2.2.1 提公因式法(一)
2.2提公因式法
把下列各式分解因式： 比较2002×20032003与 ① a（x-3）+2b（x-3）； 2003×20022002的大小。 解答：设2002=x ② 5（x-y）3+10（y-x）2。 ① a（x-3）+2b（x-3） ∵2002×200320032003×20022002=x·10001（x+1）=（x-3）（a+2b） （x+1）·10001 x=0 3 2 ② 5（x-y） +10（y-x） ∴2002×20032003=2003×20022002 =5（x-y）3+10[-（x-y）]2 已知a+b=13,ab=40, =5（x-y）3+10（x-y）2 求a2b+ab2的值； 2 =5（x-y） （x-y+2） 2 2
a
学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动 场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积。
b
c
m
方法一：S = m ( a + b + c ) 方法二：S = ma + mb + mc
下面两个式子中哪个是因式分解？
在式子ma + mb + mc中，m是这个 多项式中每一个项 都含有的因式，叫 做 公因式。
最大公因式的提取方法: 系数取分子和分母系数 的最大公约数,字母取分 子和分母共有的字母,指 数取公共字母的最小指 数,即 公因式，你有哪些找公因 式的方法？ 定义说明：初中一 般研究两个因式乘 积，高中就会扩展 到多个因式乘积
探究新知
(2)2b2+4b-6b
（3）2x2+6x3
议一议
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
公因式
《因式分解提公因式法》教案
《因式分解-提公因式法》教案第一章：教学目标1.1 知识与技能1.2 过程与方法1.3 情感态度与价值观第二章：教学内容2.1 课题引入2.2 知识讲解2.3 例题解析2.4 课堂练习第三章：教学过程3.1 课堂讲解3.2 学生自主学习3.3 课堂讨论与交流3.4 巩固练习第四章：教学策略与方法4.1 教学策略4.2 教学方法4.3 教学评价第五章：课后作业与评价5.1 课后作业布置5.2 学生作业评价5.3 学生学习反馈第六章：教学资源6.1 教学素材6.2 多媒体课件6.3 网络资源6.4 教学参考书籍第七章：教学设计与实施7.1 教学活动安排7.2 教学步骤7.3 教学时间分配7.4 教学场所与设备第八章：学生学习指导8.1 学习方法指导8.2 学习难点解析8.3 学习策略建议8.4 学习反馈与评估第九章：教学反思与改进9.1 教学效果评估9.2 教学反思9.3 教学改进措施9.4 教学持续发展第十章：教学评价与考核10.1 课堂表现评价10.2 作业与练习评价10.3 阶段测试与评价10.4 期末考试与评价重点和难点解析一、教学目标1.1 知识与技能：掌握提公因式法的基本概念和步骤。
1.2 过程与方法：通过实例分析，学会运用提公因式法进行因式分解。
1.3 情感态度与价值观：培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容2.1 课题引入：通过具体问题引入提公因式法。
2.2 知识讲解：讲解提公因式法的原理和步骤。
2.3 例题解析：分析并解决实际例题。
2.4 课堂练习：学生自主练习，巩固所学知识。
三、教学过程3.1 课堂讲解：详细讲解提公因式法的步骤和应用。
3.2 学生自主学习：学生独立完成练习题，巩固知识点。
3.3 课堂讨论与交流：学生之间分享解题心得，讨论解题方法。
3.4 巩固练习：布置课后作业，巩固所学知识。
四、教学策略与方法4.1 教学策略：采用问题驱动法和案例教学法，激发学生的学习兴趣。
2.2 提公因式法(含答案)-
2．2提公因式法一、选择题：1．多项式－4a2b2+12a2b2－8a3b2c的公因式是（）A．－4a2b2c B．－a2b2 C．－4a2b2D．－4a3b2c2．若多项式－6mn+18mnx+24mny的一个因式是－6mn,那么另一个因式是（）A．－1－3x－4y B．1－3x－4y C．－1－3x+4y D．1+3x－4y3．分解－3a2bc2+12a3b2c2+9a2bc3的结果是（）A．－a2bc2(3－12ab－9c) B．a2bc2(－3+12ab+9c)C．－3(a2bc2－4a3b2c2－3a2bc3) D．－3a2bc2(1－4ab－3c)4．下列提公因式法分解因式正确的是（）A．12abc－9a2b2=3abc(4－3ab) B．3x2y－3xy+6y=3y(x2－x+2y)C．－a2+ab－ac=－a(a－b+c) D．x2y+5xy－y=y(x2+5x)5．下列多项式中的公因式与多项式8x3+24x2+4x的公因式相同的有（）①8y3+24y2+4y；②32x3y+16xy2+28x3；③4x4－12x3+16x2+20x；④－8x3+4x2－24x A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列各组多项式中,提取公因式后的剩余因式相同的是( )A．3m2n+6mn2与2m2n+4mn2+mn B．a3+a2+a与b3+b2+bC．6x3+4x2+2x与6x2y+4xy+2y D．a(m－n)3－b(n－m)3与a(m－n)3－b(m－n)3二、填空题：1.单项式4a3,8a2b2,－30a2bc的公因式是_________；单项式8x m y n－1与–4x m+1y n的公因式是_________。
2.在下列各式右边的括号前填写“+”号或“－”号，使等式成立：(1)（b－a）2=_________(a－b)2; (2)(x－y)3=________(y－x)3(3)－a－b=___________(a+b); (4)(－x－y)2=________(x+y)23．－6m3n2+12m2n3－3m2n2的公因式是_________；5a(x－y)－10b(y－x)的公因式是________．4．在下列括号内填写适当的多项式，使等式成立：（1）14abx－8ab2x=2abx( ); (2)－7ab－14abx+49aby=－7ab( ) 5．分解因式：3a(m+n)－6(m+n)=___________．6．利用分解因式计算：（－2）2003+（－2）2004－22003=__________。
2.2提公因式法(1课时)
2.2提取公因式法（1课时）授课教师：张娟【教材分析】因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，因式分解不仅在多项式的除法、简便运算中有直接作用，也为以后学习分式运算、解方程、方程组及代数式的恒等变形提供了必要的基础。
进行因式分解的途径很多，技巧性强，逆向思维能力要求较高。
所以因式分解是发展学生智力、培养能力、深化学生的逆向思维能力的良好载体。
【教材背景】“提取公因式法”是北师大版初中八年级数学下册“因式分解”一章的重点内容之一，是学生学习因式分解的第一种分解因式的方法。
是最基本也是最重要的因式分解方法。
应该培养学生的观察、分析、判断能力和预见能力。
【教学方法】（一）教法分析1.为了调动学生的学习的积极性，充分肯定学生的主体地位，使学生变被动学习为主动的学习，应采用师生问答，启发诱导法和练习法，，及组织学生活动法。
2.教具准备：课件，多媒体（二）、学法分析为了培养学生的数学思维能力、自学能力，这节课主要采用指导学生通过讨论完成相应的学习过程：预习—听课（问答）—反馈巩固—系统小结—完成作业。
以达到巩固、熟练知识的目的，同时指导学生注意运用观察分析的学习方法。
【教学目标】知识技能目标：理解公因式的概念，会找出多项式的公因式，并能用提取公因式法因式分解过程方法目标：初步形成观察、分析、概括的能力和逆向思维方式情感态度目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。
【教学重难点】教学重点：掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解教学难点：准确找出公因式。
【教学过程】一.回顾旧知1. 多项式的分解因式的概念：把一个多项式__________________的形式，叫做把这个多项式分解因式.2. 分解因式与整式乘法是_____过程.3. 分解因式要注意以下几点:①分解的对象必须是_______.②分解的结果一定是几个整式的_____的形式.二.探究新知1.公因式的定义及确定方法下列各多项式的各项有没有共同的因式？（1）ma＋mb＋mc （2）8 a 3 b2 –12ab 3 + ab从上面的代数式中，大家注意观察每一个代数式有什么特点？各项之间有什么联系？由于m是左边多项式ma＋mb＋mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式．通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤．①首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4．②其次找各项中含有的相同的字母，如（2）中相同的字母有ab，相同字母的指数取次数最低的．【注意】多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式。
因式分解和提公因式法
因式分解和提公因式法因式分解是代数中的一种重要的运算方法，在解题过程中往往可以起到简化问题、求解方程、找出公因数等作用。
而提公因式法是因式分解的一种特殊形式，通过提取公因式来简化多项式的表达式。
本文将详细介绍因式分解和提公因式法的概念、原理以及应用。
一、因式分解的概念和原理1.1 因式分解的概念因式分解是将一个多项式拆解成若干个因式的乘积，其中每个因式都是多项式的一个因子。
通过因式分解，我们可以将复杂的多项式化简为简单的因子形式，便于进一步求解方程、计算和进行其他代数运算。
1.2 因式分解的原理因式分解的原理是根据多项式的特点和运算规律，将其拆解为不可再分解的因子相乘的形式。
常用的分解方法有提取公因式法、配方法、根据特殊公式和因式定理等。
二、提公因式法的概念和步骤2.1 提公因式法的概念提公因式法是一种较为常见且简便的因式分解方法，通过提取多项式中的公因式，将多项式拆解为公因式和剩余部分的乘积。
这样可以达到简化表达式的效果，从而便于求解方程或进行其他计算。
2.2 提公因式法的步骤步骤一：观察多项式中是否存在公因式；步骤二：提取出公因式，并在多项式外面加上括号，表示公因式；步骤三：将多项式中去掉公因式后的部分作为括号内的剩余部分；步骤四：将公因式和剩余部分用乘号连接起来，得到最终的因式分解式。
三、因式分解和提公因式法的应用3.1 解方程因式分解和提公因式法在解方程中经常被使用。
通过因式分解，可以将原方程化简为简单的因子形式，从而更容易求解。
例如，对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果可以进行因式分解成(a'x + b')(c'x + d') = 0，那么可以根据方程因式乘积为零的性质，得到x的取值。
3.2 简化计算在进行复杂的数学计算时，因式分解和提公因式法可以起到简化计算的作用。
通过将多项式化简为因子形式，可以减少计算的复杂性。
特别是在涉及多次相同运算的情况下，将公因式提取出来可以减少重复计算。
提公因式法
提公因式法(一)●课题§2.2.1 提公因式法(一)●教学目标(一)教学知识点让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.(二)能力训练要求通过找公因式，培养学生的观察能力.(三)情感与价值观要求在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.●教学重点能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.●教学难点让学生识别多项式的公因式.●教学方法独立思考——合作交流法.●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是,求这块场地的面积.解法一：S=× + × + × =++=2解法二：S=× + × + × = ( ++)=×4=2［师］从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.Ⅱ.新课讲解1.公因式与提公因式法分解因式的概念.［师］若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m(a+b+c)，可以用等号来连接.ma+mb+mc=m(a+b+c)从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？［生］等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式(a+b+c)的乘积，从左边到右边是分解因式.［师］由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与(a+b+c)的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式(a+b+c)，作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2.例题讲解3.议一议［师］通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.［生］首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4.其次找各项中含有的相同的字母，如(3)中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最低的.4.想一想［师］大家总结得非常棒.从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？［生］提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.Ⅲ.课堂练习(一)随堂练习1.写出下列多项式各项的公因式.(1)ma+mb (m)(2)4kx－8ky (4k)(3)5y3+20y2 (5y2)(4)a2b－2ab2+ab (ab)2.把下列各式分解因式(1)8x－72=8(x－9)(2)a2b－5ab=ab(a－5)(3)4m3－6m2=2m2(2m－3)(4)a2b－5ab+9b=b(a2－5a+9)(5)－a2+ab－ac=－(a2－ab+ac)=－a(a－b+c)(6)－2x3+4x2－2x=－(2x3－4x2+2x)=－2x(x2－2x+1)(二)补充练习1．