初中数学探究型问题
初中数学教学实践探究题(3篇)
第1篇一、题目背景随着新课程改革的深入推进，初中数学教学面临着新的挑战和机遇。
如何提高初中数学教学质量，培养学生的数学思维能力和创新能力，成为了广大教师关注的焦点。
为了探究初中数学教学的有效方法，本文从以下几个方面进行实践探究。
二、研究目的1. 分析初中数学教学现状，找出存在的问题。
2. 探索初中数学教学的有效策略，提高教学质量。
3. 培养学生的数学思维能力和创新能力。
三、研究内容1. 初中数学教学现状分析（1）教学目标不明确，教学内容繁杂。
（2）教学方法单一，忽视学生的主体地位。
（3）评价方式单一，忽视学生的个性化发展。
2. 初中数学教学策略探究（1）优化教学目标，明确教学重点。
（2）丰富教学方法，激发学生学习兴趣。
（3）创新评价方式，关注学生个性化发展。
3. 培养学生的数学思维能力和创新能力（1）加强数学思维训练，提高学生解决问题的能力。
（2）开展数学实践活动，培养学生的创新能力。
（3）鼓励学生质疑，激发学生的探究欲望。
四、研究方法1. 文献研究法：查阅相关文献，了解初中数学教学现状和有效策略。
2. 观察法：观察课堂教学，分析教师的教学方法和学生的学习状态。
3. 实验法：通过教学实践，验证教学策略的有效性。
4. 问卷调查法：对学生进行问卷调查，了解学生对教学策略的满意度。
五、实践探究过程1. 优化教学目标（1）明确教学重点，突出知识的内在联系。
（2）关注学生的认知规律，合理安排教学内容。
（3）注重培养学生的数学思维能力。
2. 丰富教学方法（1）采用多种教学方法，如启发式教学、探究式教学、合作学习等。
（2）运用多媒体技术，提高课堂教学效果。
（3）创设问题情境，激发学生学习兴趣。
3. 创新评价方式（1）采用多元化评价方式，如课堂表现、作业完成情况、实践活动等。
（2）关注学生的个性化发展，鼓励学生展示自己的特长。
（3）建立学生成长档案，记录学生的进步过程。
4. 培养学生的数学思维能力和创新能力（1）加强数学思维训练，如逻辑推理、归纳总结、类比联想等。
中考数学复习 专题2 规律探索型问题数学课件
2．解图形规律探索题的方法： 第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； 第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表示个数； 第三步：寻找图形数量与序号数 n 的关系：针对寻找第 n 个图形表示的数量时，先将后 一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化， 然后按照定量变化推导出第 n 个图形的个数； 函数法：若当图形变化规律不明显时，可把序号数 n 看作自变量，把第 n 个图形的个数 看作函数，设函数解析式为 y＝an2＋bn＋c(初中阶段设二次函数完全可以解决)，再代入三组 数值进行计算出函数解析式(若算出 a＝0 就是一次函数)即可．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图 形外格点的数目．
[对应训练] 4．在由 m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小 正方形个数 f， (1)当 m，n 互质(m，n 除 1 外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：
[对应训练] 2．(2015·咸宁)古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规 律性．若把第一个三角数记为 a1，第二个三角数记为 a2…，第 n 个三角数记为 an，计算 a1＋ a2，a2＋a3，a3＋a4，…由此推算 a399＋a400＝__1.6×105 或 160_000__．
1．(2015·德州)一组数 1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的 两个数之和”，那么这组数中 y 表示的数为( A )
A．8 B．9 C．13 D．15 2．(2015·河南)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2，
初中数学中规律探索型问题的类型与解题方法
初中数学中规律探索型问题的类型与解题方法关键词：初中数学规律探索型问题类型解题方法
规律探索型问题是中考中的必考知识点，我们把规律探索型问题也称为归纳猜想型问题，其特点是这样的：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形；或是给出与图形有关的操作变化过程；或是给出某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.规律探索型问题包括三类问题：数字类规律探索问题、图形类规律探索问题、点的坐标类规律探索问题.
一、数字类规律探索问题
1.解题思路
解答数字类规律探索问题，应在读懂题意、领会问题实质的前提下进行，或分类归纳，或整体归纳，得出的规律要具有一般性，而不是一些只适合于部分数据的“规律”.
2.例题展示
3.例题分析
二、图形类规律探索问题
1.解题思路
解答图形类规律探索问题，要注意分析图形特征和图形变换规律，一要合理猜想，二要加以实际验证.
2.例题展示
3.例题分析
针对几何图形的规律探索题，首先要仔细观察、分析图形，从中发现图形的变化特点，再将图形的变化以数或式的形式表示出来，从而得出图形的变化规律.如果图形的变化具有周期性，就要先确定循环周期及一个循环周期内图形的变化特点，然后用所求总数除以循环周期，得到余数，进而使所求问题得以解决.
本题就是一个典型的规律性问题，由AB为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B为BC的中点，求出BB的长，利用勾股定理求出AB的长，进而求出S，同理求出S，依此类推，得到S.。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学规律探究问题是指通过观察数列、图形或数据等，在一定的规则下寻找并探究其中的规律性的问题。
这种问题在初中数学中占有很重要的地位，有助于学生培养数学思维能力、观察力和逻辑推理能力。
初中数学规律探究问题的类型可以分为数列规律、图形规律和数据规律三类。
一、数列规律问题：数列规律问题是最常见的一类规律探究问题。
通过观察数列中的数字间的关系，找出数列中的规律，并根据规律继续发展数列的下一项。
解题技巧：1. 观察数列中的数字之间的差值或倍数关系，找出数列的通项公式。
1, 3, 5, 7, ...这个数列中，每项相差2，可推测通项公式为2n-1。
2. 观察数列中的数字之间的乘积关系，找出数列的通项公式。
2, 6, 18, 54, ...这个数列中，每项之间都是前一项乘以3，可推测通项公式为2*3^n-1。
3. 观察数列中的数字之间的其他关系，如开方、乘方、递推等。
1, 2, 4, 8, ...这个数列中，每项都是前一项乘以2，可推测通项公式为2^n。
二、图形规律问题：图形规律问题是通过观察一系列图形的形状、数量、位置等特征，找出其中的规律，并根据规律继续绘制下一个图形。
解题技巧：1. 观察图形中的线段、角度、对称性等几何特征，找出图形的规律。
菱形图形的内角和都是360度，可用来判断菱形的特征。
2. 观察图形之间的变形关系，如旋转、平移、翻转等。
向上平移一次得到下一个图形，可用来判断图形的规律。
3. 观察图形中的数字和符号之间的关系，如大小、顺序、重复等。
图形中重复出现的数字可能有特殊的含义，可以利用这些数字来推测规律。
解题技巧：1. 观察数据之间的数值关系，如加减、乘除、指数等。
一组数据之间的差值相等，可用来推测规律。
2. 观察数据之间的变化趋势，如递增、递减、周期性等。
一组数据呈现递增或递减的趋势，可用来推测规律。
3. 观察数据之间的比例关系，如比值、百分比、占比等。
初中数学(几何探究型问题)题库及答案
初中数学（几何探究型问题）题库及答案1．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DE为△ABC的中内弧．例如，图1中DE 是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB=AC=D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时DE的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t12=，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧DE，使得DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【解析】（1）如图2，以DE为直径的半圆弧DE，就是△ABC的最长的中内弧DE，连接DE.∵∠A=90°，AB=AC=D，E分别是AB，AC的中点.∴BC sin AC B ===4，DE 12=BC 12=⨯4=2.∴弧12DE =⨯2π=π． （2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE 的垂直平分线上，连接DE ，作DE 垂直平分线FP ，作EG ⊥AC 交FP 于G .①当t 12=时，C （2，0），∴D （0，1），E （1，1），F （12，1）.设P （12，m ）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE 上方射线FP 上均可，∴m ≥1.∵OA =OC ，∠AOC =90°. ∴∠ACO =45°. ∵DE ∥OC .∴∠AED =∠ACO =45°.作EG ⊥AC 交直线FP 于G ，FG =EF 12=. 根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点G ）直线FP 上时也符合要求. ∴m 12≤.综上所述，m 12≤或m ≥1． ②如图4，设圆心P 在AC 上.∵P 在DE 中垂线上.∴P 为AE 中点，作PM ⊥OC 于M ，则PM 32=. ∴P （t ，32）. ∵DE ∥BC .∴∠ADE =∠AOB =90°.∴AE === ∵PD =PE . ∴∠AED =∠PDE .∵∠AED +∠DAE =∠PDE +∠ADP =90°. ∴∠DAE =∠ADP . ∴AP =PD =PE 12=AE .由三角形中内弧定义知，PD ≤PM .∴12AE 32≤，AE ≤3≤3，解得：t ≤ ∵t >0. ∴0<t≤【名师点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．2．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E 的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′=t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；S t的取值范围（直接写出结果即可）．【解析】（Ⅰ）∵点A（6，0）.∴OA=6.∵OD=2.∴AD=OA-OD=6-2=4.∵四边形CODE是矩形.∴DE∥OC.∴∠AED=∠ABO=30°.在Rt△AED中，AE=2AD=8，ED===∵OD =2.∴点E 的坐标为（2，．（Ⅱ）①由平移的性质得：O ′D ′=2，E ′D ME ′=OO ′=t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB . ∴∠E ′FM =∠ABO =30°.∴在Rt △MFE ′中，MF =2ME ′=2t ，FE ′===.∴S △MFE ′12=ME ′·FE ′12=⨯t 22=.∵S 矩形C ′O ′D ′E ′=O ′D ′·E ′D =∴S =S 矩形C ′O ′D ′E ′-S △MFE ′.∴S 2=-t 2，其中t 的取值范围是：0<t <2；②当S =O 'A =OA -OO '=6-t .∵∠AO 'F =90°，∠AFO '=∠ABO =30°.∴O 'F ='A =6-t ）.∴S 12=（6-t ）（6-t ）=解得：t =6，或t =6.∴t =6S 时，如图④所示：O 'A =6-t ，D 'A =6-t -2=4-t .∴O 'G =6-t ），D 'F =4-t ）.∴S 12=6-t ）4-t ） 解得：t 52=.S t 的取值范围为52≤t ≤6．【名师点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键． 3．（2019•陕西）问题提出：（1）如图1，已知△ABC ，试确定一点D ，使得以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形； 问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC ，且使∠BPC =90°，求满足条件的点P 到点A 的距离； 问题解决：（3）如图3，有一座塔A ，按规定，要以塔A 为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE ．根据实际情况，要求顶点B 是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）【解析】（1）如图记为点D所在的位置．（2）如图.∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB>AB．∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点.连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P不能再矩形外.∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大.作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3.∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2.由对称性得AP2=8．（3）可以，如图所示，连接BD.∵A为BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°.∴BD=100，∠BED=60°.作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，取BED的中点E′，连接E′B，E′D.则E′B=E′D，且∠BE′D=60°，∴△BE′D为正三角形．连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A=AC′，连接BC′，DC′.∵E′A⊥BD.∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°.