重力势能和机械能守恒定律的典型例题

“重力势能和机械能守恒定律”的典型例题【例1】如图所示，桌面距地面0.8m,一物体质量为２kg,放在距桌面0．4ｍ的支架上．（1)以地面为零势能位置，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到桌面过程中,势能减少多少?(２）以桌面为零势能位置时，计算物体具有的势能,并计算物体由支架下落到桌面过程中势能减少多少?【分析】根据物体相对零势能位置的高度,直接应用公式计算即得．【解】（1)以地面为零势能位置,物体的高度h１＝１．2m，因而物体的重力势能：Ｅp1＝ｍｇh1=2×９.8×1．２J＝23．52Ｊ物体落至桌面时重力势能:E p2=mgh２=２×9．８×０．8J=１5.6８J物体重力势能的减少量:△E p=E p１-Ｅｐ2=23．52J-15．68Ｊ＝7．8４J而物体的重力势能:物体落至桌面时，重力势能的减少量【说明】通过上面的计算，可以看出,物体的重力势能的大小是相对的，其数值与零势能位置的选择有．而重力势能的变化是绝对的，它与零势能位置的选择无关,其变化值是与重力对物体做功的多少有关.当物体从支架落到桌面时重力做功:【例２】质量为2kg的物体自高为100ｍ处以5ｍ／s的速度竖直落下,不计空气阻力，下落2s，物体动能增加多少？重力势能减少多少？以地面为重力势能零位置,此时物体的机械能为多少?(ｇ取1０m／s2）【分析】物体下落时,只受重力作用，其加速度a=ｇ,由运动学公式算出２ｓ末的速度和2ｓ内下落高度，即可由定义式算出动能和势能．【解】物体下落至2s末时的速度为：2ｓ内物体增加的动能:2s内下落的高度为：重力势能的减少量：此时物体离地面的高度为:h′＝H－h=（10０-3０)ｍ=7０m以地面为零势能位置时,物体的机械能为：【说明】抛出后，由于物体只受重力作用,整个运动过程中只有重力做功,物体的机械能守恒.刚抛出时,物体的机械能为:在下落过程中,重力势能的减少量恰等于动能的增加量,即△E k=△E p【例3】质量为1.０kｇ的物体,自空中落下,以8．0ｍ/s2的加速度经A点到达B点,Ａ、Ｂ相距0．7５m.若物体在Ｂ点时的动能为８．０Ｊ,那么通过ＡB的过程中物体动能的增加量为多少？物体克服阻力做多少功?（取ｇ＝1０m／s2)【分析】由于下落的加速度a<g，在下落时一定受到阻力,根据牛顿第二定律，可算出阻力，于是即可得克服阻力的功.已知物体在B点的动能,可算出在Ｂ点的速度，结合运动学公式算出A点的速度后,即可算出动能的增量.【解】设下落中物体受到的阻力为f,由mg－f=mａ得ｆ=mg－ma=１．0（10-8)N=2N物体克服阻力做功：物体从A落到B的过程中,动能的增加量为：△E p=E kB-E kA=８.0Ｊ－２.0Ｊ＝6.0J【说明】物体从A落到B的过程中,势能减少:△Ｅｐ＝mgs=1×10×0.75Ｊ=7.5Ｊ它大于物体动能的增加,可见其机械能不守恒．这是由于存在阻力的缘故．势能的减少与动能增加量之差恰等于物体克服阻力做的功，即△Ｅp-△E k=Ｗf这也就是从A到B的过程中所减少的机械能．【例4】如图所示，光滑圆管形轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆,圆管截面半径r《R,有一质量m,半径比r略小的光滑小球以水平初速v0射入圆管，（１）若要小球能从C端出来,初速ｖ0多大？(2）在小球从Ｃ端出来的瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况,初速v0各应满足什么条件?【分析】小球在管内运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，要求小球能从C端射出，小球运动到C点的速度ｖc＞０．