把3x2－6xy+x分解因式［生］解：3x2－6xy+x=x(3x－6y)［师］大家同意他的做法吗？［生］不同意.改正：3x2－6xy+x=x(3x－6y+1)［师］后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到1作为项的系数通常可以省略的影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确，所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是1，不能省略或漏掉.在分解因式时应如何减少上述错误呢？将x写成x·1,这样可知提出一个因式x后，另一个因式是1.2．Ⅳ.课时小结1.提公因式法分解因式的一般形式，如：ma+mb+mc=m(a+b+c).这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤(1)若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；(2)取相同的字母，字母的指数取较低的；(3)取相同的多项式，多项式的指数取较低的.(4)所有这些因式的乘积即为公因式.4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.5.公因式相差符号的，如(x－y)与(y－x)要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.Ⅴ.课后作业习题2.2(7)－2x2－12xy2+8xy3=－(2x2+12xy2－8xy3)=－2x(x+6y2－4y3);(8)－3ma3+6ma2－12ma=－(3ma3－6ma2+12ma)=－3ma(a2－2a+4);2.利用因式分解进行计算(1)121×0.13+12.1×0.9－12×1.21=12.1×1.3+12.1×0.9－1.2×12.1=12.1×(1.3+0.9－1.2)=12.1×1=12.1(2)2.34×13.2+0.66×13.2－26.4=13.2×(2.34+0.66－2)=13.2×1=13.2(3)Ⅳ.活动与探究利用分解因式计算：(1)32004－32003;(2)(－2)101+(－2)100.解：(1)32004－32003=32003×(3－1)=32003×2=2×32003(2)(－2)101+(－2)100=(－2)100×(－2+1)=(－2)100×(－1)=－(－2)100=－2100●板书设计§2.2.1 提公因式法(一)一、1.公因式与提公因式法分解因式的概念2.例题讲解(例1)3.议一议(找公因式的一般步骤)4.想一想二、课堂练习1.随堂练习2.补充练习三、课时小结四、课后作业●备课资料参考练习一、把下列各式分解因式：1.2a－4b;2.ax2+ax－4a;3.3ab2－3a2b;4.2x3+2x2－6x;5.7x2+7x+14;6.－12a2b+24ab2;7.xy－x2y2－x3y3;8.27x3+9x2y.参考答案：1.2(a－2b);2.a(x2+x－4);3.3ab(b－a);4.2x(x2+x－3);5.7(x2+x+2);6.－12ab(a－2b);7.xy(1－xy－x2y2);8.9x2(3x+y).提公因式法(二)●课题§2.2.2 提公因式法(二)●教学目标(一)教学知识点进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.(二)能力训练要求进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.(三)情感与价值观要求通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点.●教学重点能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.●教学难点准确找出公因式，并能正确进行分解因式.●教学方法类比学习法●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课［师］上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜.Ⅱ.新课讲解一、例题讲解［例2］把a(x－3)+2b(x－3)分解因式.分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a(x－3)与2b(x－3)，每项中都含有(x－3),因此可以把(x －3)作为公因式提出来.解：a(x－3)+2b(x－3)=(x－3)(a+2b)［师］从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？［生］不是，是两个多项式的乘积.［例3］把下列各式分解因式:(1)a(x－y)+b(y－x);(2)6(m－n)3－12(n－m)2.分析：虽然a(x－y)与b(y－x)看上去没有公因式，但仔细观察可以看出(x－y)与(y－x)是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－(x－y).(m－n)3与(n－m)2也是如此.解：(1)a(x－y)+b(y－x)=a(x－y)－b(x－y)=(x－y)(a－b)(2)6(m－n)3－12(n－m)2=6(m－n)3－12［－(m－n)］2=6(m－n)3－12(m－n)2=6(m－n)2(m－n－2).二、做一做请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:(1)2－a=__________(a－2);(2)y－x=__________(x－y);(3)b+a=__________(a+b);(4)(b－a)2=__________(a－b)2;(5)－m－n=__________－(m+n);(6)－s2+t2=__________(s2－t2).解：(1)2－a=－(a－2);(2)y－x=－(x－y);(3)b+a=+(a+b);(4)(b－a)2=+(a－b)2;(5)－m－n=－(m+n);(6)－s2+t2=－(s2－t2).Ⅲ.课堂练习把下列各式分解因式：解：(1)x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y);(2)3a(x－y)－(x－y)=(x－y)(3a－1);(3)6(p+q)2－12(q+p)=6(p+q)2－12(p+q)=6(p+q)(p+q－2);(4)a(m－2)+b(2－m)=a(m－2)－b(m－2)=(m－2)(a－b);(5)2(y－x)2+3(x－y)=2［－(x－y)］2+3(x－y)=2(x－y)2+3(x－y)=(x－y)(2x－2y+3);(6)mn(m－n)－m(n－m)2=mn(m－n)－m(m－n)2=m(m－n)［n－(m－n)］=m(m－n)(2n－m).补充练习把下列各式分解因式解：1.5(x－y)3+10(y－x)2=5(x－y)3+10(x－y)2=5(x－y)2［(x－y)+2］=5(x－y)2(x－y+2);2. m(a－b)－n(b－a)=m(a－b)+n(a－b)=(a－b)(m+n);3. m(m－n)+n(n－m)=m(m－n)－n(m－n)=(m－n)(m－n)=(m－n)2;4. m(m－n)(p－q)－n(n－m)(p－q)= m(m－n)(p－q)+n(m－n)(p－q)=(m－n)(p－q)(m +n);5.(b－a)2+a(a－b)+b(b－a)=(b－a)2－a(b－a)+b(b－a)=(b－a)［(b－a)－a+b］=(b－a)(b－a－a+b)=(b－a)(2b－2a)=2(b－a)(b－a)=2(b－a)2Ⅳ.课时小结本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.Ⅴ.课后作业习题2.3Ⅵ.活动与探究把(a+b－c)(a－b+c)+(b－a+c)·(b－a－c)分解因式. 解：原式=(a+b－c)(a－b+c)－(b－a+c)(a－b+c)=(a－b+c)［(a+b－c)－(b－a+c)］=(a－b+c)(a+b－c－b+a－c)=(a－b+c)(2a－2c)=2(a－b+c)(a－c)●板书设计§2.2.2 提公因式法(二)一、1.例题讲解2.做一做二、课堂练习三、课时小结四、课后作业●备课资料参考练习把下列各式分解因式：1.a(x－y)－b(y－x)+c(x－y);2.x2y－3xy2+y3;3.2(x－y)2+3(y－x);4.5(m－n)2+2(n－m)3.参考答案：解：1.a(x－y)－b(y－x)+c(x－y)=a(x－y)+b(x－y)+c(x－y)=(x－y)(a+b+c);2.x2y－3xy2+y3=y(x2－3xy+y2);3.2(x－y)2+3(y－x)=2(x－y)2－3(x－y)=(x－y)［2(x－y)－3］=(x－y)(2x－2y－3);4.5(m－n)2+2(n－m)3=5(m－n)2+2［－(m－n)］3=5(m－n)2－2(m－n)3=(m－n)2［5－2(m－n)］=(m－n)2(5－2m+2n).典型例题例题1 找出下列式子中的公因式：（1）；（2）；分析多项式中各项都含有的因式是公因式，公因式中的系数是各项系数的最小公倍数，各项中共同含有的字母的公因式是各项中这个字母次数最低的幂．解答（1）公因式是．（2）公因式是．说明字母的指数中含有字母时，要判断哪个指数是最小的．例题2．分解因式：解答说明观察到第一项的系数是负数，我们先把“－”号提出来，便于继续分解因式.例题3．分解因式： .分析观察题目结构特征：第一项系数是负数，且有因式，第二、三项有因式，这就启发我们只要把前面添上负号，就变成，这样三项中均有公因式了.解答说明对于与的符号有下面的关系：感兴趣的同学可以寻找其中的规律.例题4．解方程： .分析方程左边的第一项有因式，第二项有因式 . 所以我们应先提取公因式，再化简求解.解答原方程依次变形为：例题5．不解方程组求：的值.分析把所求的式子利用因式分解法转化为关于与的因式，再代入求解.解答∵∴原式 .说明在解题过程中，巧妙地运用了转化思想，用提公因式法分解因式作为桥梁，把题给方程组和所求多项式结合起来，体现了思维的广阔性.探究活动关灯问题一条长廊里依次装有100盏电灯，从头到尾编号为1，2，3…99，100．每盏灯由一个拉线开关控制．开始，电灯全部关着．有100个同学列队从长廊走过来．第一个同学把号码凡是1的倍数的电灯的开关拉一下；接着第二个同学把凡是2的倍数的电灯开关拉一下；接着第三个同学把凡是3的倍数的电灯的开关拉一下；如此继续下去，最后第一百个同学把号码凡是100的倍数的电灯的开关拉一下．当100个同学按此规定穿过长廊之后，长廊里还有几盏灯亮着？参考答案还有10盏灯亮着．即：编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的灯．思考·探索1．解方程．参考答案1．原方程可化为，即．解得．习题精选练习题一1．选择题（1）分解的结果是（）A． B．C． D．（2）若多项式的一个因式是，那么另一个因式是（）A． B． C． D．（3）多项式的公因式是（）A． B． C． D．（4）下列用提公因式法因式分解正确的是（）A． B．C． D．2．分解因式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）3．分解因式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．参考答案1．（1）D （2）D （3）C （4）C2．（1）（2）（3）（4）（5）（6）3．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）练习题二1．把下列各式分解因式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）．2．求满足下列等式的x的值（1）；（2）．3．若，求代数式的值．参考答案1．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）2．（1）（2）3．，∴，当时，上式．古老的代数在古希腊时代，代数还不是一门独立的学科，许多代数公式是通过几何方法来推导的．如①式就可通过下图推导出来：现在，请你用纸片剪一个边长为的正方形，在它的右上角挖去一个边长为的小正方形（下图中有阴影的正方形），剩下的图形．我们来计算它的面积．为此，请你沿虚线把图形剪开，把小长方形按箭头所指的方向搬到的位置（不动），拼成一个长方形．请你量一量、算一算，然后回答问题：（1）正方形的面积是_________，（2）正方形的面积是_________，（3）因此，图形的面积是__________．（4）剪开HF后拼成的新矩形与图形的面积是________的．（5）矩形的边长为_______，JC边长为________，所以，矩形IJCE的面积为___________．（6）将（3）（5）的结果加以比较，就得到我们熟知的代数公式____________．电费催收单C城居民的生活用电每度收费1.5元，小英家一季度用电的数据如下：元月85度，2月73度，3月90度．奶奶要小英计算一下，一季度家里应交多少电费．小英很快就列出了算式：可是，供电所发来的收费单却是按月份别计算的．他们的算式是：现在我们来思考几个问题：（1）小英的算法与供电所的算法，结果是相同的吗？（口答）（2）根据回答可以写出等式：（3）一般地，如果电价每度为m元，某用户一季度用电的数字分别为：1月a度，2月b度，3月c度．那么，根据刚才写出的答案，就可以得出收费的一个一般公式：①①式就是分解因式的提公因式法．利用提公因式的方法分解因式的具体方法是：（1）先确定多项式中各项的公因式，再把公因式提到括号外，把原多项式除以公因式所得的商式写在括号内．确定公因式的方法是：先取各项数字系数的最大公的数，再取各项相同字母的最低次幕，合起来就是这个多项式的公因式．（2）在提取公因式时，要特别注意出现下列情况的时候：如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，并且注意括号内其它各项要变号．如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出．有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将变成才能提公因式，这时要特别注意各项的符号．。
因式分解(1)-提取公因式(1)(1)
──提公因式法
揭标引学
1.了解因式分解的意义，会用提公因式法进 行因式分解（指数是正整数）；
2.经历通过整式乘法逆向得出因式分解方法 的过程，发展学生的逆向思考问题的能力和推理 能力.
