试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第1章 误差分析
试验设计
试验误差，在试验设计中要遵循如 下三条基本原理：
重复 随机化 区域控制
第三章 试验统计基础及EXCEL简介
3.1 试验统计基础
3.1.1 试验数据的类型
数量数据
当试验结果显现数量上的变化，由
计数或测量所得到的数据资料。
计数数据：由计数法得到的数据，
Hale Waihona Puke 是非连续型变量数据。取值时一般 为正整数。如人体白细胞计数等。 计量数据：由测量所得的数据，是 连续型变量数据。不一定是整数， 通常有不同的有效数字。如药片的 重量等。
精确度(Accuracy)
又称准确度。它表示试验处理测量
结果与被测量处理真值之间的接近 程度。它反映了试验测量结果中系 统误差与随机误差的综合。
正确度(Correctness)
表示试验测量结果中系统误差大小
的程度。它反映了试验规定条件下， 试验测量中所有系统误差的综合。
2.1.6 提高试验精确度的主要途径
科技人员掌握应用各种先进试验设
计与结果分析方法，可提高自身的 素质及科学试验水平，将加快所从 事科学研究的进程。
科学研究中不同阶段的试验设计
研究初期阶段的探索试验
简单设计试验
目的是明确某因素的作用。
如对照试验、比较试验等。
筛选试验
目的是在众多因素中明确关键因素或
优良水平。 如单因素多水平试验（格子设计等）； 少量水平的多因素试验（如混杂设计、 不完全区组设计、均匀设计、正交设 计等）。
研究中期阶段的析因试验
多因素的析因试验，以深入分析主
要因素的作用及其相互关系。 如拉丁方设计、交替设计、裂区设 计、正交设计等。
研究后期阶段的优化试验
试验误差的分析及数据处理
例 1：某工厂测定含铬废水浓度的结果如下表，试计算其
平均浓度。
铬（mg/L） 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
出现次数 3 5
7
7
5
x 0.33 0.45 0.57 0.67 0.75 35775
＝0.52（mg/L）
例 2：某印染厂、各类污水的 BOD5 测定结果如下表，试 计算该厂污水平均浓度。
污水类型
BOD5 （ mg/L）
污水流量 （ m3 /d）
退浆污水
4000
15
煮布锅污水
10000
8
印染污水
400
1500
漂白污水
70
900
解：
x
4000 15
10000 8 400 1500 15 8 1500 900
70
900
=331.4（mg/L）
2．直接测量值与间接测量值
直接测量值就是通过仪器直接测试读数得到的数据。
精密度(precision)是平行测量的各测量值(实验值)之间 互相接近的程度。 用偏差表示,偏差为测定值与平均值之 差，偏差可分为：绝对偏差(d)与相对偏差（dr）平均偏差、 相对平均偏差、标准偏差、相对标准偏差等：
（1）绝对偏差(d)： d X i X
（2）相对偏差（dr）为绝对偏差与平均值之比，常用百分率
正确度反映系统误差的大小的程度。如观测的系统误 差小，则称观测的正确度高。可以使用更精确的仪器 来提高观测的精密度。 精确度反映偶然误差与系统误差合成的综合误差大小 的程度。 对于测量来说，精密度高，正确度不一定高；同 样，正确度高，精密度也不一定高；精确度高，则精 密度和正确度都高。
例如：甲、乙、丙、丁四个人同时用碘量法测定某铜矿中CuO含 量（真实含量为37.40）测定4次，其结果如下图所示：分析此 结果精密度与正确度的关系。
《试验设计与数据处理》第1章试验数据的误差分析
d p xp x (, n) s
则应将xp从该组试验值
中剔除。
7 10.52 0.066 10.52 0.119
8 10.82 0.366
x 10.45
x 10.40
s= 0.165
s= 0.078
从附录2查取。
(, n)
(1) s (0.05,8) 2.03 0.16 0.320.366 (2) (0.05,7) s 1.94 0.078 0.15220.119
※ 适用场合: 测定次数n >20
※测定次数n <10时，应采用其它准则。如：
格拉布斯准则、狄克逊准则、t检验法等 21
(2) 格拉布斯(Grubbs)准则
序
第一次检验
第二次检验
※ 方法：
号 xi xi x xi xi x
1）计算包括可疑值在内
1 10.29 0.164 10.29 0.111
• 在相同条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号 的变化时大时小，时正时负，没有确定的规律；
• 在一次测定中，是不可预知的，但在多次测定中，其误差 的算术平均值趋于零。
※ 随机误差的来源：偶然因素 ※ 随机误差具有一定的统计规律：
