高中数学易错题分类及解析

高中数学中的易错题分类及解析关键词：高考数学易错题全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩. 易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性. 易错题的分类解析: 分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析. 本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集. 下表是易错题分类表：数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动 . 从 数学学习的认知结构上讲， 数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深 度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构. 所以，数学中有许多题目，求解的思路并不繁杂， 但解题时，由于读题不仔细， 或者对某些知识点的 理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨 论⋯⋯等等原因，都会导致错误的出现 . “会而不对，对而不全” ，一直以来都是严重影响考 生数学成绩的重要因素 .一．易错题的典型特征 解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关 度有关 . 同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关 .1．考生自我心理素质 ：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的 产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程 . 部分考生题意尚未 明确，加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维 定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍 .2．易错点的隐蔽性 ：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体，而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五 个因素组成 . 数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考 生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用 . 个体思维的跳跃性是产生思维漏洞 的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强 3．易错点形式多样性 ：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般 有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、 数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等 . 4．易错题的可控性 ：学生的认识结构有其个性特点 . 在知识总量大体相当的情况下，有的 学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对 知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取 . 在学生形成了 一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理 和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和 完善，所谓“吃一堑长一智” . 只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的 “警戒点” , 养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少 .1. 数学概念的理解不透数学概念所能反映的数学对象的属性， 不仅是不分精粗的笼统的属性， 它已经是抓住了 数学对象的根本的、 最重要的本质属性 . 每一个概念都有一定的外延与内涵 . 而平时学习中对 概念本质的不透彻， 对其外延与内涵的掌握不准确， 都会在解题中反映出来， 导致解题出错 例 1. 若不等式 ax 2 +x+a < 0 的解集为 Φ，则实数 a 的取值范围（ ）11 11 11 A.a ≤ - 或 a ≥B.a <C.-≤ a ≤D.a ≥2 22222【错解】选 A.