根据机械能守恒定律即可算出初速v0．小球从C端射出时可能有三种典型情况：①刚好对管壁无压力;②对下管壁有压力;③对上管壁有压力.同理由机械能守恒可确定需满足的条件.【解】（1）小球从A端射入后,如果刚好能到达管顶，则v c=0，由机械能守恒因此，要求小球能从C端出来，必须使v c>０,所以入射速度应满足条件（２)小球从C端出来的瞬间,可以有三种典型情况：①刚好对管壁无压力，此时需满足条件联立得入射速度②对下管壁有压力，此时相应的入射速度为③对上管壁有压力，相应的入射速度为【例5】如图所示，劲度系数k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2栓接,劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块２栓接,下端压在桌面(不栓接），整个系统处于平衡状态．现施力将物块1缓慢竖直上提,直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面.在此过程中，物块2的重力势能增加了______,物块1的重力势能增加了__＿_____.【分析】设原来两弹簧压缩量分别为x１和x2,由物体的力平衡知当施力将物块1缓慢上提至下面弹簧刚脱离桌面时,表示下面的弹簧已恢复原长,物块２升高的高度ｈ2=x2，所以在此过程中,物块2的重力势能增加此时,上面的弹簧受到拉伸,设其伸长量为x'1，由物块2的力平衡条件知，则物块1在这过程中升高的高度为所以,物块1的重力势能增加【例6】关于机械能是否守恒的叙述，正确的是[ ]A．作匀速直线运动的物体的机械能一定守恒B.作匀变速运动的物体机械能可能守恒Ｃ．外力对物体做功为零时，机械能一定守恒D．只有重力对物体做功,物体机械能一定守恒【分析】机械能守恒的条件是除重力对物体做功外，没有其它外力对物体做功,或其它外力对物体做功的代数和等于零.当物体作匀速直线运动时,除重力对物体做功外，可能还有其他外力做功．如降落伞在空中匀速下降时,既有重力做功，又有阻力做功，机械能不守恒.物体作匀变速运动时,可能只有重力对物体做功,如自由落体运动，此时物体的机械能守恒.因物体所受的外力,指的是包括重力在内的所有外力,当外力对物体做功为零时,可能是处于有介质阻力的状态,如匀速下降的降落伞，所以机械能不一定守恒．【答】B,D．【例7】某人以v0=4m／s的初速度,抛出一个质量为ｍ的小球,测得小球落地时的速度大小为８m／s,则小球刚抛出时离开地面的高度为多少？取ｇ＝1０m/ｓ2.空气阻力不计．【分析】小球从抛出到落地过程中,不受阻力,只有重力做功,由小球的机械能守恒即可算出离地高度.【解答】设小球抛出时的高度为h,落地速度为v t,取抛出和落地为始、末两状态,以地面为零势能位置,由机械能守恒定律得：出结果，尽管答案相同，但是不正确的．这里的小球不一定作直线运动，必须根据机械能守恒求解.【例8】如图所示,以速度v0=1２m／s沿光滑地面滑行的小球，上升到顶部水平的跳板上后由跳板飞出，当跳板高度h多大时,小球飞行的距离ｓ最大?这个距离是多少?（ｇ＝10ｍ／s2)【分析】小球上滑到跳板顶端的过程中，只有重力做功,机械能守恒.从跳板顶飞出，小球作平抛运动．【解】设小球从跳板顶飞出的速度为v,由机械能守恒(取底部为势能的参考平面）得小球从顶端飞出后作平抛运动，其水平位移为为了找出使水平位移s最大的条件,对上式作变换得可见，当满足条件小球飞出后的水平距离最大，其值为【例9】图中圆弧轨道ＡB是在竖直平面内的1/4圆周，在B点，轨道的切线是水平的．一质点自A点从静止开始下滑,不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达Ｂ点时的加速度大小和刚滑过B点时的加速度大小分别为（)A.0,g B．