常微分方程初值问题(end)(1)
常微分方程初值问题数值解法
常微分方程初值问题的数值解法在自然科学、工程技术、经济和医学等领域中，常常会遇到一阶常微分方程初值问题：(,),,(),y f x y a x b y a y '=≤≤⎧⎨=⎩ (1) 此处f 为,x y 的已知函数，0y 是给定的初始值。
本章讨论该问题的数值解法，要求f 在区域{(,)|,}G x y a x b y =≤≤<∞内连续，并对y 满足Lipschitz 条件，从而初值问题(1)有唯一的连续可微解()y y x =，且它是适定的。
1 几个简单的数值积分法1.1 Euler 方法（1）向前Euler 公式（显式Euler 公式）10(,),0,1,2,,(),n n n n y y hf x y n y y a +=+=⎧⎨=⎩(2) 其中h 为步长。
由此便可由初值0y 逐步算出一阶常微分方程初值问题(1)的解()y y x =在节点12,,x x 处的近似值12,,y y 。
该公式的局部截断误差为2()O h ，是一阶方法。
（2）向后Euler 公式（隐式Euler 公式）1110(,),0,1,2,,(),n n n n y y hf x y n y y a +++=+=⎧⎨=⎩(3) 这是一个隐格式，也是一阶方法。
这类隐格式的计算比显格式困难，一般采用迭代法求解。
首先用向前Euler 公式提供迭代初值，然后迭代计算：(0)1(1)()111(,),(,),0,1,2,n n n n k k n n n n y y hf x y y y hf x y k +++++⎧=+⎨=+=⎩ (4)1.2 梯形方法1110[(,)(,)],2(),(0,1,2,)n n n n n n h y y f x y f x y y y a n +++⎧=++⎪⎨⎪=⎩= (5) 这也是一个隐格式，是二阶方法。
一般也采用迭代法求解。
迭代公式如下：(0)1(1)()111(,),[(,)(,)],0,1,2,2n n n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k +++++⎧=+⎪⎨=++=⎪⎩ (6)1.3 改进的Euler 方法11110(,),[(,)(,)],0,1,2,,2(),n n n n n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y n y y a ++++⎧=+⎪⎪=++=⎨⎪=⎪⎩(7) 为了便于上机编程计算，(7)可改写为110(,),(,),0,1,2,,1(),2(),p n n n cn n p n p c y y hf x y y y hf x y n y y y y y a ++=+⎧⎪=+⎪⎪=⎨=+⎪⎪=⎪⎩(8) 该格式是显式，也是二阶方法。
常微分方程的初值问题
常微分方程的初值问题常微分方程是研究自变量（通常是时间）及其导数之间关系的数学分支。
它在物理、化学、生物学等学科中都有广泛应用，因此被视为数学的基础学科之一。
其中的求解方法之一便是初值问题。
初值问题是指对于一个已知的微分方程，给定初始条件的问题。
初始条件通常包括一个或多个自变量和导数值，根据这些条件可以求解出微分方程的解析解或近似解。
此外，初始条件还可以帮助我们理解微分方程的性质和行为。
举个例子，我们考虑一个简单的问题：假设一个物体在空气中运动，其速度随时间的变化可以用常微分方程来描述。
则其方程可以写作：m * dv/dt = mg - kv^2其中m为物体质量，g为重力加速度，k是空气阻力系数，v表示速度。
将初始条件加入其中，例如初始速度v0为0，则此时可以解出运动中物体的速度v(t)对时间的表达式。
对于初值问题的求解方法，数值和解析方法皆有。
解析方法主要是利用微积分和代数技巧，将微分方程推导为一般的解析表达式。
然而，这种方法需要一定的条件和技巧，因而在实际问题中应用范围较为有限。
数值方法则是更为通用和普遍的求解方法。
在此方法中，将微分方程转化为差分方程，即将导数近似为差分式，再结合初始条件用数值计算方法进行求解，得到问题的数值解。
这种方法的优点在于求解过程简单明了，且由于近似误差可以任意小，因此可得出足够精确的解。
常用的数值方法有欧拉法、龙格-库塔法等。
其中欧拉法是最简单的一种数值方法，其核心思想是用线性近似代替导数，即将微分方程中的导数写成差商形式，于是可以得到如下迭代公式：y(i+1)=y(i)+hf(y(i), t(i))其中y(i)表示函数解在i时刻的估计值，t(i)表示时间，h为时间步长，f(y,t)为微分方程右端函数。
通过这种迭代方法即可用简单的计算机程序得到一个数值解。
在使用数值方法求解初值问题时，需注意初始条件的选取。
例如，在上述物体的运动例子中，我们可以选取物体在某一位置的速度为初始速度，而这个位置则可以是重心位置、发射点等。
解常微分方程初值问题
解常微分方程初值问题常微分方程初值问题是求解一个确定初始值条件下的常微分方程的解。
解常微分方程的方法有很多种，下面将介绍几种常用的方法和相关参考内容。
1. 变量分离法：将微分方程中的变量分离，然后进行分离变量的积分。
这是解常微分方程最常用的方法之一。
相关参考内容：《普通微分方程教程》（陈英席著）、《普通微分方程》（王永乐著）2. 齐次方程法：对于齐次方程 dy/dx = f(x,y)（其中 f(x,y) 是关于 x 和 y 的函数），通过引入新的变量 u = y/x，将其转化为一个关于 u 的单变量方程。