由题意，方程 ax 2 +x+a=0的根的判别式 0 1 4a 2 0, 又与试题的难易程易错题的分类解析1≥ ，所以选 A.2【错因分析】 对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握， 对题目的影响 .正确解析】 D .不等式 ax 2 +x+a <0 的解集为 Φ，若 a=0,则不等式为 x<0 解集不合已知条22件，则 a 0 ；要不等式 ax 2 +x+a < 0 的解集为 Φ，则需二次函数 y=ax 2 +x+a 的开口向上例 2. 命题“若△ ABC 有一内角为 ，则△ ABC 的三内角成等差数列” 的逆命题是 （ ）3A ．与原命题真值相异B ．与原命题的否命题真值相异C ．与原命题的逆否命题的真值不同D ．与原命题真值相同【错解】选 A. 因为原命题正确，其逆命题不正确 .【错因分析】 本题容易出现的错误是对几个概念的理解失误： 逆命题——将原命题的题设和 结论交换、 否命题——将原命题的题设和结论同时否定， 逆否命题——将原命题的题设和结 论交换后再同时否定， 原命题与逆命题、 否命题与逆命题是两对互为逆否的命题， 互为逆否 的命题是等价的 .【正确解析】选 D.显然，原命题正确；其逆命题为： “若△ ABC 的三内角成等差数列，则 △ABC 有一内角为 3 ”.也正确，所以选 D.1x例 3.判断函数 f （x ）=（x － 1） 1 x 的奇偶性为 __________________1x(B )l 1 l 2， l / /l 3 l 1 l 3f( x) 1 ( x)2 1 x 2f （x ） ，所以 f （x ）为偶函数 .【错因分析】上述解法有两个错误： 1 未考虑函数的定义域； 2.x-1<0 ，放入根号内后根号前应添负号 .【正确解析】非奇 非 偶 函 数 .y=f （x ） 的 定 义 域 为1 x 0 (1 x)(1 x) 0 1 x 1 ，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇1 x 1 x 0非偶函数 .例 4. （2011 四川） l 1， l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）忽视了开口方向 且与 x 轴无交点，所以 a>0 且a21 4a2 0 1a . 2错解】偶函数 . f(x)= (x1) 11 x x2(1 x)(x 1)21x(1 x)(1 x) 1 x 2 ，所以(C) l1//l2 / /l3 l1，l2，l3共面(D)l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【错解】错解一：选 A.根据垂直的传递性命题 A 正确；错解二：选 C. 平行就共面；【错因分析】错解一、二都是因为对空间的线线平行、线线垂直、共面等概念的理解不透彻所致.【正确解答】选 B.命题 A 中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题 C 中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题 D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面.例 5.x= ab 是a、x、 b 成等比数列的( )A. 充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【错解】 C.当.x= ab 时，a、x、b成等比数列成立；当a、x、b 成等比数列时，x= ab 成【错因分析】对等比数列的定义理解不透.【正确解析】选 D.若x=a=0，x= ab 成立，但a、x、b 不成等比数列，所以充分性不成立；反之，若a、x、b 成等比数列，则x2 ab x ab ，所以x= ab 不一定成立，必要性不成立.所以选 D.例6．(1) 把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率.(2) 某种产品100 件，其中有次品 5 件，现从中任抽取 6 件，求恰有一件次品的概率. 分析: (1)【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2× 2=8 种，而出现两正一反是一种结果，1故所求概率P= 1.8【正解】在所有的8 种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，3正、反、正，反、正、正，因此所求概率P , 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解8不清，所有8 种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式P m自然就是错误的.n(2) 【错解】由题意知，这种产品的次品率为5%，且每次抽取相互独立，由独立重复实55 验概率公式，得：6件产品中恰有 1 件次品的概率为：P6 (1) C165 (1 5 )50.2321 .6 6100 100【正解】在上题的解法中有两个错误：第一，100 件产品，其中有 5 件次品与次品率为5% 是两个不同的概念；第二，该实验不是独立重复实验，从100 件产品中任抽 6 件，可当作抽反函数的图像大致是2. 