作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A.∴S△BDE12=·BD·EF12≤·BD·E′A=S△E′BD.∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=1002·m2）.所以符合要求的BCDE的最大面积为2．【名师点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．4．（2019•海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P 是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时.①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形.∴∠D=∠ECQ=90°.∵E是CD的中点.∴DE=CE.又∵∠DEP=∠CEQ.∴△PDE≌△QCE．（2）①∵PB=PQ.∴∠PBQ=∠Q.∵AD∥BC.∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD.∵△PDE≌△QCE.∴PE=QE.∵EF∥BQ.∴PF=BF.∴在Rt△P AB中，AF=PF=BF.∴∠APF=∠P AF.∴∠P AF=∠EPD.∴PE∥AF.∵EF∥BQ∥AD.∴四边形AFEP是平行四边形；②四边形AFEP不是菱形，理由如下：设PD=x，则AP=1-x.由（1）可得△PDE≌△QCE.∴CQ=PD=x.∴BQ=BC+CQ=1+x.∵点E、F分别是PQ、PB的中点.∴EF是△PBQ的中位线.∴EF12=BQ12x+=.由①知AP=EF，即1-x12x+ =.解得x1 3 =.∴PD13=，AP23=.在Rt△PDE中，DE1 2 =.∴PE==∴AP≠PE.∴四边形AFEP不是菱形．【名师点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形与菱形的判定、性质等知识点．5．（2019•江西）在图1，2，3中，已知ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC 上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=__________°；（2）如图2，连接AF．①填空：∠F AD__________∠EAB（填“>”“<”“=”）；②求证：点F在∠ABC的平分线上．（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求BC的值．AB【解析】（1）∵四边形AEFG是菱形.∴∠AEF=180°-∠EAG=60°.∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=60°.故答案为：60°．（2）①∵四边形ABCD是平行四边形.∴∠DAB=180°-∠ABC=60°.∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°.∴∠F AE=60°.∴∠F AD=∠EAB.故答案为：=．②如图，作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N.则∠FNB=∠FMB=90°.∴∠NFM=60°，又∠AFE=60°.∴∠AFN=∠EFM.∵EF=EA，∠F AE=60°.∴△AEF为等边三角形.∴F A=FE.在△AFN和△EFM中，AFN EFMFNA FME FA FE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.∴△AFN≌△EFM（AAS）∴FN=FM，又FM⊥BC，FN⊥BA.∴点F在∠ABC的平分线上．（3）如图.∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°.∴∠AGF=60°.∴∠FGE=∠AGE=30°.∵四边形AEGH为平行四边形.∴GE∥AH.∴∠GAH=∠AGE=30°，∠H=∠FGE=30°.∴∠GAN=90°，又∠AGE=30°.∴GN=2AN.∵∠DAB=60°，∠H=30°.∴∠ADH=30°.∴AD=AH=GE.∵四边形ABCD为平行四边形.∴BC=AD.∴BC=GE.∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE=∠EAB=30°.∴平行四边形ABEN为菱形.∴AB=AN=NE.∴GE=3AB.∴BCAB3．【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、平行四边形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．6．（2019•宁夏）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．【解析】（1）∵MQ⊥BC.∴∠MQB=90°.∴∠MQB=∠CAB，又∠QBM=∠ABC.∴△QBM∽△ABC．（2）当BQ=MN时，四边形BMNQ为平行四边形.∵MN∥BQ，BQ=MN.∴四边形BMNQ为平行四边形．（3）∵∠A=90°，AB=3，AC=4.∴BC==5.∵△QBM∽△ABC.∴QB QM BMAB AC BC==，即345x QM BM==.解得，QM43=x，BM53=x.∵MN∥BC.∴MN AMBC AB=，即53353xMN-=.解得，MN=525 9 -x.则四边形BMNQ的面积12=⨯（5259-x+x）43⨯x3227=-（x4532-）27532+.∴当x4532=时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为7532．【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．7．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；（2）求证：P A=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．【解析】（1）∵∠ACB=90°，AB=BC.∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC.又∠APB=135°.∴∠P AB+∠PBA=45°.∴∠PBC=∠P AB.又∵∠APB=∠BPC=135°.（2）∵△P AB ∽△PBC .∴PA PB ABPB PC BC==. 在Rt △ABC 中，AB =AC .∴ABBC= ∴PB PA ==，. ∴P A =2PC ．（3）如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E .∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3. ∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°. ∴∠APC =90°. ∴∠EAP +∠ACP =90°.又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°. ∴∠EAP =∠PCD . ∴Rt △AEP ∽Rt △CDP .∴2PE APDP PC==，即322h h =. ∴h 3=2h 2.∴12h ABh BC ==.∴12h .∴2212222322h h h h h h ==⋅=．即：h 12=h 2·h 3．【名师点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP =∠PCD 是解本题的关键．8．（2019•重庆A 卷）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE ，EM ⊥AE ，垂足为E ，交CD 于点M ，AF ⊥BC ，垂足为F ，BH ⊥AE ，垂足为H ，交AF 于点N ，点P 是AD 上一点，连接CP ．（1）若DP =2AP =4，CP =CD =5，求△ACD 的面积． （2）若AE =BN ，AN =CE ，求证：AD=+2CE ．【解析】（1）作CG ⊥AD 于G ，如图1所示：设PG =x ，则DG =4-x .在Rt △PGC 中，GC 2=CP 2-PG 2=17-x 2.在Rt△DGC中，GC2=CD2-GD2=52-（4-x）2=9+8x-x2.∴17-x2=9+8x-x2.解得：x=1，即PG=1.∴GC=4.∵DP=2AP=4.∴AD=6.∴S△ACD12=⨯AD×CG12=⨯6×4=12．（2）连接NE，如图2所示：∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM.∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°.∴∠NBF=∠EAF=∠MEC.在△NBF和△EAF中，NBF EAFBFN EFA AE BN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.∴△NBF≌△EAF.∴BF=AF，NF=EF.∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF.∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF.在△ANE和△ECM中，MEC EAF AN ECANE ECM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩.∴△ANE≌△ECM.∴CM=NE.又∵NF2=NE2=MC.∴AF2=MC+EC.∴AD=+2EC．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学中，规律探究问题是一类需要通过观察、归纳、推理等方法来找出数学规律的问题。
这类问题通常涉及数字序列、图形变换、等式变形等方面，要求学生在探究规律的过程中培养逻辑思维能力和数学思维方式，提高解决问题的能力。
一、数字序列类问题数字序列类问题是初中数学中最常见的规律探究问题。
这类问题通常要求学生根据给定的数字序列找出其中的规律，并推算出下一个数字或几个数字。
解决这类问题的关键是观察敏锐和逻辑推理能力。
具体的解题技巧如下：1.观察数字序列中的差值：有些数字序列是等差数列，差值相等；有些数字序列是等比数列，比值相等；有些数字序列可能是其他规律，需要用其他方法来找出。
2.找出数字序列中的特殊数字：有些数字序列中会有特殊的数字，比如首项为1的斐波那契数列，第三个数字开始，每个数字是前两个数字之和。
3.归纳误差法：当已知前几个数字后无法确定规律时，可以假设一个规律并进行验证，找出规律的特点和一般性质，再用这个规律来验证后续数字。
二、图形变换类问题图形变换类问题通常涉及图形的旋转、翻转、平移、缩放等操作，要求学生根据给定的图形或一系列图形的变换找出其中的规律。
解决这类问题的关键是观察图形的形状和位置的变化，利用几何知识进行分析。
具体的解题技巧如下：1.观察图形的对称性：有些图形在某种变换后会保持对称，比如旋转180度后还是原来的图形。
2.观察图形的放大缩小关系：有些图形在变换后会变成原来的图形的倍数，比如放大或缩小一定的倍数。
3.观察图形的平移关系：有些图形在变换后会平移一定的距离，比如向左或向右平移一定的格数。
三、等式变形类问题等式变形类问题通常要求学生通过等式的变形推导出另一个等式，并验证等式的等价性。
解决这类问题的关键是掌握等式变形的基本方法和技巧。
具体的解题技巧如下：1.使用性质和定理：根据等式的性质和定理进行变形，如分配律、合并同类项等；2.开展移项、约去等操作：通过移动变量的位置、约去相同因式等操作推导出新的等式；3.代入数值验证等式的等价性：可以代入一些具体的数值来验证等式是否成立。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学中，规律探究问题是指通过分析数列、图形或公式等数学对象的特点，寻找其中隐藏的规律并加以运用来解决问题的一类问题。
这类问题需要学生具备分析能力、抽象能力、推理能力等多方面的综合能力。
初中数学规律探究问题的类型较为多样，常见的有以下几类：1. 数列问题：通过观察数列中的数字之间的规律，找出数列的通项公式或下一个数字，进而解决问题。
已知数列1、2、4、7、11、16的通项公式是多少？解题技巧：观察数列中相邻数字之间的差或比例是否存在固定规律，如果存在，可通过运算找出通项公式；如果不存在，则考虑是否可以构造新的数列来寻找规律。
2. 图形问题：通过观察图形中的形状、边长、角度等特点，找出图形的规律并解决问题。
已知一个正方形从第一阶到第四阶的边长依次为1、2、3、4，第十个阶的边长是多少？解题技巧：观察图形中相邻部分之间的关系，寻找存在的等差、等比、对称等规律；如果能够构造新的图形来辅助分析，更容易找出规律。
3. 公式问题：通过观察公式中的变量、系数等特点，推测出公式的规律并解决问题。
已知一个等差数列的公差是d，前n项的和为Sn，求第n项的值。
1. 观察法：通过观察数列、图形或公式等数学对象的特点，寻找其中存在的规律。
2. 归纳法：通过观察到的规律，总结规律的表达式或公式。
3. 推理法：通过观察到的规律，根据数学常识进行推理和证明。
4. 验证法：通过代入具体数值，验证所得的规律是否成立。
5. 构造法：通过构造新的数列、图形或公式等，辅助分析和解题。
除了以上解题技巧外，良好的数学基础知识和逻辑思维能力也是解决规律探究问题的重要因素。
平时要加强基础知识的学习，培养逻辑思维能力，多进行思维训练和思维导图的绘制，提高解决问题的能力。
规律探究问题在初中数学教学中的类型以及解题技巧研究
规律探究问题在初中数学教学中的类型以及解题技巧研究一、引言数学是一门抽象而又具体的学科，它需要学生在学习和探索中培养逻辑思维和抽象思维能力，这其中又不可或缺的是规律探究。
规律探究问题是初中数学教学中的重要一环，不仅能够锻炼学生的思维能力，还能提高他们的解决实际问题的能力。
本文将探讨规律探究问题在初中数学教学中的类型和解题技巧，并提出一些有效的教学方法和策略。
二、规律探究问题的类型在初中数学教学中，规律探究问题的类型有很多种，下面我们就来列举一些常见的类型：1. 数列的规律探究：这是最基本的规律探究问题类型，学生需要根据给定的数列，找出规律并继续下去。
1，3，6，10，15，21, ...问下一个数是多少？2. 几何图形的规律探究：几何图形的规律探究也是一种常见的类型，比较常见的有拼图问题、几何图形面积和周长的关系、正多边形内角和外角的规律等。
4. 函数图像的规律探究：这类问题需要学生观察函数的图像，从中找出规律。
y=x^2的图像是怎样的？这些都是规律探究问题的常见类型，而在教学中我们需要根据具体情况来设计相应的解题技巧。
面对不同类型的规律探究问题，学生需要掌握不同的解题技巧。
下面我们将分别讨论不同类型规律探究问题的解题技巧。