然后再解这个方程。
相关参考内容：《普通微分方程与应用》（杨万明、杨卓玲著）、《数学物理方程》（尤伯杯著）3. 线性方程法：对于形如 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的线性方程，可以使用积分因子法将其转化为一个可解的方程。
相关参考内容：《普通微分方程讲义》（陈方正、李学勤著）、《分析数学基础讲义》（包维楷等著）4. 变换法：通过进行适当的变量变换，将原方程转化为易于求解的形式。
相关参考内容：《常微分方程讲义》（李鼎立著）、《常微分方程教程》（张世忠、赵寿明著）5. 解特殊的微分方程：一些特殊的微分方程有相应的解法，例如 Bernoulli 方程、Riccati 方程等。
相关参考内容：《常微分方程教程》（孙士焜著）、《微分方程教程》（刘川著）此外，常微分方程的初值问题可以利用数值方法进行求解，例如 Euler 方法、Runge-Kutta 方法等。
相关参考内容：《数值分析》（李庆扬、褚国新著）、《常微分方程数值解法》（赵义、余长星著）解常微分方程初值问题需要动用到微积分、线性代数等数学知识，因此具备扎实的数学基础是解题的前提。
上述参考内容对于理解和掌握常微分方程的解法都具有很好的帮助，读者可以根据自己的实际情况选择适合的参考教材进行学习。
此外，还可以通过参考数学相关的学术论文和网络资源来进一步深入了解常微分方程的解法。
常微分方程初值问题解法
详细描述
幂级数解法是通过幂级数展开方法，将一阶 常微分方程转化为可求解的幂级数形式。这 种方法适用于一些具有特定形式的常微分方 程，通过幂级数展开方法，将原方程转化为 可求解的幂级数形式，然后找到方程的解。
03 初值问题的数值解法
欧拉方法
总结词
欧拉方法是求解常微分方程初值问题的一种简单而基础的数 值方法。
详细描述
欧拉方法基于微积分中的中点公式，通过在区间上取几个点 并近似求解微分方程，得到近似解。该方法简单易行，但精 度较低，且对于复杂的问题可能需要较大的步长才能得到满 意的结果。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是求解常微分方程初值问题的一种高精度数值方法。
详细描述
龙格-库塔方法采用线性插值的思想，通过构造一系列的插值多项式来逼近微分方程的 解。这种方法精度较高，且适用于各种类型的微分方程，因此在科学计算和工程领域应
数值方法
随着计算机技术的发展，数值解法成为解决初值问题的主要手段，如欧拉法、龙格-库 塔法等，能够给出近似解并适用于各种复杂情况。
稳定性分析
对于解的存在性和稳定性，需要分析初值问题的解是否随时间演化而发散或收敛，这涉 及到解的稳定性分析。
未来研究方向与展望
高维问题
目前对高维初值问题的研究 还不够深入，未来可以探索 更有效的数值方法和理论分 析方法。
应用广泛
在各个领域中都有广泛的应用，如航天、航空、交通、经济等。
发展前景
随着科学技术的发展，常微分方程初值问题的求解方法和应用范围 将不断拓展，具有广阔的发展前景。
02 初值问题的解法
分离变量法
总结词
适用于具有特定形式的一阶常微分方程，通过将方程中的变量分离，转化为可求解的方程。
常微分方程的初值问题
常微分方程的初值问题初值问题是常微分方程中非常重要的概念，它描述了一个方程的初始条件。
在这篇文章中，我们将介绍什么是初值问题，以及如何解决它。
初值问题是什么？一个初值问题包含了一个常微分方程和一个初始条件。
形式化来说，对于一个一阶微分方程y' = f(x,y)，以及一个初始条件y(x0) = y0，我们就有了一个初值问题。
其中，y0是定义在x0处的y的值，f(x,y)表示方程中的函数。
解决初值问题需要找到满足方程和初始条件的函数y(x)。
这个函数描述了解决方案在整个定义域上的行为，并且是针对给定方程和初始条件的解。
如何解决初值问题？为了解决初值问题，我们需要使用数值方法，在数学上实现求解。
这些方法可以为我们提供非常接近实际解的近似解。
首先，我们需要将函数y(x)进行离散化，并选取一些点来近似表达这个函数。
通常，这些点被称为网格点。
我们可以使用各种算法来计算这些点上的近似值，例如欧拉法、泰勒展开法和龙格库塔法等等。
其中，欧拉法是解决初值问题的最简单的数值方法之一。
它将函数y(x)在给定点x分解成以下表达式：y(x + h) ≈ y(x) + h*y'(x)，其中，h是步长。
通过此方法可以计算每一个网格点上的函数值y(x)，并且用它们来建立近似解。
然后，我们可以用计算机进行数值仿真，以可视化输出结果。
总结在初值问题中，给定了一个常微分方程以及一个初始条件，我们需要找到满足这两个条件的函数解。
这里，我们介绍了初值问题的基本概念和解决方法，以及数值方法的使用。
初值问题在科学和工程应用中非常常见，了解这个问题的基本概念，能够更好地理解实际应用中的问题。
常微分方程初值问题解法
为了克服欧拉方法精度不足的问题，可以对方法进行改进。一种常见的方法是使用更高阶的离散近似，例如使用 二阶或更高阶的离散化公式。这些改进可以减小数值误差，提高解的精度。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是求解常微分方程初值问题 的一种高精度和高稳定性的数值方法。
详细描述