情境引入
计算：375×2.8+375×5+375×2.2 解：原式=375×(2.8+5+2.2) =375×10 =3750
射阳县实验初中
例题讲解
例2：把下列各式分解因式 (1)12a2bc-6ab (2)-2m3+8m2-12m
♦当多项式的第一项的系数是“−”时，通常 把“−”作为公因式的负号写在括号外，使括 号内第一项的系数化为“+ ”． ♦提公因式法因式分解的关键就是找公因式．
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练一练：【自学检查】
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拓展延伸
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(1+x)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)2 （1）上述分解因式的方法是_提__取_公__因_式___法，共应用 了__2___次； （2）若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2018，则 需要应用上述方法_2_0_1_8_次，分解因式后的结果是 _____； （3）请用以上的方法分解因式： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n (n为正整数)，必须 有简要的过程.
完整版因式分解的常用方法方法最全最详细
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式， 主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有 无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式； 如前两个步骤都不能实施， 可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法 继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数 法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
、提公因式法.:ma+mb+mc=m （a+b+c ） 、运用公式法•2 2 2在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因 式分解中常用的公式，例如：2 2(1) (a+b)(a-b) = a -b -2 2 2(2) (a ±b) = a ±2ab+b ------------- a 22 33(3) (a+b)(a -ab+b ) =a +b -------------- 2233(4) (a-b)(a +ab+b ) = a -b -------------- 下面再补充两个常用的公式：22 2(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 33 322 (6) a +b3 3+c -3abc=(a+b+c)(a 例.已知a ，2 2-b =(a+b)(a-b)；2 2 2±2ab+b =(a ±b)；3322+b =(a+b)(a -ab+b )；3 3 2-b =(a-b)(a +ab+b 2 )•2；— 2+b +c -ab-bc-ca)b, c 是ABC 的三边，且a 2 b 2 c 2 ab bc ca ，ABC 的形状是（）A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形2 2 2解：a b c ab bc ca2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b) (b c) (c a) 0三、分组分解法•（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
提公因式法(有答案解析)
2.2 提公因式法A卷：基础题一、选择题1．下列各组代数式中，没有公因式的是（）A．5m（a－b）和b－a B．（a+b）2和－a－bC．mx+y和x+y D．－a2+ab和a2b－ab22．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（）A．x2－y B．x2+2x C．x2+y2D．x2－xy+y23．下列用提公因式法分解因式不正确的是（）A．12abc－9a2b2c=3abc（4－3ab）B．3x2y－3xy+6y=3y（x2－x+2y）C．－a2+ab－ac=－a（a－b+c）D．x2y+5xy+y=y（x2+5x+1）4．（－2）2007+（－2）2008等于（）A．2 B．22007C．－22007D．－220085．把代数式xy2－9x分解因式，结果正确的是（）A．x（y2－9）B．x（y+3）2C．x（y+3）（y－3）D．x（y+9）（y －9）二、填空题6．9x2y－3xy2的公因式是______．7．分解因式：－4a3+16a2b－26ab2=_______．8．多项式18x n+1－24x n的公因式是______，提取公因式后，另一个因式是______．9．a，b互为相反数，则a（x－2y）－b（2y－x）的值为________．10．分解因式：a3－a=______．三、解答题11．某中学有三块草坪，第一块草坪的面积为（a+b）2m2，第二块草坪的面积为a（•a+b）m2，第三块草坪的面积为（a+b）bm2，求这三块草坪的总面积．12．观察下列等式，你得出了什么结论？并说明你所得的结论是正确的．1×2+2=4=22；2×3+3=9=32；3×4+4=16=42；4×5+5=25=52；…B卷：提高题一、七彩题1．（巧题妙解题）计算：123369510157142113539155152572135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯.2．（多题一思路路）（1）将m 2（a －2）+m （2－a ）分解因式，正确的是（ ） A ．（a －2）（m 2－m ） B ．m （a －2）（m+1） C ．m （a －2）（m －1） D ．m （2－a ）（m －1） （2）若x+y=5，xy=10，则x 2y+xy 2=_______；（3）mn 2（x －y ）3+m 2n （x －y ）4分解因式后等于_______． 二、知识交叉题3．（科内交叉题）你对分解因式的了解是不是多了一些？请你猜一猜： 32005－4×32004+•10×32003能被7整除吗？4．（科内交叉题）已知串联电路的电压U=IR1+IR2+IR3，当R1=12.9Ω，R2=18.5Ω，R3=18.6Ω，I=2.3A时，求U的值．三、实际应用题5．在美丽的海滨步行道上，整齐地排着十个花坛，栽种了蝴蝶兰等各种花奔，•每个花坛的形状都相同，中间是矩形，两头是两个半圆形，半圆的直径是中间矩形的宽，若每个花坛的宽都是6m，每个花坛中间矩形长分别为36m，25m，30m，28m，•25m，•32m，24m，24m，22m和32m，你能求出这些花坛的总面积吗？你用的方法简单吗？四、经典中考题6．（2008，重庆，3分）分解因式：ax－ay=______．7．（2007，上海，3分）分解因式：2a2－2ab=_______．C卷1．（规律探究题）观察下列等式：12+2×1=1×（1+2）；22+2×2=2×（2+2）；32+2×3=3×（3+2）；…则第n个等式可以表示为_______．2．（结论开放题）如图2－2－1，由一个边长为a的小正方形与两个长，宽分别为a，•b 的小矩形组成图形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式．3．（阅读理解题）先阅读下面的例子，再解答问题．求满足4x（2x－1）－3（1－2x）=0的x的值．解：原方程可变形为（2x－1）（4x+3）=0．所以2x－1=0或4x+3=0，所以x1=12，x2=－34．注：我们知道两个因式相乘等于0，那么这两个因式中至少有一个因式等于0；•反过来，如果两个因式中有一个因式为0，它们的积一定为0，请仿照上面的例子，求满足5x （x－2）－4（2－x）=0的x的值．3.先阅读下面的材料，再分解因式：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；•把它的后两项分成一组，并提出b，从而得到a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b（m+n）•又有公因式（m+n），于是可提公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b）．因此有am+•an+•bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b）．这种因式分解的方法叫做分组分解法．•如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式了．请用上面材料中提供的方法分解因式：（1）a2－ab+ac－bc；（2）m2+5n－mn－5m．参考答案A卷一、1．C 点拨：A中公因式是（a－b），B中公因式是（a+b），D中公因式是（a－b）．2．B 点拨：x2+2x=x（x+2）．3．B 点拨：3x2y－3xy+6y=3y（x2－x+2）．4．B 点拨：（－2）2007+（－2）2008=（－2）2007+（－2）2007×（－2）=（－2）2007×（1－2）=（－1）×（－2）2007=22007．5．C 点拨：xy2－9x=x（y2－9）=x（y2－32）=x（y+3）（y－3）．二、6．3xy 点拨：9x2y－3xy2=3xy·3x－3xy·y=3xy（3x－y）．7．－2a（2a2－8ab+13b2）点拨：－4a3+16a2b－26ab2=－2a（2a2－8ab+13b）．8．6x n；3x－4 点拨：18x n+1－24x n=6x n·3x－6x n·4=6x n（3x－4）．9．0 点拨：因为a+b=0，所以a（x－2y）－b（2y－x）=a（x－2y）+b（x－2y）=（x－2y）（a+b）=0．10．a（a+1）（a－1）点拨：a3－a=a（a2－1）=a（a+1）（a－1）．三、11．解：（a+b）2+a（a+b）+b（a+b）=（a+b）[（a+b）+a+b]=（a+b）（2a+2b）=2（a+b）2（m2）点拨：本题是整式的加法运算，利用提公因式法，很快得到运算结果．12．解：结论是：n（n+1）+（n+1）=（n+1）2．说明：n（n+1）+（n+1）=（n+1）（n+1）=（n+1）2．点拨：本题是规律探究题，把所给等式竖着排列，易于观察它们之间存在的规律．B卷一、1．解：原式=33333333123(1357)1232 135(1357)1355⨯⨯⨯+++⨯⨯==⨯⨯⨯+++⨯⨯．点拨：本题的巧妙之处是利用提公因式法分解因式可使计算过程简化，且不易出错．2．（1）C （2）50 （3）mn（x－y）3（n+mx－my）点拨：（1）m2（a－2）+m（2－a）=m2（a－2）－m（a－2）=m（a－2）（m －1），故选C．（2）x2y+xy2=xy（x+y）．因为x+y=5，xy=10，所以原式=10×5=50．（3）mn2（x－y）3+m2n（x－y）4=mn（x－y）3[n+m（x－y）]=mn（x－y）3（n+mx－my）．以上三题的思路是一致的，都是利用提公因式法分解因式，其中第（2）•题分解因式后再代入求值．二、3．