根式函数值域定稿版

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卧槽，带根号的函数求值域原来是这么做的！

卧槽，带根号的函数求值域原来是这么做的！
在学习函数的过程中，我们经常会遇到求带根号的函数的值域问题。

这些题的类型还很多，有些带一个根号，有的带两个，有的根下一次，有的根下二次，为了帮学生更好的掌握此问题，特整理如下：一、利用基本函数值域求法
遇到一些结构简单的带根号的函数，我们可以利用基本函数直接观察出其值域。

二、利用函数的单调性
对于形如y=ax+b+sqrt(cx+d) (a,b,c,d为常数,ac≠0)的函数，在ac>0时可用单调性解决。

三、换元法
换元分一般换元和三角换元，将其转换为另一函数，方便求值域。

四、判别式法
若函数能平方转化为系数含y的二次方程a(y)x²+b(y)x+c(y)=0，若a(y)≠0且x∈R时，由Δ≥0以确定函数值域；另需检验a(y)=0时x的值是否在定义域内，从而决定a(y)=0的y的取舍。

五、数形结合法
根据函数的结构，常联系距离和斜率，结合图像求值域。

结语：
今天就总结这么多吧，欢迎在评论区与我互动。

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识得庐山真面目——带根号的函数的值域的几种求法

识得庐山真面目——带根号的函数的值域的几种求法读写算2011年第46期擞学教育研究【关键词数根号值域真面目识得庐山真面目一带根号的函数的值域的几种求法亏风彦(珠海三中广东珠海519000)函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.也是考试的热点和难点之一.函数的值域的求法有很多种,但是对于这种带有根号的函数的值域问题,对学生是难题,所以我们剥茧抽丝的把这类函数的值域的求法一一解出来,供大家参考.例l:求函数Y=√一++2的值域解:?.?一X+X+20,可得函数的定义域为I一1,2I,又'?.一x'+T0+2=_<x一言)+{,利用二次函数的图像可得一1≤x2时,一(x一):+0,;o≤丽≤.'叶LJ二一r110P函数Y=√一++2的值域是Io,吾JL'J(真面目):根号下的式子的值域其实就是求二次函数有范围的值域范围.例2:求函数v:√+4x+5+√一4x+8的值域.方法一:(构造法)将原函数变形l【x√(x+2)2+l+√一2)+2,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域.解:原函数变形.作一个长为4,宽为3的矩形ABCD,再切割成l2个单位长度的正方形.设HK=,~JJEK=2一X,KF=2+x,AK=,KC=丽?DcE^X/一一一'//////BF由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5.当A,K,C三点共线时取等号....原函数的值域为{yly≥5}.方法二:(数形结合)原函数变形x1=4(x+21+(o一1)+,/(一2)+(0—2),上式可看成X轴上的点p(x,0)到两定点A(-2, 1)B(2,2)的距离之和,如图所示:由图可知A(-2,1)关于x轴的对称点是C(一2,一1),点B和点C连线与x轴的交点就是P点, f()仃m=ICBl=√(一2—2+(一l一21=√5.'.原函数Y=+√(2一)的值域为{yly≥5}.(真面目):值域其实就是求距离问题.例3:求函数的值域解:两边平方整理得:2x一2(y+l+y=0,因为函数的定义域是0≤2,所以关于x的二次方程一定有实根,并且实根在区间【0,2】..A=4(y+1)一8y0且Y0,解得0≤Yl+√2.原函数的值域为:10,1+√I(真面目):判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除. 例4:求函数厢一√的值域.解:(函数单调法)原函数可化为:=亍,令Y=厢,Y:=√显然,Y在D,伸)上为无上界的增函数,所2以也为无上界的增函数.因为原函数的定义域为[_l,1】,所以当x=l时,Y.+:有最小值所以原函数有最大值√,显然Y>0,故原函数的值域为【0,j牟/./1..(真面目)把不具有单调性的函数转化成具有单调性的函数例5:求函数_y=+4+√5一的值域.解:由5一X2≥0,可得,t~n-I+x=~COSfl,卢[o,/t"】Y=√5cosfl+4+√sin卢=4msin(+÷)+4...0≤..≤卢+'444'当时,ym觚=4+√l0,当=zr~t,Ymm=4-,故所求函数的值域为:I4一√5,4+√5I(真面目):利用三角换元,然后利用三角求最值.下面利用一道题目来体验一下例6:求函数y=+√l—的值域观察可得,这个函数的定义域是0≤x1,并且√;_和√『二这两项平方和是常数,而平方之积是二次三项式.对于这种函数的值域有下列几种方法:解:第一种方法(配方法):?.?Y=√(+dV~-x):41+2√一+厂—_了=:===::,]J+J—一1)+'?_0x<J—+的值域是[0j.?.y=√+ √i啊的值域是『1,1.._√一x+的值域是[0,1I,,第二种方,法:(均值不等式):Y=(√+√l—)=1+2,gx4~一l+(—十1)=2.又.0≤x≤1矢口x..?.x√且l—x√=...x+(1一)s√+√当且仅当:1或者:o时等号成立.综上所述Y:+√i_的值域是[1,√I第三种方法:(换元法):设√=tJ~_tE[0,1]~,lJy=t+√l—f.移项两边平方得2t一2yt+y一1 =0关于t的二次方程有非负实数根,所以一定满足下列三个条,,21件:4y一8(一1)≥0①且Y0②且o③.解得1Y√.当且仅当x=O时y=l,=√2时y:√2,所以两等号皆成立..'.函数y=√+√l一珀q值域是ll,√2I第四种方法:(三角换元法):.0√1且(√):+(√i_二)z:l;(转下页)数学教育研究2011年第46期读写算数学教学应给学生创新的时间和空间张广顺(宝应县安宜镇老鸦庄小学江苏宝应225800)江泽民总书记指出:"创新是民族进步的灵魂,是一个国家兴旺发达的不竭动力."因此,在实施素质教育的今天,创新教育要体现在观念上,渗透在所有的教育活动之中,培养学生的创新能力将成为所有教育活动的一种基本指向.数学课程标准要求培养学生的创新能力和创造能力,既体现了当代数学教学的特点,又体现了当代社会的人才标准.因而要求我们教师必须具有创新精神,教学过程要有活力,教学设计要有灵性.课程改革为我们带来了新的教学理念,为学生发展提供了更广阔的空间.数学教学应给学生创新的时间和空间.我认为, 凡是学生能够探索出来的,教师不替代,凡是学生能够独立发现的,教师不暗示;凡是学生能自己说出来的,教师不说,凡是学生能自己学会的,教师不讲,凡是学生能自己做到的,教师不教.一句话尽可能地提供多种机会让学生自己去理解,去感悟,去体验,让学生从生活,活动,思索,合作中学习,尽可能多给一点思考的时间,多给一点活动的空间,多给学生一点表现自我的机会,让学生多一点创造的信心,多一点成功的体验,从而提高学生对数学的认识,激发学生对数学的兴趣,促进学生创新能力的发展.创新需要时间,无时间怎么创新.创新不是自我封闭,自我孤立的活动,不应当局限于课堂上,束缚在教材的范围内垛板教学,标准答案只能培育出循规蹈矩的学生.人只有在自由的创新中才能换发创新的活力.所以,给学生创新的时间是培养学生创新能力的关键."创造的儿童教育首先要为儿童争取时间的解放".解放时间,即向课内4O分钟要质量.苏霍姆林斯基指出:"学生需要自由活动的时间,就像健康需要空气一样."把每节课的大部分时间留给学生,让学生在充足的时间中放手学习.在课堂上提问时,要给学生思考的时间,教师既要留给学生思考问题是的时间,也要留给学生思考如何回答的时间.我们教师在教学的过程中还应该给学生足够的时间去探索,去验证.比如,我们可以采用"摆一摆,"想一想","说一说"等方式.学习新的数学知识,一开始就要放手,把时间留给学生.让学生自己多读教材,查阅资料,把每句话都读通顺,准确理解数学语言,遇到不理解的数学概念通过充分地读,请教同学或老师,加以理解,能把有些数学问题转化为生活问题,有些甚至能像讲故事一样讲出来;学生小组合作探究学习时,需要多长时间就给多长时间,教师尽可能精讲少讲,少问.学生有了充裕的学习时间,他们的学习和发展才有基本保障.设想,如果课堂每一分钟老师都是窃为已有, 如果将教学环节,成为教师的展示,不留给学生自主学习的时间话,学生只能睁大眼睛看,这种填鸭式的教学模式,虽然从表面上看.节约了时间,但是久而久之,学生除了被动的接受,就不能主动的学习数学知识,不利于学生的发展t不留给学生自主学习的时间话,那学生创新能力的培养哪只是一句空话,更不要说创造能力的培养了.创新需要时间.创新更需要空间.陶行知说过:"行动是老子,知识是儿子,创造是孙子."这句话强调了学习知识的目的是为了创造.我们教师要善于给学生创新的学习空间,引导学生开展丰富多彩的数学课外活动,提供尽可能多的创新机遇,让学生的创新思维和操作能力得到锻炼和提高.学生只有在活动的过程中才能感悟出数学的真谛,才能逐渐养成创新的习惯,才能培养创新的意识和能力.离开了时间,离开了空间,离开了学生的活动,创新能力的培养就成了无根之木,无源之水.所以我们要留给学生创设一个良好的活动空间,让学生在这个空间中去遨游.有人曾说过:听了,一会儿就忘了;看了,就记住了,动手做了,就理解了.手是脑的老师,眼过百遍,不如手做一遍.所以,在教学中能让学生动手的我就尽量让学生自己动手.动手操作也是儿童最感兴趣的事,能提高学生学习的积极性.教学中我留给学生足够的实践活动空间,让每一个学生都有参与活动的机会, 使学生在动手中学习,在动手中思维,在思维中动手,在动手,思维的过程中探究,创新.在空间上"放,就是教师不能以各种形式挤占学生的学习空间,要把学习数学的空间还给学生.要把提问题的权力还给学生,在学生质疑的基础上,师生经过"整合,把每堂课中的数学问题归纳为一两个中心问题,引导学生在小组中合作探究创新. 有了思维的广度,才能有思维的深度.有了广阔的空间,必然有利于学生的发展.放手让学生去展示,放手让学生去说,使他们在没有心理压力的愉快气氛中进行活动,充分发挥了学生的主动性,创造性,真正成了学习的主人.在空间上"放",就是把学习数学的时间和空间交给学生,作为我们教师只要留给学生一点创新的时空,只要我们从每一堂课,每一个练习设计,甚至每一个提问扎扎实实地做起,让学生通过观察,操作,独立思考及群体讨论,去获得数学知识t只要我们教师放开你呵护的双手,你就会发现,孩子也是一个发现者,研究者,探索者和创造者,培养的学生创新能力也就不只是挂在嘴上的一句空话了.有人曾经说过:"留给学生空间,学生才可能有想象力,学生才可以进行创造."数学需要学生去猜测,去想象,去探索,去验证.学生创造力的培养十分重要,在课程改革的今天,广大的数学教师都在为之付出艰辛的劳动.然而在课堂教学中最好的办法就是留给学生一个足够的时间和空间,提出适当的问题后,让学生说出自己的见解,自己的想法以及解决问题的方法;留给学生一个足够的时间和空间,满足学生的表现欲,让学生展露自己的才华,体验成功与创造的快乐t留给学生一个足够的时间和空间,学生就会有十万个为什么,学生就可以开动脑筋,认真思索. 数学教师要在课堂上提供这样一个平台,让学生擦出的火花更加绚丽,给学生一个思考的时间和空间,他们就会展示美丽动人的舞姿,舞台多大,舞姿就有多美.总之,教师要在数学课堂教学中,重视解题思想方法的教学,精选习题并把握好练习的"度".更多的信任学生,给学生更多的主动权,还学生本属于他们的时间和空间,就能达到在自主探索的目的.参考文献[1】《数学课程标准》北京师范大学出版社[2】《数学课程标准解读》北京师范大学出版社(接上页).?.设√=sin0,0<6<2,则√:COS6,??.原式=sjn口+c0s ;+/l")'..三≤4,...鱼2(+4sl44,..1s4~sin(e+)≤.??值域为【I,21-ll2?在教材中仅有少量求定义域的例题,习题,而求值域或最值的例题,习题则是少得屈指可数.原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容,技巧性强,有很高的难度,因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化.。

