双直线二次曲线系方程的几个应用实例

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二次曲线系方程巧解一类解析几何问题

抓住本质，获得简洁——用二次曲线系方程破解一类高中解几难题江苏省扬州中学唐一良 225009背景知识：高中二次曲线包括圆、椭圆、抛物线、双曲线、两条相交直线（退化的双曲线）等，其方程为：推论1：L 1(x,y)=0，L 2(x,y)=0，F(x,y)=0是两条不重合的直线和一二次曲线，且两直线分别与曲线相交，则经过它们四个交点的二次曲线系方程为：mF(x,y)+nL 1L 2=0 (m,n 不同时为零) 。

易知它们的交点是这个曲线系中所有曲线的公共点，即过四交点的曲线系方程。

推论2：L 1(x,y)=0，L 2(x,y)=0，L 3(x,y)=0，L 4(x,y)=0是四条两两不重合的直线，考察曲线系方程mL 1L 3+nL 2L 4=0 (m,n 不同时为零)，易知L 1与L 2、L 2与L 3、L 3与L 4、L 4与L 1的交点是这个曲线系中所有曲线的公共点，所以此方程为过四交点的曲线系方程。

【注：mL 1L 3+nL 2L 4是个至多两次的多项式，其实更进一步，他一定是两次的，因为它过四个不共线的点。

】近几年一些高考题和高中联赛题计算繁复，让人望而却步，但应用二次曲线系方程的观点，这些问题则可以得到更为简洁的求解与证明，下面举几例，以飨读者。

例1. （2011年全国必修+选修II 第21题）已知F 为椭圆1222=+y x 在y 轴正半轴上的焦点，过F 斜率为2-的直线l 与C 交于A ，B 两点，点P 满足：=++（1）证明：点P 在椭圆C 上；（2）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A ，B ，P ，Q 在同一圆上。

（1）证明：（略）（2）证明：02:=-y x PQ ，经过PQ 、AB 与椭圆C 交点A 、B 、P 、Q 的二次曲线为0)2)(12(2222=--++-+y x y x y x λ，整理得：++2)22(x λ2)1(y λ-02)2(=---y x λ，若表示圆，则λλ-=+122 31-=⇒λ，即0624422=--++y x y x ，即为A 、B 、P 、Q 所在的圆的方程．例2．（2005年湖北高考第21题）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（2）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. 解:（1）（略）（2）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根， ∴).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 .)3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x k CD ④将直线AB 的方程x +y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤同理可得 .)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为 .2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角⇔|AN|2=|CN|·|DN|，即 ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边,212-=λ 由④和⑦知，⑧式右边,2122923)2232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-=λλλλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆.解法2：由（1）可知02:=+-y x CD ，故经过AB 、CD 与椭圆0322=-+λy x 交点即A 、B 、C 、D 的曲线方程，可设为0)2)(4(322=+--++-+y x y x m y x λ整理得：0862)1()3(22=--+--++λm ny mx y m x m若表示圆，则1013-=⇒≠-=+m m m ，即得08622222=-+-++λy x y x 整理得：23)23()21(22-=-++λy x ，又由（1）可知12>λ ∴023>-λ，故A 、B 、C 、D 必在以23)23()21(22-=-++λy x 为方程的圆上．【评注】：比较两种解法，用二次曲线系的角度审视问题，观点高，更体现问题的实质，从而避免了大量繁琐的运算，将数学的简洁美体现得淋漓尽致。

二次曲线的性质及应用

二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班刘谦益傅明睿陈霖指导教师：王学红摘要二次曲线与我们的生活密切相关，它们的性质在生产、生活中被广泛应用。

本小组成员在此次研究性学习活动中对二次曲线的性质进行了一系列探讨，从二次曲线的定义入手，就二次曲线的方程、光学性质及应用等方面展开说明。

AbstractConics are closely related to our living. Their characters have been widely applied in the producing and our living. The members of our team carried out a series of discussions with the characters of the conics at the research-based learning activities. Starting with the definition of conics, we illuminated with the equation, the optical properties and the application areas of the conics.二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班刘谦益傅明睿陈霖指导教师：王学红一、绪论在我们的生活中，二次曲线无处不在。

车轮滚滚，留下一路红尘；烈日炎炎，照亮亘古乾坤。

这些都给我们留下圆的形象。

构筑了五彩世界的圆，就是最简单的二次曲线——x 2+y 2=r 2从椭圆方程说起当我们在纸上钉两个图钉，（它们的间距为2c ），将一根长为l 的绳子分别各系在一个图钉上，用笔绷紧绳子绕一圈，就画出了一个椭圆——因为椭圆上任意一点到两焦点的距离和相等，而且不难得出这个椭圆长轴a= ,短轴b=,我们把它放在直角坐标系中，设F 1（c,0），F 2（-c,0），可知椭圆上任意一点p(x,y)满足PF 1+PF 2=l=2a 。

双曲函数的应用实例

双曲函数的应用实例双曲函数是一类熟知的函数，它由双曲正弦函数与双曲余弦函数构成，通常表示为sinh(x)与cosh(x)。

在数学中，双曲函数的应用非常广泛，尤其是在物理、工程和金融等领域中，它有着重要的作用。

下面将分别介绍几个双曲函数的应用实例。

一、弧长与曲线长度在平面直角坐标系中，曲线的弧长和曲线长度是非常重要的概念，可以通过双曲函数来计算。

具体来说，我们设曲线的方程为y=f(x)，其中，x的取值范围为[a,b]，则曲线的弧长可以表示为：L = ∫[a,b] √(1+f'(x)^2) dx其中，f'(x)是曲线在x点的切线斜率。

通过双曲函数sinh(x)可以简化上式，因为它的导数是cosh(x)，即sinh'(x) = cosh(x)，因此曲线的弧长可以写成：L = ∫[a,b] √(1+sinh'(x)^2) dx= ∫[a,b] √(1+cosh^2(x)) dx= ∫[a,b] sinh(x) dx另外，我们还可以用指数函数来表示曲线的长度，它与弧长的差别在于多乘一个系数2π，即曲线长度可以表示为：L = 2π ∫[a,b] √(1+f'(x)^2) dx同样地，通过sinh(x)函数，曲线长度可以简化为：L = 2π ∫[a,b] sinh(x) dx二、椭球面积在空间几何中，椭球是一类广泛存在的曲面形式，其面积可以用双曲函数表示。

对于一个椭球，如果它的长半轴和短半轴分别是a和b，那么它的面积可以表示为：S = 4πab ∫[0,π/2] (1 - e^2sin^2(θ))1/2 dθ其中，e是椭圆的离心率，可以表示为：e = √(1 - b^2/a^2)而θ是极角，取值范围为[0,π/2]。

通过变换，我们可以把上面的积分转化为双曲函数的形式，即：S = 4πab ∫[0,∞) (1 + (b/a)^2sinh^2(τ))^1/2 dτ通过换元法，我们可以把上式转化为：S = 4πab ∫[0,1] (1 - x^2)^-1/2(1 - (1-e^2)x^2)^1/2 dx这个式子实际上就是一个椭圆的面积公式，其中，x = sinh(τ) / sinh(x_max)，以及x_max = arcsinh(b/a)。

高中数学解二次曲线方程的常用技巧和注意事项

高中数学解二次曲线方程的常用技巧和注意事项在高中数学学习中，解二次曲线方程是一个重要的内容。

掌握解二次曲线方程的常用技巧和注意事项，不仅可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，还可以提高解题的效率和准确度。