(1) 有界性； (2) 正误差和负误差出现的频数大致相等； (3) 绝对值小的误差比大的误差出现的次数多（收敛性）。 (4) 当测量次数n→∞，误差的算术平均值趋于零（抵偿性1）3 。
用来描述试验结果与真值的接近程度，即反映系统误差和随 机误差合成的大小程度。
16
1.5 试验数据误差的估计与检验
※1 随机误差的估计 对试验值精密度高低的判断：
(1) 极差：指一组试验值中最大值与最小值的差值。
《试验设计》讲稿第一部分
试验设计DOE design Of experiment教材王万中 试验的设计与分析 高等教育出版社参考文献1．李云雁 胡传荣 试验设计与数据处理 化学工业出版社2．茆诗松 周纪芗 陈颖 试验设计 中国统计出版社3．方开泰 试验设计 高等教育出版社一、引 言试验设计（design Of experiment，DOE），也称为实验设计。
试验设计是以概率论和数理统计为理论基础，经济地，科学地安排试验的一项技术。
试验设计自20世纪20年代问世至今，其发展大致经历了三个阶段：即早期的单因素和多因素方差分析，传统的正交试验法和近代的调优设计法。
试验设计的概念从20世纪30（20）年代费希尔（R.A.Fisher）在农业生产中使用试验设计方法以来，试验设计方法已经得到广泛的发展，统计学家们发现了很多非常有效的试验设计技术。
20世纪60（50）年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了巨大的贡献。
试验设计的内容产品质量的高低主要是由设计决定的，一个好的试验设计包含几个方面的内容。
第一是明确衡量产品质量的指标，6σ管理强调用数据说话，所以这个质量指标必须是能够量化的指标，在试验设计中称为试验指标，也称为响应变量(responsevariable）或输出变量。
第二是寻找影响试验指标的可能因素（factor) ，也称为影响因子和输入变量。
因素变化的各种状态称为水平，要求根据专业知识初步确定因家水平的范围。
第三是根据实际问题，选择适用的试验设计方法。
试验设计的方法有很多，每种方法都有不同的适用条件，选择了适用的方法就可以事半而功倍，选择的方法不正确或者根本没有进行有效的试验设计就会事倍而功半。
第四是科学地分析试验结果，包括对数据的直观分析、方差分析、回归分析等多种统计分析方法，这些工作可以借助各类（SAS SPSS MATLAB EXCEL等等）软件完成。
试验设计与数据处理(第三版)李云雁-第1章-误差分析PPT优秀课件
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用
13
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
10
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln 宜使用对数平均值
对数平均值≤算术平均值
如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
（1）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一 确定的规律起作用而形成的误差
（2）产生的原因：多方面 （3）特点： 系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的 它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的
平均值而减小 只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进
行校正，或设法消除。
数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法” 我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计
3
0.2 试验设计与数据处理的意义
0.2.1 试验设计的目的:
合理地安排试验,力求用较少的试验次数获得较好结果 例：某试验研究了3个影响因素： A：A1，A2，A3 B：B1，B2，B3 C：C1，C2，C3 全面试验：27次 正交试验：9次
6
误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进 行客观的评定
误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实 值在数值上的不一致
试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第1章 误差分析.ppt
1.2.2 相对误差（relative error）
