数学史资料

§5.2阿拉伯数学

5.2.1阿拉伯文明概况

阿拉伯国家指以阿拉伯民族为主体的国家，大多分布在亚洲西部和北非一带，一般使用阿拉伯语，信奉伊斯兰教。然而“阿拉伯数学”并非指阿拉伯国家的数学，而是指8-15世纪阿拉伯帝国统治下的中亚西亚地区的数学，是穆斯林、希腊人、波斯人和基督徒等所写的阿拉伯文数学著作。

穆斯林在默罕莫得（mohammed）的鼓舞下，在默罕莫得死后（632）不到半个世纪的时间内征服了从印度到西班牙，乃至北非和南意大利的大片土地，到7世纪初，阿拉伯半岛基本统一。661年，叙利亚总督摩阿维亚(muawiyah)被选为哈里发后改为世袭制,开始了倭马亚王朝(umayyads, 661-750).755年阿拉伯帝国分裂为两个独立王国。750年阿布尔·阿拔斯(abū'l-abbās,722-754)推翻倭马亚王朝，建立了东部王国阿拔斯王朝，762年迁都巴格达。756年，逃亡到西班牙的倭马亚王朝后裔阿卜杜·拉曼(abdal-rahmān) 宣告建立西部阿拉伯王国，定首都西班牙的哥尔多华。909年，伊斯兰什叶派脱离巴格达，在北非突尼斯建立一个新的哈里发国家，973年迁都埃及开罗。

11世纪开始，阿拉伯帝国受到外民族的侵略，11世纪初东亚突厥人一支的塞尔柱(seljuk)人入侵阿拉伯，并于1055年在巴格达建立素丹政权；1097年十字军东征，开始了基督教欧洲对穆斯林亚洲的征服；1258年，蒙古人旭烈兀(1219-1265)占领巴格达，建立伊儿汗国，从此阿拉伯帝国灭亡。

在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献。阿拉伯建国后，东西两个帝国的哈里发都十分重视科学与艺术事业，他们曾经从拜占庭帝国收买过大量希腊人手稿，他们还延请各地科学家到他们的首都从事科学研究，巴格达成为当时的科学文化中心与商业中心，那里设有学院、图书馆、天文台等科学机构。6世纪柏拉图学院被罗马王封闭后，很多希腊学者转入波斯，这样具有希腊学术传统的波斯文化后来成为阿拉伯文化的一部分。埃及的亚历山大里亚城曾是希腊的学术中心，被阿拉伯征服后，也成为留给阿拉伯人的重要文化遗产，而且叙利亚学派所在的安提阿、大马士革与基督教景教派所在地以得撒，都在阿拉伯帝国的统治下。这样阿拉伯获得印度、希腊、近东等多地区的文化，大多来源于希腊人的手稿或叙利亚与希伯来文译本。今天的研究表明，中国的文化也曾直接流入阿拉伯，或通过印度间接传播阿拉伯世界。

在曼苏尔哈里发时期，婆罗摩笈多等印度天算家的著作在766年左右传入巴格达，并译成阿拉伯文，8世纪末到9世纪初的兰希哈里发时期，包括《几何原本》和《大汇编》在内的希腊天文数学经典先后都被译成阿拉伯文字。9世纪最著名翻译家，阿拉伯学者伊本·科拉（Tabit ibn Qorra,836-901)翻译了欧几里得、阿波罗尼乌斯、阿基米德、托勒玫、狄奥多修斯等人的著作。到10世纪丢番图、海伦等人著作也被译成阿拉伯文。

5.2.2阿拉伯数学

在中世纪的东方，除中国人之外，阿拉伯人在科学上的成就是非常突出的。就数学而言，阿拉伯人的成就主要在代数学、三角学方面，更为重要的是，阿拉伯人在把古代东方数学文化传播到欧洲，导致欧洲近代数学的建立，作出了不可磨灭的贡献。

1.代数学

阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面。花拉子米

(Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi,约783~850)是中世纪对欧洲

数学影响最大的阿拉伯数学家，他的《还原与对消计算概要》

（al-kitāb al-mukhta sar fī hisāb al-jabr wa'l-muqābala）

（约820年前后）一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大

影响。阿拉伯语“al-jabr”, 意为还原移项，“a'l-muqābala”