本文将介绍一些常用的解二次曲线方程的技巧和需要注意的事项，并通过具体的题目进行举例，帮助读者更好地理解和掌握。

一、一元二次方程的解法在解二次曲线方程时，首先要确定方程中未知数的个数。

如果方程中只有一个未知数，我们称之为一元二次方程。

解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。

以因式分解法为例，我们来看一个具体的例子：求解方程$x^2-5x+6=0$。

首先，我们观察方程中的系数，发现$a=1$，$b=-5$，$c=6$。

然后，我们寻找两个数，使得它们的和等于$b$，乘积等于$c$。

在这个例子中，我们可以找到两个数2和3，满足条件。

因此，我们可以将方程进行因式分解：$(x-2)(x-3)=0$。

根据乘法零原理，我们知道当两个数的乘积等于0时，至少有一个数等于0。

因此，我们可以得到两个解：$x=2$和$x=3$。

二、二元二次方程的解法除了一元二次方程，高中数学中还会遇到二元二次方程。

解二元二次方程的常用方法有代数法和图形法。

以代数法为例，我们来看一个具体的例子：求解方程组$\begin{cases}x^2+y^2=25\\x-y=3\end{cases}$。

首先，我们可以将第二个方程变形为$x=y+3$，然后将其代入第一个方程中，得到$(y+3)^2+y^2=25$。

展开并整理后，我们可以得到$2y^2+6y-16=0$。

接下来，我们可以使用一元二次方程的解法，求解这个二次方程。

解得$y=-4$或$y=2$。

将这两个解分别代入$x=y+3$，得到$x=-1$和$x=5$。

因此，方程组的解为$(-1,-4)$和$(5,2)$。

三、注意事项在解二次曲线方程时，还需要注意一些细节和特殊情况。

1. 方程的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，判别式$D=b^2-4ac$可以告诉我们方程的解的性质。

二次曲线的性质及应用

车轮滚滚，留下一路红尘；烈日炎炎，照亮亘古乾坤。

这些都给我们留下圆的形象。

用直线方程构造的二次曲线方程

用直线方程构造的二次曲线方程【摘要】本文介绍了如何利用直线方程构造二次曲线方程，首先阐述了直线方程与二次曲线方程的关系，然后详细讲解了利用直线方程的方法来构造二次曲线方程，并通过实例分析展示了具体操作步骤。

接着讨论了直线方程构造二次曲线方程在实际应用领域中的潜力，以及其优势与局限性。

最后总结了直线方程构造二次曲线方程的重要性，展望了未来研究方向，并强调了这一研究的意义。

通过本文的研究，读者将更加深入了解直线方程如何在构造二次曲线方程中发挥作用，为相关领域的进一步研究提供了有益的参考。

【关键词】直线方程、二次曲线方程、构造、关系、方法、实例分析、应用领域、优势、局限性、重要性、发展、研究意义。

1. 引言1.1 介绍直线方程构造二次曲线方程的背景直线方程构造二次曲线方程的背景首先要回顾一下直线方程和二次曲线方程的定义。

直线方程通常表示为y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。

而二次曲线方程则可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是系数。

直线方程与二次曲线方程之间存在着密切的联系。

实际上，通过直线方程构造二次曲线方程是一种常见的数学方法，可以帮助我们更好地理解曲线的形状和性质。

通过直线方程的研究，我们可以推导出相应的二次曲线方程，从而更深入地探讨曲线的特征和行为。

在数学和工程领域，直线方程构造二次曲线方程的方法被广泛应用。

在图像处理和模式识别中，我们常常需要通过直线方程构造二次曲线方程来拟合数据点，从而实现图像的分析和识别。

直线方程构造二次曲线方程还可以用于解决最优化和拟合等问题。

直线方程构造二次曲线方程是一项重要的数学技术，具有广泛的应用价值。

通过研究直线方程构造二次曲线方程的方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，为解决实际问题提供有力的支持。

1.2 阐明文章的研究目的本文的研究目的是阐明直线方程构造二次曲线方程的方法和原理，探讨这种方法在数学和科学领域中的应用及其重要性。

过两曲线交点的曲线系方程及应用

过两曲线交点的曲线系方程及应用浙江曾安雄高中数学第二册(上)(修订试验本)的第88页B 组第4题是：两条曲线的方程是f 1(x ，y )＝0和f 2(x ，y )＝0，它们的交点是P (x 0，y 0)，求证方程：f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0的曲线也经过点P (λ是任意实数)．本题证明较易，在此略．它揭示了“过两曲线交点的曲线系方程(不含曲线f 2(x ，y ))”，在解决过两曲线交点问题极其简捷，下面举例说明．一、求直线方程例1 求经过两条曲线x 2＋y 2＋3x －y ＝0和3x 2＋3y 2＋2x ＋y ＝0交点的直线的方程．解：过两已知曲线的交点的曲线系方程是： (x 2＋y 2＋3x －y )＋λ(3x 2＋3y 2＋2x ＋y )＝0整理，得(3λ＋1)x 2＋(3λ＋1)y 2＋(2λ＋3)x ＋(λ－1)y ＝0．令3λ＋1=0，即λ＝-31，故所求的直线为 7x －4y ＝0．二、求定点坐标例2求证：不论m 取何实数，方程(3m ＋4)x ＋(5－2m )y ＋7m －6＝0所表示的曲线必经过一个定点，并求这一定点的坐标．解：由原方程整理，得(4x ＋5y －6)＋m (3x －2y ＋7)＝0令45603270x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩故知定点应是(－1，2)．三、求圆的方程例3求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点，并且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．解：过两圆交点的曲线系为(x 2＋y 2＋6x －4)＋λ( x 2＋y 2＋6y －28)＝0，整理得 (1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋6x ＋6λy －4－28λ＝0 ①圆心为33,11λλλ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭(λ≠－1)，由题意知在直线x －y －4＝0上，即31λ-+＋31λλ+－4＝0，解得λ＝－7．代入①知所求的圆方程是 x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0．四、证明相关问题例4 证明椭圆22205x y +＝1与双曲线22123x y -＝1的交点在同一个圆上．证明：由椭圆22205x y +＝1即为x 2＋4y 2－20＝0，双曲线22123x y -＝1即x 2－4y 2－12＝0，故过椭圆及双曲线的交点的所有曲线(不含f 2(x ，y )＝0)的方程为(x 2＋4y 2－20)＋λ(x 2－4y 2－12)＝0即(1＋λ)x 2＋(4－4λ)y 2－20－12λ＝0 ① 令1＋λ＝4－4λ≠0，得λ＝35，代入①得x 2＋y 2＝17 这说明椭圆与双曲线的交点在同一个圆x 2＋y 2＝17上．运用曲线系解曲线方程问题张宽锁在《解析几何》中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时未知数多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，有没有一些更简便的方法解决这些问题呢？本文就此谈谈曲线系方程的应用。