（1）定义：
相对误差
绝对误差 真值
或
ER
x xt
x
xt xt
（2）说明：
真值未知，常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差：
ER
x x
或
ER
x x
可以估计出相对误差的大小范围：
ER
x xt
x xt max
相对误差限或相对误差上界
∴ xt x(1 ER )
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值 真值一般是未知的 相对的意义上来说，真值又是已知的 ➢ 平面三角形三内角之和恒为180° ➢ 国家标准样品的标称值 ➢ 国际上公认的计量值 ➢ 高精度仪器所测之值 ➢ 多次试验值的平均值
1.1.2 平均值（mean）
（1）算术平均值（arithmetic mean）
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln x2
x2
x1
若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值
对数平均值≤算术平均值
如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
试验设计与数据处理(第三版)李云雁-第1章-误差分析
若
2
2 (1
)
(df
)
则判断该方差与原总体方差无显著减小，否则有显著减小
➢ 右侧（尾）检验
若 2 2 (df ) （当 s2 2 时）
则判断该方差与原总体方差无显著增大，否则有显著增大
（3）Excel在 2 检验中的应用
1.5.1.2 F检验(F-test)
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln x2
x2
x1
若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值
对数平均值≤算术平均值
如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
s——合并标准差：
s (n1 1)s12 (n2 1)s22 n1 n2 2
两组数据的精密度或方差有显著差异时 t x1 x2 s12 s22 n1 n2
服从t分布，其自由度为：
df
(s12 n1 s22 n2 )2 (s12 n1)2 (s22 n2 )2
2
(n1 1) (n2 1)
定义式：
SE
n
(xi x)2
i 1
n(n 1)
第一章实验误差及数据处理
第一章 实验误差及数据处理第一节 测量与误差物理学是以实验为本的科学，从经典的伽利略自由落体实验、库仑定律的验证、法拉第电磁感应现象的发现到现代的X 射线的发现、广义相对论的建立及实验检验等，都建立在实验基础上。
在实验中需要对各种物理量进行测量，如长度、质量、杨氏模量、电流、电阻、居里温度等等，测量分为两种：直接测量和间接测量。
直接从仪器上读出测量结果的叫直接测量，如用米尺测量长度，用天平测量物体的质量，电流表测量电流的大小。
由直接测量结果经过函数关系式计算才能得出待测量的叫间接测量，如单摆实验中重力加速度的测量，伏安法中电阻的测量。
物理实验中的测量多数是间接测量。
物理量本身存在着一个客观真值，严格来说真值是测不到的(真值不能以有限位数表示)，我们只能测得其近真值，这是因为人的认识能力的局限，测量工作受技术水平的限制以及受测量者主观视听与环境条件偶然起伏的影响，这就使测量不可避免地伴随有误差产生。
因此分析测量中产生的各种误差，设法消除其影响，并对测量结果中未能消除的误差作出估计，是科学实验不可缺少的工作。
为此我们必须了解误差的概念、特性、产生的原因、消除及减少的办法，学习误差的估计方法等有关知识。
一、误差测量中，由于各种原因测量值与真值总是存在差异，0x x x -=∆ (1-1)0x 为真值，x 为测量值，其差x ∆就称为误差，也叫绝对误差。
测量误差存在于一切测量之中，贯穿实验过程的始终，随着科学技术水平的不断进步，测量误差越来越小，但却永远不能降低到零。
但是这里有一个问题需要注意，真值0x 是客观存在且又不可测知的，因此在实际测量中，误差并不能由（1-1）式简单地计算出来。
建立在统计学基础上的误差理论，是我们在实际测量中处理误差问题的理论基础。
绝对误差可以评价某一测量的可靠程度，但若要比较两个或两个以上的不同测量结果时，它就无能为力了，这就需要用相对误差来评价测量的优劣。
相对误差定义为%100⨯=测量最佳值绝对误差相对误差二、误差与分类从误差的性质上可分为两大类：系统误差和随机误差。
试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第3章 试验的方差分析知识讲解
