双直线二次曲线系方程的几个应用实例

双直线二次曲线系方程的几个应用实例

具体可以参考中等数学2009年第8期文章《二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程》，华东师大《奥数教程》高二分册，本文为原创，如有雷同，纯属巧合！

大家都知道解析几何里有一个重要的工具：曲线系。灵活用好曲线系，可以一定程度上减少计算量，甚至收获意想不到的效果。不管是参加高考还是联赛，都有必要了解一下设曲线系一些基本思路。

一、首先要了解的是二次曲线的三条线：

1、过曲线上一点与曲线相切的直线，称为切线。

2、过曲线外一点引两条切线，得到两个切点，这两个切点连成的直线，称为切点弦。

3、过曲线内一点任作两条弦，与曲线有四个相异的交点，与两条弦相异的两组点连成的两条直线的交点的轨迹。（特别地，当这两条弦重合时，即过该点作一条弦与曲线交于两点时，对应的交点为过这两点的切线的交点，称为虚切线。）

二、二次曲线一般形式为02

2=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (A 和C 不同时为0)。

注：上述二次曲线方程可以表示：圆，椭圆，抛物线，双曲线（圆锥曲线）；两条相交直线；两条平行直线（可以通过因式分解得到）；一条直线（直线一般式方程平方即可得到）；一个点（例如点圆，在圆的方程中令r 为0即可）。

三、贯穿本文的一个基本原理是：

过二次曲线f(x,y)和g(x,y)的交点的二次曲线系，可以记为：λf(x,y)+μg(x,y)=0.

目录

第一题：2008全国高中数学联赛一试解析几何题

第二题：2010全国高中数学联赛A 卷一试解析几何题

第三题：比较常见的高考解析几何题

第四题：2012版天利38套，太原市高三模拟考试（一）

第五题：2012版天利38套，太原市高三年级调研考试

第六题：2010全国高中数学联赛B 卷一试解析几何题

第一题：(2008全国高中数学联赛一试，改编)P （t t 2,22）是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求将B,C 两点间距离表示为关于t 的函数关系式。

【解答过程】

第二题：（2010全国高中数学联赛A卷一试）

【解答过程】

【总结】过圆锥曲线上任意一点作两条斜率互为相反数的直线，那么两条直线与曲线的两个交点连线的斜率为定值。

【解答过程】

【解答过程】

【解答过程】

前五题已经解答完成了，总结一下：

第一，都没有使用韦达定理。韦达定理是个经典的不能再经典的工具，固然强大，但联立方程计算易错，两根和，两根积，一般是一摞一摞的分式，在卷面上总是有点那什么呢。

第二，利用曲线系方程，实际上把计算难度转移到直线方程系数比较上。但是，比较系数，直观，不易错，原理也不难理解。调整两个多项式恒等，其对应系数必须都相等。

第三，设出来的曲线系含有待定的系数“λ”或者“u”，有些时候我们需要先计算出待定系数的值，再去比较系数。更多的时候设而不求，因为这个待定系数对整个多项式的x,y,xy没有贡献。

第四，要联系几何意义，知道它表示什么曲线。要表示这种曲线，就必须满足什么条件。由此得到系数间的一些关系。

第五，话不能说绝了，这种方法有它缺点。参见下面的第六题。

第六题：