公式理解与记忆不准数学公式众多， 学生在应用公式解决数学问题时， 由于理解不准确 (例如公式成立的条 件未考虑)或记忆不准确，极易导致运算失误.例如公式 a b 2 ab(a 0,b 0, 当且仅当 a=b 时“ =”成立)中极易忽略数 a,b 均为正和取等号的条件，还有学生把我们常用的一1 u uv uv些 公 式 记 成 下面 的 一 系列 错 误 公 式 ： x 2 x ， 1 1 x 1 ， (u ) uv 2uv ，x vv 2log a (x y) log a x log a y 等等.14例 7.若 x 0, y 0,x y 1 ，则 1 4 的最小值为 __________________ .xy错解】 1 4 2 44 18 ，错解原因是忽略等号成立条件(x 2y )2x yxy 正解】 1 4= xy4(x y) 5 y 4x 9x y =xy x y3例 8. 函数 y=sin 4x+cos 4x － 的相位 ____________ ，初相为 ________ .周期为 _______ ，4单调递增区间为 ___________ .31 【错解】 y=sin 4x+cos 4x － = cos4x ，所以相位为 4x ，初相为0，周期为 ，增区间为 ⋯.4 4 2【错因分析】应先把函数转化为正弦型函数 . 教材中关于相位、初相⋯⋯的定义是在正弦型 函数的基础上 .3. 审题不严审题， 是解题的第一步， 考生在审题过程中可能发生读题不清楚、 未发现隐含条件及字 母的意义含混不清等错误1)读题不清了 6 次，每次抽 1 个，但每次抽到次品还是正品， 显然直接影响到下一次抽到次品或正品的概率， 次品就少了一个， 第二次再抽到次品的显然直接影响到下一次抽到次品还是正品， 具体地说， 如果第一次抽出的是次品， 那么 ⋯ 这就是说各次实验之间并非独立的，用了独立重复实验概率公式，正确解法应为：C 5C 5 95C 16000.2430 .31 【正确解析】 y=sin 4x+cos 4x － = cos4x 44 2k 1 k 期为 ，单调递增区间为 [2k 1 ,k](k 2 4 21 4 sin(4x2) .相位为 4x 2 ，初相为 2，周Z).例 9. (2011 四川 ) 已知 f(x) 是 R 上的奇函数，且当 x 0 时，f(x) (12)x1，则 f (x) 的1错解】选 B.因为 y ( )x 在 x 0 内递减，且 f (x)2【错因分析】考生未看清楚题目是求 f (x) 的反函数的图像 .【正确解答】 A. 根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、1x定义域相同 .当 x 0,0 (2)x 1, 1 y 2，所以选 A.或者首先由原函数过点( 0， 2)， 则其反函数过点( 2，0)，排除 B 、C ；又根据原函数在 x 0 时递减，所以选 A.例 10.编号为 1，2，3，4，5 的五个人，分别坐在编号为 1，2，3，4，5 的座位上，则至多 有两个号码一致的坐法种数为( )A ． 120B.119C.110D.109【错解】“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个(即五个)号码一致” ， 三个 号码一致有 C 53A 22种，四个号码一致仅一种，所以所求的坐法种数为 A 55 C 53 A 22 1 99 ，无选项 .【错因分析】三个号一致时，另两个号则不能一致，例如已经选择了 1、2 和 3 号一致，则4 号人只能坐5 号位且 5 号人坐 4 号位，仅一种坐法而不是 A 22 种 . 读题不清导致解题出错 .【正确解析】选 D . “至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个(即五个)号码一 3 致”，三个号码一致有 C 53种(若三个号一致，另外两个不在自己号位仅一种方法) ，四个号 码一致仅一种，所以所求的坐法种数为 A 55 C 53 1 109.选 D.例 11. 一箱磁带最多有一盒次品 .每箱装 25 盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是 0.01. 则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .【错解】一 箱磁带 有一盒 次品的概率 0.01 (1 0.01)24 ， 一箱磁带 中无次品的概 率25 24 25(1 0.01)25，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是 0.01 (1 0.01)24 + (1 0.01)25 .【 错 因 分 析 】 由 于 这 一 箱 磁 带 共 25 盒 ， 则 一 箱 磁 带 有 一 盒 次 品 的概 率 应 为 1 24C 125 0.01 (1 0.01)24 .