对称性、守恒律和简并性

与宇称反对易的矢量称为极性矢量，而与宇称对易的 矢量叫做轴矢量或赝矢量。
类似的有标量算符（与宇称算符对易）和赝标量算符 （与宇称算符反对易） 。
L•S、x•p是标量： π+ L•Sπ= L•S
赝标 L量 x的例子包 L括S•x、 xL•x等L： (x)L Nhomakorabeax
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1.什么是传统机械按键设计？
或{p,π}=0. 该关系与p=dx/dt的预期相同。 对轨道角动量L=xxp，可预期[L,π]=0. 对一般角动量，考虑到R(宇称)=-I,宇称和转动操作对易，
故量子力学中的相应幺正算符也对易: πD(R)=D(R)π [π,J]=0.
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三、矢量和赝矢量
在转动下x和J以相同方式变换，两者都是矢量，或一 阶球张量，但x和p与π反对易，而J与对易。
该态在|R>和|L>间震荡，震荡角频率为
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该震荡可看成量子力学的隧道贯穿，粒子在经典 物理禁止的区域隧穿而震荡于两态间。如势垒无 穷高，则EA=ES，从而ω=0，不再震荡。
注：对无穷高势垒， |R>和|L>均是H的本征态， 但|R>和|L>均非π的本征态。即H所具有的宇称不 一定反映在其本征态上，这是简并与对称破缺的 一个简单例子。这种现象在自然界相当普遍，如 铁磁现象，糖与氨基酸的手性等。
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一、宇称算符的基本性质
对|α>,用幺正算符π表示宇称算符，|α> π|α>。 要求位置算符的期待值变号，即 x x
则有 x x 或 x x 0，即与x反对易
位置本征态|x’>在宇称作用下变为本征值为-x’的态：
x x x x x( x ) 故 x ei -x ,通常取ei 1.
由于用π作用两次体系必恢复原状，故π2=1 π=π-1=π+，π是厄米的。 对π的本征态|β>,因ππ|β>=β2|β>，知β=±1
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二、算符在宇称操作下的变换
由于先平移后反演 等同于先反演后在相反方向平移：
T(dx) T(dx) , 有 (1 ip dx' ) 1 ip dx , p p
x ,lm R (r)lm ( ,) R (r)()m
(2l 1)(l
4 (l
m )m!)!Plm
(cos
)eim
,lm ()l ,lm
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五、能量本征态与宇称
若[H,π]=0,而|n>是H的本征值为En的非简并本 征态，则|n>是宇称本征态。
证：Hπ|n>=Enπ|n>,由非简并性得π|n>=eiδ|n>. 作为应用，考虑简谐振子本征态。
当然，我们可以通过组合H的简并本征态而得 到π的本征态，如|α>=[|p’>±|-p’>]便是π和H的 共同本征态
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六、对称双势阱
H与π对易， H的最低两本征态为 对称的|S>和反对称的|A>, EA>ES,且EA-ES随势垒增高而减少。
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取|R>~|S>+|A>，|L>~|S>-|A>,在π作用下|R>和|L> 对调. |R>和|L>不是π的本征态，也不是H的本征态， 但有相同能量期待值. |R>和|L>是非定态,若t0=0处 于|R>，则t时状态为
四、波函数在宇称操作下的变换
(x) x , 的波函数为 x -x (-x)
若|α>为宇称本征态，π|α>=± |α>,则<x’|π|α>=± <x’|
α>, 故有
(x) (x)
“+”对应偶宇称，“-”对应奇宇称。当然，只有与π对 易的算符之本征态才可能有确定的宇称。如动量算符 不与π对易，其本征态即平面波并非π的本征态，而轨 道角动量的本征态则可为π的本征态：
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如对转动，[D(R), H ] 0,则 [J , H ] 0, [J 2, H ]可构0, 造H,J2,Jz的共同本征态|n;j,m>。由上所知，所有 D(R) |n;j,m>态能量简并。
由于 D(R) njm njm Dm( j,m) 改(R变) 表征D(R)的连续 m 参量,可得不同|njm>组合,故不同m的|njm>是简并 的。因m有2j+1个，简并度为2j+1。