解：能，理由：32005－4×32004+10×32003=32003×（32－4×3+10）=32003×7，故能被7整除．点拨：对一个算式进行运算，运算的结果若有因数7，说明它能被7整除．4．解：U=IR1+IR2+IR3=I（R1+R2+R3）=2.3×（12.9+18.5+18.6）=2.3×50=115（V）．点拨：遇到运算比较复杂的题目，可尝试用分解因工的方法把式子化简．三、5．解：S=（π·32+36×6）+（π·32+25×6）+（π·32+30×6）+…+（π·32+32×6）=10×π·32+6×（36+25+30+…+32）≈1951（m2）．四、6．a（x－y）7．2a（a－b）C卷1．n2+2n=n（n+2）2．解：a（a+b）+ab=a（a+2b）；a（a+2b）－ab=a（a+b）；a（a+2b）－a2=2ab；a2+2ab=a（a+2b）；a（a+2b）－a·2b=a2；a（a+2b）－a（a+b）=ab．点拨：答案不唯一，从上述等式中任写三个即可．3．解：5x（x－2）－4（2－x）=0，5x（x－2）+4（x－2）=0，（x－2）（5x+4）．=0，所以x－2=0•或5x+4=0，所以x1=2，x2=－45点拨：观察以上解题特点发现等号左边为0，左边为因式乘积的形式，所以只要把5x（x－2）－4（2－x）=0左边因式分解即可．3.解：（1）a2－ab+ac－bc=（a2－ab）+（ac－bc）=a（a－b）+c（a－b）=（a－b）（a+c）．（2）m2+5n－mn－5m=（m2－mn）+（5n－5m）=m（m－n）+5（n－m）=m（m－n）－5（m－n）=（m－n）（m－5）．。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总1.一元整式的乘法：一元整式是只含有一个变量的整式，例如3x^2+2x+1、一元整式的乘法就是将两个一元整式相乘，可以使用分配律和合并同类项的方法。
例如：(3x+2)(2x-5)=3x*2x+3x*(-5)+2*2x+2*(-5)=6x^2-15x+4x-10=6x^2-11x-102.多项式的乘法：多项式是含有多个项的整式，例如(3x+2)(2x-5)。
多项式的乘法可以通过将每个项相乘，并使用分配律和合并同类项的方法进行简化。
例如：(3x+2)(2x-5)=3x*2x+3x*(-5)+2*2x+2*(-5)=6x^2-15x+4x-10=6x^2-11x-103.完全平方公式：完全平方公式是一种特殊的乘法形式，将一个一元二次多项式乘积进行简化。
完全平方公式为(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2例如：(x+3)(x+3)=x^2+2*x*3+3^2=x^2+6x+9因式分解知识点汇总：1.因式分解的基本思想：因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式，其中每个乘积称为一个因式。
通过因式分解，可以简化计算和解决问题。
2.因式分解的基本方法：2.1提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，得到一个公因式和一个因式为公因式的多项式。
例如：2x^2+4x=2x(x+2)2.2公式法：使用已知的公式，例如完全平方公式、差平方公式等，将多项式进行因式分解。
例如：x^2-9=(x+3)(x-3)2.3分组分解法：将多项式中的各项进行分组，并找出可以进行因式分解的共同因式。
例如：ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)2.4平方差公式：将一个二次多项式表示为两个平方的差。
例如：x^2-4=(x+2)(x-2)2.5公因式平方差公式：将一个二次多项式表示为公因式的平方减去另一个平方。
例如：x^2-y^2=(x+y)(x-y)2.6公式的逆运算：将一个多项式进行展开，得到可以进行因式分解的形式。
资源与评价数学八上答案
资源与评价数学八上答案【篇一：数学_八年级下_资源与评价答案】2.1分解因式1.整式，积；2.整式乘法；3.因式分解；4.c；5.a；6.d；7.d；8.b；9.m??1,n??2; 10.0; 11.c; 12.能;2.2提公因式法1.2ab;2.x?3;3.(a?2)(3a?4);4.(1)x+1;(2)b-c;5.2x?3xy?4y;6.d;7.a;8.(1)3xy(x-2); (2)5xy(y?5x); (3)?2m(2m?8m?13); (4)(a?3)(2a?7);(5)(x?y)(3m?2x?2y); (6)6(a?b)(5b?2a);(7) 5xy(3xy?1?4y);(8)2(x+y)(3x-2y); (9)(x?a)(a?b?c); (10)2q(m?n);9.c;10.10;21;11.a(1?a?a);12.n?n?n(n?1);13.?6;14.6;2.4运用公式法（1）1.b;2.b;3.c;4.(1)(y?x)(y?x);(2)n2n2222222221(3x?y)(3x?y);5.(1)800;(2)3.98; 4226.(1)(2x+5y)(2x-5y); (2)y(x+1)(x-1); (3)(2x+y-z)(2x-y+z); (4)(5a-3b)(3a-5b); (5)-3xy(y+3x)(y-3x); (6)4a2(x+2y)(x-2y); (7)(a+4)(a-4);(8)(9x?y)(3x?y)(3x?y);(9)(7p+5q)(p+7q); (10)-(27a+b)(a+27b); 7.xm+1(x+1)(x-1); 8.a;9.2008; 10.2.3运用公式法（2）3n;5.d;6.c;7.d;8.d;9.c;10.c;11.a;12.(1)-(2a-1)2;(2)-y(2x-3y)2;(3)(3x-3y+1)2;(4)3(1-x)2;m?n)2; 31(10)-2axn-1(1-3x)2; 13.x=2;y=-3;14.(1)240000;(2)2500;15.7;16.?;17.a;18.b;19.b;20.1; 3(5)-a(1-a)2;(6)(x+y)2(x-y)2; (7)(a+b)2(a-b)2; (8)(x+3)2(x-3)2; (9)n(2单元综合评价1．c; 2．b; 3．b; 4.c; 5.c; 6.a; 7.c; 8.d; 9.a; 10.a;11.-11或13；12.57;13.-6;14.3;15.5;16. -3xy(3x2y+2xy-1); 17.(a-b)2(a+b); 18.?a(x?);19.(x+y)2(x-y)2; 20.45000; 21.14; 22.n(n?1)?n?1?(n?1)第三章分式3．1分式(1)1.②和④，①和③；2.212231m?32；3.,－2；4.，－5；5.为任意实数，1；6.?，?3；43m?237.⑴m?nsmmam?bn，⑵(⑶，⑷；8.b；9.c；10.c；11.⑴x??3，⑵x??4a；?)，pta?baa?b12.⑴x=2，⑵x=1；13.a=6；14.x?2；15.－3，－1，0，2，3，5；四．a?b?109．１分式(2):2xx2?2x?12x?11．⑴a?ab，⑵x，⑶4n，⑷x-y；2．x?1且x?0；3．①，②，③，3y2?x1?x2④10x?6y40x?39yx?112x?30y10a?8b1；4．①，②，③，④；5．b；6．；?260x?5y25x?20y20x?1512a?15b7x?3x?17．①-6xyz，②2a?234m?2,③?,④；8．5；9．；10．－3,11；11．2；m?4a?25mx?6x?53．2分式的乘除法四．1．m=n；2．１．xy2a5x11．⑴，⑵；2．x??2且x??3且x??4；3．2；4．5；5．d；6．d；22bc56aba5xm?1147．c；8．⑴?xy，⑵?5，⑶，⑷?；9．⑴－１，⑵?，⑶．四．１． x?2m?143b23．3分式的加减法(1)1．⑴10c?8b?92x5?3x7?c，⑵1，⑶a?3，⑷；2．d；3．15bc2；4．；5．；12abcx?22x?2ab6．xyx?3a?2212；7．⑴?，⑵?8，⑶，⑷；8．；9．x；10．－2；11．b；x?yx?3a5a12．⑴2，⑵?13；13．；四．1． x?283．3分式的加减法(2)1．Ｂ；2．Ｂ；3．Ｃ；4．x?4711；5．１；6．⑴，⑵，⑶y，⑷；7．x?32x?13x(x?2)211ab1a?b；8．；9．a=1，b=１；10．12；11．－３；四．解：由?，得?3,28a?b3ab111111即??3……①同理可得??4……②,??5……③，①+②+③得abbcac3．4分式方程(1)1．整式方程，检验；2．x?1；3．d；4．0；5．x=20；6．－1；7．5；8．x=2；9．3；10．c；11．d；12．3；13．4；14．－１；15．a；16．⑴原方程无解，⑵x=2，⑶x=3，⑷x??3；四．2n?1． 2n?23．4分式方程(２)1．b；2．c；3．3；4．22；5．d；6．⑴200?5x200，⑵5x，(200-5x)，⑶，⑷x?5x200200?5x?5??1；⑸20；7．?；8．⑴x=4，⑵x=7；9．m?1且m?9；10．解：xx?580?3x180设公共汽车的速度为x千米／时，则小汽车速度为3x千米/时，根据题意得??x33x解得x=20，经检验x=20是所列方程的解，所以3x=60，答：公共汽车的速度为20千米/时，小汽车的速度为60千米/时；11．解：设去年居民用水价格为x元，则今年价格为1.25x元，根据题意得，3618??6，解得x=1.8，经检验x=1.8是所列方程的解，所以1.25xx1.25x=2.25．答：今年居民用水价格为2.25元．四．解：设需要竖式纸盒5x个，则需要横式3x个，根据题意得，（4?5x?3?3x)∶(5x?2?3x)=29x∶11x=29∶11．答：长方形和正方形纸板的张数比应是29∶11．单元综合评价13且x??；2435a2?x10．2；11；12．－3；132；14．x=2；15．m?1且m??3；162；5v?av2x?10x?1221617．；18．；19．x??；20．x??5；21．解：设改进前每天加工x个，则改2?x2510001000进后每天加工2.5个，根据题意得??15，解得x=40，经检验x=40是所列方程x2.5x1．d；2．b；3．d；4．c；5．b；6．b；7．c；8．x(x?1)(x?1)；9．x?2的解，所以2.5x=100．答：改进后每天加工100个零件．22．解：设甲原来的速度为x千米/时，则乙原来的速度为(x-2)千米/时，根据题意得40-4440，解得x=12，经??xx?8x?2检验x=12是所列方程的解，所以x-2=10．答:甲原来的速度为12千米/时,乙原来的速度为10千米/时．第四章相似图形4． 1线段的比⑴1．2:5，96785；2．；3．；4．5；5．1:50000；6．；7．1:2:2；8．d；9．b；25544．1线段的比⑵234；3．；4．c；5．b；6．b；7．d；8．b；9．pq=24；10．⑴3；⑵?；3558611．⑴；⑵?；（3）－5；12．a:b:c=4:8:7；13．分两种情况讨论:⑴a+b+c≠0时，值371．3；2．为2；⑵a+b+c=0时，值为－1．4．2黄金分割黄金分割点；10．通过计算可得ae?1，所以矩形abfe是黄金矩形． ?ab24．3形状相同的图形1．相同⑶⑸；不同(1)(2)(4)(6)．2．(a)与⑷，(b)与⑹，(c)与⑸是形状相同的；3．略；4．⑴ab=，bc=26，ac=5，⑵a/b/=2，b/c/=226，a/c/=10，⑶成比例，⑷相同．4．4相似多边形14．一定；15．不一定；16．2；17．都不相似，不符合相似定义；18．各角的度数依次为65，65，115；115．bc=ad=22．b2=2a2．4．5相似三角形1．全等；2．