函数根式教学课件

x
29.某产品，每台的成本价是120元。试销阶段，产品的日销售量 y（台）与销售单价 x（元）之间的关系如图所示，日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。
（1）（2）为了获得最大的利润，每件产品的
销售价格应定为多少元？此时每日
的销售利润是多少？
（销售利润＝销售价－成本价格）
y
70 50 35
√
y
·· O
··
√
x
y
O
x
x=1
y
O
=1
y
O
x
x=1
29.某产品，每台的成本价是120元。试销阶段，产品的日销售量 y（台）与销售单价 x（元）之间的关系如图所示，日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。
（1）求这个函数的解析式；
y
70 50 35
O 130 150 165
O
130 150 165
x
销售价格应定为多少元？此时每日
的销售利润是多少？
（销售利润＝销售价－成本价格）
y
70 50 35
O
130 150 165
x
27. 如图，一块直角三角形铁片，直角边 AC=3，BC=4，现要截出一个半圆，圆心在三角形一边上，圆弧和其余两边相切。求符合上述条件的半圆的最大半径。
A
5 3
B
4
C
A
· O N
B
M
CB
（1）
A
E
·O
CB
（2）
A F
·O
C （3）
当研究的对象不宜用同一种方法处理或不能用同一种形式叙述时，常要按一定标准把研究对象划分为若干不同情况，再对每一种情况逐一求解，这种方法就是分类讨论。

函数定义域值域求法(全十一种)

