5 系统的稳定性解析
控制工程基础：第五章 控制系统稳定性分析
时，系统闭环后稳定。
2
Nyquist 稳定性判据2
1、若开环传递函数在s右半平面无极点时，当从0变化
时，如果Nyquist曲线不包围临界点(-1, j0)，则系统稳定。
如果Nyquist曲线包围临界点(-1, j0)，则系统不稳定。
❖ 系统稳定性定义：
❖
控制系统处于某一平衡状态下受到扰动作用而偏离了 原来的平衡状态，在干扰消失后系统又能够回到原来的平衡 状态或者回到原平衡点附近，则称该系统是稳定的，否则， 该系统就是不稳定的。
❖
稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统本身的 结构和参数，而与初始状态和外作用无关。
m
F
F
单摆系统稳定
p(s)
p(s) DK (s)
系统稳定的充要条件:特征方程的根全部具有负实部
（闭环极点均在s平面的左半平面）。
即系统稳定的充要条件为：F(s)的零点都位于s平面 的左半平面。
GB(s)
F(s)
Gk(s)
零点
极点
零点
极点
极点
零点
1、若开环极点均在s平面左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论：
arg[
DK
两种特殊情况
1、劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不 等于零或不全为零 处理方法：
用一个很小的正数 代替该行第一列的零，并据此计算出
阵列中的其余各项。然后令 0 ，按第一列系数进行
判别。
如果零上下两项的符号相同，则系统存在一对虚根，处于临 界稳定状态：如果零上下两项的符号不同，则表明有一个符 号变化，系统不稳定。
0
1
c1
1
b1
a1 b1
a3 110 (7)5 6.43
原创11：5.5 生态系统的稳定性
北极苔原生态系统
（地衣是主要的生产者）
一般来说，生态系统中的组分越多，食物网越复杂， 其自我调节能力就越强，抵抗力稳定性就越高。
森林局部火灾后，森林还能恢复原状吗？ 其核心是：遭到破坏，恢复原状。 2、恢复力稳定性：生态系统在受到外界干扰的破坏后恢 复到原状的能力，叫做恢复力稳定性。
热带雨林在遭到严重的砍伐，草原受到极度放牧后， 恢复原状的时间漫长，难度极大！
抵抗力稳定性强，恢复力稳定性弱！反之。
思考：为什么要建造农田防护林？
（二）提高生态系统的稳定性 1、控制对生态系统干扰的程度，对生态系统的利用 应该适度，不应超过生态系统的自我调节能力。
2、对人类利用强度较大的生态系统，应实施相应的 物质能量投入，保证生态系统内部结构与功能的协调。
三、设计生态缸并观察其稳定性
19
（5）生态缸的采光用散射光 防止水温过高导致水生生物死亡
（6）选择生命力强的生物,动物不宜太多,个体不宜太大 容易适应新生态环境,减少对O2的消耗,防止O2的产生量小 于消耗量
20
课堂小结
课堂练习
1.下列关于生态系统稳定性的叙述，正确的是（ B ） A.“野火烧不尽，春风吹又生”说明生态系统具有抵抗力稳定 性 B.增加该生态系统内各营养级生物的种类可提高该区域生态 系统的自我调节能力 C.抵抗力稳定性越低的生态系统，其恢复力稳定性就越高 D.生态系统的成分越复杂，自我调节的能力就越弱
二、抵抗力稳定性和恢复力稳定性
生态系统的自我调节能力有一定限度超过限度，难以恢复。
资料：当草原遭受蝗虫的采食后，草原植物就会增强其 再生能力，尽可能减缓种群数量的下降；
当森林遭遇持续的干旱气候时，树木往往扩展根系 的分布空间，以保证获得足够的水分，维持生态系统正 常的功能。
第5章 系统的稳定性
s5 s4 s s
3
1
24
48
0
96
25
50 0
F (s) 2s 4 48s 2 50 0
取F(s)对s的导数得新方程：
2
0
8
24
0
F (s) 8s3 96s 0
用上式中的系数8和96代替0元 行，继续进行运算。
2
50
0
0
s1 s0
112 .7
50
改变符号一次
武汉理工大学材料学院 当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将按顺时针方 向旋转N 周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N 周，这就等于曲线LF 顺时针包围原点N 次。若令Z 为包围于Ls内的F(s)的零点数，P 为包 围于Ls 内的F(s)的极点数，则有 N ＝Z－P
j
Im
(5.3.2)
武汉理工大学材料学院
（2）令s＝z－1，代入特征方程得：
( z 1)3 14( z 1)s 2 40( z 1) 40K 0
即
z 3 11z 2 15z 40K 27 0
由Routh表和Routh判据得：
列Routh表如下：
s3
1
11
15
s2
40 K 27
4 2
解此辅助多项式可得：
s 1; s j5
这两对复根是原特征方程的根的一部分。
武汉理工大学材料学院
四、相对稳定性的检验
对于稳定的系统，应用Routh判据还可以检验系统 的相对稳定性。方法如下： （1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s＝z－ σ (σ 为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特 征方程。
第五章系统的稳定性-机械工程控制基础-教案