龙格-库塔方法是一种迭代方法，通过构造 一系列近似解来逼近微分方程的精确解。该 方法采用多步策略，每一步使用微分方程的 离散近似来更新未知数的值，同时考虑了更 多的信息，从而提高了数值解的精度和稳定 性。龙格-库塔方法在许多领域都有广泛的 应用，如物理、工程和科学计算等。
初值问题的定义
定义
常微分方程的初值问题由一个微分方程 和一个初始条件组成。给定一个初始状 态，我们需要找出该状态随时间变化的 规律。
VS
形式
dy/dt = f(t, y) with y(t0) = y0，其中f是 关于时间t和状态y的函数，t0是初始时间， y0是初始状态。
02
初值问题的解法
欧拉方法
05
结论与展望
研究成果总结
数值解法
常微分方程初值问题数值解法是当前研究的热点，包括欧拉法 、龙格-库塔法等多种方法，这些方法在精度和稳定性方面取
得了显著进展。
稳定性分析
对于数值解法的稳定性分析，研究者们通过分析数值解法 的收敛性和误差估计，为算法的改进提供了理论支持。
实际应用
常微分方程初值问题在物理、工程、生物等领域有广泛的应用 ，研究成果在实际问题中得到了验证，为解决实际问题提供了
04
实际应用与案例分析
物理问题中的应用
1 2 3
自由落体运动
描述物体在重力作用下的运动轨迹，可以通过常 微分方程求解物体在不同时刻的速度和位置。
微分方程的一些通解和初值问题的解法
微分方程的一些通解和初值问题的解法微分方程作为数学中一个极其重要的分支，它具有广泛的应用背景，包括自然科学、工程技术等多个领域中都有着广泛的应用。
微分方程的求解则是这门学科中一个很关键的问题，尤其是对于一些实际问题，其初值条件决定了微分方程的具体解，本文将探讨一些微分方程的通解以及初值问题解法。
1. 常微分方程的通解对于一个n阶常微分方程，如果它可以表示为：$$F\Bigg(x,\frac{dy}{dx},\frac{d^2 y}{dx^2},\cdots,\frac{d^ny}{dx^n}\Bigg)=0$$其中$y$是自变量$x$的函数，则这个方程是一个n阶常微分方程。
对于这类方程，可以根据它的阶数以及特点进行分类求解。
(1)一阶常微分方程通解这类方程形式如下：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中$f(x,y)$是定义在某个区域上的函数。
对于这类方程，我们可以通过分离变量的方式进行求解，即：$$\frac{dy}{f(x,y)}=dx$$两边同时积分得到：$$\int\frac{1}{f(x,y)}dy=\int dx+C$$其中$C$是积分常数，通过这个式子可以求得$y$的通解。
(2)二阶常微分方程通解这类方程形式如下：$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其特点是含有二阶导数项，可用特征方程进行求解。
将一般形式二阶常微分方程的通解表示为$y=c_1y_1+c_2y_2$，其中$c_1$和$c_2$是常数，$y_1$和$y_2$是方程的解，满足$y_1$和$y_2$的任意线性组合都是方程的解。
如果解$y_1$和$y_2$线性无关，则它们构成了二阶常微分方程的通解。
(3)n阶常微分方程通解通常情况下，n阶常微分方程表示为：$$y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)$$我们可以通过求解$n$次的导数，得到这个方程的通解。
常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程初值问题数值解法初值问题：即满足初值条件的常微分方程的解y′=f(x,y),x∈[x0,b]y(x0)=y0.定理1（利普希茨条件）若存在正数L，使得对任意，y1，y2，有|f(x,y1)−f(x,y2)|≤L|(y1−y2)|定理2（解存在性）①若函数f在方区域x∈[a,b],y∈R连续，②函数f关于y 满足利普希茨条件，则对任意x∈[a,b]，常微分方程存在唯一的连续可微数值解.两类问题：①单步法---计算下一个点的值yn+1只需要用到前面一个点的值yn②多步法---计算下一个点的值yn+1需要用到前面l个点的值yl1、欧拉法---下一个点的计算值等于前一个点的计算值加上步长乘以前一个点的函数值•具体过程一些批注：显式欧拉方程指下一步要计算的值，不在迭代方程中；隐式欧拉方程指下一步要计算的值，在迭代方程中。
怎么计算隐式欧拉方程----要借助显示欧拉迭代计算---一般用迭代法-----迭代---将微分方程在区间[xn,xn+1]进行积分，然后函数f进行近似，即可得到迭代方程-----迭代方程收敛性？由函数关于y满足利普希茨条件，可以推出迭代公式收敛。
•局部截断误差：假设前n步误差为0，我们计算第n+1步的误差，将次误差称为局部截断误差，且局部误差为O(hp+1)•p阶精度：由理论证明：若局部误差阶的时间复杂度为O(hp+1)，则整体误差阶为O(hp)我们称公式精度为p。
•显示欧拉法与隐式欧拉法•梯形方法----将显式欧拉迭代方程与隐式欧拉迭代方程做一下加权平均，构造的计算公式.•改进的欧拉方法---思想：因为梯形公式是隐式公式，将显式欧拉公式对下一步的计算值进行预估，用梯形公式对下一步的计算值进行校正.2、龙格-库塔方法思想：根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以前一个点的斜率；而这个斜率用该区间上的多个点的斜率的算数平均来逼近。