4:3；3．24cm；4．80，40；5．直角三角形，96cm2；6．3.2；7．d；8．b；9．d；10．c；11．c；12．a；13．b；14．a/b/=18cm，b/c/=27cm，a/c/=36cm；15．⑴相似，1:2．⑵分别为⑶面积之比等于边长之比的平方．4．6探索三角形相似的条件⑴1．2；2．6；3．2；4．4；△cdf，1:2，180；5．4:3；6．2.4；7． fgaffcaf，，be=de，所以，fg=fc． ??beaedeaebfafefafbfefgfdf16．由已知可得: ，所以．17．由已知得:，????cgaggdagcggdcfbfpqpd2pqpdpapd18．由已知得: ，，可得: ． ???prpb2papbprpb 19．不变化，由已知得: pepfpecppfbp，，得:??1，即pe+pf=3． ??abcdabbccdbc20．提示:过点c作cg//ab交df于g．21．3． 222．⑴由已知得:egofoe1gc2gc1???，所以?，即?．问题得证．⑵连结gcfccd2ce3bc3dg交ac于m，过m作mh⊥bc交bc于h，点h即为所求．23．⑴证△aec≌△aef即可．⑵eg=4．24．⑴过点e作eg//bc交ae于g．可得: m?nbem?n．⑵由⑴与已知得:?2解?necn得:m=n，即af=bf．所以:cf⊥ab．⑶不能，由⑴及已知可得:若e 为中点，则m=0与已知矛盾．4．6探索三角形相似的条件⑵1．三；2．22，26；3．6；4；15－5；5．10；6．2.4；7．a；8．c；9．b；10．a；3adac，解得:ad= 4，?acbc14．⑴∠bac=∠d或∠cad=∠acb．⑵由△abc∽△acd得所以中位线的长= 6.5．15．证: △adf∽△bde即可．16．ac = 43．17．提示:连结ac交bd于o．18．连结pm，pn．证: △bpm∽△cpn即可．19．证△bod∽△eoc即可．ab2bfabafabbf，，即． ???2cfaccfacafac3?4x821．⑴略．⑵作af//cd交bc与f．可求得ab=4．⑶存在．设bp=x，由⑴可得?，47?x解得x1=1， x2= 6．所以bp的长为1cm或6cm．23．⑴略．⑵△abp∽△dpq，＜x＜4)．24．⑴略．⑵不相似．增加的条件为: ∠c=30或∠abc=60．4．6探索三角形相似的条件⑶0000125abpdxy?2，?，得y=－x+x－2．(1?apdq25?x22【篇二：八上数学资源与评价答案】>第一章勾股定理1 探索勾股定理（1）1．a2＋b2＝c2；平方和等于斜边的平方 2．13 3．① 10 ② 8 ③ 9 ④ 9 4．6；85．150m 6．5cm 7．12 8．c 9．d 10．b 11．ab＝320m 12．ad＝12cm；s△abc＝30 cm2 13．△abc的周长为42或32． 14．直角三角形的三边长分别为3、4、5 15．15米．聚沙成塔：提示，秋千的索长为x尺（一步＝4尺），x2－（x－4）2解得：x＝61 探索勾股定理（2）1．5或 cm 2．36 cm2 3．370 4．a2＋b2＝c2 5．49 6．a 7．c 8． b 9．b 10．c 11．d 12．b 13．（1）15；（2）40；（3）10 14．ab＝17；cd＝ 15．210 m2 16．不是；应滑约0.08米17．直角三角形的三边分别为6、8、10 18．cd＝41 探索勾股定理（3）1．10 2．12 3． cm 4．15cm 5．64 6．3cm 7． 8．b 9．b 10． d 11．10m 12．ac＝3 13．pp′2＝72 14．2 15．当△abc是锐角三角形时a2 ＋ b2＞c2；当△abc是钝角三角形时a2＋b2＜c2聚沙成塔：（1）小正方形的面积为1；（2）提示：分割成四个直角三角形和两个小长方形2 能得到直角三角形吗（2）分钟3 蚂蚁怎样走最近1．84 cm2 2．25km 3．13 4． 5．4 6．b 7．c 8．a 9．12米10．提示：设长为 m，宽为 m，根据题意，得∴ 11．提示：过为⊥于，∵＝＝3cm，＝8cm ＝5m ∴＝＝12m ∴＝＝＝13m∴最短距离为13m． 12．提示：设＝ km ＝ km ∵＝且＝＝∴＝∴∴e点应建在离a站10km处13．提示：能通过，∵＝2cm ∴＝＝＝1cm ∵2.3m＋1m＝3.3m ∴3.3m＞2.5m 且2m＞1.6m；∵＝－＝0.8m＝－＝0.2m ∴＝ m＜1m ∴能通过．14．提示：过作⊥于，∴＝2＋6＝8km，＝8－（3－1）＝6km ∴单元综合评价一、1．（1）4 （2）60 （3）162 2．6，8，10 3．17cm 4．4.8，6和8二、5．b 6．d 7．b 8．d三、9．是直角三角形 10．利用勾股定理 11．169厘米2 12．12米四、13．方案正确，理由：裁剪师的裁剪方案是正确的，设正方形的边长为4a，则df＝fc＝2a，ec＝a．在rt?△adf中，由勾股定理，得af2＝ad2＋df2＝（4a）2＋（2a）2＝20a2；在rt△ecf中，ef2＝（2a）2＋a2＝5a2；在rt△abe中，ae2＝ab2＋be2＝（4a）2＋（3a）2＝25a2．∴△afe是直角三角形．14．提示：设de长为xcm，则ae＝（9－x）cm，be＝xcm，故（x＋9－x）（x－9＋x）＝9，即2x＝10，那么x＝5，即de长为5cm，连bd即bd与ef?互相垂直平分，即可求得：ef2＝12cm2，∴以ef为边的正方形面积为144cm2．第二章实数（答案）1 数怎么又不够用了1．d 2．b 3．b 4．（1）（2） 5．有理数有3. ，3.1415926，0.13 ，0，；无理数有，0.1212212221…． 6．＞ 7．6、7 8．b9．它的对角线的长不可能是整数，也不可能是分数．10．（1）5；（2）b2＝5，b不是有理数． 11．可能是整数，可能是分数，可能是有理数．聚沙成塔：不妨设是有理数，因为有理数都可以表示成分数的形式，所以设，∴，而是分数，所以也是分数，这与为无理数矛盾．∴不是有理数而是无理数．2平方根（1）1．d 2．c 3．的平方根是，算术平方根是3 4． 5．a＝81 6．a 7．（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） 13．（1）；（2）；（3），；（4）；（5）；（6）聚沙成塔：x＝64，z＝3，y＝5 ∴2 平方根（2）1． 2．；13 3．两，互为相反数4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11．c 12．b 13．c 14．b聚沙成塔：a＝26，b＝193 立方根1．d 2．b 3．（1）∵ 73＝343，∴ 343的立方根是7，即＝7；（2）∵ 0.93＝0.729，∴0.729的立方根是0.9，即＝0.9；（3）∵，∴的立方根是，即 4．a 5．7．8．9．答案：由题意知，即．又∵，∴∴，∴11．∵，∴又∵∴且，即，，∴．12．．13．（1）x＝－6；（2）x＝0.4．聚沙成塔：上述各题的计算规律是：所得结果的幂指数等于被开方数的幂指数与根指数的比值，用式子表示为：．如果将根号内的10换成任意的正数，这种计算规律仍然成立．4 公园有多宽1．c 2．c 3．d 4．14或15 5．a 6．Ａ 7．，，，．8．∵10＞9，∴＞，即＞3，∴＞，∴＞．9．（1）不正确．∵，而＞，显然＞20，∴是不正确的；（2）不正确．∵，而＜，显然＜10，∴是不正确的．10．通过估算＝2.……，∵的整数部分是2，即；的小数部分是2.……－2，即－2．∴＝－2，∴＝．11．解析：误差小于几就是所得结果不差几，可比其多，也可比其少．（1）当误差小于100时，≈500；（2）当误差小于10时，≈20；（3）当误差小于1时，≈3；（4）当误差小于0.1时，≈1.4．12．解析：当结果精确到1米时，只能用收尾法取近似值6米，而不能用四舍五入法取近似值5米．若取5米，则就不能从离地面5米处的地方引拉线了．设拉线至少需要x米才符合要求，则由题意得bd＝ x．根据勾股定理得x2＝（ x）2＋52，即x2＝，∴x＝．当结果精确到1米时，x＝≈6（米）．答：拉线至少要6米，才能符合要求．聚沙成塔：进行估算时，小数部分是用无理数的形式表示的，而不是用计算器求得的．要准确找出被估算数在哪两个整数之间．（1）的整数部分用表示∵∴∴（2）∵；即∴∴．5 用计算器开方5题图 6题图6．解析: 如果要求一个负数的立方根，可以先求它的相反数的三次方根，再在结果前加上负号即可．计算器步骤如图：7．设两条直角边为3x，2x．由勾股定理得（3x）2＋（2x）2＝（）2，即9x2＋4x2＝520．答：两直角边的长度约为18.9厘米、12.6厘米．8．当h＝19.6时，得4.9t2＝19.6；∴t＝2；∵t＝2 ∴这时楼下的学生能躲开．9．设该篮球的直径为d，则球的体积公式可变形为，根据题意，得＝9850，即答：该篮球的直径约为26.6㎝．10．（1）279.3，27.93，2.793，0.02793；（2）0.02550，0.2550，2.550，25.50，255.0它们的规律是：一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍，一个数缩小到原来的，则它的算术平方根就缩小到原来的．6 实数（1）1．（1）正确，因为实数即是由有理数和无理数组成的．（2）正确，无理数都是无限不循环小数．（3）不正确，带根号的数不一定是无理数，如是有理数．（5）正确，两个无理数之积不一定是无理数，如．（6）不正确，两个无理数之和也不一定是无理数，如是有理数．（7）正确，数轴上的点与实数一一对应．2．Ｃ 3．Ａ 4．d 5．a 6．c 7．d8．∵；；又∵，∴．9． 10．由可得，，，，∴，，；∴＝． 11．－６ 12．大正方形的面积为216（㎝2），所以这个正方形的边长为（㎝）聚沙成塔：∵互为相反数的两数之和为零∴，∵两个加数均为算术平方根，∴，，∴且；，．同理：，∴，．6 实数（2）18．解：因为（a－2）2＋（b－1）2＝0，a－2＝0且b－1＝0，所以a＝2，b＝1，所以＝ 19．解：由已知a＝b，cd＝1，则＝0－1＝－120．解：因为x＝－1，所以x＋1＝，原式＝（）2－6＝2004－6＝1998．21．解：原式＝│x－2│＋│x－1│，当1≤x≤2时，原式＝－（x－2）＋（x－1）＝122．解：∵，∴b＝－2．又∵a＝，∴b＝＝－2－＝－2－2＝－4聚沙成塔：23．解：由题意，得解得x＝2，所以y＝＋＋3＝3，所以yx＝32＝9；单元综合评价（一）一、选择题:（每小题3分共24分）1．c 2．b 3．c 4．b 5．d 6．d 7．b 8．b二、填空题．（每空3分共33分）9．－13 10．5 11．2，－1 12． 13．或 14．－1， 15．－1，0，1，2 16．，三、解答题．17．①；②x＝－2与矛盾，故所求x不存在；③；④ 18．解：（1）；（2）＝19．解：欲使原式有意义，得【篇三：北师大版八年级下册数学《资源与评价》答案】>1．b； 2．a； 3．d； 4．c； 5．c ；6．d；7．（1）＞，（2）＞；8．3y＋4x＜0；9．xll．7，x≥11．7；111；11．8；12．a2＋b2＞ab (a≠b) ． a22113．（1）2aa+3，（2）y?5?0，（3）3x＋l＜ 2x－5． 210．a＜114．（1）设这个数为x，则x2≥0；（2）设某天的气温为x℃，则≤25．15．2aa＋b＜3b．16．a＞b．17．设参加春游的同学x人，则8x250，9x＞250（或8x 250＜9x）．18．50＋（20－3）x＞270．20．（1）＞（2）＝（3）＞（4）＞（5）＞；a?b≥2ab（当a＝b 时取等号）．聚沙成塔：甲同学说的意思是：如果每5人一组玩一个篮球，那么玩球的人数少于50人，有些同学就没有球玩．