g,g C．2g,g D．2ｇ，2g【分析】质点从A到B的下滑过程中,只有重力做功,机械能守恒.取过B点的水平面为零势能面,设轨道半径为R，则有质点从A到B是作变速圆周运动，当它刚到达Ｂ点瞬间的加速度为联立(1）,(2）两式得质点刚滑过B点,仅受重力作用，其加速度大小为【答】C．【说明】必须注意，物体的加速度跟所受外力是一个瞬时关系,一旦外力变化，加速度随即变化.图中质点刚到达Ｂ点时，受到轨道向上的弹力和竖直向下的重力作用，产生的加速度指向过B点竖直向上的方向，即指向圆心．刚滑过B点，轨道支持力为零，仅受重力作用，产生的加速度竖直向下．物体的速度则由于惯性，力图保持不变，图中质点在刚到达Ｂ!ieｄtxx(`stylｅｂkｚd', `1107P０４．htｍ＇)【例１0】如图1所示，AＢC和ＡD是两上高度相等的光滑斜面，ＡBC由倾角不同的两部分组成，且AB+BC=AD,两个相同的小球a、b从A点分别沿两侧斜面由静止滑下,不计转折处的能量损失，则滑到底部的先后次序是［]]A.a球先到B.ｂ球先到Ｃ．两球同时到达Ｄ.无法判断【分析】小球沿两斜面下滑过程中,都只有小球的重力做功,机械能守恒，因此,a、b两球滑到底端的速度大小一定相等，即v C=vＤ．在ＡD斜面上取AB′＝ＡB(图2),由于AB部分比ＡB′部分陡些，小球滑到B 点的速度必大于滑到B′点的速度，即vＢ>v B′.因此,两球在AB与ＡB′段、ＢC与B′D段上的平均速度的大小必然是由于对应的斜面长度AB＝ＡB′,BC=B′D．所以通过它们的时间长短必然是tＡB＜tＡＢ′，ｔBC＜t B′D．也就是说，沿ABＣ斜面的小球先滑到底部.【答】A．【说明】本题还可以画出v-t图作出更简捷的判断．如图3所示，为沿ABC和AD下滑小球a、b的v-t图.由于AＢ+BC=AD，则图线下方与ｔ轴间的面积应相等，也就是图中划有斜线的两部分面积相等,显然,两球运动时间必然是tａ＜t b.图3【例1１】如图１，一个质量为m的小球拴在全长Ｌ的细线上做成一个单摆，把小球从平衡位置O拉至A,使细线与竖直方向成θ角,然后轻轻释放．若在悬点O′的正下方有一颗钉子P，试讨论，钉子在何处时,(１)可使小球绕钉来回摆动；(2）可使小球绕钉做圆周运动.【分析】小球摆动过程中，只有小球的重力做功．当不考虑细线碰钉时的能量损失时，无论小球绕钉来回摆动，或绕钉做圆周运动,小球的机械能都守恒.【解】(1)小球绕钉来回摆动时,只能摆到跟开始位置A等高的地方,因此，钉子P的位置范围只能在过Ａ点的水平线与竖直线ＯＯ′的交点上方(图2）,即钉子离悬点O′的距离h应满足条件0≤h≤Lcｏsθ.（２)设钉子在位置P′时刚好使小球能绕钉做圆周运动,圆半径R=P′O,设小球在最高点C的速度为v c，并规定最低处O为重力势能的零位置(图3)，由Ａ、C两位置时的机械能守恒ＥA=E C，即又因为刚好能越过Ｃ点做圆运动,此时绳中的张力为零，由重力提供向心力，即所以钉子P′离悬点O′的距离如果钉子位置从Ｐ′处继续下移，则小球将以更大的速度越过圆周的最高点,此时可由绳子的张力补充在最高点时所需的向心力，仍能绕钉子做圆周运动.所以,能绕钉做圆运动时钉子离悬点的距离ｈ′应满足条件【说明】由本题的解答可知，位置Ｐ是小球能绕钉来回摆动的最纸位置;位置P′是小球能绕钉做圆周运动的最高位置.如钉子在PP′之间,则悬线碰钉后，先绕钉做圆运动,然后将在某一位置上转化为斜抛运动．【例12】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内,环的半径为Ｒ（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径比细管内径略小的小球（可视为质点).Ａ球的质量为ｍ１,B球的质量为m2.