以，当时，，当时，，在R上为增函数，当时，与矛盾，当时，等价于，等价于，当时，，，令，，则，当，解得，当，解得，当时，，所以ab的最小值为．22. 本小题满分10分解：Ⅰ曲线C的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为，直线l的参数方程为为参数，直线l：分Ⅱ设，点P到直线l的距离：，曲线C是圆心为，半径的圆，圆心到直线l的距离，，面积的最大值为分23. 解：Ⅰ当时，由题意可知，，，．经检验成立．Ⅱ令当时显然不成立；当时，，从而，即．当时，，从而，即．综上可得实数a的取值范围是．【解析】1. 解：；，且；．故选：C．可解出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集、补集的概念及运算．2. 解：复数为纯虚数，，，解得．故选：D．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 解：由A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选：B．观察等高条形图，能够求出结果．本题考查等高条形图的应用，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4. 解：，，，可得，，向量在方向上的投影为，故选：B．求得向量AB，AC的坐标，再由向量的投影的定义，计算可得所求值．本题主要考查平面向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示以及向量的投影求法，考查运算能力，属于基础题．5. 解：由题意知，，，即，．由等差数列公差小于0，从而取最大值时．故选：B．由题意知，利用通项公式可得：，可得，由等差数列公差小于0，即可得出结论．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 解：根据函数的部分图象，可得，，，结合五点法作图可得，，函数，则，故选：B．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求得的值．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．7. 解：A不正确，因为与在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在平面；C正确，因为AE，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故A平面不正确；故选：C．由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强．8. 解：画出约束条件的可行域，如图：目标函数最大值为18，即目标函数在的交点处，目标函数z最大值为18，所以，所以．故选：A．由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值求出a的值．本题直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，正确作出可行域是解题的关键．9. 解：由题意知时，时，时，时，以此类推可知，解得．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10. 解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，其中D为棱的中点，，，，．可确定其最大面的面积为．故选：C．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，其中D为棱的中点，分别求出四个三角形的面积，比较得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．11. 解：根据题意，设P的坐标为，双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，则，，，，过焦点与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，则，则有，解可得，则，若是和的等比中项，则有，则有，变形可得：，则，则该双曲线的离心率，故选：A．根据题意，设P的坐标为，由双曲线的标准方程分析可得、、、的坐标，求出P的坐标，即可得，由等比数列的性质分析可得，则有，将其变形可得，结合双曲线的性质可得，由双曲线的离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的离心率公式，关键是得到关于a、b、c的等式．12. 解：根据题意，不妨设，则等价于，令，则，再设，，原不等式等价于在上恒成立，又由，则，，则有恒成立，又由，则必有，即k的取值范围为；故选：D．根据题意，不妨设，则原不等式等价于，令，则，再设，，求导，求出函数的最值即可求出k的范围本题考查函数的恒成立问题，涉及导数的性质以及应用，关键是将原问题转化为函数的最值问题．13. 解：的展开式的通项公式为，令，可得展开式中的项的系数为，故，故答案为：．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得项的系数，再根据项的系数等于60，求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14. 解：，，故答案为：．求出函数的导数，计算的值即可．本题考查了切线的斜率问题，考查导数的应用，是一道基础题．15. 解：根据题意，如图建立坐标系，则，，设N的坐标为，则，设，则，，，则，则，，又由过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则，则有，即，变形可得：；又由，则，则点N的轨迹方程为，；故答案为：，．根据题意，建立坐标系，设N的坐标为，由此分析可得A、M、B的坐标，设，由三角函数的定义分析可得、的值，由平行线的性质分析可得，即，变形即可得答案．本题考查轨迹方程的求法，涉及抛物线的定义，关键是分析得到的值．16. 解：设圆锥的高为h，底面半径为r，则当圆锥体积最小小球与圆锥侧面相切，由三角形相似可得，即，圆锥的体积．当且仅当即时取等号．故答案为：．根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．本题考查了圆锥的结构特征，体积公式与基本不等式的应用，属于中档题．17. Ⅰ运用余弦定理可得，由，可得，运用余弦定理化简可得，再由正弦定理即可得到所求值；Ⅱ运用三角形的面积公式可得b，再由余弦定理计算可得a的值．本题考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18. Ⅰ根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为结合频率分布直方图即可得出．由，可得，可得全省前130名的身高在cm以上，这50人中cm以上的有5人；随机变量可取0，1，2，利用超几何分布列的计算公式即可得出．本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19. Ⅰ延长BG交PE于H，连接HD，推导出，由此能证明平面PED．以E为原点，以EB为x轴，以EC为y轴，以过点E垂直于平面BCDE的直线为z 轴，建立坐标系利用向量法能求出平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值．本题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20. Ⅰ由且，即可求出a，c，可得b，即可得到椭圆方程，Ⅱ设，，联立，根据韦达定理和直线方程可得，即可求出直线方程．本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题21. Ⅰ先求导，再构造函数，再求导，根据函数的最值即可判断，Ⅱ等价于当时，构造函数，，求出函数的最值即可证明，Ⅲ等价于，构造函数，求导，分类讨论，求出函数的最值即可．本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于难题．22. Ⅰ由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l的参数方程，能求出直线的普通方程．Ⅱ设，点P到直线l的距离，再求出，由此能求出面积的最大值．本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．23. Ⅰ根据去绝对值，求解的解析式，解集为或，即可求实数a的值；Ⅱ对a进行讨论，去绝对值，求解实数a的取值范围．本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容本小题重点考查化归与转化思想．。