1. 数列的规律探究：学生在解决数列的规律探究问题时，一般需要观察数列中相邻项的差值，找出它们之间的规律。
也可以观察数列中的乘积或者其他变化规律。
有时通过列出数列的前几项，找出它们之间的变化规律也是一个有效的解题技巧。
2. 几何图形的规律探究：对于拼图问题，学生需要根据图形本身的特点来进行拼图，这就需要他们对几何图形有一定的认识。
而对于面积和周长的关系、内角和外角的规律等问题，则需要学生掌握相关几何知识来解决。
3. 字母的规律探究：对于字母的规律探究问题，学生可以通过列举和找规律的方式来解决。
也可以通过字母之间的位置关系和字母的组合来找规律。
这需要学生具有一定的逻辑思维和抽象思维能力。
初中数学专题复习数学探究性题目七例(含答案)
数学探究性题目七例1．时钟上的数学我们每个同学家里都有大大小小的钟，绝大部分钟都有时针、分针、秒针，时时刻刻都可以听到它们不停的“滴答、滴答”走动的声音，当然他们的走动有快有慢，秒针最快，时针最慢，不知你有没有注意到它们之间的一些数学关系？为了使问题简单起见，我们假设所讨论的时钟只有时针和分针。
问题：在一天之内时针和分针重合多少次？每次发生在什么时候？什么时候两针互相垂直？什么时候两针在一条直线上？如果时针和分针交换它还能表示某一时刻的时间么？希望大家在解决以上问题之后讨论一下是否还有其他有趣的问题。
2．揭穿转摊的骗术在车站，码头附近有时会看到一些碰运气、赌输赢的地摊，这些地摊大多引诱来往过路旅客，用骗术骗取他们的钱财。
转摊就是其中之一。
摊主在一个固定的圆盘上划出若干扇形区域，并顺次标上号码1，2，3，4，5，6，。
，在每一奇数扇区上放上值钱的物品，如名酒，中华香烟等，而在每一个偶数区域上放着廉价的物品，如糖块，小食品等。
圆盘中心安装一根可以转动的轴，轴的顶端有一根悬臂，臂端吊一根线，线头上系一根针。
你如果付给摊主一元钱，就可以随便转动一次，当悬臂停止转动时，针就停在某一区域，按照摊主制订的规则，这一格上的数是几，就从下一格起，按顺时针方向数出几，最后数到哪一格，那一格中的物品就归你，例如：当针指向“6”时，就要从“7”数起，顺时针方向数出“6”，最后应该数到“12”这一格。
参加这种赌博的人认为，圆盘中奇数、偶数格占一半，输赢得机会各占一半，于是就去碰碰运气，然而，不管转多少次，最后总是数到偶数区域中，你只能用自己的很多钱换来几粒糖果等廉价物品。
为什么大家的“运气”都这样不好，你能用数学知识解开这个迷吗？类似的还有1．音乐教室里有7排座位，每排7把椅子，每把椅子上坐一名学生，教师每月都要将座位调换一次，张明同学提出建议：每次交换时，每一名同学都必须与她相邻（前、后、左、右）的某一个同学交换位置，以示公平。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题是一类旨在培养学生探究能力和提升数学思维的题目。
这类问
题通常要求学生通过观察数列、图形、图表等数学现象，发现其中的规律或性质，并进行
推理和验证。
下面将介绍几种常见的初中数学规律探究问题类型及解题技巧分析。
1. 数列规律问题
数列规律问题是初中数学规律探究问题中最为常见的一种。
这类问题通常给出一个数
列的前几项，要求学生找出数列中的规律，并预测或计算后面的项。
解题时，可以通过观
察数列项之间的差别、比值或其他特点，寻找其中的规律。
常见的解题技巧包括：找出数
列的增长规律（如等差或等比），找出公式或递推关系，并进行验证。
2. 图形规律问题
图形规律问题要求学生观察一系列图形的变化规律，推断出其中的规律性质。
解题时，可以通过观察图形的形状、角度、边长等特征，找出它们之间的联系。
常见的解题技巧包括：找出图形的对称性、旋转性或反射性，找出图形的组成方式或构造方法，并进行验
证。
在解决初中数学规律探究问题时，还需掌握一些基本的解题技巧。
要善于观察和思考，通过抓住问题的关键点，发现并总结问题中的规律。
要善于分析和推理，通过建立模型或
逻辑推理，验证或推导出规律的正确性。
要善于归纳和应用，通过总结规律的特点，解决
同类型或相关的问题。
初中数学规律探究问题的类型较多，解题技巧也需要学生具备一定的观察、推理和应
用能力。
希望同学们通过不断的练习和思考，掌握解题的方法和技巧，提高自己的数学素
养和解决问题的能力。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学中，规律探究问题是一种常见的问题类型，涉及到数学中的一些规律、性质或者关系。
这种问题要求学生通过观察、思考和归纳总结等方法，找出数学中隐藏的规律，进而解决问题。
一、类型分析：1. 数列的规律探究问题：这种类型的问题要求学生根据给定的数列，找出其中的规律，推测下一项或者特定位置处的数值。
例如：给定数列1，3，5，7，…，学生需要找出这个数列的通项公式，并计算第100项的值。
解题技巧：观察数列中相邻两项之间的差值或者比值是否有规律，尝试使用数学表达式表示，利用已知的条件求解未知项的值。
2. 几何图形的规律探究问题：这种类型的问题要求学生观察给定的几何图形之间的关系，找出其中的规律并推导出结论。
例如：给定一组图形，每个图形都由一些小正方形组成，学生需要找出这些图形的面积与小正方形个数之间的规律。
解题技巧：观察图形中各个元素的数量、形状或者位置的变化规律，推测出图形之间的关系，利用已知的条件推导出未知的结论。
二、解题技巧分析：1. 观察准确：解决规律探究问题的关键是准确观察给定的条件，发现其中的规律，不能遗漏任何细节。
2. 归纳总结：在观察的基础上，要通过归纳总结的方法，将观察到的规律进行概括和总结，形成一个可以适用于所有情况的规律表达式。
3. 测试验证：根据归纳总结得到的规律表达式，进行一定数量的测试，验证这个规律表达式是否正确，是否适用于所有情况。
4. 推演运用：在掌握规律表达式并验证无误后，可以使用这个规律来解决其他类似的问题，进一步运用推演的方法。
5. 灵活运用：在解决规律探究问题时，要善于灵活运用各种数学知识，例如代数、几何、等差等差数列、等比数列等，将不同的数学概念和方法结合起来，找到最优解。
初中数学规律探究问题是一种需要观察、归纳和推演的问题类型。
学生在解决这类问题时，要注重观察准确、归纳总结、测试验证和推演运用，灵活运用各种数学知识，找到解决问题的最优解。
中考数学专题复习函数过程探究性问题
中考数学专题复习函数过程探究性问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、解答题1．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数2241x y x -=+的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象； x… －5－4－3－2 －1 0 1 2 3 4 5 …2241x y x -=+… －2126 －1217 －12 0 324 0 …（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；（3）已知函数332y x =-+的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式2234321x x x --+>+的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）2．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数|26|y x x m =+-++性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． x…2-1-0 1 2 3 4 5 …y (6)54a 2 1b 7 …（1）写出函数关系式中m 及表格中a ，b 的值：m =________，=a _________，b =__________；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________； （3）已知函数16y x=的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式16|26|x x m x+-++>的解集．3．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数261xy x =+性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充．．完整，并在图中补全．．该函数图象； x… －5 －4－3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 …261xy x =+…1513-2417-125-－3 0 3 12524171513…（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内打“×”；①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y 轴；( )①该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值－3；( )①当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大；( ) （3）已知函数21y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式26211xx x >-+的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．4．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数2122=-+yx的图象并探究该函数的性质．x①-4-3-2-101234①y①23-a-2-4b-4-21211-23-①（1）列表，写出表中a，b的值：a=____ ，b=．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：①函数2122=-+yx的图象关于y轴对称；①当x=0时，函数2122=-+yx有最小值，最小值为-6；①在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．（3）已知函数21033y x=--的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式212210233xx-<--+的解集．5．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义(0)(0)a aaaa≥⎧=⎨-⎩＜．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数3y kx b=-+中，当2x=时，4y=-；当0x=时，y 1.=-（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象井并写出这个函数的一条性质；（3）已知函1y32x=-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式1323kx b x-+≤-的解集．6．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数2||y x =-的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数2||2y x =-+和2| 2|y x =-+的图象如图所示． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y …﹣6﹣4﹣2﹣2﹣4﹣6…（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A ，B 的坐标和函数-2|2|y x =+的对称轴．（2）探索思考：平移函数2||y x =-的图象可以得到函数2||2y x =-+和2|2|y x =-+的图象，分别写出平移的方向和距离．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数2|3|1y x =--+的图象．若点()11,x y 和(22,)x y 在该函数图象上，且213x x >>，比较1y ，2y 的大小．参考答案：1．（1）从左到右，依次为：311221,,,221726--，图见解析；（2）该函数图象是轴对称图象，对称轴是y 轴；（3）0.3,12x x <-<< 【解析】 【分析】（1）直接代入求解即可；（2）根据函数图象，写出函数的性质即可； （3）根据图象交点写出解集即可． 【详解】解：（1）表格中的数据，从左到右，依次为：311221,,,221726--．函数图象如图所示．；（2）①该函数图象是轴对称图象，对称轴是y 轴；①该函数在自变量的取值范围内，有最大值，当0x =，函数取得最大值4；①当0x <是，y 随x 的增大而增大；当0x >是，y 随x 的增大而减小；（以上三条性质写出一条即可）（3）当0.2x =-时，33 3.32x -+=，224 3.81x x -≈+；当0.4=-x 时，33 3.62x -+=，224 3.311x x -≈+；所以0.3x =-是2234321x x x --+=+的一个解；由图象可知1x =和2x =是2234321x x x --+=+的另外两个解；①2234321x x x --+>+的解集为0.3,12x x <-<<．【点睛】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．2．（1）2-；3；4；（2）作图见解析；当3x <时，y 随x 的增大而减小，当3x >时，y 随x 的增大而增大；（3）0x <或4x > 【解析】 【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m ，然后得到完整解析式，再根据表格代入求解其余参数即可；（2）根据作函数图象的基本步骤，在网格中准确作图，然后根据图象写出一条性质即可；（3）结合函数图象与不等式之间的联系，用函数的思想求解即可． 【详解】（1）由表格可知，点()3,1在该函数图象上，①将点()3,1代入函数解析式可得：13236m =+-⨯++， 解得：2m =-，①原函数的解析式为：|26|2y x x =+-+-； 当1x =时，3y =； 当4x =时，4y =； 故答案为：2-；3；4；（2）通过列表-描点-连线的方法作图，如图所示；根据图像可知：当3x <时，y 随x 的增大而减小，当3x >时，y 随x 的增大而增大；故答案为：当3x <时，y 随x 的增大而减小，当3x >时，y 随x 的增大而增大； （3）要求不等式16|26|x x m x+-++>的解集， 实际上求出函数|26|y x x m =+-++的图象位于函数16y x=图象上方的自变量的范围， ①由图象可知，当0x <或4x >时，满图条件， 故答案为：0x <或4x >．【点睛】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题关键．3．