Chp.5系统稳定性基本要求1．了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件；2．掌握Routh判据的必要条件和充要条件，学会应用Routh判据判定系统是否稳定，对于不稳定系统，能够指出系统包含不稳定的特征根的个数；3．掌握Nyquist 判据；4．理解Nyquist 图和Bode 图之间的关系；5．掌握Bode 判据；6．理解系统相对稳定性的概念，会求相位裕度和幅值裕度，并能够在Nyquist 图和Bode 图上加以表示。
重点与难点本章重点1．Routh 判据、Nyquist 判据和Bode 判据的应用；2．系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度求法及其在Nyquist图和Bode 图的表示法。
本章难点Nyquist 判据及其应用。
§1 概念示例：振摆1、稳定性定义：若系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于0，则系统稳定；反之，系统过渡过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。
（图5.1.2）讨论：①线性系统稳定性只取决于系统内部结构和参数，是一种自身恢复能力。
与输入量种类、性质无关。
②系统不稳定必伴有反馈作用。
（图5.1.3）若x0(t)收敛，系统稳定；若x0(t)发散，则系统不稳定。
将X0(s)反馈到输入端，若反馈削弱E(s) →稳定若反馈加强E(s) →不稳定③稳定性是自由振荡下的定义。
即x i(t)=0时，仅存在x i(0-)或x i(0+)在x i(t)作用下的强迫运动而系统是否稳定不属于讨论范围。
2、系统稳定的条件：对[a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0]x0(t)=[b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0]x i(t)令B(s)= a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0 A(s)= b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0初始条件：B0(s) A0(s)则B(s)X0(s)- B0(s)= A(s)X i(s)- B0(s)X i(s)=0,由初始条件引起的输出：L-1变换根据稳定性定义，若系统稳定须满足，即z i为负值。
第五章 控制系统的稳定性分析
arctan
b a
2
arctan
j
b a
jw
1
s1 tan1 b
b
a
a Re
22
若上式b为负值，则角增量为
2
2
arctan
b a
如图：
j
jw
a
2
Re
tan1 b
s2
a b
23
若根在右半平面，其角增量如图所示，
j jw
tan1 b
3
b
a
a
Re
为
2
2
arctan
b a
24
现考虑n次多项式 Ds，且在原点有q个零点，可表示为
代入D(s)并命w从0增大到 时,复数D(s)的角连续增
大 ng
2
二 乃奎斯特稳定判据
1 反馈系统开环和闭环的特征方程式
Xi s
X0 s
27
该单位反馈系统的开环传递函数为
G
s
MK s DK S
闭环传递函数为
s
Gs 1Gs
DK
MK s s Mk
s
MK s Db s
令：F
s
1
G
s
1
MK DK
s s
arg1 G( j。w) 90o
列 系统的开环传递函数为
Go
(s)
(T1s
K 1)(T2s 1)(T3s
1)
讨论开环增益K的大小对系 统稳定性的影响
解：这是一个三阶系统，没有开环零点，且开环极点全部 位于左半s平面，因此是最小相位系统。 作极坐标草图，先计算极限值：
32
=0时，有
A(0) K
_高中生物第五章生态系统及其稳定性第5节生态系统的稳定性四作业含解析新人教版必修
第5节生态系统的稳定性基础巩固1．下图为某一生态系统稳定性图解，对此理解不正确的是( )。
A．a为抵抗力稳定性，b为恢复力稳定性B．a为恢复力稳定性，b为抵抗力稳定性C．恢复力稳定性与营养结构复杂程度呈相反关系D．抵抗力稳定性与恢复力稳定性呈相反关系答案 B解析生物种类越多、营养结构越复杂，抵抗力稳定性就越强，恢复力稳定性就越弱。
因此，一般情况下恢复力稳定性与营养结构复杂程度呈负相关，且一般情况下，抵抗力稳定性与恢复力稳定性呈相反关系。
2．下列关于生态系统的叙述，正确的是( )。
A．草原生态系统因物种单一，其恢复力稳定性差B．发菜没有叶绿体，在生态系统中不属于第一营养级C．生态系统的自我调节能力越强，意味着其营养结构越复杂D．我国南方热带雨林中分解者的代谢活动比北方森林中的弱答案 C解析营养结构越简单，恢复力稳定性越强；发菜没有叶绿体，但可以进行光合作用，在生态系统中属于第一营养级，生态系统的自我调节能力越强，意味着其营养结构越复杂，我国南方热带雨林中分解者的代谢活动比北方森林中的强，所以C选项正确。
3．下列不属于生态系统为维持稳态而进行的负反馈调节的是( )。
A．生物种群密度的调控B．异种生物种群之间的数量调控C．生物群落与无机环境之间的相互调控D．受到污染的湖泊，死亡腐烂的鱼对湖泊生态系统的影响答案 D解析生态系统为维持自身稳态而进行的负反馈调节可表现为生物种群密度的调控、异种生物种群之间的数量调控以及生物群落与无机环境之间的相互调控等。
D选项表现为正反馈调节，最终会破坏湖泊生态系统的稳定性。
巩固提升4．下列关于生态系统稳定性的叙述，错误的是( )。