高中数学选择性必修一课件：3.2.3双曲线的方程与性质的应用

二次方程的实际应用

二次方程的实际应用1. 抛物线二次方程的图像是一个抛物线，它在许多实际问题中起着关键作用。

例如，我们可以使用二次方程来确定物体在空中的轨迹。

如果我们知道物体的初始速度和角度，以及重力加速度等因素，我们可以通过解二次方程来计算物体的飞行轨迹和落地点。

2. 物体运动二次方程还可以用于描述物体的运动。

例如，当一个物体以一个恒定的加速度运动时，它的位移可以由一个二次方程来表示。

通过解这个方程，我们可以计算出物体在不同时间点的位置，从而了解其运动轨迹和速度。

3. 经济学模型二次方程在经济学中也有广泛的应用。

例如，供给和需求曲线通常被建模为二次方程。

通过分析这些方程，我们可以预测市场上的物品价格和数量之间的关系，从而做出合理的决策。

4. 工程设计在工程领域，二次方程被广泛用于设计和优化。

例如，在建筑设计中，我们可以使用二次方程来确定拱形桥的弯曲形状。

同样，在电子电路设计中，我们可以使用二次方程来计算电流或电压的变化。

5. 自然科学二次方程在自然科学中也有许多实际应用。

例如，在物理学中，二次方程可以被用来描述电磁波的传播。

在化学中，二次方程可以用来计算化学反应的速率和平衡常数。

综上所述，二次方程在实际生活中有着广泛的应用。

它们能够帮助我们解决各种问题，并提供准确的预测和优化方法。

无论是在科学研究、工程设计还是经济学中，二次方程都扮演着重要的角色，为我们的生活带来了许多便利和创新。

___上述文档描述了二次方程的实际应用，介绍了它在抛物线、物体运动、经济学模型、工程设计和自然科学中的重要性。

无论是在解决物理问题、优化工程设计还是预测经济趋势方面，二次方程都扮演着关键的角色。

双曲线的几何性质及应用

第2课时双曲线的几何性质及应用学习目标 1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解弦长问题．知识点一直线与双曲线的位置关系思考直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？答案不能．梳理设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，② 把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)． Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．知识点二弦长公式若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].(1)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)(2)过点A (1,0)作直线l 与双曲线x 2－y 2＝1只有一个公共点，这样的直线可作2条．(×)(3)直线l ：y ＝x 与双曲线C ：2x 2－y 2＝2有两个公共点．(√)类型一直线与双曲线位置关系例1 已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试确定满足下列条件的实数k 的取值范围．(1)直线l 与双曲线有两个不同的公共点；(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l 与双曲线没有公共点．考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系解联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，y ＝k (x －1)，消去y ，得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0.(*)当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)(－k 2－4)＝4×(4－3k 2)．(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＞0，1－k 2≠0，得－233＜k ＜233且k ≠±1，此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2＝0，1－k 2≠0，得k ＝±233，此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点，当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x ＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点．故当k ＝±233或±1时，直线与双曲线有且只有一个公共点．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＜0，1－k 2≠0，得k ＜－233或k ＞233，此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．反思与感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(3)注意对直线l 的斜率是否存在进行讨论．跟踪训练1 已知双曲线x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率k .考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系解当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.当4－k 2＝0时，k ＝±2，l 与双曲线的渐近线平行，l 与双曲线只有一个公共点；当4－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝52. 综上，k ＝52或k ＝±2或k 不存在．类型二弦长公式及中点弦问题例2 过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1作倾斜角为π6的弦AB ，求|AB |的长．考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形面积解易得双曲线的左焦点F 1(－2,0)，∴直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)，与双曲线方程联立，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 反思与感悟解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围问题．跟踪训练2 设A ，B 为双曲线x 2－y 22＝1上的两点，线段AB 的中点为M (1,2)．求： (1)直线AB 的方程；(2)△OAB 的面积(O 为坐标原点)．考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形面积解 (1)显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1，消去y ，整理得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2，解得k ＝1.当k ＝1时，满足Δ＞0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1.(2)由(1)得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－3，∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×4＋12＝4 2.又O 到直线AB 的距离d ＝12＝22， ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×42×22＝2. 类型三直线与双曲线位置关系的综合问题例3 直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A ，B .(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其他问题解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0，①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，故⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)＞0，－2k k 2－2＞0，2k 2－2＞0，解得k 的取值范围为－2＜k ＜－ 2.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由①式，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1x 2＝2k 2－2.假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ⎝⎛⎭⎫62，0，则F A ⊥FB ， ∴⎝⎛⎭⎫x 1－62⎝⎛⎭⎫x 2－62＋y 1y 2＝0，即⎝⎛⎭⎫x 1－62⎝⎛⎭⎫x 2－62＋(kx 1＋1)·(kx 2＋1)＝0， (1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫k －62(x 1＋x 2)＋52＝0， ∴(1＋k 2)·2k 2－2＋⎝⎛⎭⎫k －62·2k 2－k 2＋52＝0，化简得5k 2＋26k －6＝0，解得k ＝－6＋65或k ＝6－65(舍去)，可知k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．反思与感悟解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线位置关系进行求解．跟踪训练3 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B ，D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其他问题 (1)解依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32， ∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ，∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m ＞0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又∵DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1，∴m ＝0(舍)或m ＝2，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72， M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1， ∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0，∴AD ⊥AB ，∴过A ，B ，D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径，∵点M 的横坐标为1，∴MA ⊥x 轴，∴过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切.1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．1考点双曲线的几何性质题点求双曲线的渐近线方程答案 A解析 ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F (4,0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F 到3x －y ＝0的距离为432＝2 3. 2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系答案 B3．直线y ＝x －1被双曲线2x 2－y 2＝3所截得的弦的中点坐标是( )A ．(1,2)B ．(－2，－1)C ．(－1，－2)D ．(2,1)考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系答案 C解析将y ＝x －1代入2x 2－y 2＝3，得x 2＋2x －4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为x 1＋x 22＝－22＝－1，故选C. 4．过点A (3，－1)且被A 点平分的双曲线x 24－y 2＝1的弦所在的直线方程是________．考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其他问题答案 3x ＋4y －5＝0解析易知所求直线的斜率存在，设为k ，设该直线的方程为y ＋1＝k (x －3)，代入x 24－y 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程(1－4k 2)x 2＋(24k 2＋8k )x －36k 2－24k －8＝0，∴－24k 2＋8k 1－4k 2＝6，∴k ＝－34， ∴所求直线方程为3x ＋4y －5＝0.5．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则满足条件的直线l 有________条．考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形面积答案 3解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x 2－y 22＝1，得y ＝±2， ∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k 2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2， |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k 2k 2－22－12k 2＋8k 2－2 ＝1＋k 2 16(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4，解得k ＝±22.故满足条件的直线l 有3条．双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.一、选择题1．双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为( )A ．x 24－y 2＝1 B ．x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1 C ．x 2－y 24＝1或y 2－x 24＝1 D ．y 2－x 24＝1 考点由双曲线的简单几何性质求方程题点渐近线为条件求双曲线的方程答案 B2．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( ) A.3414 B.324 C.32 D.43考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案 C解析由题意知a 2＋5＝9, 解得a ＝2，e ＝c a ＝32. 3．过双曲线x 2―y 2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形面积答案 D解析设弦与双曲线交点为A ，B (A 点在B 点上方)，由AB ⊥x 轴且过右焦点，可得A ，B 两点横坐标为22，代入双曲线方程得A (22，2)，B (22，－2)，故|AB |＝4. 4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x ＝a 2c交于点M ，设其右焦点为F ，且点F 到渐近线的距离为d ，则( )A ．|MF |＞dB ．|MF |＜dC ．|MF |＝dD ．与a ，b 的值有关考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其它性质答案 C 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 考点双曲线的几何性质题点求双曲线的标准方程答案 A解析由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 6．斜率为2的直线l 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(1，3)C ．(1，5)D ．(5，＋∞) 考点双曲线的离心率与渐近线题点双曲线离心率的取值范围答案 D7．设P 为双曲线C ：x 2－y 2＝1上一点，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，若cos ∠F 1PF 2＝13，则△PF 1F 2的外接圆半径为( ) A.94 B ．9 C.32D ．3 考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其他问题答案 C解析由题意知双曲线中a ＝1，b ＝1，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2 2.因为cos ∠F 1PF 2＝13，所以sin ∠F 1PF 2＝223. 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2R (R 为△PF 1F 2的外接圆半径)，即22223＝2R ，解得R ＝32，即△PF 1F 2的外接圆半径为32，故选C.二、填空题8．两个正数a ，b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝________.考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案 133解析由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝5，ab ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2.又a ＞b ，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝13，∴e ＝c a ＝133. 9．已知双曲线C ：x 24－y 2m＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围是________．考点双曲线性质的应用题点以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 (4，＋∞)解析 ∵等轴双曲线的离心率为2，且双曲线C 的开口比等轴双曲线更开阔，∴双曲线C ：x 24－y 2m ＝1的离心率e ＞2，即4＋m 4＞2，∴m ＞4. 10．已知双曲线C 的离心率为3，焦点为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若|F 1A |＝3|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝________.考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其他问题答案 33 解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．设A 为右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，且|F 2A |＝m ，由题意可得|F 1A |＝3m ，由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝2a ，解得m ＝a ，又e ＝c a ＝3，可得c ＝3a .在△AF 1F 2中，|F 1A |＝3a ，|F 2A |＝a ，|F 1F 2|＝23a ，可得cos ∠AF 2F 1＝a 2＋12a 2－9a 22×a ×23a＝33. 11．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (2,1)，则直线l 的方程是_________________．考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其他问题答案 8x －y －15＝0解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可得x 21－y 214＝1，x 22－y 224＝1，两式相减可得，(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0，由M (2,1)为AB 的中点，得x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，可得直线AB 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝4×42＝8，即直线AB 的方程为y －1＝8(x －2)，即8x －y －15＝0.将y ＝8x －15代入双曲线的方程x 2－y 24＝1，可得60x 2－240x ＋229＝0，即有Δ＝2402－4×60×229＝240×11＞0，故直线l 的方程为8x －y －15＝0.三、解答题12．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，且过点(－3，42)．(1)求双曲线的方程；(2)若直线4x －y －6＝0与双曲线相交于A ，B 两点，求|AB |的值．考点由双曲线的几何性质求方程题点渐近线为条件求双曲线方程解 (1)设所求双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，把(－3,42)代入方程，得9－324＝λ，所以λ＝1，所以所求双曲线的方程为x 2－y 24＝1. (2)直线方程4x －y －6＝0可变形为y ＝4x －6，把y ＝4x －6代入x 2－y 24＝1，得3x 2－12x ＋10＝0，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103，所以|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ (1＋16)×⎝⎛⎭⎫42－4×103＝21023. 13．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．考点由双曲线的简单几何性质求方程题点已知双曲线的焦距、实虚轴求方程解 (1)由题意，知a ＝23，所以一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0，所以|bc |b 2＋12＝3，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程，消去y 得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，所以⎩⎨⎧ x0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3. 由OM →＋ON →＝tOD →，得(163，12)＝(43t,3t )，所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．四、探究与拓展14．已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2又分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则4e 21＋e 22的最小值为( )A.52 B ．4 C.92D ．9 考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其他问题答案 C解析由题意设焦距为2c ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，①由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，②又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，③①2＋②2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22，④将④代入③，得a 21＋a 22＝2c 2，∴4e 21＋e 22＝4c 2a 21＋c 2a 22＝4(a 21＋a 22)2a 21＋a 21＋a 222a 22＝52＋2a 22a 21＋a 212a 22≥52＋22a 22a 21·a 212a 22＝92，当且仅当2a 22a 21＝a 212a 22，即a 21＝2a 22时，取等号，故选C. 15．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F (－2,0)．(1)求双曲线的方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F ，Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l的方程．考点由双曲线的简单几何性质求方程题点已知双曲线的焦距、实虚轴求方程解 (1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有e ＝c a＝2，c ＝2，所以a ＝1，b ＝3，所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)因为直线l 与y 轴相交于点M 且过焦点F (－2,0)，所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)，令x ＝0，得M (0,2k )．因为|MQ →|＝2|QF →|且M ，Q ，F 共线于l ，所以MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →.当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ，所以Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，23k ，又因为点Q 在双曲线x 2－y 23＝1上，所以169－4k 227＝1，所以k ＝±212，所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)．当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )，代入双曲线方程，得16－4k 23＝1，所以k ＝±352，所以直线l 的方程为y ＝±352(x ＋2)．综上，直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2)．。