（1）95-，95；（2）①× ①√ ①√；（3）x ＜−1或−0.3＜x ＜1.8．【解析】 【分析】（1）代入x=3和x=-3即可求出对应的y 值，再补全函数图象即可； （2）结合函数图象可从增减性及对称性进行判断； （3）根据图象求解即可． 【详解】解：（1）当x=-3时，2618911x y x -==++95=-，当x=3时，2618911x y x ===++95， 函数图象如下：（2）①由函数图象可得它是中心对称图形，不是轴对称图形； 故答案为：× ，①结合函数图象可得：该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值－3； 故答案为：√ ，①观察函数图象可得：当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大； 故答案为：√．（3）1x <-，0.28 1.78(0.280.2 1.780.2)x x -<<-±<<±26211xx x =-+时，()2(1)2310x x x +--=得11x =-，2 1.8x ，30.3x ≈-， 故该不等式的解集为： x ＜−1或−0.3＜x ＜1.8． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． 4．（1）1211-，6-，作图见解析；（2）①√；①√；①×；（3）x ＜-4或-2＜x ＜1． 【解析】 【分析】（1）把对应的x 的值代入即可求出a 和b 的值，通过描点，用平滑的曲线连接，即可作出图象；（2）观察图象即可判断；（3）找出函数2122=-+y x 的图象比函数21033y x =--的图象低时对应的x 的范围即可． 【详解】（1）当3x =-时，212121132a =-=-+；当0x =时，1262b =-=-； ①1211a =-，6b =-， 故答案为：1211-，6-． 所画图象，如图所示．（2）①观察图象可知函数2122=-+y x 的图象关于y 轴对称，故该说法正确； ①观察图象可知，当x =0时，函数2122=-+y x 有最小值，最小值为6-，故该说法正确； ①观察图象可知，当0x <时，y 随x 的增大而减小，当0x >时，y 随x 的增大而增大，故该项题干说法错误．（3）不等式212210233x x -<--+表现在图象上面即函数2122=-+y x 的图象比函数21033y x =--的图象低，因此观察图象，即可得到212210233x x -<--+的解集为：x ＜-4或-2＜x ＜1．【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．5．（1）3342y x =--；（2）见解析，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大；当2x <时，y 随x 的增大而减小；（3）14x ≤≤.【解析】【分析】（1）根据在函数y=|kx -3|+b 中，当x=2时，y=-4；当x=0时，y=-1，可以求得该函数的表达式；（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象并写出它的一条性质；（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集.【详解】解：（1）由题意，可得23431k b b ⎧-+=-⎪⎨-+=-⎪⎩ 324k b ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩ ∴函数的解析式为：3342y x =-- （2）当2x ≥时，y 随x 的增大而增大；当2x <时，y 随x 的增大而减小；（3）14x ≤≤；【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.6．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据图形即可得到结论；（2）根据函数图形平移的规律即可得到结论；（3）根据函数关系式可知将函数2||y x =-的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数2|-3|1y x =-+的图象．根据函数的性质即可得到结论．【详解】解：（1）(0,2)A ，(2,0)B -，函数2| 2|y x =-+的对称轴为2x =-；（2）将函数2||y x =-的图象向上平移2个单位得到函数2||2y x =-+的图象； 将函数2||y x =-的图象向左平移2个单位得到函数2|2|y x =-+的图象；（3）将函数2||y x =-的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数2|3|1y x =--+的图象．所画图象如图所示，当213x x >>时，12y y >．【点睛】本题考查了一次函数与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，平移的性质，正确的作出图形是解题的关键．。
初中数学探究题目类型
初中数学的探究题目类型包括但不限于以下几种：
1. 实际问题探究：设计涉及日常生活、工程实际、自然现象等方面的问题，让学生通过数学方法进行分析和解决。
例如，通过测量校园内不同建筑物的高度和影子长度，探究影子长度与太阳高度的关系。
2. 探究性证明：要求学生通过观察、实验或推理，发现并证明一些数学规律或性质。
例如，通过观察一组正整数的平方数和立方数的规律，提出并证明相关结论。
3. 数据分析探究：以真实的数据为基础，让学生进行数据收集、整理、分析和推理，从而发现数据背后的规律和结论。
例如，通过收集不同地区人口数量的数据，探讨人口增长速率的规律。
4. 模型建立与求解：引导学生根据实际问题建立数学模型，并运用数学知识进行求解。
例如，通过小组合作，研究小球从斜面滚下的运动规律，建立相应的数学模型并进行求解。
5. 竞赛类探究题：设置具有一定难度和挑战性的探究题目，鼓励学生在竞赛形式下展开思考和探索。
例如，设计一些能够激发学生兴趣的数学问题，让学生在团队中协作解决。
这些探究题目类型旨在培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，激发学生对数学的兴趣，并引导他们主动探索、发现和运用数学知识。
通过这些探究性的学习活动，学生可以更深入地理解数学概念和原理，提高数学素养和创新意识。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析数学规律探究问题是初中数学学习中常见的一类问题，通过对数学规律的探究和分析，培养学生的逻辑思维和推理能力，提高他们的问题解决能力。
下面将介绍一些常见的数学规律探究问题类型及解题技巧分析。
一、数列规律问题数列规律问题是最常见的数学规律探究问题。
解题时，可以根据给定的数列和规律，通过观察和分析，推算出数列的通项公式或者下一个数的值。
常见的数列规律有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
解题技巧：1.观察相邻项之间的差值或比值，判断是等差数列还是等比数列。
2.求出数列的公差或公比，进而得到数列的通项公式。
3.根据已知条件，利用数列的通项公式求出需要的值。
图形规律问题是指通过观察和分析给定的图形，找出其中的规律，推导出图形的性质或者下一个图形的形状。
常见的图形规律有平移、旋转、翻转等。
解题技巧：1.观察图形的对称性和相邻图形之间的关系，判断是平移、旋转还是翻转。
2.根据已知条件，通过推理和逻辑推断，得出图形的性质。
3.根据已知条件，利用图形的性质，推导下一个图形的形状或者位置。
解题技巧：1.观察方程中的系数和常数项之间的关系，判断方程的类型。
2.根据已知条件，通过代入值，解方程得出结论。
3.利用已知方程和规律，推导出下一个方程的解。
概率规律问题是指通过观察和分析一系列事件的发生概率，找出其中的规律，推导出可能的结果。
常见的概率规律有独立事件、互斥事件等。
总结：解决数学规律探究问题需要学生运用观察、分析、推理和推导等数学思维和方法，不仅要灵活运用各种公式和定理，而且要发挥想象力和创造力，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
在教学中，教师应该引导学生多做习题和实际应用，培养学生的观察力、分析力和推理能力，提高他们的问题解决能力。
教师也应该注重培养学生的创造力和创新意识，鼓励学生发散思维和多角度思考问题，使学生在探究数学规律问题中获得乐趣和成长。
初中数学专题复习规律探索型问题(含答案)
A 5532031专题训练17 规律探索型问题一、选择题（每小题3分，共24分）1．如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（ ）。
2．按右边33⨯方格中的规律，在下面4个符号中选择一个填入方格左上方的空格内（ ）3．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ） A ．26n +B ．86n +C ．44n +D ．8n4．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（ ） A. 31 B. 33 C. 35 D. 37 5.图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y 为第n 层(n 为正整数) 三角形的个数，则下列函数关系式中正确的是（ ） A 、y ＝4n －4 B 、y ＝4n C 、y ＝4n ＋4 D 、y ＝n 2 6.在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，C 应为（ ） (A)92 (B)108 (C)276(D)340B(第5题)7.观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2007个图形是（ ）8.观察下列三角形数阵：则第50行的最后一个数是（ ）（Ａ）1225 （Ｂ）1260 (Ｃ)1270 (Ｄ)1275 二、填空题（每小题3分，共18分） 9.有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ． 10.如图，某装饰品的吊链是由大小不同的菱形组成，如第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n 幅图中共有__________个菱形．11.小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的顺序排列为：1，1，2，3，5，8，，则这列数的第8个数是_____.12.根据下列图形的排列规律，第2008个图形是 (填序号即可).(①；② ；③ ；④ .)……13.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如 （1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为____________．14.如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1357911，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1234S S S S ，，，，．观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积10S = ．12 34 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15… (1)23n…1 2 3 4 56（A ） （B ） （C ） （D ）三、解答题(每小题5分，共20)15.观察下面的点阵图，探究其中的规律．摆第1个“小屋子”需要5个点；摆第2个“小屋子”需要个点；摆第3个“小屋子”需要个点．.（1）摆第10个这样的“小屋子”需要多少个点？（2）写出摆第n个这样的“小屋子”需要的总点数S与n的关系式．16.有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，…它的每一项可用式子2n（n是正整数）来表示．有规律排列的一列数：1，-2，3，- 4，5，-6，7，-8，…(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？(2)它的第100个数是多少？(3) 2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？17.在数学活动中，小明为了求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值（结果用n 表示），设计如图1所示的几何图形。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析一、数字规律探究问题数字规律探究问题是数学学习中常见的一类问题，通常涉及到数字之间的关系和规律。
解决数字规律问题需要学生对数字之间的运算关系进行分析，并找出规律。
一般来说，数字规律问题分为两种类型：基本数字规律和扩展数字规律。
1. 基本数字规律基本数字规律是指数字之间的简单关系，通常呈现在数列或者数字表格中。
给出一个数列1，3，5，7…，要求学生找出其中的规律并补充下一个数。
解决这类问题的关键在于观察数字之间的差异和规律，一般来说可以通过计算相邻数字的差值或者比值来找到规律。
比如上述数列中每个数与前一个数的差值都是2，因此可以得出规律为n与n-1之间的差值递增2。
解题技巧：观察数字之间的差异和规律，可以进行递增、递减、乘法、除法等运算，寻找规律的方式多种多样，需要学生多加练习和思考。
扩展数字规律是指数字之间的复杂关系，通常需要学生更加深入地思考和分析。
给出一个数字表格，要求学生填写其中的空缺部分。
这类问题通常需要学生通过观察数字之间的关系，找到规律并进行推理分析。
解决这类问题需要学生具有很强的逻辑思维能力和分析能力。
解题技巧：对于扩展数字规律问题，学生需要通过分析数字之间的变化规律，尝试找出其中的数学定律，并运用数学原理进行推理和计算。
图形规律探究问题是指通过观察图形之间的关系，找出其中的规律和特点。
这类问题通常呈现为几何图形的变化和组合，要求学生找出其中的规律并进行推理分析。
解决图形规律问题需要学生具有对图形的敏锐观察能力和逻辑推理能力。
解题技巧：观察图形之间的相似性和规律，可以通过旋转、平移、对称等方式进行变换，通过观察图形的对应关系找出规律。
2. 扩展图形规律基本等式规律是指等式之间简单的变化关系，通常呈现为数学公式或者等式变换。
给出一个等式2x+1=5，要求学生找出其中的规律并求解x的值。
解决这类问题需要学生熟练掌握等式的变形和求解方法。
解题技巧：观察等式之间的变化规律，可以通过移项、合并同类项、因式分解等方式进行变形，找出变量的取值范围。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学规律探究问题是学习数学过程中常见的一类问题，它要求学生通过观察、归纳、验证等方法，探索数学规律和性质。