A．在一块牧草地上播种杂草形成杂草地后，其抵抗力稳定性提高B．在一块牧草地上通过管理提高某种牧草的产量后，其抵抗力稳定性提高C．在一块牧草地上栽种乔木形成树林后，其恢复力稳定性下降D．一块弃耕后的牧草地上形成灌木林后，其抵抗力稳定性提高答案 B解析生态系统的稳定性包括抵抗力稳定性和恢复力稳定性。
线性系统理论(第五章)系统运动的稳定性
的一个状态 。
t [t0,)
如果 xe 不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0，
因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。
对线性定常系统：x Ax 其平衡状态 Axe 0
A 非奇异，只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
主要内容为： •外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫意义下稳定性的一些基本概念 •李亚普诺夫第一法 •李亚普诺夫第二法 •性连续系统的稳定性 •线性定常离散系统的稳定性
§5.1 外部稳定性和内部稳定性
一、外部稳定性
外部稳定性：称一个因果系统为外部稳定（BIBO）是指对任何
一个有界输入u(t), ‖u(t)‖≤β1<∞ t [t0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即
§5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
一、李亚普诺夫第一方法和第二方法 李亚普诺夫第一方法也称李亚普诺夫间接法，属于小范围 稳定性分析方法。是求出线性化以后的常微分方程的解， 从而分析原系统的稳定性。
李亚普诺夫第二方法也称李亚普诺夫直接法，不需要求解 微分方程的解，就能够提供系统稳定性的信息。
x2 x2
fx22
可见，只有在 x2 0 时，d E / dt 0 。在其他各处均有d E / dt 0 ，
这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
二、自治系统、平衡状态和受扰运动
1、自治系统：没有输入作用的一类动态系统
x f (x,t) x(t0) x0 t [t0,)
A 奇异，存在无穷多个平衡状态。
3、受扰运动：动态系统的受扰运动定义为其自治系统由初始 状态扰动 x0 引起的一类动态运动，即系统的状态零输入响 应。
《自动控制原理》第五章：系统稳定性
5.2 稳定的条件
当σi和λi均为负数，即特征根的 σi和λi均为负数， 均为负数 实部为负数，系统是稳定的； 实部为负数，系统是稳定的； 或极点均在左平面。 或极点均在左平面。
5.3 代数稳定性判据
定常线性系统稳定的充要条件 定常线性系统稳定的充要条件是特征方程的根具有负 充要条件是特征方程的根具有负 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。为 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布， 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，这样 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性， 也就产生了一系列稳定性判据。 也就产生了一系列稳定性判据。 其中最主要是E.J.Routh(1877 )h和Hurwitz（ 其中最主要是E.J.Routh(1877年)h和Hurwitz（1895 E.J.Routh(1877年 年）分别提出的代数判据。 分别提出的代数判据 代数判据。
习题讲解： 习题讲解：
µ
G1
Q21
G1
h2
k1 k1 G1 ( s ) = , G1 ( s ) = (T1s + 1) (T1s + 1) k1k 2 G0 ( s ) = (T1s + 1)(T2 s + 1)
kp
G0 ( s ) G(s) = 1 + G0 ( s ) K p
5.4 Nyquist稳定性判据 Nyquist稳定性判据
系统稳定的条件？ 系统稳定的条件？
5.2 稳定的条件
d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) 线性系统微分方程： 线性系统微分方程： n a + an −1 + L + a1 + a0 y (t ) n ( n −1) dt dt dt d m x(t ) d ( m −1) x(t ) dx(t ) = bm + bm−1 + L + b1 + b0 x(t ) m ( m −1) dt dt dt d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) + a( n −1) + L + a1 + a0 y (t ) = 0 齐次微分方程： 齐次微分方程： an n ( n −1) dt dt dt an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0 = 0 设系统k 设系统k个实根
【高中生物】必修三第5章第5节生态系统的稳定性
第5章生态系统及其稳定性第5节生态系统的稳定性【学习目标】1.阐明生态系统的自我调节能力2举例说明抵抗力稳定性和恢复力稳定性3.简述提高生态系统稳定性的措施4.设计并制作生态缸，观察其稳定性【学习重难点】1．阐明生态系统的自我调节能力2.抵抗力稳定性和恢复力稳定性的概念【自主学习与点拨】知识点一、生态系统的自我调节能力生态系统的自我调节能力的基础：负反馈调节在生态系统中普遍存在1．生态系统所具有的或自身结构和功能相对稳定的能力，叫做生态系统的稳定性。