方差分析（analysis of variance，简称ANOVA） 检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性
试验指标（experimental index） 衡量或考核试验效果的参数
因素（experimental factor） 影响试验指标的条件 可控因素（controllable factor）
④计算均方
MS A
SS A df A
SS A r 1
MSB
SSB df B
SSB s 1
MSe
SSe dfe
(r
SSe 1)(s 1)
⑤F检验
FA
MS A MSe
FB
MSB MSe
FA服从自由度为（dfA,dfe)的F分布；
FB服从自由度为（dfB,dfe)的F分布；
对于给定的显著性水平 ，查F分布表：
下的试验结果服从正态分布 在各水平下分别做了ni（i＝1，2，…，r）次试验 判断因素A对试验结果是否有显著影响
（3） 单因素试验数据表
试验次数 A1
A2
…
1
x11
x21
…
2
x12
x22
…
…
…
…
…jBiblioteka x1jx2j…
…
…
…
…
ni
x1n1
x2n2
…
Ai
…
Ar
xi1
…
xr1
xi2
…
xr2
… ……
xij
1 r s
x rs
i 1
xij
j 1
Ai水平时 ：
xi•
1 s
s
xij
j 1
《试验设计与数据处理》讲稿第1章
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《试验设计与数据处理》讲稿第1章
权数或权值的确定： •一般有三种方法
• ①当试验次数很多时，以试验值xi在测量中出现的频 率ni / n作为权数。
• ②如果试验值是在同样的试验条件下但来源于不同的 组，则以各组试验值的出现的次数作为权数。 • 加权平均值即为总算术平均值。（见例1-1）
•（5）调和平均值
• 设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，它们的调和平均 值为：
• 适用场合：试验值的倒数服从正态分布 。
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《试验设计与数据处理》讲稿第1章
1.2 误差的基本概念
• 1. 绝对误差 绝对误差 = 试验值－真值 △x = x – xt
• 真值一般是未知的，通常用最大的绝对误差来估计其 大小范围：
• 在一次测定中，是不可预知的，但在多次测定中，其误差 的算术平均值趋于零。源自※ 随机误差的来源：偶然因素
※ 随机误差具有一定的统计规律：
(1) 有界性；
(2) 正误差和负误差出现的频数大致相等；
(3) 绝对值小的误差比大的误差出现的次数多（收敛性）。
(4) 当测量次数n→∞，误差的算术平均值趋于零（抵偿性）。
• ※ 系统误差的来源：
• 仪器（如砝码不准或刻度不均匀等）；
• 操作不当；
• 个人的主观因素（如观察滴定终点或读取刻度的习惯）；
• 试验方法本身的不完善。
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《试验设计与数据处理》讲稿第1章
※ 3. 过失误差
• 粗差、人为误差： 是一种显然与事实不符的误差。
※ 特点： 没有一定的规律。
• ③根据权与绝对误差的平方成反比来确定权数。
• 例1-2 权数的计算：
试验设计与数据处理(第二版)李云雁(全书ppt)-图文
能对试验结果进行预测和优化； 试验因素对试验结果的影响规律，为控制试验提供思路
； 确定最优试验方案或配方。
第1章 试验数据的误差分析
误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进 行客观的评定
误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实 值在数值上的不一致
或
（2）说明 真值未知，绝对误差也未知 可以估计出绝对误差的范围：
或
绝对误差限或绝对误差上界
绝对误差估算方法： ➢ 最小刻度的一半为绝对误差； ➢ 最小刻度为最大绝对误差； ➢ 根据仪表精度等级计算：
绝对误差=量程×精度等级%
1.2.2 相对误差（relative error）
（1）定义：
1.5.1.2 F检验(F-test)
（1）目的： 对两组具有正态分布的试验数据之间的精密度进行比较
（2）检验步骤 ①计算统计量
设有两组试验数据：
和
都服从正态分布，样本方差分别为 和 ，则
服从F分布，第一自由度为 第二自由度为
②查临界值 给定的显著水平α
查F分布表 临界值
③检验 双侧（尾）检验(two-sided/tailed test) ：
1.1.2 平均值（mean）