正确解析】 一箱磁带有一盒次品的概率 C 125 0.01 (1 0.01)24 ，一箱磁带中无次品的概率( )x 1过点( 0，2)，所以选 B.0 25C 25 (1 0.01) ， 所 以 一 箱 磁 带 最 多 有 一 盒 次 品 的 概 率 是 1 24 0 25 C1250.01 (1 0.01)24 +C 205 (1 0.01)25.【点评】在做文字较多的排列组合或概率题时应特别细心读题， 读懂题目中的关键词的含义 (2) 忽视隐含条件数学题目中有很多隐含条件，例如已知“直线与圆有公共点” ，这就隐含着“联立直线1 与圆的方程消元后的二次方程的判别式 0 ”，又如“求函数 y 1 的值域”隐含 sinx2 着“ 1 sinx 1 ”这个有界性条件⋯⋯ . 审题过程应尽可能找出这些隐含条件后再解题 .例 12. 设 、 是方程 x 2 2kx k 6 0的两个实根，则 ( 1)2 ( 1)2 的最小值是()49(A) (B) 8 (C) 18(D)不存在4错解】 利用一元二次方程根与系数的关系易得：2k, k 6,(1)2 ( 1)222 1 2 21()2 2 2( )232 494(k)2. 选 A.44错因分析】受选择答案(A )的诱惑，一看到4(k3)249则立即选了答案 49. 这4 4 4正是思维缺乏反思性的体现 . 忽视了一元二次方程有根，则判别式 0这个隐含条件1 ( )2 2 2( ) 2∴ 4k 2 4(k 6) 0当 k 3时， ( 1)2 ( 1)2 的最小值是 8； 当 k2时， ( 1)2 ( 1)2 的最小值是 18.选 B.2例 13. 已知 (x+2) 2+ y =1, 求 x 2+y 2 的取值范围 .48 28 【错解】由已知得 y 2=－ 4x 2－ 16x － 12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+ )2+33 8 28 28 ∴当x=－3 时， x 2+y 2有最大值 3 ，即 x 2+y 2的取值范围是 ( －∞ , 3 ].(1)2(1)2 22 1 2 24(k3)249.原方程有两个实根 、4 4.k2或 k 3.正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得： 2k, k 6,0 所以 x=1 或 x=2.所以解集为 {1 ，2}.x=1. 实际上当 3x 1 1 0 时， 3x 1 2<0 导致对数的真数为负数 则原方程无意义例 15. 已知在 6 个电子元件中，有 2 个次品， 4 个合格品，每次任取一个测试，测试完不再 放回，直到 2 个次品都找到为止，求经过 4 次测试恰好将 2 个次品全部找出的概率 . 分析 :错解一 : 经过 4 次测试恰好将 2 个次品全部找出 ,表示前 4 次中有 2 次取到正品和 2 次A 2A 2 1取到次品，故所求概率为 A 4A 44= 1..A 64 5错解二 : 经过 4 次测试恰好将 2 个次品全部找出表示第 4 次正好取到次品，故所求概率为C 21C 42 A 33A64正解:若仔细审题，我们会发现：经过 4 次测试恰好将 2 个次品全部找出，不仅包括 4 次正 好取到次品， 前 3 次中有一次取到次品， 还有前 4 次正好都取到合格品的情况， 即此时剩下log 2 (9 x 1 5) log 2 (3x 1 2) 2log 2(9 x 1 5) log 2(3x 1 2) log 24 09x15 4(3x 1 2)log 2(9x 1 5) log 2 4(3x 1 2)3x 12 0 3x 13 0 x 29x15 0正 解所以解集为 {2}.错因分析】没有注意 x 的取值范围要受已知条件的限制 【正确解析】由已知得2由于 (x+2) 2+ y =12 2 2 2 28 2 28 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+ )2+ 332(x+2) =1－ 4 ≤ 1 － 3≤x ≤－ 1，从而当 x=－1 时 x 2+y 2有最小值 1. ∴ x 2+y 2 的取值范围是 [1,点评】注意一些代数式的有界性，例如 x 2≥ 0，－ 1≤ sinx ≤ 1， a x >0 等及圆锥曲线有界 性等.例 14. 方程 log 2(9 x 1 5) log 2(3 x 12) 2 0 的解集为log 2 (9 x 1 5) log 2 (3x 1 2) 2 0 log 2(9x 1 5)log 2(3x 1 2) log 2 4 0x 1 x 1log 2 (9 x 1 5) log 24(3x 12)x 1 x 19x 15 4(3x 12)x 1 x 1(3x 11)(3x 1 3) 03x 1 1 0或 3x 1 3 错因分析】产生了增根2851 的离心率为 ，则两条渐近线的方程为4A.x9 y16B.x 16 y 0 9C.x 3 y 0 4D.x 4 y 3 0【错解】选 D.c 5 2c25a 2 b2b 2b 29 b 33x yeyx 0216212216a 4aaa aa444 3，选 D.【错因分析】审题不认真，混淆双曲线标准方程中的22yx1 2 2 1 ，与标准方程中字母 a,b 互换了 . 