2．负反馈调节在生态系统中普遍存在，它是生态系统的基础。
知识点二、抵抗力稳定性和恢复力稳定性3．生态系统的稳定性表现在两个方面：一方面是生态系统并使的能力，叫做抵抗力稳定性；另一方面是生态系统在的能力，叫做恢复力稳定性。
4．一般来说，生态系统中的组分越，食物网越，其自动调节能力就，抵抗力稳定性就。
知识点三、提高生态系统的稳定性5．提高生态系统的稳定性，一方面要，对生态系统的利用应该，不应超过生态系统的自我调节能力；另一方面，对人类利用强度较大的生态系统，应实施相应的投入，保证生态系统内部的协调。
【思考与交流】〖例1〗下列生态系统中自动调节能力最强的是（）A. 温带阔叶林 B．热带雨林 C．寒带针叶林 D. 温带草原解析：生态系统具有抵抗力稳定性主要是由于其内部具有一定的自动调节能力，生态系统的自动调节能力有大有小。
一般地说，生态系统的成分越单纯，营养结构越简单，自动调节能力就越小。
题中的四个生态系统中生物成分最复杂的是热带雨林，在热带雨林生态系统中，动植物种类繁多，营养结构非常复杂，假如其中的某种植食性动物大量减少，它在食物网中的位置还可以由这个营养级的多种生物代替，整个生态系统的结构和功能仍然能够维持在相对稳定的状态，其自动调节能力最强。
答案:B。
〖例2〗(2000年上海卷)在某个池塘生态系统中，因污染导致水生植物大量死亡后，池塘中首先减少的物质是（）A．CO2 B．O2 C．硝酸盐 D．磷酸盐解析：生态系统发展到一定阶段，都具有一定的自动调节能力。
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
第五章 系统的稳定性PDF
第五章系统的稳定性讲授内容5.1系统稳定的初步概念一、稳定性的定义系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力。
若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统为不稳定的。
线性系统的稳定性是系统的固有特性，仅与系统的结构及参数有关；而非线性系统的稳定性不仅与系统的结构及参数有关，而且还与系统的输入有关。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是的系统所有特征根的实部全都小于零，或系统传递函数的所有极点均分布在s平面的左半平面内。
若系统传递函数的所有极点中，只有一个位于虚轴上，而其它极点均分布在s平面的左半平面内，则系统临界稳定。
而临界稳定的系统极易因为系统的结构或参数的细微变化而变成不稳定的系统。
因此，临界稳定往往也归结为不稳定的一种。
5.2 （劳斯）稳定判据Routh Routh 判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
一、系统稳定的必要条件要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
Routh 运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
Routh Routh 运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
Routh Routh Routh Routh 在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：Routh 1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
第五章 控制系统的稳定性
例 5 - 2. 设有下列特征方程 s 4 + 2s 3 + 3s 2 + 4s + 5 = 0
试用Routh判据判别该特征方程正实部根的个数。 判据判别该特征方程正实部根的个数。 试用 判据判别该特征方程正实部根的个数
解 : 列写 劳斯 阵列 : s4 s3 s2 s s
1 0
1 2
2× 3 - 4 2
s3 s2 s s0
1 0≈ε
- 3ε - 2
-3 2 0
改变一次
ε
2
改变一次
∴ 有两实部为正的根。
b.劳斯表某行全为零 说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的 根。 可用全零行的前一行数值组成辅助方程 A' ( s )，并用 dA' ( s ) / ds 的系数代替全零行的各项，完成劳斯表 ，利用 的系数代替全零行的各项，完成劳斯表， 可解得那些对称根。 辅助方程 A' ( s )可解得那些对称根。
一幅 原 . 角 理 设 (S)是 变 的 项 之 ,除 S平 的 限 奇 复 量 多 式 比 在 面 有 个 F 点 ,为 值 续 则 数又 P为 (S)极 数 , Z为 (S) 外 单 连 正 函 . 设 F 点 目 F 的 点 目 其 包 重 点 重 点 目 以 F(S)的 零 数 , 中 括 极 与 零 数 , 及 全 部 点 零 均 布 S平 的 闭 线 S内 而 S不 过 极 与 点 分 在 面 封 轨 Γ , Γ 通 F(S)的 何 点 零 . 在 种 况 , 当 S以 时 方 任 极 与 点 这 情 下 点 顺 针 向 沿 S 运 , ΓS在 F(S)]平 上 映 ΓF按 时 方 包 原 Γ 动 [ 面 的 射 顺 针 向 围 点 次 的 数 N = Z- P N>0 N<0 N =0 表 ΓF顺 针 围 点 次 示 时 包 原 N 表 ΓF逆 针 围 点 次 示 时 包 原 N 表 ΓF不 围 点 示 包 原