注意：怎么计算任意斜率Ki？第i个点的斜率Ki有微分方程可以算出f′=f(xn,yn)所以要算的f(xn,yn)值，由欧拉法即可算出, yn+1=yn+hf′•2阶-龙格-库塔方法----类似改进的欧拉法根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以斜率；而这个斜率用区间上的端点和中点的斜率的算数平均来逼近。
一阶常微分方程初值问题的数值解fortron
一阶常微分方程初值问题的数值解是微分方程数值求解中的基础问题，对于工程、物理、生物等领域的科学计算和数值模拟具有重要意义。
本文将从常微分方程初值问题的数值解的基本原理和数值方法入手，详细介绍使用Fortran语言进行一阶常微分方程初值问题的数值解的实现过程和注意事项。
1. 常微分方程初值问题的数值解基本原理常微分方程初值问题的数值解是通过数值方法来逼近微分方程的解。
对于一阶常微分方程初值问题：dy/dx = f(x, y)y(x0) = y0其中，f(x, y)是给定的函数，y(x0) = y0是给定的初值条件。
求解该初值问题即是要找到一个函数y(x)近似地满足该微分方程，并且在点x = x0处与给定的初值条件相符。
2. 常微分方程初值问题的数值解的数值方法常见的数值方法包括欧拉方法、改进的欧拉方法、四阶龙格-库塔方法等。
其中，四阶龙格-库塔方法是最常用和最经典的数值方法之一。
该方法通过取若干个函数值点上的斜率的加权平均值来逼近微分方程的解，具有较高的数值精度和稳定性。
3. 使用Fortran语言实现一阶常微分方程初值问题的数值解Fortran是一种古老但经典的科学计算语言，以其高效的数值计算和科学工程计算而闻名。
下面将结合Fortran语言的特点，介绍如何使用Fortran语言实现一阶常微分方程初值问题的数值解。
（1）定义常微分方程的函数f(x, y)在Fortran程序中，首先需要定义常微分方程的函数f(x, y)，并将其定义为一个子程序或函数。
这里以一个简单的一阶线性常微分方程为例：f(x, y) = x + y则在Fortran程序中可以这样定义：```function f(x, y)real :: x, y, ff = x + yend function f```（2）实现四阶龙格-库塔方法在Fortran程序中，可以实现四阶龙格-库塔方法来数值解常微分方程初值问题。
具体做法是按照龙格-库塔方法的算法，在程序中编写相应的代码实现。
常微分方程的初值问题
常微分方程的初值问题什么是常微分方程？常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是描述一个未知函数关于自变量微分关系的方程，被广泛用于描述自然现象。
常微分方程与偏微分方程不同的是，常微分方程只涉及一个自变量，而偏微分方程涉及多个自变量。
举个例子，我们都知道牛顿第二定律F=ma，如果我们设F为常数，令a=dv/dt，那么牛顿第二定律可以转化为md2x/dt2=F，这就是一个常微分方程。
常微分方程的形式十分多样，有些可以直接求解，有些则需要通过变换后求解。
常见的常微分方程包括一阶常微分方程、二阶常微分方程、线性常微分方程、非线性常微分方程等。
当然，还有更加复杂的常微分方程，如偏微分方程。
什么是初值问题？初值问题（Initial Value Problem，简称IVP）是一类常微分方程问题中的基本问题。
初值问题指的是给定一个常微分方程及其初值，求解出该常微分方程的通解，即求出在该初值下使方程成立的特定解，亦称特解。
举个例子，假设掷出一个物体，求出它的高度随时间的变化规律，那么初始高度ℎ0和初速度v0就是初值，可以通过方程y″=−g来描述。
其中y表示高度，g为重力加速度。
初值问题的求解方法通常分为数值方法和解析方法两种。
数值方法求解初值问题数值方法通过把求解域分成很多小段，逐一计算每个小段上函数的近似值，并且通过迭代来逼近精确解。
数值方法的优点是可以处理较为复杂的问题，并且求解过程相对简单。
常见的数值方法求解初值问题的算法包括：•欧拉法：一种最简单的迭代方法，从初始条件开始，逐一迭代得到每个时刻的函数近似值。
•改进的欧拉法：欧拉法精度不高，改进的欧拉法通过一阶和二阶泰勒展开来提高迭代精度。
•龙格-库塔法：一种更加精确的迭代方法，通过逼近微分方程精确解来提高近似解的精度。
解析方法求解初值问题解析方法是指通过解析求出一个函数的精确表达式。
如求一阶齐次线性常微分方程y′+p(x)y=0的通解，可以通过分离变量法求解：dy/y=−p(x)dx$$ln |y| = -\\int p(x)dx + C$$$$y=Ce^{-\\int p(x)dx}$$对于非线性常微分方程，解析求解通常较为困难，因此数值方法得到了广泛的应用。
常微分方程的初值问题
常微分方程的初值问题常微分方程是数学中的一种重要工具，它能够描述许多自然界和社会现象的变化规律。
而常微分方程的初值问题则是常微分方程研究中的常见问题之一，它需要确定未知函数及其导数在某个特定点的值。
本文将介绍常微分方程的初值问题的定义、求解方法以及实际应用。
一、初值问题的定义在常微分方程中，初值问题是指在已知微分方程的解的条件下，需要确定一个特定点上未知函数及其导数的值。
具体而言，考虑一个形如dy/dx=f(x,y)的一阶常微分方程，其中x是自变量，y是因变量，f是已知的函数。