（1）算术平均值（arithmetic mean）
适合： 等精度试验值 试验值服从正态分布
（2）加权平均值(weighted mean)
加权和
wi——权重 适合不同试验值的精度或可靠性不一致时
（3）对数平均值（logarithmic mean） 设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
1.2.4 标准误差 (standard error)
实验设计与数据处理第一章例题及课后习题(附答案)
1、 根据三组数据的绝对误差计算权重：12322211110000,25,400000.010.20.005w w w ====== 因为123::400:1:1600w w w = 所以1.54400 1.71 1.53716001.53840011600pH ⨯+⨯+⨯==++2、 因为量程较大的分度值也较大,用量程大的测量数值较小的物理量会造成很大的系统误差。
3.、含量的相对误差为0.2g ，所以相对误差为：0.20.99790525.3Rx E x ∆===。
4、 相对误差18.20.1%0.0182x mg mg ∆=⨯= 故100g 中维生素C 的质量范围为：18.2±0.0182。
5、1）、压力表的精度为1.5级，量程为0.2，则max 0.2 1.5%0.003330.3758R x MPa KPa x E x ∆=⨯==∆===2）、1的汞柱代表的大气压为0.133，所以max 20.1330.133 1.6625108R x KPax E x -∆=∆===⨯ 3）、1水柱代表的大气压为gh ρ，其中29.8/g m s =则：3max 339.8109.810 1.225108R x KPax E x ---∆=⨯∆⨯===⨯6、样本测定值算术平均值 3.421666667 3.48 几何平均值 3.421406894 3.37 调和平均值 3.421147559 3.47 标准差s 0.046224092 3.38 标准差 0.04219663 3.4 样本方差 0.002136667 3.43 总体方差0.001780556 算住平均误差 0.038333333极差 0.117、依题意，检测两个分析人员测定铁的精密度是否有显著性差异，用Ｆ双侧检验。
根据试验值计算出两个人的方差及Ｆ值：221221223.733, 2.3033.7331.621232.303s s s F s ===== 而0.9750.025(9,9)0.248386,(9,9) 4.025994F F ==， 所以0.9750.025(9,9)(9,9)F F F <<两个人的测量值没有显著性差异，即两个人的测量方法的精密度没有显著性差异。
试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第3章 试验的方差分析
3.1 单因素试验的方差分析 （one-way analysis of variance）
3.1.1 单因素试验方差分析基本问题
（1）目的：检验一个因素对试验结果的影响是否显著性 （2）基本命题： 设某单因素A有r种水平：A1，A2，…，Ar，在每种水平
第3章 试验的方差分析
方差分析（analysis of variance，简称ANOVA） 检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性
试验指标（experimental index） 衡量或考核试验效果的参数
因素（experimental factor） 影响试验指标的条件 可控因素（controllable factor）
④计算均方
MS A
SS A r 1
MSB
SSB s 1
MS AB
(r
SS AB 1)(s 1)
MSe
SSe rs(c 1)
⑤F检验
FA
MS A MSe
FB
MSB MSe
FAB
MS AB MSe
若FA＞F （dfA,dfe)，则认为因素A对试验结果有显著影响， 否则无显著影响；
MSe SSe / dfe
MSA——组间均方 MSe——组内均方/误差的均方
（5）F检验
FA
组间均方 组内均方
MS A MSe
服从自由度为（dfA,dfe）的F分布（F distribution） 对于给定的显著性水平，从F分布表查得临界值F(dfA，dfe) 如果FA ＞ F(dfA，dfe) ，则认为因素A对试验结果有显著影
试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第3章 试验的方差分析
x 1
rs
r i 1
s
xij
j 1
Ai水平时 ：
xi•
1 s
s
xij
j 1
Bj水平时：
x• j
1 r
r i 1
xij
②计算离差平方和
总离差平方和：
rs
2