[工学]控制工程基础第五章系统的稳定性
![[工学]控制工程基础第五章系统的稳定性](https://img.taocdn.com/s3/m/063b2600cfc789eb172dc863.png)
基本要求 1.了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件。 2.掌握系统稳定性代数判据的必要条件和充要条件，学会应用代数判 据判定系统是否稳定。 3.掌握Nyquist判据。 4.掌握Bode判据。 5.理解系统相对稳定性概念，能够在Nyquist图和Bode图上加以应用。 本章重点 1.代数判剧、Nyquist判剧和Bode判剧的应用。 2.系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度在 Nyquist图和Bode图上的表 示法。 本章难点 Nyquist判剧及其应用。
劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。每行计算 到出现零元素为止。一般情况下可以得到一个n+1行的劳 斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。
sn s n-1 s n-2 s n -3 s1 s0
an an -1 b1 c1 d1 e1
an - 2 a n -3 b2 c2
an - 4 a n -5 b3
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
从式可以看出，如果所有闭环极点都在s平面的左半面内， 即系统的特征方程式根的实部都为负，那么随着时间t的增 大，式中的指数项和阻尼指数项将趋近于零。即系统是稳 定的。
y (t ) A j e
j 1
q
p jt
Bk e k nkt cos dk t
k 1
r
k 1
r
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实 部。或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面 的左半平面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不 稳定。
2
第5章 生态系统及其稳定性(解析版)
第5章生态系统及其稳定性(解析版)第5章生态系统及其稳定性(解析版)生态系统是由生物群落与其非生物环境之间相互作用的一个功能性单位。
它包括了一系列相互依赖的生物组成部分，如生物群落和其非生物环境，共同构成了一个相对稳定的生物系统。
在这一章中，我们将探讨生态系统的组成、结构和功能，以及其稳定性的重要性。
1. 生态系统的组成与结构生态系统的组成包括两个主要部分：生物群落和非生物环境。
生物群落是指一定范围内相互关联的各种生物种群的集合，而非生物环境则涵盖了地理、气候、土壤等自然要素。
生态系统的结构可以分为三个层次：生物群落层、生物群落组分层和个体层。
生物群落层从整体上描述了不同生物种群之间的相互作用与关系；生物群落组分层则包括了不同种群所在的不同位置和功能；个体层则关注于生物个体的特征与生物群落中的角色。
2. 生态系统的功能生态系统提供了多种重要的功能，其中包括能源流动、物质循环、生物多样性维持和生态服务。
能源流动指的是光合作用和食物链中的能量转化。
光合作用使得植物可将太阳能转化为化学能以供其他生物利用，而食物链则通过食物间的能量传递实现多级能量的流动。
物质循环包括了碳、氮、水和矿物质等元素的循环。
生物通过呼吸、光合作用和分解等过程参与到这些循环过程中，使得有害物质得以转化或降解，并保持了环境中的物质平衡。
生物多样性维持是指生态系统中存在的各种生物种类之间的平衡和多样性。
生物多样性不仅能够提供美观的自然景观，还对生态系统的稳定性和可持续性发挥着重要的作用。
生态服务是指生态系统为人类提供的各种自然资产和生态功能。
例如，森林可以提供木材和空气净化等功能，湿地可以提供水资源调节和防洪防风等功能。
3. 生态系统的稳定性生态系统的稳定性是指系统在面对各种干扰时能够保持其结构和功能的能力。
一个稳定的生态系统能够适应自然变化、抵抗外部冲击并恢复到初始状态。
生态系统的稳定性受到多种因素影响，其中包括物种多样性、物种丰富度和生物组成的复杂性。
第5章系统的稳定性
二.劳斯判据
①若第一列各数为正数，系统稳定； ②若第一列各数有负数，系统不稳定，第一 列中数值符号的改变次数即等于系统特征 方程含有正实部根的数目。
若劳斯表中某一行第一个数为0，其余不全 为0，这时可用一个很小的正数ε来代替这 个0。
例：系统特征方程： D( s ) s 4 s3 19 s 2 11s 30，判断稳定性。
2 a3 a4 a1 a2 a3a2 a4a1 1 3 2 5 0
由于 2 0 ，不满足胡尔维茨行列式全部为正的条 件，系统不稳定， 3, 4可不必再行计算。 ※特征方程阶次低（n≼4）时，条件如下： （1）n=2: a2 0, a1 0, a0 0 （2）n=3: a3 0, a2 0, a1 0, a0 0, a2a1 a3a0 0 2 2 a 0, a a a a a a a （3）n＝4： i 3 2 1 3 0 4 2 0
s1 s0
c1 1 a n1 b1 b1
...... ......
a n3 b2 c2 1 a n 1 b1 b1
b3 a n 5 b3
1
an
a n 6 a n 7
a n1 a n1
…...