高中函数【2 】界说域和值域的求法总结一.常规型即给出函数的解析式的界说域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式（或组）即得原函数的界说域.例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的界说域.解：要使函数有意义,则必须知足⎩⎨⎧≠-+≥--②①08|3x |015x 2x 2由①解得 3x -≤或5x ≥.③ 由②解得 5x ≠或11x -≠④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5.故所求函数的界说域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且.例2 求函数2x 161x sin y -+=的界说域.解：要使函数有意义,则必须知足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π，③由②解得4x 4<<-④由③和④求公共部分,得π≤<π-≤<-x 0x 4或故函数的界说域为]0(]4(ππ--，，评注：③和④如何求公共部分？你会吗？二.抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规办法求解,一般表示为已知一个抽象函数的界说域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情形.（1）已知)x (f 的界说域,求)]x (g [f 的界说域.（2）其解法是：已知)x (f 的界说域是［a,b ］求)]x (g [f 的界说域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的界说域.例3 已知)x (f 的界说域为［－2,2］,求)1x (f 2-的界说域. 解：令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,是以3|x |0≤≤,从而3x 3≤≤-,故函数的界说域是}3x 3|x {≤≤-.（2）已知)]x (g [f 的界说域,求f(x)的界说域.其解法是：已知)]x (g [f 的界说域是［a,b ］,求f(x)界说域的办法是：由b x a ≤≤,求g(x)的值域,即所求f(x)的界说域.例4 已知)1x 2(f +的界说域为［1,2］,求f(x)的界说域.解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，. 即函数f(x)的界说域是}5x 3|x {≤≤.三.逆向型即已知所给函数的界说域求解析式中参数的取值规模.特别是对于已知界说域为R,求参数的规模问题平日是转化为恒成立问题来解决.例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的界说域为R 求实数m 的取值规模. 剖析：函数的界说域为R,表明0m 8mx 6mx 2≥++-,使一切x ∈R 都成立,由2x 项的系数是m,所以应分m=0或0m ≠进行评论辩论.解：当m=0时,函数的界说域为R;当0m ≠时,08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式,其对一切实数x 都成立的充要前提是1m 00)8m (m 4)m 6(0m 2≤<⇒⎩⎨⎧≤+--=∆>综上可知1m 0≤≤.评注：不少学生轻易疏忽m=0的情形,愿望经由过程此例解决问题.例6 已知函数3kx 4kx 7kx )x (f 2+++=的界说域是R,求实数k 的取值规模.解：要使函数有意义,则必须3kx 4kx 2++≠0恒成立,因为)x (f 的界说域为R,即03kx 4kx 2=++无实数①当k ≠0时,0k 34k 162<⨯-=∆恒成立,解得43k 0<<;②当k=0时,方程左边=3≠0恒成立.综上k 的取值规模是43k 0<≤.四.现实问题型这里函数的界说域除知足解析式外,还要留意问题的现实意义对自变量的限制,这点要加倍留意,并形成意识.例7 将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式,并求函数的界说域.解：设矩形一边为x,则另一边长为)x 2a (21-于是可得矩形面积.2x ax 21)x 2a (21x y -=-⋅=ax 21x 2+-=.由问题的现实意义,知函数的界说域应知足⎩⎨⎧>->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->0x 2a 0x 0)x 2a (210x2ax 0<<⇒.故所求函数的解析式为ax 21x y 2+-=,界说域为（0,2a ）. 例8 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式,并求界说域.解：由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆构成的图形的面积,如图.因为CD=AB=2x,所以x CD π=⋂,所以2x x 2L 2CD AB L AD π--=--=⋂, 故2x 2x x 2L x 2y 2π+π--⋅= Lx x )22(2+π+-=依据现实问题的意义知2L x 002x x 2L 0x 2+π<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>π--> 故函数的解析式为Lx x )22(y 2+π+-=,界说域（0,2L +π）.五.参数型对于含参数的函数,求界说域时,必须对分母分类评论辩论.例9 已知)x (f 的界说域为［0,1］,求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的界说域.解：因为)x (f 的界说域为［0,1］,即1x 0≤≤.故函数)x (F 的界说域为下列不等式组的解集：⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0,即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a 1x a a 1x a即两个区间［－a,1－a ］与［a,1+a ］的交集,比较两个区间左.右端点,知（1）当0a 21≤≤-时,F （x ）的界说域为}a 1x a |x {+≤≤-; （2）当21a 0≤≤时,F （x ）的界说域为}a 1x a |x {-≤≤; （3）当21a >或21a -<时,上述两区间的交集为空集,此时F （x ）不能构成函数.六.隐含型有些问题从表面上看并不求界说域,但是不留意界说域,往往导致错解,事实上界说域隐含在问题中,例如函数的单调区间是其界说域的子集.是以,求函数的单调区间,必须先求界说域.例10 求函数)3x 2x (log y 22++-=的单调区间.解：由03x 2x 2>++-,即03x 2x 2<--,解得3x 1<<-.即函数y 的界说域为（－1,3）.函数)3x 2x (log y 22++-=是由函数3x 2x t t log y 22++-==，复合而成的. 4)1x (3x 2x t 22+--=++-=,对称轴x=1,由二次函数的单调性,可知t 在区间]1(，-∞上是增函数;在区间)1[∞+，上是减函数,而t log y 2=在其界说域上单调增; 3)[1)[1)31(]11(]1()31(，，，，，，，=∞+--=-∞- ,所以函数)3x 2x (log y 22++-=在区间]11(，-上是增函数,在区间)31[，上是减函数. 函数值域求法十一种1. 直接不雅察法对于一些比较简略的函数,其值域可经由过程不雅察得到.例1. 求函数x 1y =的值域. 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域. 解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞2. 配办法配办法是求二次函数值域最根本的办法之一.例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域. 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时,4y min =,当1x -=时,8y max = 故函数的值域是：[4,8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域.解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时,R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时,0x =,而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域.解：双方平方整顿得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的界说域由0)x 2(x ≥-,得2x 0≤≤由0≥∆,仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程（1）有实根,由 0≥∆求出的规模可能比y 的现实规模大,故不能肯定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21.可以采取如下办法进一步肯定原函数的值域.∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+= 即当22222x 41-+=时, 原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来断定函数的值域时,若原函数的界说域不是实数集时,应分解函数的界说域,将扩展的部分剔除.4. 反函数法直接求函数的值域艰苦时,可以经由过程求其原函数的界说域来肯定原函数的值域.例6. 求函数6x 54x 3++值域. 解：由原函数式可得：3y 5y 64x --= 则其反函数为：3x 5y 64y --=,其界说域为：53x ≠ 故所求函数的值域为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-53,5. 函数有界性法直接求函数的值域艰苦时,可以应用已学过函数的有界性,反宾为主来肯定函数的值域.例7. 求函数1e 1e y x x +-=的值域. 解：由原函数式可得：1y 1y e x -+=∵0e x >∴01y 1y >-+解得：1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-例8. 求函数3x sin xcos y -=的值域.解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-,可化为：y 3)x (x sin 1y 2=β++ 即1y y3)x (x sin 2+=β+∵R x ∈ ∴]1,1[)x (x sin -∈β+ 即11y y312≤+≤- 解得：42y 42≤≤- 故函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,42 6. 函数单调性法例9. 