SST
xij x SSA SSB SSe
i1 j1
因素A引起离差的平方和：
B1
B2
…
x111, x112 ,..., x11c x121, x122 ,..., x12c …
Bs
x1s1, x1s2 ,..., x1sc
x211, x212 ,..., x21c x221, x222 ,..., x22c …
…
…
…
xr11, xr12 ,..., xr1c xr 21, xr 22 ,..., xr 2c …
因素A引起离差的平方和： SSA sc (xi•• x)2 i 1 s
因素B引起离差的平方和：SSB rc (x• j• x)2 j 1
交互作用A×B引起离差的平方和：
rs
SSAB c
(xij• xi•• x• j• x)2
i1 j1
3.2 双因素试验的方差分析
讨论两个因素对试验结果影响的显著性，又称“二元方差 分析”
3.2.1 双因素无重复试验的方差分析
（1）双因素无重复试验
B1
B2
…
Bs
A1
x11
x12
…
x1s
A2
x21
x22
…
x2s
试验设计和数据处理
二、关于实验设计与数据处理
本课程中主要应用的是数理统计中的统计方法理论，主要考
虑的是与实验设计有关的分析并解释实验结果的统计方法。 如误差检验、方差分析、回归分析等。。
凡是涉及到数据的问题，只要数据中包含有相当大的实验误
差，则获得满意结果的唯一稳妥的处理方法就是统计方法， 除此之外别无他择。
（二）间接测量法
把直接测量代入某一特定的函数关系式中，通过计算求出未知 物理量的大小，这种方法——间接测量法。 例如，用毕托管测量气流速度 ，直接测量压差值 h。 计算的特定函数关系式为
式中： h —— U 型差压计的读数；
h 2 1 2g （1—2） 1000 1
为了回答这个问题，调查组沿着该河干流和支流进行了实地 考察，在不同的地段采集鱼样共144条（由假设拟定抽样调 查的方案）；对采集来的鱼样进行分类、称重、测量长度， 然后用有机溶剂提取鱼肉中的DDT，测定鱼肉中的DDT含 量（从调查和试验中获取数据）。很明显，这项调查并不是 去捕捞河里所有的鱼，144个DDT测定值代表着从河中之鱼 DDT含量这个总体中收集的一个样本，利用收集到的数据 可以比较不同地段和不同鱼种之间鱼肉中DDT的含量，并 确定鱼的长度和重量与DDT含量之间是否有定量关系等等 （分析数据——从样本推断总体）。
• 1. 2 数据测量的分类
一、按计量的性质分为：检定、检验和校准
• 检定：由法定计量部门,为确定和证实计量器具是否完全满足检定规程的要求而进行的 全部工作。检定是由国家法定计量部门所进行的测量，在我国主要是由各级计量院所 以及授权的实验室来完成，是我国开展量值传递最常用的方法。检定必须严格按照检 定规程运作，对所检仪器给出符合性判断，既给出合格还是不合格的结论，而该结论 具有法律效应。检定方法一般分为整体检定法和分项检定法两种。 检测：对给定的产品、材料、设备、生物体、物理现象、工艺过程或服务，按照一定 的程序确定一种或多种特性或性能的技术操作。检测通常是依据相关标准对产品的质 量进行检验，检验结果一般记录在称为检测报告或检测证书的文件中。 校准:在规定条件下，为确定测量仪器或测量系统所指示的量值，或实物量具或参考物 质所代表的量值，与对应的由标准所呈现的量值之间关系的一组操作。 二、按测量目的的分类分为：定值测量和参数检验 定值测量:按一种不确定度确定参数实际值的测量。其目的是确定被测量的量值是多少 , 通常预先限定允许的测量误差。 参数检验：以技术标准、规范或检定规程为依据，判断参数是否合格的测量。其目的 是判断被检参数是否合格，通常预先限定参数允许变化的范围（如公差等）。
试验设计与数据处理(整理)
第四章1、误差的来源:主要有四个方面：1.设备仪表误差：包括所使用的仪器、器件、引线、传感器及提供检定用的标准器等，均可引入误差。
2.环境误差：周围环境的温度、湿度、压力、振动及各种可能干扰测量的因素，均能使测量值发生变化，使测量失准，产生误差；3.人员误差：测量人员分辨能力、测量经验和习惯，影响测量误差的大小。
4.方法误差：研究与实验方法引起的误差。
2、误差的分类：粗大误差、系统误差、随机误差；粗大误差的特点是测量值显著异常。
处理方法是在对实验结果进行数据处理之前，须先行剔除坏值。
系统误差的特点是在测量条件一定时，误差的大小和方向恒定，当测量条件变化时，误差按某一确定规律变化。
处理方法：由于误差是按某一确定规律变化的，即误差变化可用函数式或用曲线图形描述偶然出现，误差很大，数据异常。
可以理论分析、实验验证，找到规律并修正。
随机误差的特点是测量时，每一次测量的误差均不相同，时大时小，时正时负，不可预定，无确定规律。
处理方法是采用数理统计的方法，来研究随机误差的特征，以判断它对测量结果的影响。