双直线二次曲线系方程的几个应用实例

双直线二次曲线系方程的几个应用实例具体可以参考中等数学2009年第8期文章《二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程》，华东师大《奥数教程》高二分册，本文为原创，如有雷同，纯属巧合！大家都知道解析几何里有一个重要的工具：曲线系。

灵活用好曲线系，可以一定程度上减少计算量，甚至收获意想不到的效果。

不管是参加高考还是联赛，都有必要了解一下设曲线系一些基本思路。

一、首先要了解的是二次曲线的三条线：1、过曲线上一点与曲线相切的直线，称为切线。

2、过曲线外一点引两条切线，得到两个切点，这两个切点连成的直线，称为切点弦。

3、过曲线内一点任作两条弦，与曲线有四个相异的交点，与两条弦相异的两组点连成的两条直线的交点的轨迹。

（特别地，当这两条弦重合时，即过该点作一条弦与曲线交于两点时，对应的交点为过这两点的切线的交点，称为虚切线。

）二、二次曲线一般形式为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (A 和C 不同时为0)。

注：上述二次曲线方程可以表示：圆，椭圆，抛物线，双曲线（圆锥曲线）；两条相交直线；两条平行直线（可以通过因式分解得到）；一条直线（直线一般式方程平方即可得到）；一个点（例如点圆，在圆的方程中令r 为0即可）。

三、贯穿本文的一个基本原理是：过二次曲线f(x,y)和g(x,y)的交点的二次曲线系，可以记为：λf(x,y)+μg(x,y)=0.目录第一题：2008全国高中数学联赛一试解析几何题第二题：2010全国高中数学联赛A 卷一试解析几何题第三题：比较常见的高考解析几何题第四题：2012版天利38套，太原市高三模拟考试（一）第五题：2012版天利38套，太原市高三年级调研考试第六题：2010全国高中数学联赛B 卷一试解析几何题第一题：(2008全国高中数学联赛一试，改编)P （t t 2,22）是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求将B,C 两点间距离表示为关于t 的函数关系式。

解析几何中的二次曲线

解析几何中的二次曲线二次曲线是解析几何中的重要内容之一，它在数学和其他学科中都有广泛的应用。

本文将介绍什么是二次曲线，它们的一般方程以及常见的几何特征。

一、什么是二次曲线在解析几何中，二次曲线是由二次方程定义的曲线。

一般来说，它们可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。

这些曲线可以通过改变二次方程的系数来得到不同的形状和性质。

下面将分别介绍这三类二次曲线的定义和特点。

1. 椭圆椭圆是二次曲线中最简单的一种。

它可以定义为平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个定点被称为焦点，连结两个焦点的线段长度为短轴的长度，而与短轴垂直且通过椭圆中心的直线被称为长轴。

椭圆的形状由长轴和短轴的长度决定。

在数学中，椭圆的一般方程为：$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a为长轴的长度的一半，b为短轴的长度的一半。

2. 双曲线双曲线也是二次曲线中一种常见的形式。

它可以定义为平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹。

类似于椭圆，这两个定点被称为焦点。

双曲线的形状也由焦点之间的距离决定。

双曲线可以分为两支，每一支都有一个焦点。

在数学中，双曲线的一般方程为：$$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$其中，(h, k)为双曲线的中心坐标，a为离心率的倒数，b为离心率与焦点之间的距离的乘积。