求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域. 解：令1x log y ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在[2,10]上都是增函数所以21y y y +=在[2,10]上是增函数当x=2时,8112log 2y 33min =-+=-当x=10时,339log 2y 35max =+= 故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81例10. 求函数1x 1x y --+=的值域.解：原函数可化为：1x 1x 2y -++= 令1x y ,1x y 21-=+=,显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数所以1y y =,2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时,21y y y +=有最小值2,原函数有最大值222=显然0y >,故原函数的值域为]2,0( 7. 换元法经由过程简略的换元把一个函数变为简略函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模子,换元法是数学办法中几种最重要办法之一,在求函数的值域中同样施展感化.例11. 求函数1x x y -+=的值域.解：令t 1x =-,)0t (≥则1t x 2+= ∵43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥,由二次函数的性质可知当0t =时,1y min =当0t →时,+∞→y故函数的值域为),1[+∞例12. 求函数2)1x (12x y +-++=的值域.解：因0)1x (12≥+- 即1)1x (2≤+ 故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+ ∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β=1)4sin(2+π+β= ∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0211)4sin(201)4sin(22+≤+π+β≤∴≤π+β≤-∴ 故所求函数的值域为]21,0[+例13. 求函数1x 2x x x y 243++-=的值域. 解：原函数可变形为：222x 1x 1x 1x 221y +-⨯+⨯=可令β=tg x ,则有β=+-β=+2222cos x 1x 1,2sin x 1x 2β-=β⨯β-=∴4sin 412cos 2sin 21y 当82k π-π=β时,41y max = 当82k π+π=β时,41y min -=而此时βtan 有意义. 故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41 例14. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域.解：)1x )(cos 1x (sin y ++=1x cos x sin x cos x sin +++=令t x cos x sin =+,则)1t (21x cos x sin 2-=22)1t (211t )1t (21y +=++-= 由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+= 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 可得：2t 22≤≤∴当2t =时,223y max +=,当22t =时,2243y +=故所求函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++223,2243. 例15. 求函数2x 54x y -++=的值域.解：由0x 52≥-,可得5|x |≤故可令],0[,cos 5x π∈ββ= 4)4sin(10sin 54cos 5y +π+β=β++β=∵π≤β≤04544π≤π+β≤π∴当4/π=β时,104y max += 当π=β时,54y min -=故所求函数的值域为：]104,54[+-8. 数形结正当其题型是函数解析式具有显著的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类标题若应用数形结正当,往往会加倍简略,一目了然,心旷神怡.例16. 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域.解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=上式可以算作数轴上点P （x ）到定点A （2）,)8(B -间的距离之和. 由上图可知,当点P 在线段AB 上时,10|AB ||8x ||2x |y ==++-=当点P 在线段AB 的延伸线或反向延伸线上时,10|AB ||8x ||2x |y =>++-=故所求函数的值域为：],10[+∞例17. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域. 解：原函数可变形为：2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=上式可算作x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,43)12()23(|AB |y 22min =+++==,故所求函数的值域为],43[+∞例18. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域. 解：将函数变形为：2222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=上式可算作定点A （3,2）到点P （x,0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差.即：|BP ||AP |y -=由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点'P ,则构成'ABP ∆,依据三角形双方之差小于第三边,有26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-即：26y 26<<-（2）当点P 正好为直线AB 与x 轴的交点时,有26|AB |||BP ||AP ||==-综上所述,可知函数的值域为：]26,26(-注：由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A.B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B 两点在x 轴的同侧. 如：例17的A,B 两点坐标分离为：（3,2）,)1,2(--,在x 轴的同侧;例18的A,B 两点坐标分离为（3,2）,)1,2(-,在x 轴的同侧.9. 不等式法应用根本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3≥++≥+)R c ,b ,a (+∈,求函数的最值,其题型特点解析式是和式时请求积为定值,解析式是积时要乞降为定值,不过有时须要用到拆项.添项和双方平方等技能.例19. 求函数4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 22-+++=的值域.解：原函数变形为：52x cot x tan 3xcot x tan 3xsec x ces 1x cos 1x sin 1)x cos x (sin y 22322222222=+≥++=++=+++=当且仅当x cot x tan =即当4k x π±π=时)z k (∈,等号成立故原函数的值域为：),5[+∞例20. 求函数x 2sin x sin 2y =的值域.解：x cos x sin x sin 4y =x cos x sin 42=2764]3/)x sin 22x sin x [(sin 8)x sin 22(x sin x sin 8xcos x sin 16y 322222224=-++≤-== 当且仅当x sin 22x sin22-=,即当32x sin 2=时,等号成立. 由2764y 2≤可得：938y 938≤≤- 故原函数的值域为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-938,938 10. 一一映射法道理：因为)0c (d cx b ax y ≠++=在界说域上x 与y 是一一对应的.故两个变量中,若知道一个变量规模,就可以求另一个变量规模.例21. 求函数1x 2x31y +-=的值域. 解：∵界说域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<21x 21x |x 或由1x 2x 31y +-=得3y 2y 1x +-= 故213y 2y 1x ->+-=或213y 2y 1x -<+-= 解得23y 23y ->-<或故函数的值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, 11. 多种办法分解应用例22. 求函数3x 2x y ++=的值域. 解：令)0t (2x t ≥+=,则1t 3x 2+=+（1）当0t >时,21t 1t 11t t y 2≤+=+=,当且仅当t=1,即1x -=时取等号,所以21y 0≤<（2）当t=0时,y=0.综上所述,函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0注：先换元,后用不等式法例23. 求函数42432x x 21x x x 2x 1y ++++-+=的值域. 解：4234242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-=2222x 1x x 1x 1++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 令2tan x β=,则β=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2222cos x 1x 1β=+sin 21x 1x 21sin 21sin sin 21cos y 22+β+β-=β+β=∴161741sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-β-= ∴当41sin =β时,1617y max =当1sin -=β时,2y min -= 此时2tan β都消失,故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1617,2 注：此题先用换元法,后用配办法,然后再应用βsin 的有界性. 总之,在具体求某个函数的值域时,起首要细心.卖力不雅察其题型特点,然后再选择适当的办法,一般优先斟酌直接法,函数单调性法和根本不等式法,然后才斟酌用其他各类特别办法.。