这类问题的解题过程不仅能培养学生的观察力、归纳能力和逻辑思维能力，还能加深对数学概念的理解和运用能力。
下面我们来分析一下这类问题的类型及解题技巧。
一、问题类型1. 数列规律问题这类问题要求学生观察数列中的数的变化规律，并找出下一个或若干个数。
给定数列1，4，7，10，...，求下一个数。
2. 图形规律问题这类问题要求学生观察图形中的形状、线条、角度等特征，找出规律。
给定几个图形，让学生找出它们之间的规律，并填入正确的图形。
4. 推理规律问题这类问题要求学生通过已知条件，推理出目标结果。
给定一个等式A=B，B=C，让学生推理出A=C。
5. 概率规律问题这类问题要求学生通过观察事件发生的频率和可能性，找到事件发生的规律。
投掷一个均匀的骰子，求得到偶数的概率。
二、解题技巧1. 观察问题中的已知条件和要求在解决规律探究问题时，首先要仔细观察问题中给定的已知条件和要求，明确问题的目标，有针对性地进行推理和归纳。
2. 利用归纳法进行思考归纳法是解决规律探究问题的基本方法。
通过观察已知的数学对象，找出其中的规律，然后将这个规律推广到其他情况，验证是否成立。
如果规律成立，就可以用它来解决问题。
3. 使用逆向思维有时候，为了找到某个数列或图形的规律，可以采用逆向思维，从目标结果出发，思考需要满足的条件或特征。
通过观察规律的逆向推导，可以更加直观地找到问题的解法。
4. 运用数学工具和方法解决规律探究问题时，可以灵活运用数学工具和方法。
可以通过建立方程、列出表格、绘制图形等方法来整理和归纳问题中的数据，从而发现问题的规律。
5. 多角度思考问题有时候，同一个问题可以从不同的角度进行思考，这样可以得到不同的解法。
在解决数学规律探究问题时，可以尝试不同的方法和思路，从而拓宽解题思路。
2023中考数学开放探究型压轴大题(最新模拟50道)学生版
2023中考数学开放探究型压轴大题一、解答题1.(2023春·陕西延安·九年级专题练习)如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =2，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ．将△CDE 绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．(1)问题发现①当α=0°时，AE BD =______；②当α=180°时，AE BD=______．(2)拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AE BD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．(3)问题解决△CDE 绕点C 逆时针旋转至A 、B 、E 三点在同一条直线上时，请直接写出线段BD 的长______．2.(2023春·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考开学考试)点E是矩形ABCD边AB延长线上一动点(不与点B重合)，在矩形ABCD外作Rt△ECF其中∠ECF=90°，过点F作FG⊥BC 交BC的延长线于点G，连接DF交CG于点H．(1)发现如图1，若AB=AD，CE=CF，猜想线段DH与HF的数量关系是(2)探究如图2，若AB=nAD，CF=nCE，(1)中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．(3)拓展在(2)的基础上，若FC的延长线经过AD的三等分点，且AD=3，AB=4，请直接写出线段EF的值3.(2023·河北·模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是10，A，B为⊙O外两点，AB= 22．给出如下定义：平移线段AB，使平移后的线段A′B′成为⊙O的弦(点A′，B′分别为点A，B 的对应点)，线段AA′长度的最小值成为线段AB到⊙O的“优距离”．(1)如图1，⊙O中的弦P1P2、P3P4是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系是；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点的线段长度等于线段AB到⊙O的“优距离”；(2)若点A(0，7)，B(2，5)，线段AA′的长度是线段AB到⊙O的“优距离”，则点A′的坐标为；(3)如图2，若A，B是直线y=-x+6上两个动点，记线段AB到⊙O的“优距离”为d，则d的最小值是；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字母．4.(2023春·全国·八年级期中)如图1，在矩形ABCD中，AB=a，BC=6，动点P从B出发沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′．(1)如图2，当点P在线段BC上运动时，直线PB′与CD相交于点M，连接AM，若∠PAM=45°，请直接写出∠B′AM和∠DAM的数量关系；(2)在(1)的条件下，请求出此时a的值：(3)当a=8时，①如图3，当点B′落在AC上时，请求出此时PB的长；②当点P在BC的延长线上时，请直接写出△PCB′是直角三角形时PB的长度．5.(2023春·广东深圳·八年级统考阶段练习)已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE．(1)如图1，猜想△ADE是什么三角形？；(直接写出结果)(2)如图2，点D在射线CB上(点C的右边)移动时，证明∠BCE+∠BAC=180°．(3)点D在运动过程中，△DEC的周长是否存在最小值？若存在．请求出△DEC周长的最小值；若不存在，请说明理由．6.(2023·山东济南·统考一模)如图1，已知正方形AFEG与正方形ABCD有公共顶点A，点E在正方形ABCD的对角线AC上(AG<AD).(1)如图2，正方形AFEG绕A点顺时针方向旋转α(0°<α<90°)，DG和BF的数量关系是，位置关系是；(2)如图3，正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，求CEDG的值以及直线CE和直线DG所夹锐角的度数；(3)如图4，AB=8，点N在对角线AC上，CN=22，将正方形AFEG绕A顺时针方向旋转α(0°<α<360°)，点M是边CD的中点，过点M作MH∥DG交EC于点H；在旋转过程中，线段NH的长度是否变化？如果不变，请直接写出NH的长度；如果改变，请说明理由.7.(2023春·全国·八年级期中)如图1，D、E、F是等边三角形ABC中不共线三点，连接AD、BE、CF，三条线段两两分别相交于D、E、F．已知AF=BD，∠EDF=60°．(1)证明：EF=DF；(2)如图2，点M是ED上一点，连接CM，以CM为边向右作△CMG，连接EG．若EG=EC+ EM，CM=GM，∠GMC=∠GEC，证明：CG=CM．(3)如图3，在(2)的条件下，当点M与点D重合时，若CD⊥AD，GD=4，请问在△ACD内部是否存在点P使得P到△ACD三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由．8.(2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校联考阶段练习)已知△ABC为等边三角形，D是边AB上一点，连接CD，点E为CD上一点，连接BE．(1)如图1，延长BE交AC于点F，若∠ABF=15°，BF=6，求AF的长；(2)如图2，将△BEC绕点C顺时针旋转60°到△AGC，延长BC至点H，使得CH=BD，连接AH交CG于点N，猜想线段CE，GN，DE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，AB=8，点H是BC上一点，且BD=2CH，连接DH，点K是AC上一点，CK=AD，连接DK，BK，将△BKD沿BK翻折到△BKQ，连接CQ，当△ADK的周长最小时，直接写出△CKQ 的面积．9.(2023·福建三明·校考一模)在矩形ABCD中，连接AC，线段AE是线段AC绕点A逆时针旋转90°得到，平移线段AE得到线段DF(点A与点D对应，点E与点F对应)，连接BF，分别交AC，CE于点M，N，连接EF．(1)求证：BN=FN；(2)求∠ABF的大小；(3)若BM=x，FN=y，求矩形ABCD的面积(用含有x，y的式子表示)．10.(2023·湖北省直辖县级单位·校联考一模)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.将∠AOB绕点O沿逆时针方向旋转α0°≤α<90°得到∠EOF，OE，OF分别交AB，BC于点E，F，连接EF交OB于点G．(1)求证：①△OEF是等腰直角三角形；②△COF∽△BFG；(2)在旋转过程中，探究线段AC，EF，OG的数量关系，并说明理由；(3)若AB=3BE，OE=5，求线段OG，BF的长度．11.(2023·江苏盐城·统考一模)【问题思考】如图1，点E是正方形ABCD内的一点，过点E的直线AQ，以DE为边向右侧作正方形DEFG，连接GC，直线GC与直线AQ交于点P，则线段AE与GC之间的关系为．【问题类比】如图2，当点E是正方形ABCD外的一点时，【问题思考】中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；【拓展延伸】如图3，点E是边长为6的正方形ABCD所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则动点P 到边AD的最大距离为(直接写出结果)．12.(2023春·安徽合肥·八年级合肥市五十中学西校校考期中)(1)如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，现将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B 的对应点为B ，点C的对应点为C ，连接BB ，如图所示则∠AB B=．(2)如图2，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1，如果将△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△BP A，求∠BPC的度数和PP 的长；(3)如图3，将(2)题中“在等边△ABC内有一点P”改为“在等腰直角三角形ABC内有一点P”，且BA=BC，PA=6，BP=4，PC=2，求∠BPC的度数．13.(2023春·重庆合川·九年级重庆市合川中学校考阶段练习)如图1，△ABC与△EDC为等腰直角三角形，AC=BC=6，DE=DC=2，∠ACB=∠CDE=90°，将△EDC绕着点C旋转．(1)如图2，在旋转过程中，当A、C、E三点共线(E在AC延长线上)时，连接BE，过D点作AE的垂线交AE于点G，交BE于点F，求BF的长；(2)如图3，在旋转过程中，连接AE、BE，过点D作DF⊥AE于点G，交BE于点F，请写出EF与BF的数量关系并证明．(3)如图4，在(2)的条件下，连接CF、AF，当AF最小时，请直接写出△ACF的面积．14.(2023春·湖北十堰·九年级统考阶段练习)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A作AD⊥BC于点D，点M为线段AD上一点(不与A，D重合)，在线段BD上取点N，使DM=DN，连接AN，CM．(1)观察猜想：线段AN与CM的数量关系是，AN与CM的位置关系是；(2)类比探究：将△DMN绕点D旋转到如图2所示的位置，请写出AN与CM的数量关系及位置关系，并就图2的情形说明理由；(3)问题解决：已知AD=32，DM=3，将△DMN绕点D旋转，当以A、D、M、N四点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出BN的长．15.(2023·河南商丘·校考一模)综合与实践二轮复习中，刘老师以“最值问题”为专题引导同学们进行复习探究．问题模型：等腰三角形ABC，∠BAC=120°，AB=AC=2，(1)探究1：如图1，点D为等腰三角形ABC底边BC上一个动点，连接AD，则AD的最小值为，判断依据为；(2)探究2：在探究1的结论下，继续探究，作∠BAD的平分线AE交BC于点E，点F，G分别为AE，AD上一个动点，求DF+FG的最小值；(3)探究3：在探究1的结论下，继续探究，点M为线段CD上一个动点，连接AM，将AM顺时针旋转60°，得到线段AN，连接ND，求线段DN的最小值．16.(2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测)如图(1)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=3．点D是BC边上任意一点(不与B，C重合)，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，连接CE，点F为AD中点，连接CF，EF．(1)当BD=2CD时，判断四边形CDEF的形状，并证明．(2)点D在线段BC上的什么位置时，△DEF的面积最大？请说明理由．(3)如图(1)中的△BDE绕点B旋转到如图(2)所示位置，得到△BD E ，使得点A在直线D E 上，连接CE ，点F 为AD 中点，AD 与BC交于点G，其他条件不变．求证：AE -D E =2CF ．17.(2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考一模)如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点A关于直线BE的对称点为点F，连接AF，CF．设∠ABE=α，(1)试用含α的代数式表示∠DCF；(2)作CG⊥AF，垂足为G，点G在AF的延长线上，连接DG，试判断DG与CF的位置关系，并加以证明；(3)把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF，若△HBF是等腰三角形，求sinα的值．18.(2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB，点P和图形G定义如下：线段AB绕点P逆时针旋转90°得到线段A B (A 和B 分别是A和B的对应点)，若线段AB 和A B 均在图形G的内部(包括边界)，则称图形G为线段AB关于点P的旋垂闭图．(1)如图，点C1,0．，D3,0①已知图形G1：半径为3的⊙O；G2：以O为中心且边长为6的正方形；G3：以线段OD为边的等边三角形．在G1，G2，G3中，线段CD关于点O的旋垂闭图是．②若半径为5的⊙O是线段CD关于点T t,0的旋垂闭图，求t的取值范围；(2)已知长度为4的线段AB在x轴负半轴和原点组成的射线上，若存在点Q2+a,2-a，使得对半径为2的⊙Q上任意一点P，都有线段AB满足半径为r的⊙O是该线段关于点P的旋垂闭图，直接写出r的取值范围．19.