3. 抛物线抛物线是另一种常见的二次曲线形式。

它可以定义为平面上到一个定点的距离等于到一个直线的垂直距离的点的轨迹。

抛物线的形状由定点和直线的位置决定。

在数学中，抛物线的一般方程为：$$y = ax^2 + bx + c$$其中，a、b、c为常数，且$a \neq 0$。

二、二次曲线的性质除了上述曲线的定义和方程，二次曲线还有一些重要的性质。

1. 焦点和准线对于椭圆和双曲线而言，焦点和准线是其重要特征。

直线与二次曲线

直线与二次曲线黄梅县第五中学李旭东二次曲线是高中数学中的重点和难点内容，还是高考必考内容，且比重大。

下面是我多年任教二次曲线的一点心得。

直线与二次曲线的题型可分为四个部分解决:一.弦长问题例1.设椭圆6x 2+2y 2=12中有一内接三角形PAB,过O,P 的直线的倾斜角为,0k k BP ,AP ,3BP AP =+π的斜率符合直线 (1)试证过A,B 的直线的斜率是定值; (2)求ΔPAB 面积的最大值.解:).3,1(P ),3,1(P 12y 2x 6x 3y :OP )1(2122--=+=得代入将.3x x y y k :03y 1x 3y 1x ,01x 3y 1x 3y A B AB AB 22112211=--==+++++=--+--相乘得将06b bx 32x 6:,12y 2x 6,b x 3y :AB )2(2222=-++=++=得代入为不妨设|,b |21d :AB P , b 3416|x x |)3(1|AB |2B A 2=-=-+=∴的距离为到 .6b .3b )b 12(63S 22APB ±=≤-=∴∆此时例2.,2 B ,A C ),0,3(B )0,3(A 值为两点的距离的差的绝对到动点和已知点- 点C 的轨迹与直线y=x －2交于D ，E 两点，求线段DE 的长。

答案：(1)设点C （x ，y ），则|CA|－|CB|=±2根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线，依题意，设其方程为： 2b ,1a ,32c 2,2a 2,12y a x 22222=====-得由12y x C 22=-∴的轨迹方程是点6x 4x ,2x y 12y x )2(222=-+⎪⎩⎪⎨⎧-==-得由∵△＞0，∴直线与双曲线有两个交点D 、E ，设D(x 1，y 1)，E （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=﹣6…54x x 4)x x (2)y y ()x x (|DE |21221221221=-+=-+-=∴二.对称问题例3.在以O 为原点的直角坐标系中，点A(4,-3)为ΔOAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|,且点B 的坐标大于零。

《用运动的观点分析两条二次曲线相切问题》

发表于《中学数学教学参考》2009年第7期下面所阐述的两曲线的相切问题，在高中阶段虽要求不高或不做要求，但因为人们学过直线与曲线相切，再加上在一些考试或竞赛中也从不同的角度涉及到过，所以会自然地思考这方面问题。

而多数人会思维定势地用直线与曲线相切的思想来处理两曲线的相切问题，却出问题了，产生了迷茫。

因高中阶段对两二次曲线的位置关系的讨论和应用不作要求，即使有相关的问题，也是非常特殊的情况。

所以一般情况下教师和学生不会去作进一步探索或拓展，以至于绝大部分学生大学毕业回到中学当老师后必须面对这个问题时，仍感到棘手或迷茫，不能给学生做出正确的、合理的、恰当的解释。

下面根据高中阶段的实际情况，尽量避开繁琐与抽象，用形象直观的运动观点对此问题作出分析，希望能对老师们、同学们有所启迪。

适合高中用运动的观点分析两条二次曲线相切的问题山东省桓台第一中学苏同安在高中的教学或学习过程中，部分教师与绝大多数学生可能是受教学或学习范围的约束，抑或是由于认识问题的深刻性、广泛性不够，对某些重要数学问题的理解或思想方法的认识往往停留在表面上，以至于对这些问题的学习或讲解也停留在表面的记忆或形式上，造成既不能形象直观地恰当分析，更不能深入浅出地适度拓展，从而形成不良的思维定式，导致对一系列问题及思想方法产生疑惑，感到迷茫，出现错误。

下面就一典型问题进行分析、阐述，希望能给老师们、同学们带来一点启迪，便于连续地、广泛地、深刻地教学或学习。

更希望各位能参与进来，展开交流、不断完善、共同提高，促进教科研的发展。

直线Ax+By+c=0与二次曲线 Ax2+By2+Dx+Ey+F=0相切，由此两方程消元后所得的一元二次方程的根的判别式△=0，这都知道。

而其中的直线与抛物线或双曲线的关系中，有一个公共点不一定是相切，这是因为直线平行于抛物线的对称轴或是直线平行于双曲线的渐近线时，它们有一个公共点，但不是相切。

此时，由它们的方程消元后所得的是一个一元一次方程，所以就谈不上根的判别式了。

二次曲线方程的化简与应用

山西师范大学现代文理学院（数计系）毕业论文论文题目：二次曲线方程的化简与应用学生姓名：刘彦雪学号： 1290110415专业：数学与应用数学班级： 1204班指导教师：范青龙二零一四年十一月四号目录摘要 (2)（一）、二次曲线的相关定义 (2)（二）、平面直角坐标变换 (3)2.1二次曲线方程的化简与分类 (3)2.2 利用系数的影响规律化简方程 ............................................... 错误!未定义书签。

（三）、应用举例.. (7)（四）、结束语 (10)参考文献 (11)二次曲线方程的化简与应用刘彦雪摘要二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是教学的一个难点，这方面的研究文献较多，分别总结出很多有效的方法。

文献给出了通过对二次曲线方程配方变形、直角坐标变换对二次曲线方程进行分类、化简;然后根据直线与二次曲线相交时参数t 的几何意义,确定二次曲线的标准方程.从而解决了利用坐标系的平移,旋转对二次曲线方程分类,化简时运算复杂或无法确定图形具体位置等问题.本论文首先对定义进行归纳总结，运用验证类比以及大量的举例对二次曲线化简作了说明，其次给出了一些方法和过程及证明，然后作出了归纳总结。

关键词定义；二次曲线；平面直角坐标变换（一）、相关定义1.1.在平面上，由二元二次方程()22111222132333,2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= 所表示的曲线,叫做二次曲线.1.2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线;有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线.1.3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换.1.4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,它的函数值不变,就称这个函数是该曲线的一个正交不变量,简称不变量. 1.5 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径。