选 C.ba4. 运算错误运算能力是思维能力和运算技能的结合． 运算包括对数字的计算、 估值和近似计算， 对 式子的组合变形与分解变形， 对几何图形中各几何量的计算求解等． 运算能力包括分析运算 条件、 探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力， 也包括在 实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力． 而计算出错， 已经成为影响数学成绩的最重要 因素之一 .运算出错主要有以下几种：(1)数字与代数式运算出错 数字运算，移项、合并同类项、因式分解等整式变形、繁分式化简、无理式变形等式子 的等价变形是考生最容易出错的地方 .正确解析】 a r b (5 , 7 2 ) ，例 17. 若 a (5, 7),b ( 1,2)，且( a b )b ，则实数 的值为 __【错解】 a rr b(5 , 7 2 ) ，rrrr则( a b )b (a rb) b 0 52( 7 2 ) 0 3.2 个都是次品，所以，经过 4 次测试恰好将 2 个次品全部找出的概率为C 2C 4 A 3 A 4 44A 64153)字母意义含混不清22 例 16. 若双曲线 x 2 y 2a 2b 2a 和题目中方程的 a 的意义 .22正确解析】 x 2 y 2 a 2b 2(5 ) ( 1) 仍等于 5 导致出错 .0 r brbrarb19)2725例 18. 已知直线 l 与点 A （ 3，3）和 B （5，2）的距离相等，且过二直线 l 1：3x －y －1=0 和l 2 ： x+y － 3=0 的交点，则直线 l 的方程为 _____________________【错解】先联立两直线求出它们交点为（ 1，2），设所求直线的点斜式，再利用 A 、B 到它的 距离相等建立方程得 |2k 1| |4k |k 1，所以所求直线为 x+2y-5=0.k 2 1 k 2 1 2【错因分析】显然，解方程时漏了一根，含绝对值的方程应讨论（或平方）求解，一般有两 根. 【正确解析】 x-6y+11=0 或 x+2y-5=0. 联立直线 l 1 ：3x － y － 1=0 和 l 2 ：x+y － 3=0 的方程得它们的交点坐标为（ 1， 2），令过点（ 1， 2）的直线 l 为：y-2=k(x-1) （由图形可看出直线 l 的斜率必然存在） ， 由点到直线的距离公式得： |2k 1| |4k| k 1,k 6 1， 所以k 21 k 21 2直线 l 的方程为 :x-6y+11=0 或 x+2y-5=0.（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而 出错在同样的题目条件下， 不同公式的选择及不同运算程序都将极大影响运算的速度和准确 度.例 19. 已知圆 （x － 3）2+y 2=4 和直线 y=mx 的交点分别为 P ， Q 两点， O 为坐标原点，则OP OQ 的值为 .运算繁杂的解法】联立直线方程 y=mx 与圆的方程 （x －3）2+y 2=4 消 y ，得关于 x 的方程22(1 m )x 6x 5 0，令 P(x 1, y 1),Q(x 2,y 2) ，则 x 1 x 2uuur uuur 5 5m 2所以 OP OQ OP OQ x 1x 2 y 1y 2 52 5m2 5 .1 m2 1 m 2【分析】上述解法正确，也得出了正确答案，但运算繁杂 . 下面的解法简洁明了 . 【正确解析】根据圆的切割线定理，设过点 O 的圆的切线为 OT （切点为 T ），由勾股定理， 则 OP OQ OT 2 32 22 5.例 20.长为 1 的正四面体内有一点 P ，由点 P 向各面引垂线，垂线段长度分别为 d 1， d 2， d 3，d 4，则 d 1＋d 2＋d 3＋d 4 的值为【运算繁杂的解法】在正四面体 S-ABC 内任取一点 P ，则6 2,x 1 x 21m，则y 1y 2 2m x 1x 25m21 m 2uuru uuru，由于向量 OP 与向量 OQ 共线且方向相同，即它们的夹角0，3 4 (d 1 d 2 d 3 d 4 ) d 1 d 2 d 3 d 4 3分析】上述解法正确，但如果采用下面的特殊值（特殊点）所以所求值为 4r= 63两点，满足条件的有上、下各一条（关于 x 轴对称），所以共 3 条 . （4）计量单位缺乏量纲意识22 P 万元和 Q 万元，它 们与投入资金 x （万元）的关系有经验公式 P 1x,Q 7 x .现有 3 万元资金投入经营甲、 55 乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少元？【错解一】 设对甲种商品投入金额 x 元，则乙种商品投资为 30000- x 元，获得利润总额为 yx 轴对称），所以共 4 条 .例 21.曲线 x 2－ y 1的右焦点作直线交双曲线于 A 、B 两点，且 AB 4 ，则这样的直线VS ABCV P ABC V P ABS V P ACS V P BCS13 341* 2 ( 33 * *)2法，运算更为简洁 正确解析】6. 