(2023春·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考阶段练习)如图，抛物线y=ax2+2ax+c经过B1，0两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．，C0，3(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)如图1，连接AC，点E在直线AC上方的抛物线上，连接EA，EC，当△EAC面积最大时，求点E坐标；(3)如图2，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使∠ACM=∠BCO，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．20.(2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习)如图，直线y=-2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，以OB为直径的⊙M交AB于另一点C，点D在⊙M上．分别过点O，B 作直线CD的垂线段，垂足为E，F，连接OC．(1)求点A，B，C的坐标．(2)当点D在直线BC右侧时，①求证：EC⋅CF=OE⋅BF；②求证：EC=DF．(3)CD与EF的距离和是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请直接写出取到最小值时直线CD的解析式．21.(2023春·江苏无锡·九年级校考阶段练习)如图，平面直角坐标系中，已知A(-2，0)，B(4，0)，点C是在y轴的负半轴上，且△ABC的面积为9．(1)点C的坐标为；(2)P是第四象限内一点且横坐标为m，tan∠PBA=32．①连接AP，交线段BC于点D．根据题意画出示意图并求PDDA的值(用含m的代数式表示)；②连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB=90°，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．22.(2023·北京海淀·中关村中学校考模拟预测)如图，矩形AOBC的顶点B，A分别在x轴，y轴上，点C坐标是5，4，D为BC边上一点，将矩形沿AD折叠，点C落在x轴上的点E处，AD的延长线与x 轴相交于点F(1)如图1，求点D的坐标；(2)如图2，若P是AF上一动点，PM⊥AC交AC于M，PN⊥CF交CF于N，设AP=t，FN=s，求s与t之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由23.(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过A0,1．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个 ，B4,-1动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当5PD+PE的最大值时，求此时点P的坐标和5PD+PE的最大值；(3)将抛物线y关于直线x=3作对称后得新抛物线y ，新抛物线与原抛物线相交于点F，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面中任意一点，是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．24.(2023·吉林长春·统考一模)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=20，点D从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB方向运动，到点B停止．当点D与A、B两点不重合时，作DP⊥AC交AC于点P，作DQ⊥BC交BC于点Q．E为射线CA上一点，且∠CQE=∠BAC．设点D 的运动时间为t(秒)．(1)AB的长为．(2)求CQ的长．(用含有t的代数式表示)(3)线段QE将矩形PDQC分成两部分图形的面积比为1:3时，求t的值．(4)当t为某个值时，沿PD将以D、E、Q、A为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的t值．25.(2023·广东云浮·校考一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的其中两边分别在坐标轴上，它的两条对角线交于点E，其中OA=6cm，OB=8cm，动点M从点C出发，以1cm/s的速度在CB上向点B运动，动点N同时从点B出发，以2cm/s的速度在BO上向点O运动．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设它们运动时间是ts．(1)请直接写出BM，BN的长度；(2)当t为何值时，△MNB与△OBC相似；(3)记△MNE的面积为S，求出S与t的函数表达式，并求出S的最小值及此时t的值．26.(2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考阶段练习)如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连接AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．(1)求证：∠CAG=∠AGC；(2)当点E在AB上，连接AF交CD于点P，若EFCE =25，求DPCP的值；(3)当点E在射线AB上，AB=2，四边形ACOF中有一组对边平行时，求AE的长．27.(2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习)在△ABC中，AB=AC=10，△ABC的面积为30，点D为AC的中点，动点P由点A以每秒5个单位的速度向点B运动，连接PD，以PD、DC为邻边作▱PDCQ，设▱PDCQ与△ABC的重叠部分面积为S，设点P的运动时间为t t>0．(1)tan A=(2)求点Q落在BC上时t的值．(3)在点P运动的过程中，求S与t之间的函数关系式．(4)若点A关于PD所在直线的对称点为A ，当点A 落在△ABC一边上的高上时，直接写出t的值．28.(2023·山西晋中·统考一模)问题情境：在综合实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展活动．如图①，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，边长分别是12和13，将顶点A与顶点E重合，正方形EFGH绕点A逆时针方向旋转，连接BF，DH．初步探究：(1)试猜想线段BF与DH的关系，并加以证明；(2)如图②，在正方形EFGH的旋转过程中，当点F恰好落在BC边上时，连接CG，求线段CG的长；(3)在图②中，若FG与DC交于点M，请直接写出线段MG的长．29.(2023·江苏无锡·校联考一模)抛物线y=ax2+bx+3过点A-1，0，顶点为C．，点B3，0(1)直接写出抛物线的表达式及点C的坐标；(2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A，C不重合)的动点，连接PE，作∠PEF=∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的最大值．30.(2022春·上海徐汇·九年级统考期中)已知⊙O的直径AB=4，点P为弧AB上一点，连接PA、PO，点C为劣弧AP上一点(点C不与点A、P重合)，连接BC交PA、PO于点D、E．(1)如图，当AD=DP时，求DEEB；(2)当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；(3)当AD=2DP，且△BEO为直角三角形时，求BC的长．31.(2022·广东东莞·一模)如图，△ADE 由ΔABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ．(1)求∠BDE 的度数；(2)F 是EC 延长线上的点，且∠CDF =∠DAC ．①判断DF 和PF 的数量关系，并证明；②求证：EP PF =PC CF．32.(2023春·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考阶段练习)(1)问题发现：如图①，△ABC和△ADE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BD,CE．①线段BD,CE之间的数量关系为；②∠BEC的度数为．(2)拓展探究：如图②，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，点B,D,E在同一直线上，连接BD,CE，求BDCE的值及∠BEC的度数．(3)解决问题：如图③，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上，AD=3BD，求DFCF的值．33.(2023春·辽宁本溪·九年级统考阶段练习)如图(1)，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE相交于点F．小明和小军想要探究线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系．(1)问题探究：他们先将问题特殊化如图(2)，当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；(2)再探究一般情形如图(1)，当点D，F不重合时，(1)中的结论是否成立．若成立请证明，若不成立请写出正确结论并说明理由．(3)问题拓展：如图(3)，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC，EC=kDC(k是常数)，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF 之间的数量关系．34.(2023·河南洛阳·统考一模)综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：折叠正方形纸片ABCD，使顶点A落在边DC上点P处，得到折痕EF，把纸片展平；(如图1)操作二：折叠正方形纸片ABCD，使顶点B也落在边DC上点P处，得到折痕GH，GH与EF交于点O．连接OA，OB，OP．根据以上操作，直接写出图2中与OP相等的两条线段和．(2)探究发现把图2中的纸片展平，得到图3，小亮通过观察发现无论点P在线段DC上任何位置，线段OE和线段OF始终相等，请你直接用第一问发现的结论帮小亮写出完整的证明过程．(3)拓展应用已知正方形纸片ABCD的边长为6cm，在以上的探究过程中，当点O到AB距离是73cm时，请直接写出PC的长．35.(2023春·江苏南京·八年级校考期中)如图，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，GH折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将▱ABCD纸片按图①的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段∶S▱ABCD=．，；S矩形AEFG(2)▱ABCD纸片还可以按图②的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长．(3)如图③，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD<BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD，BC的长．36.(2023·吉林长春·校联考一模)如图，BD是▱ABCD的对角线，AB⊥BD，BD=8cm，AD=10cm．动点P从点D出发，以5cm/s的速度沿DA运动到终点A，同时动点Q从点B出发，沿折线BD-DC运动到终点C，在BD、DC上分别以8cm/s、6cm/s的速度运动，过点Q作QM⊥AB，交射线AB于点M，连结PQ；以PQ与QM为边作▱PQMN，设点P的运动时间为t s t>0，▱PQMN 与▱ABCD重叠部分图形的面积为S cm2．(1)AP=cm(用含t的代数式表示)．(2)当点N落在边AB上时，求t的值．(3)当点Q在线段DC上运动时，t为何值时，S有最大值？最大值是多少？(4)连结NQ，当NQ与△ABD的一边平行时，直接写出t的值．37.(2023·江苏淮安·统考一模)【基础模型】：如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B，求证：AC2=AD⋅AB．【尝试应用】：如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A，若BF=6，BE=4，求AD的长．【更上层楼】：如图，在菱形ABCD中，E是直线AB上一点，F是菱形ABCD内一点，EF⎳AC，AC=2EF，∠BAD，AE=2，DF=5，请直接写出菱形ABCD的边长．∠EDF=1238.(2023·广东深圳·统考一模)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AE，记旋转角为α，连接BE，过点B作BF⊥直线DE，垂足为点F，连接CF．(1)如图1，当α=30°时，△BEF的形状为，DECF的值为；(2)当90°<α<180°时，①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请根据图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②如图3，正方形ABCD边长为4，DN⊥BE，CM⊥BE，在AE旋转的过程中，是否存在△AMN与△BEF相似？若存在，则CF的值为，若不存在，请说明理由．39.(2023年浙江省宁波市初中学业水平考试数学模拟试卷(探花卷))(1)【问题初探】如图1，E是正方形ABCD的边BC上一点，延长BA至点F，使AF=CE，连接DE，DF．求证：△DCE≌△DAF．(2)【问题再探】如图2，E，M分别是正方形ABCD的边BC，AB上一点，分别过点M，E作MP⊥CD于点P，EQ⊥AD于点Q，线段QE，MP相交于点N．连接DM，DE，ME，PQ，若∠MDE= 45o．①求证：AM+CE=ME．②探究△NME和△NPQ的面积关系，并说明理由．(3)【问题延伸】如图3，在正方形ABCD中，E，M分别是射线CB，BA上一点，【问题再探】中的其余条件不变，请直接判断△NME和△NPQ的面积关系是否仍成立．40.(2023·湖南·校联考一模)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．(1)下列选项中一定是“等补四边形”的是；A.平行四边形；B.矩形；C.正方形；D.菱形(2)如图1，在边长为a的正方形ABCD中，E为CD边上一动点(E不与C、D重合)，AE交BD于点F，过F作FH⊥AE交BC于点H．