利用二次曲线系方程巧解定点、定值问题--解析几何专题复习策略

例8：若实数x ，y 满足不等式组x+3y-3≥02x-y-3≤0x-y+1≥≤，则x+y 的最大值为（）（A ）9（B ）157（C ）1（D ）715本题主要考查了平面区域的二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，画出不等式组表示的平面区域，再利用图像求x+y 的最大值.令z=x+y ，则y=-x+z ，z 表示过可行域内点斜率为-1的直线在y 轴上的截距.由图可知当向上平移l 0使它过点A （4，5）时，z max=9.其方法是（1）画可行域时：“直线定界、特殊点定域”.（2）寻找目标函数的最值时，应先指明它的几何意义，这样才能找到相应的最值.例9：求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解：将原函数的解析式中的绝对值去掉，得-2x+1，x ≤-1，3，-1＜x ≤2，2x-1，x ＞2≤，作出图像（如图），显然y ≥3.所以函数的值域是［3，+∞）.六、利用函数的单调性求函数的值域例10：某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y=a x-3+10（x-6）2，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解：（Ⅰ）因为x=5时y=11，所以a2+10=11圯a=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知该商品每日的销售量y=2x-3+10（x-6）2，所以商场每日销售该商品所获得的利润：f （x ）=（x-3）［2x-3+10（x-6）2］=2+10（x-3）（x-6）2，3＜x ＜6;f ′（x ）=10［（x-6）2+2（x-3）（x-6）］-30（x-4）（x-6），令f ′（x ）=0得x=4.函数f （x ）在（3，4）上递增，在（4，6）上递减，所以当x=4时,函数f （x ）取得最大值42.答：当销售价格x=4时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.求函数值域的方法除了以上介绍的几种之外，还有很多，比如：基本不等式法，利用导数法，判别式法等.在求解函数值域的过程中，同学们应该认真审题，寻找迅速求解的一种方法.它所涉及的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用.各种题目难易程度相差很大，方法灵活多样，要做到迅速寻求最佳求解方法，必须吃透课本上的例题，熟练数学基本概念，全面系统掌握基本知识和基本技能.总之，数学学习重在掌握思考方法、思维方式，要想掌握好数学，平时学习中应善于观察、总结，并做到举一反三.参考文献：［1］任志鸿主编.赢在高考.2015.在高中解析几何中，陆续出现了直线系方程，圆系方程，圆锥曲线中的共渐近线的双曲线系等曲线系方程.从中可以归纳得出这样的结论：对于曲线C 1：f 1（x ，y ）=0和曲线C 2：f 2（x ，y ）=0，则曲线f 1（x ，y ）+λf 2（x ，y ）=0是与曲线C 1，C 2有关的曲线系方程.当曲线C 1，C 2有公共点P （x 0，y 0）时，曲线系也过点P （x 0，y 0）.一、由教材出发，寻根溯源我们先来看看教材中的例题.引例1（苏教版必修2，2.1.4两条直线交点的例2）.直线l 经过原点，且经过另两条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0的交点，求直线l 的方程.教材的解法为求出两条直线的交点，再求直线l.换成下面的变式：引例1变式.直线l 经过点（2，1），且经过另两条直线11x+13y+8=0，8x-9y-1=0的交点，求直线l 的方程.不难发现教材解法的问题是计算量偏大.此时，若采用直线系方程，即设所求直线l 方程为：11x+13y+8+λ（8x-9y-1）=0，将x=2，y=1代入求出λ的值为-436，回代即得直线l 的方程.再来看一个教材中的问题.引例2（苏教版必修2，2.2.3圆与圆的位置关系的习题2.2（2）思考·运用第6题）.已知一个圆经过直线l ：2x+y+4=0与圆C ：x 2+y 2+2x-4y+1=0的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程.常规解法依然是求出直线和圆两个交点，则所求圆是以这两个点为直径的圆.此法的症结依然是在求交点上，如果消元后无法十字相乘，那么运算量就会很大.但是我们采用曲线利用二次曲线系方程巧解定点、定值问题（江苏省沙溪高级中学，江苏太仓215421）李永波陈国良———解析几何专题复习策略摘要：在高中解析几何中，陆续出现了直线系方程，圆系方程，圆锥曲线中的共渐近线的双曲线系等曲线系方程.在高三二轮专题复习中，利用二次曲线系方程巧解定点、定值问题，不仅可以简化计算，更能让学生站在更高的角度看透数学问题的本质，发展学生的解题思维，优化方法方能简化运算，谋定而后动，这就是解析几何培养学生数学思维品质之所在.关键词：定点问题二次曲线系方程直线48（2x+y+4）=0，再配方得到圆心（-1-λ，2），利用圆心在直线l：2x+y+4=0上就可以确定λ，进而求出圆的方程.这两个教材上的题目的各种解法其实在一轮的教学中几乎所有的教师都渗透进去了，学生也知道了“直线系方程和圆系方程”的应用.基础较好的学生觉得今天的内容有点奇怪，在他们的意识里，今天应该是圆锥曲线综合专题，强大的韦达定理，繁琐的运算怎么还没出现？二、展示例题，探索创新例1：已知椭圆x24+y2=1的左顶点为A，过点A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于两点．（1）当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．此类题型，学生早已遇见多次，大部分学生留下的唯一印象就是理解简单“计算烦”.他们的具体思路是，先解决第一问中的点M（-65，45）；设直线AM：y=k（x+2）代入椭圆化简得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，因为此方程有一个根为-2，则xM=2-8k2 1+4k2，同理xN=2k2-8k2+4，由（1）知若存在定点，必为点P（-65，0）；当直线MP，NP斜率均存在时，KMP =yMxM+65=k（2-8k21+4k2+2）2-8k21+4k2+65=5k 4-4k2，以-1k代k，化简得KNP=5k4-4k2，所以M，N，P三点共线，所以直线MN过定点P（-65，0）.这样的解题思路可能是使用功能强大的韦达定理方法中最简单的一种，至少避免了求直线MN方程.但也有个别学生采用设曲线系方程的方法，大致思路为：设直线AM：y=k1（x+2），AN：y=k2（x+2），则过M，N，A的二次曲线方程可设为［y-k1（x+2）］［y-k2（x+2）］+λ（x24+y2-1）=0（其中k 1k2=-1），由于两直线及椭圆都过点（-2，0），故左边式子中必含有式子（x+2），则可以得到λ=-1，化简可得（x+2）［-（x+2）-y（k1+k2）+14（2-x）］=0，则直线MN方程为-（x+2）-y（k1+k2）+14（2-x）=0，当令y=0时，等式恒成立（与斜率变化无关）得x=-6 5 .其余学生当时有点匪夷所思，但给几分钟时间，很多人都能懂，但谈不上使用.例2：（2010江苏卷第三问）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆x2 9 +y25=1的左、右顶点为A，B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA，TB与椭圆分别交于点M（x1，y1），N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0.（3）设t=9，求证：直线MN必过轴上的一定点（其坐标与m 无关）．学生在处理该题时，大都是奔着求点而去的.而直线AM，BN过的分别是A，B，故需要二次韦达定理，分别求M，N，然后求直线MN，整理得定点坐标，思路还是很清晰的，不过一般求出两点M，N后就放弃了，庞大的计算量还是难倒了绝大部分同学.但此题貌似由于A，B点不同，但实际上是与案例一是相109，记KBM，KBN为k1，k2，则直线BM：y=k1（x-3），BN：y=k2（x-3），其中k1k2=-109，则可设过点B，N，M三点的二次曲线方程为：［y-k1（x-3）］［y-k2（x-3）］+λ（x29+y25-1）=0，将k1k2=-109代入，因为左边式子中必含有式子（x-3），则可以得到λ=-5，化简可得（x-3）［-y（k1+k2）-109（x-3）-59（x+3）］=0，所以直线MN方程为-y（k1+k2）-109（x-3）-59（x+3）=0，要与斜率无关，只需y= 0就有x=1；这样就达到了化归效果.当然，如果不转化到同过点B，也可以操作，只是学生理解起来有难度.设直线AM：y= m12（x+3），BN：y=m6（x-3），则可设过A，B，M，N四点的二次曲线方程为［y-m12（x-3）］［y-m6（x-3）］+λ（x29+y25-1）=0整理可得（1+λ5）y2-m12y（3x-3）+（m272+λ9）x2-λ-m28=0，方程表示双直线AB，MN，而直线AB：y=0，则该二次方程必定不含x2项和常数项，所以λ=-m28，整理得到y［（1-m240）y-m12（3x-3）］=0，得到两直线AB：y=0和直线MN：（1-m240）y-m12（3x-3）=0要与m无关，只需y=0且x=1即可.关于双直线方程的理解，其实在教材线性规划中也是有体现的，如不等式（x-y-1）（x+y+3）≥0表示的区域实际上是两直线相交后的一个对顶区域，把“≤”改成“=”，那么就表示了两条直线，把（x-y-1）（x+y+3）=0打开就可以得到二次曲线的方程形式，这样学生就不难懂了.三、变式拓展、巩固强化例3：在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x24+y22=1的左、右顶点为A，B，直线l过点P（1，0）与椭圆交于M，N，直线AM，BN 交于点Q，求证：Q在一定直线上.沿用上述设曲线系方程的方法，本题将迎刃而解.设Q（m，n），则直线AM：y=nm+2（x+2），BN：y=nm-2（x-2），设过点A，B，M，N 的双直线方程为：［y-nm+2（x+2）］［y-nm-2（x-2）］+λ（x24+y22-1）= 0整理得到（1+λ2）y2-y［n（x-2）m-2+n（x+2）m+2］+（n2m2-4+λ4）x2-（λ+ 4n2m2-4）=0，方程表示双直线AB，MN，而直线AB：y=0，则该二次方程必定不含x2项和常数项故λ=-4n2m2-4，由此可以得到直线MN方程：（1+λ2）y=n（x-2）m-2+n（x+2）m+2过点（1，0）就可以求出m=4，所以点Q在定直线x=4上.上述的几个案例均通过构思设曲线系方程的方法，避开了使用韦达定理的复杂计算.设出来的曲线系方程含有待定系数“λ”，我们可以先计算出待定系数λ的值，更多时候设而不求，因为这个待定系数对整个多项式的x，y，xy没有贡献；要联系几何意义，知道它表示什么曲线.要表示这种曲线，就必须满足什么条件，由此直接得到系数间的一些关系，从而简化运49一、数形结合思想的含义1964年我国著名的数学家华罗庚指出，“数与形是相互依存”的关系。