若已知y(x0)=y0，则求解这个微分方程的过程即为解决初值问题。
二、求解方法对于常微分方程的初值问题，可以使用多种方法进行求解，下面将介绍两种常见的方法：欧拉方法和四阶龙格-库塔方法。
1. 欧拉方法欧拉方法是一种简单而直观的求解常微分方程的数值方法。
它的基本思想是将求解区间等分为多个小区间，然后通过逐步逼近的方式计算未知函数的近似值。
具体步骤如下：- 将求解区间[a, b]等分为n个小区间，步长h=(b-a)/n。
- 定义网格节点xi=a+i*h，i=0,1,2,...,n。
- 初始条件为y(x0)=y0，通过递推公式y(xi+1) = y(xi) + h*f(xi, y(xi))，计算出近似值y(xi+1)。
- 重复上述步骤，直到计算到需要的点。
欧拉方法的优点是简单易懂，但对于某些特定的微分方程，其数值解可能不够精确。
2. 四阶龙格-库塔方法四阶龙格-库塔方法是一种更为精确的求解常微分方程的数值方法，它通过计算多个逼近值的组合来提高计算精度。
具体步骤如下：- 将求解区间[a, b]等分为n个小区间，步长h=(b-a)/n。
- 定义网格节点xi=a+i*h，i=0,1,2,...,n。
- 初始条件为y(x0)=y0，通过递推公式计算逼近值k1、k2、k3和k4。
- k1 = h*f(xi, y(xi))- k2 = h*f(xi + h/2, y(xi) + k1/2)- k3 = h*f(xi + h/2, y(xi) + k2/2)- k4 = h*f(xi + h, y(xi) + k3)- 计算近似值y(xi+1) = y(xi) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6。
第八章常微分方程的初值问题
y(k) n1
)]
迭代法太麻烦，实际上，当h取得很小时，只让上式中 的第二式迭代一次就可以，即
改进的Euler法（也叫欧拉预估—校正法）
y(0) n1
yn
hf ( xn , yn )
预估算式
yn1
yn
h 2 [ f ( xn, yn )
f
(
xn1
,
y(0) n1
)]
校正算式
改进的Euler法=向前欧拉法+梯形法
x0
x
y( x) y( x0 )
f ( x, y( x))dx
x0
x
y( x) y( x0 )
f ( x, y( x))dx
x0
1、向前Euler法 y'( x) f ( x, y( x)), y( x0 ) y0
推导1：设节点为 xn x0 nh,(n 0,1,2, ) 用向前差分公式代替导数：
注1： 微分方程中用 D 表示对 自变量 的导数，如：
Dy
y'； D2y
y''； D3y
y'''
注2：如果省略初值条件，则表示求通解；
例 ：求微分方程 dy 2 xy xe x2的通解，并验证。 dx
>> y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') 结果为 y =(1/2*x^2+C1)*exp(-x^2)
xn
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx
xn
用矩形代替右边的积分 y( xn1 ) y( xn ) hf ( xn , y( xn ))
第一章常微分方程初值问题数值解法
（1.2.3）
其中rn,k(t)为插值余项。 代到（1.2.2）式中得
u ( tn +1 ) = u ( tn ) +
舍去余项 并用uj代替u(tj)即得
∫
tn+1 tn
Ln , k ( t ) dt + ∫ t rn , k ( t ) dt
tn+1
n
(1.2.4 (1.2.5)
Rn , k = ∫
⎡ ∑ ⎣α u
j =0
j =0
αk ≠ 0
（1.2.1）
j n+ j
⎤ − hβ j f n + j ⎦ = 0（数值解满足的差分方程）
因此称（1.2.1）为多步法 或 k-步法。 又因为(1.2.1)关于 u n + j , f n + j 是线性的，所以称为线性多步法。 为使多步法的计算能够进行，除给定的初值u0 外，还要 知道附加初值u1,u2,…,uk-1 ，这可用其它方法计算。 若 β k = 0 则称(1.2.1)是显式的； 若 β k ≠ 0 则方法（1.2.1）是隐式的。 例如，一般线性二步法可写成：
f ( t , u ( t ) ) = Ln , k +1 ( t ) + rn , k +1 ( t )
其中rn,k+1(t)为插值余项。 同理即
un +1 = un + h ∑ bk +1i f ( tn −i +1 , un −i +1 )
i =0
k +1
其中
bk +1i
=∫ ∏
−1
j =0 j ≠i
0
k +1
微分方程中的初值问题和边值问题
微分方程中的初值问题和边值问题微分方程（Differential Equation）是一种用来描述物理现象和数学模型的工具，许多科学和工程问题都可以转化为微分方程的形式。
其中，初值问题和边值问题是微分方程研究中最基本的两类问题。
一、初值问题初值问题（Initial Value Problem）是微分方程求解的基础，它需要确定未知函数的初值条件，并通过求解微分方程得到函数的解析式，描述物理实验或数学模型中的变化过程。
常见的初值问题是一阶常微分方程，它形式为：y' = f(x,y)，其中y表示未知函数，f(x,y)表示已知函数。
例如，一阶常微分方程：y' = x*y ，它的初始值为y(0)=1。