①试判断四边形AFHB是否为“等补四边形”并说明理由；②如图2，连接EH，求△CEH的周长；③若四边形ECHF是“等补四边形”，求CE的长．41.(2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D为边AB的中点．动点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿BA运动到终点A．连结CP，作点D关于CP的对称点D ，连结PD ，设点P的运动时间为t秒．(1)点C、D之间的距离为．(2)用含t的代数式表示PD 的长．(3)当PD ⊥AB时，求△BCP的面积．(4)当点D 在△ABC内部时，直接写出t的取值范围．42.(2023春·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考阶段练习)模型建立：(1)如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ACD=∠B，求证：AC2=AD⋅AB；∠BAD，射(2)类比探究：如图2，在菱形ABCD中，E、F分别为边BC、DC上的点，且∠EAF=12线AE交DC的延长线于点M，射线AF交BC的延长线于点N．①求证：FA2=FC⋅FM；②若AF=4，CF=2，AM=10，求FN的长．43.(2023春·河南商丘·九年级校考阶段练习)如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点(不与点A，B重合)，连接AC，BC．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出∠ABC的平分线，交半圆O于点D．(保留作图痕迹，不写做法)(2)如图2，在(1)的条件下，过点D作半圆的切线，交BC的延长线于点F，作DE⊥AB于点E，连接BD．①求证：△BED≌△BFD．②若AB=8，BC=2CF，请直接写出DE的长．44.(2023春·广东广州·九年级华南师大附中校考阶段练习)四边形ABCD是正方形，E是直线BC上一点，连接AE，在AE右侧，过点E作射线EP⊥AE，F为EP上一点．(1)如图1，若点E是BC边的中点，且EF=AE，连接CF，则∠DCF=°；(2)如图2，若点E是BC边上一点(不与B，C重合)，∠DCF=45°，判断线段EF与AE的数量关系，并说明理由；(3)若正方形边长为1，且EF=AE，当AF+BF取最小值时，求△BCF的面积．45.(2023·湖北武汉·校联考一模)问题提出：如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，D是△ABC内一点，AD⊥CD，∠ACD=30°，若AD=1，连接BD，求BD的长．(1)问题探究：请你在图(1)中，用尺规作图，在AB左侧作△ABE，使△ABE∽△ACD．(用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，不说明理由)(2)根据(1)中作图，你可以得到CD与BE的位置关系是；你求得BD的长为；(3)问题拓展：如图(2)，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，D是△ABC内一点，若AD=7，BD=27，CD=4，求BC的长．46.(2023春·河北保定·九年级统考阶段练习)如图1，已知直线l 1：y =x +3，点B 0,b 在直线l 1上．y =mx +n 是过定点P 1,0 的一簇直线．嘉淇用绘图软件观察m 与n 的关系．记y =mx +n 过点B 时的直线为l 2．(1)求b 的值及l 2的解析式；(2)探究m 与n 的数量关系；当y =mx +n 与y 轴的交点为0,1 时，记此时的直线为l 3，l 3与l 1的交点记为A ，求AB 的长；(3)当y =mx +n 与直线l 1的交点为整点(横、纵坐标均为整数)，且m 的值也为整数时，称y =mx +n 为“美好直线”．①在如图2所示的视窗下(-2.5≤x ≤2.5，-2.5≤y ≤2.5)，求y =mx +n 为“美好直线”时m 的值；②视窗的大小不变，改变其可视范围，且变化前后原点O 始终在视窗中心．现将图2中坐标系的单位长度变为原来的1k，使得在视窗内能看到所有“美好直线”与直线y =x +3的交点，求k 的最小整数值．47.(2023·山东济南·统考一模)(1)①如图1，等腰△ABC(BC为底)与等腰△ADE(DE为底)，∠BAC=∠DAE，则BD与CE的数量关系为；②如图2，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，则sin∠DAC=；(2)如图3，在(1)②的条件下，点E在线段CD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，使∠EAF=∠DAC，连接CF．当AE=32时，求CF的长度；(3)如图4，矩形ABCD中，若AB=23，AD=6，点E在线段CD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连结CF，AE中点为G，CF中点为H，若GH=13，直接写出DE的长．48.(2023·浙江温州·统考一模)如图，点E，F分别为矩形ABCD边AD，CD上的点，以BE为直径作⊙O交BF于点G，且EF与⊙O相切，连结EG．(1)若AE=EG，求证：△ABE≌△GBE．(2)若AB=2，tan∠EBF=12．①求DE的长．②连结AG，若△ABG是以AG为腰的等腰三角形，求所有满足条件的BC的长．(3)连结CG，若CG的延长线经过点A，且ED=EG，求CGEF的值．49.(2023春·山东济南·九年级校考阶段练习)小明同学和小红同学分别拿着一大一小两个等腰直角三角板，可分别记作△ABC和△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°．问题的产生：两位同学先按照图1摆放，点D，E在AB、AC上，发现BD和CE在数量和位置关系分别满足BD= CE，BD⊥CE．问题的探究：(1)将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度，如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连接BD，CE，上述结论依然成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，并说明理由．问题的延伸：继续将△ADE绕点A逆时针旋转，如图3，点D、E都在△ABC的外部，连接BD，CE，CD，EB，BD和CE相交于点H．(2)若BD=19，求四边形BCDE的面积．(3)若AB=3，AD=2，设CD2=x，EB2=y，直接写出y和x的函数关系式．50.(2023·湖南长沙·校联考模拟预测)对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B(点A，B可以重合)，在图形W2上存在两点M，N(点M，N可以重合)使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．(1)如图1，点C(3,0),D(0,-1),E(0,1)，点P在线段CE上运动(点P可以与点C，E重合)，连接OP,DP．①线段DP的最小值为，最大值为；线段OP的取值范围是；②点O与线段DE(填“是”或“否”)满足限距关系；(2)在(1)的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点G纵坐标的取值范围；(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，3为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围；。
中考数学练习试题 探索型问题
义务教育基础课程初中教学资料课后强化训练37探索型问题一、选择题1．如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是(B)(第1题)A．y＝2n＋1 B．y＝2n＋nC．y＝2n＋1＋n D．y＝2n＋n＋1【解析】观察可知，左上方三角形的数据规律为：1，2，…，n，右上方三角形的数字规律为：2，22，…，2n，下边三角形的数字规律为：1＋2，2＋22，…，n＋2n，∴y＝2n＋n.故选B.2．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M 为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为(B)A.2π B．πC．2 2 D．2(第2题)(第2题解)【解析】∵AC＝BC＝22，∠ACB＝90°，∴AB＝4.取AB的中点E，连结CE，取CE的中点F，连结PE，MF，如解图，则FM＝12PE＝14AB＝1，故点M的运动轨迹为以点F为圆心，1为半径的半圆弧，即路径长为12×2π×1＝π.3．如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△A n B n A n＋1都是等腰直角三角形，其中点A1，A2，…，A n在x轴上，点B1，B2，…，B n在直线y＝x上．已知OA1＝1，则OA2017的长为(A)A. 22016B. 4032C. 22017D. 4034(第3题)【解析】 ∵△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…，△A n B n A n ＋1都是等腰直角三角形， ∴A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4，…，A n B n ＝A n A n ＋1；∠B 1A 1A 2，∠B 2A 2A 3，∠B 3A 3A 4，…，∠B n A n A n ＋1都是直角．∵点A 1，A 2，…，A n 在x 轴上，点B 1，B 2，…，B n 在直线y ＝x 上，∴OA 1＝A 1B 1，OA 2＝A 2B 2, OA 3＝A 3B 3，…，OA n ＝A n B n .∴OA 1＝A 1A 2，OA 2＝A 2A 3，OA 3＝A 3A 4，…，OA n ＝A n A n ＋1. ∵OA 1＝1，∴OA 2＝OA 1＋A 1A 2＝1＋1＝2. ∴OA 3＝OA 2＋A 2A 3＝2＋2＝4＝22. ∴OA 4＝OA 3＋A 3A 4＝4＋4＝8＝23……∴OA n ＝2n －1. ∴OA 2017＝22016. 二、填空题4．如图①～④，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图⑩中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S 1，S 2，S 3，…，S 10，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝__π__．(第4题)【解析】 ①如解图①，过点O 作OE ⊥AC ，OF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则∠OEC ＝∠OFC ＝90°.∵∠C ＝90°，∴四边形OECF 为矩形． 又∵OE ＝OF ，∴矩形OECF 为正方形．设⊙O 的半径为r ，则CE ＝CF ＝OE ＝OF ＝r ， ∴AD ＝AE ＝3－r ，BD ＝BF ＝4－r ，∴3－r ＋4－r ＝5，∴r ＝3＋4－52＝1，∴S 1＝π×12＝π.②如解图②，∵S △ABC ＝12×3×4＝12×5×CD ，∴CD ＝125.由勾股定理，得AD ＝32－⎝⎛⎭⎫1252＝95，∴BD ＝5－95＝165.同①可得⊙O 的半径＝95＋125－32＝35，⊙E 的半径＝125＋165－42＝45，∴S 1＋S 2＝π×⎝⎛⎭⎫352＋π×⎝⎛⎭⎫452＝π. ③如解图③，∵S △CDB ＝12×125×165＝12×4×MD ，∴MD ＝4825.由勾股定理，得CM ＝⎝⎛⎭⎫1252－⎝⎛⎭⎫48252＝3625，∴MB ＝4－3625＝6425.同①可得⊙O 的半径＝35，⊙E 的半径＝4825＋3625－1252＝1225，⊙F 的半径＝4825＋6425－1652＝1625，∴S 1＋S 2＋S 3＝π×⎝⎛⎭⎫352＋π×⎝⎛⎭⎫12252＋π×⎝⎛⎭⎫16252＝π. ……由上述规律可知，图⑩中，S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝π.(第4题解)5．如图，抛物线y ＝x 2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A 1，A 2，A 3，…，A n .将抛物线y ＝x 2沿直线l ：y ＝x 向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：(第5题)①抛物线的顶点M 1，M 2，M 3，…，M n 都在直线l ：y ＝x 上；②抛物线依次经过点A 1，A 2，A 3，…，A n .则顶点M 2016的坐标为(4031，4031)．【解析】 设M 1(a 1，a 1)是抛物线y 1＝(x －a 1)2＋a 1的顶点．由抛物线y ＝x 2与y 1＝(x －a 1)2＋a 1交于点A 1，得x 2＝(x －a 1)2＋a 1，∴2a 1x ＝a 21＋a 1，解得x ＝12(a 1＋1)，即点A 1的横坐标为12(a 1＋1)． 易知点A 1(1，1)，∴a 1＝1，∴点M 1(1，1)．同理，a 2＝3，点M 2(3，3)；a 3＝5，点M 3(5，5)…… ∴a 2016＝2016×2－1＝4031，∴点M 2016(4031，4031)． 三、解答题(第6题)6．如图，在锐角三角形纸片ABC 中，AC ＞BC ，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上．(1)已知：DE ∥AC ，DF ∥BC .①四边形DECF 一定是什么四边形？②当AC ＝24cm ，BC ＝20cm ，∠ACB ＝45°时，请你探索：如何裁剪四边形DECF ，能使它的面积最大，并证明你的结论．(2)请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D ，E ，C ，F ，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．【解析】 (1)①∵DE ∥AC ，DF ∥BC ， ∴四边形DECF 是平行四边形．②当F 为AC 的中点时，剪得的四边形DECF 的面积最大．证明如下： 如解图①，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，交DF 于点H . ∵∠ACB ＝45°，AC ＝24，∴AG ＝12 2.设DF ＝EC ＝x ，▱DECF 的高为h ，则AH ＝122－h .∵DF ∥BC, ∴DF BC ＝122－h 122，即x 20＝122－h122，(第6题解①)∴x ＝20－526h .