令 P 为正四面体的中心（显然，3P 的位置不影响正确答案） ，则d 1 d 2 d 3d 4 r （ r 为内切球半径） ，而棱长为 1 的正四面体的内切球半径为r= 6 , r= ,12错因分析】实际上，通过计算可知，过右焦点且与X 轴垂直的弦 AB （即通径）为22b 2 24 ，恰好为所需长度，因此过右焦点的直线与右支相交于 1A 、B 两点时，仅有一条满足条件 .2正解】过右焦点且与 X 轴垂直的弦 AB （即通径）为 2b 2 2a4，所以过右焦点的直 线，与双曲线右支交于 A 、 B 时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、 右分别两交于A 、B13y 1 x 3 30000 x,x [ 0,30000] ，如法炮制，令5530000 x t,则x 30000 t2,t [0,100 3]1 2 3 1 3 2 9y (30000 t 2 ) t (t )2 6000 ,t [0,100 3].5 5 5 2 203t x 29997.75(元),30000 x 2.2(5 元).2【错解二】设对甲种商品投入金额x元，则乙种商品投资为30000- x 元，获得利润总额为y 元.把利润总额单位转化为元，则y 1 x 10000 3 30000 x,x [0,30000]55令30000 x t,则x 300000 t 2,t [0,100 3]3 3 9y 2000 (30000 t2) t 2000(t )2 6 10710 5，t [0,100 3].5 20000 23 3 2t .时y 最大，此时对甲商品资金投入量为x 30000 ( ) 2 29999.9999999775 20000 20000元，对乙商品资金投入量为0.0000000225 元.，此时甲商品获得利润60000000.000045 元(. 不管怎样分配，甲商品都赚了投入资金的1999 倍的钞票！)【错解三】设对甲种商品投入金额x元，则乙种商品投资为30000- x 元，获得利润总额为y 元.由于利润总额单位为万元，故y 1 (1 x 3 30000 x)，10000 5 5令30000 x t,则x 300000 t 2,t [0,100 3]1 2 3 1 3 2 9y (30000 t 2) t [(t )2 6000 ],t [0,100 3].50000 50000 50000 2 203t x 29997.75(元),30000 x 2.2(5 元).2P 1 x,Q 3 x 的单位理解不清.从量纲角度看，长55度立方为体积、长度平方为面积（正如体积的立方根为长度、面积的算术平方根长度一样）Q 3 x 的单位由经验公式给出的前提是变量x 的单位万元确定，因此，5【正解一】设对甲种商品投入金额x 万元，是乙种商品投资为（3- x）万元，获得的利润总额为y 万元.由题意，得y [0,3] ,设 3 x t,则x 3t ,t [0, 3] ，则y 15(35 t 2)15(t 32)221221,t3当t2[0, 3]时,y max 21221 ,即x94 34 ， 3 334元.则将利润总额为y 的单位换算成元有：错因分析】量纲不统一，对经验公式因此，为获取最大利润，对甲、乙两种商品的的资金投入应分别为 元，获得的最大利润为 1.05 万元 .【正解二】 设对甲种商品投入金额 x 元，则目标函数应该为1 x 3 x 13y 3 = x 30000 x5 10000 510000 50000 500令 30000 x t,则x 300000 t 2,t [0,100 3]1 2 3 1 2 21 2 则 y (30000 t 2)t (t 150)2 x 30000 t 250000 500 50000 205. 数学思维不严谨不是最小值 .值是 2( 2 1).1 1 22 + 2 )+4=[(a+b) 2－2ab]+[(ab 2 1 1 1) 2= 1得：1－ 2ab ≥ 1－ = , 且4 2212+b 2+ 2 a2]+4= (1 － 2ab)(1+ 21 2 )+4，由 ab ≤( a b aba 2b 2 2 1 25 ≥17，∴原式≥ × 17+4= 22 1 251) 的最小值是 . b 2正确解析】原式22+ 2 +4=( a 2+b 2)+( b 222 11 + ) －ab1≥ a 2b 216， 1+ 1 22 ab 12∴ (a + ) + (b + a ( 当且仅当 1 a=b= 时，等号成立 ) ， 2 例 24. 已知两正数 x,y 满足 x+y=1, 则 z=(x 1 )(y x 1y) 的最小值为 错解一】因为对a>0, 恒有 a12, 从而az=(x1)(y 1) 4, 所以 z 的最小值是 4. xy2 错解二】 zx 2y 2 2xyxy(x 2y xy)222xy 2 2( 2 1) ，所以 z 的最小 xy0.75 万元和 2.25 万7500 (余与解一同)错解】 (a+ * 1) 2+(b+ 1) 2=a 2+b 2+ 12 12 a b a 2 b 2 1 2 1 + +4≥ 2ab+ +4≥4 ab? +4=8. ab ab 1 2 1 2 ∴ (a+ ) +(b+ ) 的最小值是 8.ab错因分析】上面的解答中，两次用到了基本不等22a 2+b 2≥2ab ，第一次等号成立的条件a=b=1 ,第二次等号成立的条件是 21 ab= ，显然，ab这两个条件是不能同时成立的 . 