求解初值问题需要先求出微分方程的通解（General Solution）,再根据初始值确定特解（Particular Solution）。
以上述一阶常微分方程为例，其通解为：y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。
将初始值y(0)=1代入通解中，解得特解为：y =e^(x^2/2)。
二、边值问题边值问题（Boundary Value Problem）是另一种常见的微分方程求解问题，该问题需要确定未知函数在给定边界条件下的解析式，在物理实验或数学模型中常见于定常过程的描述。
常见的边值问题是二阶常微分方程，它形式为：y'' = f(x,y,y')，其中y表示未知函数，f(x,y,y')表示已知函数。
例如，二阶常微分方程：y'' + y = 0，它的边界条件为y(0) = 0, y(π/2) = 1。
求解边值问题需要以微分方程的通解为基础，附加边界条件，进一步确定常数。
以上述二阶常微分方程为例，它的通解为：y =A*sin(x) + B*cos(x)，其中A,B为任意常数。
将边界条件代入通解中，得到A=0，B=1，因此特解为：y = cos(x)。
常微分方程中的初值问题
常微分方程中的初值问题一、介绍初值问题是在微积分学中一个非常基础的概念，在常微分方程（ODEs）中也有很重要的应用。
我们从初值问题开始，逐步深入探讨ODEs的相关知识。
二、什么是初值问题？在ODEs的求解中，我们通常需要给出一个初值条件，也就是某个时刻的初始条件。
通常我们把这个条件称之为初值问题（Initial Value Problem, IVP）。
例如，我们可以假设现在有一个物体在运动。
如果我们想要得到它在任意时间点上的位置和速度，就需要知道它在某个时刻的位置和速度，这个时刻就称为初值。
三、ODEs的解与初值问题ODEs的求解通常与初值问题密切相关。
在求解ODEs时，我们通常需要设定初值条件，从而得到方程的一组解。
举个例子来说，如果一个物体在力的作用下做匀加速运动，那么我们可以得到ODEs如下：$\frac{d^2x}{dt^2}=a$这里，x表示物体的位移，t代表时间，a代表加速度。
我们可以通过对此方程积分，得到如下解：$x(t)=\frac{1}{2}at^2+C_1t+C_2$其中，C1和C2都是常数，需要通过初值条件来确定。
假设我们知道在t=0时，这个物体的位移为 $x_0$ ，速度为$v_0$ 。
那么我们就可以得到初始条件：$x(0)=x_0,C_2=x_0$$\frac{dx}{dt}(0)=v_0,C_1=v_0$通过这两个初始条件，我们就可以得到这个物体在任意时刻的位移和速度。
四、初值问题的数值求解除了解析求解以外，初值问题在实际工程中还有很多数值求解的方法。
在给出数值解之前，首先需要对微分方程进行离散化。
一种简单的离散化方式是欧拉法。
对于ODEs：$\frac{dy}{dt}=f(t,y)$我们可以将它离散化为：$\frac{y_{i+1}-y_i}{h}=f(t_i,y_i)$其中，h是离散化的步长，i表示当前离散点的下标。
这个式子可以帮助我们递推地求出 $y_{i+1}$ 的值。
常微分方程的初值问题
常微分方程的初值问题常微分方程是研究自变量只有一个的函数关系的微分方程，是数学中的重要基础理论之一。
在实际问题中，很多现象都可以用常微分方程来描述和解释。
而初值问题则是求解常微分方程的一种常用方法。
初值问题是指在给定一个常微分方程及其初始条件的情况下，求解该方程在给定初始条件下的解。
初始条件通常是给定自变量和因变量的值，以及一阶导数的值。
解决初值问题的关键在于找到满足给定初始条件的特解。
通过求解常微分方程的初值问题，可以得到函数关系的具体解析表达式或者数值解。
这对于实际问题的建模和分析具有重要意义。
常微分方程的初值问题在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛应用。
以常微分方程dy/dx = f(x)为例，其中f(x)表示自变量x的函数，y 表示因变量，我们可以通过以下步骤解决初值问题：1. 根据给定的初始条件，得到初始值点(x0, y0)；2. 将初始值点代入常微分方程，得到关于未知函数y的微分方程；3. 求解微分方程得到通解；4. 将初始值点代入通解中，得到满足初始条件的特解。
需要注意的是，常微分方程的解可能不是唯一的，解的存在性和唯一性需要通过数学理论进行证明。
在求解过程中，也可能面临无解、解不唯一或者无法用解析表达式表示的情况，此时可以采用数值方法进行近似求解。
常微分方程的初值问题具有广泛的应用。
例如，在物理学中，质点在外力作用下的运动可以通过牛顿第二定律建立常微分方程，并通过给定的初始条件求解得到质点的运动轨迹。
在经济学中，经济增长模型可以描述经济的增长速度，并通过初始条件求解得到经济的发展趋势。
总之，常微分方程的初值问题是数学中一种常用的求解方法，能够描述和解释实际问题中的许多现象。
通过求解初值问题，可以得到常微分方程的具体解析解或者数值解，为实际问题的建模和分析提供了有效的工具。
常微分方程初值问题解法
8
4 后退的欧拉方法
(5)
9
(6)
(6)式称为后退的欧拉方法,它是隐式的, 欧拉公式(2)是显式的,
10
(7)
11
12
后退的欧拉方法的局部截断误差:
13
5 梯形方法
(8)
(8)式称为梯形方法.
