重力势能和机械能守恒定律的典型例题

“重力势能和机械能守恒定律”的典型例题

【例1】如图所示，桌面距地面0.8m,一物

体质量为２kg,放在距桌面0．4ｍ的支架上．

（1)以地面为零势能位置，计算物体具有的

势能，并计算物体由支架下落到桌面过程中,

势能减少多少?

(２）以桌面为零势能位置时，计算物体具有的势能,并计算物体由支架下落到桌面过程中势能减少多少?

【分析】根据物体相对零势能位置的高度,直接应用公式计算即得．

【解】（1)以地面为零势能位置,物体的高

度h１＝１．2m，因而物体的重力势能：

Ｅp1＝ｍｇh1=2×９.8×1．２J＝23．52Ｊ

物体落至桌面时重力势能:

E p2=mgh２=２×9．８×０．8J=１5.6８J

物体重力势能的减少量:

△E p=E p１-Ｅｐ2=23．52J-15．68Ｊ＝7．8４J

而物体的重力势能:

物体落至桌面时，重力势能的减少量

【说明】通过上面的计算，可以看出,物体的重力势能的大小是相对的，其数值

与零势能位置的选择有．而重力势能的变化是绝对的，它与零势能位置的选择无关,其变化值是与重力对物体做功的多少有关.当物体从支架落到桌面时重力做功:

【例２】质量为2kg的物体自高为100ｍ处以5ｍ／s的速度竖直落下,不计空气

阻力，下落2s，物体动能增加多少？重力势能减少多少？以地面为重力势能零位置,此时物体的机械能为多少?(ｇ取1０m／s2）

【分析】物体下落时,只受重力作用，其加速度a=ｇ,由运动学公式算出２ｓ末的速度和2ｓ内下落高度，即可由定义式算出动能和势能．

【解】物体下落至2s末时的速度为：

2ｓ内物体增加的动能:

2s内下落的高度为：

重力势能的减少量：

此时物体离地面的高度为:

h′＝H－h=（10０-3０)ｍ=7０m

以地面为零势能位置时,物体的机械能为：

【说明】抛出后，由于物体只受重力作用,整个运动过程中只有重力做功,物体的机械能守恒.刚抛出时,物体的机械能为:

在下落过程中,重力势能的减少量恰等于动能的增加量,即

△E k=△E p

【例3】质量为1.０kｇ的物体,自空中落下,以8．0ｍ/s2的加速度经A点到达B

点,Ａ、Ｂ相距0．7５m.若物体在Ｂ点时的动能为８．０Ｊ,那么通过ＡB的过程中物体动能的增加量为多少？物体克服阻力做多少功?（取ｇ＝1０m／s2)

【分析】由于下落的加速度a

可算出阻力，于是即可得克服阻力的功.已知物体在B点的动能,可算出在Ｂ点的速度，结合运动学公式算出A点的速度后,即可算出动能的增量.

【解】设下落中物体受到的阻力为f,由

mg－f=mａ

得ｆ=mg－ma=１．0（10-8)N=2N

物体克服阻力做功：

物体从A落到B的过程中,动能的增加量为：

△E p=E kB-E kA=８.0Ｊ－２.0Ｊ＝6.0J

【说明】物体从A落到B的过程中,势能减少:

△Ｅｐ＝mgs=1×10×0.75Ｊ=7.5Ｊ

它大于物体动能的增加,可见其机械能不守恒．这是由于存在阻力的缘故．势能的减少与动能增加量之差恰等于物体克服阻力做的功，即

△Ｅp-△E k=Ｗf

这也就是从A到B的过程中所减少的机械能．

【例4】如图所示，光滑圆管形轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内

半径为R的半圆,圆管截面半径r《R,有一质量m,半径比r略小的光滑小球以水平初速v0射入圆管，（１）若要小球能从C端出来,初速ｖ0多大？(2）在小球从Ｃ端出来的瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况,初速v0各应满足什么条件?

【分析】小球在管内运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，要求小球能从C端射出，小球运动到C点的速度ｖc＞０．根据机械能守恒定律即可算出初速v0．小球从C端射出时可能有三种典型情况：①刚好对管壁无压力;②对下管壁有压力;③对上管壁有压力.同理由机械能守恒可确定需满足的条件.

【解】（1）小球从A端射入后,如果刚好能到达管顶，则v c=0，由机械能守恒

因此，要求小球能从C端出来，必须使v c>０,所以入射速度应满足条件

（２)小球从C端出来的瞬间,可以有三种典型情况：

①刚好对管壁无压力，此时需满足条件

联立得入射速度

②对下管壁有压力，此时相应的入射速度为

③对上管壁有压力，相应的入射速度为

【例5】如图所示，劲度系数k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2栓接,劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块２栓接,下端压在桌面(不栓接），整个系统处于平衡状态．现施力将物块1缓慢竖直上提,直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面.在此过程中，物块2的重力势能增加了______,物块1的重力势能增加了__＿_____.

【分析】设原来两弹簧压缩量分别为x１和x2,由物体的力平衡知

当施力将物块1缓慢上提至下面弹簧刚脱离桌面时,表示下面的弹簧已恢复原长,物块２升高的高度ｈ2=x2，所以在此过程中,物块2的重力势能增加

此时,上面的弹簧受到拉伸,设其伸长量为x'1，由物块2的力平衡条件知，

则物块1在这过程中升高的高度为

所以,物块1的重力势能增加

【例6】关于机械能是否守恒的叙述，正确的是[ ]

A．作匀速直线运动的物体的机械能一定守恒

B.作匀变速运动的物体机械能可能守恒

Ｃ．外力对物体做功为零时，机械能一定守恒

D．只有重力对物体做功,物体机械能一定守恒

【分析】机械能守恒的条件是除重力对物体做功外，没有其它外力对物体做功,或其它外力对物体做功的代数和等于零.

当物体作匀速直线运动时,除重力对物体做功外，可能还有其他外力做功．如降落伞在空中匀速下降时,既有重力做功，又有阻力做功，机械能不守恒.

物体作匀变速运动时,可能只有重力对物体做功,如自由落体运动，此时物体的机械能守恒.

因物体所受的外力,指的是包括重力在内的所有外力,当外力对物体做功为零时,可能是处于有介质阻力的状态,如匀速下降的降落伞，所以机械能不一定守恒．

【答】B,D．

【例7】某人以v0=4m／s的初速度,抛出一个质量为ｍ的小球,测得小球落地时的速度大小为８m／s,则小球刚抛出时离开地面的高度为多少？取ｇ＝1０m/ｓ2.空气阻力不计．

【分析】小球从抛出到落地过程中,不受阻力,只有重力做功,由小球的机械能守恒即可算出离地高度.