求函数值域的8种方法带例题

求函数值域的8种方法带例题嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个很有趣的话题——求函数值域的8种方法。

你们知道吗，学习数学的时候，我们经常会遇到一些让我们头疼的问题，比如求一个函数的值域。

别着急，我今天就来教你们8种简单易懂的方法，让你轻松搞定这个难题。

我们来看第一种方法：观察法。

这种方法很简单，就是直接观察函数在哪些区间内取值。

比如，我们来看一个例子：求函数f(x) = x^2在区间[-1, 2]内的值域。

我们可以看到，当x = 0时，f(x) = 0;当x = 1时，f(x) = 1;当x = 2时，f(x) = 4。

所以，这个函数在这个区间内的值域是[0, 4]。

接下来，我们来看第二种方法：图像法。

这种方法需要用到一些图形工具，比如Excel或者Python的matplotlib库。

我们可以通过绘制函数的图像来直观地看到函数在哪些区间内取值。

比如，我们还是以f(x) = x^2为例。

我们可以在Excel中输入x和f(x)的值，然后通过“插入”->“散点图”功能绘制出函数图像。

从图像中，我们可以看出函数在[-1, 0]和[2, +\infty)内都单调递增，所以这两个区间都是函数的值域。

而在[0, 2]内，函数是先单调递减再单调递增的，所以这个区间也是函数的值域。

因此，这个函数的值域是[0, 4]。

第三种方法：分段法。

这种方法适用于那些在某个区间内单调递增或单调递减的函数。

比如，我们还是以f(x) = x^2为例。

我们可以发现，当x在[-1, 0]和[2, +\infty)内时，函数都是单调递增的；而当x在[0, 2]内时，函数是先单调递减再单调递增的。

所以，我们可以将这个问题分成两个子问题：求f(x)在区间[-1, 0]和[2, +\infty)内的值域；以及求f(x)在区间[0, 2]内的值域。

通过分段法，我们可以分别求出这两个子问题的解，然后将它们合并起来得到原问题的解。

因此，这个函数的值域是[0, 4]。

函数的定义域和值域的求法.ppt

义域：实质是由x的范围求g(x)的范围。
1、函数值的集合我们叫函数的值域。
2、求函数的值域通常有：（１）直接法；（２）分离常数法；（3）图像法；（4）判别式法；（5）换元法
方法一、直接法（观察法）
例1，（1）已知函数f(x)=2x－3, x∈{0,1,2,3,5},求f(x)的值域
（2）已知函数y=-2x+1,x∈（3,6），求该函数的值域
2 变式练习 : 若 f ( x ) 的定义域是 0 , 2 ,( 求 f x 的定义域 )
解：由题意知:
2 0x 2
2 x 2
2 故 : fx 的定义域是 [ 2 , 2 ]

( 题型二 ) : 已知 f g x 的定义域 , 求 f ( x ) 的定
(1) y = x 1;
变式练习：求下列函数的值域： ( 观察法 ) 1 1 1 (2) y = , y ,y 3, x x 1 x 1
方法二、分离常数法
2 x 1 例 2:求函数 y 的值域 x 3 2 x 1 求函数 y 的值域 3 x6
cx+d 方法归纳：形如y= ax+b
1 x 5
3 2 x 1 9
3 2 5 x 定义域是 [ , 1 ) 5
总结：已知f(x)的定义域为A，求f[g(x)]的定义域：实质是由g(x)∈A求x的范围。已知f[g(x)] 的定义域为A，求f(x)的定
例题讲解
例1、求下列函数的定义域 (用区间表示)
1 ( 1 ) y 4x7 2 ( 3 ) y x 1 x 1
1 (5 )y (3 x2 )0 1 1 x

根式函数值域分析

根式函数值域分析根式函数是指函数中含有根号形式的式子，形如f(x) = √(ax+b)，其中a和b为任意实数。

根式函数在数学中是一个重要的函数类型，它在各个领域的应用广泛，并且在高中数学课程中也有相应的学习内容。

本文将对根式函数的值域进行分析，包括值域的定义、求值域的方法和一些典型的例子，以帮助读者更好地理解和掌握根式函数的性质。

一、值域的定义值域是函数在定义域上所有可能的函数值所组成的集合。

对于根式函数来说，值域就是函数的输出值的集合。

根式函数的值域通常是由函数的定义域和函数的性质决定的。

二、求值域的方法对于根式函数f(x) = √(ax+b)，我们可以采用以下方法来求解其值域：1.确定定义域首先要确定函数的定义域，也就是使得根式内的表达式非负的变量的取值范围。