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梯形方法的局部截断误差:
15
6. 改进欧拉法及局部截断误差
（1）改进的欧拉公式:
预测步
~ yn 1 yn hf xn , yn
33
提高Runge-Kutta方法的精度的方法
提高积分方法的精度,我们最熟悉的(不一定是最好的)措施是
Richardson 外推法
我们用一个例子予以说明如下 的近似解： Euler法 yn 1 yn hyn y ( h ) ( x) y ( x) c1h c2 h 2 h 将步长减半为 时，有 2 h ( ) 1 1 y 2 ( x) y ( x) c1h c2 h 2 2 4
h) p 1 Yn( (1 1 ch
d
(h) n 1
因此可以从两次计算当中估计出每一步的截断误差,有了这个误差估计之后, 通过与控制误差限比较,就可以控制步长. 注意这个方法增加了计算量.
35
1 1 2 p
) (h (h) 2 Y Y n 1 ; n 1
30
yx 例 求解初值问题ODE : dy dx
易知其精确解为：y 2 2 x x 2 e x
2
,
y (0) 1.
步长都取为 h 0.1 分别用二阶、四阶 R K方法求解：
x
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程初值问题的数值解法在实际应用中，对于某些微分方程，我们并不能直接给出其解析解，需要通过数值方法来求得其近似解，以便更好地理解和掌握现象的本质。
常微分方程初值问题（IVP）即为一种最常见的微分方程求解问题，其求解方法有多种，本文将对常微分方程初值问题的数值解法进行较为详细的介绍。
一、欧拉法欧拉法是最基本的一种数值解法，它采用泰勒级数展开并截断低阶项，从而获得一个差分方程近似求解。
具体来讲，设 t 为独立变量，y(t) 为函数 y 关于 t 的函数，方程为：$$y'(t) = f(t, y(t)), \qquad y(t_0) = y_0$$其中 f(t,y(t)) 为已知的函数，y(t_0) 为已知的初值。
将函数 y(t) 进行泰勒级数展开：$$y(t+h) = y(t) + hf(t, y(t)) + O(h^2)$$其中 h 表示步长，O(h^2) 表示其他高阶项。
为了使误差较小，一般取步长 h 尽可能小，于是我们可以用欧拉公式表示数值解：$$y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y_n), \qquad y_0 = y(t_0)$$欧拉法的优点是容易理解和实现，但是由于截取低阶项且使用的单步法，所以误差较大，精度较低，在具体应用时需要慎重考虑。
二、龙格-库塔法龙格-库塔法（Runge-Kutta method）是一种多步法，比欧拉法更加精确。
龙格-库塔法的主要思想是使用不同的插值多项式来计算近似解，并且将时间步长分解，每次计算需要多次求解。
以下简要介绍二阶和四阶龙格-库塔法。
二阶龙格-库塔法将时间步长 h 分解成两步 h/2，得到近似解表达式：$$\begin{aligned} k_1 &= hf(t_n, y_n)\\ k_2 &= hf(t_n+h/2,y_n+k_1/2)\\ y_{n+1} &= y_n+k_2+O(h^3)\\ \end{aligned}$$四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法是龙格-库塔法中应用最为广泛的一种方法，其需要计算的中间值较多，但是具有更高的精度。
实验八 常微分方程初值问题数值解法报告
实验八 常微分方程初值问题数值解法一、基本题科学计算中经常遇到微分方程（组）初值问题，需要利用Euler 法，改进Euler 法，Rung-Kutta 方法求其数值解，诸如以下问题：（1） ()⎪⎩⎪⎨⎧=-='004y xy y x y 20≤<x分别取h=0.1,0.2,0.4时数值解。
初值问题的精确解245x y e -=+。
（2） ()⎩⎨⎧=--='0122y y x y 01≤≤-x用r=3的Adams 显式和预 - 校式求解取步长h=0.1，用四阶标准R-K 方法求值。
（3）()()()100010321331221==-='⎪⎩⎪⎨⎧-='-='='y y y y y y y y y 10≤≤x用改进Euler 法或四阶标准R-K 方法求解取步长0.01,计算(0.05),(0.1y y y 数值解，参考结果 123(0.15)0.9880787,(0.15)0.1493359,(0.15)0.8613125y y y ≈-≈≈。
（4）利用四阶标准R- K 方法求二阶方程初值问题的数值解（I ）()()⎩⎨⎧='==+'-''10,00023y y y y y 02.0,10=≤≤h x(II)()()()⎩⎨⎧='==+'--''00,10011.02y y y y y y 1.0,10=≤≤h x(III)()()⎪⎩⎪⎨⎧='=+='00,101y y e y y x 1.0,20=≤≤h x(IV)()()⎩⎨⎧='==+''00,100sin y y y y 2.0,40=≤≤h x二、应用题1. 小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。
火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。
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对照标准形式 y n+1=y n+hф (xn,y n,h) 。若取 ф (x,y,h)=y'(x)+(h/2!)y''(x)+......+(hp-1/p!)y(p)(x)