物理规律的平移不变性特征
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三、简并 态 若[H,T]=0，T为某对称算符，|n>为本征值为En的
能量本征态，则T|n>也是相同能量的能量本征态。 如果T|n>与|n>是不同的态，则称它们是能量简并 态，体系有简并。有时T由连续参量λ表征T=T(λ), 此时所有的T(λ)|n>态都简并（但简并度只是独立 的T(λ)|n>态数）。
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
上面讨论的是连续性对称操作，即对称操作可由相继 无穷小对称算符所得。量子力学中有用的对称操作并 不限于此种形式，可有分立而非连续的对称操作，如 宇称，晶格平移和时间反演。
宇称或空间反演操作将r变为-r，右手坐标系变为左手 坐标系。量子力学中我们讨论的常是作用于态矢而不 是坐标系的变换。
对称操作的两种等价方式：主动与被动
第4章 量子力学中的对称性
§ 4.1 对称性、守恒律和简并性 一、经典物理中的对称性
对拉格朗日函数： L T V L({q },{q })
若 L 0, 则 d ( L ) dp,即广0义动量为运动常数.
类似地q，若用哈d密t 顿q函 数 dt
的正则方程来
讨论：
H L p q
q
H p
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七、宇称选择定则 若 , , , 1,
则 x 0,除非 ，即奇宇称的x
将相反宇称的态相联系。 该讨论可推广到其他算符。如算符为奇宇称，则
其只有在不同宇称的状态间有不为零的矩阵元。 偶宇称算符则在同宇称态间矩阵元才可能不为零。 如果[H,π]=0,能量非简并态必无偶极矩： <n|x|n>=0 当然，对简并态，则<n|x|n>不一定为零。
从[H,J±]=0和J±作用于|njm>也可知其有2j+1简并 度
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作为应用，考虑原子中电子的状态，其所受势
为 V (r) Vls (r)L。 S由于势V(r)在转动下不变，故
原子能级有2j+1重简并。若外加Z方向的电磁场， 则电子所受的势不再在转动下不变，简并被消除。
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§4.2 分离对称性，宇称或空间反演
由于基态为高斯函数，π|0>=|0>, 而π|1>=πa+|0>=-|1>。 类似可推得π|n>=(-)n|n>
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注意:非简并性对得出|n>是π的本征态是非常 重要的。若有简并，如氢原子体系， Cp|2p>+Cs|2s>是H本征态，但并非π的本征态。 又如动量本征态也是H本征态，但|p’> 和 |-p’> 简并, |p’>并非π的本征态.
,
p
H q
.
若 H q
0，则p是运动常量
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二、量子力学中的对称性
量子力学中的操作如平移、转动等是与一个幺正算符 T相联系的，习惯上T常被称作对称算符。
若T作用下系统不变,则称系统具有与T相关的对称性.
对无穷小变化的操作，T可写为，T
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i
G
其中G是对称操作的厄米生成元。
若H在T作用下不变，T HT H, 即 G, H则 根0据, 海森
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宇称不守恒： 若H与π对易，则宇称守恒，否则宇称不守恒。
如基本粒子间的弱作用与宇称不对易，故过程 宇称不守恒。李杨最早发现弱相互作用宇称不 守恒而获诺奖。
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作业：题2，3，5
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堡运动方程，有
dG ，dt即 G0是运动常量。
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例如动量是平移的生成元，若H在平移操作下不变， 则动量是运动常量（即守恒）。类似的，若H在转动 下不变，则转动的生成元角动量守恒。
从态矢变化的角度看，若G与H对易，则
g, t0;t U(t, t0) g
保持是G的本征态，且G的本征值不变：
G g, t0;t GU g UG g gU g