对于f(x) = √(ax+b)来说，当ax+b≥0时，函数有意义，所以要求ax+b≥0，解得x≥-b/a。

因此，函数的定义域为D = (-b/a,+∞)。

2.确定值域的上界我们需要找到函数的最大值或者一个上界，这样就确定了值域的上界。

对于根式函数f(x) = √(ax+b)，我们可以看出，函数的值随着x的增大而增大，而且函数不会无限增大。

当x→+∞时，ax+b也会趋近于正无穷大，此时根式函数的函数值也趋近于正无穷大。

因此，可以确定根式函数的值域的上界为正无穷大。

3.确定值域的下界确定值域的下界需要考虑到函数的性质以及定义域的限制。

对于根式函数f(x) = √(ax+b)，我们可以观察到，当x→-b/a时，ax+b趋近于0，此时根式函数的函数值也趋近于0。

因此，我们可以确定根式函数的值域的下界为0。

综上所述，根式函数f(x) = √(ax+b)的值域为[0, +∞)。

三、典型例子1.例子1：考虑函数f(x)=√x，其中x为非负实数。

我们可以观察到，当x增大时，函数的值也增大，且函数可以取到任意非负实数。

因此，根式函数f(x)=√x的值域为[0,+∞)。

求含有根式的函数值域的几种方法

解题宝典由于函数的解析式中含有根式，所以含有根式的函数值域问题一般比较复杂.如何处理根式，将问题转化为常规的函数值域问题是解题的关键.其实处理根式的方法有很多，如平方、三角代换、求导、借助向量等.下面介绍求含有根式的函数值域的几种方法.一、平方法当遇到根式时，很多同学的第一个想法是对其平方以去掉根号.在求含有根式的函数值域时，我们可以采用平方法，先对函数式进行平方，通过恒等变形将其转化为常规的函数式，再根据函数的图象和性质求得函数的值域.例1.求函数y =1-x +x +3的值域.解：由y =1-x +x +3可知函数的定义域为[]-3,1，则y 2=4+2-x 2-2x +3，而f ()x =-x 2-2x +3为二次函数，又f ()x =-()x +12+4，当x ∈[]-3,1时，f ()x ∈[]0,4，则y max =M =22，y min =m =2，所以y ∈[]2,22.这里通过平方，将函数式转化为只含有一个根式的式子，而根号下的式子为二次函数，借助二次函数的性质，便可求得根号下式子的值域，进而求得原函数的值域.二、三角代换法三角代换法是将函数式中的变量用三角函数替换，借助三角函数的有界性求得函数值域的方法.运用三角代换法，可将含根式函数的值域问题转化为三角函数的值域问题.例2.求函数f ()x =x +4-x 2的值域.解：由题意可知函数的定义域为x ∈[]-2,2，设x =2sin t ，t ∈éëùû-π2，π2，则y =2sin t +2cos t =22sin æèöøt +π4.而t +π4∈éëùû-π4，3π4,所以sin æèöøt +π4∈éëêùûú,故y ∈[]-2,22，即函数f ()x =x +4-x 2的值域为y ∈[]-2,22.我们由4-x 2联想到4sin 2x +4cos 2x =4，于是令x =2sin t ，通过三角代换，将问题转化为三角函数的值域问题.运用三角代换法求含有根式的函数的值域，需重点关注三角函数的定义域.三、导数法若含有根式的函数在某个区间上可导，便可利用导数法求出函数在该区间上的极值，再将极值与函数的端点值比较，便可确定函数的值域.利用导数法求含有根式的函数的值域，需熟记求导法则：(x α)′=αx α-1以及y x ′=y u ′·u x ′，在求出导函数后根据导函数与0之间的关系判断函数的单调性.例3.求函数y =2x +4-x +3的值域.解：由题意可得{2x +4≥0，x +3≥0，∴x ≥-2，∴函数y =2x +4-x +3]+∞，y ′=12x +4-12x +3=x +3-2x +42x +4∙x +3，又∵2x +3-2x +4=2x +82x +3+2x +4，∴当x ≥-2时，y ′>0，函数y =2x +4-x +3在()-2，+∞上是增函数；又∵f ()-2=-1，∴y =2x +4-x +3的值域为()-1,+∞.函数解析中含有两个根式，较为复杂，需先求出函数的定义域，再对函数进行求导，确定函数的单调性，进而得到函数的极值和最值.含有根式的函数值域问题具有较强的灵活性和特殊性，侧重于考查同学们生的应变能力.因此，在求此类函数的值域时，同学们要熟记初等函数的性质以及求导法则，对根式进行合理的变形，灵活利用初等函数、三角函数、导函数的性质来解题.（作者单位：江苏省泰州实验中学）39Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