因此， 811 【错因分析】解法一中，等号成立的条件是x 1且y 1,即x 1且y 1,与x y 1相矛xy21 盾；解法二中，等号成立的条件是xy,即xy 2 ，与0 xy 相矛盾.xy 4【正解】z=(x 1)(y1y)=xy1y x 1 xy(x y) 2xy2xy2，令x y xy x y xy xy xyt=xy,则0 t xy(x y)21，由 f (t)t2在0,1上单调递减, 故当t= 1时24t44f(t)t 2有最小值33,所以当xy1时z 有最小值33 t424(2)以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性.例25．(1) 不等式|x+1|(2x －1)≥0 的解集为_____________(2) 函数y 1 x的定义域为. 1x解析：11(1)【错解】[ , ). 因为|x+1| 0恒成立，所以原不等式转化为2x-1 0，所以x [ , )【错因分析】忽略了当x=－1 时|x+1|=0 原不等式也成立，即x=-1为不等式的解.【正确解析】[12, ){ 1} . 原不等式等价于|x+1|=0 或2x-1 0 ，所以解集为1x [12, ){ 1} .(2) 【错解】1x01x(1 x)(1 x) 0 x 1 或x 1.【错因分析】两个错误：一是解分式不等式(方程)时未考虑分母不能为0；二是解二次不等式时没有把二次项系数变为正再考虑两根之外或两根之间，从而导致解集出错【正解】1 x(11 x 1x)(1 x) 0 x0(1xx)(x 1)11x1例26. 过点(0,1) 作直线，使它与抛物线2y24x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A.1 条B.2 条C. 3条D. 0条【错解】设直线的方程为y kx 1 ，联立y24x，得kx 1 2 4x ，y kx 1即： k 2x 2 (2k 4)x 1 0 ，再由Δ＝ 0, 得 k=1,得答案 A.【错因分析】 本题的解法有两个问题， 一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了， 另外又将斜率k=0 的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条 .【正确解析】 C.由上述分析， y 轴本身即为一切线，满足题意；解方程k 2x 2 (2k 4)x 1 0时，若 k=0，即直线 y=1 也与抛物线 y 2 4x 仅有一个公共点，又【错因分析】采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) = a x + b ，x 其值是同时受 a 和b 制约的 .当 a 取最大(小)值时， b 不一定取最大(小)值，因而整个 解题思路是错误的 .f(1) a b正确解析】由题意有 b , 解得：f(2) 2a2错因分析】求集合 B 时，未考虑分式不等式中分母为零这一条件 (若 B 中不等式为 f (x) 0k=1 时也合题意，所以有三条直线合题意，选 (3) 解题时忽视等价性变形导致出错 例 27. (1)已知 f(x) = a x + b ，若 3xC.f (1) 0, 3 f (2) 6,求 f (3)的范围 .2)已知集合 A {x||x a| 1} ，B{x|2x 2 x 30 x30} ，且 A B ，求实数 a的取值范围解析：(1)【错解】由条件得3 a b 03 2a b 62①× 2－②得8 b2④3 33③+④得10 3a b 43, 10 即10 f(3)33 3 343312a 13[2f(2) f (1)],b 23[2f(1) f (2)], 335 f(1). 把 f (1) 和 f (2) 的范围代入得9 1 x a 1b 3 196f(2) 2)【错解】由题意， A ： a f(3) 3a136 f(3) 3372x 2x 30B ：x30 (x 6)(x 5)(x 3) 0 {x|x 6或 5x 3} ⋯⋯ ( 后面略 )由②× 2－① 6 a 15或f (x) 0 形式而不是 f (x) 0 或f (x) 0则不需要考虑此问题)正确解析】由题意，A={x|a 1 x a 1}2x2x 30B：0x3(x 6)(x 5)(x 3)x 3 0{x|x 6 或5 x 3}, 6) U [4,5)例28. 已知数列a n的前n 项和S n2n 1，an.错解】a n S n S n 1 (2n 1) (2n1) 2n2n12n 1错因分析】显然，当n 1时，a1S1 3 21 1 1 ，不满足上述公式.没有注意公式a n S n S n 1成立的条件是n 2.正确解析】当n 1时，a1 S1 3 ，n 2时，a n S n S n 1 (2n 1) (2n 1 1) 2n2n 12n 1 1. 所以3a nn2n(n 1)例29. 