Routh判据：第一列各元素an,an-1,b1,c1,….符号改变次数等 于具有正实部的特征根数目。若第一列各元素符号不同， 则系统不稳定。
二. 劳斯判据
系统阶次越高，利用胡尔维茨判据时，计算 行列式的工作量越大。高阶的系统，可采用劳斯 判据判别系统的稳定性。 步骤如下： (1)列出系统的特征方程：
an sn an1sn1
a1s a0 0
其中 an 0，各项系数均为实数。 (2)按系统的特征方程式列写劳斯表
第五章 控制系统的稳定性分析(含习题答案)
f1 g1
劳斯阵列
注意：如果劳斯阵列第一列元素的符号不全 相同，则该列元素符号变化的次数，就是特 征方程所含实部为正的根的数目。
劳斯判据使用说明： （ 1）用一个正数去乘或除劳斯阵的某一整行，不会改变稳定性的结论。
4 3 2 例5-1 设控制系统的特征方程式为：D s s 8s 17 s 16s 5 0
Bl e
l 1
sin l t l Dr t r e r t sin r t r
r 0
n4 1
n2重实根
s pk
n3对不同的共轭复数根 s l jl
结论：控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程式的根全部具 有负实部。
5. 2 系统稳定的充要条件
s3, 4 2 j
系统特征方程具有两对共轭虚根，系统处于临界稳定。（不稳定，对应的 暂态分量为等幅振荡。)
劳斯判据使用说明：
例 5-3 ： 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为：G s 试应用劳斯判据判断预使系统稳定的K的取值范围。 解：根据题意，可得系统的闭环传递函数为：
K s s 2 s 1 s 2
大范围稳定：系统稳定与否，与初始偏差的大小无关。 小偏差稳定：初始偏差不超过一定范围的情况下，系统是稳定的。
5. 2 系统稳定的充要条件
一、系统稳定条件分析
系统扰动输入到输出之间的传递函数：
Xo s G2 s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm M s N s 1 G1 s G2 s H s a0 s n a1s n 1 an 1s an D s
C s D s
闭环传递函数的特征方程：D(s)=0，特征方程的根即系统传递函数的极点。
第5章系统的稳定性
稳定性是控制系统正常工作的首要条件。 稳定性是控制系统正常工作的首要条件。控制系统在实 际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动， 际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，如负载或 能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。 能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。 如果系统不稳定，当它受到扰动时， 如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就 会偏离其平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失了，也 会偏离其平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失了， 不可能恢复原来的平衡状态。 不可能恢复原来的平衡状态。
例
系统特征方程 D( s ) = s 6 + 2s 5 + 8s 4 + 12s 3 + 20s 2 + 16s + 16 = 0， 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解： （1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定 ）特征方程的所有系数均为正实数， 的必要条件。 的必要条件。 （2）列劳斯数列表 ）
得系统的脉冲响应函数
A C(s) = φ(s) = ∑ i i=1 s − si
n sit i=1
n
g(t) = c(t) = ∑Ae i
若系统稳定
n sit t →∞ t →∞ i=1
lim g(t) = lim∑Ae = 0 i
si (2)若 (2)若 s 为复数 i
(1)若 (1)若 为实数
t →∞
例
已知系统特征方程 D( s ) = s 5 + 3s 4 + 3s 3 + 9s 2 − 4s − 12 = 0 ， 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 试用劳斯判据判别系统的稳定性。
系统的稳定性解析
➢ 显然，大范围渐近稳定性的必要条件是系统在整个状态空 间中只有一个平衡态。
➢ 对于线性定常系统，如果其平衡态是渐近稳定的，则一定 是大范围渐近稳定的。但对于非线性系统，渐近稳定性是 一个局部性的概念，而非全局性的概念。
5.2.4 不稳定
在初始时刻t0，对于某个给定实
数 >0和任意一个实数 >0，总
存在一个位于平衡态xe的邻域
S(xe,)的初始状态x0，使得从x0
出发的状态方程的解x(t)将脱离 球域S(xe,)，则称系统的平衡态 xe是李雅普诺夫意义下不稳定 的。
x2
x1
x (0 )