乙同学说的意思是：如果每6人一组玩一个篮球，那么就会有一个组玩篮球的人数不足6人．丙同学说的意思是：如果每6人一组玩一个篮球，除了一个球以外，剩下的每6人玩一个球，还有几个（不足6人）玩另外一个篮球．1．2 不等式的基本性质1．c； 2．d； 3．b； 4．a； 5．c； 6．a； 7．c； 8．d；9．（1）＜（2）＞（3）＞（4）＞（5）＞（6）＜；10．（1）＜（2）＞（3）＞（4）＜；11．a＜0； 12．（4）；13．0，1，2，3，4，5； 14．＜17．（1）x＞5；（2）x??22b3； 15．＜2 ＜0； 16．＞． a217；（3）得x＜－3．（4）x＜－8． 218．解：根据不等式基本性质3，两边都乘以－12，得3a＞4a．根据不等式基本性质1，两边都减去3a，得0＞a ，即a0 ，即a为负数．19．（1）a＞0；（2）a＞l或a＜0；（3）a0．聚沙成塔114111141.33=?=?（10＋）=13．33＋＞13 111a3111311111∴＞＞0 ∴a＜b ab解：∵点拨：利用倒数比较大小是一种重要方法．1．3 不等式的解集1．a；2．b；3．c；4．d；5．b；6．a；7．b；8．c；9．答案不唯一，如x－1≤0，2x≤2等． 10．＝55，≤ ．11．x＝2． 12．x＝1，2，3 13．－6． 14．（1）x＞3；（2）x＜6；（3）x＞5；（4）x＞2210． 15．x＝1，2 16．n＞75% 40%≤n≤49% n＜20％温饱．17．图略．18．答案不惟一：（1）x＜4；（2）－3x≤1．19．不少于1.5克．20．x可取一切实数．21．非负整数为0，1，2，3．22． x＞12． 523． k大于36时b为负数．24． a=－3聚沙成塔解：设白球有x个，红球有y个，由题意，得??x?y?2x ?2x?3y?60由第一个不等式得：3x＜3y＜6x，由第二个不等式得，3y=60－2x，则有3x＜60－2x＜6x∴7.5＜x＜12，∴x可取8，9，10，11．又∵2x=60－3y=3（20－y）∴2x应是3的倍数∴x只能取9，y = 60?2?9= 14 3答：白球有9个，红球有14个．1．4一元一次不等式（1）1．b；2．c；3．d；4．b；5．b；6．d；7．a；8．a；9．x＝0，－1，－2，－3，－4 ；10．x＜－3；11．r＞3；12．－6；13．2；14．2≤a＜3； 15．x≥11．916．第④步错误，应该改成无论x取何值，该不等式总是成立的，所以x取一切数．17．（1）得x≥1；（2）x＞5；（3）x≤1；（4）x＜ 3；2x?3x?17??0，得x?? 23472x?3x?1?所以当x??时，的值是非负数． 42312x?3x?1??1，得x?? （2）解不等式42312x?3x?1?所以当x??时，代数式的值不大于1 42318．（1）解不等式19．p＞－6． 20．－11．聚沙成塔解：假设存在符合条件的整数m．由 x?1?由 1?m?5x?2?m 解得x? 232x9?m3xx9?， ?? 整理得mmmmm9?m当m?0时，x?． 2m?59?m?根据题意，得解得 m=7 22把m=7代入两已知不等式，都解得解集为x?1，因此存在整数m，使关于x的不等式与x?1?是同解不等式，且解集为x?1．x?2?m31．4一元一次不等式（2）1．b； 2．b； 3．c； 4．c； 5．d； 6．12； 7．13；8．152．9．以后6天内平均每天至少要挖土80立方米．10．以后每个月至少要生产100台．11．不少于16千米．12．每天至少安排3个小组．13．招聘a工种工人为50人时，可使每月所付的工资最少，此时每月工资为130000元．14．甲厂每天处理垃圾至少需要6小时．15．（1）y=9.2－0.9x；;(2)饼干和牛奶的标价分别为2元、8元．聚沙成塔1．5一元一次不等式与一次函数（1）1．a；2．d；3．c；4．c；5．b；6．a；7．d；8．b；9．m＜4且m≠1；10．20；11．x＞－4，x54；12．x＜－5；13．x＞－2；14．x＜3；15．（－3，0）；16．（2，3）． 5117．(1) x??；（2）x≤0． 2＜－18．（1）p（1，0）；（2）当x＜1时y1＞y2，当x＞1时y1＜y2．聚沙成塔在直角坐标系画出直线x＝3，x＋y＝0，x－y＋5＝0，因原点(0，0)不在直线x－y＋5＝0上，故将原点(0，0)代入x－y＋5可知，原点所在平面区域表示x－y+5≥0部分，因原点在直线x+y=0上，故取点(0，1)代入x+y判定可知点(0，1)所在平面区域表示x+y≥0的部分，见图阴影部分．1．5 一元一次不等式与一次函数（2）1．b；2．b；3．a；4．13；5．(1)y1=600+500x y2=2000+200x；(2)x＞42，到第5个月甲的存款额超过乙的存款额． 36．设商场投入资金x元，如果本月初出售，到下月初可获利y1元，如果下月初出售，可获利y2元，则y2＝25%x－8000＝0.25x－8000当y1＝y2即0.21x＝0.25x－8000时，x＝200000当y1＞y2即0.21x＞0.25x－8000时，x＜200000当y1＜y2即0.21x＜0.25x－8000时，x＞200000∴若商场投入资金20万元，两种销售方式获利相同；若商场投入资金少于20万元，本月初出售获利较多，若投入资金多于20万元，下月初出售获利较多．7．(1)分两种情况：y=x(0≤x≤8)，y=2x－8(x＞8)； (2)14．8．（1）乙在甲前面12米；（2）s甲＝8t，s乙＝12＋13t； 2（3）由图像可看出，在时间t＞8秒时，甲走在乙前面，在0到8秒之间，甲走在乙的后面，在8秒时他们相遇．1）若甲公司优惠：则解得：x＞202）若乙公司优惠：则解得：x＜203）若两公司一样优惠：则解得：x＝20答：购置电脑少于20台时选乙公司较优惠，购置电脑正好20台时两公司随便选哪家，购置电脑多于20台时选甲公司较优惠．10．（1）他继续在a窗口排队所花的时间为a?4?2a?8（分） ?44（2）由题意，得a?4?2a?6?2?5?2，解得 a＞20． ?4611．解：（1）设轿车要购买x辆，那么面包车要购买（10－x）辆，由题意得：7x＋4（10－x）≤55解得：x≤5又∵x≥3，则 x＝3，4，5∴购机方案有三种：方案一：轿车3辆，面包车7辆；方案二：轿车4辆，面包车6辆；方案三：轿车5辆，面包车5辆；为保证日租金不低于1500元，应选择方案三．12．（1）y1＝50＋0.4x，y2＝0.6x；（2）当y1＝y2，即50＋0.4x＝0.6x时，x＝250（分钟），即当通话时间为250分钟时，两种通讯方式的费用相同；（3）由y1＜y2即50＋0.4x＜0.6x，知x＞250，即通话时间超过250分钟时用“全球通”的通讯方式便宜．13．解：（1）该商场分别购进a、b两种商品200件、120件．（2）b种商品最低售价为每件1080元．聚沙成塔解：（1）500n；＝3900（元）（3）n亩水田总收益＝3900nn?(392n?2000)?35000 根据题意得：3900解得：n≥9.41∴ n ＝10需要贷款数：4900n－25000＝24000(元)答：李大爷应该租10亩水面，并向银行贷款24000元，可使年利润超过35000元．1．6 一元一次不等式组（1）1．c；2．d；3．c；4．c；5．a；6．d；7．d；8．－1＜y＜2；9．－1≤x＜3；1≤x≤4；11．m≥2；12．2≤x＜5；13．a≤2；14．－6；15．a≤1；4310116．（1）?x?；（2）无解；（3）－2≤x＜；（4）x＞－3． 233517．解集为??x＜3，整数解为2，1，0，－1． 42718．不等式组的解集是－?x?，所以整数x为0． 3106919．不等式组的解集为x?，所以不等式组的非负整数解为：0，l，2，3，4，5． 1310．－聚沙成塔－4＜m＜0.5．1．6．一元一次不等式组（2）1．解：设甲地到乙地的路程大约是xkm，据题意，得1610+1.2(x－5)≤17.2，解之，得10＜x≤11，即从甲地到乙地路程大于10km，小于或等于11km．2．解：设甲种玩具为x件，则甲种玩具为（50－x）件．根据题意得：?80x?100(50?x)?4600 ??140x?120(50?x)?6440解得：20≤x≤22答：甲种玩具不少于20个，不超过22个．3．（1）y＝3.2－0.2x（2）共有三种方案，a、b两种车厢的节数分别为24节、16节或25节、15节或26节、14节．4．（1）共有三种购买方案，a、b两种型号的设备分别为0台、10台或1台、9台或2台、8台；（2）a、b两种型号的设备分别1台、9台；（3）10年节约资金42.8万元．5．解：设明年可生产产品x件，根据题意得：。
整式的乘法与因式分解全章教案
整式的乘法与因式分解全章教案第一章：整式的乘法1.1 单项式乘以单项式教学目标：了解单项式乘以单项式的运算法则。
掌握单项式乘以单项式的计算方法。
教学重点：单项式乘以单项式的运算法则。
教学难点：如何正确计算单项式乘以单项式。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整数乘法的运算法则。
讲解：讲解单项式乘以单项式的运算法则，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
1.2 单项式乘以多项式教学目标：了解单项式乘以多项式的运算法则。
掌握单项式乘以多项式的计算方法。
教学重点：单项式乘以多项式的运算法则。
教学难点：如何正确计算单项式乘以多项式。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整数乘法的运算法则。
讲解：讲解单项式乘以多项式的运算法则，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
第二章：因式分解2.1 提公因式法教学目标：了解提公因式法的概念。
掌握提公因式法的运用。
教学重点：提公因式法的概念和运用。
教学难点：如何正确运用提公因式法进行因式分解。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整式的乘法。
讲解：讲解提公因式法的概念和运用，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
2.2 公式法教学目标：了解公式法的概念。
掌握公式法的运用。
教学重点：公式法的概念和运用。
教学难点：如何正确运用公式法进行因式分解。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整式的乘法。
讲解：讲解公式法的概念和运用，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
第六章：十字相乘法6.1 十字相乘法的原理教学目标：理解十字相乘法的原理。
掌握十字相乘法的步骤。
教学重点：十字相乘法的原理和步骤。
如何正确运用十字相乘法分解因式。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾提公因式法和公式法。
讲解：讲解十字相乘法的原理和步骤，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
《提公因式法》分解因式PPT课件3
____
根据左面的算式填空:
(1) 3x2-3x=_______ (2) ma+mb+mc=______ (3) m2-16=_________ (4) x2-6x+9=________ (5) a3-a=______
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是 什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与 它有什么不同?