实数a 为何值时，圆x2 y22ax a 2 1 0 与抛物线y2(n 2)1x 有两个公共点.2错解】将圆x2 y2 2ax a2 1 0 与抛物线 2y21 x 联立，2消去y ，得x2(2a 21)x a21 0 (x 0).因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，2a ，解之得17a8 错因分析】如下图( 1)(2). 显然，当ay图10.圆与抛物线有两个公共点图2时，x正确解析】 要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、公共点 .3 2q 31 0.解得 q .2【点评】本题为 1996 年全国高考文科试题，不少考生的解法与错误解法相同，根据评分标 准而痛失 2 分.相等正根 . 当方程①有一正根、一负根时，得 0a 21解之，得 1 a 1.0.17 因此，当 a 17 或82 1 a 1时，圆 x 2 2y 2ax0 与抛物线 y1 x 有两个2【正确解析】若q 1 ， 则有 S 3 3a 1,S 66a 1,S 99a 1 .但 a 1 0 ，即得 S 3 S 6 2S 9,与题设矛盾，故 q 1.又依题意S 3S 62S 9a 1(1 q3) a 1(1q 6) 2 a 1(1 q 9)1q1q 21q363q 3 (2q 6q31)＝ 0 ,即 (2q 3 1)(q 3 1) 0, 因为 q1 3， 所 以 q 3 1 0, 所 以比 q 1 的情况，再在 q 1的情况下，对式子进行整理变形一负根； 或有两个例 30. （1） 设等比数列 的全 n 项和为 S n . 若 S 3 S 6 2S 9，求数列的公比 q .错解】S 3 S 62S 9,a 1(1 q 3 ) a 1 (1 q 6)2 a 1(1 q 9) ，整理得 q 3 (2q 63 q 31）＝0.由 q 0得方程 2q 6 q 31 0.(2q 3 1)(q 31) 0,342 或 q 1.错因分析】在错解中，由a 1(1 q 3 ) a 1(1 1qq 6)1qa 1(1 21qq 9)整理得 q 3 (2q 6 q 31）＝ 0 时，应有 a 1 0 和 q 1.在等比数列中， a 1是显然的，但公比 q 完全可能为 1，因此， 在解题时应先讨论公（4）空间识图不准数学运算能力包括空间想象能力. 空间想象能力是指能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象； 能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系； 能对图形进行分解、 组 合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质．对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种， 是空间想象能力高层次的标志． 而空 间识图不准导致的立何几何题目出错情况很多 .例 31．直二面角α－ l －β的棱 l 上有一点 A ，在平面α、 β内各有一条射线 AB ，AC 与l 成根据题的已知条件及所求的特征，有时直接从已知出发， 是综合法； 有时需要从结论出发，分析它的必要条件，直到得到一个明显成立的命题， 这是 分析法 .这是两种不同的推理方向，如果解题时失主理方向不正确，可能导致解题思路受阻 或出错 .1 例 32. 设 f ( x ) = x 3－ x 2－2x ＋5，当 x [ 1,2]时， f ( x ) < m 恒成立，则实数 m 的取值 2 范围为 .7 2 2 11【错解】 m> .令 f '(x) 3x 2 x 2 0，得 f(x)的增区间为 ( , ),(1, ) ，f(-1)= (区2 3 2 间左端点)， f (1) 7 (极小值点 )，所以 x [ 1,2]时 f min (x) 7 所以 m> 7 .2 2 2【错因分析】推理方向的不正确，f ( x ) < m恒成立应理解为m f max (x)而不是 m f min (x).【正确解析】 m>7.由题意， f ( x ) < m 恒成立即 m f max (x).令 f '(x) 3x 2 x 2 0，得 f(x) 22 的增区间为 ( , ),(1, )，且 f(2)=7 ， f( ) 7，结合 f(x) 的草图知， f max ( x) 7，所 以 m>7. (6)限域求值端点取值不正确例 33.若 1 x 3,则 1 _________________ ; x 2 ___________x1【错解 】 如 右图. 由 最 小 角 定 理cos BACcos 1 cos 22 2 1 BAC .22 2 3【错因分析】 错解中忽视了 AC 的另一位置2OD ，此时 BAD .3【正确解析】或 2 . 如下图 . 当 CAF 时，由最小角定理， 3 362 2 1cos BACcos 1 cos 2BAC ；当 AC 在另2 2 2 3一边 DA 位置时， BAC2.3.运用公式、定理等得结论，这450，AB,AC ，则∠ BAC=5)推理方向的盲目性。