单自由度系统的无阻尼自由振动课件

学习交流PPT
17
x(t)1.2s8i1n.9 6t(cm )
绳中的最大张力等于静张力 与因振动引起的动张力之和
T maxTs kAW kA
1.47*105 5.78*104 *1.28
1.47*105 0.74*105
2.21*105 N
可见动张力几乎是静张力的一半，由于
kAk v v km wn
9
学习交流PPT
10
动 三力、自由振动的特点： A学——物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。
n t + ——相位，决定振体在某瞬时 t 的位置 ——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。T
2 n
f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。
n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。 反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
第二章 单自由度系统的自由振动
以弹簧质量系统为力学模型，讨论单自由度 无阻尼系统的固有振动和自由振动，
固有振动的表现形式为简谐振动，其固有频 率的计算方法有静变形法、、瑞利法以及等 效刚度、等效质量法
有阻尼的系统根据阻尼的大小分为过阻尼、临 界阻尼及欠阻尼三种状态
学习交流PPT
1
单自由度系统的自由振动
学习交流PPT
22
学习交流PPT
23
学习交流PPT
24
动 力 §2 求系统固有频率的方法
1. 学由系统的振动微分方程的标准形式
2. 能量法：
qn2q0
由Tmax=Umax , 求出 n
3. 瑞利法： n
g st
st ：集中质量在全部重力
作用下的静变形
4. 等效刚度法:
学习交流PPT
25
x0 v
其振动规律为：x 学习x交0流cPPT osnt x 0nsi nnt
16
因为：
x0 0 x0 v
根据：
xx0cosnt x 0nsi nnt
其振动规律为：
x (t) v nsin tn 1 1 .6 * 1 * 9 5 6s 0 0 1 i0 .6 n t9 1 .2s8 1 i.6 n t9 (c)m
学习交流PPT
11
动 力无阻尼自由振动的特点是： (1) 振学动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。
四、其它
1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力 只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动 频率、振幅和相位等。
学习交流PPT
12
固有频率及固有周期
n
k m
固有圆wenku.baidu.com率，为了方便也称 为固有频率，是系统的固有 特性，与系统是否振动无关
只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关， 而与运动的初始条件无关，所以称为固有频率。
Tn
2 n
2
m k
固有周期
k/mg/s
学习交流PPT
13
固有频率及固有周期
wn
k m
M
x
学习交流PPT
21
解：
M
由材料力学可知简支梁在
重物mg作用下的静变形为：
s
mgl 3 48 EJ
x
故自由振动频率为：
wn
g
s
48EJ ml3
以梁受重时平衡位置为坐标原点，以撞击时为0时候
x0s，x 0 2gh
则自由振动振幅为： A
x0
(x 0 )2 wn
2 s
2gh
梁的最大挠度为： max As
g
s
对于不易得到刚度或质量的系统， 若能测出静变形，可用上式计算固有频率。
学习交流PPT
14
学习交流PPT
15
解：
wn
k m
gk W
980 * 5 .78 * 104 1 .47 * 105
19 .6
重物匀速下降时处于静
平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所 在位置，则t=0时有:
x0 0
置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
a x cx0
a, c是与系统的物理参数有关的常数。令 n2 c/ a
则自由振动的微分方程的标准形式：
xn2x0
方程的通解解为：xAsi nnt()
学习交流PPT
7
动
力 学或：
xC 1co nts C 2sin n t
C1，C2由初始条件决定
这里A和φ与C1和C2的关系为：
19
解：取图示坐标系，将直升机桨叶视为一物理摆， 根据绕固定铰的动量矩定理得到其摆动微分方程
J0 mgsiln
sin
J0 mgl0
n
mgl ,
J0
Tn2
J0 mgl
J0
mgl 42
Tn2
Jc J0ml2
O l
C
mg
学习交流PPT
20
例 2.3 一个质量为m的物体从h高处自由落下， 与一根抗弯刚度为EJ、长L的简支梁作完全非弹 性碰撞，不计梁的质量，求梁的自由振动的频 率和最大挠度。
A c12 c22 tan 1 c1
c2
学习交流PPT
8
动
力
xC 1co nts C 2sin n t
设学t = 0 时，xx0 , x x 0 则可求得：
C 1x0 , C 2x 0/ n
xx0cosnt x 0nsi nnt
A
x02x 022 n
,
arctngx0
x 0
学习交流PPT
m x m g k(sx)
学习交流PPT
4
动 力在静平衡时有： 学
mg k s
振动微分方程为：
m x m g k(sx)
m x kx
令 n2 k / m g / s xn2x 0
方程的通解为：xAsi nnt()
学习交流PPT
5
动
力 学
xAsi nnt()
学习交流PPT
6
动 二力、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 学对于任何一个单自由度系统，以x 为广义坐标（从平衡位
因而为了降低动张力，应该降低系统的刚度
学习交流PPT
18
例2.2 图示的直升机桨 叶经实验测出其质量为
m，质心C距铰中心O 距离为l。现给予桨叶
初始扰动，使其微幅摆 动，用秒表测得多次摆 动循环所用的时间，除 以循环次数获得近似的 固有周期，试求桨叶绕
垂直铰O的转动惯量。
O l
C
mg
学习交流PPT
一、自由振动的概念：
学习交流PPT
2
动
单自由度系统的自由振动
力
学
以弹簧质量系统为力学模型
学习交流PPT
3
动 力运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。 学
物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位 置附近的振动称为无阻尼自由振动。
质量—弹簧系统：
令x为位移，以质量块的静平衡位置 为坐标原点，当系统受干扰时，根据 牛顿第二定律，有：
动 2. 力能量法：