根式函数最值求法大放送

根式函数最值求法大放送雷亚庆(江苏省南京市大厂高级中学㊀２１００４４)摘㊀要:根式函数最值的求解对学生而言是比较困难的.本文介绍了几类根式函数特别是双根式函数的最值的求法.关键词:根式函数ꎻ单调性ꎻ换元ꎻ平方ꎻ几何意义ꎻ数量积ꎻ分子有理化中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１９－００６７－０２收稿日期:２０２０－０４－０５作者简介:雷亚庆(１９７２－)ꎬ男ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀含根式函数的最值问题具有灵活性强㊁难度大的特点ꎬ很多同学望而生畏ꎬ往往不知道从哪入手ꎬ尤其是双根式函数更是难点.实际上根式函数没有想象的那么可怕ꎬ只要我们认真分析题意ꎬ注意条件的应用ꎬ养成正确的解题习惯ꎬ即可找到合理恰当的解法ꎬ使此类问题顺利加以解决ꎬ下分类举例说明.㊀㊀一㊁利用函数单调性例１㊀求函数ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１的值域.解析㊀易求得函数ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１定义域为[１ꎬ＋¥)ꎬ由于函数ｙ＝ｘ－１和ｙ＝ｘ＋１在[１ꎬ＋¥)为增函数ꎬ所以ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１在[１ꎬ＋¥)上单调递增.当ｘ＝１时ꎬｙ取得最小值２.所以函数ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１的值域为[２ꎬ＋¥)例２㊀(重庆高考)ｆ(ｘ)＝５ｘ２－２ｘ＋２ｘ－５ｘ＋４的最小值.解㊀定义域为(－¥ꎬ０]ɣ[４ꎬ＋¥)ꎬ显然函数在(－¥ꎬ０]上单调递减ꎬ在[４ꎬ＋¥)上单调递增.因此ｆ(ｘ)ｍｉｎ＝ｍｉｎｆ(０)ꎬｆ(４){}＝ｆ(０)＝４.㊀㊀二㊁利用换元去根号１.换元消去根号例３㊀(２００６年江苏改编)求函数ｙ＝１－ｘ２＋１－ｘ＋ｘ＋１的最大值.解㊀求得定义域为:ｘ－１ɤｘɤ１{}.设ｔ＝１＋ｘ＋１－ｘꎬ所以ｔ２＝２＋２１－ｘ２ɪ[２ꎬ４].所以ｔ的取值范围是[２ꎬ２].由ｔ２＝２＋２１－ｘ２得１－ｘ２＝１２ｔ２－１ꎬ所以ｙ＝１２ｔ２＋ｔ－１(２ɤｔɤ２).因为ｙ＝１２ｔ２＋ｔ－１在[２ꎬ２]上单调递增ꎬ所以当ｔ＝２即ｘ＝０时函数有最大值３.２.三角换元化掉根号例４㊀求ｙ＝ｘ－４＋１５－３ｘ的值域.分析㊀求根式函数的值域是一个难点ꎬ特别是双根式函数ꎬ实际上如果我们养成解决函数问题先明确定义域的好习惯的话ꎬ就会发现隐藏的解题信息ꎬ利用三角代换ꎬ就可以把根式函数转换为三角函数问题处理.解㊀由已知得:４ɤｘɤ５所以可设ｘ＝４＋ｃｏｓ２θ(０ɤθɤπ２).ʑｙ＝ｘ－４＋１５－３ｘ＝ｃｏｓ２θ＋３ｓｉｎ２θ＝ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ＝２ｓｉｎ(θ＋π６)(０ɤθɤπ２).ȵ０ɤθɤπ２ꎬʑπ６ɤθ＋π６ɤ２π３ꎬʑ１２ɤｓｉｎ(θ＋π６)ɤ１ꎬʑ函数的值域为[１ꎬ２].７６㊀㊀三㊁利用平方去根号例５㊀求ｙ＝ｘ－１＋２－ｘ的值域.解析㊀求得定义域为[１ꎬ２].把ｙ＝ｘ－１＋２－ｘ两边平方得ｙ２＝１＋２(ｘ－１)(２－ｘ)＝１＋－ｘ２＋３ｘ－２(１ɤｘɤ２).因为ｘɪ[１ꎬ２]时ꎬｇ(ｘ)＝－ｘ２＋３ｘ－２ɪ[０ꎬ１４]ꎬ所以ｙ２ɪ[１ꎬ３２].又因为ｙȡ０ꎬ所以ｙɪ[１ꎬ６２].㊀㊀四㊁利用几何意义１.构造距离例６㊀求函数ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋２＋ｘ２－４ｘ＋１３的最小值.解㊀ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋２＋ｘ２－４ｘ＋１３＝(ｘ＋１)２＋(０－１)２＋(ｘ－２)２＋(０－３)２.设点Ｐ(ｘꎬ０)ꎬＡ(－１ꎬ１)ꎬＢ(２ꎬ３)ꎬ问题转化为:在ｘ轴上找一点Ｐꎬ使ＰＡ＋ＰＢ最小作点Ａ关于ｘ轴对称的点Ａᶄ(－１ꎬ－１)ꎬ显然当点Ｐ为直线ＡᶄＢ与ｘ轴交点时ＰＡ＋ＰＢ有最小值即ＡᶄＢ＝５.２.构造斜率例８㊀求函数ｙ＝２ｘ－ｘ２ｘ＋１的值域.解㊀ｙ＝２ｘ－ｘ２ｘ＋１＝１－(ｘ－１)２ｘ－(－１).构造定点Ａ(－１ꎬ０)ꎬ动点Ｐ(ｘꎬ１－(ｘ－１)２)ꎬ其中动点Ｐ在曲线ｙ＝１－(ｘ－１)２即半圆(ｘ－１)２＋ｙ２＝１(ｙȡ０)上如图２.问题转化为求直线ＰＡ的斜率的最值ꎬ由图２可知０ɤｋＰＡɤ３３.所以函数ｙ＝２ｘ－ｘ２ｘ＋１的值域为[０ꎬ３３].㊀㊀五㊁利用向量数量积的性质例９㊀求函数ｙ＝５ｘ－１＋１０－ｘ的最大值.解㊀设ａ＝(５ꎬ１)ꎬｂ＝(ｘ－１ꎬ１０－ｘ)ꎬ则有ｙ＝ａｂ且ａ＝２６ꎬｂ＝３.由向量数量积的性质可知:ａｂɤａｂ＝３２６ꎬ当且仅当向量ａꎬｂ共线同向时取＝号.所以函数ｙ＝５ｘ－１＋１０－ｘ的最大值为３２６.㊀㊀六㊁利用分子有理化例１０㊀求函数ｙ＝ｘ＋１－ｘ－１的值域.解㊀ｙ＝ｘ＋１－ｘ－１＝(ｘ＋１－ｘ－１)(ｘ＋１＋ｘ－１)ｘ＋１＋ｘ－１＝２ｘ＋１＋ｘ－１.由例１可知ｘ＋１＋ｘ－１ɤ２ꎬ所以２ｘ＋１＋ｘ－１ɪ(０ꎬ２].即函数ｙ＝ｘ＋１－ｘ－１的值域为(０ꎬ２]㊀㊀七㊁构造对偶式求解例１１㊀求函数ｙ＝ｘ－４＋２９－ｘ的最值.解析㊀设ｚ＝ｘ－４－２９－ｘ(４ɤｘɤ２９)ꎬ则ｙ２＋ｚ２＝５０ꎬ即ｙ２＝５０－ｚ２.因为函数ｚ＝ｘ－４－２９－ｘ在[４ꎬ２９]上单调递增ꎬ㊀所以当４ɤｘɤ２９时ꎬｚɪ[－５ꎬ５]ꎬ所以ｙ２＝５０－ｚ２ɪ[２５ꎬ５０].又因为ｙ＝ｘ－４＋２９－ｘȡ０ꎬ所以ｙɪ[５ꎬ５２].即函数值域为[５ꎬ５２].总之ꎬ解决根式函数的最值问题时ꎬ我们要养成良好的审题和解题习惯.如审题要注意挖掘目标函数的结构和隐含信息ꎬ解函数题时一定养成先求定义域的好习惯ꎬ只要这样我们就可以通过换元ꎬ构造ꎬ把问题转化为我们熟悉的函数最值模型ꎬ从而使问题得以解决.㊀㊀㊀参考文献:[１]雷亚庆.巧用函数奇偶性解决函数零点问题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１８(１９):３５－３６.[责任编辑:李㊀璟]８６。