5.2.5 线性定常系统状态稳定性与外部稳定性的关系
x2
xe
➢ 若平衡态附近某充分小邻
域内所有状态的运动最后 不 稳 定
都趋于该平衡态，则称该 平 衡 态
xe
平衡态是渐近稳定的;
➢ 若发散掉则称为不稳定的， 若能维持在平衡态附近某 个邻域内运动变化则称为 稳定的。
xe
x1 渐近稳定
平衡态 稳定 平衡态
对于线性定常系统，状态方程为
平衡方程为
xAx
Axe 0
趋近于系统的平衡态xe，即
Limt x(t)=xe
则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下渐近稳 定的。
x2
x(0)
x1
渐进稳定
x2
x(0) x(0)
x1
李雅普诺夫稳定
大范围渐近稳定性 对于n维状态空间中的所有状态，如果由这些状态出发的状
态轨线都具有渐近稳定性，那么平衡态xe称为李雅普诺夫意义下 大范围渐近稳定的。
第5章 系统的稳定性2(机械控制原理与技术教案)
a1 xo(t )
a0 xo(t )
xi(t )
自由响应
强迫响应
n
n
xo(t ) A1ie sit A2ie sit B(t )
i 1
i 1
系统的初态引 输入引起的 起的自由响应 自由响应
si:系统的特征根
2. 系统稳定条件
1) 当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位 于[s]平面的左半平面）
由系统稳定的充要条件，有
s3
1
7500 0
s2
34.6
7500K 0
s1 34.6 7500 7500K
0
34.6
s0
7500K
0
(1) 7500K>0，亦即K>0。显然，这就是由必要条件所得的结果。
(2)
34.6 7500 7500K 0 34.6
，亦即K<34.6。
故能使系统稳定的参数K的取值范围为0<K<34.6。
第五章 系统的稳定性
第五章 系统的稳定性
——系统能正常工作的首要条件
系统的稳定性与稳定条件 Routh（劳斯）稳定判据 Nyquist 稳定判据 Bode稳定判据 系统的相对稳定性
一、系统的稳定性与稳定条件
例：液压位置随动系统
原理：
外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开 →活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）
0 常量
当n m 当n m
② LF包围原点的圈数 = LGH包围(－1，j0)点的圈数 N=Z-P
三、NYQUIST 稳定判据
5. 判据
当由－到+时，若[GH]平面上的开环频率 特性G(j)H(j)逆时针方向包围（－1，j0）点P圈， 则闭环系统稳定。（P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平 面的极点数）
机械控制基础5-系统的稳定性
牢斯 判据
s4
1
3K
s3
3
20
s2 7/3 K 0
s1 2-(9/7)K 0 0
s0
K
00
2K790K 00 K 194
19
5.2.2 Routh判据
例3 牢斯判据判定系统相对稳定性
已知系统特征方程： s3+7s2+14s+8=0 试判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行的直线s=-1的右侧。
s n a a 1 0s n 1 a a n 0 1 s a a 0 n (s s 1 )s (s 2 ) (s s n )
(ss1)s(s2) (ssn)
snn sisn1(n sisj)sn2 (1)n n si
i1
22
5.2.3 Routh 判据的特殊情况
劳斯阵列出现全零行表明——系统在s平面有对称分布的根
共轭虚根
对称于虚轴的 两对共轭复根
对称于虚轴 的一对实根
23
例 图示系统，确定K、a取何值时，系统 维持以=2 s-1的持续振荡。
Xi(s) ＋ －
K(s1)
Xo(s)
s3 as2 2s1
第五章 系统的稳定性
本章主要教学内容 5.1 系统稳定性的初步概念 5.2 Routh(劳斯)稳定判据 5.3 Nyquist稳定判据 5.4 Bode稳定判据 5.5 系统的相对稳定性
5.3节为本章难点，5.2、5.4、5.5节为本章重点
1
5.1 稳定性的基本概念
本节教学内容 5.1.1 稳定性的定义 5.1.2 稳定的充要条件 5.1.3 稳定的必要条件
注：通常a0 > 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为——劳斯阵列 表中第一列的各数均大于零。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
12
5.2 Routh劳斯稳定判据
13
5.2 Routh劳斯稳定判据
14
5.3 Nyquist乃奎斯特稳定判据
由Nyquist于1932年提出的稳定性判据，得到了 广泛的应用。 该判据将闭环系统特征方程1+ G (s) H(s)与开环 频率特性Gk(jω)联系起来，从而将系统特性由复域 引入频域来分析。具体地说是通过Gk(jω)的Nyquist 图，利用图解法来判明闭环系统的稳定性，是一 种几何判据。 乃氏判据还能指出系统的稳定储备—相对稳定性， 指出改善系统稳定性的途径。
42
G( s) H ( s) K s( s 1)(s 5)