粗大误差或者坏值的判断方法:剔除方法有两种：1)格拉布斯准则。
设对某物理量进行N 次重复测量，得测量列x1，x2，···xn ，算术平均值11ni i x x n -==∑测量值与平均值之差称为残余误差或残差，用Vi 表示，即V i i x x -=- 测量列的标准差σ= 若某测量值xi 的残差绝对值(,)V n αλασ>时，则判为坏值。
（n 为测量次数，α为置信度）。
2)3σ准则。
确定其最大可能误差，并验证各测量值的误差是否超过最大可能误差。
一般为简化计算，提出以+-3σ 为最大可能误差，也称为3σ准则。
3.误差传递公式及其应用（任意选取两个方面）这就是误差传递函数，或称方差传递公式。
时，可写成方差合成公式其中称为方差传递系数。
误差传递公式可用于确定最佳实验条件；确定测量的限差以及仪表的选配。
实验误差分析与数据处理(2010.3)
随机误差的规律性： 随机误差的规律性：
（1） 绝对值相等的正的误差和负的误 ） 差出现的机会相同。 差出现的机会相同。 （2） 绝对值小的误差比绝对值大的误 ） 差出现的机会多。 差出现的机会多。 （3） 超出一定范围的误差基本不出现。 ） 超出一定范围的误差基本不出现。
随机误差的消除
在一定测量条件下，增加测量次数， 在一定测量条件下，增加测量次数，可 以减小测量结果的偶然误差， 以减小测量结果的偶然误差，使算术平 均值趋于真值。因此，可以取算术平均 均值趋于真值。因此，可以取算术平均 值为直接测量的最近真值（最佳值）。 值为直接测量的最近真值（最佳值）。
产生系统误差的原因： 产生系统误差的原因：
（1） 仪器误差：由测量仪器、装置不 ） 仪器误差：由测量仪器、 完善而产生的误差。 完善而产生的误差。 ）：由实验 （2） 方法误差（理论误差）：由实验 ） 方法误差（理论误差）： 方法本身或理论不完善而导致的误差。 方法本身或理论不完善而导致的误差。 （3） 环境误差：由外界环境（如光照、 ） 环境误差：由外界环境（如光照、 温度、湿度、电磁场等） 温度、湿度、电磁场等）影响而产生的 误差。 误差。 （4） 读数误差：由观察者在测量过程 ） 读数误差： 中的不良习惯而产生的误差。 中的不良习惯而产生的误差。
实验值
用测量仪器测定待测物理量所得的数值。 用测量仪器测定待测物理量所得的数值。
理论值
用理论公式计算得到某个物理量的数值。 用理论公式计算得到某个物理量的数值。
误差分析
误差：测量值和真值之间总会存在或多或少的 误差：测量值和真值之间总会存在或多或少的 偏差，这种偏差就称为测量值的误差。 偏差，这种偏差就称为测量值的误差。 设被测量的真值为 a,测量值为 则测量误差为 测量值为x,则测量误差为 测量值为 x-a 我们所测得的一切数据都毫无例外地包含一定 的误差，因而误差存在于一切测量之中。 的误差，因而误差存在于一切测量之中。
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平均值而减小 只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进
行校正，或设法消除。
1.3.3 过失误差 （mistake ）
（1）定义： 一种显然与事实不符的误差
（4）几何平均值（geometric mean）
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则
1
x G n x1x2...xn (x1x2...xn ) n
当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称 时，宜采用几何平均值。
几何平均值≤算术平均值
（5）调和平均值（harmonic mean）
真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值 真值一般是未知的 相对的意义上来说，真值又是已知的 ➢ 平面三角形三内角之和恒为180° ➢ 国家标准样品的标称值 ➢ 国际上公认的计量值 ➢ 高精度仪器所测之值 ➢ 多次试验值的平均值
1.1.2 平均值（mean）
（1）算术平均值（arithmetic mean）
（1）定义 绝对误差＝试验值－真值
或
x x xt
（2）说明 真值未知，绝对误差也未知 可以估计出绝对误差的范围：
或
x
x xt
x max
绝对误差限或绝对误差上界
xt
x
x max
绝对误差估算方法： ➢ 最小刻度的一半为绝对误差； ➢ 最小刻度为最大绝对误差； ➢ 根据仪表精度等级计算：
绝对误差=量程×精度等级%
1.2.2 相对误差（relative error）
（1）定义：
相对误差
绝对误差 真值
或
ER
x xt
x
xt xt
（2）说明：