新教材高考数学第三章圆锥曲线的方程2-2第2课时双曲线的标准方程及性质的应用练习含解析新人教A版选择

第2课时双曲线的标准方程及性质的应用学习目标 1.了解双曲线在实际生活中的应用.2.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用．知识点一直线与双曲线的位置关系设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．思考直线与双曲线只有一个交点，是不是直线与双曲线相切？答案不是．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点知识点二弦长公式若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2].1．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是其上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1答案 C2．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．答案8333．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1作倾斜角为π6的弦AB ，则|AB |＝________.答案 3解析易得双曲线的左焦点F 1(－2,0)， ∴直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)，与双曲线方程联立，得8x 2－4x －13＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3.一、直线与双曲线的位置关系例1 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，消去y 整理，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k2>0，解得－2<k <2且k ≠±1.所以实数k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.又直线l 恒过点D (0，－1)，则①当x 1x 2<0时，S △OAB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1|＋12|x 2|＝12|x 1－x 2|＝ 2.②当x 1x 2>0时，S △OAB ＝|S △OAD －S △OBD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12|x 1|－12|x 2|＝12|x 1－x 2|＝ 2.所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.由(1)，知上述k 的值符合题意，所以k ＝0或k ＝±62. 反思感悟直线与双曲线(1)位置关系的判定方法：代数法(注意二次项系数为0的情况)． (2)弦长公式设直线y ＝kx ＋b 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2.跟踪训练1 已知双曲线焦距为4，焦点在x 轴上，且过点P (2,3)． (1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线m 经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m 被双曲线截得的弦长．解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)，由已知可得左、右焦点F 1，F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，则|PF 1|－|PF 2|＝2＝2a ，所以a ＝1，又c ＝2，所以b ＝3，所以双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)由题意可知直线m 的方程为y ＝x －2，联立双曲线及直线方程消去y 得2x 2＋4x －7＝0，设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－72，由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝6.二、与双曲线有关的轨迹问题例2 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚 4 s ．已知各观测点到该中心的距离是1 020 m ．则该巨响发生在接报中心的(假定当时声音传播的速度为340 m/s ，相关各点均在同一平面上)( )A ．北偏西45°方向，距离68010 mB ．南偏东45°方向，距离68010 mC ．北偏西45°方向，距离680 5 mD ．南偏东45°方向，距离680 5 m 答案 A解析如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴，y 轴正向，建立直角坐标系．设A ，B ，C 分别是西、东、北观测点，则A (－1 020，0)，B (1 020,0)，C (0,1 020). 设P (x ，y )为巨响发生点．由已知|PA |＝|PC |，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y ＝－x ，又B 点比A 点晚4 s 听到爆炸声，故|PB |－|PA |＝340×4＝1 360，可知P 点在以A ，B 为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，依题意得a ＝680，c ＝1 020， ∴b 2＝c 2－a 2＝1 0202－6802＝5×3402, 故双曲线方程为x 26802－y 25×3402＝1，将y ＝－x 代入上式，得x ＝±6805， ∵|PB |＞|PA |，∴x ＝－6805，y ＝680 5 ，即P (－6805，6805), 故PO ＝68010 .故巨响发生在接报中心的北偏西45°距中心68010 m 处．反思感悟和双曲线有关的轨迹(1)定义法．解决轨迹问题时利用双曲线的定义，判定动点的轨迹就是双曲线． (2)直接法．根据点满足条件直接代入计算跟踪训练2 若动圆P 经过定点A (3,0)，且与定圆B ：(x ＋3)2＋y 2＝16外切，试求动圆圆心P 的轨迹．解设动圆圆心P (x ，y )，半径为r . 则依题意有|PA |＝r ，|PB |＝r ＋4，故|PB |－|PA |＝4.即动圆圆心P 到两个定点B (－3,0)，A (3,0)的距离之差等于常数4，且4<|AB |，因此根据双曲线定义，点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支．设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则c ＝3,2a ＝4，b 2＝5，所以动圆圆心P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．所以动圆圆心P 的轨迹是双曲线x 24－y 25＝1的右支．1．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过点P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 共有( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条答案 B解析因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，则P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条．2．若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，则实数k 的取值范围为( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2) C ．(－2,2] D ．[－2,2]答案 A解析易知k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由Δ>0可得－2<k <2.3．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3 答案 D解析由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，所以|AB |＝4 3.4．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，与直线y ＝12x 交于A ，B 两点，若|AB |＝215，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝6 B ．x 2－y 2＝9 C ．x 2－y 2＝16 D ．x 2－y 2＝25答案 B解析设等轴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2(a ＞0)，与y ＝12x 联立，得34x 2＝a 2，∴|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×433a ＝215，∴a ＝3，故选B.5．已知直线l ：x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则实数m 的值是________．答案 ±1解析由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，消去y 得x 2－2mx －m 2－2＝0.则Δ＝4m 2＋4m 2＋8＝8m 2＋8>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝4m ，所以线段AB 的中点坐标为(m ，2m )．又点(m ，2m )在x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5，得m ＝±1.1．知识清单：(1)判断直线与双曲线交点个数． (2)弦长公式． 2．方法归纳：定义法，直接法． 3．常见误区：直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用Δ来判断直线与双曲线的位置关系．代数计算中的运算失误．1．若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( )A ．4B ．2C ．1D ．－2 答案 A解析因为在双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2，所以若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 符合题意．2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 B解析易知选项B 正确．3．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2与直线y ＝ax (a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝1 B ．0<a <1 C ．a >1 D ．a ≥1答案 D解析等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的渐近线方程为y ＝±x ，若直线y ＝ax (a >0)与等轴双曲线x 2－y 2＝a 2没有公共点，则a ≥1.4．直线l ：y ＝kx 与双曲线C ：x 2－y 2＝2交于不同的两点，则斜率k 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－2，2) C ．(－1,1) D ．[－1,1]答案 C解析由双曲线C ：x 2－y 2＝2与直线l ：y ＝kx 联立，得(1－k 2)x 2－2＝0.因为直线l ：y ＝kx与双曲线C ：x 2－y 2＝2交于不同的两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，81－k 2>0，解得－1<k <1，即斜率k 的取值范围是(－1,1)．5．设点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 22＝1(a >0)的左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的面积为26，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x 答案 D解析设F 1(－c ，0)，A (－c ，y 0)，则c 2a 2－y 202＝1， ∴y 202＝c 2a 2－1＝c 2－a 2a 2＝b 2a 2＝2a2， ∴y 20＝4a2，∴|AB |＝2|y 0|＝4a.又2ABF S＝26，∴12·2c · |AB |＝12·2c ·4a ＝4ca ＝26， ∴c a ＝62， ∴b a ＝c 2a 2－1＝22. ∴该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的左支交于不同的两点，则k 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，153 解析联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，①若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16k 2＋401－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，x 1＋x 2＝4k1－k2<0，解得1＜k ＜153. 7．直线y ＝x ＋1与双曲线x 22－y 23＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 4 6解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22－y23＝1，得x 2－4x －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝－8，∴|AB |＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2×16＋32＝4 6.8．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e ＝________.答案3＋1解析以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，则M 在y 轴上，可设|F 1F 2|＝2c ，M 在y 轴正半轴，则M (0，3c )，又F 1(－c ，0)，则边MF 1的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c2，32c ，代入双曲线方程，可得c 24a 2－3c 24b 2＝1，由于b 2＝c 2－a 2，e ＝c a ，则有e 2－3e 2e 2－1＝4，即有e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，由于e >1，即有e ＝1＋ 3.9．已知双曲线的方程为x 2－y 22＝1，直线l 过点P (1,1)，斜率为k . 当k 为何值时，直线l与双曲线有一个公共点？解设直线l ：y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋(1－k )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得 (k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0. 当k 2－2＝0，即k ＝±2时，方程只有一个解；当k 2－2≠0，且Δ＝24－16k ＝0，即k ＝32时，方程只有一个解．综上所述，当k ＝±2或k ＝32时，直线l 与双曲线只有一个公共点．10．斜率为2的直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为6，求直线l 的方程．解设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 23－y22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*)设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2)．于是|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤3625m 2－4×310m 2＋2.因为|AB |＝6，所以365m 2－6(m 2＋2)＝6.则m 2＝15，m ＝±15. 由(*)式得Δ＝24m 2－240，把m ＝±15代入上式，得Δ>0，所以m 的值为±15，故所求l 的方程为y ＝2x ±15.11．已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点，则a 的取值范围是____________．答案－6<a <6且a ≠± 3解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋13x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.∵直线与双曲线相交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0⇒－6<a <6且a ≠± 3.∴a 的取值范围是－6<a <6且a ≠± 3.12．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析由题意，知b a ≥3，则b 2a2≥3，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥2.13．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．答案3215解析双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 14．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左、右顶点为A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线斜率为________．答案 ±1解析由题意知F (c ，0)，A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，其中c ＝a 2＋b 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2－y2b2＝1，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以A 1B —→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a ，b 2a ， A 2C —→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ，－b 2a . 因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B —→·A 2C —→＝(c ＋a )(c －a )－b 4a2＝0，解得a ＝b ，所以渐近线的斜率为±1.15．设双曲线x 2－y 22＝1上有两点A ，B ，AB 中点M (1,2)，则直线AB 的方程为________________．答案 y ＝x ＋1解析方法一 (用根与系数的关系解决)显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0，当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k 2－k 2－k 2，所以k ＝1，满足Δ>0，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．因为x 1≠x 2，所以y 1－y2x 1－x 2＝2x 1＋x2y 1＋y 2，所以k AB ＝2×1×22×2＝1，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.16．已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)．(1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长；(2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．解 (1)当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y ，得3x 2＋2x －2＝0.设两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23，则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋x 1－x 22＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×289＝2143.(2)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2＝1，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2≠0，4a 4＋8a 21－a 2>0，解得0<a <2且a ≠1. ∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，∴e >62且e ≠ 2.即离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．。