并以y n代替y(xn)，则得到一个p阶近似公式
y n+1=y n+hф (xn ,y n ,h) (n=0,1,2,......) (*)
将 y(x n+1)及ф (xn ,y(xn),h)在 xn 作 Taylor 展开：
ф (xn,y(xn);h)=(c1+c2)y'(xn)+c2(a2hfx+b2 2) hf f)+O(h 因 为 y(xn+1) 在 xn 处 的 Taylor 1 y 展开为 y(xn+1)=y(xn)+hy'(xn)+(h2/2!)y''(xn)+O(h3) 由显式单步法在 xn+1的局部截断误差定义有： Tn+1=y(xn+1 )-y(xn )-hф (xn ,y(xn ),h) =h(1-c1-c2)y'(xn )+h2[(1/2-a2c2)fx+(1/2c2b21)fyf]+O(h3) 显然，若要求Tn+1=O(h3),则应有 c1+c2=1 c2a2=1/2 c2b21=1/2
ф (x,y,h)=c1f(x,y)+c2f(x+a2h,y+b21hf(x,y))
若要求式(**)达到二阶精度， 则只要局部截断误 差 Tn+1=O(h3)。 f(xn,y(xn))=y'(xn) f(xn+a2h,y(xn)+b21hK1) =f(xn,y(xn)+a2hfx+b21hf· fy+O(h2)) 其中 fx=fx(xn,y(x n)), fy=fy(xn,y(xn)), f=f(xn,y(xn)) 由此得：
科学与工程计算方法
北京科技大学应用学院数力系 卫鸿儒 Weihr168@
课程性质和计划（续）
概论
泛函分析中若干概念 线性方程组的解法 计算方法 方程组及非 线性方程的 数值解法
非线性方程的求根方法
矩阵特征值与特征向量的计算 数值逼近方法 插值法 最佳平方逼近
数值积分与数值微分 常微分方程初值问题的数值解法
m
使用不同的方法确定 参数 cr,ar,brs 可使上式成 为不同阶的 R-K 方法。在 m 级 R-K 方法中,最著名的 是经典 R-K 方法:
h y n 1 y n K 1 2 K 2 2 K 3 K 6 K 1 f xn , yn 1 1 K 2 f xn h, yn hK 1 2 2 1 1 K 3 f xn h, yn hK 2 2 2 K f x h, y hK n n 3 4
（3） m级显式Runge-Kutta 方法
仿照二级 R-K 方法，在 [xn , xn+1 ] 上 , 取 f 在 m 个 点的函数值做线性组合，即得到m级R-K方法：
y n 1 y n h c r K r r 1 K 1 f xn , yn r 1 K f x ha , y h b rs K s r n r n s 1 r 2 , 3, , m
上方程组含有 3 个方程， 4 个未知数， 其 解是不唯一的。若取 c2=α 为自由参数，则得 它的一组解为： c1=1-α , c2=α , a2=b21=1/（2α ） （***） 满足条件（ ***) 的 (**) 式称为二级二阶 R-K 方法。特别当α =1/2 时，公式(**)即是 前面介绍的改进的 Euler 方法。
当α =1时,c1=0,c2=1，得 yn+1= yn+hK2 n=0,1,….N-1 K1=f(xn,yn) K2=f(xn+h/2,yn+hK1/2) 这就是变形的欧拉方法或中点方法。
二级 R-K 方法是显式单步式，每前进一步 需要计算两个函数值。由上面的讨论可知， 适当选择四个参数 c1,c2,a2,b21, 可使每步计 算两次函数值的二阶 R-K 方法达到二阶精度。 能否在计算函数值次数不变的情况下 , 通过 选择四个参数 ,使得二阶R-K 方法的精度再提 高呢? 答案是否定的。无论四个参数怎样选择， 都不能使公式(**)提高到三阶。 这说明每一步计算两个函数值的二阶 R-K 方法最高阶为二阶。若要获得更高阶得数值 方法，就必须增加计算函数值的次数。
（2）二级二阶R-K方法
在[xn , xn+1 ]上,取f(x,y)在两个点的 函数值作线性组合,即得到二级R-K方法: y n+1=y n+h(c1K1+c2K2) K1=f(xn,y n) （ * * ） K2=f(xn+a2h,y n+b21hK1) 其中 c1,c2,a2,b21 为待定参数。对照式 (*) 有：
3、Runge-Kutta 方法
（1）基本思想
Runge-Kutta 方法是一种高精度的单步 法，简称R-K法。得到高精度方法的一个 直接想法是利用Taylor展开。 假设式 y' =f(x,y) (a≤x≤b) 中的 f(x,y) 充分光滑，将y(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ+1)在x n点作 Taylor展开:
y(xn+1)=y(xn)+hy'(xn)+(h2/2!)y''(xn)+.. ....+(hp/p!)y(p)( xn)+ ..... 其中 y'(x)=f(x,y(x)) y ''(x)=[f(x,y(x))] 'x= fx+f· fy ............................... y(p)(x)=[f(x,y(x))](p)x
显然 p=1 时,式(*)就是 y n+1=y n+hf(xn,y n) 它即为我们熟悉的 Euler 方法。 当 p≥2 时，要利用公式(*)就需要计 算 f(x,y)的高阶微商。 这个计算量是很 大的。因此，利用式(*)构造高阶公式 是不实用的。
R-K 方法不是直接使用 Taylor 级数 , 而是利用它的思想 ,即计算 f(x,y) 在不 同结点的函数值 ,然后作这些函数值的 线性组合 , 构造近似公式 , 式中有一些 可供选择的参数。将近似公式与 Taylor 展开式相比较 , 使前面的若干项 密合,从而使近似公式达到一定的精度。 下面以二级二阶R-K方法为例说明 这一方法的基本思想。