它们沿环形圆管顺时针运动,经过最低点时的速度都为v0设A球运动到最低点时，Ｂ球恰好运动到最高点,若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2,R与v０应满足的关系式是_＿＿_＿＿.【分析】A球运动到最低点时,由外壁对它产生的弹力N A和Ａ球重力m1g的合力作为向心力,即A球对外壁产生的压力NＡ′大小等于NＡ，方向沿半径背离圆心（图1）.要求对圆管的合力为零，B球在最高点时也必须对外壁(不可能是内壁）产生一个等量的压力N B′．因此,Ｂ球在最高点有向外壁挤压的作用，由外壁对它产生的弹力ＮB和球重m2g的合力作为向心力（图２）．设Ｂ球在最高点的速度为v B,据向心力公式和机械能守恒有根据题意N A′=ＮB′,即要求【例1３】如图所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面相垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定有一个质量为m的小球A,在O点的正下方离O点r／2处固定一个质量也为m的小球B.放开盘让其自由转动，问:(1)当A球转到最低点时,两小球的重力势能之和减少了多少？(2)A球转到最低点时的线速度是多少？（３)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？【分析】两小球势能之和的减少，可选取任意参考平面（零势能位置)进行计算．由于圆盘转动过程中,只有两个小球重力做功,根据机械能守恒即可列式算出A球的线速度和半径OA最大偏角．【解】（1）以通过O的水平面为零势能位置,开始时和A球转到最低点时两球重力势能之和分别为∴两球重力势能之和减少(2)由于圆盘转动过程中,只有两球重力做功、机械能守恒，因此,两球重力势能之和的减少一定等于两球动能的增加．设Ａ球转到最低点时，A、B两球的速度分别为v A、v B,则因A、B两球固定在同一个圆盘上,转动过程中的角速度(设为ω)相同．由得v A＝２v B.代入公式,得（3）设半径ＯＡ向左偏离竖直线的最大角度为θ如图,该位置的机械能和开始时机械能分别为由机械能守恒定律E1＝E3，即即2ｃoｓθ=1+ｓinθ.两边平方得4（1-ｓin2θ）＝1+ｓｉn2θ＋２sinθ,5sｉn2θ+2siｎθ-3=0,【例１4】一个质量为m的木块,从半径为R、质量为M的1／4光滑圆槽顶端由静止滑下,在槽被固定和可沿着光滑平面自由滑动两情况下，如图，木块从槽口滑出时的速度大小之比为［]【分析】槽固定时，木块下滑过程中只能有重力做功，木块的机械能守恒，木块在最高处的势能全部转化为滑出槽口时的动能.由得木块滑出槽口的速度槽可动时,当木块开始下滑到脱离槽口的过程中,对木块和槽所组成的系统，水平方向不受外力,水平方向的动量守恒.设木块滑出槽口时的速度为ｖ2,槽的速度为ｕ，则mｖ2+Mｕ=0又木块下滑时只有重力做功,机械能守恒,木块在最高处的势能转化为木块滑出槽口时的动能和圆槽的动能,即联立两式得木块滑出槽口的速度因此，两情况下滑出槽口的速度之比【答】Ｄ.【例15】如图，长为Ｌ的光滑平台固定在地面上,平台中央有两小物体Ａ和B，彼此接触靠在一起，A的上表面有一半径为Ｒ（R L)、顶端距台面高h的圆槽，槽顶有一小物体Ｃ，Ａ、B、C三者质量均为m,现使物体C由静止沿圆槽下滑,且运动过程中它始终与圆槽接触,求1.A和Ｂ刚分离时,B的速度；2．A和Ｂ分离后，C能达到距平台的最大高度.【分析】物体C下滑时，Ｃ对A作用力的水平分力向右，推动Ａ、B一起向右加速运动．当Ｃ滑至圆槽底部时,C对A作用力的水平分力为零，A、B两者向右的加速过程结束，速度达到最大．以后,Ｃ将沿圆槽上滑,C对A作用力的水平分力向左,A将开始做减速运动，而B则沿平台匀速向右．