从 数字系数 和 字母及其指分数别进行考虑。
1.定系数:公因式的系数应取各项系数的最大公约数。 2.定字母:公因式中的字母取各项相同的字母， 3.定指数: 相同字母的指数取其次数最低的。
例: 找 3x2y2– 6xy3 的公因式。
因为
系数：最大公约数 3
字母：相同字母 指数：最低次幂
xy2
所以， 3x2y2– 6xy3的公因式是 3xy2
看你能否过关？
把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn (2)12xyz-9x2y2 (3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )
3a2 3a a 9ab 3a 3b
用提公因式法分解因式的步骤： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ；
第三步， 将多项式化成两个 因式 乘积的形式。
例2 把9x2－6xy+3xz分解因式.
解：9x2 – 6 x y + 3x z = 3x·3x - 3x·2y + 3x·z = 3x (3x-2y+z)
方法叫做提公因式法。
例1: 把下列各式分解因式
(1) 8a3b2 + 12ab3c
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)
八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》导学案：提公因式法(共2课时)
人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》导学案提公因式法(1)【学习目标】1.理解公因式与提公因式法的概念；2.会确定一个多项式各项的公因式；3.会用提公因式法对有公因式为单项式的多项式进行因式分解.【知识梳理】1. 叫因式分解2.多项式ab+bc 各项都含有的相同因式是 _______,把多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的____________.定系数：系数取多项式各项系数的 （当系数是整数时）.定字母：字母取多项式各项中都含有的 .定指数：相同字母的指数取其 .3.提公因式法如果一个多项式的各项含有_______，那么就可以把这个____________提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做 ____________。
【典型例题】知识点一 找公因式的方法1.把下列各式进行因式分解：y x x 34)1(- (2)12ab ＋6b x bx ax 312)3(+- (4)6ab 3-2a 2b 2+4a 3b知识点二 用提公因式法分解因式【巩固训练】一、选择题1.观察下列各式: ①2a ＋b 和a ＋b ②5m （a －b ）和－a ＋b ③3（a ＋b ）和－a －b ④x 2－y 2和x 2+y 2 其中有公因式的是（ ）A ．①② B.②③ C ．③④ D ．①④2.（－2）10＋（－2）11等于（ ）A.－210B.－211C.210D.－23.多项式23++-n n n a a a 分解因式的结果是（ ）A.a n （1－a 3＋a 2）B.a n （－a 2n ＋a 2）C.a n （1－a 2n ＋a 2）D.a n （－a 3＋a n ）4.多项式－ab （a －b ）2＋a （b －a ）2－ac （a －b ）2分解因式时，所提取的公因式应是_____。
二、解答题:5.把下列各式进行因式分解(1)214497xyz xyz xy -+ (2)a am ax 10422-+(3)b ab a 545152++ (4)bm am b a 9362--+(5) (6)6.用简便方法计算下列各题：（1）39×37-13×34（2）29×19.99+72×19.99+13×19.99-19.99×147.已知a 2−a −1=0，求a 3−a 2−a +2019的值.8.先化简，再求值：已知串联电路的电压U ＝IR 1+IR 2+IR 3 当R 1＝12.9 R 2=18.5 R3=18.6I=2.3时，求U 的值.1142+---n n a a 200920082-2-）（）（+人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》导学案提公因式法(2)【学习目标】1.对公因式是多项式的式子进行因式分解；2.2.熟练运用提公因式法进行因式分解.【知识梳理】1.添括号法则：括号前面添 ，括在括号里面的各项都 ，括号前面添 ，括在括号里面的各项都 ，即)(c b a c b a +-+=+-，)(c b a c b a -+--=+-。
§2.2.1 提公因式法(一)导学案
（1）怎么样确定一个多项式的公因式？确定公因式的步骤有哪些？
答：①、②
（2）提公因式要注意些什么？
答：①、②
（3）提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？
四、当堂检测：
将下列各式分解因式
1． ；2． ；
3． ；4． ；
5． ；6． ；
7． （ 是自然数）；
8． （ ， 是自然数）.
独立完成，教材的随堂练习、知识技能P48~49
五、总结升华：
1．提公因式 法分解因式的一般形式，如：ma+mb+mc=m（a+b+c）.
2．提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.
3．找公因式的一般步骤
（1 ）若各项系数是整系数，取系数的；
（2）取相同的，的指数取的；
4．特别注意级(数学)学科导学案
课题：§2.2.1提公因式法（一）主备：刘晓东备课组长审核:高宏伟教务处审核：李诚
一、展示目标：
学习重 点：能观察出多项式的公因式 ，并根据分配律把公因式提出来.
学习难点：让学生识别多 项式的公因式.
二、自主学习：
自主回顾：
1、分解因式的概念. 2、分解因式概念应注意什么？3、分解因式与整式乘法的关系
自主学习
1．公因式与提 公因式法分解因式的概念.
自主学习教材p47，然后回答以下问题：
⑴公因式：多项式的各项中都含有叫做这个多项式各项的公因式
⑵提公因式法：把多项式中的提取出来的分解因式方法叫做提公因式法.
2．独立将下列各式分解因式
（1）3ab2－3a2b;（2）2x3+2x2－6x;
（3）－12a2b+24ab2;（4）xy－x2y2－x3y3;
八下 第二章2.2.1提取公因式法 教学设计(于海峰)
第二章 分解因式§2.2提取公因式法【有效学习】学习目标1、了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．2、了解公因式概念和提取公因式的方法．3、会用提取公因式法分解因式．学习重点：会用提公因式法分解因式； 学习难点：如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．【复习检测】把一个多项式化成 的形式，叫做因式分解。
情境应用：看谁算得又准又快（1）20×（-3）2+60×（-3） （2）1012-992 （3）572+2×57×43+432【预习检测】叫做公因式。
情境应用：1、2x 2y +6x 3y 2中各项的公因式是什么？学习反思——自我总结：运用提公因式法分解因式的关键是确定多项式各项的公因式，•公因式是指各项系数的最大公约数、各项共有字母的最低次幂的乘积．公因式可以是单项式也可以是多项式．2、找出下列各式的公因式，运用提公因式法分解因式（1）=+bc ab （2）=+x x 23 （3）=-+b nb mb 2 （4）=+3262x x（5）3x +6= （6）7x 2–21x = （7）8a 3b 2–12ab 3c +ab =（8）–24x 3–12x 2+28x =学习反思——分解因式步骤：（1）找公因式； （2）提公因式．学习反思——易错点总结：1、第（7）题中的最后一项提出ab 后，注意： ；2、如果多项式的第一项带“–”，则先提取“–”号，然后提取其它公因式； 第（8）题提出“–”时，注意： ．技巧的点拨：怎么才能保证做的题不会错呢？将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘，检验其积是否与原式相等．学以致用：1、找出下列各多项式的公因式：（1）4x +8y （2）am+an （3）48mn –24m 2n 3 （4）a 2b –2ab 2+ab2、将下列多项式进行分解因式：（1）8x–72 （2）a2b–5ab （3）4m3–8m2（4）a2b–2ab2+ab（5）–48mn–24m2n3（6）–2x2y+4xy2–2xy3、分解因式下列各题：(1)8m2n+2mn (2)12xyz-9x2y2（4）12a2b3－8a3b2－16ab4 （3）-4a3+16a2-18a4、简便计算(1)14.3×9.6+14.3×10.4 (2)5.8×4.7+5.8×12.1-5.8×6.8(3)5×109-1010 (4)6.2×7.8+6.2×2.1+3.8×4.5+3.8×5.4提取公因式法口诀：各项有“公”先提“公”；首项有负常提负；某项提出莫漏1；括号里面分到“底”．思考：下面两个式子如何用提取公因式法分解因式(1)4a2(x+7)-3(x+7) (2)2a(y-z)-3b(z-y)。
八年级上册第三章知识点
八年级上册第三章知识点八年级上册第三章主要涉及数学中的“多项式和因式分解”知识。
在这一章中，学生将学习到如何将多项式分解为因式的形式来求解方程，也会了解到如何通过因式分解来求出多项式的因数等。
一、多项式多项式由各项次方相加或相乘的项式构成，是数学中一个重要概念。
1.1 多项式的定义对于任意的正整数n，不妨设x为一变量，a1、a2、…、an为各一常数，则形如：P(x) = a1xn + a2xn-1 + … + an-1x + an上式a1、a2、…、an-1、an均为多项式P(x)的系数，而n则是多项式P(x)的次数。
若多项式P(x)为二次式，则可写成如下形式：P(x) = ax2 + bx + c此时a、b、c为常数，且a ≠ 0。
这个式子是一个广义的式子，实际上是一个二次函数。
在解二次方程的时候，我们常常将二次函数表示成这样的形式，从而方便求解。
1.2 多项式的加、减、乘、除运算多项式也可以像数一样加、减、乘、除，下面一一介绍。
1.2.1 加减运算两个多项式相加减，只需将各同次幂的项系数相加减即可：P(x) ± Q(x) = (a1 ± b1)x^n + (a2 ± b2)x^(n-1) + … + (an ± bn)需要注意的是，两个多项式相加减的结果仍为多项式。
1.2.2 乘法运算在多项式乘法运算中，只需要将两个多项式的各项次幂的乘积相加，即：P(x) × Q(x) = c0 + c1x + c2x^2 + … + cn-1x^n-1 + cnx^n其中c0、c1、…、cn-1、cn是由P(x)和Q(x)的各项系数相乘后得到的。
1.2.3 除法运算对于多项式的除法运算，则是求出一个多项式F(x)和另一个多项式G(x)的商与余数，使得：P(x) = G(x) × F(x) + R(x)其中R(x)是P(x)÷G(x)得到的余数，F(x)则是两个多项式的商。
六年级下册数学知识点归纳代数式的变形与化简
六年级下册数学知识点归纳代数式的变形与化简六年级下册数学知识点归纳：代数式的变形与化简1. 代数式的基本概念代数是一门研究数与变量关系的数学分支，代数式是用数与字母表示数和数的关系的式子。
在代数式中，数字常被称为常数，而字母常用来表示变量。
代数式的变形与化简是研究代数式之间等值关系的重要方法。
2. 代数式的变形代数式的变形是指通过运算、因式分解等方法，改变其形式但不改变其值的过程。
常见的代数式变形方法包括合并同类项、提取公因式、利用分配律等。
2.1 合并同类项合并同类项是将代数式中具有相同变量的项合并为一项。
例如，将3x + 4x变形为7x。
2.2 提取公因式提取公因式是将代数式中多项式的公因子提取出来。
例如，在12x+ 8y中，可以提取4，得到4(3x + 2y)。
2.3 利用分配律分配律是指乘法对加法和减法的分配规律。
例如，对于a(b + c)，可以将a乘以b和c分别得到ab + ac。
3. 代数式的化简代数式的化简是指通过变形，将复杂的代数式简化为更为简单的形式。
化简代数式可以使计算更方便，更快捷。
3.1 合并同类项合并同类项也可用于化简代数式。
例如，化简2x + 3x + 4y，可以合并同类项x和同类项y，得到5x + 4y。
3.2 提取公因式提取公因式同样适用于化简代数式。
例如，化简24x - 36y，可以提取公因式12，得到12(2x - 3y)。
3.3 运用分配律分配律同样是化简代数式的重要方法。
例如，化简2(x + 3)，可以通过分配律展开，得到2x + 6。
4. 拆分并合并代数式在变形与化简代数式的过程中，我们经常需要将代数式进行拆分和合并。
拆分和合并可以将复杂的代数式分解为更简单的形式，或者将多个代数式合并为一个。
4.1 拆分代数式拆分代数式是将一个代数式拆分成几个部分进行处理。
例如，将3x + 6拆分为3x和6，分别化简后再合并。
4.2 合并代数式合并代数式是将两个或多个代数式合并成一个。
数学试题解题方法及公式定理
数学试题解题方法及公式定理利用x^2+(p+q）x+pq=（x+q）（x+p)其中PQ为常数.x^2是X的平方1.因式分解即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。
而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F上的次数大于零的多项式f(x），如果不计零次因式的差异，那么f(x）可以唯一的分解为以下形式：f(x）=aP1k1(x）P2k2(x）…Piki(x）＊，其中α是f（x)的最高次项的系数,P1（x），P2(x）……Pi(x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi（x）(I=1，2…,t）是f（x)的Ki重因式。
（＊）或叫做多项式f（x）的典型分解式。