∴S ＝xh ＝－526h 2＋20h .∵－b 2a ＝－202×⎝⎛⎭⎫－526＝62，∴当h ＝62时，S 有最大值，此时H 为AG 的中点． 又∵DF ∥BC ，∴此时F 为AC 的中点．(第6题解②)∴当F 为AC 的中点时，剪得的四边形DECF 的面积最大．(2)如解图②.折法：第一步，沿∠ACB 的对角线对折，使点B 落在AC 上，折痕交AB 于点D ；第二步，将CD 对折，使点C 与点D 重合，折痕分别交BC ，AC 于点E ，F .理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．7．在平面直角坐标系中，设x 轴为直线l ，函数y ＝－3x ，y ＝3x 的图象分别是直线l 1，l 2，⊙P (以点P 为圆心，1为半径)与直线l ，l 1，l 2中的两条相切，例如(3，1)就是其中一个⊙P 的圆心坐标．(1)写出其余满足条件的⊙P 的圆心坐标．(2)在图中标出所有圆心，并用线段依次连结各圆心，求所得几何图形的周长．(第7题)【解析】 (1)①若⊙P 与直线l 和l 2都相切，如解图①.当点P 在第四象限时，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，连结OP . 设y ＝3x 的图象与x 轴的夹角为α.当x ＝1时，y ＝3，∴tan α＝3，∴α＝60°.由切线长定理，得∠POH ＝12(180°－60°)＝60°.∵PH ＝1，∴tan ∠POH ＝PH OH ＝1OH＝3，∴OH ＝33.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫33，－1；同理，当点P 在第二象限时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－33，1；当点P 在第三象限时，点P 的坐标为(－3，－1)． ②若⊙P 与直线l 和l 1都相切，如解图②.同理于①，当点P 在第一象限时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫33，1；当点P 在第二象限时，点P 的坐标为(－3，1)；当点P 在第三象限时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－33，－1；当点P 在第四象限时，点P 的坐标为(3，－1)． ③若⊙P 与直线l 1和l 2都相切，如解图③.同理于①，当点P 在x 轴的正半轴上时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫233，0；当点P 在x 轴的负半轴上时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－233，0；当点P 在y 轴的正半轴上时，点P 的坐标为(0，2)； 当点P 在y 轴的负半轴上时，点P 的坐标为(0，－2)． 综上所述，其余满足条件的⊙P 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫33，－1，⎝⎛⎭⎫－33，1，(－3，－1)，⎝⎛⎭⎫33，1， (－3，1)，⎝⎛⎭⎫－33，－1，(3，－1)，⎝⎛⎭⎫233，0，⎝⎛⎭⎫－233，0，(0，2)，(0，－2)．(第7题解)(2)用线段依次连结各圆心，所得几何图形如解图④所示．由图可知：该几何图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，∴该几何图形所有的边都相等．∴该几何图形的周长＝12×⎝⎛⎭⎫3－33＝8 3.8．在平面直角坐标系中，点O 为原点，平行于x 轴的直线与抛物线l ：y ＝ax 2相交于A ，B 两点(点B 在第一象限)，点D 在AB 的延长线上．(1)已知a ＝1，点B 的纵坐标为2.①如图①，向右平移抛物线l ，使该抛物线经过点B ，与AB 的延长线交于点C ，求AC 的长．②如图②，若BD ＝12AB ，过点B ，D 的抛物线l 2的顶点M 在x 轴上，求该抛物线的函数表达式．(2)如图③，若BD ＝AB ，过O ，B ，D 三点的抛物线l 3的顶点为P ，对应函数的二次项系数为a 3，过点P 作PE ∥x 轴交抛物线l 于E ，F 两点，求a 3a 的值，并直接写出ABEF的值．(第8题)【解析】 (1)①对于二次函数y ＝x 2，当y ＝2时，2＝x 2，解得x 1＝2，x 2＝－2， ∴AB ＝2 2.∵平移得到的抛物线l 1经过点B ， ∴BC ＝AB ＝2 2. ∴AC ＝4 2.②记抛物线l 2的对称轴与AD 相交于点N .根据抛物线的轴对称性，得BN ＝12DB ＝14AB ＝22，∴OM ＝322.设抛物线l 2的函数表达式为y ＝a 2⎝⎛⎭⎫x －3222. 由①得，点B 的坐标为(2，2)，∴2＝a 2⎝⎛⎭⎫2－3222，解得a 2＝4， ∴抛物线l 2的函数表达式为y ＝4⎝⎛⎭⎫x －3222， 即y ＝4x 2－122x ＋18.(2)如解图，设抛物线l 3与x 轴异于原点的交点为G ，其对称轴与x 轴交于点Q ，过点B作BK ⊥x 轴于点K ，(第8题解)设OK ＝t ，则BD ＝AB ＝2t ，点B 的坐标为(t ，at 2)． 根据抛物线的轴对称性，得OQ ＝2t ，OG ＝2OQ ＝4t . 设抛物线l 3的函数表达式为y ＝a 3x (x －4t )． ∵该抛物线过点B (t ，at 2)， ∴at 2＝a 3t (t －4t )．又∵t ≠0，∴a 3a ＝－13.AB EF ＝32. 9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，AD ＝8 cm ，点P 从点B 出发，沿对角线BD 向点D 匀速运动，速度为4 cm/s ，过点P 作PQ ⊥BD 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得点N 落在射线PD 上，点O 从点D 出发，沿DC 向点C 匀速运动，速度为3 m/s ，以O 为圆心，0.8 cm 为半径作⊙O .点P 与点O 同时出发，设它们的运动时间为t (单位：s)⎝⎛⎭⎫0<t <85. (1)如图①，连结DQ ，当DQ 平分∠BDC 时，t 的值为__1__．(2)如图②，连结CM ，若△CMQ 是以CQ 为底的等腰三角形，求t 的值． (3)请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O 始终在QM 所在直线的左侧．②如图③，在运动过程中，当QM 与⊙O 相切时，求t 的值，并判断此时PM 与⊙O 是否也相切？说明理由．(第9题)【解析】 (1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠C ＝∠ADC ＝∠ABC ＝90°，CD ＝AB ＝6，BC ＝AD ＝8， ∴BD ＝AD 2＋AB 2＝62＋82＝10. ∵PQ ⊥BD ，∴∠BPQ ＝90°＝∠C .∵∠PBQ ＝∠CBD ，∴△PBQ ∽△CBD ， ∴PB CB ＝PQ CD ＝BQ BD ， ∴4t 8＝PQ 6＝BQ10，∴PQ ＝3t ，BQ ＝5t . ∵DQ 平分∠BDC ，QP ⊥DB ，QC ⊥DC ， ∴QP ＝QC ，∴3t ＝8－5t ，∴t ＝1.(2)如解图①，过点M 作MT ⊥BC 于点T . ∵MC ＝MQ ，MT ⊥CQ ，∴TC ＝TQ .由(1)可知TQ ＝12(8－5t )，QM ＝3t .∵MQ ∥BD ，∴∠MQT ＝∠DBC . 又∵∠MTQ ＝∠BCD ＝90°， ∴△QTM ∽△BCD ， ∴QM BD ＝QT BC， ∴3t 10＝12（8－5t ）8， ∴t ＝4049.∴当t ＝4049时，△CMQ 是以CQ 为底的等腰三角形．(3)①如解图①，设QM 所在直线交CD 于点E . ∵EQ ∥BD ， ∴EC CD ＝CQ CB， ∴EC ＝34(8－5t )，∴ED ＝DC －EC ＝6－34(8－5t )＝154t .∵OD ＝3t ，∴OD ＜ED ，∴点O 始终在QM 所在直线的左侧．(第9题解①) (第9题解②)②如解图②，设MQ 与⊙O 相切时，切点为H ，连结OH .∵EC ＝34(8－5t )，OD ＝3t ，∴OE ＝6－3t －34(8－5t )＝34t .∵OH ⊥MQ ，∴∠OHE ＝90°. ∵∠HEO ＝∠CEQ ，∴∠HOE ＝∠CQE ＝∠CBD ， ∴△OHE ∽△BCD ，∴OH BC ＝OE BD ，∴0.88＝34t10，∴t ＝43. ∴当t ＝43时，⊙O 与直线QM 相切．如解图②，连结PM ，假设PM 与⊙O 相切，则∠OMH ＝12PMQ ＝22.5°，在MH 上取一点F ，使得MF ＝FO ，则∠FMO ＝∠FOM ＝22.5°， ∴∠FOH ＝∠OFH ＝45°，∴OH ＝FH ＝0.8，FO ＝FM ＝452，∴MH ＝45(2＋1)．由OH BC ＝HE CD ，得HE ＝35， 由EC DC ＝EQ DB ，得EQ ＝53， ∴MH ＝MQ －HE －EQ ＝4－35－53＝2615.∵45(2＋1)≠2615，矛盾， ∴假设不成立．∴直线PM 与⊙O 不相切．。
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尧旭教育个性化辅导授课案教师：学生时间年月日段
一授课内容：探究性问题
二教学过程
[一]、中考专题诠释
探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．
[二]、解题策略与解法精讲
由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．
3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．
4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．
以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．
[三]、考点精析
考点一：动态探索型：
此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．
例1 如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
考点二：结论探究型：
此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目．
例2 如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．
（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；
（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）
考点三：规律探究型：
规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.
例3如图所示，已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x
轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．
（1）求二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式；
（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；
（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；
（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
考点四：存在探索型：
此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．
例4 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=6，点C的坐标为（﹣9，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=2，OD=2BD，求直线DE的解析式；
（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，是否存在点P，使以O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
[四] 课堂检测
1.（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
2.在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB 为边构造矩形AOBC．
（1）如图1，当点A的横坐标为时，矩形AOBC是正方形；
（2）如图2，当点A的横坐标为时，
①求点B的坐标；
②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=﹣x2，试判断抛物线y=﹣x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．
3. 如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF 显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：
证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．
∵∠AEF=90°
∴∠FEC+∠AEB=90°
又∵∠EAM+∠AEB=90°
∴∠EAM=∠FEC
∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点
∴AM=EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME=135°
又∵CF是正方形外角的平分线
∴∠ECF=135°
∴△AEM≌△EFC（ASA）
∴AE=EF
（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．
（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．
4. 如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0）、B（0，1）、C（d，2）．
（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
三、学生对于本次课的评价：
○特别满意○满意○一般○差
学生签字：
四、教师评定：
1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差
教师签字：
教导处签字: _______
尧旭教育教导处
年月日。