√x的定义域和值域

√x的定义域和值域好的，以下是为您创作的关于“√x 的定义域和值域”的科普文章：当我们提到“√x”，这就好像是数学世界里的一位神秘嘉宾。

为了更好地理解它的定义域和值域，让我们先从一个有趣的类比开始。

想象一下，“√x”就像是一个魔法盒子，我们把数字 x 放进去，它就会给我们变出一个特定的结果。

但是这个魔法盒子可不是什么数字都能接受的，它有自己的脾气和规则。

首先，我们来说说定义域。

定义域就是这个魔法盒子能够接受的数字范围。

对于“√x”来说，因为在实数范围内，负数是不能开平方根的（想象一下，你能找到一个实数，它的平方是负数吗？就好像在现实生活中，你不能找到一个人，他的年龄是负数一样），所以 x 必须大于或等于 0 。

简单来说，“√x”的定义域就是x ≥ 0 。

那值域又是什么呢？值域就是这个魔法盒子变出来的结果的范围。

因为“√x”表示的是非负的平方根，所以它变出来的结果也都是非负的。

而且，当 x 从 0 开始逐渐增大时，“√x”的值也会逐渐增大。

所以，“√x”的值域就是y ≥ 0 。

在我们的日常生活中，“√x”的定义域和值域其实有很多实际的应用场景。

比如说，在计算一个正方形的面积为 x 时，要求其边长。

因为正方形的面积等于边长的平方，所以边长就是√x 。

这里，面积 x 就必须大于等于 0 ，否则就没有实际意义，这就是定义域的限制。

而边长√x 必然也是大于等于 0 的，这就是值域的体现。

再比如，物理学中的自由落体运动。

假设物体下落的距离是 x ，经过的时间为 t ，在不考虑空气阻力的情况下，下落的距离 x 与时间 t 的关系可以表示为 x = 0.5gt²（其中 g 是重力加速度）。

那么，时间 t 就等于√(2x / g) 。

这里，下落的距离 x 必须大于等于 0 ，因为不可能有负的距离。

而算出的时间 t 也必然大于等于 0 。

在工程学中，计算一些圆形物体的半径也会用到“√x”。

圆的面积为x 时，半径就是√(x / π) ，面积 x 同样不能为负数，半径也不会是负数。

origin根号函数

origin根号函数
原点的根号函数是指以原点为对称轴的二次函数，其函数图像为一条抛物线，开口向上或向下，具有特殊的性质。

以 y = √x 为例，该函数的定义域为 x ≥ 0，值域为 y ≥ 0。

它的图像是一条从原点开始，向右上方延伸的曲线。

在 x 轴正半轴上，随着 x 的增大，y 的值也随之增大，但增长速度逐渐减缓，永远无法超过任何一个正数。

这意味着 y 轴是直线 x = 0 的渐近线。

该函数的反函数是 y = x，其定义域为 x ≥ 0，值域为 y ≥ 0。

它的图像是一条从原点开始，向右上方延伸的曲线，与 y = √x 的图像关于直线 y = x 对称。

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根式函数值域定稿版

根式函数值域HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】探究含有根式的函数值域问题含根式的函数的值域或者最值问题在高中数学的学习过程中时常遇到，因其解法灵活，又缺乏统一的规律，给我们造成了很大的困难，导致有些学生遇到根式就害怕。

为此，本文系统总结此类函数值域的求解方法，供学生参考学习。

1.平方法例1：求31++-=x x y 的值域解：由题意知函数定义域为[]1,3-，两边同时平方得：322422+--+=x x y =4+()4212+-+x 利用图像可得[]8,42∈y ，又知〉y 0[]22,2∈∴y所以函数值域为[]22,2析：平方法求值域适用于平方之后可以消去根式外面未知量的题型。

把解析式转化为()x b a y ϕ+=2 的形式，先求y 2的范围，再得出y 的范围即值域。

2.换元法例2：求值域1)12--=x x y2)x x y 24-+=解：（1）首先定义域为[)+∞,1，令()01≥-=t x t ，将原函数转化为 [)+∞∈,0t ，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈∴,815y 析：当函数解析式由未知量的整数幂与根式构成，并且根式内外的未知量的次幂保持一致。

可以考虑用代数换元的方法把原函数转化成二次函数，再进行值域求解。

（2）首先，函数定义域为[]2,2-∈x ，不妨设αsin 2=x ，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππα则原函数转化为：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 22cos 2sin 2παααy ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππα，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+43,44πππα 析：形如题目中的解析式，考虑用三角换元的方法，在定义域的前提下，巧妙地规定角的取值范围，避免绝对值的出现。

不管是代数换元还是三角换元，它的目的都是为了去根式，故需要根据题目灵活选择新元，并注意新元的范围。

3.数形结合法例3：1）求()()8222+-+=x x y 的值域。

含根式函数值域的求法

含根式函数值域的几何求法函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。

其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。

例1 求函数312+-+=x x y 的最小值. 解：由03≥+x 得：3-≥x .令⎩⎨⎧≥+=-≥+=)0(3)5(12v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(212+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。

联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=yu v u v )5(212，消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0，即：0)5(24)1(2=--⨯⨯--y解得：=y 841-. ∴ 原函数的最小值为841-. 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。

因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。

例2 求函数131-++-=x x y 的值域.分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。

解：由⎩⎨⎧≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令⎩⎨⎧≤≤+=≤≤-=)20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上，如图2，显然OB y OA ≤+≤1图2图1图4 u 又 ∵ 22,2==OB OA ∴ 1221-≤≤y 即为原函数所求的值域。