二次曲线束理论的两个应用

二次曲线束理论的两个应用覃沛锋[摘要]介绍了二次曲线束的定义和分类,并举例说明了它在解二元二次方程组及解一元四次方程中的应用.[关键词] 二次曲线束;退化的二次曲线;基底1.二次曲线束理论定义一：方程0ij ijij i j f a x xb x x λφλ+=+=∑∑ （λ为参变数）所表达的一切二次曲线束，称为构成一个二次曲线束。

二次曲线束1c ：0f =和2c：o φ=称为二次曲线束的基底. 定理1，两条二次曲线一般有四个交点.定理2 ，二次曲线束内有三条变态二次曲线，那也就是三对直线. 证明：设1c 与2c的交点为A 、B 、C 、D（1）当A,B,C,D 互异时，则完全四边行的三双对边（AB 、CD ），（AC 、BD ）（AD 、BC ）图1 便是束中的三条变态二此曲线（见图1）[1]（2）当A,B,C,D 中有两点相重，如ＡＳＢ，则二次曲线1c 和2c相切于Ａ，相交于Ｃ和Ｄ，这时变态的二次曲线的一条由Ａ点的公切线和公共弦CD 构成,另外两条曲线由AC 和AD 构成,算作两次(见图2); (3), 如果ASB,CSD,二次曲线1c 和2c称为在A 和C 成双切,这时变态二次曲线中一条由A,C两点的公切线构成,另外两条重和(算作两次)由重合直线AC 构成(见图3) (4) 如果ASBSC,二次曲线1c 和2c称为在点A 有二阶切触，变态二次曲线相重(算作三重),由A 点的公切线和公共弦AD 构成（见图（4）; (5) 如果ASBSCSD,则称二次曲线1c 和2c在A 点有三阶切触，这时变态二次曲线都相重（算作三次）由重合公切线构成（如图5）[2]CDBAc 1c2MNCDC C2A ≡BC 1C 2D A ≡B ≡CA ≡B ≡C ≡D图2 图3图4图5束中的二次曲线()0ijij i j f ab x x λφλ+=+=∑成为变态二次曲线的充要条件是它的行列式为0：111112121313211222132323131323233333a b a b a b a b a b a b a b a b a b λλλλλλλλλ+++++++++=0 这是λ的三次方程，设其三根为1λ 2λ 3λ则束中有三条变态二此曲线 10f λφ+=20f λφ+= 30f λφ+=证毕。

两相交直线与圆锥曲线构成的二次曲线系方程

两相交直线与圆锥曲线构成的二次曲线系方程
圆锥曲线与直线的交点是构成二次曲线系方程的关键。

由于二次曲线系方程主
要包括圆锥曲线、直线和交点，因此建立圆锥曲线与直线的交点成为完成二次曲线系方程的关键。

圆锥曲线是极小双曲线的一种特殊形式，是由曲率和弧线存在的抛物线变形而成，而直线是以方程形式表示的平行直线。

为了建立圆锥曲线与直线的交点，我们首先要找出圆锥曲线的方程，圆锥曲线
的标准方程为：y2=2px(1+ecosθ) ，其中，2p是曲率；e是双曲线的离心率，它
由方程中的更新带参数2p决定;θ 是双曲线上任意点到其焦点的距离在偏转角计
算而得。

接下来，我们还需确定圆锥曲线的轴，并且确认直线方程的斜率，以便进行接
下来的解答。

圆锥曲线的轴由它的方程系数决定，而直线的斜率由该方程中直线的参数决定。

将圆锥曲线的方程与直线的方程进行求解，可以得到圆锥曲线与直线的交点，这也是构成二次曲线系方程的关键。

建立圆锥曲线与直线的交点是完成二次曲线系方程之路上的最重要一步，因此，我们必须在建立交点之前，首先明确圆锥曲线及直线的方程。

只有确定了方程，再做相关求解才能定出圆锥曲线与直线间的交点，从而实现构成二次曲线系方程的目标。