真值未知，常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差：
ER
x x
或
ER
x x
可以估计出相对误差的大小范围：
ER
x xt
x xt max
相对误差限或相对误差上界
∴ xt x(1 ER )
（2）产生的原因： 实验人员粗心大意造成
（3）特点： 可以完全避免 没有一定的规律
1.4 试验数据的精准度
1.4.1 精密度（precision）
（1）含义： 反映了随机误差大小的程度 在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度
（2）产生的原因： 偶然因素 （3）特点：具有统计规律 小误差比大误差出现机会多 正、负误差出现的次数近似相等 当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 可以通过增加试验次数减小随机误差 随机误差不可完全避免的
1.3.2 系统误差（systematic error）
（1）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一 确定的规律起作用而形成的误差
数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法” 我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计
0.2 试验设计与数据处理的意义
0.2.1 试验设计的目的:
合理地安排试验,力求用较少的试验次数获得较好结果 例：某试验研究了3个影响因素： A：A1，A2，A3 B：B1，B2，B3 C：C1，C2，C3 全面试验：27次 正交试验：9次
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln x2
x2
x1
若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值 对数平均值≤算术平均值 如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
n
x
x1 x2 ... xn
xi
i 1
n
n
适合：
等精度试验值 试验值服从正态分布
（2）加权平均值(weighted mean)
n
xW
w1x1 w2 x2 ... wn xn w1 w2 ... wn
wi xi
i 1 n
wi
i 1
wi——权重
加权和
适合不同试验值的精度或可靠性不一致时
误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进 行客观的评定
误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实 值在数值上的不一致
➢ 客观真实值——真值 ➢ 试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实
验过程中
1.1 真值与平均值
1.1.1 真值（true value）
定义式：
SE
n
(xi x)2
i 1
n(n 1)
表示当前样本对总体数据的估数n越大，标准误越小，表明所抽取的样本能够较 好地代表总体样本
1.3 试验数据误差的来源及分类
1.3.1 随机误差 （random error ）
（1）定义：以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时 正时负，时大时小
0.2.2 数据处理的目的
通过误差分析，评判试验数据的可靠性； 确定影响试验结果的因素主次，抓住主要矛盾，提高试
验效率； 确定试验因素与试验结果之间存在的近似函数关系，并
能对试验结果进行预测和优化； 试验因素对试验结果的影响规律，为控制试验提供思路； 确定最优试验方案或配方。
第1章 试验数据的误差分析
试验设计与数据处理
（第三版）
Experiment Design and Data Processing
引言
0.1 试验设计与数据处理的发展概况
20世纪20年代，英国生物统计学家及数学家费歇 （R．A．Fisher）提出了方差分析
20世纪50年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用 最广的正交设计表格化
相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（‰）
1.2.3 算术平均误差 (average discrepancy)
定义式：
n
n
xi x di
i1
i1
n
n
di ——试验值 xi 与算术平均值 x 之间的偏差
可以反映一组试验数据的误差大小
1.2.4 标准误差 (standard error)