因此,Ｃ滑至圆槽底部的时刻就是Ａ、Ｂ即将分离的时刻.把A、B、C三个物体组成的系统作为研究对象，C下滑过程中,系统在水平方向不受外力，动量守恒．同时,整个系统无重力和弹力以外的力作功，机械能守恒．联合应用这两条守恒定律,即可得解.【解】规定以水平向右为正方向，由C刚开始滑下和Ｃ滑至圆槽底部两时刻的动量守恒，0=mｖA+ｍv B-ｍv C． (１)又由于整个系统无重力和弹力以外的力作功,机械能守恒，当取槽底为零势能位置时,且vＡ=vＢ.由(1）、(3)两式,得v C=2vＢ，代入（2)式,即得2.Ｃ沿圆槽上滑，至某一最高点时，A、Ｃ两者无相对运动，设此时共同速度为v，其方向为水平向左，仍以Ａ+B+C为研究对象，由Ｃ刚开始滑下至C、Ａ两者相对静止两时刻动量守恒（此时B以速度v B沿平台匀速右滑），则0＝mv B-2mｖ. （4）又由整个系统的机械能守恒，当取平台为零势能位置时，则【说明】确定A、Ｂ两物体何时分离，是解答前半题的关键,此外在应用动量守恒定律时,可始终以Ａ＋Ｂ+C为研究对象,其初动量恒为零,列式较为简单．【例16】在光滑的水平面上有运动的物体Ａ,其质量为ｍＡ,动能为E kａ，另有静止的物体Ｂ，其质量为m B．在物体B的一个侧面固定一个劲度系数为k的轻质弹簧.如图所示.若物体A冲向弹簧并推动物体Ｂ,且相互作用过程中没有能损耗,问（1)m A、m B之间的关系满足什么条件,物体A传给B的动能最大？最大值是多少?（2)如果相互作用后,物体A、B的速率相等,那么mＡ∶m B=？(3）如果相互作用后,物体A、Ｂ的动能相等,那么m A∶ｍB=？（4）相互作用过程中,弹簧的最大压缩量为多少?【分析】取物体Ａ和B(包括弹簧)组成的系统为研究对象,物体Ａ、B相互作用的过程中，所受到的合外力为零，因此,系统的动量守恒,且题目给定相互作用过程中没有能量损耗，这就意味着系统的机械能守恒．在运用动量守恒和机械能守恒建立方程时，要注意选择合适的两个时刻．（1）～(3）问涉及相互作用结束时物体的动能、速率，要选择相互作用始、末两状态建立方程．而（4)问中要求解弹簧的最大压缩量,当然此时刻并非是弹簧作用的结束,但可以选此时刻和初始时刻，来建立方程求解相关问题．【解】设物体A、B相互作用前,A的速度是v0，作用后A、Ｂ的速度分别为v A′和v B′.据动量守恒定律有据机械能守恒定律有联立(1）、(2)两式解得(1)物体A传给B的动能，即相互作用后B的动能为由此可知，当mＡ=m B时，Ｅ′ＫB取最大值,且最大值为E KA,若v A′=ｖB′时，有解得,-ｍA＝m B,物体的质量不可能有负值，此解无意义．若ｖA′=v B′时,有解得m B＝3mＡ，即m A∶ｍB=1∶3.vＡ′和v B′后整理得两解都合题意.(４)当弹簧压缩量最大时，物体A、B间没有相对运动,即A和B的速度相等，若其速度为v．据动量守恒和机械能守恒有联立(3）、（４)两式解得【说明】（1)数学是解决物理问题的工具，通常物理问题中求最大值的一类习题，实质上就是数学上求函数极值的问题.为此,第（１)问中，首先要写出动能E′KB的函数表达式，继而根据函数的性质确定其极值．（２)用数学方法求出的解具有更普遍的意义,这些解是否符合题意,且明确的物理意义,还必须加以分析，本题（２)问中，有一个解出现了“负质量”,这在物理中是不存在的，必须舍去.但在（３）问中，通过解方程也得到两个解,而这两个解则都合题意，则应保留．(3）在解第（４）问时，建立动量守恒和机械能守恒的方程时,选择了相互作用的初始时刻和相互作用过程中间的一个时刻，而不是相互作用末时刻.这正是运用了动量守恒和机械能守恒是对全过程而言的性质.!ｉedｔxx(`sｔylebkzd', `11０７P09.ｈｔm'）［例１7］小球A、Ｂ分别固定在长度均为L的轻线、轻杆的下端,杆的上端分别固定于Ｏ点，且均能绕O点无摩擦地转动。