5.6 利用MATLAB分析系统的稳定性 5.6.1 利用MATLAB求系统的特征根
如果已知特征方程：利用MATLAB的roots函数， 可以直接求出系统所有的特征根，从而判定系统是 否稳定。 P172例5：D(s)=s5+2s4+24s3+48s2-25s-50 C=[1, 2, 24, 48, -25, -50]; roots(C)= 0.0000 + 5.0000i; 0.0000 - 5.0000i 1.0000 ; -2.0000 ; -1.0000 . 系统包含一个实部大于零的特征根，不稳定。
G( s) H ( s) K s( s 1)(s 5)
41
5.5.2 幅值裕度 Kg
例9：已知控制系统的开环传递函数为： 试分别求取K=10及K=100时的相位裕度 和 幅值裕度 。 解：此开环系统为最小相位系统，P=0。 （1）当K=10时，系统的相位裕度γ =27度，幅值 裕度 =9.5dB。该系统虽然稳定，且幅值裕度较大， 但相位裕度小于30度，因而并不具有满意的相对 稳定性。 （2）当K=100时，幅值裕度为Kg(dB)=-10.5dB ， 相位裕度γ =-22.5º，所以此时闭环系统不稳定。
15
5.3.1 幅角原理
乃氏判据的数学基础是复变函数中的幅角原理
16
5.3.2 Nyquist稳定判据
17
5.3.2 Nyquist稳定判据
18
5.3.2 Nyquist稳定判据
19
5.3.2 Nyquist稳定判据 举例205.源自.2 Nyquist稳定判据 举例
N=-1，Z=0
21
5.5.2 幅值裕度 Kg
对于开环为P=0的系统，开环频率特性Gk(jω)具 有正幅值裕度和正相位裕度时，其闭环系统是稳 定的；开环频率特性Gk(jω)具有负幅值裕度和负相 位裕度时，其闭环系统是不稳定的。
利用Nyquist图或Bode图所计算出的Kg和γ是一 致的，两者必须同时考虑。 从工程控制的实践中可知，为使闭环系统有满意 的稳定性储备，一般希望：
29
5.4.1 Nyquist图和Bode图的对应关系
30
5.4.2 穿越的概念
31
5.4.2 穿越的概念
32
5.4.3 Bode判据
33
5.5 系统的相对稳定性
34
5.5.1 相位裕度 γ
35
5.5.1 相位裕度 γ
36
5.5.2 幅值裕度 Kg
37
5.5.2 幅值裕度 Kg
38
γ =30º~60º； Kg(dB)>6dB； Kg>2
39
5.5.2 幅值裕度 Kg
当阻尼ξ很小时， 相位裕度虽然较 大，但幅值裕度 太小，系统稳定 性不好。 应该同时考虑 两者，全面地评 价系统的相对稳 定性。
40
5.5.2 幅值裕度 Kg
例9：已知控制系统的开环传递函数为： 试分别求取K=10及K=100时的相位裕度 和 幅值裕度 。 解：此开环系统为最小相位系统，P=0。 （1）当K=10时，系统的相位裕度γ =27度，幅值 裕度 =9.5dB。该系统虽然稳定，且幅值裕度较大， 但相位裕度小于30度，因而并不具有满意的相对 稳定性。 （2）当K=100时，幅值裕度为Kg(dB)=-10.5dB ， 相位裕度γ =-22.5º，所以此时闭环系统不稳定。
5.3.3 开环含有积分环节的Nyquist轨迹
22
5.3.3 开环含有积分环节的Nyquist轨迹
23
5.3.3 开环含有积分环节的Nyquist轨迹
24
5.3.3 开环含有积分环节的Nyquist轨迹
25
5.3.3 开环含有积分环节的Nyquist轨迹
26
5.3.3 开环含有积分环节的Nyquist轨迹
43
5.6 利用MATLAB分析系统的稳定性 5.6.2 利用MATLAB分析系统的相对稳定性
MATLAB的margin函数，可以求出系统的幅值裕度、 相位裕度、幅值穿越频率和相位穿越频率，因而可 以判定系统的相对稳定性。说明如下。
3
5.1.1 系统不稳定现象的发生
4
5.1.1 系统不稳定现象的发生
5
5.1.2 系统稳定的定义和条件
6
5.1.2 系统稳定的定义和条件
7
5.1.2 系统稳定的定义和条件
8
5.1.2 系统稳定的定义和条件
9
5.2 Routh劳斯稳定判据
10
5.2 Routh劳斯稳定判据
11
5.2 Routh劳斯稳定判据
系统能在实际中应用的必要条件是系统稳定。系 统稳定性分析是经典控制理论的重要组成部分。 线性系统稳定性的分析方法，也称为稳定性判据， 主要有：①Routh判据，代数方法；②Nyquist判 据，根据系统的开环频率特性的Nyquist图来判断 稳定性,几何方法；③Bode判据，根据对数幅频特 性图判断稳定性。 相对稳定性讨论。
杨叔子 主编 华中科技大学出版社 2011年
机械控制工程基础
中北大学机械与动力工程学院
主讲：马维金 2018/12/9
1
教授
第5章 系统的稳定性
5.1 系统稳定性的初步概念
5.2 Routh劳斯稳定判据
5.3 Nyquist乃奎斯特稳定判据
5.4 Bode伯德稳定判据
5.5 系统的相对稳定性
2
5.1 系统稳定性的初步概念
27
5.3.4 具有延时环节的系统的稳定性
28
5.4 Bode伯德稳定判据
Nyquist稳定性判据，是利用开环频率特性Gk(jω) 的极坐标图来判定闭环系统的稳定性。 如果将开环极坐标图改画为开环对数坐标图，即 Bode图，同样可以利用它来判定系统的稳定性。 这种方法称为对数频率特性判据，也称为Bode 判据，它实质上是Nyquist稳定性判据的引申。