证明：可参见《高代》P52-53初等数学中,把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等要求为：要分到不能再分为止。
2.方法介绍2.1提公因式法:如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解,注意要每项都必须有公因式.例15x3+10x2+5x解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x,接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。
解：原式=5x（x2+2x+1)=5x(x+1）22.2公式法即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉,除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下：a2-b2=(a+b)(a-b)a2±2ab+b2=（a±b）2a3+b3=(a+b）(a2-ab+b2)a3-b3=（a—b）（a2+ab+b2)a3±3a2b+3ab2±b2=（a±b）3a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an—1an=（a1+a2+…+an)2a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)（a2+b2+c2—ab—ac—bc）an+bn=(a+b）(an-1-an-2b+…+bn-1）(n为奇数）说明由因式定理，即对一元多项式f（x)，若f(b)=0，则一定含有一次因式x—b。
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2.2.1 提公因式法（一）第二课时●课题§2.2.1 提公因式法（一）●教学目标（一）教学知识点让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.（二）能力训练要求通过找公因式，培养学生的观察能力.（三）情感与价值观要求在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.●教学重点能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.●教学难点让学生识别多项式的公因式.●教学方法独立思考——合作交流法.●教具准备投影片两张第一张（记作§2.2.1 A）第二张（记作§2.2.1 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课投影片（§2.2.1 A）一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是,求这块场地的面积.解法一：S= × + × + × = + + =2解法二：S= × + × + × = （+ + ）= ×4=2［师］从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.Ⅱ.新课讲解1.公因式与提公因式法分解因式的概念.［师］若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接.ma+mb+mc=m（a+b+c）从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？［生］等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式.［师］由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2.例题讲解［例1］将下列各式分解因式：（1）3x+6;（2）7x2－21x;（3）8a3b2－12ab3c+abc（4）－24x3－12x2+28x.分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.［师］请大家互相交流.［生］解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）;（2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）;（3）8a3b2－12ab3c+abc=8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c=ab （8a2b－12b2c+c）（4）－24x3－12x2+28x=－4x（6x2+3x－7）3.议一议［师］通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.［生］首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4.其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最低的.4.想一想［师］大家总结得非常棒.从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？［生］提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.Ⅲ.课堂练习（一）随堂练习1.写出下列多项式各项的公因式.（1）ma+mb （m）（2）4kx－8ky （4k）（3）5y3+20y2 （5y2）（4）a2b－2ab2+ab （ab）2.把下列各式分解因式（1）8x－72=8（x－9）（2）a2b－5ab=ab（a－5）（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）（5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）（6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1）（二）补充练习投影片（§2.2.1 B）把3x2－6xy+x分解因式［生］解：3x2－6xy+x=x（3x－6y）［师］大家同意他的做法吗？［生］不同意.改正：3x2－6xy+x=x（3x－6y+1）［师］后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到1作为项的系数通常可以省略的影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确，所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是1，不能省略或漏掉.在分解因式时应如何减少上述错误呢？将x写成x·1,这样可知提出一个因式x后，另一个因式是 1.Ⅳ.课时小结 1.提公因式法分解因式的一般形式，如：ma+mb+mc=m（a+b+c）.这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.5.公因式相差符号的，如（x－y）与（y－x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.Ⅴ.课后作业习题2.21.解：（1）2x2－4x=2x（x－2）;（2）8m2n+2mn=2mn（4m+1）;（3）a2x2y－axy2=axy （ax－y）;（4）3x3－3x2－9x=3x（x2－x－3）;（5）－24x2y－12xy2+28y3=－（24x2y+12xy2－28y3）=－4y（6x2+3xy－7y2）;（6）－4a3b3+6a2b－2ab=－（4a3b3－6a2b+2ab）=－2ab （2a2b2－3a+1）;（7）－2x2－12xy2+8xy3=－（2x2+12xy2－8xy3）=－2x（x+6y2－4y3）;（8）－3ma3+6ma2－12ma=－（3ma3－6ma2+12ma）=－3ma（a2－2a+4）;2.利用因式分解进行计算（1）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21=12.1×1.3+12.1×0.9－1.2×12.1=12.1×（1.3+0.9－1.2）=12.1×1=12.1（2）2.34×13.2+0.66×13.2－26.4=13.2×（2.34+0.66－2）=13.2×1=13.2（3）当R1=20,R2=16,R3=12,π=3.14时πR12+πR22+πR32=π（R12+R22+R32）=3.14×（202+162+122）=2512Ⅳ.活动与探究利用分解因式计算：（1）32004－32003;（2）（－2）101+（－2）100.解：（1）32004－32003=32003×（3－1）=32003×2=2×32003（2）（－2）101+（－2）100=（－2）100×（－2+1）=（－2）100×（－1）=－（－2）100=－2100●板书设计§2.2.1 提公因式法（一）一、1.公因式与提公因式法分解因式的概念2.例题讲解（例1）3.议一议（找公因式的一般步骤）4.想一想二、课堂练习1.随堂练习2.补充练习三、课时小结四、课后作业●备课资料参考练习一、把下列各式分解因式：1.2a－4b;2.ax2+ax－4a;3.3ab2－3a2b;4.2x3+2x2－6x;5.7x2+7x+14;6.－12a2b+24ab2;7.xy－x2y2－x3y3;8.27x3+9x2y.参考答案：1.2（a－2b）;2.a（x2+x－4）;3.3ab（b－a）;4.2x（x2+x－3）;5.7（x2+x+2）;6.－12ab （a－2b）;7.xy（1－xy－x2y2）;8.9x2（3x+y）.教学建议1．知识结构：本小节主要学习解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法.2．重点和难点分析：教学重点和难点：直角三角形的解法.本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键.3. 深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化.锐角三角函数的定义：实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中.当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素.如：已知直角三角形ABC中，，求BC边的长.画出图形，可知边AC，BC和三个元素的关系是正切函数（或余切函数）的定义给出的，所以有等式，由于，它实际上已经转化了以BC为未知数的代数方程，解这个方程，得.即得BC的长为.又如，已知直角三角形斜边的长为35.42cm，一条直角边的长29.17cm，求另一条边所对的锐角的大小.画出图形，可设中，，于是，求的大小时，涉及的三个元素的关系是也就是这时，就把以为未知数的代数方程转化为了以为未知数的方程，经查三角函数表，得.由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具.4. 直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下：5. 注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化由上述（3）可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过解直角三角形而获得解决.请看下例.例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角（如图）这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高（想一想：作其它边上的高为什么不好.），问题就转化为两个解直角三角形的问题.在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了.解法如下：解：作于D，在Rt中，有；又，在Rt中，有∴又，∴于是，有由此可知，掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法是十分重要的，如（1）作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形.（2）作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.（3）连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形.（4）如图，等腰三角形AOB是正n边形的n分之一.作它的底边上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半径，OM是边心距，AB是边长的一半，锐角.6. 要善于把某些实际问题转化为解直角三角形问题.很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为解直角三角形问题.我们知道，机器上用的螺丝钉问题可以看作计算问题，而圆柱的侧面可以看作是长方形围成的（如图）.螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm 的螺丝钉，若每转一圈向前推进1.25mm，螺纹的初始角应是多少度多少分？据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC的长为，另一条直角边为螺钉推进的距离，所以，设螺纹初始角为，则在Rt中，有∴.即，螺纹的初始角约为.这个例子说明，生产和生活中有很多实际问题都可以抽象为一个解直角三角形问题，我们应当注意培养这种把数学知识应用于实际生活的意识和能力.一、教学目标1．使学生掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；3．通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯.二、重点·难点·疑点及解决办法1．重点：直角三角形的解法。