即对消之意，传入欧洲后，到十四世纪“al-jabr”演变为拉丁语

“algebra”，也就成了今天的英文"algebra"。《代数学》的内容

主要是算术问题，尽管所讨论的数学问题比丢番图和印度人的问题

简单，但讨论一般性解法而比起丢番图的著作更接近于近代初等代数。《代数学》首先指出，该书的数学问题都是由根（x）、平方（x2）和数（常数）这三者组成。接着分六章叙述6种类型的一、二次方程求解问题。第一章讨论“平方等于根”的

方程，即ax2 = bx 型方程；第二章讨论“平方等于数”的方程，即ax2 = b 型方程；第三章讨论“根等于数”的方程，即一次方程ax = b；第四、五、六章是关于三项二次方程求解问题，分别讨论三种类型的二次方程：

x2 + px = q，x2 + q = px，x2 = px + q ,

都给出了相应的求根公式。这六种方程的系数都是正数，可统一为以下一般形式

x 2 + px + q= 0

这样，花拉子米相当于获得一般的求根公式.

每一问题求出正根x后，花拉子米又求出根的平方x2。他明确指出，二次方程可能有两个正根，也可能有负根，但他不取负根与零根。

在以上六章内容之后，花拉子米又以几何方式证明上述各种解法的合理性。花拉子米还指出，任何二次方程都可以通过“还原”与“对消”（即移项与合并同类项）的步骤化成他所讨论的六种类型方程。由此可见，《代数学》关于方程的讨论已超越传统的算术方式，具有初等代数性质，不过，在使用代数符号方面，相对丢番图和印度人的工作有了退步。花拉子米用几何方式证明代数解法的传统被阿拉伯其它数学家所继承，这种几何证明方式的来源今天尚不清楚，它似乎来源于希腊人的传统，但更接近于中国宋元数学中的“条段法”。

花拉子米的另一本书《印度计算法》（algoritmi de numero indorum）也是数学史上十分有价值的数学著作，其中系统介绍印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法。尽管在8世纪印度数码和记数法随印度天文表传入阿拉伯，但并未引起人们的广泛注意，正是花拉子米的这本书使它们在阿拉伯世界流行起来，更值得称道的是，它后来被译成拉丁文在欧洲传播，为欧洲近代数学的发生提供了科学基础，所以欧洲一直称这种数码为阿拉伯数码。该书在欧洲传播后，“algoritmi”也演变为“algorithm”。

花拉子米的数学工作为艾布·卡米勒（abu kamil，约850~930）所继承，此人被称作“埃及的计算家”，可能是埃及人。他的《计算技巧珍本》的传播和影响仅次于花拉子米的《代数学》，许多数学问题也采自于花拉子米的书，他把埃及、巴比伦式的实用代数与希腊式理论几何结合起来，也常常用几何图示法证明代数解法的合理性。其另一著作《论五边形和十边形》包括几何和代数两方面的内容，关于四次方程解法和处理无理系数二次方程是其主要特色。

波斯人奥马·海亚姆（omar khayyam，1048?-1131）是11

世纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人，他曾

得到塞尔柱统治者马利克沙（malik-shah,1055~1092）的

重用，受命在伊斯法罕（今伊朗境内）天文台负责历法改

革工作，制定了精密的哲拉里历。他在代数学方面的成就

集中反映于他的《还原与对消问题的论证》（简称《代数

学》）一书中，其中有开平方、开立方算法，根据奥马自

己所说，这些方法来源于印度算法，但后人将其与印度的

相关方法相比较，发现相去甚远，倒与中国的宋元时期的

增乘开方法十分接近，而且在取实数根的近似分数时，采

用与秦九韶、朱世杰相同的公式。该书对代数学发展的最

杰出贡献是用圆锥曲线解三次方程。

希腊人门奈赫莫斯（menaechmus,约bc360）为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线，实际上它与三次方程x3 = 2a2相联系。阿基米德在解用平面截球，使所截得的两部分体积比为定值的问题时，导致一个三次方程：x2(a -x) = bc2。他利用两条圆锥曲线 y(a - x) = ab和ax2 = c2y 的交点来求解。阿基米德的传统启